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集合整体重复型公式巧解容斥原理问题
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1、三个集合的容斥关系公式　　A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C2、三个集合的容斥关系(三元)　　例题：假设有100人参加了三个兴趣小组。其中参加数学兴趣小组的有55人，参加语文兴趣小组的有65人，参加英语兴趣小组的有70人，同时参加语文和数学兴趣小组的人数是31人，同时参加数学和英语兴趣小组的人数是40人，同时参加语文和英语兴趣小组的有25人，则三个兴趣小组都参加的人数是多少人?　　(1) A+B+T=至少参与一项的总人数(无重叠)　　(2) A+2B+3T=至少参与一项的总人数(含重叠部分)　　(3) B+3T=至少参与两项的总人数(含重叠)　　(4) T三项都参与的人数。　　这里介绍一下A、B、T分别是什么：　　A=x+y+z;表示只参加一个兴趣小组的人数，在图中反应的区域就是每个圆圈互不重叠的部分。　　B=a+b+c;表示仅参加了两个兴趣兴趣小组的人数，是图中两两相交的部分总和(不含中间的T区域)　　T=全部都参加的人数。也就是图形当中最中间的部分T。　　例题通过公式有如下解法：　　(1) A+B+T=100;　　(2) A+2B+3T=55+65+70=190　　(3) B+3T=31+40+25=96　　实际上我们要求的是T， (1)+(3)-(2)=T。 即得到答案T=100+96-190=63、三元容斥公式应用实例　　三元容斥涉及的对象比较多。我们通常建议考生根据不同提问情况区别对待。本小节先对一般情况的题目做一些分析。　　例：如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，覆盖住桌面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是24、70、36，那么阴影部分的面积是：【09国考】　　A.15 B.16 C.14 D.18
解析】参考答案为B。 这就是典型的容斥原理图形。求解的阴影面积即为三个集合都相交的区域。根据公式
(1) A+B+T=290　　(2) A+2B+3T=64+180+160=404　　(3) B+3T=24+70+36=130　　则组合这些表达式就会得到：(1)+(3)-(2)=T=290+130-404=16 故答案是16　　例：某市对52种建筑防水卷材产品质量抽检，其中8种产品的低温度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种?【11国考】　　A.37 B.36 C.35 D.34　　【解析】参考答案D。 这个题目很有意思，他把我们传统做容斥原理的习惯思维颠覆了一下。通常我们都是根据已知条件 多少合格的人后求多少不合格的。那么这里我们也可以把公式所代表的含义颠倒过来用，A表示至少有一项不合格，B表示至少有2项不合格，T表示三项都不合格。根据公式:　　(1) A+2B+3T=8+10+9=27;　　(2) B=7;　　(3) T=1.　　可得到A+B+T=27-B-2T=27-7-2=18. 因此合格的有52-18=34.　　例：甲、乙、丙三个人共解出20道数学题，每人都解出了其中的12道题，每道题都有人解出。只有一人解出的题叫做难题，只有两人解出的题叫做中等题，三人解出的题叫做容易题，则难题比容易题多()题?　　A.6 B.5 C.4 D.3　【解析】参考答案C。 稍微整理一下题目，难题也就是三个圆圈中不参与重叠的部分，也就是公式当中的A所表示的;中等题目是只重叠过1次，也就是公式当中的B，简单题则是公式当中的T。　　(1)A+B+T=20　　(2)A+2B+3T=12×3=36　　要求解的是A-T=?;通过上述两个表达式变型可得到：(1)×2-(2)=A-T=20×2-36=4.　　如果不知道怎么变型求解。可以利用我们上面讲的代入消去法去做，令B=0, 则可把三元变为2元。即 T=8，A=12. 即A-T=4.
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　　公式法解容斥问题(三集合标准型)
　　(微信号hebhuatu) 公考咨询电话：0
　　在行测考试当中，有一类问题叫做容斥问题。什么题目我们归结为容斥问题呢?一般情况下，有符合A，有符合B，有符合AB，有AB都不符合等这一类题干，我们就把他归结为容斥问题。容斥问题可以分为二集合容斥和三集合容斥。解题思路有画图法和公式法。一般情况下，只要我们能牢牢地背会相关公式，考试的时候就能很快的做出答案，节省考试时间。今天我们一起来看一下三集合容斥标准型公式。
　　三集合容斥标准型公式：A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不符合。
　　下面我们一起来看寄到容斥问题的例题：
　　【例】(2009-国家-81)如图所示，X、Y、Z 分别是面积为 64、180、160 的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为 290。且 X 与 Y、Y 与 Z、Z 与 X 重叠部分面积分别为 24、70、36。问阴影部分的面积是多少?( )
　　【解析】此题为容斥原理问题，根据三集合容斥标准型公式：A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不符合。根据题意，设阴影部分为x，列方程有：290=64+180+160-24-70-36+x，解得x=16。选择B。
　　由此可见，如果能够熟练地记住公式，其实这类问题我们完全可以在1分钟以内做出来的。我们再来看一道例题：
　　【例】对 39 种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有 17 种，含乙的有 18 种，含丙的有 15 种，含甲、乙的有 7 种，含甲、丙的有 6种，含乙、丙的有 9 种，三种维生素都不含的有 7 种，则三种维生素都含的有多少种?( )
　　【解析】根据题意列方程：17+18+15-7-6-9+7=39-x，解出 x=4。所以答案选A。
　　【例】某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：( )。
　　【解析】根据题意列出等式：42=22+16+25-x-8-6，解得 x=7。所以答案选A。
　　不积跬步，无以至千里，不积小流无以成江海。齐骥一跃，不能十步，驽马十驾，功不在舍。祝大家早日上岸。
　　(本文属河北华图教育原创,转载请标注来源于华图教育,未标明者必究责任。)
（编辑：周伟）
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