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浅析高考中的导数问题
　　导数是高中数学的重要知识，是高考的热点、重点、难点问题，每年必考.大题、小题都有出现，分值一般在20分左右.尤其近几年随着高中新课程改革的不断推进，导数在高考中的考查越来越广泛，要求也越来越高.那么本文就将对近几年全国各地高考试卷中的一些导数问题，给予剖析，希望能对2014年的高考复习有所帮助. 中国论文网 /9/view-6140756.htm　　? 　　 一、曲线的切线问题 ? 　　 　　例1 曲线y=x x-2在点(1,-1)处的切线方程为（ ）? 　　?(A)? y=x-2 ?(B)? y=-3x+2? 　　?(C)? y=-2x-3〖DW〗?(D)? y=-2x+1? 　　 　　 解 ：y′= 　　 　　x-2-x (x-2)?2= 　　 　　-2 (x-2)?2，则在点(1,-1)处的切线斜率k= 　　-2 (1-2)?2=-2， 　　所以切线方程为y+1=-2(x-1)，即y=-2x+1.选?(D)?.? 　　 　　 点评 ：处理曲线y=f (x)的切线问题，首先抓住切点 　　(x?0,y?0)，后利用结论“曲线上一点处切线的斜率等于该点导数值”即 　　k=f ′(x?0)，最后注意切点既在切线上又在曲线上.? 　　 　　 二、函数的单调性问题 ? 　　 　　例2 　　已知函数f (x)=a x+x+(a-1)?ln?x+15a.其中 　　 　　a<0且a≠=-1. 　　讨论函数f (x)的单调性.? 　　 　　 解： f (x)的定义域为 　　(0,+∞).f ′(x)=-a x?2 　　+1+a-1 x 　　=(x+a)(x-1) x?2.? 　　 　　（1）若-11时，f ′(x)>0;当-a<x<1时，f ′(x)<0, 　　故f (x)的单调增区间为(0,-a)和（1,+∞);单调减区间为 　　(-a,1).? 　　 　　(2)若 　　a<-1，仿（1）可得 　　 　　f (x)的单调增区间为 　　 　　(0,1)和（-a,+∞);单调减区间为(1,-a). 　　 　　? 　　 　　 点评 ：利用导数求函数的单调区间，先求 　　f ′(x),再解f ′(x)>0,f ′(x)<0,分别得到单调增、减区间，注意函数的定义域.此题中， 　　 　　f ′(x)的表达式中含参数，解题时，需对参数进行分类讨论.? 　　 　　 三、参数取值的问题 ? 　　 　　例3 (2013年江苏20第一问改) 　　设函数f (x)=?ln?x-ax，其中a为实数．若 　　f (x)在(1,+∞)上是单调减函数，求a的取值范围.? 　　 　　 解： 　　f ′(x)=1 x-a≤0在 　　 　　(1,+∞)上恒成立，则a≥1 x． 　　 　　x∈(1,+∞),故：a≥1．? 　　 　　 点评 ：函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转化为不等式恒成立，再转为函数研究最值问题.? 　　 　　 四、实际应用问题 ? 　　 　　例4 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 ?cm?的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x ?cm?. 　　若广告商要求包装盒容积V（?cm?）最大，试问 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 　　? 　　 　　 解 ： 　　 　　V(x)=(2x)?22 2 　　(60-2x)= 　　22x?2(30-x)(0<x<30),? 　　V′(x)=62x(20-x). 　　当0<x<20时，V递增，当20<x<30时，V递减，所以,当x=20时，V最大. 　　此时，包装盒的高与底面边长的比值为 　　 　　2 2(60-2x) 2x= 　　1 2.? 　　 　　 　　 点评 ：对于实际问题的应用, 首先由题意建立数学模型，而对于较复杂的函数模型，应会利用导数来处理函数最值问题.特别要注意变量的范围. 　　? 　　 　　 从以上对近几年高考各地数学试题的剖析可见，高考对导数这部分知识的考查一般包括三个方面.第一方面是考查导数的概念、求导公式及法则，这是利用导数处理问题的基础；第二方面是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值及用导数的几何意义求曲线的切线，这是利用导数解决的一些基本的，简单的问题；第三方面是导数的综合考查，包括解决应用问题，将导数知识与其它内容相结合的问题，这些问题综合性较强，较复杂.因此，在中学教学中，应重视基本概念、思想、方法，加强能力考查的力度，加强试题的综合性，同时可以使试题具有较广泛的实际意义，我们备课时应给予足够的重视. 　　
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