xn为节点的Lagrange插值基函数
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1.x&&&&*&&&&为精确值&&&&x的近似值；&&&&y*?fx*为一元函数y1?f?x?的近似值；&&&&&&&&y*?f?x*,y*?为二元函数y2?f?x,y?的近似值，请写出下面的公式：e*?x*?x：&&&&*er?&&&&x*?xx*&&&&?r?y1*&&&&x*f?x*?f?x*?r?x*?&&&&y1*f?x*x*?&&&&y2*&&&&?r?y2*&&&&?f?x*,y*x&&&&?x*&&&&?f?x*,y*y&&&&?y*?&&&&?f?x*,y*?e?x*f?x*,y*?e?y*?x?yy2*y2*&&&&。7&&&&2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫舍入误差3、分别用2..718282作数e的近似值，则其有效数字分别有6位和位；又取3?1.73（三位有效数字），则&&&&3?1.73?&&&&1?10-22&&&&。&&&&4、设x1?1.216,x2?3.654均具有3位有效数字，则x1x2的相对误差限为0.00555、设x1?1.216,x2?3.654均具有3位有效数字，则x1?x2的误差限为0.01&&&&。。&&&&6、已知近似值xA?2.4560是由真值xT经四舍五入得到,则相对误差限为0.0000204.&&&&?y0=2,7、递推公式,如果取&&&&?yn=10yn-1-1,n=1,2,&&&&y0?2?1.41作计算,则计算到y10时,误差为&&&&1?108;这个计算公式数值稳定不稳定不稳定2&&&&*&&&&.&&&&8、精确值3.?，则近似值?1*?3.141和?2*?3.1415分别有4位有效数字。9、若x?e?2.71828?x,则x有6位有效数字，其绝对误差限为1/2*10&&&&*&&&&-5&&&&3&&&&位和&&&&。&&&&10、设x*的相对误差为2％，求(x*)的相对误差0.02n&&&&*11、近似值x?0.231关于真值x?0.229有(2)位有效数字；&&&&n&&&&12、计算方法主要研究(&&&&截断)误差和(&&&&舍入&&&&)误差；&&&&1&&&&&&&&13、为了使计算y?10?&&&&346的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改2x?1?x?1x?1?3&&&&1x?1，为了减少舍入误差，应将表达式改写为&&&&写为&&&&y?10?(3?(4?6t)t)t,t?&&&&。&&&&14、改变函数f(x)?&&&&x?1?x&&&&(&&&&x1)的形式，使计算结果较精确&&&&f?x&&&&1x?1?x。&&&&，取5位有效数字，则所得的近似值x=_2.3150____.&&&&15、设&&&&16、已知数e=2....,取近似值x=2.7182,那麽x具有的有效数字是4。二、单项选择题：1、舍入误差是(A)产生的误差。A.只取有限位数B．模型准确值与用数值方法求得的准确值C．观察与测量D．数学模型准确值与实际值2、3.141580是π的有(B)位有效数字的近似值。A．6B．5C．4D．7x3、用1+x近似表示e所产生的误差是(C)误差。A．模型B．观测C．截断D．舍入&&&&x34、用1+3近似表示1?x所产生的误差是(D)误差。&&&&A．舍入B．观测C．模型D．截断5、-324．7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A．5B．6C．7D．86、(D)的3位有效数字是0.236×102。(A)0.3(B)－2(C)235.418(D)235.54×10－17、取3?1.732计算x?(3?1)，下列方法中哪种最好？（C&&&&4&&&&）&&&&16&&&&2&&&&16&&&&24&&&&(A)28?163；(B)(4?23)；(C)(4?23)；(D)(3?1)。三、计算题1.有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限.解：设长方形水池的长为L，宽为W,深为H，则该水池的面积为V=LWH3当L=50,W=25,H=20时，有V=50*25*20=25000(米)此时，该近似值的绝对误差可估计为&&&&2&&&&&&&&V&&&&?V?V?VLWHL?W?H=WHLHLWLWH?&&&&相对误差可估计为：?r?V&&&&V?V&&&&而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足&&&&L0.01,W0.01,H0.01&&&&故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为&&&&VWHLHLWLWH25*20*0.01?50*20*0.01?50*25*0.01?27.50?r?VV?V?27.50?1.1*10?325000&&&&**&&&&2.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若a?a?0.1?米?，b?b?0.1?米?试求其面积的绝对误差限和相对误差限.解：设长方形的面积为s=ab2当a=110,b=80时，有s==110*80=8800(米)此时，该近似值的绝对误差可估计为&&&&s&&&&?s?saba?b=baab?&&&&相对误差可估计为：?r?s&&&&s?s&&&&而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足&&&&a0.1,b0.1&&&&故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为&&&&sbaab80*0.1?110*0.1?19.0?r?ss?s?19.0?0.&&&&绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。n3、设x*的相对误差为2％，求(x*)的相对误差&&&&3&&&&&&&&解：由于f(x)?xn,f(x)?nxn?1,故&&&&(x*)n?xn?n(x*)n?1(x?x*)&&&&故?r?&&&&?&&&&(x*)n&&&&?n&&&&x?x*?n?r?0.02nx*&&&&4、计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R允许的相对误差限是多少？解：令V?f?R4?R3，根据一元函数相对误差估计公式，得&&&&3&&&&?R?V&&&&f?R?f?R?&&&&?R&&&&4?R2?R3?R?R1%43?R3&&&&从而得?R?R&&&&1300&&&&5.正方形的边长大约为100cm，问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm2?解：da=ds/(2a)=1cm/(2*100)cm=0.5*10cm,即边长a的误差不超过0.005cm时，才能保证其面积误差不超过1平方厘米。6．假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m和100.00m，且已知其测量误差为0.005m。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。解：Vr2hV*?V?2?rh(r*?r)=2*3.*100*0.005=157.0796325&&&&2-2&&&&r*?rV*?V=2=0.0002rV&&&&第一章插值法一、填空题：1.设xi(i=0,1,2,3,4)为互异节点，li(x)为相应的四次插值基函数，则(x+2).2.设xi(i=0,1,2,3,4，5)为互异节点，li(x)为相应的五次插值基函数，则&&&&4&&&&x&&&&i?0&&&&4&&&&4i&&&&?2?li?x?＝&&&&x&&&&i?0&&&&5&&&&5i&&&&?2xi4?xi3?1?li?x?=x5?2x4?x3?1&&&&3.已知&&&&f(x)?2x3?5，则f[1,2,3,4]?&&&&2&&&&,f[1,2,3,4,5]?&&&&0&&&&4.f(x)5.设&&&&?3x2?1,则f[1,2,3]?____3_____,f[1,2,3,4]?___0______。&&&&则=0&&&&4&&&&＝&&&&3,&&&&&&&&6.设&&&&和节点&&&&则&&&&=&&&&4.&&&&7.设f?00,f?116,f?246,则f?0,1顿插值多项式为0+16(x-0)+7(x-0)(x-1)。8.如有下列表函数:&&&&16&&&&,f?0,1,2&&&&7,f?x?的二次牛&&&&xi&&&&f?xi?&&&&则一次差商f?0.2,0.4?=0.6&&&&0.20.04&&&&0.30.09&&&&0.40.16&&&&。，&&&&29、2、f(1)1,f(2)?2,f(3)?1，则过这三点的二次插值多项式中x的系数为-2&&&&拉格朗日插值多项式为L2?x?&&&&11?x?2x?32?x?1x?3?x?1x?2?,或22&&&&?2x2?9x?8&&&&310、对f(x)?x?x?1,差商f[0,1,2,3]?(&&&&1&&&&),f[0,1,2,3,4]?(&&&&2&&&&0&&&&)；0.15)；&&&&11、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x系数为(&&&&12、设f(0)?0,f(1)?16,f(2)?46,则l1(x)x?x?2?