探讨曲线积分问题的求解方法--《宁德师专学报(自然科学版)》2010年04期
探讨曲线积分问题的求解方法
【摘要】：以一些试题作为例子,详细探讨了曲线积分问题的主要求解方法.
【作者单位】：
【分类号】：O172.2
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【参考文献】
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汤光宋,邱自红;[J];江汉大学学报(自然科学版);2002年04期
汤光宋;[J];江汉大学学报(自然科学版);2005年01期
黄小平,汤光宋;[J];徐州师范大学学报(自然科学版);1998年01期
【二级参考文献】
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于兴江;孟晗;;[A];模糊集理论与应用——98年中国模糊数学与模糊系统委员会第九届年会论文选集[C];1998年
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400-819-9993高等数学 曲线积分 ∮L ydx -xdy ,其中L为星形线x 2/3+y 2/3=a 2/3(a-土地公问答
高等数学 曲线积分 ∮L ydx -xdy ,其中L为星形线x 2/3+y 2/3=a 2/3(a
高等数学 曲线积分 ∮L ydx -xdy ,其中L为星形线x 2/3+y 2/3=a 2/3(a
高等数学 曲线积分 ∮L ydx -xdy ,其中L为星形线x 2/3+y 2/3=a 2/3(a&0)的一周,取逆时针方向。
星形线 x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3)(a&0) 即x = a(cost)^3,y = a(sint)^3用格林公式得 ∮&L& ydx-xdy = ∫∫ &D&(-1-1)dxdy = -2 ∫∫ &D&dxdy = -2 ∫&0, a& ydx= -2*4 ∫&下π/2, 上0& a(sint)^3 *3a(cost)^2(-sint)dt= -2*(12)a^2 ∫&下0, 上π/2& (sint)^4(cost)^2 dt= -2*(12)a^2 ∫&下0, 上π/2& [(sint)^4-(sint)^6] dt= -2*(12)a^2[(3/4)(1/2)(π/2) - (5/6)(3/4)(1/2)(π/2)]= -2*(12)a^2(π/32) = -2*(3/8)πa^2 = -(3/4)πa^2追问：谢谢提问者评价太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！追问:谢谢
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高等数学教案ch_10__曲线积分与曲面积分.
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曲线积分与曲面积分
教学目的：
理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
掌握计算两类曲线积分的方法。
熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。
了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。
知道散度与旋度的概念，并会计算。
会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。
两类曲线积分的计算方法；
格林公式及其应用；
两类曲面积分的计算方法；
高斯公式、斯托克斯公式；
两类曲线积分与两类曲面积分的应用。
教学难点：
两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；
对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；
应用格林公式计算对坐标的曲线积分；
应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；
应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。
对弧长的曲线积分
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量?
设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上? 已知曲线(x, y)处的线密度为?(x, y). 求.
把曲线分成n小段, ?s1, ?s2, ? ? ?, ?sn(?si也表示弧长);
任取(xi , hi)??si, 得i小段质量的近似值?(xi , hi)?
整个物质曲线的质量近似为;
令l=max{?s1, ?s2, ? ? ?, ?sn}?0, 则
这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.
设L为xOy面内的一条光滑曲线弧, 函数f(x, y)在L上有界. 在L上任意插入一点列M1, M2, ? ? ?, Mn?1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为?si, 又(xi, hi)为第i个小段上任意取定的一点, 作乘积f(xi, hi)?si, (i=1, 2,? ? ?, n ), 并作和, 如果当各小弧段的长度的最大值l?0, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即.
其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段.
设函数f(x, y)定义在可求长度的曲线L上, 并且有界.
将Ln个弧段: ?s1, ?s2, ? ? ?, ?sn, 并用?si表示第i段的弧长;
在每一弧段?si上任取一点(xi, hi), 作和;
令l=max{?s1, ?s2, ? ? ?, ?sn}, 如果当l?0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的
曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即
其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段.
曲线积分的存在性: 当f(x, y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分是存在的.
以后我们总假定f(x, y)在L上是连续的.
根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值, 其中?(x, y)为线密度.
对弧长的曲线积分的推广: .
如果L(?)是分段光滑的? 则规定函数在L(或?)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和? 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2, 则规定
闭曲线积分: 如果L是闭曲线, 那么函数f(x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作
对弧长的曲线积分的性质:
性质1 设c1、c2为常数? 则
性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2? 则
性质3设在L上f(x? y)?g(x? y)? 则
特别地? 有
二、对弧长的曲线积分的计算法
根据对弧长的曲线积分的定义? 如果曲线形构件L的线密度为f(x, y)? 则曲线形构件L的质量为
另一方面, 若曲线L的参数方程为
x?j(t), y?y (t) (a?t?b),
则质量元素为
曲线的质量为
定理 设f(x? y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为
x=j(t), y=y(t) (a?t?b),
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