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试析工业机器人路径规划和轨迹规划的多目标优化.pdf 75页
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试析工业机器人路径规划和轨迹规划的多目标优化
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硕士学位论文
工业机器人路径规划和轨迹规划的多目标优化
姓名：胡佳
申请学位级别：硕士
专业：控制理论与控制工程
指导教师：汪峥
工业机器人路径规划和轨迹规划的
多目标优化
工业机器人是在工业上应用极为广泛的机械设备，在应用中主要应该考虑机器人
的控制问题，其目的就是使机器人在运动时遵循期望的路线并在规定时间内完成整个
运动过程。工业机器人的控制又分为离线的运动规划和在线的伺服跟踪，运动规划又
分为路径规划和轨迹规划两部分。
首先研究路径规划和轨迹规划的仿真方法和技术。计算机仿真是研究复杂控制系
统的有效手段之一，由于工业机器人运动学和动力学模型的复杂性，建立仿真模型是
一个十分困难的过程。本文采用MATLAB编程工具以及RoboticsToolbox工具箱建立
机器人的运动学和动力学模型，并对其进行仿真。描述了路径规划的具体方法步骤以
及仿真结果，对轨迹规划进行了深入的研究，结合实际分析了时间最优轨迹规划的特
点，采用参数化表示的方法降低动力学模型的维数，使得仿真易于进行，采用动态规
划法求取最优时间，并对仿真结果进行了分析，证明了轨迹规划方法的有效性。
其次研究路径规划和轨迹规划的关系，提出了路径规划和轨迹规划综合优化的方
法来同时优化这两个互相耦合的过程。在路径规划之后，采用B样条插值的方法对离
散路径进行拟合得到光滑路径，为了对得到的路径的光滑程度有一个量化的表示，提
出了光滑度的一种计算方法。采用了模糊控制器来控制路径的修正幅度，使得路径更
加光滑，进而求得机器人沿该路径运行的最小时间。在对机器人路径规划和时间最优
轨迹规划进行综合优化的基础上，又提出了对路径规划和轨迹规划的两个性能指标时
间和能量进行三目标综合优化的优化过程模糊控制方法，并采用遗传算法优化了模糊
控制器的参数。选取了算例对该方法进行了仿真，仿真结果验证了方法的正确性。
最后，在MATLAB环境下开发了工业机器人多目标优化算法的演示程序，实现了
上述算法。
关键词：工业机器人；路径规划；轨迹规划：模糊控制器；多目标优化
Multi--objectiveOptimizationPlanning
Trajectory
Manipulators
areabndofmechanismfacilitiesthatare
Manipulators
industry．The
consideredinthe
problemmanipulatorsmainly
application，whose
andwithinthe
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3库统计分析教材:MATLAB & Excel定量预测与决策:运作案例精编(附
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iframe(src='//www.googletagmanager.com/ns.html?id=GTM-T947SH', height='0', width='0', style='display: visibility:')每个模型的特征是由构造模型的目的决定的
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第一章建立数学模型&&&&1.1从现实对象到数学模型&&&&原型与模型原型（Prototype）指人们在现实世界里所关心、研究或从事生产、管理的实际对象。比如我们通常说的机械系统,电力系统,生态系统,生命系统、社会经济系统，又如化学反应系统,污染扩散过程,生产销售过程,计划决策过程等,它是数学建模研究的对象。模型指人们为了某个特定的目的而将原型的某些信息精简压缩,加以提炼而构造的原型的替代物。需要强调的是,模型不是原型的原封不动的复制,原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次，它实际上只是原型某些方面和某些层次的近似表示。同一个原型,为了不同的目的,可以有许多不同的模型。每个模型的特征是由构造模型的目的决定的。模型可以分成形象模型和抽象模型。形象模型包括直观模型,物理模型等;抽象模型包括数学模型等。物理模型通常指科技工作者为了某些目的，根据相似原理构造的模型,它不仅可以显示原型的外形或某些特征,而且可以用以进行摸拟实验,间接地研究原型的某些规律。比如风洞中的飞机模型用来实验飞机在气流中的空气动力学特性等。数学模型通常指运用数学的语言和工具,对部分现实世界的信息(现象、数据、图表等)加以翻译、归纳所形成的公式、图表等。数学模型经过演绎、求解以及推断,给出数学上的分析、预报,再经过翻译和解释,回到现实世界中。最后,这些推论或结果必须经受现实的检验,完成实践—理论—实践的循环。如果检验的结果是正确的或基本正确的,即可用于指导实践,否则,还要重新翻译、归纳,修正数学模型。建立数学模型通常简称为数学建模或建模。与数学模型密切相关的是数学模拟，主要指应用数字式计算机的计算机模拟（ComputerSimulation）。它根据实际系统或过程的特征，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行状态，并依据大量的模拟结果对系统或过程进行定量分析。对于那些因内在机理过于复杂，目前尚难以建立数学模型的实际对象，用计算机模拟获得一些定量结果，可称是解决问题的有效手段。数学实验所谓数学实验就是利用计算机技术，选择合适的数学软件和算法将数学问题在计算机上加以实现。&&&&&&&&1.2建模方法与建模步骤&&&&建立数学模型主要采用机理分析和测试分析两种方法。机理分析是指人们根据客观事物的特征,分析其内部机理,弄清其因果关系,并在适当的简化假设下,利用合理的数学工具得到描述事物特征的数学模型。测试分析方法是指人们一时得不到事物的机理特征,通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。建立数学模型需要哪些步骤没有固定的模式,下面是按照一般情况,提出的一个建立模型的大体过程。&&&&&&&&1&&&&&&&&&&&&模型准备&&&&&&&&模型假设&&&&&&&&模型建立&&&&&&&&模型求解&&&&&&&&模型分析&&&&&&&&模型检验&&&&&&&&模型应用&&&&&&&&下面就这几个过程作一些简单的介绍：模型准备首先要了解问题的实际背景,明确建模的目的,搜集建模必需的各种信息,比如实际现象,统计数据等,弄清楚实际对象的基本特征(事实上,由于实际问题的复杂性,以及认识的局限性,我们无法获得实际问题的全部信息),由此初步确定用哪一类模型。模型准备过程是非常必要的,事实上,这一步骤往往也是建模过程中最困难、最费时费力的,此步骤不仅需要查阅大量的资料,需要请教专家,而且还要求自己应具有相当的实际经验,这一步做得好,便会对问题有更透彻的了解,也会为以后几步带来极大的方便。