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下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，请回答下面的问题：学习勾股定理有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知Rt△ABC的两边长分别为3和4，请你求出第三边的边长.”同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“第三边长是5”；王华同学说：“第三边长是”.还有一些同学也提出了不同的看法……（1）假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）
主讲：赵秀辉
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ID：3-4428898
人教版八年级下17.1勾股定理的应用(第2课时)课件 (共47张ppt):47张PPT第2课时勾股定理的应用新课导入
这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题.学习目标学习重、难点
1.能应用勾股定理计算直角三角形的边长.
2.能应用勾股定理解决简单的实际问题.
重点：运用勾股定理求直角三角形的边长.
难点：从实际问题中构造直角三角形解决生产、生活中的有关问题.例1　一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 1.木板能横着或竖着从门框通过吗？2.这个门框能通过的最大长度是多少？3.怎样判定这块木板能否通过木框？求出斜边的长，与木板的宽比较.解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5．　　AC=
因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过．================================================压缩包内容：人教版八年级下17.1勾股定理的应用(第2课时)课件 (共47张ppt).ppt
ID：3-4349244
人教版八年级下册课件 17.1 勾股定理 (共26张ppt):26张PPT探索勾股定理
八年级数学
关于直角三角形,你知道哪些方面的知识
1.直角三角形叫Rt△
2.两锐角互余∠A+∠B=90°
3.三角形的面积s=1/2ab=1/2hc
4. 30°所对的直角边等于斜边的一半
5.证明两个直角三角形全等有“HL”
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压缩包内容：
人教版八年级下册课件 17.1 勾股定理 (共26张ppt).ppt
ID：3-4349238
人教版八年级下册17.1 勾股定理(共35张ppt):35张PPT勾股定理
17.1勾股定理
勾股的含义是什么？
2002年第24届国际数学家大会
数学界的“奥运会”
相传2500年前，毕达哥拉斯有
一次在朋友家做客时，发现朋友家
的用砖铺成的地面中反映了直角三
角形三边的某种数量关系。
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压缩包内容：
人教版八年级下册17.1 勾股定理(共35张ppt).pptx
18379.09KB
ID：3-4343866
在方格纸上,画一个顶点都在格点上的直角三角形;并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形,仿照上面的方法计算以斜边为一边的正方形的面积.用了“补”的方法用了“割”的方法观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
ID：3-4335510
17.1 勾股定理（3）:17张PPT
1.说一说勾股定理的内容？
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
2.如果直角三角形的两长边分别为3和4，那么第三长的长是_____
思考1：在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
　已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．
　　求证：△ABC≌△A′B′C′．
课题：17.1 勾股定理（3）
教学目标：
利用勾股定理证明HL定理及在数轴上找到表示无理数的点．
在数轴上寻找表示
，…这样的表示无理数的点．．
利用勾股定理来解决实际问题．
教学流程：
一、导入新课
1.说一说勾股定理的内容？
答案：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
2.如果直角三角形的两长边分别为3和4，那么第三长的长是________.
分析：有两种情况①4为直角边：
②4为斜边：
二、新课讲解
思考1：在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，
∠C=∠C′=90°，根据勾股定理，得
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
∵AB=A′B′，AC=A′C′，
∴BC=B′C′．
思考2：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示
的点吗？
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．如图,点P是平面坐标系中一点,则点P到原点的
需要精品点：4个
ID：3-4332162
17.1 勾股定理（2）:17张PPT
课题：17.1 勾股定理（2）
教学目标：
能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
将实际问题转化为直角三角形模型．
利用勾股定理来解决实际问题．
教学流程：
一、导入新课
勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
二、新课讲解
例1:一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
解：在Rt△ABC中，根据勾股定
AC2=AB2+BC2=12+22=5．
∴AC=
≈2.24．
∵AC大于木板的宽2.2 m，
∴木板能从门框内通过．
例2:如图，一架2.6m长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO 为2.4m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
解：可以看出，BD=OD－OB.
