集合完整课件PPT下载_PPTOK复数与实数的性质异同及应用
在平时的学j_J中,许多学生不清楚中学数学中复数与实数的性质异同,而出现许多错误,本文基于这一情况而作归纳如下. 一、复数集与实数集性质异同 1.无论是实数还是虚数都有以下结论成立: (1)i z。-v{=i z…(2){寺}=j专沁≠o); (3)l z±y I≤I z I十I f4)若_z3,=O,则z、y中至少有一个为零. 2.以下结论对实数成立,对虚数不成立: (1).r。≥O; (2)若.r。+y。==0,则z=y=0; (3)j L|r!。=z。; (4)若J.r f≤口(“≥O),则～盘≤z≤口. (5)l z I=“臼.r:==±“. 3.实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数,则不能比高中数学教与学2002年较它们的大小;如果复数可以比较大小,则它们一定是实数. 4.复系数一元二次方程倒0+h+c=0(0≠O),△=62—4口f一般不能用来判别这个方程有无实根,然而实系数一元二次方程中的根...&
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在中学数学里,有些问题的解决要涉及到实数的分类.所谓实数的分类,就是把实数集R按照某一法则分成若干个叫做类的子集A:,AZ,…,月:,使得R中的每一个元素属于且仅属子一个类,即A:门且:n…n月。=功,A,U姓:U…UA。=R,那末这些类的全体就叫做对实数集R的一个分类.其应用常见于含参数的讨论问题,解题时将参数的允许值范围刁(A是实数集R或R的一个子集)按照问题的特性分成若干个类月:, AZ,…,A.,然后进行讨论. 例如求a=lim犷题中参数q的允许值为全体实数R,由于极限的结果为:0、1、不存在,故R分为三类:A:={叮1 1911}. 又如求夕=护(n任Z,的值,就是按照夕的不同结果1、‘、一1、一‘将Z分成四类:{4奸, 毛4k+1},{4k+2},{4k+3}。(k任Z)。 在分类的过程中,应依照一个本质的根据,且始终保持不变。当然,对不同的题,参数的允许值范围各不相同,分类的根据各异,分类的结果自然也不一样了. 例...&
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在中学数学里,有些问题的解决要涉及到实数的分类。所谓实数的分类,就是把实数集R按照某一法则分成若干个叫做类的子集A,,A:,…,A。,使得R中的每一个元素属于且仅属于一个类,即A:nA:n…nA。=功,A:UA:U…U A.=R,那末这些类的全体就叫做对实数集R的一个分类.其应用常见于含参数的讨论问题,解题时将参数的允许值范围A(A是实数集R或R的一个子集)按照问题的特性分成若千个类A:,A:,…,A.,然后进行讨论。 例如求。=lim·了题中参数q的允许值为全体实数R,由于极限的结果为:o、l、不存在,故R分为三类:A:={叮日g{(i},A:={叮}g=z},A:={g}g=一1或lq!1}. 又如求夕二‘,(叮〔Z)的值,就是按照,的不同结果l、‘、一1、一‘将Z分成四类:毛4奸,{4壳+1},{4k+2},王4k+3}。(k〔Z)。 在分类的过程中,应依照一个本质的根据,且始终保持不变。当然,对不同的题,参数的允许值范围...&
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实数与虚数的主要不比较实数大小的题目及方种资料之中,今整理如下 一、利用函数的单调同之一是有大小.法散见于课本及各2),s;。粤=cos(要一落), J‘〕:性进行比较,.’夕二。osx在(0,二)为减函数,且.,‘,。,北2,U‘闷i《、兀一乙‘、下二一-二-cos(二一2)cos()合,时o一eosZ例S比较}a+西}=了丁+了丁扩了+1,1+】a+b}与一早车了 上+!口!:.logtg。(杯了+1)logt。。训6不厄讶了+一--二 1+.a!{乡I的大小.②a〔(季 斗要)时,‘““IOgt:。‘为增函数,.’. 109,ga(亿丁+1)(一召丁)例3比较arcs‘n鲁,aro Cos34 究,arc‘g丁一la}.}乡}飞二一,一产二十二~言宁。 l+la}1+】口l二、选取中间媒介值或放缩比较的大小。 解飞比较7一‘·鲁1.故(具)一奈 JI上二即arcs‘n鲁109,十二一i,.’. 。.。3...&