模型假设一般来说,我们无法将实际对象的所有影响因素都考虑到模型中,这就需要对问题进行必要的简化。简化的目的应是尽量少地考虑影响因素,尽量多地抓住问题的基本实质,通过假设,把各种影响因素的关系较精确地描述出来。假设包含两方面的内容:(1)影响因素(变量)的分类列出可能的影响因素,将其独立的变量与相互影响的变量按类分开,对于相互影响的变量应解释清楚其相互关系。有选择地忽略一些影响因素,这种忽略主要基于两个方面的考虑:（i）该变量与其它变量相比,对实际问题行为特征的影响较小；（ii）对于那些各种条件下,对实际问题行为特征的影响虽然比较大,但是影响程度的变化基本上是不变的。(2)确定所选变量的关系有些变量间的关系是明确的,我们勿需对此作假设或简化,有些变量间的关系是模糊的,对此类变量,为明确其关系,我们可以对它再作进一步的假设或简化,甚至为了研究这些变量的关系,我们还可以建立子模型。建立模型根据所作的假设利用适当的数学工具,构成实际问题的数学描述,这里除了需要一些相关学科的专门知识外,还常常需要广阔的应用数学方面的知识开拓思路,除用到微积分、常微分方程、线性代数、概率论与数理统计等基础知识外,还用到诸如运筹与规划、排队论、图论、对策论等方面的知识。建模应遵循一个原则:尽管同一个研究对象可以利用多个学科的数学知识来建模,但应尽量采用简单的数学工具,以便更多的人了解和使用。模型的求解可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是数学软件和计算机技术。模型分析&&&&&&&&2&&&&&&&&&&&&对模型结果进行数学上的分析,给出定量或定性的结果,如有可能还应该给出数学上的预报、数学上的最优决策与控制方法。对结果进行误差分析、灵敏度分析及稳定性分析也是模型分析中必不可少的工作。模型检验把数学模型的结果回放到实际对象,与实际对象的现象、数据进行比较,验证模型的可靠性以及适用性。如果不合理,需要对模型进行补充修正,如果模型的结果与实际现象、数据出入较大，则需要重新审视假设的合理性，重建模型。模型应用经模型检验证明模型是可靠的或适用的后,模型即可以应用实际问题,用于评价、预测或指导工程实践。数学建模的全过程数学建模的过程可以分为表述、求解、解释、验证四个阶段，通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环。表述过程(属于归纳法)即根据建模的目的和掌握的信息(数据、图表、描述)将研究的对象转化为数学问题,用数学语言(公式、图表、计算机语言等)明确地将这些信息表述出来,形成数学模型。求解过程(属于演绎法)即选用适当的数学方法(作图、计算机求解等)给出数学模型的解答,并用图表、公式、符号等给出结果,从数学上进行分析、预报,提供决策或控制方案。解释过程是指把数学语言(图表、公式、符号、计算机语言等)表述的结果转化或翻译回到现实对象,给出实际问题的答案。验证过程是指用实际对象的信息，检验从数学模型中得到的答案,以确认结果的正确性,若正确或基本正确,则用来指导实践,否则需要重新进行建模或修改模型。&&&&&&&&1.3数学模型的特点和分类&&&&数学建模是利用数学工具解决实际问题的手段,数学模型有许多优点,也有弱点。建模需要丰富的知识、经验和能力,同时还应该掌握相应的分寸,下面归纳出数学建模的若干特点,供读者在学习过程中逐步领会。建模的逼真性和可行性由于实际问题的复杂性,希望用数学语言非常逼真地把实际问题描述出来几乎是不可能的,同时一个非常逼真的数学模型在数学上也是难于处理的,自然达不到通过建模对现实问题进行分析、预报、提供决策方案或控制措施的目的,即实用上是不可行的。另一方面,越逼真的模型常常越复杂,即使数学上能处理,这样的模型应用时所需要的“费用”也是相当高的,而高“费用”不一定与复杂模型取得的“效益”想匹配。所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性、“费用”与“效益”之间作出折中和抉择。模型的渐进性稍微复杂一点的模型通常不可能一次成功,需要经过修正、提炼,包括由简到繁,也包括删繁就简过程,以便获得越来越满意的模型。在科学发展过程中随着人们认识和实践能力的提高以及科学技术水平的提高,各学科中出现的数学模型也存在着一个不断完善和推陈出新的过程。模型的稳定性模型的结构和参数常常是由对象的信息如数据等确定的,而观测数据是有误差的。好的模型应该具有下述意义的稳定性:当观测数据(或其它信息)有微小改变时,或者模型结构和参数只有微小变化时,一般也只导致模型求解的结果仅有微小变化,否则就应该修正模型。模型的可转移性模型是现实对象的抽象化、理想化的产物,它不为对象的所属领域所&&&&&&&&3&&&&&&&&&&&&独有,可以转移到另外的领域。比如在生态、经济、社会等领域内的模型就常常借用物理领域中的模型。模型的这种性质显示了它的极端广泛性。模型的非预测性虽然已经发展了许多应用广泛的模型,但是实际问题是各种各样的、千变万化的,不可能把各种模型做成预制品供你建模时使用,模型的这种非预测性使得建模本身常常是事先没有答案的问题。在建立新的模型过程中往往伴随着新概念和新方法的产生。模型的条理性从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面、更深入、更具有条理性,这样即使建立的模型由于种种原因尚未达到实用的程度,对问题的研究也是有帮助的。建模的技艺性建模的方法与其它一些数学方法如线性代数、微分方程等是根本不同的,无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧。经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起的作用往往比一些具体的数学知识作用更大。建模者需要具有较高的建模技艺。模型的局陷性模型的局限性主要表现在如下几个方面:第一,数学模型仅是实际对象的信息的简化或提炼,尽管其结果具有通用性和精确性,但是一旦将模型用于实际,便会发现那些被忽视、简化的因素还是有影响的,模型的结果只能是实际问题的近似反映；第二,由于认识能力、科学水平包括数学水平的限制,还有许多实际问题目前还很难得到精确的数学模型。比如一些内部结构复杂、影响因素众多、测量手段不够完善、技艺性较强的生产过程等；第三,还有一些领域中的问题尚未发展到用建模方法来寻求数量关系的阶段,比如中医诊断过程等。数学模型的分类数学模型可以按照不同的方式分类,下面介绍几种常见的分类方法。(1)按照模型的应用领域或所属学科分类，如城镇规划模型、交通模型、数量经济学模型、生态学模型、水资源模型等。(2)按照建立模型的数学方法分类,如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型、图论模型、线性规划模型、对策论模型等。本讲义采用的就是此类分法。(3)按照模型的表现特征又有几类分法:比如说确定性模型和随机性模型、静态模型和动态模型、离散模型和连续性模型、线性模型和非线性模型等。(4)按照建模的目的分类,有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。