世界数学十大未解难题/希尔伯特23个问题未解决的问题
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世界数学十大未解难题/希尔伯特23个问题未解决的问题
世界数学十大未解难题&（其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决的问题”）&一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题&在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。二： 霍奇(Hodge)猜想&二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。三： 庞加莱(Poincare)猜想&如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。&四： 黎曼(Riemann)假设&有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼()观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。&五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口&量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于 “夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。&&六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性&起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。&七： 贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想&数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。&八：几何尺规作图问题&这里所说的“几何尺规作图问题”是指作图限制只能用直尺、圆规，而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。“几何尺规作图问题”包括以下四个问题 1.化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆； 2.三等分任意角； 3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。 4.做正十七边形。 以上四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，而实际上这前三大问题都已证明不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。第四个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。&九：哥德巴赫猜想&公元日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个&=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个&=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。【哥德巴赫猜想 最新最好的成果是中国数学家陈景润的陈氏定理，通俗地讲：哥德巴赫猜想如果简称“1+1”，如今解决的是“1+2”。但是这样说使得许多大众容易产生误会。】&十：四色猜想&1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。” 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。 1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。&&希尔伯特23问题里尚未解决的问题：1、问题1连续统假设。全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。背景：1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。2、问题2 算术公理相容性。背景：哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。3、 问题7 某些数的无理性和超越性。背景此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。&&4、 问题 8 素数问题。证明：ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + …(s属于复数域)所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。