一道神题，大概程伟数学大神简历一类
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时间：2018-06-25 21:39
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一道神题引吐槽 这种数学题到底适不适合孩子？
浙江在线05月28日讯
事关孩子，哪怕只是一道数学题，也能引起很大的关注。
昨天本报A4版小新闻刊登了《小学二年级的数学题，做得网友&想撞墙&》一文，被各官方微博和网友转载，迅速走红。大家关注它的原因，不仅在于好多成年人费半天神也没做出答案，更在于题目引来的思考和共鸣&&
小学二年级的题目要不要这么难？这样的难度，七八岁的孩子有没有必要掌握？如此坑爹的题目，还有多少？
对这个话题，家长有什么话想说，欢迎告诉热线96068，或者关注新浪微博@钱江晚报。
这是一道训练思维附加题
但是好多成年人解不出来
很多做了题目的网友纷纷跟帖表示：这真的是小学二年级的数学题吗？大人都做不出，太难了吧！
读者和网友对这事的态度，大致分三种：有人自惭形秽，感叹自己智商不及小学生；有人大呼题目太难的同时发问，难度是不是并不适合这个年龄段的孩子；也有人不屑一顾，觉得这题目没什么意义。
余杭临平二小二年级数学老师钟国珍说：&这三组数字的规律是，(第二组+第三组)/第一组=8，题目答案不唯一，学习有富裕能力的孩子是可能做出来的。&
钟老师说：&这种附加题每张数学试卷上都有，不是一定要做的。这类题也不是奥数题，奥数题难度比它大。这是一道思维训练题，有部分孩子对思维训练题感兴趣，还有专门的兴趣班可以上。二年级平均每个班有五六个孩子能解出来这样的题。&
家长吐槽：
小学生考试，坑爹题目不少
更多家长则表示感同身受，大家都觉得小学生作业或考试中，类似这样的&坑爹题目&还不少。
网友@小兔妖说：我儿子也是小学2年级，也说&找规律&很不好做！
网友@马吉妈妈说：女儿有道题：四个人过桥，由于天比较黑，所以过桥必须借助他们唯一的一个手电筒，桥比较小，每次只能过两个人，已知A过桥的时间是1分钟，B过桥的时间是2分钟，C5分钟，D10分钟，求四人过桥的最短时间？
也有网友曾发过类似牢骚：儿子一年级时有道题，14人划船过河，小船可载2人，问几次能过完？儿子答13次，老师说是7次，儿子追着老师问&那船谁划回来的&。
思维训练到底是个什么题
适不适合用来考小孩子
思维训练是一种头脑智能开发和训练技术。
这类题目有解答技巧，掌握方法后就能举一反三。目前，思维训练已形成诸多流派，除了在教育领域被应用于婴幼儿早教、中小学生思维技能素质提升外，在MBA考试、公务员考试中也有思维训练测试题，世界著名公司的招聘面试中，思维能力训练题目更是必考内容，还被引进到企业培训领域等
不过，对小学课程中出现思维训练题、奥数题，著名数学家丘成桐多年前就曾质疑，他认为，这种题型应依个人兴趣选择学习，不能成为应试教育模式。
国内一位专门从事思维训练的业内人士说：思维训练题和数学题并不一样，这类题目的解题思维是可以训练的。
昨天很多读者列举过来的小学数学难题，大部分让人哭笑不得的题目，都属于思维训练题。
那些让家长们
哭笑不得的神题
昨天，微博&央视新闻V&也发了小学升初中神题，题面都是数字，但答案都是一句成语(具体见下)。我们也把网友@给我们的一些题目进行了整理，看看你能做出几道？
根据数字答成语&&
1、20/3
2、1/100
3、9寸+1寸=一尺
5、1、3、5、7、9
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浙江即时报&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&
还是太naive了。我要是宇宙设计者，我就把信息藏在蔡廷常数里，这才是对人类最大的嘲讽。&/p&&p&蔡廷常数，其含义是找随机生成一段程序，这段程序不会陷入死循环的概率。可以证明这是一个确定存在的无理数，但是同样可以证明它是不可以被计算出来的。&/p&&p&实际上，能被计算出来的实数的集合是可数无穷的，所以说不能被计算出来的实数是可以计算出来的实数的无穷多倍。像 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 这种能计算出其中任意一位的实数是少之又少的。&/p&&p&而蔡廷常数属于不可被计算的实数中特殊的一类数，它不仅不能计算，而且除了知道它小于1大于0以外，就连它在小数点后任意一位，包括第一位，都是可以从理论上证明是无法计算出来的【注：此处不严谨，文末有说明】。&/p&&p&但是呢，这个数又被证明是确实存在的一个常数。所以，我，造物主，把宇宙的秘密藏在这个数里面，我明确的告诉你们人类这一点，而你们却无可奈何。&/p&&p&当然，碰巧我现在心情很好，所以我大发慈悲的告诉你们，我写在蔡廷常数里面的那句话就是：你们都是虫子&/p&&p&&br&&/p&&p&————————————————————————————————————————&/p&&p&&br&&/p&&p&ps：
&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&
是否是正规数，和它是否被编码了没有关系啊&/p&&p&&br&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&&b&的特殊性：&/b& &/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 是个特殊的数，不仅在于其是周长与直径之比，如果这么定义的话，在一些非欧几何中，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 都不是常量，现在数学中使用的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 的定义也已经脱离了其几何含义，而将其视为微分方程中的一个常量（回想下欧拉的那个上帝公式）&/p&&p&&br&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&&b& 编码的可能性： &/b&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&&b&是不是高票答案提到的正规数，和&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&&b&是否被特殊编码了没有关系&/b&，即使知道它是正规数，但是小说中提到的小数点后10^60 位突然出现大段的规律性编码（假设有的话），绝对是异常中的异常，因为一段长度为1000的异常编码，其期望出现的位置也应该在10^1000位之后，是穷尽整个宇宙的能量都算不出来的。&/p&&p&&b&（但是！但是！因为&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&&b& 是一个纯粹数学推理出来的产物，要能对&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&&b&编码，说明造物主能够任意控制这个世界的逻辑本身！这是多么难以想象的存在！）&/b&&/p&&p&&b&—————————————————————————————————————&/b&&/p&&p&&b&更新3：&/b&&/p&&p&这是第三次更新，因为看到评论区的留言，发现大家对蔡廷常数比较感兴趣，因此趁着端午佳节，来介绍一下为什么会存在不可计算的实数、蔡廷常数的历史渊源以及其重要意义。当然，这个内容就是纯粹的偏题了，若是你恰好有活动一下脑细胞的闲情雅致，则不妨慢慢看下去：&/p&&p&在ZFC公理体系下，实数可以分为以下几类：&/p&&ol&&li&存在但是不能被准确描述和定义的&/li&&li&能被准确的描述和定义，但是不能被计算出来的&/li&&li&能被计算出来的&/li&&/ol&&p&其中第1类的数量是后两类的无穷多倍。蔡廷常数属于第2类。 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 属于第3类。&/p&&p&希尔伯特在听说上面这个结论的时候，一定会回想起他在1900年向世界所有数学家提出直击数学家灵魂的希尔伯特23问的那个遥远的下午。&/p&&p&在工业革命之后，自然科学飞速发展，当物理学家高兴的宣布物理大厦已经建成，除了两朵乌云外晴空万里之时，数学家的世界则愁云惨淡：那些令人束手无策的难题不仅没变少，反而越来越多。当此之时，希尔伯特向全世界数学家提出了当时尚未解决但是他认为非常重要的23个问题：&/p&&p&其中第二个问题就是：证明算术公理的自洽性（consistency）。所谓自洽性，即一个公理体系内不应该存在矛盾，即不能存在一个命题，既能被证明又能被证伪。&/p&&p&第十个问题是：找到一个通用的算法，能解决所有的丢番图问题。&/p&&p&可以看出，虽然面临许多难题，当时的数学家还是天真的相信，一切的问题都是可以解决的，只是我们目前太弱而已。只要我们足够努力，在严格的定义和推导之下（公理化体系的建立，）我们终将可以提出一个完美的公理体系。而更乐观的数学家则相信，可以找到一个通用的算法，所有的命题都可以用这个算法来一步步的证明和证伪。&/p&&p&可惜这个美好愿景只是海市蜃楼，30年后，哥德尔提出了其不完备性理论打碎了数学家们的美梦：&/p&&ol&&li&任何一个复杂到包含了算数公理（即自然数）的公理体系，如果它是自洽的，则必然不是完备的，即必然存在一些命题，在此公理体系内部既不能被证明，又不能被证伪。&/li&&li&任何一个复杂到包含了算数公理（即自然数）的公理体系，其自洽性不能在该公理体系内部证明&/li&&/ol&&p&同时图灵也提出了通用的计算模型——现代计算机的理论基础——图灵机。图灵机上有一个很重要的问题是停机问题，因为很多数学定理的证明可以归约为停机问题。&/p&&p&那什么是停机问题呢？停机问题是说，是否存在一个算法，对于任意一个给定的程序和输入，该算法可以判断这个程序对于这个输入的运行是否会在有限时间内终止。通俗的说就是，你在电脑上运行一个程序，然后去判断这个程序会不会陷入死循环永远停不下来。&/p&&p&假如我们找到了解决停机问题的方法，那么几乎所有的数学问题都可以用这个方法求解了。也就是说，这些数学问题都可以归约到停机问题上。举个例子，著名的哥德巴赫猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。我们可以构造一个程序，这个程序会从小到大的依次对每个偶数去计算它是否可以写成两个质数的和，如果不可以，则程序退出，如果可以，则继续去枚举下一个偶数。显然，哥德巴赫猜想成立当且仅当这个程序永远不会停止。&/p&&p&很可惜的是，图灵证明了，停机问题是不可计算的。停机问题的不可计算性存在一个很容易看懂的不很严谨的版本，在此简要证明如下（当然你也可以先跳过这个部分，因为虽然简单，不需要任何专业知识也能看懂，但是运气不好的话在这里卡上一个小时也是不出人意料的）：&/p&&p&用矛盾法证明：&/p&&p&假设存在一个程序 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=H%28f%29& alt=&H(f)& eeimg=&1&& 可以对于任何一个程序 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 判断其能否停机。那么我可以构造一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& ，将程序 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=H& alt=&H& eeimg=&1&& 作为程序 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 的子程序调用：&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-text&&如果H(f)返回的结果是停机：
进入死循环，永远不停机
&/code&&/pre&&/div&&p&可以看到，此时无论程序 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=H%28f%29& alt=&H(f)& eeimg=&1&&的返回结果是停机还是不停机，都会导致矛盾。所以不存在能解决停机问题的通用程序。&/p&&p&证毕&/p&&p&&i&&b&如果你跳过了上述证明，你可以从这里开始看起：&/b&&/i&&/p&&p&实际上，可以进一步证明，不可计算的问题是可计算问题的无穷多倍。&/p&&p&不过需要特别说明的是，这里说的不可计算和我们通常理解的不可计算不是一个概念，可以说，这里讨论的不可计算比我们理解的不可计算“更加”不可计算。举个例子：&/p&&p&我们定义一个自然数X等于哥德巴赫猜想的真值，也就是说，如果哥德巴赫猜想为真，则X等于1，如果为假则X等于0。你可能会认为，如果能证明哥德巴赫猜想属于上面提到的既不能被证明也不能被证伪的命题，那么X就是不能被计算的了。这个想法是不对的。这里讨论的可计算性是，存在一个图灵机（或者说存在一个算法），能输出X的值，那么X就是可以计算的。显然，存在一个可以输出0的图灵机，同时存在一个可以输出1的图灵机，所以X必定可以被其中1个图灵机计算，只是我们不知道具体是哪个图灵机而已。&/p&&p&而我们所要讨论的不可计算的实数，则是说，不存在任何一个已知或未知的图灵机（或者说算法），能输出它的值。&/p&&p&ok，如果你一路辛勤的阅读至此，那么恭喜你，你已经完成了理解蔡廷的常数所需要的铺垫了，在此基础上，我们来看一个蔡廷常数的简单版例子：&/p&&p&首先，我们来把所有程序依次编号为1,2,3,4...，然后我们来定义一个实数X如下：X是一个大于0小于1的实数，用二进制表示，其小数点第i位等于1仅当第i个程序能在有限步内停机，否则等于0。&/p&&p&这也就是说，X的小数点后第i位的数字，对应了第i个停机问题的答案。用柯西序列可以证明这个实数是良定义的。如果我们能计算出X的值，那么数学的天空就会一片晴朗，因为非常多的数学问题都可以像上述的哥德巴赫猜想问题一样归约为某一个停机问题，面临这样的问题时，我们只需要查一下X的值就可以找到答案。X这个数字是如此神奇，以至于我怀疑当年Borel提出这个数字时他自己也在怀疑其可计算性吧。当然后来的事情我们都知道了，图灵证明了不存在一个算法能解决所有停机问题，而能计算出这个数字就等于能解决了所有停机问题，所以可以反证出不存在一个算法能计算出这个数字。&/p&&p&在计算理论里面，有一个衡量一个数字的信息量的指标叫做Kolmogorove Complexity，其含义是算出这个数字所需要的最短的程序（或者说算法）的长度。很显然，所有的有理数的信息量都是有限的，所有的代数无理数的信息量也是有限的，而对于超越数来说，存在像 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 这样的数字，其信息量也是很少的，因为可以用一个很短的程序就可以做到输出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 的任意一位。但是，大多数超越数的信息量是无穷，例如上面提到的X。这意味着不存在任何一个有限长的算法可以计算出它的值。&/p&&p&看到这里，较真的读者可能会表示怀疑，这个X真的存在吗？上面的定义真的能准确无误的定义出一个实数吗？这个疑问是合理的，比如我用 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%5E2%3D-1& alt=&y^2=-1& eeimg=&1&& 来定义的y就不是实数而是复数，或者是，如果我定义y为第一个大于2且不能被写作两个质数的和的正整数，这个正整数存在的前提是哥德巴赫猜想为假，如果哥德巴赫猜想为真或不能证明其真假，则这个数字不是良定义的。因此，下面简要说明一下为什么上文提到的X是良定义的实数：&/p&&p&首先读者要有心理准备，无理数之所以是无理数，是因为它看起来的确不讲道理，让人难以理解，因此对此不感兴趣的读者可以直接跳过这一节。ok，废话不多说，正式开始介绍：&/p&&p&在我们讨论实数时，需要对什么是实数达成共识。实数的定义有很多种，每种都不是那么直观，在此我准备用柯西序列（学过高数的人肯定有印象）来构造实数。柯西序列是指这样一个无穷长的数列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正数。例如下图就是一个例子：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-db2fefb4bbf125b3236a26_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&896& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-db2fefb4bbf125b3236a26_r.jpg&&&/figure&&p&通过上图可以直观的看到，柯西序列最后会慢慢慢慢的越来越接近一个数字，无穷的接近一个数字，这时我们说，柯西序列收敛到了一个特定的数字。&/p&&p&对于柯西序列正式的定义是，对于有理数序列 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2C+x_2%2C+x_3........& alt=&x_1, x_2, x_3........& eeimg=&1&& ，对于任意一个确定的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon& alt=&\epsilon& eeimg=&1&& ，总是存在一个正整数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&& ，使得对于任意的正整数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%2Cm& alt=&n,m& eeimg=&1&& ，如果 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%E5%92%8Cm& alt=&n和m& eeimg=&1&& 均大于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&& ，则必有 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_n-x_m%7C%3C%5Cepsilon& alt=&|x_n-x_m|&\epsilon& eeimg=&1&& 。&/p&&p&用有理数构造实数的方法，就是定义一个柯西序列，柯西序列每一个点都是有理数，但是最后却会收敛到一个实数上。&/p&&p&一个典型的例子是0.618....的那个黄金分割比，用柯西序列来定义就是： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_n%3D%5Cfrac%7BF_n%7D%7BF_%7Bn-1%7D%7D& alt=&x_n=\frac{F_n}{F_{n-1}}& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bn%7D& alt=&F_{n}& eeimg=&1&& 表示斐波那契数列的第n项。可以解得这个柯西序列收敛到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D& alt=&\frac{1+\sqrt{5}}{2}& eeimg=&1&&&/p&&p&（以上柯西序列的定义摘自维基百科：&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%259F%25AF%25E8%25A5%25BF%25E5%25BA%258F%25E5%& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&zh.wikipedia.org/wiki/%&/span&&span class=&invisible&&E6%9F%AF%E8%A5%BF%E5%BA%8F%E5%88%97&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&）&/p&&p&&br&&/p&&p&柯西序列是可以相加减的，两个柯西序列相加得到的新的柯西序列的第i个数字就等于原柯西序列的第i个数字的相加和。减法乘法同理。&/p&&p&用这个原理可以很容易证明1和0.........这两个数字是相等的。&/p&&p&我们首先写出1的柯西序列：&/p&&p&1 1 1 1 1 1