（5）按照对模型结构的了解程度分类,有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。&&&&&&&&1.4数学建模能力的培养&&&&数学建模除了需要广博的知识（包括数学知识和各种实际知识）和足够的经验外，特别需要丰富的想象力和敏锐的洞察力。类比方法与理想化方法是建模中常用的方法，类比在一定程度上是靠想象进行的，如将交通流与水流类比来建立交通流模型。建模过程是一种创造性思维过程，除了形象思维（想象、洞察、判断）、逻辑思维之外，直觉与灵感往往也起着不可忽视的作用。对问题进行反复思考与探索，加上由不同专业人员之间的相互探讨，是激发直觉与灵感的重要因素（由各种专门人才组成的团队工作方式越来越受到重视）。总而言之，建模可以看成一门艺术，一名出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指教，更需要亲身的实践。掌握建模这门艺术，不外乎认真作好这样两条：第一，学习、分析、评价、改造别人作过的模型，首先是弄懂它，分析为什么这么作，然后找出它的优缺点，并尝试改进的方法；第二，要亲自动手，踏实地做几个实际题目。&&&&&&&&4&&&&&&&&&&&&建模示例例1交通事故调查一辆汽车在拐弯时急刹车，结果冲到路边的沟里（见图1.1）。交O警立即赶到事故现场。司机申辩说，X当他进入弯道时刹车已失灵，他还一口咬定，进入弯道时其车速为40英里/小时(即该车限速的上限，相当于17.9米/秒），警察验车时证实该车的制动器在事故发生时的确失灵，然而司机所说的车速是否真实呢？现在让我们帮交警来计算一下司机所说的车速是否真实。根据数学建模的一般过程,事先需要提取研究对象足够多的信息,为此首先需要了解现场。下面是交警在现场获取的相关数据:表1.1刹车痕迹的测量值(米)&&&&Y&&&&&&&&X027&&&&&&&&330&&&&&&&&6&&&&&&&&933.27&&&&&&&&12&&&&&&&&1516.64&&&&&&&&18&&&&&&&&21&&&&&&&&24&&&&&&&&Y01.192.152.823.283.533.552.221.290&&&&&&&&3.543.312.89&&&&&&&&X指刹车痕迹方向；Y指垂直X轴方向。经勘察还发现，该车并没有偏离它的行驶转弯方向，也就是说车头一直指向转弯曲线的切线方向。下面我们来帮交警建一个简单的数学模型，根据所给信息，可做如下假设：（1）该车的重心沿一个半径为r的圆做圆周运动（根据交通学原理，现有公路的弯道通常是按圆弧段设计的,需要检验）。（2）汽车速度v是常数（因刹车失灵，所以刹车不起作用）。（3）设摩擦力f作用在汽车速度的法线上，摩擦系数为常数k，汽车质量为m。根据牛顿运动学定律：由（1.1）式得&&&&&&&&f=kmg=mv2/rv=kgr&&&&c2&&&&22&&&&&&&&（1.1）（1.2）&&&&&&&&关于圆半径的估计:假设已知圆的弦长为c,弓形高度为h,则由勾股定理得r?()?(r?h)&&&&2&&&&&&&&,&&&&&&&&由表1.1得c≈33.27m,h≈3.55m,r≈40.75m.通常可以根据路面与汽车轮胎的情况测出摩擦系数的值,也可以通过交通部门获得,本例&&&&&&&&5&&&&&&&&&&&&取kg=8.175m/s。代入(1.2)式得&&&&&&&&2&&&&&&&&v=18.2m/s。&&&&&&&&此结果比司机所说的车速(17.9m/s)略大一些,但基本上可以认为司机所说的结果是可以接受的。事实上,我们还可以举出许多通过建立数学模型解决实际问题的例子。下面是又一个例子。例2录像机计数器的用途一盘录像带从头至尾时间用了183分30秒,计数器从0000变到6152,现在录像机计数器为4580,问剩下的一段能否录下1小时的节目。我们希望建立计数器与录像带转过时间之间的关系,并回答能否录1小时的节目？问题分析:(1)读数并非均匀增长,而是先快后慢；(2)录像机的工作原理如图1.2。&&&&&&&&右轮/计数器&&&&&&&&左轮&&&&&&&&磁头&&&&&&&&主动轮/压轮&&&&&&&&图1.2录像带工作原理目标:找出计数器n与录像带转过的时间t之间的关系t=f(n)。模型假设:录像带的线速度(单位时间转过的长度)是常数v;计数器n与右轮的转数m成正比,即m=kn,k为比例系数,t=0时,m=0;录像带的厚度是常数w,空右轮的半径r。模型建立:方法一:右轮转盘转到第i圈时其半径为r+wi,周长为2?(r?wi),m圈总长度等于录像带转过的长度vt,即&&&&&&&&2(r?wi)?vt&&&&i?1&&&&&&&&m&&&&&&&&(1.3)&&&&&&&&由wr,将m=kn代入得&&&&&&&&t=π&&&&&&&&wk22rkn+2πnvv&&&&&&&&(1.4)&&&&&&&&方法二:右轮面积的变化=录像带转过的长度×厚度:&&&&&&&&?[(r?kwm)2?r2]?wvt&&&&&&&&(1.5)&&&&&&&&6&&&&&&&&&&&&由(1.5)式也能得到(1.4)式。方法三:用微积分:自t到t+dt录像带在右轮上缠绕的长度&&&&&&&&vdt=2πk(r+kwn)dn&&&&两边积分得&&&&&&&&(1.6)(1.7)&&&&&&&&v?0dt=2πk?0(r?kwn)dn&&&&因此&&&&&&&&t&&&&&&&&n&&&&&&&&t=π&&&&&&&&krwk22n?2πnvv&&&&&&&&本例中,r,w,v,k为待定系数,应该给出相应测量方法。事实上,我们可以将(1.4)式记为&&&&&&&&t?an2?bn&&&&&&&&(1.8)&&&&&&&&只需确定两个参数a,b理论上只需两组数据即可,但是实际上因w较小,很小的误差对答案的影响很大,通常应有足够的数据验证。表1.2是一组相关数据。表1.2&&&&&&&&t(分)&&&&&&&&0&&&&&&&&20&&&&&&&&40&&&&&&&&60&&&&&&&&80&&&&&&&&100&&&&&&&&120&&&&&&&&140&&&&&&&&&&&&n(转)&&&&&&&&0&&&&&&&&3466&&&&&&&&&&&&&&&&5135&&&&&&&&&&&&数据处理方法一：利用Matlab多项式拟合命令x=[2];y=[.5];dy=std(y);[a,S]=polyfit(x,y,2);A=a;da=dy*sqrt(diag(inv(S.R*S.R)));DA=freedom=S.[ye,delta]=polyval(a,x,S);YE=D=chi2=sum((y-ye).^2)/dy/Q=1-chi2cdf(chi2,freedom);Aclf,plot(x,y,b+);axis([0,]);holdonerrorbar(x,YE,D,r);holdoff&&&&&&&&7&&&&&&&&&&&&title(较适当的二阶拟合)text(500,150,[chi2=num2str(chi2)~int2str(freedom)])text(500,120,[freedom=int2str(freedom)])text(3000,30,[Q=num2str(Q)~0.5])经数据处理得&&&&&&&&a=2.51?10?6,b=1.44?10?2，将之代入(1.8)式。