背景：此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）。引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？&5、 问题 11 系数为任意代数数的二次型。背景：德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。6、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。背景：此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。7、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。背景：1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。8、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础。背景： 代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。9、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。10、 问题 18 用全等多面体来构造空间。无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。11、 问题 20 一般边值问题。偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。12、 问题 23 变分法的进一步发展。&本文链接地址：
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让人工智能解数学题 可能没你想象的那么简单
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导读：约1500年前的古代数学著作《孙子算经》中记载了一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这就是今人所谓的鸡兔同笼问题。如今这个问题小学生们解决起来可能都轻而易举，但对于人工智能而言可能并非如此。在人工智能火热的今天，我们想聊聊如何让计算机具备解此类问题的能力——即数学解题。智能答题任务如果说一套系统就能解决所有问题的“通用人工智能”离人们的生活还很遥远，那么让人工智能系统解决具体的某一项、或某一类问题已经是一个切实可行的小目标。近几年智能解题逐渐成为人工智能的一大研究热点。随着这项研究的日益火热，人们想通过让人工智能参加“考试”，与人类选手进行公平、公开的比试，从而衡量目前人工智能系统的“智能”水平。在全世界范围内，有多家研究机构正在从事这一方面的研究。例如日本国立情报学研究所开发了一个项目Todai Robot，他们让机器人挑战大学试题，目标是2021能够考上东京大学。艾伦人工智能研究所(Allen Institute for Artificial Intelligence) 也举办了一项比赛，来自全世界的几千个团队纷纷提交了自己的软件系统来挑战8年级的科学题目，最终，该比赛的第一名仅能达到59%的正确率。在中国，国家科技部2015年也开启了“高考机器人” 项目(863计划中的类人智能项目)，让人工智能系统和全国的文科考生一样，挑战2017年高考语文、数学、文综三项科目，研究相关类人答题系统。超过30多家高校和科研机构（清华大学、中科院自动化所等）联合参与了该项目。意料之外但又情理之中的是，目前各个人工智能系统的表现普遍在理科解题上弱于文科解题。究其原因：目前机器学习更多强调的是对记忆、计算等相关内容的储存和运用，而对于逻辑理解和推理这一模块还没有很好的解决。数学解题，作为理科考试的一部分，十分考验计算机的理解能力和推理能力，针对数学解题之上的研究成果非常有可能定义计算机智能的新层次。有鉴于此，数学解题应该也正在成为人工智能的一块重要拼图。难点和挑战尽管鸡兔同笼问题已经成为小学数学中的常见题型，然而该问题对于计算机来说却是一个极大的挑战。具体来讲，为了得到最终答案计算机需要通过理解题目的文字描述来得到相关数学表达，计算机需要具备逻辑推理能力来对得到的数学表达进行算术演算，计算机还需要具有一定的有关现实世界的常识从而能够约束和简化题目。首先，数学解题需要多种层次的自然语言理解。对于一道题目的文字描述，计算机需要知道并理解其中包含的概念。举个例子，“一加一等于几”以及“小明有一个苹果和一个梨，问小明有几个水果”，同样本质是“1+1=？”的两道题，在题型概念上是一样的，表达方式却截然不同。计算机需要知道如何把以上两道问题都抽象成两个对象相加，这就涉及到所谓的自然语言理解。事实上，抽取题目中各个概念变量的关系也十分具有难度。数学题要求的是精确，如果题目变换了一个词，变量之间的关系可能就会改变，整个解法也会不一样。比如下面两道追赶问题:(1)两辆车同时往同一方向开，速度分别为28km/h和46km/h，问多少小时后两车相距63km？(2)两辆车同时往相反方向开，速度分别为28km/h和46km/h，问多少小时后两车相距63km？