，f(x)的二次牛顿插值多项式为&&&&N2(x)?16x?7x(x?1)。&&&&13、0&&&&l(x),l1(x),?,ln(x)是以整数点x0,x1,?,xn为节点的Lagrange插值基函数，则&&&&n&&&&?l?x?=&&&&k?0k&&&&n&&&&1&&&&，&&&&?xl?x?&&&&k?0kjk&&&&n&&&&=&&&&xj&&&&，，当n?2时k?0&&&&?(x&&&&4k&&&&2?xk?3)lk(x)?&&&&(x?x?3&&&&42&&&&)。&&&&14、设一阶差商&&&&，&&&&则二阶差商&&&&15、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足三阶均差为0，则p(x)是不超过二次的多项式16、若f(x)?3x?2x?1，则差商f[2,4,8,16,32]?&&&&4&&&&3&&&&。&&&&5&&&&&&&&二、单项选择题：21、设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中x的系数为(A)。A．–0．5B．0．5C．2D．-22、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，&&&&(B)&&&&Rn(x)?f(x)?Pn(x)?&&&&f(n?1)(?)(n?1)!&&&&(C)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，(D)3、有下列数表x0f(&&&&Rn(x)?f(x)?Pn(x)?f(n?1)(?)?n?1(x)(n?1)!&&&&0.5-1.75&&&&1-1&&&&1.50.25&&&&25225&&&&2.4.&&&&-2&&&&x)所确定的插值多项式的次数是（A）。（A）二次；（B）三次；（C）四次；（D）五次4、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（xi１1.5２2.5３f(xi)-10.52.55.08.0(A)5；(B)4；(C)3；(D)2。&&&&9&&&&D&&&&）3.511.5&&&&l(x)是以xk?k(k?0,1,?,9)为节点的Lagrange插值基函数，则?k?05、设i&&&&(A)x；6、由下列数据（B）k；（C）i；33（D）1。4-5&&&&kli(k)?&&&&(C)&&&&012f(x)124确定的唯一插值多项式的次数为(A)(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。三、问答题1.什么是Lagrange插值基函数?它们有什么特性？&&&&x&&&&答：插值基函数&&&&是满足插值条件&&&&的n次插值多&&&&项式，它可表示为2.给定插值点&&&&并有以下性质，可分别构造Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，它&&&&们是否相同？为什么?它们各有何优点？答：给定插值点后构造的Lagrange多项式为Newton插值多项式为它们形式不同但&&&&6&&&&&&&&都满足条件次多项式与是相同的。&&&&,于是有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点矛盾，故&&&&它表明n即&&&&是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。&&&&应用，但不便于计算，而&&&&3.Hermite插值与Lagrange插值公式的构造与余项表达式有何异同？答：Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange插值余项表达式为&&&&，而Hermite插值余项在有条件的点看作重节点，多一个条&&&&件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余项中前面因子为即可得到Hermite插值余项。四、计算题1、设f?xx?5x?1,求差商&&&&73&&&&f2,2,f2,2,2,f2,2,?,2,f2,2,?,2012解：f2?7,f2?169,f2?16705，故,2?162,f2,2?,2?2702&&&&后面相因子&&&&改为&&&&根据差商的性质，得&&&&f2,2,?,2?&&&&,2,?,2?&&&&f?f&&&&7?&&&&7!&&&&?8?&&&&1&&&&8!&&&&0&&&&xi:1232&&&&2、求满足下列条件的埃尔米特插值多项式:yi&&&&y&&&&解：根据已知条件可求得&&&&2&&&&i&&&&1?1&&&&2&&&&?0?x?2x?1x?2?,?1?x2x?5x?10?x?x?1x?2?,?1?x?x?2x?1?&&&&22&&&&代入埃尔米特三次插值多项式公式&&&&7&&&&&&&&p3?xy0?0?xy1?1?xy0?0?xy0?1?x?&&&&=2?2x?1x?232x?5x?1?x?1x?2?x?2x?1?&&&&222&&&&2&&&&3、如有下列表函数:&&&&xi&&&&f?xi?&&&&03&&&&16&&&&211&&&&318&&&&427&&&&试计算此列表函数的差分表,并给出它的牛顿插值多项式及余项公式.解：查分表如下：&&&&xi&&&&01234&&&&fi&&&&&&&&2&&&&?fi&&&&3579&&&&?2fi&&&&?3fi&&&&?4fi&&&&111000&&&&N4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x+2x+3,0≤x≤14、给出lnx的函数表如下：&&&&xlnx&&&&0.40－0.916291&&&&0.50－0.693147&&&&0.60－0.510826&&&&0.70－0.356675&&&&试用线性插值和抛物插值求ln0.54的近似值。&&&&5．已知xF（x）-13112-1&&&&请依据上述数据求f(x)的2次Lagrange插值多项式。&&&&8&&&&&&&&解：记x01,x1?1,x2?2,则f(x0)?3,f(x1)?1,f(x2)1所以L2(x)?f(x0)?f(x2)?3?(x?x0)(x?x2)(x?x1)(x?x2)?f(x1)(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x0?x2)&&&&(x?x0)(x?x1)(x2?x0)(x2?x1)&&&&(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)?1?(?1?1)(?1?2)(1?1)(1?2)(x?1)(x?1)?(?1)?(2?1)(2?1)111?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)223&&&&6.用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式f(0)=1,f(1)=2,f(2)=9,f’(1)=3,并写出插值余项。解：根据Lagrange插值多项式和Newton插值多项式得出&&&&L2?xN2?x3x2?2x?1&&&&设待插值函数为：&&&&H3?xN2?xk?x?0x?1x?2?&&&&根据&&&&’H3?1f?13,得参数k?1,则&&&&H3?xx3?1.&&&&插值余项为：&&&&R3?xf?xH3?x&&&&7、已知&&&&f?&&&&4?&&&&4!&&&&?x&&&&?x?1x?2?&&&&2&&&&xi&&&&f(xi)&&&&12&&&&36&&&&45&&&&54&&&&P(x)，分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式3并求f(2)的近似值（保&&&&留四位小数）。&&&&L3(x)?2&&&&答案：&&&&(x?3)(x?4)(x?5)(x?1)(x?4)(x?5)?6(1?3)(1?4)(1?5)(3?1)(3?4)(3?5)&&&&?5&&&&(x?1)(x?3)(x?5)(x?1)(x?3)(x?4)?4(4?1)(4?3)(4?5)(5?1)(5?3)(5?4)&&&&差商表为&&&&9&&&&&&&&xi&&&&1345&&&&yi&&&&2654&&&&一阶均差&&&&二阶均差&&&&三阶均差&&&&2-1-1-10&&&&14&&&&1P3(x)?N3(x)?2?2(x?1)?(x?1)(x?3)?(x?1)(x?3)(x?4)4&&&&f(2)?P3(2)?5.5&&&&8、已知sinx区间[0.4，0.8]的函数表&&&&xiyi&&&&0.40.38942&&&&0.50.47943&&&&0.60.56464&&&&0.70.64422&&&&0.80.71736&&&&如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差&&&&|R2(x)|?M3|?3(x)||?(x)|尽量小，最靠近3!尽量小，即应使3&&&&插值点的三个节点满足上述要求。即取节点{0.5,0.6,0.7}最好，实际计算结果&&&&sin0.274，&&&&且&&&&sin0.274&&&&?1(0.)(0..6)(0.)3!&&&&?0.&&&&9、取节点并估计误差。&&&&x0?0,x1?0.5,x2?1,求函数f(x)?e?x在区间[0,1]上的二次插值多项式P2(x),&&&&解：&&&&P2(x)?e?0?