&&&&&&&&数据处理方法二：利用Matlab编程计算x=[2];y=[.5];R=[(x.^2)x];A=R\y结果为2..014405（formatshorte）&&&&&&&&模型检验:(应从另一组数据进行检验,并计算误差)模型应用:当n=4580时,将n值代入(1.8)式得t=118.5分,剩下一段录像带还可录183.5-118.5=65(分)。注：数据处理采用最小二乘法拟合2次多项式，参见《数学建模与数学实验》一书P251－P256页或P255－P256页。&&&&&&&&习题一：1.从下列叙述中明确要研究的问题，要考虑哪些有重要影响的变量？(1)一家商场要建一个新的停车场，如何规划照明设施．(2)一农民要在—块土地上作出农作物的种植规划．(3)一制造商要确定某种产品的产量及定价．(4)卫生部门要确定一种新药对某种疾病的疗效(5)一滑雪场要进行山坡滑道和上山缆车的规划2．怎样解决下面的实际问题．包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等。(1)估计一个人体内血液的总量(2)为保险公司制定人寿保险金计划(不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额)(3)估计一批日光灯管的寿命．(4)确定火箭发射至最高点所需的时间。(5)决定十字路口黄灯亮的时间长度．(6)为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划。&&&&&&&&8&&&&&&&&&&&&第二章&&&&&&&&初等模型&&&&&&&&本章介绍几个用初等数学方法建立起来的数学模型,所用的数学知识仅为比例、函数等常识,或用图示方法来讨论。&&&&&&&&2.1实物交换模型&&&&本模型我们考虑实物交换问题,设有甲、乙两人,甲有物品A共x0件,乙有物品B共y0件。出于某种需要,甲、乙两人希望交换部分物品,以达到双方都满意的结果。一般来说,这种交换取决于甲乙双方对两种物品的偏爱程度,由于偏爱程度不能定量地用数学关系式来表示,因而本例只能定性地用图示法来建立数学模型,揭示这种交换的主要性质特征。用(x,y)表示交换后甲占有物品A、B的数量,则乙占有物品A、B的数量可用(x0-x,y0-y)来表示。易见，若以o1(x0,y0)为坐标原点,如图2.1所示建立坐标系x1o1y1,则点p((x,y)在xoy上表示甲对物品A、B的占有量,在x1o1y1上表示乙对物品A、B的占有量。&&&&&&&&y&&&&x1o1&&&&&&&&。p1(x1,y1)p(x,y)。p2(x2,y2)xo&&&&图2.1甲的无差别曲线&&&&&&&&y1&&&&&&&&在实物交换过程中,常常会出现这样的情况,甲占有物品A、量(x1,y1)与(x2,y2)是同等满意B的(通常称满意程度无差别)。事实上,在长方形内还有许多这样的点对甲来说是同等满意的,这些点连成的曲线称无差别曲线。易见,越往右边,对甲来说满意程度越高。不妨用f(x,y)=c1来表示这些曲线,c1称为满意度，c1增加,曲线向右移动,表示甲的满意度增加。无差别曲线的形状：(1)无差别曲线是单调递减的；(2)无差别曲线是下凸的（见图2.2）。对于乙来说,也有这样的满意度曲线(无差别曲线),记为g(x1,y1)=c2,c2增加,曲线向左下方移动。为了获得双方都满意的交换方案,将双方的无差别曲线画在同一张图中,这两个曲线族的切点连线构成一条曲线AB,如图2.3所示。关于曲线AB有如下结论:交换双方都满意的方案必然在曲线AB上,AB称为交换路径。实际上,只能在曲线AB的&&&&&&&&9&&&&&&&&&&&&某一段上。解释:假设交换在曲线AB之外的一点P1处进行,设P为AB上对甲来说与P1同等满意的交换点,则P、P1在某一f(x,y)=c1上(记为I),而对乙来说,P点比P1点满意度更高,因而交换不应该在P1点进行,所以交换只能在AB上进行。至于交换应该在曲线AB上的哪一点进行,就要依靠双方协商解决了。&&&&&&&&B&&&&&&&&A&&&&&&&&图2.2甲的无差别曲线形状&&&&&&&&图2.3甲、乙交换途径示意图&&&&&&&&2.2公平的席位分配&&&&问题：三个系学生共200名，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名，会议代表席位共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人数为103人,63人,34人,问20席如何分配？若增加为21席，又如何分配？按比例分配名额如下：系别甲乙丙总和人数学生%51.531.517.席的分配结果（10.3）10(6.3)6(3.4)4(20.0)2021席的分配(10.815)(6.615)(3.570)(21.000)117321&&&&&&&&这样分配席位对丙系公平吗？衡量公平分配的数量指标人数席位A方p1n1B方p2n2&&&&&&&&当p1/n1=p2/n2时，分配公平若p1/n1p2/n2，对哪方不公平？&&&&&&&&10&&&&&&&&&&&&定义1：称p1/n1–p2/n2为A的绝对不公平度。绝对不公平度能解决问题吗？试看下面的例子：p1=150,n1=10,p1/n1=15p1=,p1/n1=105p2=100,n2=10,p2/n2=10p2=,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5p1/n1–p2/n2=5虽二者的绝对不公平度相同但后者对A的不公平程度已大大降低!&&&&&&&&定义2：称&&&&&&&&p1/n1?p2/n2?rA(n1,n2)为A的相对不公平度。p2/n2&&&&&&&&我们认为公平分配方案应使rA,rB尽量小。现设A,B已分别有n1,n2席，若增加1席，问应分给A,还是B？不妨设分配开始时p1/n1p2/n2，即对A不公平，试问增加的一席应给哪方？1）若p1/(n1?1）p2/n2，则这席应给A2）若p1/(n1?1）p2/n2，应计算rB(n1?1,n2)3）若p1/n1p2/(n2+1)，应计算rA（n1,n2?1)若rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),则这席应给A若rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),则这席应给B也即&&&&22p2p12p2p12该席给A；该席给Bn2(n2?1)n1(n1?1)n2(n2?1)n1(n1?1)&&&&&&&&pi2,i?1,2，则该席给Q值较大的一方。若令Qi?ni(ni?1)&&&&上述分配方法可推广到M方分配席位：计算Qi?&&&&&&&&pi2,i?1,2ni(ni?1)&&&&&&&&,M，该席给Q值最大的一方，此方法称为Q值法。&&&&&&&&三系用Q值方法重新分配21个席位按人数比例的整数部分已将19席分配完毕甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3第20席&&&&&&&&Q1?