....&/p&&p&然后写出0.99999.....的柯西序列：&/p&&p&0.9 0.99 0.999 0.9999 .......&/p&&p&然后用前者减去后者可得：&/p&&p&0.1 0.01 0.001 0.0001 ......&/p&&p&可以看到新得到的柯西序列是收敛到0的，因此1和0.........这两个数字是相等的。&/p&&p&好，了解了如何用柯西序列来定义实数，我们就可以开始证明Borel的X是实数了。&/p&&p&首先我们定义 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 对应的数列的第 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 项 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_n& alt=&x_n& eeimg=&1&& 为一个二进制下 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 位的有理数，其构造方式如下：将 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的前 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 位对应的总共 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 个程序都拿出来，对于每个程序，我们执行 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 步，如果第 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 个程序在前 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 步内终止了，则令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_n& alt=&x_n& eeimg=&1&& 的第 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 位为1，否则为0.&/p&&p&现在我们来证明上面的确定义了一个柯西序列：不失一般性的，令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon%3D10%5E%7B-c%7D& alt=&\epsilon=10^{-c}& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&& 是正整数，则定义整数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&& 为前 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&& 个程序中，最终会停机的那些程序里面，最长的到达停机状态的步数。换言之，必然存在一个正整数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&，使得对于前 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&& 个程序中的任意一个最终会停机的程序，在执行&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&步之后，都会停机。令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X_c& alt=&X_c& eeimg=&1&& 表示取 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的前 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&& 位得到的有理数，可以看到，对于任何的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%3EN& alt=&n&N& eeimg=&1&& ，都有 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X_c+%5Cleq+x_n+%5Cleq+X& alt=&X_c \leq x_n \leq X& eeimg=&1&& ，又由于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7CX-X_c%7C%5Cleq+%5Cepsilon& alt=&|X-X_c|\leq \epsilon& eeimg=&1&& ，所以这是一个柯西序列&/p&&p&所以 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 是一个良定义的实数，证毕&/p&&p&&br&&/p&&p&细心的读者可能会发现，用上面定义柯西序列的方法不就可以求解出&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&了吗，这那为啥还说它是不可计算的？这不是矛盾了吗？&/p&&p&问的好。用上面的方法的确可以保证得到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的任意多位的值，但是，如果真的用上面的流程来计算&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的话，我们永远没有办法知道什么时候自己手里的答案是正确的，而只能知道从某个时刻开始我们手里的答案就一直是正确的。&/p&&p&这么说可能比较抽象，举个例子就清楚了，例如我给你一个箱子，里面装了无数个球，每个球有个编号，编号是从1开始的自然数，我告诉你里面有3红球，剩下的都是白球，你每次可以从中拿出一个你指定的编号的球，请你设计算法找出3个红球。此时你的做法可以很简单：你就依次取出第1个球，第2个球，第3个球。。。直到你取出了3个红球为止。假设三个红球中编号最大的为W，你虽然不知道W是多少，但是你知道你的算法最后一定会在有限步内终止。&/p&&p&而假如同样的例子里，我告诉你里面最多有4个红球，但是不告诉你确切有几个，请你找出里面的全部红球。此时你就无能为力了，你可以一直找下去，直到找到4个红球，你就可以确定完成任务了，但是如果假设总共只有3个红球，那你就只能永远的找下去了，尽管你知道必定存在一个有限的时刻，在这个时刻之后你已经拿到了所有红球，但你永远也不知道你自己当前是在这个时刻之前还是之后。&/p&&p&向 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 这样可以用有理数从数轴左侧无限逼近的数，叫做left enumerable computable real number(left c.e. real)，同理，那些可以用有理数从数轴右侧无限逼近的数，叫做right c.e. real。很显然，如果一个数既是left c.e. real也是right c.e. real，那么我们可以用上面类似的办法从数轴两边同时逼近它，从而求出它的任何一位来。但可惜的是，用上面的方法只能从左边去逼近 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& ，我们没法办法去逼近 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的上界。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&如果你跳过了上述证明，你可以从这里开始看起：&/i&&/b&&/p&&p&另外一个值得注意的点是，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的取值是取决于我们对停机问题的排序的，例如我们可以把哥德巴赫猜想程序排在第2个位置，也可以排在第1000个位置。不同的排序对应了不同的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&。所以准确的说&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是一类数，只有当排序确定后，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&才成为一个确定的数。而由于排序方法有无数种，所以从这里也可以看出，不可计算的数也有无穷多。&/p&&p&&br&&/p&&p&不过，虽然&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&整体不可计算，但是其中的某些位还是可以确定的，例如，假设其第1位对应的问题是是否存在一个完全平方数，那么显然经过简单计算即可知道这一位的取值是1。而蔡廷常数就不一样了，存在一些蔡廷常数，不仅其整体不能被计算，其任何一位都不能确定。其原因在于，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的前n位储存了n个停机问题的解，而蔡廷常数的前n位储存了大约为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5En& alt=&2^n& eeimg=&1&& 个停机问题的解，其任何一位数字的确定都依赖于多个停机问题的解的共同作用，而用某些巧妙的方法，可以构造出这样的蔡廷常数（还记得之前说过&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的值依赖于对停机问题具体的排序吗），使得其每一位对应的停机问题中，至少有一个停机问题对应的问题是既无法被证明又无法被证伪的。&/p&&p&因此存在很多蔡廷常数，其每一位的值我们都不能确定！&/p&&p&关于这个巧妙构造的方法，因为过于复杂，在此不展开讨论，只是说下为什么蔡廷常数能做到前n位储存大约&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5En& alt=&2^n& eeimg=&1&& 个停机问题的解。因为蔡廷常数本身的定义比较复杂，涉及到树的概念（数学上的树，是一个数据结构，和生活中的数不同），所以在此先不作讨论，而给出我自己定义的一个yo常数，但是道理是类似的。&/p&&p&我们的yo常数是基于之前讨论的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 来定义的，我们的目标是把信息量压缩到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B6%7D%7B63%7D& alt=&\frac{6}{63}& eeimg=&1&& ，即用6位数字来储存63个停机问题的解。对于每63个停机问题，我们将其化为一组，前63个问题对应了yo常数的前6位，64到126个问题对应的是yo常数的第7到12位，以此类推。&/p&&p&对于每组数字的值我们这么定义：其对应的63个停机问题中，假设有x个问题是可以停机的，则该组数字对应的值等于x。显然 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=0+%5Cleq+x+%5Cleq+63& alt=&0 \leq x \leq 63& eeimg=&1&& 。而0到63 在二进制下是可以用6位数字来编码的。所以x最大等于二进制下的111111&/p&&p&显然，可以用同&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&类似的方法证明yo常数也是一个良定义的实数。下面要说明的是为什么yo常数是不可计算的。我们通过证明yo常数可以解决所有停机问题来反证：&/p&&p&假设我们知道yo常数的值，那么对于任意一个停机问题，我们首先找到它对应的那一组数的位置，假设该数为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& ，则表示其对应的63个停机问题中有 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 个是可以停机。于是我们同时运行这64个程序，直到出现 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 个停机的程序，此时我们看我们要求的停机问题在不在这 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 个程序里面即可。&/p&&p&证毕。&/p&&p&&br&&/p&&p&当然，蔡廷常数比我这个yo常数更厉害，因为它对信息的压缩率要高的多的多。讲了这么久，终于可以正式的引出我们今天的主角了。但在此之前要说明的是，其实接下来的内容不用看你也已经大致了解蔡廷常数大概是什么东西了，下面的说明无非是些具体的细节问题，不是那么重要。但是，即使有了上面那么长的铺垫，这些细节依然理解起来很有难度，所以如果你没有计算机或者数学本科背景的话，恭喜你，你已经阅读完了本篇回答了（真诚脸，相信我）。&/p&&p&&br&&/p&&p&后记：&/p&&p&本来只是想抖个机灵，但是看到评论区对蔡廷常数很感兴趣，因此写下了这个补充说明，开始写的时候旁边的人还在看世界杯，写完发现天已经亮了。我统计了下，这个回答总共7600字，相当于一篇论文了。讲道理除了之前的一篇介绍福特定理的回答外，我在知乎上再没有这么长的文章了，但我也深知，即使写了这么多，由于蔡廷常数涉及的前置知识确实比较难，以及我自己的文笔和水平有限，因此这样的介绍对于缺少背景知识的人来说只能是走马观花，在此表示道歉。&/p&&p&但尽管知道如此，我依然写出来了，因为我觉得这世上应该会有不少人和当年的我一样，对人类的认知感兴趣吧。如果你认真阅读后依然有疑惑，可以在评论区提问，我会尽量解答的。&/p&&p&如果你对可计算理论感兴趣，想进一步了解，但是又不是专业人士，我在此推荐一本书，叫做《哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成》，这本书是从科普、艺术和哲学的角度来深入浅出的讲可计算理论的，里面会从芝诺悖论开始，一步一步的带领读者走向“无穷”这个普通人最难理解的概念。但由于是科普书，我看了头几章觉得太过于科普所以没看下去，但是我的印象是，作者要实现的目标是，对于一般人来说，里面所有的内容都是虽然很烧脑但是几乎没有前置知识只要用力就肯定可以看下去的。&/p&&p&后记完&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&&b&蔡廷常数&/b&&/p&&p&首先根据蔡廷常数的定义可知，其数值是和语言相关的。例如c语言对应了一个蔡廷常数，java又对应了一个蔡廷常数。严格来说，蔡廷常数定义在一个图灵完备的语言上，且要求该语言不存在一个语句是另一个语句的前缀。设该语言的集合为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P_%7BF%7D& alt=&P_{F}& eeimg=&1&& ，则蔡廷常数的定义如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-69b70c47fa4118b60dbfefed95c00769_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&137& data-rawheight=&53& class=&content_image& width=&137&&&/figure&&p&其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7CP%7C& alt=&|P|& eeimg=&1&& 表示语句P的长度。可以证明该求和收敛，且大于0小于1.&/p&&p&由上述定义可知，蔡廷常数的前几位并不比后几位更加重要，所以说，只知道小数点后1到10位的值，和只知道小数点后第位的值，没有什么差别。所以对于蔡廷常数来说，讨论近似值是没有意义的&/p&&p&蔡廷常数精确定义了一个实数这一点的证明方法和上文相同，在此不赘述。只特别说明一点，虽然乍一看这个求和得到的值可能大于1，但是要注意到定义里有一个前提条件，即不存在一个语句是另一个语句的前缀，根据&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Kraft%25E2%McMillan_inequality& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Kraft-McMillan inequality&/a&，可证在这个前提下上述求和得到值不会超过1。&/p&&p&下面说明为什么蔡廷常数是不可计算的。同样此处用其可解决通用停机问题来反证，由于这个证明比较抽象，所以这里只给出简要说明：&/p&&p&假如我们需要求解某个程序能否停止，例如上文提到的哥德巴赫猜想程序，假设该程序长度为L。再假设我们求出了蔡廷常数为C。则我们可以用如下算法求得哥德巴赫猜想程序能否停止：&/p&&p&首先初始时令S等于一个空集，令实数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=C%27& alt=&C'& eeimg=&1&& 等于0。&/p&&p&从第1步开始，每一步执行如下操作：&/p&&p&
对于第i步，首先我们将所有长度小于等于i的程序加入集合S。然后对于S中的每一个尚未终止的程序都运行K步（K可为任意正整数）。在这个过程中，可能会有一些之前尚未终止的程序在这一步终止，对于每一个这样的程序，假设其长度为|p|，则令&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=C%27%3DC%27%2B2%5E%7B-%7Cp%7C%7D& alt=&C'=C'+2^{-|p|}& eeimg=&1&&&/p&&p&随着上述步骤的不断执行，一定会在有限步内出现如下两种情况之一：&/p&&p&情况1：我们要求解的哥德巴赫猜想程序在第L步被加入了集合S，并在之后的某一步终止。由此可知，该程序会终止，哥德巴赫猜想错误&/p&&p&情况2：哥德巴赫猜想程序一直没有终止，但是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=C%27& alt=&C'& eeimg=&1&&不断增大，直到在某一时刻&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=C%27%2B2%5E%7B-%7CL%7C%7D%3EC& alt=&C'+2^{-|L|}&C& eeimg=&1&&&/p&&p&，由蔡廷常数的定义可知&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=C%27& alt=&C'& eeimg=&1&&是不可能大于C的，因此哥德巴赫猜想程序一定不会终止，哥德巴赫猜想由此得证&/p&&p&有上述算法可知，如果求出蔡廷常数，则可以求解停机问题，但停机问题又是不可解的，由此推出了矛盾。&/p&
\pi 还是太naive了。我要是宇宙设计者，我就把信息藏在蔡廷常数里，这才是对人类最大的嘲讽。蔡廷常数，其含义是找随机生成一段程序，这段程序不会陷入死循环的概率。可以证明这是一个确定存在的无理数，但是同样可以证明它是不可以被计算出来的。实际上，…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-6f292e2daf565f379771dea3ac5bcd7e_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&376& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-6f292e2daf565f379771dea3ac5bcd7e_r.jpg&&&/figure&&p&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-bb95356bda6c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-bb95356bda6c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&数学对于一些人来说非常简单，但对于另一些人来说，一些简单的题目都会让人抓狂。有些数学题远比题目看上去要复杂，而有些又会被大家过度解读。以下是互联网上10大数学网红题目：&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-a3e245ed62ff9a92fc6f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&392& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-a3e245ed62ff9a92fc6f_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&这道题最早出现在《每日邮报》上，由Go Tumble在Wikr上出的题目，之后在Facebook上病毒式传播开来。这道题有2个答案：40和96&/p&&p&&br&&/p&&p&第一个答案的解题思路：后一个等式的和+前一个等式的和。&/p&&p&&br&&/p&&p&第一行：1 + 4 = 5&/p&&p&&br&&/p&&p&第二行：2 + 5 = 7，而题目中的和是12，因此可得5 + 7 = 12&/p&&p&&br&&/p&&p&第三行：3 + 6= 9，而题目中的和是21，因此可得 9 + 12 = 21&/p&&p&&br&&/p&&p&以此类推：8 + 11 = 19，因此最终答案是19 + 21 = 40&/p&&p&&br&&/p&&p&第二种解题思路：将等式中的第二个数拆解成2数相乘，使得等式两边结果成立。&/p&&p&&br&&/p&&p&第一行：1 + (4 x 1) = 5&/p&&p&&br&&/p&&p&第二行：2 + (5 x 2) = 12&/p&&p&&br&&/p&&p&第三方：3 + (6 x 3) = 21&/p&&p&&br&&/p&&p&以此类推：8 + (11 x 8) = 96&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9ba1c5f2fef3d57031dd6_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&362& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-9ba1c5f2fef3d57031dd6_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这道题需要使用到的知识点是四则混合运算法则（PEMDAS or BODMAS）：先乘除后加减，有括号先算括号内，计算过程遵循从左到右。因此正确答案是9，但是由于四则混合运算法则在1917年前后有所不同，因此有些地区还沿用的是1917年之前的运算法则，根据那样的运算法则计算出的结果是1&br&&/p&&p&&br&&/p&&a class=&video-box& href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/774016& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-119ee50c4bdc2bf065b17c_b.jpg& data-lens-id=&774016&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-119ee50c4bdc2bf065b17c_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/774016&/span&
&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e2cafd4f1aeb6d57a224b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&950& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-e2cafd4f1aeb6d57a224b_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&第一题要求学生使用重复加法表示5×3，学生的答案是5+5+5=15，老师批错，正确答案是 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15&/p&&p&&br&&/p&&p&第二题要求学生用数组表示4×6，学生画出一个6行4列的矩阵来表示，老师批错，正确答案是一个6列4行的矩阵。&/p&&p&&br&&/p&&p&这样的试题引起了大家的极大反响，有人认为这样死板的答案会影响到学生以后对乘法交换的理解，因为根据乘法交换律4×6=6×4，而这样的答案是在告诉学生，规律并不正确。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-f2579fbe8cd0adaedb057c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&1152& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-f2579fbe8cd0adaedb057c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&新加坡的一位主持人首次将这道小学5年级的逻辑题发布到Facebook上，被转发了近6000次。这道题的问题是Cheryl的生日是哪一天？题中，Cheryl告诉 Albert和Bernard不同的线索，一人只知道日期，另一人只知道月份，根据2人的对话最后找出Cheryl的生日。最终的答案是7月16日。之后被发现这道题并不是新加坡普通小学生做的题目，而是新加坡和亚洲学校数学奥林匹克比赛（SASMO）中的一道奥数题。&/p&&p&&br&&/p&&p&《纽约时报》为此专门发布了解题思路：这种题目挑战的是人类的思维方式。在此题中有个前提是每个人说的都是真话，因此可以根据每个人所说的话进行判断。经常做奥数题的学生对此非常熟悉，而大部分普通人如果不经过长期的思维训练看完题目也是一脸懵逼。&/p&&p&&br&&/p&&p&要解这道题需要将题中出现的10个日期画成一张表格：&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a8f896a936ed419daf5f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&494& data-rawheight=&123& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&494& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-a8f896a936ed419daf5f_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&接着开始分析Albert和Bernard说的话，首先是Albert：&/p&&p&&br&&/p&&p&我不知道Cheryl的生日，Bernard也不知道。&/p&&p&&br&&/p&&p&从前半句可以得出Albert只知道月份，不知道日期。重点在后半句话！Bernard什么情况下会知道生日？假设他只知道日期，如果Cheryl告诉他是19日，那么生日只能是5月19日，如果告诉他是18日，那么生日只能是6月18日。&/p&&p&&br&&/p&&p&因此从Albert的陈述中可以得出，Cheryl的生日月份不是5月或6月。&/p&&p&&br&&/p&&p&所以Bernard的回答是：&/p&&p&&br&&/p&&p&一开始我不知道，现在我知道了。&/p&&p&&br&&/p&&p&从Albert的陈述中，Bernard也知道了Cheryl的生日不在5月或6月，剩下的可能是7月14日、7月16日、8月14日、8月15日、8月17日。现在假设Bernard知道了生日的具体日期，如果Cheryl告诉他的是14日，Bernard还是不能确定生日，因为有2中可能性，7月14日和8月14日，因此可以排除14日。最后剩下3种可能：7月16日，8月15日，8月17日。由于Bernard知道日期，因此知道了Cheryl生日是7月16日。&/p&&p&&br&&/p&&p&所以Albert接着说&/p&&p&&br&&/p&&p&现在我也知道Cheryl的生日了。&/p&&p&&br&&/p&&p&假设Albert只知道月份，从Bernard的话中就可以确定Cheryl的生日是7月16日，因为如果是8月，那么Bernard还是无法确定到底是8月15日还是8月17日。现在Bernard已经确定了生日，可知只能是7月16日。&/p&&p&&br&&/p&&p&这是一位英国的母亲将自己2年级孩子的数学题发布到了推特上，从题干上可知，下车的19人可以表示为-19，上车的17人可以表示为+17，因此可以得出，一上一下之间少了2人，现在车上还有63人，那么一开始车上总共有65人。&/p&&p&&br&&/p&&a class=&video-box& href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/532992& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-43b40cf8d7fc76ca57dc788_b.jpg& data-lens-id=&532992&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-43b40cf8d7fc76ca57dc788_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/532992&/span&