&&&&(x?0)(x?0.5)(1?0)(1?0.5)&&&&(x?0.5)(x?1)?0.5(x?0)(x?1)?e?(0?0.5)(0?1)(0.5?0)(0.5?1)&&&&?e?1?&&&&?2(x?0.5)(x?1)?4e?0.5x(x?1)?2e?1x(x?0.5)&&&&又&&&&f(x)?e?x,f?(x)e?x,M3?max|f?(x)|?1&&&&x?[0,1]&&&&10&&&&&&&&|R2(x)|?|e?x?P2(x)|?&&&&故截断误差&&&&1|x(x?0.5)(x?1)|3!。&&&&10、已知f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f(1，5)的近似值，取五位小数。&&&&解：&&&&L2(x)?2?&&&&(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)?34?(?1?1)(?1?2)(1?1)(1?2)(2?1)(2?1)&&&&?&&&&234(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1))?L2(1.5)0.0416724&&&&11、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。用Newton插值方法：差分表：210.34783&&&&-0.&&&&115?10+0.-100)-0.(115-100)(115-121)&&&&=10.7227555&&&&f?x&&&&3?2x8&&&&5&&&&R&&&&f115?115?144?3!&&&&5&&&&??6?29?0.0016368&&&&12、(10分)已知下列函数表：&&&&x&&&&f(x)&&&&0&&&&1&&&&2&&&&3&&&&13927(1)写出相应的三次Lagrange插值多项式；(2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算f(1.5)的近似值。解：（1）&&&&L3(x)?&&&&(x?1)(x?2)(x?3)(x?0)(x?2)(x?3)(x?0)(x?1)(x?3)(x?0)(x?1)(x?2)?(0?1)(0?2)(0?3)(1?0)(1?2)(1?3)(2?0)(2?1)(2?3)(3?0)(3?1)(3?2)&&&&?&&&&438x?2x2?x?133&&&&11&&&&&&&&012&&&&（2）均差表：3&&&&13927&&&&2618&&&&26&&&&43&&&&N3(x)?1?2x?2x(x?1)?&&&&f(1.5)?N3(1.5)?5&&&&13、&&&&4x(x?1)(x?2)3&&&&已知y=f（x）的数据如下&&&&xf（x）&&&&01&&&&23&&&&32&&&&求二次插值多项式&&&&及f（2.5）&&&&解：&&&&14、设&&&&（1）试求&&&&在&&&&上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足H（x）以升幂形式给出。&&&&（2）写出余项&&&&的表达式&&&&解&&&&（1）&&&&（2）&&&&12&&&&&&&&第四章数值积分一、填空题1、求&&&&?&&&&2&&&&1&&&&x2dx，利用梯形公式的计算结果为&&&&2.5&&&&，利用辛卜生公式的计算结果为&&&&2.333。2．n次插值型求积公式至少具有n次代数精度，如果n为偶数，则有次代数精度。3．梯形公式具有1次代数精度，Simpson公式有3次代数精度。4.插值型求积公式5、计算积分?0.5&&&&1&&&&n+1&&&&?Af?x?f?x?的求积系数之和&&&&bk?0kka&&&&n&&&&b-a&&&&。&&&&,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3。6、已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求7、设f(1)=1，f(2)=2，f(3)=0，用三点式求f?(1)?(&&&&xdx&&&&?1&&&&5&&&&f(x)dx&&&&≈(&&&&12&&&&)。&&&&2.5)。&&&&?8、若用复化梯形公式计算&&&&个求积节点。&&&&10&&&&exdx&&&&，要求误差不超过10&&&&?6&&&&，利用余项公式估计，至少用&&&&477&&&&?9、数值积分公式&&&&?1&&&&3&&&&1&&&&?1&&&&2f(x)dx?[f(?1)?8f(0)?f?(1)]9的代数精度为&&&&2&&&&。&&&&10、已知f(1)?1.0,f(2)?1.2,f(3)?1.3，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得&&&&f(x)dx?_________&&&&答案：2.367，0.25&&&&,用三点式求得f?(1)?&&&&。&&&&10、&&&&数值微分中，已知等距节点的函数值&&&&，则由三点的求导公式，有&&&&11、&&&&对于n+1个节点的插值求积公式&&&&至少具有n次代数精度.&&&&二、单项选择题：1、等距二点求导公式f?(x1)?(A)。&&&&13&&&&&&&&(A)&&&&f(x1)?f(x0)x1?x0&&&&(B)&&&&f(x1)?f(x0)x0?x1&&&&(C)&&&&f(x0)?f(x1)x0?x1&&&&n&&&&(D)&&&&f(x1)?f(x0)x1?x0&&&&2、在牛顿-柯特斯求积公式：式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（A&&&&?&&&&b&&&&a&&&&f(x)dx?(b?a)?Ci(n)f(xi)&&&&i?0&&&&中，当系数i是负值时，公）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。&&&&C(n)&&&&（A）n?8，（B）n?7，（C）n?10，（D）n?6，三、问答题1.什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数？答：一个求积公式如果当为任意m次多项式时，求积公式精确成立，而当为次数大于m次多项式时，它不精确成立，则称此求积公式具有m次代数精确度。根据定义只要令代入求积公式两端，公式成立，得含待定参数的m+1个方程的方程组，这里m+1为待定参数个数，解此方程组则为所求。四、计算题1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.(1)解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。令代入公式两端并使其相等，得&&&&解此方程组得&&&&，于是有&&&&再令&&&&，得&&&&故求积公式具有3次代数精确度。&&&&（2）&&&&14&&&&&&&&（3）解：令代入公式精确成立，得&&&&解得&&&&，&&&&得求积公式&&&&对故求积公式具有2次代数精确度。2.求积公式&&&&?&&&&1&&&&0&&&&f(x)d?x0&&&&A(0?f)1&&&&A?(f10)&&&&，B已f(知0)其余项表达式为&&&&R(f)?kf(?),(0,1)，试确定系数A0,A1,B0，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出&&&&代数精度的次数及求积公式余项。&&&&15&&&&&&&&解：本题虽然用到了f(0)的值，仍用代数精度定义确定参数A0,A1,B0。令f(x)?1,x,x2,分别代入求积公式，令公式两端相?f(x)?1,A0?A1?1?A0?等，则得?f(x)?x,A1?B0?11?2,求得?A?f(x)?x2,A?1?B?130&&&&231316&&&&,则有&&&&?&&&&1&&&&0&&&&f(x)dx?&&&&23&&&&f(0)?&&&&131&&&&f(1)?&&&&16&&&&f(0)&&&&13&&&&再令f(x)?x3,此时?x3dx?14，而上式右端?&&&&0&&&&,两端不相等，故&&&&它的代数精度为2次。&&&&为求余项可将f(x)?x3代入求积公式&&&&?&&&&1&&&&0&&&&f(x)dx?&&&&23&&&&f(0)?&&&&1&&&&13&&&&f(1)?&&&&16&&&&f(0)?kf(?),(0,1)&&&&7.&&&&当f(x)?x3，f(x)?3x2,f(x)?6x,f(x)?6,代入上式得&&&&14&&&&?&&&&?&&&&0&&&&x3dx?&&&&172&&&&13&&&&?6k,即k&&&&172&&&&,&&&&所以余项R(f)&&&&3、根据下面给出的函数f(x)?计算I?&&&&f(?),(0,1)&&&&sinx的数据表，分别用复合梯形公式和复合辛甫生公式x&&&&?&&&&1&&&&0&&&&sinxdxx&&&&0.40.80.40.70.51..95885&&&&xkf(xk)xkf(xk)&&&&解&&&&0..&&&&用复合梯形公式,这里n=8,h?&&&&1?0.125,8&&&&?&&&&1&&&&0&&&&sinx0.125dx?{f(0)?2[f(0.125)?f(0.25)x2?f(0.375)?f(0.5)?f(0.625)?f(0.75)?f(0.875)]?f?1?}?0.&&&&用复合辛甫生公式:这里n=4,h?