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由实数集扩张到复数集后,原来的实数性质在复数范围内不一定仍适用.这一点,有些学生往往容易混淆不清,有时把实数集中的性质随意地搬到复数集上来,结果造成错误。下面列举几例说明之. fflJI设a是i的n次方根,求i+a+a,+…十砂一‘的值(其中。是奇数). 错解:,.’a是1的。次方根,:.a二1,…1+a+aZ+…+a一1=刀。 分析:上述解法错误在于,把复数集里的奇次方根与实数集里的奇次方根混淆了,在实数集里,1的奇次方根是1,在复数集里1的奇次方根不一定是1. 正解:’:a是1的。次方根,…a二粼丁 a+刀=Za=一1解得a二一+。 因此原方程两个虚根为韦达定理得一于士粤i,再由 ‘p=a刀(一生2.3.、,十~二,不,吸- 艺13:、5.二~一.下r王,=气布甲.乙乙Z-例3x‘+在复数范围内解方程赤+x’十声一4·错解:原方程变形为(x,一与,+(x一生),一。(1)_。osZ-k:、151。2全‘(、一。,i,…,,,...&
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复数方程的求解,主要是设z=。+则（。,yE及）,利用复数相等列方程组,求出。、gi即求得。但在解决某些复数方程的问题中,若能充分运用实数条件（有时比较隐含）,则求解方法将更灵活、更简洁.下面举例说明.例】解方程e+卜I。2+4.分析:此题除了用常规的解法,即令z=。+卵解之扎还可改写方程为。=2一0。I+6,注意到卜IER,若能求得卜1,则。也随之可求.解原方程化为。=2一【。【+4,两边取模的平方得,卜卜=（2一1。1）‘+1,解得5,3IZ]。y.MZ=-+44’——-4说明:因模相等的两复数,它们未必相等枚求得的]。1之值必须验证.例2解方程小I+a。+i。0（a0）.解原方程化为。（L。I+a）...&
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二元关系 第3节
关系的性质 一二、自反性与反自反性 R是自反的
? ?x∈A,有 ∈R R是反自反的 ? ?x∈A,有 ? R 自反性与反自反性举例1 例1：R是N上的整除关系，则R具有自反性 证明：Ax∈N，x能整除x，∴∈R，∴R具有自反性。 例2：R是Z上的同余关系，则R具有自反性， 证明：Ax∈Z，x-x/k=O∈Z, ∴x与x横直同余， ∴∈R，∴R具有自反性。 其它≤，≥关系，倍数关系，人与人的同姓关系。集合的≤关系，均是自反关系。 自反性与反自反性举例2 例3：N上的互质关系是反自反关系。 证明：Ax∈N，x与x是不互质的，∴∈R，∴R具有反自关系。
其他的例实数上的＜，＞关系,人与人的父子关系,均是反自反关系。 自反性与反自反性的特点 关系矩阵的特点： 自反关系的关系矩阵的对角元素均为1， 反自反关系的关系矩阵的对角元素均为0。
关系图的特点： 自反关系的关系图，每个结点均有自回路，而反自反关系的关系图的每个结点均没有自回路。 R是A上的关系，则： （1）R是自反关系的主要条件是IA ? R （2）R是反自反关系的主要条件是R∩IA=Ф。 定理：设R，S是A上的自反关系，则R-1，R∪S，R∩S，也是A上的自反关系。 证明： ? a∈A,因R,S是自反关系,
∴∈R，∈S， ∴∈R∩S，∴R∩S是自反关系。 注：可以放松为：R与S中如果有一个是自反关系，则R∪S也是自反关系。如R自反，∴IA?R?R∪S，∴R∪S就是自反关系。 ？ 如|A|=n，|A×A|=n2其中n个有序对是自回路，自反关系所有自回必须有，故A上自反关系共有2n(n-1) 个。例|A|=3，A上关系共有29个，而自反关系共有26个。 三、对称性 设R是A上的关系，?a,b∈A,如果∈R,则必有∈R，则称R为A上的对称关系,或称R具有对称性。
R1＝{,,},R1是对称的， R2＝{,},R2是对称的， R3＝{,,,}, R3不是对称的,因∈R,而?R。
说明: 由定义得如R是对称关系,则如?R，
则必有〈b，a〉?R。 诸如,这种有序对是否属于
R对R的自反性，没有影响。
对称性举例1 R是Z上的模5同余关系,则R是对称关系， 证明:R＝{|x,y∈Z,∈Z}
?x,y∈Z,如果∈R，
则∈Z,所以,＝-∈Z
∴∈R,∴R具有对称性。 R是N上的互质关系,R具有对称性。因为, 如x,y互质,y,x也是互质的。 其余，人与人的同学关系，同姓关系，同年龄关系也是对称关系。
对称关系的关系矩阵和关系图 对称关系的关系矩阵是对称矩阵,即rij＝rji， 因rij=1 ?