&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e0bc54f00f31cddfbb88309_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&531& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-e0bc54f00f31cddfbb88309_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&香港小学入学考试，这道题考察的是学生的发散性思维，并没有考察任何数学知识，只需要将图片倒过来看就会发现停车位的编号从86～91，图中车辆所停的位置编号是87&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-d8d8ecdb2ecdefd7b4104def_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&228& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-d8d8ecdb2ecdefd7b4104def_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这其实是一道咬文嚼字的阅读理解题，而并不是数学题，通过偷换概念搞混思路，有人专门在推特上画了一张表格来说明并没有损失：&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-4ed99daebcd9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-4ed99daebcd9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-317b0f31cbe61dcdc7bfe9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&563& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-317b0f31cbe61dcdc7bfe9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这道题是越南小学3年级的数学计算题，并没有多大的难度，只是计算有些繁琐很容易出错。题中要求在空格内填入1～9，每个数只能使用一次，：号代表除，最后的结果等于66。&/p&&p&&br&&/p&&p&将以上的蛇形方块根据四则混合运算法则整理成方程式如下：&/p&&p&&br&&/p&&p&a + (13b/c) + d + 12e – f – 11 + (gh/i)– 10 = 66&/p&&p&&br&&/p&&p&在方程式中设了a, b, c, d, e, f, g, h ,i 这9个变量，经过进一步整理如下：&/p&&p&&br&&/p&&p&a + (13b/c) + d + 12e – f +(gh/i) = 66 + 11 + 10 = 87&/p&&p&&br&&/p&&p&或是&/p&&p&&br&&/p&&p&a + d – f + (13b/c) + 12e +(gh/i) = 87&/p&&p&&br&&/p&&p&从以上方程中可知，b/c和gh/i 的值只能是正整数或0，而且13b/c的结果也不会很大。接着就开始代入这些数字，由于可能性太多，以下只是答案之一：&/p&&p&&br&&/p&&p&取13b/c的最小值，当b = 2，c = 1时，得到&/p&&p&&br&&/p&&p&a + d – f + 26 + 12e +(gh/i) = 87&/p&&p&&br&&/p&&p&或者&/p&&p&&br&&/p&&p&a + d – f + 12e +(gh/i) = 61&/p&&p&&br&&/p&&p&剩下的数字是3～9，其中包括质数3、5、7，可以先将这些质数代入：&/p&&p&&br&&/p&&p&设a = 3，d = 5 ，f = 7得&/p&&p&&br&&/p&&p&3 + 5 – 7 + 12e +(gh/i) = 61&/p&&p&&br&&/p&&p&或者&/p&&p&&br&&/p&&p&12e +(gh/i) = 60&/p&&p&&br&&/p&&p&剩下的数字还有4,6,8,9，可得&/p&&p&&br&&/p&&p&e = 4&/p&&p&&br&&/p&&p&g = 9&/p&&p&&br&&/p&&p&h = 8&/p&&p&&br&&/p&&p&i = 6&/p&&p&&br&&/p&&p&48 + (72/6) = 48 +12 = 60&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-93b7f18e02bef82cedef5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-93b7f18e02bef82cedef5_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这道题，如果不认真看题的第一反应的答案是10美分，错了！1美元只比10美分多了90美分，题中所给的条件是1美元多，因此棒球棍应该是1.05刀，而棒球是0.05刀。看似简单的题目竟然难倒了哈佛、麻省理工和普林斯顿超过一半的大学生，他们的回答都是错误的。这道题告诉大家有些时候不要对自己的直觉太过自信。&/p&&p&&br&&/p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.wttech.org/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic3.zhimg.com/v2-39d097ffcc5a_ipico.jpg& data-image-width=&150& data-image-height=&150& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&WTT资讯-最新科技资讯，实时网安信息&/a&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-91bf569ea585eae0808b0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&368& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-91bf569ea585eae0808b0_r.jpg&&&/figure&&p&欢迎关注我们：&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/people/e4b4cee7b4c9afd105e527d& class=&internal&&@W-Pwn&/a&&/p&
数学对于一些人来说非常简单，但对于另一些人来说，一些简单的题目都会让人抓狂。有些数学题远比题目看上去要复杂，而有些又会被大家过度解读。以下是互联网上10大数学网红题目： 这道题最早出现在《每日邮报》上，由Go Tumble在Wikr上出的题目，之后在Face…
&p&面试百度的时候想出来的，一道智力题：&/p&&blockquote&桌上有20枚硬币，其中10枚正向，10枚背面。现在把你的眼睛蒙上，请你把硬币分成两堆，可以反转硬币，要求两堆正面向上的硬币数一致。&/blockquote&&p&我飞快的想出了自己的答案：将硬币全部立起来，分为任何两堆，正面向上的硬币数都为0。面试官沉默了一会，说：这不是脑筋急转弯。&/p&&p&&br&&/p&&p&结局当然是面试没通过&/p&&p&&br&&/p&&p&之后我再看到这道题的时候，题目已经变成了&/p&&blockquote&一付54张扑克牌，其中有十张是翻过来的。现在把你的眼睛蒙上（绝对没有偷看的可能），让你把扑克牌分成两叠（两叠的多少可以不一样）。要求在两叠中翻过来的扑克牌是相等的。请问该怎么做？除了扑克牌的数目，其它因数（扑克牌大小，重量，颜色，表面触摸的感觉，等等）不参与题目之中。扑克牌可以任意次重新排序、翻转。10张翻过来的扑克牌是随机分布在扑克牌中。&/blockquote&&p&把我发现的bug修复了。&/p&&p&&br&&/p&&p&答案和解释：&/p&&blockquote&答案：第一步，你在这54张牌中任意取出10张，现在，扑克牌分成了两叠。44张和10张；第二步，44张那叠不动，将10张这叠每张都翻过来，便得到了符合条件的两叠牌。&br&&br&解释：第一步之后，设44张那叠中正面牌x张，10张那叠中正面牌则为10-x张。第二步之后，44张那叠中正面牌保持x张，10张那叠反过来了：反面牌为10-x张，正面牌x张。&/blockquote&
面试百度的时候想出来的，一道智力题：桌上有20枚硬币，其中10枚正向，10枚背面。现在把你的眼睛蒙上，请你把硬币分成两堆，可以反转硬币，要求两堆正面向上的硬币数一致。我飞快的想出了自己的答案：将硬币全部立起来，分为任何两堆，正面向上的硬币数都为…
&p&我来提供一道神题吧！&/p&&p&&b&“150盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，3，4，…，150。将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，再将编号为5的倍数的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数为几盏？”&/b&&/p&&p&千万别小看它，不信你试试~~~&/p&&p&答案见下方。&/p&&p&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&oOo&/p&&p&ooO&/p&&p&oOo&/p&&p&Ooo&/p&&p&oOo&/p&&p&ooO&/p&&p&oOo&/p&&p&Ooo&/p&&p&oOo&/p&&p&ooO&/p&&p&oOo&/p&&p&Ooo&/p&&p&oOo&/p&&p&ooO&/p&&p&oOo&/p&&p&ooO&/p&&p&oOo&/p&&p&Ooo&/p&&p&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&正确答案是亮着90盏。&/p&&p&算错的记得点赞。&/p&&p&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&更新：搜索题干，还能读到此题的小故事OoO&/p&
我来提供一道神题吧！“150盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，3，4，…，150。将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，再将编号为5的倍数的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数为几盏？”千万别小看它，不信你试试~~~答案见下方。~~~~~~~~~~~…
老有人说“误诊率”这个表达不准确啊……特此声明：“误诊”包括假阴性和假阳性两种情况，“误诊率”指的是这两种情况之和与总检测人数的比例。至于原文我就不改了～毕竟我喜欢对称～～～&br&&br&&br&～～～～～～～～～～～～～～～～～～～&br&我知道一道很反直觉的数学题：&br&&br&我们假设有一种病毒，感染率为1%&br&针对这种病毒的检测，误诊率为1%&br&&br&问：如果医生通知你是感染者，你真正感染了的概率是多少呢？&br&&br&99%？naive！再想想～&br&&br&…&br&…&br&…&br&…&br&…&br&…&br&…&br&…&br&…&br&&br&答案是你只有50%的概率是一位真正的感染者&br&&br&怀疑吗？有趣吗？&br&&br&我们不妨代入一个实数来想这个问题：&br&&br&假设某地有10000个人&br&那么其中100位感染，9900位健康。&br&&br&100位感染者里：&br&有99位被告知感染 （99%准确）&br&有1位被告知健康 （1%误诊）&br&&br&9900位健康者里：&br&有99位被告知感染 （1%误诊）&br&有9801位被告知健康 （99%准确）（谢谢Dorling、纯纯小猛兽的提醒）&br&&br&看出来了吗？&br&在所有被告知感染的人里，有99位真正的感染者和99位健康的人，人数一致！&br&所以对于一位个人来讲，即使被医生告知感染，他仍有50%的可能性是健康的&br&&br&一道初中水平的题也可以如此反直觉，数学是真的可以很有趣的。&br&&br&&br&&br&&br&&br&——————人生第一次百赞分割线————&br&&br&谢谢各位对我的回答这么感兴趣，这个更新是为了给各位抛另一个我觉得有意思的数学问题，顺便解决一些我在评论区看到的误会。&br&&br&是这样……本人现在是一名大二学生，数学专业。我看到评论区有朋友很热心地指教我，谢谢各位——但这并不是我回答的初衷。&br&&br&我从高二开始每年暑假都有做一些家教的工作，学生从小学一直到大学都有，至今已经第五年了（我高中要上四年，误扰）。我看到太多的孩子被学术性的数学折磨的死去活来的，进而变得非常厌恶数学。&br&&br&但作为一名数学专业的学生，我所认识的数学并不是这样的（感谢我的一众导师）。数学在学术之余应该是一种娱乐！&br&&br&不知道有多少人会赞同这一点：数学这门学科在创立之初是为了解释我们所处的这个世界，随着它不断的发展累计了大量的理论体系。但时至今日，数学所解释研究的对象已经开始脱离现实生活了。&br&&br&在这个基础上我承认：我的学生里至少7成的人，以后从事的工作，至少一眼看上去是跟数学没有什么联系的。但我不希望任何人以此为借口，将数学变成应考的工具，甚至排斥学习这个学科。因为毕竟数学实际上是那么有趣，错过它是一件很遗憾的事情。&br&&br&结论就是：您可以自由地在评论区帮我标注相关知识的专有名词，但我是试图避开这些说法的。我试图用数学里比较本质而又反直觉的一部分来引起一些人对数学的兴趣。谢谢。&br&&br&&br&&br&&br&然后就是一个有意思的思考题啦～～～～这个题目有一个浪漫的名字：加百列的号角&br&&br&函数1/x的图像大家都会画吧，想象一下将x&1的部分的图像绕着x轴旋转一周，形成一个号角的形状&br&&figure&&img data-rawheight=&1334& src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-a60c08f49f4b459f9b39a_b.jpg& data-rawwidth=&750& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-a60c08f49f4b459f9b39a_r.jpg&&&/figure&&br&&br&这个号角的有趣之处在于：它的体积是有限的———π立方单位，但表面积是无限的！&br&&br&（证明请见：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.dummies.com/education/math/calculus/how-to-find-the-volume-and-surface-area-of-gabriels-horn/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&dummies.com/education/m&/span&&span class=&invisible&&ath/calculus/how-to-find-the-volume-and-surface-area-of-gabriels-horn/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&）&br&&br&由于号角壁是由一条线旋转而来的，可以认为它的厚度等于0，所以号角内壁的面积等于其外壁的面积。&br&&br&那么问题就来了：挖掘机………………呸！如果我们假设一桶体积为π的油漆足以灌满号角内部，那我们是不是可以认为：至多体积为2π的油漆，就足以覆盖号角的内外壁了呢？（也就是说体积为2π的油漆就够刷无限的面积～？）&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&P.S. 那个证明可以再简化的…但手机码字实在不懂怎么打数学符号…有好用的app或者插件的求推荐～
老有人说“误诊率”这个表达不准确啊……特此声明：“误诊”包括假阴性和假阳性两种情况，“误诊率”指的是这两种情况之和与总检测人数的比例。至于原文我就不改了～毕竟我喜欢对称～～～ ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 我知道一道很反直觉的数学…
补:&br&&br&自然律螺旋线的研究可以归结为e;&br&花开花落、细胞凋亡的规律可以归结为e;&br&宇宙膨胀、星球衰亡的规律可以归结为e;&br&……&br&再比如本人学习的控制理论，控制理论的根本是对特征值的研究，而特征值的根本又是e的衰减率！&br&……&br&&br&而e的本质是什么？e是高维空间的1投射到一维空间的量度。&br&e是存在于高维空间的，直到我们有一天发现了它，开始去应用它。&br&以前在知乎上看到过一个说法是这样：数学可以看作我们从低维空间向高维空间研究的工具。&br&我想或许可以这么说，数学是我们三维生物去了解生活在高维空间神灵的窗口。&br&&br&&br&&br&&br&原答案：&br&1.第一那当然是e，大自然的神奇产物。相信大家没少碰过e，大自然的衰减上升规律均可以用e的at次方线性表示，大到宇宙扩张，小到细胞衰变。&br&e其实就是1，是高维空间的的1在一维空间的映射值。&br&没错e，也是自然律 螺旋线 的表达！&br&2.当然还有pai,任何序列数均可以在其中找到。也表示一个二维空间里圆线长度投影到一维空间的衰减比例。&br&3.这里还有有个神奇的工具—-矩阵，很多难以理解的复杂维度问题，可以轻松用矩阵表示，包括e，如果你深入去了解，你会发现矩阵就是一个世界。
补: 自然律螺旋线的研究可以归结为e; 花开花落、细胞凋亡的规律可以归结为e; 宇宙膨胀、星球衰亡的规律可以归结为e; …… 再比如本人学习的控制理论，控制理论的根本是对特征值的研究，而特征值的根本又是e的衰减率！ …… 而e的本质是什么？e是高维空间的1…
&p&先科普一下斐波那契数列：&/p&&blockquote&常见的斐波那契数列是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……&br&数列特征是前2项为1,从第3项后每一项都等于前2项之和。&br&该数列神奇的地方是n足够大之后,前一项与后一项的比接近黄金分割数0.618,该性质被用于模拟计算股票从低点到高点的差值(或相反),取得了很好的效果。当然也可以用于模拟很多自然现象。&/blockquote&&p&说完题目中的数列之后，回到问题本身。&/p&&p&在统计学中也有一个神奇的“本福特法则”，可以用来识别数据是人工伪造的还是自然生成的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-4cafbb12ebd_b.jpg& data-rawwidth=&321& data-rawheight=&223& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&321&&&/figure&&p&2001年，美国最大的能源交易商安然公司宣布破产，在世界上引起轩然大波。在安然公司的丑闻冒出之前，就已经有人在互联网上指出安然公司公布的财务数据疑似作假，因为不符合统计学中的“本福特法则”。&/p&&p&那么问题来了，什么样的法则这么神奇？居然能够看出财务数据造假！&/p&&p&通俗的来说，“本福特法则”告诉我们：&b&自然生成的数据中，首位数字从1到9出现概率依次递减。其中1出现最多为30.1%，2为17.6%，3为12.5%，依次递减，9的概率是4.6%。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-74df90ba7de6b83a6cab99c95d85bb2d_b.jpg& data-rawwidth=&260& data-rawheight=&196& data-size=&normal& class=&content_image& width=&260&&&figcaption&（图：首位数字出现的概率直方图）&/figcaption&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&这个法则颠覆了我们的认识！&/b&&/p&&p&人们通常觉得这9个数字出现的概率是相同的，或者5、6出现的概率更高，所以，人造数据常常具有这两种特征中的一种。但人们的直觉恰好违背了统计学的规律！&/p&&p&在数学上，这个法则有着精确的表达式，并且已经被严格证明，但证明的过程实在太数学了，奥数君在这里就只给出一种直观的解释，对严格的数学证明感兴趣的人可以自行搜索论文“A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law.”&/p&&p&&b&直观的解释是这样的:对于自然出现的数字来说，数字的增加会越来越困难。从个位数开始增加，刚出现的多位数是以1起首，直到9起首的数出现之前，必然会经过一堆以2,3,4,…,8起首的数，由于增加是越来越困难的，因此，数字越小，在首位出现的概率越大。&/b&&/p&&p&尺有所长，寸有所短，再牛的法则都有其适用范围。 “本福特法则”在应用前需满足以下两条：&/p&&p&一是数据的数量级跨度必须足够大。比如人口的年龄分布如果按年计算就不服从该法则，因为数量级跨度太小，但如果按分钟计算，“本福特法则”就绝对适用。&/p&&p&二是数据应当是自然生成的，没有人为规则限定。比如手机号码、身份证号等就不适用该法则。&/p&&p&值得注意的是，即便更改数字的计量单位，比如把人民币换为美元，或者把亩换算为平方米，“本福特法则”也依然适用，这一点在数学上被称为尺度不变性。&/p&&p&因此，在现实生活中，只要面对大量数据，我们就可以应用“本福特法则”判断数据是否存在造假嫌疑。&/p&&p&在涉及经费收支、货物进出库、选举票数统计等方面，“本福特法则”已经成为辨别真伪的照妖镜，比如有学者就根据这一法则发现了2004年美国总统选举中佛罗里达州的投票欺诈行为。&/p&&p&学会这个法则，是不是有一种锤子在手，看啥都是钉子的感觉？赶快找点数据验证一下吧。&/p&&p&这篇文章原本发在我的微信公众号里边的。公众号叫“每天3道奥数题”(tiantianaoshu），是教家长辅导奥数的，每天给出小学奥数题及详细解答，也会隔三岔五给出数学知识科普，欢迎关注。&/p&