&&&&1?0.25.可得4&&&&?&&&&1&&&&0&&&&sinx0.25dx?{f(0)?4[f(0.125)?f(0.375)x6&&&&16&&&&&&&&?f(0.625)?f(0.875)]?2[f(0.25)?f(0.5)?f(0.75)]?f(1)}?0.&&&&?4、求A、B使求积公式&&&&11f(x)dx?A[f(?1)?f(1)]?B[f(?)?f()]?122的代数精度尽量高,&&&&1&&&&并求其代数精度；利用此公式求&&&&2&&&&I&&&&2&&&&1&&&&1dxx(保留四位小数)。&&&&答案：f(x)?1,x,x是精确成立，即&&&&?2A?2B?2?12?2A?B23?&&&&18A?,B?99得&&&&?求积公式为&&&&1811f(x)dx?[f(?1)?f(1)]?[f(?)?f()]?19922&&&&1&&&&2134f(x)?xf(x)?x当时，公式显然精确成立；当时，左=5，右=3。所以代数精度为3。&&&&?1&&&&2&&&&1t?2x?dxdt?[?]?[?]?1t?3x9?1?31?39?1/2?312?3?97?0.&&&&1x&&&&edx5、n=3,用复合梯形公式求?0的近似值（取四位小数）,并求误差估计。&&&&?e解：0&&&&1x&&&&dx?T3?&&&&1?00[e?2(e13?e23)?e1]?1.73422?3&&&&f(x)?ex,f(x)?ex，0?x?1时，|f(x)|?e&&&&|R|?|ex?T3|?&&&&ee0.2?3&&&&1&&&&至少有两位有效数字。&&&&e?xdx6、（15分）用n?8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算?0时，试用余项估计其误差。用n?8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。&&&&解：&&&&RT[f]&&&&b?a2111hf(?)2?e00.68&&&&17&&&&&&&&T(8)?&&&&7h[f(a)?2?f(xk)?f(b)]2k?1&&&&1[1?2?(0...?0.....6329434?&&&&7、（10分）已知数值积分公式为：&&&&?&&&&h&&&&0&&&&hf(x)dx?[f(0)?f(h)]h2[f(0)?f(h)]2，试确定积分公式中的参数?，使其代&&&&数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f(x)?1显然精确成立；&&&&f(x)?x时，?0&&&&h&&&&h2hxdx[0?h]h2[1?1]22；&&&&f(x)?x2时，?0&&&&h&&&&h3hh3122xdx[0?h]h[0?2h]2?h?32212；&&&&2&&&&f(x)?x3时，?0f(x)?x4时，?0&&&&h&&&&x3dx?x4dx?&&&&h4h1?[0?h3]?h2[0?3h2]4212；h5h1h5?[0?h4]?h2[0?4h3]?52126；&&&&h&&&&所以，其代数精确度为3。&&&&8、(10分)用复化Simpson公式计算积分&&&&I&&&&sin?x?dx?50x的近似值，要求误差限为0.5?10。&&&&1&&&&S1?&&&&?11f?04f?f?1?0.?f?4f?f?1?0.4&&&&1S2?S1?0.393?10-515&&&&f?x&&&&S2?&&&&I?S2?&&&&I?S2?0.&&&&或利用余项：&&&&sin?x?x2x4x6x8?1x3!5!7!9!&&&&f(4)?x&&&&1x2x457?2!9?4!&&&&f&&&&(4)&&&&f(4)?x&&&&15&&&&R&&&&5?b?a&&&&2880n&&&&4&&&&&&&&1?0.5?10?n，n?2，I?S2&&&&18&&&&&&&&?9、（9分）数值求积公式&&&&精度是多少？&&&&30&&&&3f(x)dx?[f(1)?f(2)]2是否为插值型求积公式？为什么？其代数&&&&x?2x?1p(x)f(1)f(2)f(x)1?22?1解：是。因为在基点1、2处的插值多项式为33?0p(x)dx?2[f(1)?f(2)]。其代数精度为1。&&&&10、(10分)取5个等距节点的近似值（保留4位小数）。解：5个点对应的函数值xi0&&&&1?01?2x2dx，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分&&&&2&&&&f(x)?&&&&11?2x2&&&&11.52&&&&0.5&&&&f(xi)&&&&10..111111----------------------------------------------------------（2分）(1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：&&&&T4?&&&&0.5[1?2?(0....?0.868687&&&&(2)复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：&&&&1S2?[1?4?(0..?0..?0.861953&&&&11、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：&&&&?&&&&10&&&&?1?xf?x?dx?A0f?A1f?12?&&&&取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：&&&&A0?A1?&&&&2&&&&111A0?A1?2，23&&&&A0?&&&&3&&&&11A1?3，6&&&&f(x)=x时，公式左右=1/4;f(x)=x时，公式左=1/5,公式右=5/24∴公式的代数精度=212、证明定积分近似计算的抛物线公式&&&&具有三次代数精度&&&&19&&&&&&&&证明：当&&&&=1时，&&&&公式左边：当=x时&&&&公式右边：&&&&左边=右边&&&&左边：当时&&&&右边：&&&&左边=右边&&&&左边：当时&&&&右边：&&&&左边=右边&&&&左边：&&&&右边：&&&&左边=右边&&&&当&&&&时左边：&&&&右边：&&&&故&&&&具有三次代数精度&&&&13、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式&&&&有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？&&&&20&&&&&&&&解&&&&，该数值求积公式具有5次代数精确度，&&&&第五章常微分方程一、填空题1、求解一阶常微分方程初值问题y?=f(x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为&&&&[0]?yn?1?yn?hf(xn,yn)?h?[0]yn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]?2?。[0]?yn?1?yn?hf(xn,yn)yf(x,y)h?[0]?yn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]?y(x)?y00?2?2、解初值问题的改进欧拉法是&&&&2&&&&阶方法。&&&&3、解初始值问题&&&&近似解的梯形公式是&&&&4、解常微分方程初值问题是二阶方法&&&&的梯形格式&&&&二、计算题&&&&?dy2x?x?y1.用改进欧拉方法计算初值问题?dxy(0)?0&&&&0?x?1，取步长h=0.1计算到y5。&&&&?~?yn?1?yn?hf(xn,yn)解：改进的欧拉公式?~h?yn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]2?&&&&代入f(x,y)?x?x?y,且xn?nh,有&&&&2&&&&h22yn?1?yn?[x2n?xn?yn?xn?1?xn?1?yn?h(xn?xn?yn)]2?yn?0.05?(1.9x2(n?0,.1,2,3,4)n?2.1xn-1.9yn?0.11)&&&&21&&&&&&&&xnyn&&&&0.1&&&&0.2&&&&0.3&&&&0.4&&&&0.5&&&&0.930.940.14500&&&&取步长h=0.1,计算到x=0.5，并与准相比较&&&&2.用梯形法解初值问题确解解：用梯形法求解公式，得&&&&解得&&&&精确解为&&&&?y?x?y,0?x?13．用改进的Euler法解初值问题?；取步长h=0.1计算y?0.5?，并与精?y?01,&&&&确解yx?1?2e相比较。(计算结果保留到小数点后4位)&&&&x&&&&解：改进的尤拉公式为：&&&&yn?1?yn?hf?xn,ynh?yn?1?ynf?xn,ynf?xn?1,yn?12?&&&&代入f?x,yx?y和xn?nh，有&&&&yn?1?yn?&&&&h2&&&&2?h?x2?h?y&&&&n&&&&n&&&&?h?&&&&?h2?2h?2?hh22y?nh?2nh2?n2?2&&&&.20.21..31..41.58491.79&&&&22&&&&代入数据，计算结果如下：nxnyny(xn）50.51.79&&&&&&&&03&&&&2&&&&28&&&&97&&&&36&&&&74&&&&4.设初值问题y?x?100y,y?00，a)由Euler方法、取步长h=0.1写出表示上述初值问题数值解的公式；b)由改进Euler方法、取步长h=0.1写出上述初值问题数值解的公式。