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
例1:一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？解：在Rt△ABC中，根据勾股定
AC2=AB2+BC2=12+22=5．
∵AC大于木板的宽2.2 m，
∴木板能从门框内通过．
例2:如图，一架2.6m长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO 为2.4m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为(
)www.21-cn-jy.com
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ID：3-4332152
17.1 勾股定理（1）:17张PPT
课题：17.1 勾股定理（1）
教学目标：
了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算．
勾股定理的内容和证明及简单应用．
勾股定理的应用.
教学流程：
一、导入新课
相传2500多年前，古希腊著名数学家毕哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.
同学们，地砖图案中蕴含着怎样的数量关系呢，让我们一起探索吧。
二、新课讲解
思考：图中三个正方形 的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边有什么关系？　　
（观看视频演示）
答：两个小正方形的面积这和等于大正方形的面积.
等腰直角三角形的三边满足斜边的平方等于两直角边的平方和.
想一想：在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？
猜想：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
介绍《赵爽弦图》
相传2500多年前，古希腊著名数学家毕哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.
同学们，地砖图案中蕴含着怎样的数量关系呢，让我们一起探索吧。
思考：图中三个正方形 的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边有什么关系？　　
想一想：在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长为c，已知，则(
2．如图：图形A的面积是(
需要精品点：4个
ID：3-4311012
适合课堂教学，知识点比较到位。
【例1】现有一矩形ABCD,已知AB=10, BC=8,如图折叠, 求CE的长.
体会：(1)勾股定理的应用：a2+b2=c2 ；
(2)折叠前后图形全等：对应边相等, 对应角相等.
【练习】如图, 把长方形纸片ABCD沿EF折叠, 使点B落在边AD上的点B′处, 点A落在点A′处．
(1) 求证：B′E=BF；
(2) 设AE=a, AB=b, BF=c. 试猜想a, b, c之间的一种关系, 并给予证明．
【练习】长方形ABCD如图折叠, AB=3, BC=9.
(1)求三角形ABE的面积;
(2)求证:BE=BF;
(3)能求出折痕EF的长度吗?
ID：3-4311010
17.1 勾股定理（1）（共28张PPT）
相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．
我们也来观察右图中的地面，看看有什么发现？
1.观察图甲，小方格
的边长为1.
⑴正方形A、B、C的
　面积各为多少？
2.观察图乙，小方格
的边长为1.
⑴正方形A、B、C的
　面积各为多少？
17.1 勾股定理（共28张PPT）
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
（2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.）
在△ABC中，∠C=90°
∴BC2+AC2=AB2
（a2+b2=c2）
1.在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,
∠C=90°,a=3,b=4,则c=______;
(2)已知 ∠B=90°, a=3,b=4,则c=_____;
2.已知Rt△ABC中， a=3,b=4,则c=_____________;
17.1 勾股定理（1）（共24张PPT）
问题1　在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结
论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．　
学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
　　已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A B C
∠C =90°，AB=A B ，AC=A C ．
　　求证：△ABC≌△A B C
ID：3-4310160
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勾股定理.ppt
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中小学教师帮无聊之作——量纲分析法与勾股定理【猫吧学习社吧】_百度贴吧
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无聊之作——量纲分析法与勾股定理
最近两天在给表弟辅导高中功课
住在大舅家，用个电脑相当费劲……然后每天看《力学》和《数学分析》，用克克鲁的名言，CPU要烧掉了。。。。今天刚被流体力学的那一堆长的就很奇葩的公式折磨地想撕书，但是还舍不得= =
于是决定喊几声以抒发内心的郁闷嗷~~~~嗷~~~~~~~~嗷~~~~~~~~~~~~~抒发结束下面进入正题= =