先科普一下斐波那契数列：常见的斐波那契数列是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…… 数列特征是前2项为1,从第3项后每一项都等于前2项之和。 该数列神奇的地方是n足够大之后,前一项与后一项的比接近黄金分割数0.618,该性质被用于模拟计算股票从低点…
先来做一个数学题：&br&任何一个人，必有2位父母，必有4位祖父母，必有8位曾祖父母...&br&上溯10代，一个人会有1024位祖先&br&上溯20代，一个人会有1048576位祖先&br&上溯30代，一个人会有10.74亿位祖先。&br&30代的时间是多长？25年一代，不超过800年。宋朝。宋朝全盛时期的人口1亿。&br&这个数学题意味着什么？&br&因为每个人都有数量极其庞大的祖先数量，庞大到远远超过人口总数的规模。因此，从数学意义上说，我们每个人的祖上一定都有皇族的血统。&br&皇族后裔？你我他，每个人都是。&br&&br&十几亿的祖先，肯定是相互重合的（大大超过人口总数了）。但这个论述的核心要点在于，血脉的延续经过30代左右，会被稀释到十几亿（每过十代，两三百年，再稀释一千倍）分之一的程度，对现在的幸存者来说，面对这十几亿甚至数千亿的祖先可能性，恰好被排除在“皇族”之外的可能性低到忽略不计了。在这种情况下，说我们每个人都是皇族后裔，在数学上是完全成立的。&br&&br&再说明一下吧，还是很多人没想明白啊：&br&每个人的祖先数目都是一个极大的数（1000年前达万亿级），这个大数里包含的人形形色色，既有皇族，也有平民，既有英雄，也有小人。而祖先里“一个皇族都没有”的人的概率低到忽略不计，所以我们每个人在数学意义上都是皇族后裔。当然，你也可以说，我们每个人都是将军的后裔，我们每个人都是大儒的后裔，我们每个人都是杀人犯的后裔...我们每个人都是历史上各种身份的人的后裔。&br&&br&而这种数学意义上的后裔，在生物学上是没有意义的，因为你一千年前的皇族血脉也好，杀人犯血脉也好，都在几十代的繁衍过程中被稀释成几亿分之一了（人类基因的数目也就2.5万个而已）。&br&&br&为什么那么多人觉得不可思议？因为在他们一直以来的想象中，自己的祖先应该是两个或者有限的几个慈眉善目的老爷爷老奶奶。他们无法想象自己的祖先数目极其庞大这一现象。然而，无论是数学推理，还是遗传统计学的证据都表明：每个人的祖先在短短1000年前（生物遗传史上的沧海一粟）就是一支人数极其庞大（关键词：人数极其庞大）的大军。1000年前的这支大军里，上至皇亲国戚，下至贩夫走卒，芸芸众生，无所不包。&br&&br&继续更新：&br&很多人在和我纠缠族内通婚的问题。觉得严格的族内通婚可以确保血统的纯正和稳定。但事实上，无论在数学逻辑上，还是在真实的历史上，严格的族内通婚都难度太大。因为比起确保子代血统的纯正，“污染”太容易了。不管多少代成功的族内通婚，遇上一次越轨，子代的基因就被“污染”了50%。这里我们还不讨论长期的族内通婚导致的遗传弱势等别的问题。
先来做一个数学题： 任何一个人，必有2位父母，必有4位祖父母，必有8位曾祖父母... 上溯10代，一个人会有1024位祖先 上溯20代，一个人会有1048576位祖先 上溯30代，一个人会有10.74亿位祖先。 30代的时间是多长？25年一代，不超过800年。宋朝。宋朝全盛时期…
&p&今天，我要讲讲我和苍井空的故事。&/p&&p&FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。&/p&&p&德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心灵的抚慰。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_b.jpg& data-rawwidth=&780& data-rawheight=&1174& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&780& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，这就是苍老师本尊了。为了表达我对苍老师的敬意，送她一副对联，上联是：肤如凝脂唇红齿白花容月貌倾国倾城千娇百媚，下联是：爱岗敬业任劳任怨废寝忘食一丝不苟精益求精，横批：德艺双馨。&/p&&p&作为她的铁粉，我想把这张照片画出来，或者雕刻出来，使她出现在我手中，免受隔着屏幕的煎熬。&/p&&p&想复制苍老师的美，首先要在整体尺寸上保持相同。如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_b.jpg& data-rawwidth=&773& data-rawheight=&671& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&773& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_r.jpg&&&/figure&&p&紧接着，要在第一步的基础上进一步细化、精确化。所以第二步就要保证和苍老师本尊的局部形状相似。改进后就变成了如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-b116ab1c06986afeab25c5_b.jpg& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&678& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-b116ab1c06986afeab25c5_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，尽管这时候很粗糙，但至少已经有了婀娜多姿的影子了。下一步帮苍老师画上bra和胖次，再加上发型，并且把大腿、小腿、脚的分界线画上。下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_b.jpg& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_r.jpg&&&/figure&&p&此时，苍老师的特征已经非常明显了，仿佛就要呼之欲出了，尤其那道事业线，使我仿佛看到一对大白在调皮地跳跃。我要继续努力，进一步细化，进一步使我手中的苍老师变得真实。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-be8a4f456c_b.jpg& data-rawwidth=&812& data-rawheight=&675& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&812& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-be8a4f456c_r.jpg&&&/figure&&p&此时手中的苍老师外部线条更加细腻了，整体丰满了，仅有的服饰上增加了一些细节。如果不断地细化，画上五官，增加质感，添加纹理，那么进行无穷次细化之后，我笔下的苍老师一定会无穷接近真实。最终会变成这个样子：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0f977684cce9daf3d3010_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0f977684cce9daf3d3010_r.jpg&&&/figure&&p&当然，我没能有足够的时间继续细化下去，我那年的青春已经随着她的退役而完结，只是，我仍会在某个无眠的夜里回忆起苍老师认真工作的身影，回忆起我那年的青涩和成长，回忆起那年的憧憬和迷茫，回忆起我那年的生命曾经因为苍老师的出现而灼灼其华。&/p&&p&谨以此文献给新婚的苍老师。&/p&&p&好了，大家都精神了吧。现在开始进入正题。&/p&&p&本段的核心思想是&b&仿造&/b&。&/p&&p&当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。&/p&&p&&b&这是每个人都明白的生活经验。&/b&&/p&&p&===============&/p&&p&一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：&/p&&p&一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-5de43e908a90_b.jpg& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&311& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-5de43e908a90_r.jpg&&&/figure&&p&物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。&/p&&p&既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：&/p&&p&既然想模仿刚才那辆车，&/p&&p&那首先应该保证初始位置一样，&/p&&p&继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，&/p&&p&不满足，精益求精，可以一直模仿下去。&/p&&p&物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。&/p&&p&=================&/p&&p&一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3De%5E%7Bx%7D& alt=&y=e^{x}& eeimg=&1&& ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dcosx& alt=&y=cosx& eeimg=&1&& 后，我无法很方便地计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 时候的值。&/p&&p&为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即&b&把这类函数替换掉。&/b&&/p&&p&可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。&/p&&p&他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）&/p&&p&面对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dcosx& alt=&f(x)=cosx& eeimg=&1&& 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，从而避免余弦计算。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_b.jpg& data-rawwidth=&1001& data-rawheight=&569& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1001& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_r.jpg&&&/figure&&p&想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。&/p&&p&由于这段曲线过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%EF%BC%8C1%29& alt=&(0，1)& eeimg=&1&& 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，&/p&&p&完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。&/p&&p&经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。&/p&&p&起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“&b&仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……&/b&”&/p&&p&有了整体思路，泰勒准备动手算一算。&/p&&p&下面就是严谨的计算了。&/p&&p&先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点入手。&/p&&p&把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：&/p&&p&首先得让其初始值相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29& alt=&g(0)=f(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%7D%280%29& alt=&g^{'}(0)=f^{'}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%27%7D%280%29& alt=&g^{''}(0)=f^{''}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&……&/p&&p&最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。&/p&&p&这时候，泰勒思考了两个问题：&/p&&p&第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 必须也能够无限次求导，那 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 得是什么样类型的函数呢？&/p&&p&第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？&/p&&p&综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dax%5E%7B5%7D%2Bbx%5E%7B4%7D%2Bcx%5E%7B3%7D%2Bdx%5E%7B2%7D%2Bex%2Bf& alt=&g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f& eeimg=&1&& ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。&/p&&p&泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路，静下心来你都能自己推出来。&/p&&p&泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。&/p&&p&先算个一阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_b.jpg& data-rawwidth=&1064& data-rawheight=&688& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1064& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，除了在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点，其他的都不重合，不满意。&/p&&p&再来个二阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_b.jpg& data-rawwidth=&1098& data-rawheight=&694& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。&/p&&p&再来个四阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-3e18615facbd9c93fda4_b.jpg& data-rawwidth=&1221& data-rawheight=&699& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1221& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-3e18615facbd9c93fda4_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，仍然是在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。&/p&&p&到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-9dd69ab2c20ca721bc0979d7ebaa0253_b.jpg& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&363& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&378&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%EF%BC%880%EF%BC%8C1%EF%BC%89& alt=&（0，1）& eeimg=&1&& 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 处。&/p&&p&此时，他一拍脑门，恍然大悟，既然我选的点离着我想要的点还远，我为啥不直接选个近点的点呢，反正能从这条曲线上任何一个点作为切入，开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& ，可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&cos\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&& 处开始仿造啊。&/p&&p&所以啊，泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。&/p&&p&也就是说，有一个&b&原函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&&/b&，我再造一个图像与原函数图像相似的&b&多项式函数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的&b&初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等&/b&。&/p&&p&写到这里，你已经理解了泰勒展开式。&/p&&p&如果能理解，即使你记不住泰勒展开式，你都能自己推导。所以，我建议你，考试之前临时死记硬背一下，即使考试因为紧张忘了，也可以现场推。如果不是为了考试，那记不住也没关系，反正记住了一段时间不用，也会忘。用的时候翻书，找不到书就自己推导。&/p&&p&继续说泰勒。&/p&&p&泰勒算到四阶以后就不想算了，所以他想把这种计算过程推广到n阶，算出一个代数式，这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。&/p&&p&首先要在曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 上任选一个点，为了方便，就选 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2Cf%EF%BC%880%EF%BC%89%29& alt=&(0,f（0）)& eeimg=&1&& ,设仿造的曲线的解析式为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，前面说了，仿造的曲线是一个多项式，假设算到n阶。&/p&&p&能求n次导数的多项式，其最高次数肯定也为n。所以，仿造的曲线的解析式肯定是这种形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Da_%7B0%7D%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Ba_%7Bn%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+……+a_{n}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&前面说过，必须保证初始点相同，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29%3Da_%7B0%7D& alt=&g(0)=f(0)=a_{0}& eeimg=&1&& ,求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来，必须保证n阶导数依然相等，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bn%7D%280%29%3Df%5E%7Bn%7D%280%29& alt=&g^{n}(0)=f^{n}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 求n阶导数时，只有最后一项为非零值，为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%21a_%7Bn%7D& alt=&n!a_{n}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&由此求出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%}