两道题描述很类似，但是车的方向关系导致了两题的解法大不相同。如何捕抓出这种细微的差别也是一大难点。这也是所谓的自然语言理解的一部分。其次，在一定程度上理解文字之后，数学解题需要通过逻辑推理生成解题公式。如下图Hosseni 2014的工作，把数学题通过自然语言处理得到几个变量状态之后，需要推理得到各个变量状态之间的关系得出数学公式。在他给出的例子中，计算机通过学习能得到动词“give”代表两个状态相减。Hosseni 2014训练一个分类器判断一个动词属于加/减最后，计算机需要具有一定有关现实世界的常识去理解自然语言里面一些隐式的指代。比如圆周率为3.14，速度乘以时间等于路程等等。在鸡兔同笼问题中，鸡有两条腿、兔有四条腿是隐式包含的条件，只有知道这些常识才能正确的解答问题。历史与现状智能答题系统最早可以回溯到20世纪60年代。1964年提出的STUDENT（Bobrow 1964）系统可以视作早期答题人工智能实现的代表：输入有规定的描述方式的数学题，人工定义一组关键词和关系（如EQUAL, SUM, PRODUCT），把自然语言（linguistic form）通过模式匹配映射到对应的函数关系表达。例如句子“the number of advertisements is 45”可转化为函数表达方式（EQUAL (NUMBER OF ADVERTISMENTS）45）。之后的CARPS系统（Charniak 1968）能够把自然语言表示成为成树状结构，再匹配生成公式解答，此外它嵌入了很多数学模型的知识，如面积、体积、维度等等。但CARPS系统仅限于解决比率问题&（ratio problem）。2008年之前多数关于智能答题系统的工作都是基于预定义的模式匹配规则，这类工作主有两个主要的缺点：（1）定义的规则覆盖率小，能解决的问题十分有限，而在真实场景下数学题目的描述往往是比较自由、不太受限的；（2）评测比较模糊，这些系统很少给出评测结果以验证其有效性。在这之后有了很多不同的尝试。比如SoMaTePs系统（Liguda & Pfeiffer 2012）尝试用扩张语义网（Augmented Semantic Network）表示数学题，抽取题目的对象(object)作为节点，节点之间的关系包括加减乘除。ARIS系统（Hosseini 2014）让机器学习题目中的动词，并对这些动词进行加减二分类，把数学题看作以动词为关系的状态转移图，但这个方法目前只解决一元加减问题，不考虑乘除。MIT于2014年在国际计算语言年会(ACL 2014, Kushman 2014) 上提出了一种基于统计学习的方法（命名为KAZB），引入了模板的概念 (比如“1+1”和 “1+2”同属于一个模板x = a + b) 。根据公式的标注把数学题归类成不同的题型，抽取题目中不同层次的特征（如有关词汇、词性以及语法等），使用统计学习技术自动判断题型。但是此类方法的一个缺点为：无法解决训练集之外的题型。比如训练集只出现过两个数相加，机器无法泛化解答三个数相加的问题。之后百度ZDC（Zhou et al. 2015），微软研究院 （Upadhyay 2016）的研究团队也在同样的方法框架下分别做了不同的优化改进。在一个开放的评测数据集上（即ALG514，含有514道题），三个系统准确率在上分别是68.7%，78.7%以及83%。随后，华盛顿大学的ALGES系统（Koncel-Kedziorski et al. 2015）定义了Qset的概念(一个Qset包括Quantity，Entity，Adjective等属性)。首先抽取一道问题的Qset，利用线性整数规划把Qset和加减乘除生成可能的公式，再选出最有可能的公式解出答案。目前限定于一元一次方程。他们同时构建了一个508道题的数据集，系统获得的准确率在72%左右。艾伦人工智能研究所除了考虑数学文字题之外，还有关于几何看图题的研究。GEOS (Seo et al. 2015) 根据几何数学定义了一组数学概念以及函数，对图和文字分别构建了不同的分析器(parser)。他们在186道SAT的数学题上获得的准确率大概是60%左右。下表对以上一些具有代表性的系统做出了总结。给出一道数学题文字描述，系统需要涵盖三大部分：自然语言理解，语义表达和映射以及数学推理得出解决公式和答案。应用场景作为一种有趣的人工智能问题，数学解题相关的研究和努力不仅有助于推动机器智能的进步，同时也会在众多实际应用场景中产生价值。&&&& 线上教育近几年兴起的中小学生学习平台，该类应用普遍会支持如下功能——学生可以采取对准题目拍照，或者文字语音方式来输入数学题，学习平台识别题目并给出解题思路。由于此类平台具有庞大的题库，因此可以通过识别匹配题目来实现上功能。该应用的用户量已经突破一亿，在教育市场份额巨大。但是这些平台中所有的题目需要人工预设解题思路，受限于此，题库的扩展存在一定约束。人工智能数学解题的成功解决将会大大提升此类平台。&&&& 知识问答系统作为新一代的知识搜索引擎的代表，WolframAlpha能理解用户搜索问题并直接给出答案，而不是返回一堆网页链接。其中WolframAlpha被搜索过的一类典型的问题就是数学问题。输入数学题，它能给出数学模型、解题步骤以及答案。数学解题是此类引擎的核心构件之一。&&&& 智能问答智能对话系统的终极目标是实现人机自由对话，计算机能够响应来自用户的各种问题。其中，自然也包括数学解题。