解：a）根据Euler公式：yn?1?yn?hf?xn,yn?&&&&2yn?1?yn?hf?xn?100yn?&&&&yn?1?11yn?0.001n2&&&&3分&&&&?yn?1?yn?hf?xn,ynb）根据改进Euler公式：?hf?xn,ynfxn?1,yn?1?yn?1?yn2&&&&?&&&&?&&&&&&&&5分&&&&yn?1?yn?&&&&h22xn?100yn?xn?1?100yn?12h222=yn?xn?100yn?xn?1?100yn?h?xn?100yn?2h2=yn1200yn?12xn?0.2xn?0.01?2=61yn?0.006n2?0.001n?0.0005&&&&?&&&&?&&&&?&&&&?&&&&&&&&?y?x?y5.设初值问题y(0)?1&&&&x?0，&&&&a)写出由Euler方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；b)写出由改进Euler方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式。解：a）根据Euler公式：&&&&yn?1?yn?hf?xn,yn?&&&&yn?1?yn?n0.1(xn?yn)?0.9yn?0.1xn&&&&?yn?1?yn?hf?xn,ynb）根据改进Euler公式：?hf?xn,ynfxn?1,yn?1?yn?1?yn2&&&&?&&&&?&&&&&&&&23&&&&&&&&yn?1?yn?&&&&hxn?yn?xn?1?yn?12h=yn?xn?yn?xn?1yn?h?xn?yn2h=ynxn?yn?xn?h?yn?hxn?hyn?22h?2h?22h?h2h2=yn?xn?222=0.905yn?0.095xn?0.005&&&&?&&&&?&&&&?&&&&?&&&&6、用欧拉方法求&&&&y(x)e?tdt&&&&0&&&&x&&&&2&&&&在点x?0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值。解：&&&&y(x)e?tdt&&&&0&&&&2&&&&x&&&&2&&&&等价于&&&&ye?x?y(0)?0&&&&(x?0)&&&&2&&&&?xx?0,x1?0.5,x2?1.0,x3?1.5,x4?2.0.记f(x,y)?e,取h?0.5,0&&&&则由欧拉公式&&&&?yn?1?yn?hf(xn,yn)y0?0&&&&可得&&&&,&&&&n?0,1,2,3&&&&y(1.0)?y2?0.88940,&&&&y(0.5)?y1?0.5,&&&&y(1.5)?y3?1.07334,&&&&y(2.0)?y4?1.12604&&&&7、取步长h?0.2，用预估-校正法解常微分方程初值问题&&&&?y2x?3yy(0)?1&&&&(0?x?1)&&&&(0)yn?1?yn?0.2?(2xn?3yn)?(0)?y?yn?0.1?[(2xn?3yn)?(2xn?1?3yn?1)]答案：解：?n?1&&&&即&&&&yn?1?0.52xn?1.78yn?0.04&&&&n&&&&.640.851.0&&&&24&&&&xn&&&&&&&&yn&&&&1&&&&1.82&&&&5.8796&&&&10.7137&&&&19.4224&&&&35.0279&&&&?dy?f(x,y)?(c?x?d)?dx?y(x0)?y0a,b8、(10分)求参数，使得计算初值问题?的二步数值方法&&&&yn?1?yn?h[af(xb(f?xn,yn)?n1,?ny1)]&&&&的阶数尽量高，并给出局部截断误差的主项。解：&&&&y(xn?1)?y(xn)?hy?(xn)?&&&&h2h3y(xn)?y?(xn)?O(h4)2!3!h2y?(xn)?O(h4))2!&&&&yn?1?y(xn)?h(ay?(xn)?by?(xn?1))&&&&?y(xn)?ahy?(xn)?bh(y?(xn)?hy(xn)y(xn)?(a?b)hy?(xn)?bh2y(xn)?&&&&bh3hy?(xn)?O(h4))2&&&&?a?b?1311?b?a?,b?2，即22时，所以当?&&&&局部截断误差为&&&&yn?1?y(xn?1)?&&&&bh3y?(xn)?O(h4)?O(h3)2&&&&h3yn?1?y(xn?1)y?(xn)4局部截断误差的主项为，该方法为二阶方法。&&&&9、（15分）取步长h?0.1，求解初值问题?&&&&?yy?1?用改进的欧拉法求y(0.1)的值；y0?1&&&&(0)?yn?1?yn?hf(xn,yn)?0.9yn?0.1?h?(0)yn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]?0.905yn?0.095?2解：改进的欧拉法：?&&&&所以y(0.1)?y1?1；&&&&y?2x?y10、（10分）对于一阶微分方程初值问题?，取步长h?0.2，用Euler预报－校y0?1正法求y(0.2)的近似值。&&&&解：Euler预报－校正法&&&&(0)?yn?1?yn?0.2(2xn?yn)?0.4xn?0.8yn?(0)?yn?1?yn?0.1(2xn?yn?2xn?1?yn?1)?0.16xn?0.2xn?1?0.82yny(0.2)?y1?0.2?0.2?0.82?1?0.86&&&&hyn?1?yn?[?f(xn,yn)f(xn?1,yn?1)]211、（10分）用二步法求解一阶常微分方程初值?yf(x,y)?y(x0)?y0问题?，问：如何选择参数?,?的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出此时的局&&&&部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。&&&&25&&&&&&&&解：局部截断误差为&&&&hTn?1?y(xn?1)?y(xn)?[?f(xn,y(xn))f(xn?1,y(xn?1))]22hh3h?y(xn)?hy?(xn)?y(xn)?y?(xn)?O(h4)?y(xn)?[?y?(xn)y?(xn?1)]2!3!223hhh?y(xn)?hy?(xn)?y(xn)?y?(xn)?O(h4)?y(xn)y?(xn)2!3!22hh[y?(xn)?hy(xn)?y?(xn)?O(h3)]22!h2h3h3?h(1)y?(xn)?(1)y(xn)?()y?(xn)?O(h4)222!3!41?0?3?22?1因此有?1?0&&&&5h3y?(xn)局部截断误差主项为12，该方法是2阶的。&&&&?dy8?3y(x?0)?dx?y(0)?212、(10分)取步长h?0.2，求解初值问题?，用欧拉预报—校正法求&&&&y(0.2)的近似值。&&&&解：（1）欧拉预报-校正法：&&&&(0)?yn?1?yn?0.2(8?3yn)?1.6?0.4ynyn?1?yn?0.1(8?3yn?8?3(1.6?0.4yn))?1.12?0.58yn&&&&y(0.2)?y1?2.28&&&&13、(8分)已知常微分方程的初值问题：&&&&?dydx?xy,1?x?1.2y(1)?2&&&&.)的近似值，取步长h?0.2。用改进的Euler方法计算y(12&&&&k1?f?x0,y00.5，k2?f?x1,y0?hk11.1?2?0.2?0.50.5238095&&&&y1?y0?h?k1?k22?0.10.5?0.14292&&&&第六章方程求根一、填空题1、已知方程x?x?0.8?0在x0?1.5附近有一个根，构造如下两个迭代公式：&&&&32&&&&26&&&&&&&&2(1)xk?1?30.8?xk&&&&(2)xk?1?-0.8?x3k&&&&则用迭代公式(1)求方程的根收敛_，用迭代公式(2)求方程的根_发散_。2、设f?x?可微，求方程x?f?x?的根的牛顿迭代格式为&&&&xk?1?xk?&&&&xk?f?xk?1?f?xk?&&&&。&&&&3、&&&&xx?a?x2?5?,要是迭代法xk?1?xk?局部收敛到x*?5，&&&&1?a?05&&&&（2）MAXxL?1。a?x?b&&&&则&&&&a的取值范围是?&&&&4、迭代法的收敛条件是（1）&&&&5.写出立方根&&&&3&&&&xk3?1313的牛顿迭代公式xk?1?xk?3xk2&&&&3&&&&-3&&&&6．用二分法求解方程f(x)?x?x?1?0在[1，2]的近似根，准确到10，要达到此精度至少迭代9次。&&&&7、设f(x)可微,求方程x?f(x)的牛顿迭代格式是&&&&xn?1?xn?&&&&xn?f(xn)1?f?(xn)&&&&；&&&&b?an?18、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为2&&&&。&&&&39．用二分法求方程f(x)?x?x?1?0在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为&&&&0.5，1&&&&10、若用二分法求方程f?x0在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10次。11、如果用二分法求方程x?x?4?0在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分10次。&&&&3&&&&,进行两步后根的所在区间为&&&&0.5，0.75&&&&。