一道神题引吐槽 这种数学题到底适不适合孩子？
浙江在线05月28日讯
事关孩子，哪怕只是一道数学题，也能引起很大的关注。
昨天本报A4版小新闻刊登了《小学二年级的数学题，做得网友&想撞墙&》一文，被各官方微博和网友转载，迅速走红。大家关注它的原因，不仅在于好多成年人费半天神也没做出答案，更在于题目引来的思考和共鸣&&
小学二年级的题目要不要这么难？这样的难度，七八岁的孩子有没有必要掌握？如此坑爹的题目，还有多少？
对这个话题，家长有什么话想说，欢迎告诉热线96068，或者关注新浪微博@钱江晚报。
这是一道训练思维附加题
但是好多成年人解不出来
很多做了题目的网友纷纷跟帖表示：这真的是小学二年级的数学题吗？大人都做不出，太难了吧！
读者和网友对这事的态度，大致分三种：有人自惭形秽，感叹自己智商不及小学生；有人大呼题目太难的同时发问，难度是不是并不适合这个年龄段的孩子；也有人不屑一顾，觉得这题目没什么意义。
余杭临平二小二年级数学老师钟国珍说：&这三组数字的规律是，(第二组+第三组)/第一组=8，题目答案不唯一，学习有富裕能力的孩子是可能做出来的。&
钟老师说：&这种附加题每张数学试卷上都有，不是一定要做的。这类题也不是奥数题，奥数题难度比它大。这是一道思维训练题，有部分孩子对思维训练题感兴趣，还有专门的兴趣班可以上。二年级平均每个班有五六个孩子能解出来这样的题。&
家长吐槽：
小学生考试，坑爹题目不少
更多家长则表示感同身受，大家都觉得小学生作业或考试中，类似这样的&坑爹题目&还不少。
网友@小兔妖说：我儿子也是小学2年级，也说&找规律&很不好做！
网友@马吉妈妈说：女儿有道题：四个人过桥，由于天比较黑，所以过桥必须借助他们唯一的一个手电筒，桥比较小，每次只能过两个人，已知A过桥的时间是1分钟，B过桥的时间是2分钟，C5分钟，D10分钟，求四人过桥的最短时间？
也有网友曾发过类似牢骚：儿子一年级时有道题，14人划船过河，小船可载2人，问几次能过完？儿子答13次，老师说是7次，儿子追着老师问&那船谁划回来的&。
思维训练到底是个什么题
适不适合用来考小孩子
思维训练是一种头脑智能开发和训练技术。
这类题目有解答技巧，掌握方法后就能举一反三。目前，思维训练已形成诸多流派，除了在教育领域被应用于婴幼儿早教、中小学生思维技能素质提升外，在MBA考试、公务员考试中也有思维训练测试题，世界著名公司的招聘面试中，思维能力训练题目更是必考内容，还被引进到企业培训领域等
不过，对小学课程中出现思维训练题、奥数题，著名数学家丘成桐多年前就曾质疑，他认为，这种题型应依个人兴趣选择学习，不能成为应试教育模式。
国内一位专门从事思维训练的业内人士说：思维训练题和数学题并不一样，这类题目的解题思维是可以训练的。
昨天很多读者列举过来的小学数学难题，大部分让人哭笑不得的题目，都属于思维训练题。
那些让家长们
哭笑不得的神题
昨天，微博&央视新闻V&也发了小学升初中神题，题面都是数字，但答案都是一句成语(具体见下)。我们也把网友@给我们的一些题目进行了整理，看看你能做出几道？
根据数字答成语&&
1、20/3
2、1/100
3、9寸+1寸=一尺
5、1、3、5、7、9
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浙江即时报&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&
还是太naive了。我要是宇宙设计者，我就把信息藏在蔡廷常数里，这才是对人类最大的嘲讽。&/p&&p&蔡廷常数，其含义是找随机生成一段程序，这段程序不会陷入死循环的概率。可以证明这是一个确定存在的无理数，但是同样可以证明它是不可以被计算出来的。&/p&&p&实际上，能被计算出来的实数的集合是可数无穷的，所以说不能被计算出来的实数是可以计算出来的实数的无穷多倍。像 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 这种能计算出其中任意一位的实数是少之又少的。&/p&&p&而蔡廷常数属于不可被计算的实数中特殊的一类数，它不仅不能计算，而且除了知道它小于1大于0以外，就连它在小数点后任意一位，包括第一位，都是可以从理论上证明是无法计算出来的【注：此处不严谨，文末有说明】。&/p&&p&但是呢，这个数又被证明是确实存在的一个常数。所以，我，造物主，把宇宙的秘密藏在这个数里面，我明确的告诉你们人类这一点，而你们却无可奈何。&/p&&p&当然，碰巧我现在心情很好，所以我大发慈悲的告诉你们，我写在蔡廷常数里面的那句话就是：你们都是虫子&/p&&p&&br&&/p&&p&————————————————————————————————————————&/p&&p&&br&&/p&&p&ps：
&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&
是否是正规数，和它是否被编码了没有关系啊&/p&&p&&br&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&&b&的特殊性：&/b& &/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 是个特殊的数，不仅在于其是周长与直径之比，如果这么定义的话，在一些非欧几何中，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 都不是常量，现在数学中使用的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 的定义也已经脱离了其几何含义，而将其视为微分方程中的一个常量（回想下欧拉的那个上帝公式）&/p&&p&&br&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&&b& 编码的可能性： &/b&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&&b&是不是高票答案提到的正规数，和&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&&b&是否被特殊编码了没有关系&/b&，即使知道它是正规数，但是小说中提到的小数点后10^60 位突然出现大段的规律性编码（假设有的话），绝对是异常中的异常，因为一段长度为1000的异常编码，其期望出现的位置也应该在10^1000位之后，是穷尽整个宇宙的能量都算不出来的。&/p&&p&&b&（但是！但是！因为&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&&b& 是一个纯粹数学推理出来的产物，要能对&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&&b&编码，说明造物主能够任意控制这个世界的逻辑本身！这是多么难以想象的存在！）&/b&&/p&&p&&b&—————————————————————————————————————&/b&&/p&&p&&b&更新3：&/b&&/p&&p&这是第三次更新，因为看到评论区的留言，发现大家对蔡廷常数比较感兴趣，因此趁着端午佳节，来介绍一下为什么会存在不可计算的实数、蔡廷常数的历史渊源以及其重要意义。当然，这个内容就是纯粹的偏题了，若是你恰好有活动一下脑细胞的闲情雅致，则不妨慢慢看下去：&/p&&p&在ZFC公理体系下，实数可以分为以下几类：&/p&&ol&&li&存在但是不能被准确描述和定义的&/li&&li&能被准确的描述和定义，但是不能被计算出来的&/li&&li&能被计算出来的&/li&&/ol&&p&其中第1类的数量是后两类的无穷多倍。蔡廷常数属于第2类。 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 属于第3类。&/p&&p&希尔伯特在听说上面这个结论的时候，一定会回想起他在1900年向世界所有数学家提出直击数学家灵魂的希尔伯特23问的那个遥远的下午。&/p&&p&在工业革命之后，自然科学飞速发展，当物理学家高兴的宣布物理大厦已经建成，除了两朵乌云外晴空万里之时，数学家的世界则愁云惨淡：那些令人束手无策的难题不仅没变少，反而越来越多。当此之时，希尔伯特向全世界数学家提出了当时尚未解决但是他认为非常重要的23个问题：&/p&&p&其中第二个问题就是：证明算术公理的自洽性（consistency）。所谓自洽性，即一个公理体系内不应该存在矛盾，即不能存在一个命题，既能被证明又能被证伪。&/p&&p&第十个问题是：找到一个通用的算法，能解决所有的丢番图问题。&/p&&p&可以看出，虽然面临许多难题，当时的数学家还是天真的相信，一切的问题都是可以解决的，只是我们目前太弱而已。只要我们足够努力，在严格的定义和推导之下（公理化体系的建立，）我们终将可以提出一个完美的公理体系。而更乐观的数学家则相信，可以找到一个通用的算法，所有的命题都可以用这个算法来一步步的证明和证伪。&/p&&p&可惜这个美好愿景只是海市蜃楼，30年后，哥德尔提出了其不完备性理论打碎了数学家们的美梦：&/p&&ol&&li&任何一个复杂到包含了算数公理（即自然数）的公理体系，如果它是自洽的，则必然不是完备的，即必然存在一些命题，在此公理体系内部既不能被证明，又不能被证伪。&/li&&li&任何一个复杂到包含了算数公理（即自然数）的公理体系，其自洽性不能在该公理体系内部证明&/li&&/ol&&p&同时图灵也提出了通用的计算模型——现代计算机的理论基础——图灵机。图灵机上有一个很重要的问题是停机问题，因为很多数学定理的证明可以归约为停机问题。&/p&&p&那什么是停机问题呢？停机问题是说，是否存在一个算法，对于任意一个给定的程序和输入，该算法可以判断这个程序对于这个输入的运行是否会在有限时间内终止。通俗的说就是，你在电脑上运行一个程序，然后去判断这个程序会不会陷入死循环永远停不下来。&/p&&p&假如我们找到了解决停机问题的方法，那么几乎所有的数学问题都可以用这个方法求解了。也就是说，这些数学问题都可以归约到停机问题上。举个例子，著名的哥德巴赫猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。我们可以构造一个程序，这个程序会从小到大的依次对每个偶数去计算它是否可以写成两个质数的和，如果不可以，则程序退出，如果可以，则继续去枚举下一个偶数。显然，哥德巴赫猜想成立当且仅当这个程序永远不会停止。&/p&&p&很可惜的是，图灵证明了，停机问题是不可计算的。停机问题的不可计算性存在一个很容易看懂的不很严谨的版本，在此简要证明如下（当然你也可以先跳过这个部分，因为虽然简单，不需要任何专业知识也能看懂，但是运气不好的话在这里卡上一个小时也是不出人意料的）：&/p&&p&用矛盾法证明：&/p&&p&假设存在一个程序 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=H%28f%29& alt=&H(f)& eeimg=&1&& 可以对于任何一个程序 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 判断其能否停机。那么我可以构造一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& ，将程序 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=H& alt=&H& eeimg=&1&& 作为程序 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 的子程序调用：&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-text&&如果H(f)返回的结果是停机：
进入死循环，永远不停机
&/code&&/pre&&/div&&p&可以看到，此时无论程序 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=H%28f%29& alt=&H(f)& eeimg=&1&&的返回结果是停机还是不停机，都会导致矛盾。所以不存在能解决停机问题的通用程序。&/p&&p&证毕&/p&&p&&i&&b&如果你跳过了上述证明，你可以从这里开始看起：&/b&&/i&&/p&&p&实际上，可以进一步证明，不可计算的问题是可计算问题的无穷多倍。&/p&&p&不过需要特别说明的是，这里说的不可计算和我们通常理解的不可计算不是一个概念，可以说，这里讨论的不可计算比我们理解的不可计算“更加”不可计算。举个例子：&/p&&p&我们定义一个自然数X等于哥德巴赫猜想的真值，也就是说，如果哥德巴赫猜想为真，则X等于1，如果为假则X等于0。你可能会认为，如果能证明哥德巴赫猜想属于上面提到的既不能被证明也不能被证伪的命题，那么X就是不能被计算的了。这个想法是不对的。这里讨论的可计算性是，存在一个图灵机（或者说存在一个算法），能输出X的值，那么X就是可以计算的。显然，存在一个可以输出0的图灵机，同时存在一个可以输出1的图灵机，所以X必定可以被其中1个图灵机计算，只是我们不知道具体是哪个图灵机而已。&/p&&p&而我们所要讨论的不可计算的实数，则是说，不存在任何一个已知或未知的图灵机（或者说算法），能输出它的值。&/p&&p&ok，如果你一路辛勤的阅读至此，那么恭喜你，你已经完成了理解蔡廷的常数所需要的铺垫了，在此基础上，我们来看一个蔡廷常数的简单版例子：&/p&&p&首先，我们来把所有程序依次编号为1,2,3,4...，然后我们来定义一个实数X如下：X是一个大于0小于1的实数，用二进制表示，其小数点第i位等于1仅当第i个程序能在有限步内停机，否则等于0。&/p&&p&这也就是说，X的小数点后第i位的数字，对应了第i个停机问题的答案。用柯西序列可以证明这个实数是良定义的。如果我们能计算出X的值，那么数学的天空就会一片晴朗，因为非常多的数学问题都可以像上述的哥德巴赫猜想问题一样归约为某一个停机问题，面临这样的问题时，我们只需要查一下X的值就可以找到答案。X这个数字是如此神奇，以至于我怀疑当年Borel提出这个数字时他自己也在怀疑其可计算性吧。当然后来的事情我们都知道了，图灵证明了不存在一个算法能解决所有停机问题，而能计算出这个数字就等于能解决了所有停机问题，所以可以反证出不存在一个算法能计算出这个数字。&/p&&p&在计算理论里面，有一个衡量一个数字的信息量的指标叫做Kolmogorove Complexity，其含义是算出这个数字所需要的最短的程序（或者说算法）的长度。很显然，所有的有理数的信息量都是有限的，所有的代数无理数的信息量也是有限的，而对于超越数来说，存在像 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 这样的数字，其信息量也是很少的，因为可以用一个很短的程序就可以做到输出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 的任意一位。但是，大多数超越数的信息量是无穷，例如上面提到的X。这意味着不存在任何一个有限长的算法可以计算出它的值。&/p&&p&看到这里，较真的读者可能会表示怀疑，这个X真的存在吗？上面的定义真的能准确无误的定义出一个实数吗？这个疑问是合理的，比如我用 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%5E2%3D-1& alt=&y^2=-1& eeimg=&1&& 来定义的y就不是实数而是复数，或者是，如果我定义y为第一个大于2且不能被写作两个质数的和的正整数，这个正整数存在的前提是哥德巴赫猜想为假，如果哥德巴赫猜想为真或不能证明其真假，则这个数字不是良定义的。因此，下面简要说明一下为什么上文提到的X是良定义的实数：&/p&&p&首先读者要有心理准备，无理数之所以是无理数，是因为它看起来的确不讲道理，让人难以理解，因此对此不感兴趣的读者可以直接跳过这一节。ok，废话不多说，正式开始介绍：&/p&&p&在我们讨论实数时，需要对什么是实数达成共识。实数的定义有很多种，每种都不是那么直观，在此我准备用柯西序列（学过高数的人肯定有印象）来构造实数。柯西序列是指这样一个无穷长的数列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正数。例如下图就是一个例子：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-db2fefb4bbf125b3236a26_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&896& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-db2fefb4bbf125b3236a26_r.jpg&&&/figure&&p&通过上图可以直观的看到，柯西序列最后会慢慢慢慢的越来越接近一个数字，无穷的接近一个数字，这时我们说，柯西序列收敛到了一个特定的数字。&/p&&p&对于柯西序列正式的定义是，对于有理数序列 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2C+x_2%2C+x_3........& alt=&x_1, x_2, x_3........& eeimg=&1&& ，对于任意一个确定的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon& alt=&\epsilon& eeimg=&1&& ，总是存在一个正整数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&& ，使得对于任意的正整数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%2Cm& alt=&n,m& eeimg=&1&& ，如果 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%E5%92%8Cm& alt=&n和m& eeimg=&1&& 均大于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&& ，则必有 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_n-x_m%7C%3C%5Cepsilon& alt=&|x_n-x_m|&\epsilon& eeimg=&1&& 。&/p&&p&用有理数构造实数的方法，就是定义一个柯西序列，柯西序列每一个点都是有理数，但是最后却会收敛到一个实数上。&/p&&p&一个典型的例子是0.618....的那个黄金分割比，用柯西序列来定义就是： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_n%3D%5Cfrac%7BF_n%7D%7BF_%7Bn-1%7D%7D& alt=&x_n=\frac{F_n}{F_{n-1}}& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bn%7D& alt=&F_{n}& eeimg=&1&& 表示斐波那契数列的第n项。可以解得这个柯西序列收敛到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D& alt=&\frac{1+\sqrt{5}}{2}& eeimg=&1&&&/p&&p&（以上柯西序列的定义摘自维基百科：&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%259F%25AF%25E8%25A5%25BF%25E5%25BA%258F%25E5%& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&zh.wikipedia.org/wiki/%&/span&&span class=&invisible&&E6%9F%AF%E8%A5%BF%E5%BA%8F%E5%88%97&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&）&/p&&p&&br&&/p&&p&柯西序列是可以相加减的，两个柯西序列相加得到的新的柯西序列的第i个数字就等于原柯西序列的第i个数字的相加和。减法乘法同理。&/p&&p&用这个原理可以很容易证明1和0.........这两个数字是相等的。&/p&&p&我们首先写出1的柯西序列：&/p&&p&1 1 1 1 1 1
....&/p&&p&然后写出0.99999.....的柯西序列：&/p&&p&0.9 0.99 0.999 0.9999 .......&/p&&p&然后用前者减去后者可得：&/p&&p&0.1 0.01 0.001 0.0001 ......&/p&&p&可以看到新得到的柯西序列是收敛到0的，因此1和0.........这两个数字是相等的。&/p&&p&好，了解了如何用柯西序列来定义实数，我们就可以开始证明Borel的X是实数了。&/p&&p&首先我们定义 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 对应的数列的第 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 项 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_n& alt=&x_n& eeimg=&1&& 为一个二进制下 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 位的有理数，其构造方式如下：将 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的前 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 位对应的总共 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 个程序都拿出来，对于每个程序，我们执行 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 步，如果第 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 个程序在前 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 步内终止了，则令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_n& alt=&x_n& eeimg=&1&& 的第 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 位为1，否则为0.&/p&&p&现在我们来证明上面的确定义了一个柯西序列：不失一般性的，令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon%3D10%5E%7B-c%7D& alt=&\epsilon=10^{-c}& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&& 是正整数，则定义整数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&& 为前 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&& 个程序中，最终会停机的那些程序里面，最长的到达停机状态的步数。换言之，必然存在一个正整数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&，使得对于前 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&& 个程序中的任意一个最终会停机的程序，在执行&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&步之后，都会停机。