&&&&&&&&?96.4,2?Q?94.Q3,?5?10?11?76?43&&&&&&&&96第3席给甲系.20&&&&&&&&11&&&&&&&&&&&&第21席&&&&&&&&Q1?&&&&&&&&1032同上，第21席给丙系?80.4,Q2,Q311?12&&&&&&&&21席分配结果如下：甲系11席，乙系6席，丙系4席。&&&&&&&&2.3汽车刹车距离&&&&美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后车与前车的距离应增一个车身的长度。实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。试判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样？建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。分析：英里/小时(?16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(?9米)远大于车身的平均长度1015英尺(=4.6米)，“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同。假设与建模：1.刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和，即d?d1?d22.反应距离d1与车速v成正比，即d1?t1v（其中t1是反应时间）3.刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;且F与车的质量m成正比故F?d2?&&&&&&&&mv2，F?m2&&&&2&&&&&&&&d2?kv2&&&&&&&&于是得：d?t1v?kv&&&&&&&&求解模型：反应时间t1的经验估计值为0.75秒，利用交通部门提供的一组实际数据拟合k(英里/小时)80车速(英尺/秒)29.344.058.773.388.刹车时间（秒）1.51.82.12.53.03.64.3实际刹车距离（英尺）42（44）73.5（78）116（124）173（186）248（268）343（372）464（506）计算刹车距离（英尺）39.076.61.&&&&&&&&由车速、刹车时间、实际刹车距离通过线性最小二乘法?k=0.06，再由t1＝0.75,k=0.06,可以算出各种车速下的计算刹车距离。注：线性最小二乘法拟合参见《数学建模与数学实验》一书P255－P256页。&&&&&&&&12&&&&&&&&&&&&模型&&&&&&&&d?t1v?kv2?0.75v?0.06v2&&&&车速(英里/小时)80刹车时间（秒）1.51.82.12.53.03.64.3&&&&&&&&“2秒准则”应修正为“t秒准则”&&&&车速（英里/小时）t（秒）0~~&&&&&&&&2.4划艇比赛的成绩&&&&&&&&2.4&&&&问题&&&&赛艇种类单人双人四人八人&&&&&&&&划艇比赛的成绩&&&&&&&&对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。2000米成绩t(分)艇长l1234平均(米)7.167.257.287.177.217.936.876.926.956.776.889.766.336.426.486.136..925.825.735.8418.28艇宽b(米)0.40.610l/b27.027.421.030.0空艇重w0(kg)浆手数n16.313.618.114.7&&&&&&&&准调查赛艇的尺寸和重量备&&&&&&&&l/b,w0/n基本不变&&&&&&&&13&&&&&&&&&&&&问题分析&&&&分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定?前进动力~浆手的划浆功率?前进阻力~浸没部分与水的摩擦力浆手数量划浆功率艇重前进动力浸没面积前进阻力赛艇速度赛艇速度&&&&&&&&?对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定?运用合适的物理定律建立模型&&&&&&&&模型假设&&&&符号：艇速v,浸没面积s,浸没体积A,空艇重w0,阻力f,浆手数n,浆手功率p,浆手体重w,艇重W1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比2）v是常数，阻力f与sv2成正比3）w相同，p不变，p与w成正比艇的静态特性艇的动态特性浆手的特征&&&&&&&&模型建立&&&&&&&&np?fv&&&&&&&&f?sv2&&&&&&&&p?w&&&&&&&&v?(n/s)1/3s?n2/3&&&&&&&&s1/2?A1/3A?W(=w0+nw)?nv?n1/9&&&&比赛成绩t?n–1/9&&&&&&&&14&&&&&&&&&&&&模型检验&&&&n.886.325.84&&&&&&&&利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型t?n–1/9进行检验&&&&t&&&&7.216.886.325.84&&&&&&&&&&&&8n&&&&&&&&1&&&&&&&&2&&&&&&&&4&&&&&&&&t?anb&&&&最小二乘法&&&&&&&&logt?ablogn&&&&&&&&t?7.21n?0.11&&&&&&&&与模型巧合！&&&&&&&&数据处理可以采用变量代换的方法（这里使用了对数变换），将非线性拟合问题转换为1次多项式拟合。通过简单调用Matlab的多项式拟合命令，即可求解。为了确定公式tn中的参数,通过取对数转化为线性拟合问题，详细内容可参见萧树铁《数学实验》书中的实验2插值与拟合）。&&&&?&&&&&&&&或令y?p1x?p2&&&&&&&&，其中(y?lnt,x?n,p1,p2?ln?)&&&&&&&&在Matlab7中输入：x=[1,2,4,8];y=[log(7.21),log(6.88),log(6.32),log(5.84)];P=polyfit(x,y,1);exp(P(2))P(1)经过计算得&&&&&&&&7.3050,?=-0.0294在MATLAB6.5中也得到同样的结果。&&&&&&&&注：此计算结果比姜启源编《数学模型》书中的结果差(7.21,?0.111)，对此结果能否加以改进？&&&&&&&&2.5抢渡长江&&&&“渡江”是武汉城市的一张名片。日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北&&&&&&&&15&&&&&&&&&&&&码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。终点:汉阳南岸咀2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002年正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，定于每年的日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性长江水流方向和观赏性。