&&&&12、求方程那么1.5&&&&的近似根，用迭代公式&&&&，取初始值&&&&，&&&&13、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有局部平方收敛&&&&14、迭代过程&&&&（k=1,2,…）收敛的充要条件是&&&&1&&&&二、单项选择题：1、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=?(x)，则f(x)=0的根是(&&&&B)。&&&&27&&&&&&&&(A)y=?(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=?(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=?(x)的交点2、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足(A),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。&&&&(A)f(x0)f(x)?0&&&&(B)f(x0)f?(x)?0&&&&(C)f(x0)f(x)?0&&&&(D)f(x0)f?(x)?0&&&&3、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。&&&&x2?&&&&(A)&&&&1,迭代公式:xk?1?x?1&&&&1xk?1&&&&x?1?&&&&(B)(C)&&&&11,迭代公式:xk?1?1?22xxk&&&&21/3x3?1?x2,迭代公式:xk?1?(1?xk)&&&&x3?1?x2,迭代公式:xk?1?1?&&&&(D)4、计算3的Newton迭代格式为(B&&&&2xk2xk?xk?1&&&&)&&&&xk3xxx323?xk?1?k?xk?1?k?xk?1?k?2xk；(B)22xk；(C)2xk；(D)3xk。(A)1?10?332[1,2]25、用二分法求方程x?4x?10?0在区间内的实根，要求误差限为，则对xk?1?&&&&分次数至少为((A)10；A)(B)12；(C)8；(D)9。)&&&&3x?2不收敛的是(C6、已知方程x?2x?5?0在x?2附近有根，下列迭代格式中在0&&&&k(A)k?1；(B)；(C)k?1三、问答题1.什么是不动点？如何构造收敛的不动点迭代函数？&&&&x&&&&?32x?5&&&&xk?1?2?&&&&5xk&&&&x&&&&?x?xk?5；(D)&&&&3k&&&&xk?1?&&&&2x?53x?2。&&&&3k2k&&&&答：将方程&&&&改写为&&&&若&&&&使&&&&则称点&&&&为不动点而&&&&就是不&&&&动点的迭代函数，迭代函数（1）&&&&可以有很多，但必须使构造的&&&&满足条件&&&&（2）MAXxL?1a?x?b&&&&若&&&&已知，且&&&&时也收敛，称为局部收敛。初始近似，当时为什么还不能断定迭代法&&&&28&&&&2.对于迭代法&&&&&&&&收敛？答：迭代法是否收敛一定要按收敛定理的条件判断，定理6.1是全局收敛性，需要在包含的区间上证明且才能说明由出是迭代法才可由收敛&&&&如果用局部收敛定理6.2，则要知道不动点为&&&&证明其收敛性，由&&&&还不能说明迭代法收敛。3.怎样判断迭代法收敛的快慢？一个迭代公式要达到P阶收敛需要什么条件？答：衡量迭代法快慢要看收敛阶P的大小，若序列收敛于，记为若存在&&&&及&&&&，使&&&&则称序列若而为&&&&为P阶收敛，P越大收敛越快，当P＝1，则越小，收敛越的不动点，P为大于1的整数，则此迭代公式为P阶收敛。在连续，且&&&&快。一个迭代公式&&&&4.方程敛？答：用曲线&&&&求根的Newton法是如何推出的？它在单根附近几阶收敛？在重根附近是几阶收&&&&在点&&&&上的切线&&&&的零点近似曲线零点得到&&&&就是Newton法，在单根附近2阶收敛，当&&&&为重根时是线性收敛。&&&&5、简述二分法的优缺点答：优点(a)计算简单，方法可靠；(b)对f(x)要求不高(只要连续即可)；(c)收敛性总能得到保证。缺点(a)无法求复根及偶重根;(b)收敛慢6、画图说明牛顿迭代公式的几何意义。&&&&xk?1?xk?&&&&f(xk)f?(xk)&&&&牛顿迭代公式就是切线与x轴交点的横坐标，所以牛顿法是用切线与x轴的交点的横坐标来近似代替曲线与x轴交点的横坐标。&&&&yo&&&&y?f(x)&&&&?xk,&&&&f(xk)?&&&&四、计算题1、用二分法求方程解&&&&的正根，使误差小于0.05.&&&&使用二分法先要确定有根区间&&&&。本题f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]&&&&x*&&&&xk?1&&&&xk&&&&x&&&&为有根区间。另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。用二分法计算各次迭代值如表。&&&&29&&&&&&&&其误差2.求方程迭代公式.在=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应&&&&(1)(2)&&&&，迭代公式,迭代公式&&&&..&&&&(3)&&&&，迭代公式&&&&.&&&&试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.&&&&解：（1）取区间&&&&且&&&&，在&&&&且&&&&，在&&&&中&&&&，则L1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。&&&&（2）&&&&，在&&&&中&&&&，且&&&&，在&&&&中有&&&&，故迭代收敛。&&&&（3）&&&&，在&&&&附近&&&&，故迭代法发散。，&&&&在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取则&&&&30&&&&&&&&3.给定函数数,迭代法解：由于迭代函数由递推有&&&&，设对一切x,&&&&存在，而且的根.&&&&.证明对&&&&的任意常&&&&均收敛于方程，，&&&&为单调增函数，故方程。令&&&&的根是唯一的（假定方程有根，则&&&&）。，&&&&，即4.用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字.(1)(2)解：（1）在=2附近的根.在=1附近的根.&&&&Newton迭代法取，则，取&&&&（2）令，则5.应用Newton法于方程解：方程的根为,求立方根，取的迭代公式，并讨论其收敛性.&&&&，用Newton迭代法&&&&此公式迭代函数法2阶收敛。&&&&，则&&&&，故迭代&&&&x6.用牛顿法求方程xe?1?0的根，x0?0.5，计算结果准确到四位有效数字。&&&&解：根据牛顿法得&&&&xk?1?xk?&&&&xk?e?xk1?xk&&&&31&&&&&&&&取,迭代结果如下表&&&&所以，方程的根约为0.56714&&&&xx(xn),n?0,1,2,?，讨论其收敛性，7、构造求解方程e?10x?2?0的根的迭代格式n?1&&&&并将根求出来，&&&&|xn?1?xn|?10?4。&&&&f(0)2?0,f(1)?10?e?0.&&&&x答案：解：令f(x)?e?10x?2,&&&&x)，故f(x)?0在(0,1)内有唯一实根.将方程且f?(x)?e?10?0对?x?(，&&&&f(x)?0变形为&&&&x?1(2?ex)10&&&&则当x?(0,1)时&&&&exe1?(x)|x|?1?(x)?(2?e)101010，&&&&故迭代格式&&&&xn?1?&&&&1(2?exn)10&&&&x?0.5，计算结果列表如下：收敛。取0&&&&n&&&&00.540.......&&&&xn&&&&n&&&&xn&&&&且满足&&&&|x7?x6|?0.?6.所以x*?0..&&&&8、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=1.7,计算x1,x2,x3的值，保留五位小数。&&&&2解：3是f(x)?x?3?0的正根，f?(x)?2x，牛顿迭代公式为&&&&32&&&&&&&&xn?1&&&&2xn?3?xn?2xn，即&&&&xn?1?&&&&xn3?22xn&&&&21.73205&&&&(n?0,1,2,?)&&&&取x0=1.7,列表如下：&&&&n&&&&xn&&&&11.73235&&&&3&&&&31.73205&&&&9、（15分）方程x?x?1?0在x?1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）&&&&11xn?1?1?xnx?3x?1对应迭代格式xn?1?3xn?1；(2)x对应迭代格式；（3）3x?x3?1对应迭代格式xn?1?xn?1。判断迭代格式在x0?1.5的收敛性，选一种收敛格式计算&&&&x?1?&&&&x?1.5附近的根，精确到小数点后第三位。&&&&解：（1）&&&&(x)?(x?1）3&&&&12x21?&&&&13&&&&?&&&&2&&&&，&&&&（1.5）?0.18?1&&&&，故收敛；&&&&(x)&&&&（2）&&&&?（3）?(x)?3x，&&&&2&&&&11.5）?0.17?1x，（，故收敛；2（1.5）?3?1.5?1&&&&，故发散。&&&&选择（1）：&&&&x0?1.5，x1?1.3572，x2?1.3309，x3?1.3259，x4?1.3249，x5?1.32476，x6?1.32472&&&&10、(6分)写出求方程4x?cos?x1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。