令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X_c& alt=&X_c& eeimg=&1&& 表示取 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的前 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&& 位得到的有理数，可以看到，对于任何的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%3EN& alt=&n&N& eeimg=&1&& ，都有 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X_c+%5Cleq+x_n+%5Cleq+X& alt=&X_c \leq x_n \leq X& eeimg=&1&& ，又由于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7CX-X_c%7C%5Cleq+%5Cepsilon& alt=&|X-X_c|\leq \epsilon& eeimg=&1&& ，所以这是一个柯西序列&/p&&p&所以 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 是一个良定义的实数，证毕&/p&&p&&br&&/p&&p&细心的读者可能会发现，用上面定义柯西序列的方法不就可以求解出&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&了吗，这那为啥还说它是不可计算的？这不是矛盾了吗？&/p&&p&问的好。用上面的方法的确可以保证得到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的任意多位的值，但是，如果真的用上面的流程来计算&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的话，我们永远没有办法知道什么时候自己手里的答案是正确的，而只能知道从某个时刻开始我们手里的答案就一直是正确的。&/p&&p&这么说可能比较抽象，举个例子就清楚了，例如我给你一个箱子，里面装了无数个球，每个球有个编号，编号是从1开始的自然数，我告诉你里面有3红球，剩下的都是白球，你每次可以从中拿出一个你指定的编号的球，请你设计算法找出3个红球。此时你的做法可以很简单：你就依次取出第1个球，第2个球，第3个球。。。直到你取出了3个红球为止。假设三个红球中编号最大的为W，你虽然不知道W是多少，但是你知道你的算法最后一定会在有限步内终止。&/p&&p&而假如同样的例子里，我告诉你里面最多有4个红球，但是不告诉你确切有几个，请你找出里面的全部红球。此时你就无能为力了，你可以一直找下去，直到找到4个红球，你就可以确定完成任务了，但是如果假设总共只有3个红球，那你就只能永远的找下去了，尽管你知道必定存在一个有限的时刻，在这个时刻之后你已经拿到了所有红球，但你永远也不知道你自己当前是在这个时刻之前还是之后。&/p&&p&向 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 这样可以用有理数从数轴左侧无限逼近的数，叫做left enumerable computable real number(left c.e. real)，同理，那些可以用有理数从数轴右侧无限逼近的数，叫做right c.e. real。很显然，如果一个数既是left c.e. real也是right c.e. real，那么我们可以用上面类似的办法从数轴两边同时逼近它，从而求出它的任何一位来。但可惜的是，用上面的方法只能从左边去逼近 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& ，我们没法办法去逼近 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的上界。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&如果你跳过了上述证明，你可以从这里开始看起：&/i&&/b&&/p&&p&另外一个值得注意的点是，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的取值是取决于我们对停机问题的排序的，例如我们可以把哥德巴赫猜想程序排在第2个位置，也可以排在第1000个位置。不同的排序对应了不同的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&。所以准确的说&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是一类数，只有当排序确定后，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&才成为一个确定的数。而由于排序方法有无数种，所以从这里也可以看出，不可计算的数也有无穷多。&/p&&p&&br&&/p&&p&不过，虽然&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&整体不可计算，但是其中的某些位还是可以确定的，例如，假设其第1位对应的问题是是否存在一个完全平方数，那么显然经过简单计算即可知道这一位的取值是1。而蔡廷常数就不一样了，存在一些蔡廷常数，不仅其整体不能被计算，其任何一位都不能确定。其原因在于，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的前n位储存了n个停机问题的解，而蔡廷常数的前n位储存了大约为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5En& alt=&2^n& eeimg=&1&& 个停机问题的解，其任何一位数字的确定都依赖于多个停机问题的解的共同作用，而用某些巧妙的方法，可以构造出这样的蔡廷常数（还记得之前说过&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的值依赖于对停机问题具体的排序吗），使得其每一位对应的停机问题中，至少有一个停机问题对应的问题是既无法被证明又无法被证伪的。&/p&&p&因此存在很多蔡廷常数，其每一位的值我们都不能确定！&/p&&p&关于这个巧妙构造的方法，因为过于复杂，在此不展开讨论，只是说下为什么蔡廷常数能做到前n位储存大约&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5En& alt=&2^n& eeimg=&1&& 个停机问题的解。因为蔡廷常数本身的定义比较复杂，涉及到树的概念（数学上的树，是一个数据结构，和生活中的数不同），所以在此先不作讨论，而给出我自己定义的一个yo常数，但是道理是类似的。&/p&&p&我们的yo常数是基于之前讨论的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 来定义的，我们的目标是把信息量压缩到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B6%7D%7B63%7D& alt=&\frac{6}{63}& eeimg=&1&& ，即用6位数字来储存63个停机问题的解。对于每63个停机问题，我们将其化为一组，前63个问题对应了yo常数的前6位，64到126个问题对应的是yo常数的第7到12位，以此类推。&/p&&p&对于每组数字的值我们这么定义：其对应的63个停机问题中，假设有x个问题是可以停机的，则该组数字对应的值等于x。显然 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=0+%5Cleq+x+%5Cleq+63& alt=&0 \leq x \leq 63& eeimg=&1&& 。而0到63 在二进制下是可以用6位数字来编码的。所以x最大等于二进制下的111111&/p&&p&显然，可以用同&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&类似的方法证明yo常数也是一个良定义的实数。下面要说明的是为什么yo常数是不可计算的。我们通过证明yo常数可以解决所有停机问题来反证：&/p&&p&假设我们知道yo常数的值，那么对于任意一个停机问题，我们首先找到它对应的那一组数的位置，假设该数为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& ，则表示其对应的63个停机问题中有 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 个是可以停机。于是我们同时运行这64个程序，直到出现 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 个停机的程序，此时我们看我们要求的停机问题在不在这 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 个程序里面即可。&/p&&p&证毕。&/p&&p&&br&&/p&&p&当然，蔡廷常数比我这个yo常数更厉害，因为它对信息的压缩率要高的多的多。讲了这么久，终于可以正式的引出我们今天的主角了。但在此之前要说明的是，其实接下来的内容不用看你也已经大致了解蔡廷常数大概是什么东西了，下面的说明无非是些具体的细节问题，不是那么重要。但是，即使有了上面那么长的铺垫，这些细节依然理解起来很有难度，所以如果你没有计算机或者数学本科背景的话，恭喜你，你已经阅读完了本篇回答了（真诚脸，相信我）。&/p&&p&&br&&/p&&p&后记：&/p&&p&本来只是想抖个机灵，但是看到评论区对蔡廷常数很感兴趣，因此写下了这个补充说明，开始写的时候旁边的人还在看世界杯，写完发现天已经亮了。我统计了下，这个回答总共7600字，相当于一篇论文了。讲道理除了之前的一篇介绍福特定理的回答外，我在知乎上再没有这么长的文章了，但我也深知，即使写了这么多，由于蔡廷常数涉及的前置知识确实比较难，以及我自己的文笔和水平有限，因此这样的介绍对于缺少背景知识的人来说只能是走马观花，在此表示道歉。&/p&&p&但尽管知道如此，我依然写出来了，因为我觉得这世上应该会有不少人和当年的我一样，对人类的认知感兴趣吧。如果你认真阅读后依然有疑惑，可以在评论区提问，我会尽量解答的。&/p&&p&如果你对可计算理论感兴趣，想进一步了解，但是又不是专业人士，我在此推荐一本书，叫做《哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成》，这本书是从科普、艺术和哲学的角度来深入浅出的讲可计算理论的，里面会从芝诺悖论开始，一步一步的带领读者走向“无穷”这个普通人最难理解的概念。但由于是科普书，我看了头几章觉得太过于科普所以没看下去，但是我的印象是，作者要实现的目标是，对于一般人来说，里面所有的内容都是虽然很烧脑但是几乎没有前置知识只要用力就肯定可以看下去的。&/p&&p&后记完&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&。&/p&&p&&b&蔡廷常数&/b&&/p&&p&首先根据蔡廷常数的定义可知，其数值是和语言相关的。例如c语言对应了一个蔡廷常数，java又对应了一个蔡廷常数。严格来说，蔡廷常数定义在一个图灵完备的语言上，且要求该语言不存在一个语句是另一个语句的前缀。设该语言的集合为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P_%7BF%7D& alt=&P_{F}& eeimg=&1&& ，则蔡廷常数的定义如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-69b70c47fa4118b60dbfefed95c00769_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&137& data-rawheight=&53& class=&content_image& width=&137&&&/figure&&p&其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7CP%7C& alt=&|P|& eeimg=&1&& 表示语句P的长度。可以证明该求和收敛，且大于0小于1.&/p&&p&由上述定义可知，蔡廷常数的前几位并不比后几位更加重要，所以说，只知道小数点后1到10位的值，和只知道小数点后第位的值，没有什么差别。所以对于蔡廷常数来说，讨论近似值是没有意义的&/p&&p&蔡廷常数精确定义了一个实数这一点的证明方法和上文相同，在此不赘述。只特别说明一点，虽然乍一看这个求和得到的值可能大于1，但是要注意到定义里有一个前提条件，即不存在一个语句是另一个语句的前缀，根据&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Kraft%25E2%McMillan_inequality& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Kraft-McMillan inequality&/a&，可证在这个前提下上述求和得到值不会超过1。&/p&&p&下面说明为什么蔡廷常数是不可计算的。同样此处用其可解决通用停机问题来反证，由于这个证明比较抽象，所以这里只给出简要说明：&/p&&p&假如我们需要求解某个程序能否停止，例如上文提到的哥德巴赫猜想程序，假设该程序长度为L。再假设我们求出了蔡廷常数为C。则我们可以用如下算法求得哥德巴赫猜想程序能否停止：&/p&&p&首先初始时令S等于一个空集，令实数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=C%27& alt=&C'& eeimg=&1&& 等于0。&/p&&p&从第1步开始，每一步执行如下操作：&/p&&p&
对于第i步，首先我们将所有长度小于等于i的程序加入集合S。然后对于S中的每一个尚未终止的程序都运行K步（K可为任意正整数）。在这个过程中，可能会有一些之前尚未终止的程序在这一步终止，对于每一个这样的程序，假设其长度为|p|，则令&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=C%27%3DC%27%2B2%5E%7B-%7Cp%7C%7D& alt=&C'=C'+2^{-|p|}& eeimg=&1&&&/p&&p&随着上述步骤的不断执行，一定会在有限步内出现如下两种情况之一：&/p&&p&情况1：我们要求解的哥德巴赫猜想程序在第L步被加入了集合S，并在之后的某一步终止。由此可知，该程序会终止，哥德巴赫猜想错误&/p&&p&情况2：哥德巴赫猜想程序一直没有终止，但是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=C%27& alt=&C'& eeimg=&1&&不断增大，直到在某一时刻&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=C%27%2B2%5E%7B-%7CL%7C%7D%3EC& alt=&C'+2^{-|L|}&C& eeimg=&1&&&/p&&p&，由蔡廷常数的定义可知&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=C%27& alt=&C'& eeimg=&1&&是不可能大于C的，因此哥德巴赫猜想程序一定不会终止，哥德巴赫猜想由此得证&/p&&p&有上述算法可知，如果求出蔡廷常数，则可以求解停机问题，但停机问题又是不可解的，由此推出了矛盾。&/p&
\pi 还是太naive了。我要是宇宙设计者，我就把信息藏在蔡廷常数里，这才是对人类最大的嘲讽。蔡廷常数，其含义是找随机生成一段程序，这段程序不会陷入死循环的概率。可以证明这是一个确定存在的无理数，但是同样可以证明它是不可以被计算出来的。实际上，…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-6f292e2daf565f379771dea3ac5bcd7e_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&376& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-6f292e2daf565f379771dea3ac5bcd7e_r.jpg&&&/figure&&p&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-bb95356bda6c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-bb95356bda6c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&数学对于一些人来说非常简单，但对于另一些人来说，一些简单的题目都会让人抓狂。有些数学题远比题目看上去要复杂，而有些又会被大家过度解读。以下是互联网上10大数学网红题目：&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-a3e245ed62ff9a92fc6f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&392& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-a3e245ed62ff9a92fc6f_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&这道题最早出现在《每日邮报》上，由Go Tumble在Wikr上出的题目，之后在Facebook上病毒式传播开来。这道题有2个答案：40和96&/p&&p&&br&&/p&&p&第一个答案的解题思路：后一个等式的和+前一个等式的和。&/p&&p&&br&&/p&&p&第一行：1 + 4 = 5&/p&&p&&br&&/p&&p&第二行：2 + 5 = 7，而题目中的和是12，因此可得5 + 7 = 12&/p&&p&&br&&/p&&p&第三行：3 + 6= 9，而题目中的和是21，因此可得 9 + 12 = 21&/p&&p&&br&&/p&&p&以此类推：8 + 11 = 19，因此最终答案是19 + 21 = 40&/p&&p&&br&&/p&&p&第二种解题思路：将等式中的第二个数拆解成2数相乘，使得等式两边结果成立。&/p&&p&&br&&/p&&p&第一行：1 + (4 x 1) = 5&/p&&p&&br&&/p&&p&第二行：2 + (5 x 2) = 12&/p&&p&&br&&/p&&p&第三方：3 + (6 x 3) = 21&/p&&p&&br&&/p&&p&以此类推：8 + (11 x 8) = 96&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9ba1c5f2fef3d57031dd6_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&362& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-9ba1c5f2fef3d57031dd6_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这道题需要使用到的知识点是四则混合运算法则（PEMDAS or BODMAS）：先乘除后加减，有括号先算括号内，计算过程遵循从左到右。因此正确答案是9，但是由于四则混合运算法则在1917年前后有所不同，因此有些地区还沿用的是1917年之前的运算法则，根据那样的运算法则计算出的结果是1&br&&/p&&p&&br&&/p&&a class=&video-box& href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/774016& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-119ee50c4bdc2bf065b17c_b.jpg& data-lens-id=&774016&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-119ee50c4bdc2bf065b17c_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/774016&/span&
&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e2cafd4f1aeb6d57a224b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&950& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-e2cafd4f1aeb6d57a224b_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&第一题要求学生使用重复加法表示5×3，学生的答案是5+5+5=15，老师批错，正确答案是 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15&/p&&p&&br&&/p&&p&第二题要求学生用数组表示4×6，学生画出一个6行4列的矩阵来表示，老师批错，正确答案是一个6列4行的矩阵。&/p&&p&&br&&/p&&p&这样的试题引起了大家的极大反响，有人认为这样死板的答案会影响到学生以后对乘法交换的理解，因为根据乘法交换律4×6=6×4，而这样的答案是在告诉学生，规律并不正确。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-f2579fbe8cd0adaedb057c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&1152& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-f2579fbe8cd0adaedb057c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&新加坡的一位主持人首次将这道小学5年级的逻辑题发布到Facebook上，被转发了近6000次。这道题的问题是Cheryl的生日是哪一天？题中，Cheryl告诉 Albert和Bernard不同的线索，一人只知道日期，另一人只知道月份，根据2人的对话最后找出Cheryl的生日。最终的答案是7月16日。之后被发现这道题并不是新加坡普通小学生做的题目，而是新加坡和亚洲学校数学奥林匹克比赛（SASMO）中的一道奥数题。&/p&&p&&br&&/p&&p&《纽约时报》为此专门发布了解题思路：这种题目挑战的是人类的思维方式。在此题中有个前提是每个人说的都是真话，因此可以根据每个人所说的话进行判断。经常做奥数题的学生对此非常熟悉，而大部分普通人如果不经过长期的思维训练看完题目也是一脸懵逼。&/p&&p&&br&&/p&&p&要解这道题需要将题中出现的10个日期画成一张表格：&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a8f896a936ed419daf5f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&494& data-rawheight=&123& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&494& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-a8f896a936ed419daf5f_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&接着开始分析Albert和Bernard说的话，首先是Albert：&/p&&p&&br&&/p&&p&我不知道Cheryl的生日，Bernard也不知道。&/p&&p&&br&&/p&&p&从前半句可以得出Albert只知道月份，不知道日期。重点在后半句话！Bernard什么情况下会知道生日？假设他只知道日期，如果Cheryl告诉他是19日，那么生日只能是5月19日，如果告诉他是18日，那么生日只能是6月18日。&/p&&p&&br&&/p&&p&因此从Albert的陈述中可以得出，Cheryl的生日月份不是5月或6月。&/p&&p&&br&&/p&&p&所以Bernard的回答是：&/p&&p&&br&&/p&&p&一开始我不知道，现在我知道了。&/p&&p&&br&&/p&&p&从Albert的陈述中，Bernard也知道了Cheryl的生日不在5月或6月，剩下的可能是7月14日、7月16日、8月14日、8月15日、8月17日。现在假设Bernard知道了生日的具体日期，如果Cheryl告诉他的是14日，Bernard还是不能确定生日，因为有2中可能性，7月14日和8月14日，因此可以排除14日。最后剩下3种可能：7月16日，8月15日，8月17日。由于Bernard知道日期，因此知道了Cheryl生日是7月16日。&/p&&p&&br&&/p&&p&所以Albert接着说&/p&&p&&br&&/p&&p&现在我也知道Cheryl的生日了。&/p&&p&&br&&/p&&p&假设Albert只知道月份，从Bernard的话中就可以确定Cheryl的生日是7月16日，因为如果是8月，那么Bernard还是无法确定到底是8月15日还是8月17日。现在Bernard已经确定了生日，可知只能是7月16日。&/p&&p&&br&&/p&&p&这是一位英国的母亲将自己2年级孩子的数学题发布到了推特上，从题干上可知，下车的19人可以表示为-19，上车的17人可以表示为+17，因此可以得出，一上一下之间少了2人，现在车上还有63人，那么一开始车上总共有65人。&/p&&p&&br&&/p&&a class=&video-box& href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/532992& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-43b40cf8d7fc76ca57dc788_b.jpg& data-lens-id=&532992&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-43b40cf8d7fc76ca57dc788_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/532992&/span&