日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。当日的平均水温16.8℃，江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186起点:武昌汉阳门图2.4人（其中专业人员将近一半）仅34，人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线,两岸的垂直距离为1160米,从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为1000米，见图2.4。下面借助数学模型解决如下问题：门（1）假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为1.89米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。（2）在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游,他(她)们能否到达终点？并说明为什么1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。（3）流速沿离岸边距离的分布为(设从武昌汉阳门垂直向上为y轴正向)：&&&&&&&&?1.47米/秒，0米?y?200米?v(y)2.11米/秒，200米?y?960米?1.47米/秒，960米?y?1160米?&&&&游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。问题分析：直觉告诉我们沿起点到终点的直线游所化时间最短，如何加以证明哪？对于第一问，建立“流水坐标系”，以起游点所在的位置O为坐标原点（见图2.5）。在此坐标系下，水的流速为零，人游泳的速度就是流动坐标系下的合速度，设为u。&&&&B&&&&&&&&16&&&&&&&&1160m&&&&&&&&(2.1)&&&&&&&&A&&&&&&&&o&&&&&&&&&&&&在实际问题中人游到终点A相当于在流水坐标系中终点A以水速v水平向左运动，游泳者以速度u运动与B相遇。对于人的游泳速度u为常数的情况，我们先给出如下引理：引理1若u为常数，水速v也为常数，则最优路径就是线段OA，且偏角?（u与v的夹角）不变。证明：由问题的实际意义，本问题对所给条件必存在最短时间，设到达终点A的最短时间为T0,AB?vT0，第一问中从O点游到A点最优路径问题相当于流水坐标系中O点游到B点的最优路径。而两点距离以线段为最短，于是最优路径是以O为起点，B为终点的线段，这表明偏角?为常数，回到实际问题中由于?不变，因此u为常向量，考虑到v也是常向量，?（u与v的夹角）不变。于是合速度也是常向量，故最优路径就是线段OA，且偏角根据引理1，在流水坐标系下，人的最优游泳路径为直线OB。当T0?848()时，s&&&&&&&&|AB|?1602.7(),|?|1307.2()mOBm。据此计算出人的游泳速度与偏角为&&&&&&&&u?1.5415(m/s),117.46?&&&&如果人的游泳速度u=1.5（m/s）保持不变,|OA|?1531.54(m),设人的最短游泳时间为T1,偏角为?1,那么在流水坐标系下,人的游泳距离为|OB|?uT1,|AB|?vT1,根据余弦定理得&&&&&&&&1160sin?1?uT1|OA|2?|OB|2?|AB|2?2|OB|.|AB|co?1s?&&&&解（2.2）式得&&&&&&&&（2.2）&&&&&&&&?1?121.85?或者156.62?,考虑?1的实际意义,知?1?121.85?。&&&&?&&&&2&&&&&&&&T1?910.4(s)。&&&&对于第二问，（请读者分析为什么在u?1.5(m/s),&&&&&&&&）时，不能到达终点。（2.3）&&&&&&&&当游泳的偏角?给定，流水速度v一定，要使问题有解则必须成立：&&&&&&&&H?Lv的终点B为圆心，u为半径作半圆，O与半圆上任意一点的其几何意义为：以速度向量连线为可能的合速度方向，当u小于B到OA的距离时，合速度方向一定指向终点A的下&&&&22&&&&&&&&u?v&&&&&&&&H&&&&&&&&游，游泳者无法到达终点。&&&&A&&&&&&&&uOvB&&&&&&&&图2.6&&&&&&&&17&&&&&&&&&&&&反之，当u为半径的半圆与OA有唯一交点时，合速度方向就是最优的游泳方向。当u为半径的半圆与OA有两个交点时，合速度大的方向就是最优速度（见图2.6所示）。对于第三问，由对称性知，只要找到起点O到OA中点B的最优路径即可。由引理1知道，由于C点两侧江水流速虽然不同，但均为常数，因此最优路径为直线OC与CB，唯一未知的是C点位置（见图2.7）。&&&&A&&&&&&&&BL1H1OCl&&&&&&&&图2.7确定点C的近似计算方法：C可以沿直线l取不同的位置，譬如取H1＝200，L1＝10，则H2＝&&&&&&&&&&&&&&&&L2＝1000?10，按第一问的方法可计算出游完OC,CB两段所需要总时间，再依次取&&&&2&&&&L1＝20，30，40，50，…，利用计算机可很快算出各种游法所花时间，最后从这一系列游法中挑选最少时间作为问题的近似解。建议读者应用计算机求出这个问题的近似解。第三问也可以用解析几何方法求出C所满足的代数方程，通过求方程的根，找出问题的答案（请读者自己给出解析表达式）。&&&&&&&&练习二：1.学校共1000名学生，235人、333人、432人分别住在A、B、C宿舍楼，现要组成一个10人的委员会，试分别用比例法及Q值法求出各宿舍楼的委员数。2.赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇等几类。八人艇还分重量级（桨手体重不超过86kg）和轻量级（桨手体重不超过73kg），建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5％（数据见2.4划艇比赛的成绩）。3.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗．比如洁银牙膏50g装的每支1．50元，120g装的每支3．00元，二者单位重量的价格比是1．2：1．试用比例方法构造模型解释这个现象(1)分析商品价格C与商品重量m的关系．价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量m成正比．有的与表面积成正比，还有与m无关的因素．(2)给出单位重量价格c与m的关系，画出它的简图，说明m越大c越小，但是随着m的增加c减小的程度变小．解释实际意义是什么．4.试对2.5抢渡长江的第三问通过近似计算的方法确定点C的坐标。&&&&&&&&18&&&&&&&&&&&&第三章拟合与插值&&&&在科技研究或解决实际问题过程中，除了要进行一定的理论分析外，数据处理也是必不可少的工作。由于实验测定实际系统的数据具有一定的代表性，所以在处理时必须充分利用这些信息。由于测定过程中不可避免会产生误差，所以在分析经验公式时又必须考虑这些误差的影响，这两者之间是相互制约的。