微软小冰实际上已经开始了这方面的尝试，它目前已可以解决比较简单的算术题。SigmaDolphin——微软亚洲研究院的数学解题SigmaDolphin是微软亚洲研究院在2013年初启动的解题项目。Sigma即西格玛大厦，是微软亚洲研究院的诞生地；而Dolphin则是该系统被赋予的期望——像海豚一样聪明。目前SigmaDolphin主要有两个研究成果。●&Dolphin解题SigmaDolphin定义了一套针对数学解题的抽象表示语言（被命名为Dolphin Language），包含了数学相关的类和函数。该语言人工定义了1000多种数学类型以及7000多种从Freebase和其它网页自动抽取的概念类型，加上其定义的函数和数据结构，使得该语言十分适合表达数学概念及运算，并能很好地构建出一个精准的数学解题系统。同时Dolphin Language具有大约1万条语法规则，把自然语言解析成Dolphin Language的表示，继而进行推理得到数学公式。有关该方法的详细介绍已经发表在EMNLP 2015, 题为“Automatically Solving Number Word Problems by Semantic Parsing and Reasoning” 。●&Dolphin18K数据集目前该研究领域正在使用的数据集规模都相对较小，而且题型都比较简单。众所周知，机器学习的关键是数据，特别关键的是数据规模。然而，数学题库需要提供公式和答案，人工标注十分耗时。微软亚洲研究院团队采用半自动地方法从雅虎问答获取数学题，经过人工筛选题目，并自动抽取公式和答案作为标注，构建一个新的数据集Dolphin18K。该数据集包含了1万8千多道数学题。有关该数据集的详细介绍已发表在ACL 2016，题为“How Well Do Computers Solve Math Word Problems? Large-Scale Dataset Construction and Evaluation”。过往的系统在各自的数据集上都有高达60%至80%的准确率，但由于评测的数据集都在几百道题目的规模上，而且都有不同的题型限制，导致其得出的结论可能不够有代表性。对比之前的数据集，Dolphin18K题目数量增加了10倍以上，涵盖了不同年级、不同难度的数学题，且题型更加全面丰富，更具有挑战性。目前，在Dolphin18K的评测上，过往的这些数学解题系统平均只能获得20%左右的准确率，说明了数学解题并没有想象中的那么简单。如上所述，目前智能解题任务仍然存在众多的挑战。但我们仍可以期冀，通过不断的数据积累和方法创新，智能解题系统的能力终将逼近甚至超过人类——答题能力能从及格逐渐提升至100分的水平。
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本文来源：微软亚洲研究院
责任编辑：阮羽_NT3199
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请问什么是数学模型呢？
数学模型课程，包括建立数学模型与求解数学模型两大部分。
建立数学模型，就是把实际问题转化为数学问题，例如解决应用题时的列方程；
求解数学模型，就是纯数学问题了，例如解决应用题时的解方程。
应该说，建立数学模型比较困难，因为实际问题往往是非常复杂的，绝不会象应用题里那么单纯，一个问题总是受到从多因素的影响，例如某一路口的交通流量。在建立数学模型的时候，我们需要忽略那些次要的因素，而只考虑主要的因素，否则建立的数学模型就会非常庞大，以至于无法求解。如果我们忽略了不该忽略的因素，得到的数学模型就会是错误的，所以最后需要对数学模型的求解结果进行检验，看是不是符合实际情形，这一步骤是不可缺少的，否则所有的工作就会变得毫无意义。
目前进行的数学模型竞赛里的题目都是经过刻意简化的实际问题，介于我们熟悉的应用题与真的实际问题之间，经过适当的学习与培训应该是可以解决或基本解决的。
其他答案（共1个回答）
式子就是数学模型比如钢筋在弹性变形阶段的应力应变关系的数学模型就是Y=KX;物理学中描述子弹的运动轨迹的数学模型好像是抛物线的公式即二次曲线...你留心的，生活中例子多的
数学模型的历史可以追溯到人类开始使用数字的时代。随着人类使用数字，就不断地建立各种数学模型，以解决各种各样的实际问题。对于广大的科学技术工作者对大学生的综合素质...
数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包...
当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式...
线性和非线性模型线性模型中各量之间的关系是线性的，可以应用叠加原理，即几个不同的输入量同时作用于系统的响应，等于几个输入量单独作用的响应之和
宝贝，你首先得有超级计算机，不用银河，曙光就行了。
下面的可能对你有用：
指纹有两大特点:第一,人类繁衍至今,还没有发现不同的人具有相同的指纹;第二,同一指的指...
答: 1/5÷2/3=1/5×3/2=3/10小时
答: （38+41）x2.5=197.5千米
答: 连接OC;∵AB=4,O是AB中点,且△ABC是直角三角形,∴OC=2;∵∠A=30°,∴∠ABC=∠BOC=60°,即∠COy=30°;若△ABC逆时针...