&&&&解：：&&&&xn?1?xn&&&&1?1?cos?xn4，n=0,1,2,…&&&&x&&&&11、&&&&11sin?x?1x?[0,1],迭代公式都收敛。44∴对任意的初值0&&&&设的Newton迭代格式&&&&（1）写出解&&&&（2）证明此迭代格式是线性收敛的证明：（1）因，故，由Newton迭代公式：&&&&n=0,1,…&&&&33&&&&&&&&得&&&&，n=0,1,…&&&&（2）因迭代函数&&&&，而&&&&，&&&&又&&&&，则故此迭代格式是线性收敛的。第七章线性方程组的直接解法一、填空题1.&&&&?1?4?A?,51?&&&&则&&&&T&&&&=&&&&617&&&&,A的谱半径?，&&&&?A1?2&&&&，&&&&5.&&&&2.设x=（11&&&&051），则&&&&x1=&&&&x?=&&&&11&&&&x2?147.&&&&3.设数解：.&&&&计算A的行范数&&&&，列范数&&&&，F-范数&&&&，2范&&&&故&&&&?100?4.已知A024?,则A10-24?&&&&5．设x=（36．已知A-1&&&&T&&&&8&&&&,&&&&A2?42,A&&&&?&&&&?6。&&&&58），则x1=&&&&17&&&&，x?=&&&&8&&&&，x2=99。，则A&&&&?11?（A），则A的谱半径51?&&&&T1&&&&1?5&&&&?&&&&?&&&&6&&&&。&&&&7、x?(3,0,?4,12),则x&&&&T&&&&?19&&&&,x2?13&&&&17，x&&&&?&&&&,x&&&&=9&&&&?&&&&?12&&&&.&&&&8.设x=（19-52），则x1=9.A&&&&x2?111.&&&&?112?,x?3?.则A1?6,25?&&&&A&&&&?&&&&?7,Ax1?16,&&&&Ax&&&&?&&&&?11.&&&&34&&&&&&&&?321A?204?135分解为A?LU，则U?10、设矩阵&&&&?002?&&&&?6A?的A?LU，则U2?。11、设矩阵&&&&?54?A43?,则A12、设9。13、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为A的各阶顺序主子式均&&&&不为零。二、单项选择题：&&&&?3x1?x2?4x3?1?x1?2x2?9x3?04x?3x?x11231、用列主元消去法解线性方程组?，第1次消元，选择主元为(A)。&&&&(A)－4(B)3(C)4(D)－9三、问答题1.在什么情况下Gauss消去法会出现数值不稳定？如何克服？答：当消元过程中增广矩阵此时采用列主元消去法可克服这一问题。2．什么是矩阵答：A的条件数定义为时就认为A为病态矩阵，通常3.矩阵项的方程组？如答：A的顺序主子式而当则方程时存在唯一单位下三角阵L及上三角阵U，使A=LU，存在唯一解，此时等价于解于是由及的条件数？如何判断A是病态的或良态的？，这里为矩阵的任一种从属范数。当的元素很小时，Gauss消去法会出现数值不稳定，&&&&可认为A是良态的。&&&&满足什么条件才能使A的LU分解存在唯一？如何利用A=LU分解求解不同右端&&&&可求得Ax=b的解x,同样解Ly＝c及Ux=y和Ly=d,Ux=y则分别得到不同右端项的方程解。四、计算题1.用Gauss消去法求解下列方程组.&&&&35&&&&&&&&解&&&&本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。&&&&故&&&&?12x1?3x2?3x3?15?2.用列主元消去法求解方程组18x1?3x2?x315并求出系数矩阵A的行列式detA的值.?x?x?x?6?123&&&&解：先选列主元，2行与1行交换得&&&&消元&&&&3行与2行交换&&&&?183?7消元?0?600?&&&&1??226677?&&&&回代得解&&&&36&&&&&&&&行列式得&&&&3.用Doolittle分解法求习题1(1)方程组的解.解：由矩阵乘法得&&&&再由&&&&求得&&&&由&&&&解得&&&&?126?4.将矩阵A分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵U，其中A2515?，然后求解该?615462?方程组Ax3?。（9分）?4?&&&&答案：&&&&?24?求解Ly?b得y?1?；求解Ux?y得方程的解为：x14?5?5?&&&&5.用直接三角分解（Doolittle）法解方程组（不选主元）&&&&37&&&&&&&&?14x372??5?&&&&解：&&&&?y?14952T?,UL?3T43212&&&&6.设解：即，另一方面，证明&&&&故7．设，证明：x&&&&?&&&&?x1?nx?。&&&&证明：由定义可知：&&&&x&&&&?&&&&?maxxi?x1?x2?xn?x1?nmaxxi?nx&&&&1?i?n1?i?n&&&&?&&&&从而&&&&x&&&&?&&&&?x1?nx&&&&?&&&&由此可以看到x1可由x&&&&?&&&&控制。&&&&?321?8.将矩阵A分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵U，其中A221?，111&&&&?4?Ax?3.5然后求解该方程组。?2?&&&&38&&&&&&&&1132解：A?L?U2/312/31/3?，?1/21/31/211y.5?,得Y5/6?2?先求解1/31/21y32?1/41x/31/3x?5/6?，得X＝?1?2?再解1/2x1/4?31/2&&&&?4?10?9、A14?1，则A的（Doolittle）LU分解为A?0?14?&&&&答案：&&&&&&&&。?&&&&014?1?A?141?1?154?0?&&&&?x1?2x2?3x3?14?10、用直接三角分解（Doolittle）法解方程组?2x1?5x2?2x3?18。?3x?x?5x?203?12&&&&3112?A?LU?211?4?3?51?24答案：解：&&&&TT令Ly?b得y?(14,?10,?72)，Ux?y得x?(1,2,3).&&&&11、用列主元素消元法求解方程组&&&&?1?11x1?45?43x122?211x311。&&&&解：&&&&?1?11?45?43?12r?5?43?12r1?21?11?4?&&&&39&&&&&&&&?5?1r2?r1?502r3?r105?5?1r3?r2?13?0?0&&&&回代得&&&&?4?15135&&&&13&&&&12?58?r2?r3?95?513&&&&?41351?5&&&&3?1525&&&&12?795?8?5?&&&&?4135&&&&x31,x2?6,x1?3。&&&&12、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：&&&&?x1?4x2?2x3?243x1?x2?5x3?34?2x?6x?x?2723?1&&&&3...03..-2.&&&&3..00.-2...&&&&x2.0,5.0000?&&&&第八章线性方程组的迭代法一、填空题&&&&T&&&&1、用Gauss-Seidel迭代法解方程组?&&&&?x1?ax2?4，其中a为实数，方法收敛的充要条件?2ax1?x23&&&&是a满足&&&&?22?a?。22&&&&(k?1)(k)(1?5x2)/3?x1?(k?1)(k?1)?x1/20，该迭代格?x2&&&&?3x1?5x2?1?0.2x1?4x2?02、求解方程组?的高斯—塞德尔迭代格式为&&&&1式的迭代矩阵的谱半径?(M)=12。&&&&40&&&&&&&&?x1?1.6x2?10.4x1?x2?23、写出求解方程组?的Gauss-Seidel迭代分量形式?k?1kx1?1?1.6x2?0?1.6k?1k?1?,k?0,1,0?0.64?x2?2?0.4x1?，此迭代法是否收敛收敛。，迭代矩阵为?&&&&4、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都__收敛.&&&&5、&&&&高斯--塞尔德迭代法解线性方程组&&&&的迭代格式中求&&&&6、若&&&&则矩阵A的谱半径&&&&(A)=1&&&&7、&&&&，则A的谱半径&&&&＝6&&&&，A的&&&&＝6&&&&二、单项选择题：1、Jacobi迭代法解方程组Ax?b的必要条件是（CA．A的各阶顺序主子式不为零C．）。&&&&B．?(A)?1D．&&&&aii?0,i?1,2,?,n&&&&A?1&&&&?22?3A?051?00?7，则?(A)为(2、设&&&&A．2B．5C．73、解方程组Ax?b的简单迭代格式x（A）?(A)?1,三、问答题&&&&C)．D．3&&&&(k?1)&&&&?Bx&&&&(B)?(B)?1,&&&&?g收敛的充要条件是（B(C)?(A)?1,(D)?(B)?1&&&&(k)&&&&）。&&&&41&&&&&&&&1.迭代法不收敛？用什么表示迭代法的收敛速度？答：迭代法收敛的充要条件是能说明迭代法不收敛。反之三、计算题：1.方程组&&&&收敛的充要条件是什么？如果&&&&能否说明迭代法&&&&，当则迭代法收敛。&&&&时因&&&&不一定能使&&&&，故不&&&&(1)写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以为止.（1）J法得迭代公式是&&&&计算到&&&&取&&&&，迭代到18次有&&&&GS迭代法计算公式为&&&&取&&&&42&&&&&&&&2.