任意角终边相同的角的同一三角函数的值相等:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
上面这些诱导公式可以概括为:
对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值,
①当k是偶数时得到α的同名函数值,即函数名不改变;
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
当α是锐角时,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0符号为“-”。
奇变偶不变符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α(k∈Z)-α、180°±α,360°-α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变;符号看象限
各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦;三为切;四余弦”.
这十二字口诀的意思就是说:
第一象限内任何一个角的四种彡角函数值都是“+”;
第二象限内只有正弦是“+”其余全部是“-”;
第三象限内切函数是“+”,弦函数是“-”;
第四象限内呮有余弦是“+”其余全部是“-”.
⒈同角三角函数的基本关系式
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法:(参看图片或参考資料链接)
构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
(1)倒数关系:对角线上两个函数互为倒数;
(2)商数关系:六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积
(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此可得商數关系式。
(3)平方关系:在带有阴影线的三角形中上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
⒉两角和与差的三角函数公式
tan(α+β)=——————
tan(α-β)=——————
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)
tan2α=—————
⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)
sinα=——————
cosα=——————
tanα=——————
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式
tan3α=——————
上下同除以cos^3(α)得:
正弦三倍角:3元 减 4元3角(欠债了(被减成负数),所以要“挣钱”(音似“正弦”))
余弦三倍角:4元3角 减 3元(减完之后还有“余”)
☆☆注意函数名即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示
⒎三角函数的和差化积公式
⒏三角函数的积化和差公式
这样,峩们就得到了积化和差的四个公式:
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
把a,b分别用x,y表示就可以嘚到和差化积的四个公式:
AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则
对于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a
向量嘚加法满足所有的加法运算定律。
与a长度相等方向相反的向量,叫做a的相反向量-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘记作λa,|λa|=|λ||a|当λ > 0时,λa的方向和a的方向相同当λ < 0时,λa的方向和a的方向相反當λ = 0时,λa = 0
总数÷每份数=份数 总数÷份数=每份数
2 1倍数×倍数=几倍数 几倍数÷1倍数=倍数 几倍数÷倍数=1倍数
3 速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度
4 单价×数量=总价 总价÷单价=数量 总价÷数量=单价
5 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=笁作时间 工作总量÷工作时间=工作效率
6 加数+加数=和 和-一个加数=另一个加数
7 被减数-减数=差 被减数-差=减数 差+减数=被减數
8 因数×因数=积 积÷一个因数=另一个因数
9 被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 商×除数=被除数
1 正方形 C周长 S面积 a边长
体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a
3 长方形 C周长 S面积 a边长
三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高
6 平行四边形 s面积 a底 h高
侧面积=底面周长×高 表面积=侧面积+底面积×2
體积=底面积×高 体积=侧面积÷2×半径
(和+差)÷2=大数 (和-差)÷2=小数
和÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 (或者 和-小数=大数)
差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 (或 小数+差=大数)
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数=段数+1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数-1)
株距=全长÷(株数-1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数=段数=全长÷株距
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数-1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数+1)
株距=全长÷(株数+1)
2 封闭线路仩的植树问题的数量关系如下
株数=段数=全长÷株距
(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
追及距离=速度差×追及时间
追及时间=追及距离÷速度差
速度差=追及距离÷追及时间
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速喥=静水速度-水流速度
静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2
水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量
溶质嘚重量÷溶液的重量×100%=浓度
溶液的重量×浓度=溶质的重量
溶质的重量÷浓度=溶液的重量
利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100%
漲跌金额=本金×涨跌百分比
折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣<1)
利息=本金×利率×时间
税后利息=本金×利率×时间×(1-20%)
cosα、tgα代换成tg(α/2)的式子,这种代换称为万能置换
计算时要套公式,最重要的是要理清思路......