据此合理建立实际系统数学模型的方法为数值逼近法。本章介绍曲线拟合法与插值法建模。&&&&&&&&3.1曲线拟合法建模&&&&工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据（xi，yi）中，求自变量x与因变量y的一个近似的函数关系式y=f（x）。比如，程序控制的铣床加工精密工件时，加工时走刀方向是直线的，要加工得到光滑的曲线外廓，必须计算出外形曲线足够密的点的坐标，用它来控制走刀方向，以便加工出达到精度要求的工件（见图3.1）,曲线在各点的切线方向为走刀方向。一般来说y=f（x）的形状不是非常确定的，我们只能根据（xi，yi）,i=1，2，…n的数据，给出y=f（x）的足够精确的近似函数—经验公式。从几何角度解释，就是找一条“最佳”的曲线，使之与（xi，yi）靠得最近，这就是所谓的曲线拟合。通过找经验公式或曲线拟合将离散的数据条件变成连续的函数条件，从而可以使用连续函数的分析方法进行建模讨论。曲线拟合法的一般步骤是先根据实验数据，结合相关定律，将要寻求的最恰当的拟合曲线方程形式预测出来，再用其它的数学方法将经验公式中的参数确定下来。确定经验公式的形式对于事先给定的一组数据，确定经验公式一般可分三步进行：（1）确定经验公式的形式根据系统和测定数据的特点，并参照已知图形的特点确定经验公式的形式。（2）确定经验公式中的待定系数计算待定系数的方法有许多，常用的方法有图示法、均值法、差分法、最小二乘法、插值法等。本章将应用最小二乘法确定经验公式的系数。（3）检验求出经验公式后，还要将测定的数据与用经验公式求出的理论数据作比较，验证经验公式的正确性,必要时还要修正经验公式。图3.1曲线拟合图xi-1xixi+1yi－1&&&&yi＋1&&&&&&&&19&&&&&&&&&&&&关于确定经验公式的形式，我们可以从下面几个方面着手：(1)利用已知的结论确定经验公式形式，比如由已知的胡克定律可以确定在一定的条件下，弹性体的应变与应力呈线性关系等。(2)从分析实验数据的特点入手，将之与已知形式的函数图形相对照，确定经验公式的形式。(3)多项式近似。多项式近似是工程中十分常见的方法，它首先需要我们确定多项式的次数，一般可以用差分法、差商法来估计。差分与差商概念一阶向前差分&&&&&&&&?yk?yk?1?yk?f(xk?1)?f(xk)&&&&?2yyk?1yk?f(xk?2)?2f(xk?1)?f(xk)&&&&&&&&二阶向前差分…………m阶向前差分&&&&&&&&?mykm?1yk?1m?1yk,m?1,2,&&&&&&&&一阶差商&&&&&&&&f[xk,xk?1]?&&&&&&&&?ykxk?1?xkf[xk?1,xk?2]?f[xk,xk?1]xk?2?xk&&&&&&&&二阶差商&&&&&&&&f[xk,xk?1,xk?2]?&&&&&&&&…………m阶差商&&&&&&&&f[xk,xk?1,&&&&&&&&,xk?m]?&&&&&&&&f[xk?1,xk?2,&&&&&&&&,xk?m]?f[xk,xk?1,xk?m?xk&&&&&&&&,xk?m?1]&&&&&&&&差商与导数的联系（微分中值定理）若y=f(x)在[a，b]上m次可导，且&&&&a?xk?xk?1?xk?2?xk?3?xk?m?b&&&&&&&&，则f[xk,xk?1,xk?2,&&&&&&&&xk?m]?&&&&&&&&(xk,xk?m)&&&&&&&&f(m)(?)，m!&&&&&&&&据此，若结点为等距分割点时，有xk?x0?kh，h为结点距，且&&&&&&&&?myk?m!.hmf[xk,xk?1,?,xk?m]?hmf(m)(?)，(xk,xk?m)。&&&&&&&&因此对n阶多项式有f[xk,xk?1,式的次数。多项式拟合的实例：&&&&&&&&,xk?n]?常数。据此,我们可以根据数据的差分来确定多项&&&&&&&&20&&&&&&&&&&&&例1氨蒸汽的压力和温度在化学工程中经常会遇到计算高温状态下蒸汽压力和温度的问题，但是考虑到测量设备等的限制，我们希望利用低温状态下的压力等有关数据进行外推。表3.1给出了氨蒸汽的一组温?度和压力数据。那么能否从所列的数据中计算75C氨蒸汽的压力？表3.1温度(C)压力(kN/m2)&&&&?&&&&&&&&20805&&&&&&&&25985&&&&&&&&30&&&&&&&&35&&&&&&&&40&&&&&&&&45&&&&&&&&502030&&&&&&&&552300&&&&&&&&602610&&&&&&&&1790&&&&&&&&解：根据表3.1的数据可以得到差分表3.2。&&&&t&&&&&&&&p&&&&&&&&&&&&?p&&&&&&&&?2p&&&&&&&&?3p&&&&&&&&?4p&&&&&&&&505560&&&&&&&&0表3.2差分表50&&&&&&&&从表3.2中可以看出，四阶差分相邻的值差为5，其它的都大于5，因此可以用四阶多项式作为其经验公式。（拟合多项式次数一般不超过5次）对表3.1的数据,根据最小二乘法，可以求得p=0....79另外可以绘制得到下面的图3.2。&&&&&&&&&&&&图3.2拟合曲线图&&&&&&&&21&&&&&&&&&&&&最小二乘法最小二乘法是求线性函数的待定系数的常用方法，设因变量y与自变量x1,x2,&&&&&&&&,xn（这里&&&&&&&&的自变量可以是实际问题中自变量的已知函数，如下面例2中的lnI）有如下关系:（a1,a2,?,an是待定系数）&&&&&&&&y?a1x1?a2x2?&&&&设(x1i,x2i,&&&&&&&&anxn&&&&，记,m是m次观测值（m?n）&&&&&&&&(3.1)&&&&&&&&,xni,yi),i?1,2,&&&&&&&&?x11?xA12x1m&&&&&&&&x21x22?x2m&&&&&&&&?xn1a1y1ay?xn22?a?y2?xnmRmn?ynRn?anRn，，&&&&,an，使?(x1ia1?x2ia2xnian?yi)2为最小。&&&&i?1m&&&&&&&&最小二乘法原理就是找一组数值a1,a2,&&&&&&&&由高等数学中介绍的多元函数求极值方法知道，极值点满足如下条件：&&&&&&&&ATAa?ATy&&&&&&&&（3.2）&&&&&&&&在实际问题中，（3.2）式往往只有唯一解，因此也就是问题的所要找的一组值。MATLAB中，求解（3.2）的命令为a?A\y线性拟合与多项式拟合多项式拟合问题可以转化为线性拟合，例如令x1=t4,x2=t3，x3=t2,x4=t1,x5=1，则&&&&&&&&a?A\y可求出y?a1t4?a2t3?a3t2?a4t?a5的系数a&&&&根据最小二乘法可以求出例1的经验公式为p=0....79Matlab程序为：y=[805,985,70,00,2610];t=[20,25,30,35,40,45,50,55,60];A=[(t.^(4))(t.^(3))(t.^(2))tones(9,1)];a=A\y在Matlab6.5中运行结果为：0.0001在相应点处拟合多项式的值为：-0.3*0.