相必大家在小学时候就看到过这样的一个题目：一个边长为1cm的正方形，它的边长和面积是不是相等？嗯，面积=边长*边长，1*1 于是还是1那么，相等好的，给出上面答案的孩子们，可以回去重新读一遍小学……边长1cm，面积1平方厘米。因为单位不同，所以不相等。这里面其实就蕴含着一个在现代物理中，进行定性分析和一部分定量分析所常用的方法——量纲分析法而这个概念，最近是越读物理，越觉得其重要。我也觉得在中学阶段的教育，其实就应该对这个概念进行一些详细的阐述，所以也算是对最近的生活的一个调剂，写点东西给大家看看。。。量纲这个概念，想必大家并不熟悉。准确的定义是说，在不考虑数字因数的时候，表示一个量是由哪些基本量导出以及如何导出的式子，称为此量的量纲。当然，这实在是太没有直观感受了，下面我来举个例子。我们首先规定一些基本量，这些基本量相互之间不能构成相互导出的关系。比如说，我们规定基本量为长度（L）、质量（M）和时间（T），这三者是相互独立的，我们找不到一个式子，可以在这三个量之间相互推导。同时，这三个基本量又能构成我们所常见的所有力学中所使用的物理量，比如速度，是长度除以时间。再比如动量，是质量乘以速度，也就是质量乘以长度除以时间。好，在上面的叙述中，我们其实就已经说出了速度的量纲，L/T 。以及动量的量纲，LM/T这就是所谓的量纲，就是把物理量用一些基本物理量，在不考虑数值而仅考虑物理关系的情况下写出的式子。表示一个量的量纲的符号是中括号，如速度的量纲，可以表示为[v]=L/T那么量纲又有什么作用呢？我将首先为已经看的想睡觉的孩子们举一个大家能真正用得到的例子，就是用来检验公式的正确性。比如某一天，大家在算题的时候，发现自己推导出了一个相当复杂的式子，以至于怀疑自己算错了。这时候该怎么比较好的检验呢？大家不妨检验一下，这个式子等号两端的量纲是不是一致比如如果大家得到了这样一个式子来表示匀加速直线运动的路程s=vt+0.5at大家可以看到，左边的量纲是长度的量纲L，右边的是[v][t]+[a][t]其中v是速度，量纲L/T
a是加速度，量纲L除以（T的平方），t是时间，量纲是T于是右边的量纲是，L+L/T大家就可以看到错误了错误之一在于，等式两边的量纲并不相等错误之二在于，两个量纲不相等的量，不能相加（也不能相减）于是这个可以用来定性的检验公式的正确性。当然，并不是一个公式的量纲正确了，这个公式就正确，因为量纲是忽略了系数的，其系数（比如上面公式中的0.5），并不一定正确。顺便说一下，正确的匀加速直线运动的路程公式应该是s=vt+0.5a*（t的平方）下面介绍量纲的一个更有用的应用，这部分对大家的中学阶段的分数提高应该没什么大的帮助，但是可以作为兴趣看一看接下来，隆重登场的是—— ∏定理（那个字符是希腊字母，读作pai，是π的大写）嗯，在此之间，分个段吧。。。。楼下内容更精彩，敬请期待
∏定理的伟大之处在于，有时候我们仅根据∏定理，而不需要知道更加细节的物理过程，就能定性甚至在某些时候定量的描述出一些物理量之间的关系∏定理的叙述是这样的设某个物理问题涉及到n个物理量，P1，P2，P3....Pn，而我们所选取的单位制中有m个基本量（n&m），那么可以组成n-m个无量纲的量∏1，∏2，∏3...∏n-m，在物理量P1，P2...之间存在如下关系式：f（P1,P2...Pn)=0等效于相应的无量纲形式F（∏1，∏2....∏n-m）=0或者可以把其中的一个无量纲的量解出来，即表达为其他无量纲量的函数∏1=g（∏2，∏3...∏n-m）我们继续举个栗子这个例子就是题目中提到的勾股定理，我将利用∏定理方便简洁的证明勾股定理（嗯，我大舅代表弟放学回来了，要去讲课了。。。。先留个悬念吧。。。大家不要拍我。。。（其实是写的太烂根本不会有多少人看到这里吧喂。。。）晚上讲完课我继续发，先把图片放在上面。。。。）
下面的全都看晕了……
接着上面的来。。。直角三角形的边长和面积什么的，只有一个基础量纲，就是长度的量纲L。边长的量纲是L，面积的量纲是L的平方。如图，直角三角形的面积可以用他的斜边（c）和一个锐角（α)决定（图中的是角1，为了打字方便就用α代替吧。我们可以找到两个无量纲的量，A/（c的平房）和角度α，其中A代表面积。根据∏定理，有一个基本量和两个无量纲的数，我们可以得出，A/（c的平方）可以表示为α的函数，记为A／（c的平方）=f（α)也就是A=c平方*f（α)图中可以看出，做c边上的垂线将直角三角形分成两个小直角三角形，其面积分别为A1和A2，它们有相同的锐角α,而且他们都相似于大三角形。所以他们的面积也可以类似的表示为A1=a平方*f（α)A2=b平方*f（α)因为A=A1+A2c平方*f（α)=a平方*f（α)+b平方*f（α)可以得到c平方=a平方+b平方
3楼的狼人……为什么我懂了……
物理老师：“量纲可以出得很难。遗憾的是，我们省考全国卷，而且全国卷的大纲里没有量纲。早就不考了。”
高中时候没听过量纲这个词，不过你说的倒是看懂了，1楼那一段说的方法以前常用，我们也做过类似的题目，比如给出一个物理量，问选项中哪一个可以表示那个物理量，就和1楼有些类似吧！另外我还惦着在这发个思维活跃题目连载的，结果前些日子发了几道，但是算上我就3个人看到了，想想还是算了吧！
只有初中看不懂……几年后还能记起来再来看吧
这是几年级的物理……怎么感觉……这么难啊……
路。。。过。。。。
量纲分析法的确有用，记得以前有一类物理题型，由牛顿力学定律求某某情况下风力系数什么的，不仅要求出函数解析式f（a），还要有单位的推导过程。不过π函数受教了，这个没学到过。
仅是无聊之作就已经那么...哪天来个精心之作的话......
看到楼主看过流体力学，所以想请教一个问题两个无量纲的量相减也是无量纲吗？