∈R ?∈R?rij=1 ∴一切i,j,rij＝rji 对称矩阵的关系图的特点是任何两个不同的结点之间，或者是一来一回两条弧，或者是没有弧。是否有自回路，对对称性没有影响。
对称性举例2 A上的全域关系EA,空关系?,恒等关系?A,均是对称关系。
结论: R是A上对称关系的主要条件是R－1＝R。
结论可以减弱为R－1?R,因R－1?R?R－1＝R。
定理（可省略） 设R,S是A上对称关系,则R－1,R∪S, R∩S,也是A上的对称关系。
四、反对称关系 如果R是A上的关系, ?a,b∈R如果∈R且∈R， 则必有a＝b,称R是A上的反对称关系, 该定义的等价说法： ?a,b∈A,如a≠b,∈R, 则必有?R。即两个不同点结点间不允许有两条弧。 R为A上的反对称关系? ?∈R,都有?R ? ?∈R, 如果 ∈R ，则有x=y 反对称举例1 设A＝{a,b,c},A的关系R,S,T为
T＝{,,} R,T是反对称的。而T不是反对称的, 因∈R,且∈R。 反对称举例2：整除 R是N上的整除关系,即
R＝{|x,y∈N,y/x∈N}, 显然,如果x能整除y,且x≠y, 则y不能整除x。所以R是反对称的。 注意:存在两数a、b∈N, a不能整除b,b也不能整除a, 即?R,<
正在加载中，请稍后...通过实数集基数性质，解决连续函数问题举例通过实数集基数性质，解决连续函数问题举例教育报百家号函数的有些性质，仅仅通过常规的初等变换，或者常规的微积分知识，很难去证伪或验真。近日读书，重拾以前的课本，很多东西都有些陌生了。有一道习题，思索良久方获解答，如下：题目：不存在实数轴R上的连续函数f，使得f在无理数RQ上是1-1映射，而在有理数Q上则不是1-1映射。证明：反证法，假设存在R上的连续函数f，使得f在无理数RQ上是1-1映射，而在有理数Q上则不是1-1映射。根据假设，至少存在2个互异的有理数a，b，使得f(a)=f(b)。为了叙述方便，不妨令a如果M=m，那么f在[a，b]上的值是常数，这与“f在RQ上是1-1映射”的条件相矛盾。所以M和m，至少有一个值与f (a)不相等。不妨令M> f(a)，则至少存在1个点c∈(a，b)，使得f(c)=M。记A=（f(a)，M），显然也有A=（f(b)，M），并且有下关系由于有理数Q为可数集，基数小于实数集R，所以\f(Q)不是空集。这个命题的验真，我们最后再补充，此处继续原题证明。即有如下关系于是对任意s∈\f(Q)，存在x1∈(a，c)，x2∈(c，b)，有如下关系而这与“f在RQ上是1-1映射”相矛盾，所以不存在这样的f。补充，关于“\f(Q)不是空集”的简略证明：A与整个实数轴等势，基数相同（这是为什么呢？有兴趣的自己试试，不难证明）；一个点x，最多对应一个f(x），所以f(Q)最多与Q等势；Q的基数小于R的基数；所以，集合A的基数大于f(Q)的基数，即A f(Q)不等于空集。本文由百家号作者上传并发布，百家号仅提供信息发布平台。文章仅代表作者个人观点，不代表百度立场。未经作者许可，不得转载。教育报百家号最近更新：简介:一个人能走多远，要看你与谁同行。作者最新文章相关文章}