&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e0bc54f00f31cddfbb88309_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&531& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-e0bc54f00f31cddfbb88309_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&香港小学入学考试，这道题考察的是学生的发散性思维，并没有考察任何数学知识，只需要将图片倒过来看就会发现停车位的编号从86～91，图中车辆所停的位置编号是87&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-d8d8ecdb2ecdefd7b4104def_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&228& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-d8d8ecdb2ecdefd7b4104def_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这其实是一道咬文嚼字的阅读理解题，而并不是数学题，通过偷换概念搞混思路，有人专门在推特上画了一张表格来说明并没有损失：&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-4ed99daebcd9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-4ed99daebcd9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-317b0f31cbe61dcdc7bfe9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&563& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-317b0f31cbe61dcdc7bfe9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这道题是越南小学3年级的数学计算题，并没有多大的难度，只是计算有些繁琐很容易出错。题中要求在空格内填入1～9，每个数只能使用一次，：号代表除，最后的结果等于66。&/p&&p&&br&&/p&&p&将以上的蛇形方块根据四则混合运算法则整理成方程式如下：&/p&&p&&br&&/p&&p&a + (13b/c) + d + 12e – f – 11 + (gh/i)– 10 = 66&/p&&p&&br&&/p&&p&在方程式中设了a, b, c, d, e, f, g, h ,i 这9个变量，经过进一步整理如下：&/p&&p&&br&&/p&&p&a + (13b/c) + d + 12e – f +(gh/i) = 66 + 11 + 10 = 87&/p&&p&&br&&/p&&p&或是&/p&&p&&br&&/p&&p&a + d – f + (13b/c) + 12e +(gh/i) = 87&/p&&p&&br&&/p&&p&从以上方程中可知，b/c和gh/i 的值只能是正整数或0，而且13b/c的结果也不会很大。接着就开始代入这些数字，由于可能性太多，以下只是答案之一：&/p&&p&&br&&/p&&p&取13b/c的最小值，当b = 2，c = 1时，得到&/p&&p&&br&&/p&&p&a + d – f + 26 + 12e +(gh/i) = 87&/p&&p&&br&&/p&&p&或者&/p&&p&&br&&/p&&p&a + d – f + 12e +(gh/i) = 61&/p&&p&&br&&/p&&p&剩下的数字是3～9，其中包括质数3、5、7，可以先将这些质数代入：&/p&&p&&br&&/p&&p&设a = 3，d = 5 ，f = 7得&/p&&p&&br&&/p&&p&3 + 5 – 7 + 12e +(gh/i) = 61&/p&&p&&br&&/p&&p&或者&/p&&p&&br&&/p&&p&12e +(gh/i) = 60&/p&&p&&br&&/p&&p&剩下的数字还有4,6,8,9，可得&/p&&p&&br&&/p&&p&e = 4&/p&&p&&br&&/p&&p&g = 9&/p&&p&&br&&/p&&p&h = 8&/p&&p&&br&&/p&&p&i = 6&/p&&p&&br&&/p&&p&48 + (72/6) = 48 +12 = 60&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-93b7f18e02bef82cedef5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-93b7f18e02bef82cedef5_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这道题，如果不认真看题的第一反应的答案是10美分，错了！1美元只比10美分多了90美分，题中所给的条件是1美元多，因此棒球棍应该是1.05刀，而棒球是0.05刀。看似简单的题目竟然难倒了哈佛、麻省理工和普林斯顿超过一半的大学生，他们的回答都是错误的。这道题告诉大家有些时候不要对自己的直觉太过自信。&/p&&p&&br&&/p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.wttech.org/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic3.zhimg.com/v2-39d097ffcc5a_ipico.jpg& data-image-width=&150& data-image-height=&150& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&WTT资讯-最新科技资讯，实时网安信息&/a&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-91bf569ea585eae0808b0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&368& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-91bf569ea585eae0808b0_r.jpg&&&/figure&&p&欢迎关注我们：&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/people/e4b4cee7b4c9afd105e527d& class=&internal&&@W-Pwn&/a&&/p&
数学对于一些人来说非常简单，但对于另一些人来说，一些简单的题目都会让人抓狂。有些数学题远比题目看上去要复杂，而有些又会被大家过度解读。以下是互联网上10大数学网红题目： 这道题最早出现在《每日邮报》上，由Go Tumble在Wikr上出的题目，之后在Face…
&p&面试百度的时候想出来的，一道智力题：&/p&&blockquote&桌上有20枚硬币，其中10枚正向，10枚背面。现在把你的眼睛蒙上，请你把硬币分成两堆，可以反转硬币，要求两堆正面向上的硬币数一致。&/blockquote&&p&我飞快的想出了自己的答案：将硬币全部立起来，分为任何两堆，正面向上的硬币数都为0。面试官沉默了一会，说：这不是脑筋急转弯。&/p&&p&&br&&/p&&p&结局当然是面试没通过&/p&&p&&br&&/p&&p&之后我再看到这道题的时候，题目已经变成了&/p&&blockquote&一付54张扑克牌，其中有十张是翻过来的。现在把你的眼睛蒙上（绝对没有偷看的可能），让你把扑克牌分成两叠（两叠的多少可以不一样）。要求在两叠中翻过来的扑克牌是相等的。请问该怎么做？除了扑克牌的数目，其它因数（扑克牌大小，重量，颜色，表面触摸的感觉，等等）不参与题目之中。扑克牌可以任意次重新排序、翻转。10张翻过来的扑克牌是随机分布在扑克牌中。&/blockquote&&p&把我发现的bug修复了。&/p&&p&&br&&/p&&p&答案和解释：&/p&&blockquote&答案：第一步，你在这54张牌中任意取出10张，现在，扑克牌分成了两叠。44张和10张；第二步，44张那叠不动，将10张这叠每张都翻过来，便得到了符合条件的两叠牌。&br&&br&解释：第一步之后，设44张那叠中正面牌x张，10张那叠中正面牌则为10-x张。第二步之后，44张那叠中正面牌保持x张，10张那叠反过来了：反面牌为10-x张，正面牌x张。&/blockquote&
面试百度的时候想出来的，一道智力题：桌上有20枚硬币，其中10枚正向，10枚背面。现在把你的眼睛蒙上，请你把硬币分成两堆，可以反转硬币，要求两堆正面向上的硬币数一致。我飞快的想出了自己的答案：将硬币全部立起来，分为任何两堆，正面向上的硬币数都为…
&p&我来提供一道神题吧！&/p&&p&&b&“150盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，3，4，…，150。将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，再将编号为5的倍数的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数为几盏？”&/b&&/p&&p&千万别小看它，不信你试试~~~&/p&&p&答案见下方。&/p&&p&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&oOo&/p&&p&ooO&/p&&p&oOo&/p&&p&Ooo&/p&&p&oOo&/p&&p&ooO&/p&&p&oOo&/p&&p&Ooo&/p&&p&oOo&/p&&p&ooO&/p&&p&oOo&/p&&p&Ooo&/p&&p&oOo&/p&&p&ooO&/p&&p&oOo&/p&&p&ooO&/p&&p&oOo&/p&&p&Ooo&/p&&p&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&正确答案是亮着90盏。&/p&&p&算错的记得点赞。&/p&&p&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/p&&p&更新：搜索题干，还能读到此题的小故事OoO&/p&
我来提供一道神题吧！“150盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，3，4，…，150。将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，再将编号为5的倍数的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数为几盏？”千万别小看它，不信你试试~~~答案见下方。~~~~~~~~~~~…
老有人说“误诊率”这个表达不准确啊……特此声明：“误诊”包括假阴性和假阳性两种情况，“误诊率”指的是这两种情况之和与总检测人数的比例。至于原文我就不改了～毕竟我喜欢对称～～～&br&&br&&br&～～～～～～～～～～～～～～～～～～～&br&我知道一道很反直觉的数学题：&br&&br&我们假设有一种病毒，感染率为1%&br&针对这种病毒的检测，误诊率为1%&br&&br&问：如果医生通知你是感染者，你真正感染了的概率是多少呢？&br&&br&99%？naive！再想想～&br&&br&…&br&…&br&…&br&…&br&…&br&…&br&…&br&…&br&…&br&&br&答案是你只有50%的概率是一位真正的感染者&br&&br&怀疑吗？有趣吗？&br&&br&我们不妨代入一个实数来想这个问题：&br&&br&假设某地有10000个人&br&那么其中100位感染，9900位健康。&br&&br&100位感染者里：&br&有99位被告知感染 （99%准确）&br&有1位被告知健康 （1%误诊）&br&&br&9900位健康者里：&br&有99位被告知感染 （1%误诊）&br&有9801位被告知健康 （99%准确）（谢谢Dorling、纯纯小猛兽的提醒）&br&&br&看出来了吗？&br&在所有被告知感染的人里，有99位真正的感染者和99位健康的人，人数一致！&br&所以对于一位个人来讲，即使被医生告知感染，他仍有50%的可能性是健康的&br&&br&一道初中水平的题也可以如此反直觉，数学是真的可以很有趣的。&br&&br&&br&&br&&br&&br&——————人生第一次百赞分割线————&br&&br&谢谢各位对我的回答这么感兴趣，这个更新是为了给各位抛另一个我觉得有意思的数学问题，顺便解决一些我在评论区看到的误会。&br&&br&是这样……本人现在是一名大二学生，数学专业。我看到评论区有朋友很热心地指教我，谢谢各位——但这并不是我回答的初衷。&br&&br&我从高二开始每年暑假都有做一些家教的工作，学生从小学一直到大学都有，至今已经第五年了（我高中要上四年，误扰）。我看到太多的孩子被学术性的数学折磨的死去活来的，进而变得非常厌恶数学。&br&&br&但作为一名数学专业的学生，我所认识的数学并不是这样的（感谢我的一众导师）。数学在学术之余应该是一种娱乐！&br&&br&不知道有多少人会赞同这一点：数学这门学科在创立之初是为了解释我们所处的这个世界，随着它不断的发展累计了大量的理论体系。但时至今日，数学所解释研究的对象已经开始脱离现实生活了。&br&&br&在这个基础上我承认：我的学生里至少7成的人，以后从事的工作，至少一眼看上去是跟数学没有什么联系的。但我不希望任何人以此为借口，将数学变成应考的工具，甚至排斥学习这个学科。因为毕竟数学实际上是那么有趣，错过它是一件很遗憾的事情。&br&&br&结论就是：您可以自由地在评论区帮我标注相关知识的专有名词，但我是试图避开这些说法的。我试图用数学里比较本质而又反直觉的一部分来引起一些人对数学的兴趣。谢谢。&br&&br&&br&&br&&br&然后就是一个有意思的思考题啦～～～～这个题目有一个浪漫的名字：加百列的号角&br&&br&函数1/x的图像大家都会画吧，想象一下将x&1的部分的图像绕着x轴旋转一周，形成一个号角的形状&br&&figure&&img data-rawheight=&1334& src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-a60c08f49f4b459f9b39a_b.jpg& data-rawwidth=&750& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-a60c08f49f4b459f9b39a_r.jpg&&&/figure&&br&&br&这个号角的有趣之处在于：它的体积是有限的———π立方单位，但表面积是无限的！&br&&br&（证明请见：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.dummies.com/education/math/calculus/how-to-find-the-volume-and-surface-area-of-gabriels-horn/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&dummies.com/education/m&/span&&span class=&invisible&&ath/calculus/how-to-find-the-volume-and-surface-area-of-gabriels-horn/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&）&br&&br&由于号角壁是由一条线旋转而来的，可以认为它的厚度等于0，所以号角内壁的面积等于其外壁的面积。&br&&br&那么问题就来了：挖掘机………………呸！如果我们假设一桶体积为π的油漆足以灌满号角内部，那我们是不是可以认为：至多体积为2π的油漆，就足以覆盖号角的内外壁了呢？（也就是说体积为2π的油漆就够刷无限的面积～？）&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&P.S. 那个证明可以再简化的…但手机码字实在不懂怎么打数学符号…有好用的app或者插件的求推荐～
老有人说“误诊率”这个表达不准确啊……特此声明：“误诊”包括假阴性和假阳性两种情况，“误诊率”指的是这两种情况之和与总检测人数的比例。至于原文我就不改了～毕竟我喜欢对称～～～ ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 我知道一道很反直觉的数学…
补:&br&&br&自然律螺旋线的研究可以归结为e;&br&花开花落、细胞凋亡的规律可以归结为e;&br&宇宙膨胀、星球衰亡的规律可以归结为e;&br&……&br&再比如本人学习的控制理论，控制理论的根本是对特征值的研究，而特征值的根本又是e的衰减率！&br&……&br&&br&而e的本质是什么？e是高维空间的1投射到一维空间的量度。&br&e是存在于高维空间的，直到我们有一天发现了它，开始去应用它。&br&以前在知乎上看到过一个说法是这样：数学可以看作我们从低维空间向高维空间研究的工具。&br&我想或许可以这么说，数学是我们三维生物去了解生活在高维空间神灵的窗口。&br&&br&&br&&br&&br&原答案：&br&1.第一那当然是e，大自然的神奇产物。相信大家没少碰过e，大自然的衰减上升规律均可以用e的at次方线性表示，大到宇宙扩张，小到细胞衰变。&br&e其实就是1，是高维空间的的1在一维空间的映射值。&br&没错e，也是自然律 螺旋线 的表达！&br&2.当然还有pai,任何序列数均可以在其中找到。也表示一个二维空间里圆线长度投影到一维空间的衰减比例。&br&3.这里还有有个神奇的工具—-矩阵，很多难以理解的复杂维度问题，可以轻松用矩阵表示，包括e，如果你深入去了解，你会发现矩阵就是一个世界。
补: 自然律螺旋线的研究可以归结为e; 花开花落、细胞凋亡的规律可以归结为e; 宇宙膨胀、星球衰亡的规律可以归结为e; …… 再比如本人学习的控制理论，控制理论的根本是对特征值的研究，而特征值的根本又是e的衰减率！ …… 而e的本质是什么？e是高维空间的1…
&p&先科普一下斐波那契数列：&/p&&blockquote&常见的斐波那契数列是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……&br&数列特征是前2项为1,从第3项后每一项都等于前2项之和。&br&该数列神奇的地方是n足够大之后,前一项与后一项的比接近黄金分割数0.618,该性质被用于模拟计算股票从低点到高点的差值(或相反),取得了很好的效果。当然也可以用于模拟很多自然现象。&/blockquote&&p&说完题目中的数列之后，回到问题本身。&/p&&p&在统计学中也有一个神奇的“本福特法则”，可以用来识别数据是人工伪造的还是自然生成的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-4cafbb12ebd_b.jpg& data-rawwidth=&321& data-rawheight=&223& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&321&&&/figure&&p&2001年，美国最大的能源交易商安然公司宣布破产，在世界上引起轩然大波。在安然公司的丑闻冒出之前，就已经有人在互联网上指出安然公司公布的财务数据疑似作假，因为不符合统计学中的“本福特法则”。&/p&&p&那么问题来了，什么样的法则这么神奇？居然能够看出财务数据造假！&/p&&p&通俗的来说，“本福特法则”告诉我们：&b&自然生成的数据中，首位数字从1到9出现概率依次递减。其中1出现最多为30.1%，2为17.6%，3为12.5%，依次递减，9的概率是4.6%。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-74df90ba7de6b83a6cab99c95d85bb2d_b.jpg& data-rawwidth=&260& data-rawheight=&196& data-size=&normal& class=&content_image& width=&260&&&figcaption&（图：首位数字出现的概率直方图）&/figcaption&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&这个法则颠覆了我们的认识！&/b&&/p&&p&人们通常觉得这9个数字出现的概率是相同的，或者5、6出现的概率更高，所以，人造数据常常具有这两种特征中的一种。但人们的直觉恰好违背了统计学的规律！&/p&&p&在数学上，这个法则有着精确的表达式，并且已经被严格证明，但证明的过程实在太数学了，奥数君在这里就只给出一种直观的解释，对严格的数学证明感兴趣的人可以自行搜索论文“A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law.”&/p&&p&&b&直观的解释是这样的:对于自然出现的数字来说，数字的增加会越来越困难。从个位数开始增加，刚出现的多位数是以1起首，直到9起首的数出现之前，必然会经过一堆以2,3,4,…,8起首的数，由于增加是越来越困难的，因此，数字越小，在首位出现的概率越大。&/b&&/p&&p&尺有所长，寸有所短，再牛的法则都有其适用范围。 “本福特法则”在应用前需满足以下两条：&/p&&p&一是数据的数量级跨度必须足够大。比如人口的年龄分布如果按年计算就不服从该法则，因为数量级跨度太小，但如果按分钟计算，“本福特法则”就绝对适用。&/p&&p&二是数据应当是自然生成的，没有人为规则限定。比如手机号码、身份证号等就不适用该法则。&/p&&p&值得注意的是，即便更改数字的计量单位，比如把人民币换为美元，或者把亩换算为平方米，“本福特法则”也依然适用，这一点在数学上被称为尺度不变性。&/p&&p&因此，在现实生活中，只要面对大量数据，我们就可以应用“本福特法则”判断数据是否存在造假嫌疑。&/p&&p&在涉及经费收支、货物进出库、选举票数统计等方面，“本福特法则”已经成为辨别真伪的照妖镜，比如有学者就根据这一法则发现了2004年美国总统选举中佛罗里达州的投票欺诈行为。&/p&&p&学会这个法则，是不是有一种锤子在手，看啥都是钉子的感觉？赶快找点数据验证一下吧。&/p&&p&这篇文章原本发在我的微信公众号里边的。公众号叫“每天3道奥数题”(tiantianaoshu），是教家长辅导奥数的，每天给出小学奥数题及详细解答，也会隔三岔五给出数学知识科普，欢迎关注。&/p&