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勾股定理复习专题成都市三原外语学校李冬泉一、知识要点回顾：1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的；如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么。思考：（1）a2,b2,c2分别代表什么？（2）a2与a的单位的关系。（3）变式：由a2+b2=c2得a=或b=,或c=（4）运用勾股定理的前提是：必须知道有一个直角）2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足，那么这个三角形是___________.3、勾股数：满足a2+b2=c2的三个a,b,c,成为勾股数；写出常用的几组勾股数，，4．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系：；⑵若D为斜边中点，则斜边中线；⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：；⑷三边之间的关系：。二、典型例题解析与练习专题一：勾股定理例题1、在Rt△ABC，∠C=90°则：⑴已知a=b=5，求c2。⑵已知a=1,c=2,求b2。⑶已知c=17,b=8,求a。⑷已知a：b=3：4,c=25,求b。⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。练习：1、在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。2、在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。3、在Rt△ABC，∠C=90°，c=25，a：b=3：4，则a=，b=。4、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。例题2、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。练习：1、已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。2、已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。例题3、已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。⑴求等边△ABC的高。⑵求S△ABC。例题4、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出BD的长吗？练习。如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处，且△ABF的面积是30cm．求此时AD的长．例题5、一个直角三角形的周长为9，斜边为4，求这个三角形的面积。练习：1．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．2．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．3、图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是_________（3题图）（第4题图）（第5题图）（第6题图）4、如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D,且AB=5,BC=4,AC=6,则DE的长为_______.5、如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2,l2，l3之间的距离为3,则AC的长是__________6、（2009年湖南长沙）如图，等腰中，，是底边上的高，若，则cm．专题二：勾股定理的逆定理例题1、判断由线段abc组成的三角形是不是直角直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17（2）a=13，b=14，c=15（3）三边长之比为3∶4∶5；练习：1、试判断下列三角形是否是直角三角形：⑴a=9，b=41，c=40；⑵a=15，b=16，c=6；（3）a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。（4）三边长之比为1∶1∶2；（5）△ABC的三边长为a、b、c，满足a－b＝c．2、一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。例题2：已知：在△ABC中，∠A∠B∠C的对边分别是abc，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）求证：∠C=90°。例题3、若△ABC的三边abc满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。练习：1．若△ABC的三边abc，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）A．等腰三角形；B．直角三角形；C．等腰三角形或直角三角形；D．等腰直角三角形。练习：1．△ABC中∠A∠B∠C的对边分别是abc，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。B．如果c2=b2―a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。2、在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是三角形，是直角；若a2＜b2－c2，则∠B是。3、若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，则△ABC是三角形。4、如图，AD⊥BC，垂足为D，如果CD=1，AD=2，BD=4，试判断ΔABC的形状，并说明理由。专题三：勾股定理的应用例题1、求下列阴影部分的面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．练习：若的三条边长分别为7cm、24cm、25cm。则_______例题2、如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 米。例题3、如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米。①求梯子顶端与地面的距离OA的长。②若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离。练习：1、如图，从电线杆离地面6m处向地面拉一条长10m的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有m．