每家运营商的DNS都不同，而且各省的也不同。你可以问问你的网络提供商，他们会告诉你的。（也可以通过分别访问域名和IP来检查DNS是否正常，访问域名不行，而访问IP可以，则说明DNS设置不对）
另外，如果ADSL-电脑没问题，一般ADSL-路由器也没问题的。而且采用ADSL拨号的话，DNS可以不设置的，拨号成功后会自动取得DNS服务器。
问题可能出在路由器设置上。进去检查一下吧。看看上网方式，上网用户名密码是否正确。
（有个问题要注意一下，有些地方的运营商会限制使用路由器或者限制接入数量，一般是采取绑定网卡MAC地址的方式，如果路由器设置都正常，试试路由器的MAC地址克隆功能，把电脑网卡的MAC复制过去）
餐饮业厨房产生的油烟，顾名思义，废气中主要污染物为油烟，一般采用静电除油。
液化气属较清洁能源，废气污染程度不高，主要含二氧化碳一氧化碳吧。
柴油属石油类，废气含二氧化硫和氮氧化物，二氧化硫碱液喷淋即可去除，氮氧化物主要以一氧化氮为主，要催化氧化成二氧化氮才能被碱吸收，造价成本非常高，一般的柴油发电机尾气难以治理，除非大型发电厂。
煤炭废气含二氧化硫多，一般常用的脱硫工艺即可。
嫌麻烦就把你洗衣机的型号或断皮带，拿到维修点去买1个，自己装上就可以了（要有个小扳手把螺丝放松，装上皮带，拉紧再紧固螺丝）。
目前我们的生活水平必竟非同以往．吃得好休息得好，能量消耗慢，食欲比较旺盛，活动又少，不知不觉脂肪堆积开始胖啦。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　减肥诀窍：一．注意调整生活习惯，二。科学合理饮食结构，三。坚持不懈适量运动。
　　　具体说来：不要暴饮暴食。宜细嚼慢咽。忌辛辣油腻，清淡为好。多喝水，多吃脆平果青香焦，芹菜，冬瓜，黄瓜，罗卜，番茄，既助减肥，又益养颜，两全其美！
有减肥史或顽固型症状则需经药物治疗．
如有其他问题，请发电子邮件:jiaoaozihao53@ .或新浪QQ: 1
考虑是由于天气比较干燥和身体上火导致的，建议不要吃香辣和煎炸的食物，多喝水，多吃点水果，不能吃牛肉和海鱼。可以服用（穿心莲片，维生素b2和b6）。也可以服用一些中药，如清热解毒的。
确实没有偿还能力的，应当与贷款机构进行协商，宽展还款期间或者分期归还； 如果贷款机构起诉到法院胜诉之后，在履行期未履行法院判决，会申请法院强制执行； 法院在受理强制执行时，会依法查询贷款人名下的房产、车辆、证券和存款；贷款人名下没有可供执行的财产而又拒绝履行法院的生效判决，则有逾期还款等负面信息记录在个人的信用报告中并被限制高消费及出入境，甚至有可能会被司法拘留。
第一步：教育引导
不同年龄阶段的孩子“吮指癖”的原因不尽相同，但于力认为，如果没有什么异常的症状，应该以教育引导为首要方式，并注意经常帮孩子洗手，以防细菌入侵引起胃肠道感染。
第二步：转移注意力
比起严厉指责、打骂，转移注意力是一种明智的做法。比如，多让孩子进行动手游戏，让他双手都不得闲，或者用其他的玩具吸引他，还可以多带孩子出去游玩，让他在五彩缤纷的世界里获得知识，增长见识，逐渐忘记原来的坏习惯。对于小婴儿，还可以做个小布手套，或者用纱布缠住手指，直接防止他吃手。但是，不主张给孩子手指上“涂味”，比如黄连水、辣椒水等，以免影响孩子的胃口，黄连有清热解毒的功效，吃多了还可导致腹泻、呕吐。
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良工拥有十多位资深制冷维修工程师，十二年生产与制造经验，技术力量雄厚，配有先进的测试仪器，建有系列低温测试设备，备有充足的零部件，包括大量品牌的压缩机，冷凝器，蒸发器，水泵，膨胀阀等备品库，能为客户提供迅捷，优质的工业冷水机及模温机维修和保养。
楼主，龙德教育就挺好的，你可以去试试，我们家孩子一直在龙德教育补习的，我觉得还不错。
成人可以学爵士舞。不过对柔软度的拒绝比较大。　　不论跳什么舞，如果要跳得美，身体的柔软度必须要好，否则无法充分发挥出理应的线条美感，爵士舞也不值得注意。在展开暖身的弯曲动作必须注意，不适合在身体肌肉未几乎和暖前用弹振形式来做弯曲，否则更容易弄巧反拙，骨折肌肉。用静态方式弯曲较安全，不过也较必须耐性。柔软度的锻炼动作之幅度更不该超过疼痛的地步，肌肉有向上的感觉即可，动作(角度)保持的时间可由10馀秒至30-40秒平均，时间愈长对肌肉及关节附近的联结的组织之负荷也愈高。
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