设方程组&&&&证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散.&&&&解：Jacobi迭代为其迭代矩阵&&&&，谱半径为&&&&，而Gauss-Seide迭代法为&&&&其迭代矩阵&&&&，其谱半径为由于，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。&&&&3.下列方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛?&&&&解：Jacobi法的迭代矩阵是&&&&即GS法的迭代矩阵为&&&&，故&&&&，J法收敛、&&&&43&&&&&&&&故&&&&，解此方程组的GS法不收敛。&&&&4、设必要条件.解J法迭代矩阵为&&&&，detA≠0，用,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分&&&&，故J法收敛的充要条件是&&&&。GS法迭代矩阵为&&&&由&&&&得GS法收敛得充要条件是&&&&44&&&&&&&&?43024?5.已知方程组AX?B,其中A?34?1,B?30，0?14?24&&&&（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径答案：（1）分量形式，J法为&&&&GS法为&&&&（2）&&&&?1a0?6.实数a?0，考察矩阵A?a1a，试就方程组Ax?b建立Jacobi迭代法和0a1&&&&Gauss-Seidel迭代法的计算公式。讨论a取何值时迭代收敛。解：当实数a?0时Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为&&&&?0?a00?a2BJ?a0?a?,BG?0a3?0?a0?0?a&&&&0aa2&&&&2a,?32a，则BJ2a，&&&&?1?0,?2?由detI?BJ0，求得BJ的特征值为：&&&&当?&&&&22?a?时，Jacobi迭代法收敛；22&&&&2由detI?BG0，求得BJ的特征值为：?12?0,?3?2a，则BG2a，当&&&&2&&&&?&&&&22?a?时，Gauss-Seidel迭代法收敛；22&&&&?4x1?2x2?x3?11x1?4x2?2x3?18?2x?x?5x?22(0)T237．用高斯-塞德尔方法解方程组?1，取x?(0,0,0)，迭代四次(要求&&&&按五位有效数字计算)。答案：迭代格式&&&&45&&&&&&&&?(k?1)1(k)(k)?(11?2x2?x3)?x14(k?1)1(k)?(18?x1(k?1)?2x3)?x24(k?1)1(k?1)?(22?2x1(k?1)?x2)?x35?&&&&k&&&&01234&&&&x1(k)&&&&02..20&&&&(k)x2&&&&(k)x3&&&&03..&&&&02..&&&&?3x1?2x2?10x3?x2?x3?5?2x?10x?4x?8238、对方程组?1&&&&（1）（2）试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；&&&&(0)T取初值x?(0,0,0)，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求&&&&||x(k?1)?x(k)||10?3。&&&&解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优&&&&?10x1?4x2?x3?52x1?10x2?4x3?8?3x?2x?10x?1523?1&&&&故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为&&&&?(k?1)1(k)(k)?(4x2?x3?5)?x110(k?1)1(k?1)(k)?(?2x1?4x3?8)?x210(k?1)1(k?1)(k?1)x3?(?3x1?2x2?15)?10?&&&&取x&&&&(0)&&&&?(0,0,0)T,经7步迭代可得：&&&&x*?x(7)?(0...000010)T.&&&&?301x151?31x2?11?14x?83?=，&&&&46&&&&9、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组&&&&&&&&取x=(0,0,0),列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格式为：&&&&(0)&&&&T&&&&?(k?1)1(k)?(?x3?5)?x13?1?(k?1)(k?1)(k)(?x1?x3?1)?x23(k?1)1(k?1)(k?1)x3?(?x1?x2?8)?4?&&&&??14?严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.系数矩阵?&&&&取x=(0,0,0)，列表计算如下:&&&&(0)T&&&&k&&&&123&&&&(k)x1&&&&(k)x2&&&&(k)x3&&&&1.1&&&&0.9&&&&-2.195-2.383-2.526&&&&10、（8分）已知方程组AX?f，其中&&&&??f?30?14，24&&&&（1）（2）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。&&&&1?(k?1)(k)?(24?3x2)?x14?1(k?1)(k)?x2?(30?3x1(k)?x3)?4?1(k?1)(k)?(?24?x2)?x34?k?0,1,2,3,?解：Jacobi迭代法：?&&&&1?(k)x1(k?1)?(24?3x2)?4?1(k?1)(k)?x2?(30?3x1(k?1)?x3)?4?1(k?1)(k?1)?(?24?x2)?x34?k?0,1,2,3,?Gauss-Seidel迭代法：?&&&&?0?34?BJD?1(L?U)?30?430?4?&&&&03?4?0&&&&，&&&&10?(BJ)?58(或)?0.7905694&&&&47&&&&&&&&11、(10分)已知方程组Ax?b，其中&&&&??b?1112，?1&&&&(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。解：（1）Jacobi迭代法：&&&&(k)(k)?x1(k?1)?(1?x2?x3)/2?(k?1)(k)(k)?x2?(1?x1?x3)/2?x(k?1)?(1?x(k)?x(k))/212?3&&&&0?1?1B?D(L?U)?21?2?Jacobi迭代矩阵：&&&&收敛性不能确定（2）Gauss-Seidel迭代法：&&&&(k)(k)?x1(k?1)?(1?x2?x3)/2?(k?1)(k?1)(k)?x2?(1?x1?x3)/2?x(k?1)?(1?x(k?1)?x(k?1))/212?3&&&&12012&&&&1?21?20?&&&&?(B)?1&&&&102?1?1G?(D?L)U04?1?08?Gauss-Seidel迭代矩阵：&&&&1?21?218&&&&?(B)?&&&&?5?7i?16&&&&1?18&&&&该迭代法收敛&&&&?12?21?12、（15分）已知方程组Ax?b，其中A?111,b?2，?221?3&&&&（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；（2）判断两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；解：（1）Jacobi迭代法的分量形式&&&&(k)(k)?x1(k?1)?1?2x2?2x3?(k?1)(k)(k)?x2?2?x1?x3;k?0,1,2,x(k?1)?3?2x(k)?2x(k)12?3&&&&48&&&&&&&&Gauss-Seidel迭代法的分量形式&&&&(k)(k)?x1(k?1)?1?2x2?2x3?(k?1)(k?1)(k);k?0,1,2,x2?2?x1?x3?x(k?1)?3?2x(k?1)?2x(k?1)12?3&&&&（2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为&&&&?0?22B?D(L?U)10?12?20，?123?0，?(B)?0?1，Jacobi迭代法收敛&&&&?1&&&&Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为&&&&?0?22G?(D?L)U?02?3200?，?1?0,?23?2，?(B)?2?1，Gauss-Seidel迭代法发散&&&&?1&&&&第九章特征值与特征向量&&&&一、计算题&&&&?101?A?11的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，1.用幂法求矩阵&&&&迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值为?1,0?。&&&&T&&&&?0.9950?u?10?v1?1?u1?Av0?0.)u,v10.00u12,110解：①,?0.9941?u?10.05?v2?2u2?Av1?0.?(2)u,v10.108u，2221②,1,&&&&(1)(2)?11?0.11?0.05&&&&u?0.?v3?3?u3?Av2?0.(3)u,v10.110u，32,132③,&&&&(2)(3)?11?0.002?0.05&&&&?0..1090∴?1?10.11，&&&&49&&&&&&&&50&&&&&&&&}