2、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_________。3、（2009白银市）如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝____________（第3题图）（第4题图）（第5题图）4、（2009恩施市）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是_____________5、（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．思维拓展：1、如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，DA=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°2．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B’，那么BB’的值：①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是．3、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
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讲课用17.1勾股定理第3课时
结论变形BaCcb Ac2 = a2 + b2有一种特殊的直角三角形， 已知一边可以求另外两边长 A Aa Cc 45° b Ba C bc30°Ba:b:c=1:1:√2a:b:c=1:√3:2a= 5 cm时求b=？ c=？c= 6 cm时求b=？ a=？勾股小常识：勾股数 1、 基本勾股数如：大家一定要熟记3、、 4524、 25 5、 12、 13 7、2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、 kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10 ； 9、12、15 10、24、26 ； 15、36、39例1、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°,CD=3,求C线段AB的长.BDA变式训练： △ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高 线AD=8,求线段BC的长和△ABC的面积.21 或9S△ABC=84或36A8 15817 106DBC6 15 当题中没有给出图形时，应考虑图形的形 状是否确定，如果不确定，就需要分类讨论。例2、在△ABC中， ∠C=30°AC=4cm,AB=3cm，求BC的长.ABDC勾股定理在非直角三角形中的应用：见特 殊角作高构造直角三角形.变式1、在△ABC中，∠B=120°， BC=4cm，AB=6cm，求AC的长.CABD变式2、在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ， BC=10cm,求△ABC的面积和AC边上的高.AAA两个直角三角形中，如果有一条公共边，可 利用勾股定理建立方程求解 . B C B C B DE变式3、已知：如图，△ABC中，AB=26， BC=25，AC=17，求△ABC的面积.ABDC方程思想：两个直角三角形中，如果有一 条公共边，可利用勾股定理建立方程求解.例3、已知：如图，A∠B=∠D=90°,∠A=60°，AB=4，CD=2. A 求四边形ABCD的面积.EDAFD CBCBD B C M变式训练：如图，在平面直角坐标系中， 点C的坐标为（0，4），∠B=90°， ∠BCO=60°，AB=2，求点B的坐标.y C B O A x例4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AD平分∠BAC， AC=6cm，BC=8cm，（1） 求线段CD的长；（2）求△ABD的面积.A方程思想：直角三 角形中，已知一条 边，以及另外两条 6 边的数量关系时， 可利用勾股定理建 立方程求解.6 xC x D10E4 8-xB8变式练习：如图，在直角坐标系中， △ABO的 顶点A为（0，6），B为（8，0），AD平分∠BAO 交x轴于点D， DE⊥AB于E. （1）求△ABD的面积； （2）求点E的坐标.yAE有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的 中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦 苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水 D 池的深度和这根芦苇的长度各是多少？解:设水池的深度AC为X米, 则芦苇高AD为 (X+1)米. 根据题意得: BC2+AC2=AB2 2 2 2 ∴5 +X =(X+1) 25+X2=X2+2X+1 X=12 ∴X+1=12+1=13(米)CBA答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE 的长。解:设DE为X, 则CE为 (8－ X). 由题意可知:EF=DE=X, AF=AD=10 ∵∠B=90° ∴ AB2+ BF2＝AF2 82+ BF2＝102 10 A D ∴BF＝6 X ∴CF＝BC－BF＝10－6＝4 8 10 E ∵∠ C=90 ° X (8- X) ∴ CE2+CF2＝EF2 B F 4 C (8－ X)2+42=X2 6 16X=80 64 －16X+X2+16=X2 X=5 80 －16X=0如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？B D10-xAE6x C练习5（1）已知直角三角形两边的长分别 是3cm和6cm，则第三边的长是 . （2）△ABC中，AB=AC=2，BD是AC边 上的高，且BD与AB的夹角为300，求CD 的长.A D B CBD AC分类思想1.直角三角形中，已知两边长,求第三 边时,应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。