先科普一下斐波那契数列：常见的斐波那契数列是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…… 数列特征是前2项为1,从第3项后每一项都等于前2项之和。 该数列神奇的地方是n足够大之后,前一项与后一项的比接近黄金分割数0.618,该性质被用于模拟计算股票从低点…
先来做一个数学题：&br&任何一个人，必有2位父母，必有4位祖父母，必有8位曾祖父母...&br&上溯10代，一个人会有1024位祖先&br&上溯20代，一个人会有1048576位祖先&br&上溯30代，一个人会有10.74亿位祖先。&br&30代的时间是多长？25年一代，不超过800年。宋朝。宋朝全盛时期的人口1亿。&br&这个数学题意味着什么？&br&因为每个人都有数量极其庞大的祖先数量，庞大到远远超过人口总数的规模。因此，从数学意义上说，我们每个人的祖上一定都有皇族的血统。&br&皇族后裔？你我他，每个人都是。&br&&br&十几亿的祖先，肯定是相互重合的（大大超过人口总数了）。但这个论述的核心要点在于，血脉的延续经过30代左右，会被稀释到十几亿（每过十代，两三百年，再稀释一千倍）分之一的程度，对现在的幸存者来说，面对这十几亿甚至数千亿的祖先可能性，恰好被排除在“皇族”之外的可能性低到忽略不计了。在这种情况下，说我们每个人都是皇族后裔，在数学上是完全成立的。&br&&br&再说明一下吧，还是很多人没想明白啊：&br&每个人的祖先数目都是一个极大的数（1000年前达万亿级），这个大数里包含的人形形色色，既有皇族，也有平民，既有英雄，也有小人。而祖先里“一个皇族都没有”的人的概率低到忽略不计，所以我们每个人在数学意义上都是皇族后裔。当然，你也可以说，我们每个人都是将军的后裔，我们每个人都是大儒的后裔，我们每个人都是杀人犯的后裔...我们每个人都是历史上各种身份的人的后裔。&br&&br&而这种数学意义上的后裔，在生物学上是没有意义的，因为你一千年前的皇族血脉也好，杀人犯血脉也好，都在几十代的繁衍过程中被稀释成几亿分之一了（人类基因的数目也就2.5万个而已）。&br&&br&为什么那么多人觉得不可思议？因为在他们一直以来的想象中，自己的祖先应该是两个或者有限的几个慈眉善目的老爷爷老奶奶。他们无法想象自己的祖先数目极其庞大这一现象。然而，无论是数学推理，还是遗传统计学的证据都表明：每个人的祖先在短短1000年前（生物遗传史上的沧海一粟）就是一支人数极其庞大（关键词：人数极其庞大）的大军。1000年前的这支大军里，上至皇亲国戚，下至贩夫走卒，芸芸众生，无所不包。&br&&br&继续更新：&br&很多人在和我纠缠族内通婚的问题。觉得严格的族内通婚可以确保血统的纯正和稳定。但事实上，无论在数学逻辑上，还是在真实的历史上，严格的族内通婚都难度太大。因为比起确保子代血统的纯正，“污染”太容易了。不管多少代成功的族内通婚，遇上一次越轨，子代的基因就被“污染”了50%。这里我们还不讨论长期的族内通婚导致的遗传弱势等别的问题。
先来做一个数学题： 任何一个人，必有2位父母，必有4位祖父母，必有8位曾祖父母... 上溯10代，一个人会有1024位祖先 上溯20代，一个人会有1048576位祖先 上溯30代，一个人会有10.74亿位祖先。 30代的时间是多长？25年一代，不超过800年。宋朝。宋朝全盛时期…
&p&今天，我要讲讲我和苍井空的故事。&/p&&p&FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。&/p&&p&德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心灵的抚慰。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_b.jpg& data-rawwidth=&780& data-rawheight=&1174& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&780& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，这就是苍老师本尊了。为了表达我对苍老师的敬意，送她一副对联，上联是：肤如凝脂唇红齿白花容月貌倾国倾城千娇百媚，下联是：爱岗敬业任劳任怨废寝忘食一丝不苟精益求精，横批：德艺双馨。&/p&&p&作为她的铁粉，我想把这张照片画出来，或者雕刻出来，使她出现在我手中，免受隔着屏幕的煎熬。&/p&&p&想复制苍老师的美，首先要在整体尺寸上保持相同。如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_b.jpg& data-rawwidth=&773& data-rawheight=&671& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&773& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_r.jpg&&&/figure&&p&紧接着，要在第一步的基础上进一步细化、精确化。所以第二步就要保证和苍老师本尊的局部形状相似。改进后就变成了如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-b116ab1c06986afeab25c5_b.jpg& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&678& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-b116ab1c06986afeab25c5_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，尽管这时候很粗糙，但至少已经有了婀娜多姿的影子了。下一步帮苍老师画上bra和胖次，再加上发型，并且把大腿、小腿、脚的分界线画上。下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_b.jpg& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_r.jpg&&&/figure&&p&此时，苍老师的特征已经非常明显了，仿佛就要呼之欲出了，尤其那道事业线，使我仿佛看到一对大白在调皮地跳跃。我要继续努力，进一步细化，进一步使我手中的苍老师变得真实。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-be8a4f456c_b.jpg& data-rawwidth=&812& data-rawheight=&675& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&812& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-be8a4f456c_r.jpg&&&/figure&&p&此时手中的苍老师外部线条更加细腻了，整体丰满了，仅有的服饰上增加了一些细节。如果不断地细化，画上五官，增加质感，添加纹理，那么进行无穷次细化之后，我笔下的苍老师一定会无穷接近真实。最终会变成这个样子：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0f977684cce9daf3d3010_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0f977684cce9daf3d3010_r.jpg&&&/figure&&p&当然，我没能有足够的时间继续细化下去，我那年的青春已经随着她的退役而完结，只是，我仍会在某个无眠的夜里回忆起苍老师认真工作的身影，回忆起我那年的青涩和成长，回忆起那年的憧憬和迷茫，回忆起我那年的生命曾经因为苍老师的出现而灼灼其华。&/p&&p&谨以此文献给新婚的苍老师。&/p&&p&好了，大家都精神了吧。现在开始进入正题。&/p&&p&本段的核心思想是&b&仿造&/b&。&/p&&p&当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。&/p&&p&&b&这是每个人都明白的生活经验。&/b&&/p&&p&===============&/p&&p&一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：&/p&&p&一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-5de43e908a90_b.jpg& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&311& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-5de43e908a90_r.jpg&&&/figure&&p&物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。&/p&&p&既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：&/p&&p&既然想模仿刚才那辆车，&/p&&p&那首先应该保证初始位置一样，&/p&&p&继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，&/p&&p&不满足，精益求精，可以一直模仿下去。&/p&&p&物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。&/p&&p&=================&/p&&p&一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3De%5E%7Bx%7D& alt=&y=e^{x}& eeimg=&1&& ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dcosx& alt=&y=cosx& eeimg=&1&& 后，我无法很方便地计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 时候的值。&/p&&p&为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即&b&把这类函数替换掉。&/b&&/p&&p&可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。&/p&&p&他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）&/p&&p&面对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dcosx& alt=&f(x)=cosx& eeimg=&1&& 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，从而避免余弦计算。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_b.jpg& data-rawwidth=&1001& data-rawheight=&569& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1001& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_r.jpg&&&/figure&&p&想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。&/p&&p&由于这段曲线过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%EF%BC%8C1%29& alt=&(0，1)& eeimg=&1&& 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，&/p&&p&完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。&/p&&p&经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。&/p&&p&起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“&b&仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……&/b&”&/p&&p&有了整体思路，泰勒准备动手算一算。&/p&&p&下面就是严谨的计算了。&/p&&p&先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点入手。&/p&&p&把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：&/p&&p&首先得让其初始值相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29& alt=&g(0)=f(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%7D%280%29& alt=&g^{'}(0)=f^{'}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%27%7D%280%29& alt=&g^{''}(0)=f^{''}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&……&/p&&p&最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。&/p&&p&这时候，泰勒思考了两个问题：&/p&&p&第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 必须也能够无限次求导，那 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 得是什么样类型的函数呢？&/p&&p&第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？&/p&&p&综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dax%5E%7B5%7D%2Bbx%5E%7B4%7D%2Bcx%5E%7B3%7D%2Bdx%5E%7B2%7D%2Bex%2Bf& alt=&g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f& eeimg=&1&& ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。&/p&&p&泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路，静下心来你都能自己推出来。&/p&&p&泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。&/p&&p&先算个一阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_b.jpg& data-rawwidth=&1064& data-rawheight=&688& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1064& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，除了在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点，其他的都不重合，不满意。&/p&&p&再来个二阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_b.jpg& data-rawwidth=&1098& data-rawheight=&694& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。&/p&&p&再来个四阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-3e18615facbd9c93fda4_b.jpg& data-rawwidth=&1221& data-rawheight=&699& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1221& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-3e18615facbd9c93fda4_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，仍然是在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。&/p&&p&到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-9dd69ab2c20ca721bc0979d7ebaa0253_b.jpg& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&363& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&378&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%EF%BC%880%EF%BC%8C1%EF%BC%89& alt=&（0，1）& eeimg=&1&& 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 处。&/p&&p&此时，他一拍脑门，恍然大悟，既然我选的点离着我想要的点还远，我为啥不直接选个近点的点呢，反正能从这条曲线上任何一个点作为切入，开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& ，可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&cos\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&& 处开始仿造啊。&/p&&p&所以啊，泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。&/p&&p&也就是说，有一个&b&原函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&&/b&，我再造一个图像与原函数图像相似的&b&多项式函数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的&b&初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等&/b&。&/p&&p&写到这里，你已经理解了泰勒展开式。&/p&&p&如果能理解，即使你记不住泰勒展开式，你都能自己推导。所以，我建议你，考试之前临时死记硬背一下，即使考试因为紧张忘了，也可以现场推。如果不是为了考试，那记不住也没关系，反正记住了一段时间不用，也会忘。用的时候翻书，找不到书就自己推导。&/p&&p&继续说泰勒。&/p&&p&泰勒算到四阶以后就不想算了，所以他想把这种计算过程推广到n阶，算出一个代数式，这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。&/p&&p&首先要在曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 上任选一个点，为了方便，就选 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2Cf%EF%BC%880%EF%BC%89%29& alt=&(0,f（0）)& eeimg=&1&& ,设仿造的曲线的解析式为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，前面说了，仿造的曲线是一个多项式，假设算到n阶。&/p&&p&能求n次导数的多项式，其最高次数肯定也为n。所以，仿造的曲线的解析式肯定是这种形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Da_%7B0%7D%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Ba_%7Bn%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+……+a_{n}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&前面说过，必须保证初始点相同，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29%3Da_%7B0%7D& alt=&g(0)=f(0)=a_{0}& eeimg=&1&& ,求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来，必须保证n阶导数依然相等，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bn%7D%280%29%3Df%5E%7Bn%7D%280%29& alt=&g^{n}(0)=f^{n}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 求n阶导数时，只有最后一项为非零值，为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%21a_%7Bn%7D& alt=&n!a_{n}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&由此求出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%}
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