例7（1）直角三角形中，斜边与一 直角边相差8，另一直角边为12，求 斜边的长.例7（2）如图，有一块直角三角形纸片，两 直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直 线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合， A 求CD的长. 方程思想：直角三 角形中，已知一直 6 角边，以及另一直 角边和斜边的等量 关系，可建立方程 C x 求解. 6ExD4 8-xB变式2、已知：如图，△ABC中,AC=4,∠A=45°， ∠B=60°，求AB.CyBCA BAOx添辅助线勾股定理的使用例2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D 两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？解：设AE= x km， 则 BE=（25-x）kmDC1015根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又 ∵ DE=CE ∴ AD2+AE2= BC2+BE2 即：152+x2=102+（25-x)2 ∴ X=10AxE25-xB答：E站应建在离A站10km处。2.一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测 得内部底面直径为5M，高为12M，吸 管放进杯里，杯口外面露出5M，问吸 管要做多长？5M 吸管长 １８ｃｍ1３M？5M12M3.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆 顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把 绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好 接触地面，求旗杆的高度AＸＸ＋１ Ｘ＋１这是测量 旗杆高的 一种好方 法哦１ ｍC 5B（05年宿迁市）如图，将一根25M长的细木 棒放入长、宽、高分别为 8M 、 6M 和 10M 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外 面的最短长度是 M．？10 M ？10M8M6M检测题： 在一块平地上，一棵树的10米高的D 处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20米 的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处,如 果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高? 用勾股定理建立方 程，关键是找出三 边的关系，能用同 一个未知数表示未 知边。CAC+CD=AB+BD=30米xD30-x10米┏20米BA应用举例1： 一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单 位mm),求两孔中心A、B之间的距离. 解： 过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB=90°， AC=90-40=50（mm） BC=160-40=120（mm) 由勾股定理有： AB2=AC2+BC2=502+（mm2) ∵AB＞0, ∴AB=130(mm)40A90BC160 40答：两孔中心A，B的距离为130mm.练习&1?1、如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为 端点,你能画出几条边长为 10 的线段?A练习&1?2.如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且 使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多 少个?写出落在x轴上的顶点坐标. y25 5(2,1) Ｄx15xＦ (4, 0)Ｈ (? 5, 0)2 ? x Ｃ Ｅ 5 2 2 2 ( , 0) ( 5, 0) 1 ? (2 ? x ) ? x 4Ｏx1 ? 4 ? 4x ? x ? x225 解得x ? 4矩形ABCD如图折叠，使点D落在 BC边上的点F处，已知AB=8， BC=10，求折痕AE的长。AD EBFCRtΔABC中,AB比BC多2,AC=6,如图折叠, 使C落到AB上的E处,求CD的长度, C DBEA例5（1）已知直角三角形的两边长分别是3和 4, 则第三边长为 5 或 7 . （2）三角形ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高线 AD=8,求BC 21 或9A8 6 158 6D1710 B C15例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着 长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离 是多少？C20 15 A 105 BB分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线 有两种情况(如图①② ),由勾股定理 可求得图1中AB最短.B5①20②1020A15A1015AB =√202+152=√625AB =√102+252=√725四、长方体中的最值问题例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所 示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？D1 A1 D A 4D1 C11①DC4AB2分析: 根据题意分析蚂蚁 C1 爬行的路线有三种情况(如 1 B1C 图①②③ ),由勾股定理可 2 B 求得图1中AC1爬行的路线 D D C 最短 . A B C ②A B ③A A C B1 1 1 1 121421141AC1 =√42+32=√25; AC1 =√62+12=√37AC ;1 =√52+22=√29二、圆柱(锥)中的最值问题例2 、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m， 一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？BC ABA分析：由于老鼠是沿着圆柱 的表面爬行的，故需把圆柱 展开成平面图形.根据两点之 间线段最短，可以发现A、B 分别在圆柱侧面展开图的宽 1m处和长24m的中点处，即AB 长为最短路线.(如图)解：AC = 6 C 1 = 5 ， BC = 24 ×1 = 1 2 由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .10、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与 顶点C重合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3, 试求以折痕EF为边长的正方形面积。解：由已知AF=FC 设AF=x，则FB=9－x E 则有x2=(9－x)2＋32 D 解得x=5 同理可得DE=4 A ∴GF=1 G 2 ∴以EF为边的正方形的面积=EG ＋GF2=32＋12=10在R t △ABC中，根据勾股定理 FC2=FB2＋BC2CFB11、假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游 戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又 往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折 向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝 藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？ 解：过B点向南作垂线，连结AB，可得Rt△ABC B 由题意可知：AC=6千米，BC=8千米 1 6 根据勾股定理AB2=AC2＋BC2＝62＋82＝100∴AB=10千米 A 8 C329 ．一艘轮船以 20 千米 / 时的速度离开港口向 东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15 千米 / 时的速度向东南方向航行，它们离开港 口2小时后相距多少千米？10 ．已知：如图， ∠ABD=∠C=90°，AD=12， AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．8、如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森林公 园的中心,在森林公园附近有 B、C 两个村庄, 现要在 B、C两村庄之间修一条长为 1000 m 的 笔直公路将两村连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问此公路是否会穿过该森 林公园?请通过计算说明.40 A 060 B ° D100030 C °6.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD 是高,AB=1, 则 2 CD2 + AD2 +BD2 =＿＿＿＿; 7.三角形的三边长 a, b, c 满足 a2 +b2 +c2 +338 = 10a + 24b +26c, 此三角形为＿＿＿＿＿三角形.5、如图，有一块地，已知，AD=4m， CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m， BC=12m。求这块地的面积。B24平方米C3 412 D 13A1．请完成以下未完成的勾股数： （1）8、15、_______；（2）10、26、_____． 2．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5， 则最大边上的高是_______． 3．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三 角形的是（ ）． A． 3 ?1, 3 ?1, 2 2 B．7，24，25 C．4，7.5，8.5 D．3.5，4.5，5.54.如图，两个正方形的面积分别 为64，49，则AC= 17 .A64C49D探索与提高2：如图所示，在△ABC中， AB=AC=4，P为BC上的一点，2 2 AB ? AP ? BP ? PC (1)求证：(2)若BC边上有100个不同的点（不与B、C重合） 求:m1 +m 2 + +m100的值。P1、P2、 、P100 ,设mi =APi2 +PiB ? PiC(i=1、2、 、100).ABPC1 、 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， ∠ BAD=90°，AD=4，AB=3，BC=12， 求 正方形DCEF的面积．2 、已知，如图， Rt△ABC 中， ∠ BAC=90°，AB=AC，D 是 BC? 上 任意一点，? 求证：BD2+CD2=2AD2．AD = 2.03 cm解（1） ∵AC⊥AB(已知) ∴ AC2+AB2=BC2(勾股定理) ∵ AB=3cm,BC=5cm B ∴ AC ? BC2 ? AB2 ? 52 ? 32 ? 4cm 又∵CD=2 3 cm AD=2cm(已知) ∴ AC2=16 , CD2+AD2=12+4=16 ∴ AC2=CD2+AD2 ∴ ∠ADC=900(勾股定理的逆定理) ∴ S四边形ABCD=S ABC+ S ACDDC = 3.52 cm△ △D AC= =AB ?AC + 1 ×3 × 4+ 21 2AD?CD 1 × 2?2 21 233 2) =6+2 (cm13、如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，且CE=1 4BC，则AF⊥EF，试说明理由解：连接AE ∵ABCD是正方形，边长是4，F是DC 的中点，EC=1/4BC ∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1AADF∴根据勾股定理，在 Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20 Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5 Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25 ∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AEF=90°即AF ⊥EFBEC探索与提高：如图所示，现在已测得长方体木块 的长3厘米，宽4厘米，高24厘米。一只蜘 蛛潜伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇 在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处。H G F BDAC（1）蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面 向上爬，它要从点A爬到点B处，有无数条路线， 它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线 爬上去，所走的路程会最短。你能帮蜘蛛找到 最短路径吗？ （2）若蜘蛛爬行的速度是每秒10厘米，问蜘蛛 沿长方体表面至少爬行几秒钟，才能迅速地抓 到苍蝇？ H B F GDHB3B1GFB2ACD8.一架5长的梯子，斜立靠在一竖直的墙 上，这是梯子下端距离墙的底端3，若梯子 顶端下滑了1,则梯子底端将外移（1 ）9.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺 地毯，地毯的长度至少需（ ）米 7B10.把直角三角形两条直角边 C A 同时扩大到原来的3倍，则其 斜边（ B ） A.不变 B.扩大到原来的3倍 C.扩大到原来的9倍 D.减小到原来的1/3小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他 先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门 高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门 的对角，问竹竿长多少米？ 解:设竹竿长X米,则城门高为 (X－1)米. 根据题意得: 32+ (X－1) 2 =X2 9+X2 －2X+1=X2 10 －2X=0 2X=10 X=5 答:竹竿长5米有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的 门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰 好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与 门高. 解:设竹竿高X尺,则门高为 (X－1)尺. 根据题意得: 42+ (X－1) 2 =X2 16+X2 －2X+1=X2 17 －2X=0 2X=17 X=8.5 答:竹竿高8.5尺, 门高为 7.5尺.13．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只 猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。 另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直 线计算，如果两只猴子所经过的距离相等， 则这棵树高_________________________ 米。 15如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点 D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8, 则BF=___________。 ABD EF C如图，有一个直角三角形纸片，两直直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的 角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且 与AE重合，你能求出CD的长吗？ CDEBA一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是5 cm的 长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么 它所行的最短路线的长是____________cm。BA.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、 高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶 两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去 吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最 短路程是_________A20 2 3B◆在长30cm、宽50 cm、高40 cm的木 箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫， 它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多 远？ B.40.AC30D50.B40.AC30 50B40AD30D50C80 ? 40 ? 80002 2图①C50.BB50. A40C30D2C4030 ? 90 ? 9000 A 302D图②C4030.BB30.ADC 50C40D 50 ? 70 ? 74002 250A图③6．做一个长、宽、高分别为50厘米、40厘米、 30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入， 为什么？试用今天学过的知识说明．
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