&&&&&&&&22&&&&&&&&&&&&0.8052&&&&&&&&0.9842&&&&&&&&1.1707&&&&&&&&1.3651&&&&&&&&1.5699&&&&&&&&1.7895&&&&&&&&2.0302&&&&&&&&2.3002&&&&&&&&2.6099&&&&&&&&显而易见该拟合多项式与实际数据吻合得极好。&&&&&&&&可以化为线性拟合的非线性拟合问题曲线改直是工程中又一常用的判断曲线形式的方法,许多常见的函数都可以通过适当的变换转化为线性函数。（1）幂函数y=ax+cln|y-c|=ln|a|+bln|x|（2）指数函数y=ab+c（b0）ln|y-c|=ln|a|+xlnb（3）抛物函数y=ax+bx+c(x?0)&&&&2xb&&&&&&&&y?c?ax?bx&&&&说明：非线性拟合需要指定待定系数的初值，如初值挑选不当，计算结果可能无法应用。为了使非线性拟合获得最佳效果，先化为线性拟合，将所得结果作为非线性拟合时的初值。例2电弧电流I与电压降V之间的经验公式的确定。磁铁电弧灯的弧长一定时，实验测得电弧电流I与电压降V之间的测定值列于下表：表3.3&&&&I&&&&V&&&&0.&&&&&&&&I与V测定值&&&&&&&&&&&&试确定V与I的经验公式的形式。经验告诉我们，随着I的增加，V应该逐渐减少，图3.3(a)与指数函数或幂函数的图形类似，利用曲线改直法，必须先估计c值，可以用数据表中的任意三组值粗估，我们取c=30，分别计算ln（V-c），lnI，将结果列于表3.4。并在坐标轴中画出它们的图形。从坐标图中可以看出，lnI与ln（V-30）呈线性关系，即ln（V-30）=alnI+b&&&&&&&&802468&&&&1012&&&&&&&&图3.3(a)经验函数类似指数函数或幂函数&&&&&&&&23&&&&&&&&&&&&表3.4&&&&ILnIVln(V-30)0.5-0.20.40.80.121.&&&&&&&&由表3.4可以得到如下的函数图3.3(b)。&&&&2.11.91.81.71.61.5-0.21.40.20.40.60.81&&&&&&&&图3.3(b)lnI与ln(V-30)图形思考：在多项式拟合中如果某个系数需要被指定（譬如4次多项式缺少2次项），应该如何处理？【例3】设y=[805,985,70,00,2610];t=[20,25,30,35,40,45,50,55,60];试拟合曲线y=a(1)t4+a(2)t3＋a(3)t+a(4)解：y=[805,985,70,00,2610];t=[20,25,30,35,40,45,50,55,60];A=[(t.^(4))(t.^(3))tones(9,1)];a=A\ya=0.936.3&&&&2800&&&&&&&&yy=A*a;plot(t,y,bo,t,yy,r*)&&&&&&&&2600&&&&&&&&2400&&&&&&&&2200&&&&&&&&2000&&&&&&&&1800&&&&&&&&1600&&&&&&&&1400&&&&&&&&1200&&&&&&&&1000&&&&&&&&80020&&&&&&&&25&&&&&&&&30&&&&&&&&35&&&&&&&&40&&&&&&&&45&&&&&&&&50&&&&&&&&55&&&&&&&&60&&&&&&&&图3.4&&&&&&&&24&&&&&&&&&&&&非线性拟合的MATLAB实现借助lsqcurvefit指令进行非线性最小二乘估计【例4】利用lsqcurvefit估计公式tn（见练习1）中的参数。&&&&?&&&&&&&&程序一：使用M文件xdata=[1248];ydata=[7.216.886.325.84];x0=[7,-1];[x,resnorm]=lsqcurvefit(@mylsqcurvefit,x0,xdata,ydata)运行结果如下：x=7.1resnorm=0.0165程序二：使用内联函数x=[1248];y=[7.216.886.325.84];fun=inline(a(1)*x.^a(2),a,x);a=lsqcurvefit(fun,[6-2],x,y)运行结果如下：a=7.1&&&&&&&&借助fminsearch指令进行非线性最小二乘估计假如被估参数不太多（比如不超过5、6个），且对最小值点有较好的猜测值，那么fminsearch是优先推荐使用的MATLAB命令。该指令易于理解和执行。&&&&&&&&?12e?3.2x。x在[0,4]中取值；y受到噪声?ax?ax0.3*(rand(n,1)-0.5)的污染。本例演示：如何以y?a1e3?a2e4为模型，通过fminsearch从受污染数据中，估计出参数a?[a(1),a(2),a(3),a(4)]?[a1,a2,a3,a4]。&&&&【例5】取发生信号的原始模型为y(x)?3e&&&&?0.4x&&&&&&&&（1）[xydata.m]function[x,y,STDY]=xydata(k_noise)%xydata.mx=[0:0.2:4];yo=3*exp(-0.4*x)+12*exp(-3.2*x);rand(seed,234)y_noise=k_noise*(rand(size(x))-0.5);y=yo+y_STDY=std(y_noise);[twoexps.m]functionE=twoexps(a,x,y)%twoexps.mx=x(:);y=y(:);Y=a(1)*exp(-a(3)*x)+a(2)*exp(-a(4)*x);E=sum((y-Y).^2);%二乘残差（2）编写M脚本文件作为主文件[exm5.m]&&&&&&&&25&&&&&&&&&&&&%exm5.mk_noise=0.3;[x,y,STDY]=xydata(k_noise);%调用函数xydata获得用于非线性估计的x,y,STDYa0=[1111];%确定被估参数的初值options=optimset(fminsearch);%设置fminsearch，这步是必须的options.TolX=0.01;%控制被估参数的迭代精度options.Display=%避免显示收敛信息a=fminsearch(@twoexps,a0,options,x,y);%获得二乘残差最小时的被估参数chi_est=twoexps(a,x,y)/STDY^2;%计算估计参数下的Chi2量freedom=length(x)-length(a0);%自由度Q=1-chi2cdf(chi_est,freedom);%适当度%以下用于绘图y_est=a(1)*exp(-a(3)*x)+a(2)*exp(-a(4)*x);ych=y_e_s_t=;%此格式使图形中的est成为y的下标a1=num2str(a(1));a2=num2str(a(2));a3=num2str(a(3));a4=num2str(a(4));char_y_est=[ych,a1,*exp(-,a3,*x)+,a2,*exp(-,a4,*x)];plot(x,y,b+);holdon,plot(x,y_est,r);holdoff,axis([0,4,0,16])text(0.4,14,y=3*exp(-0.4*x)+12*exp(-3.2*x))text(0.4,12,char_y_est),text(2.5,9,[chi2=,num2str(chi_est)])text(2.5,7,[freedom=,num2str(freedom)])text(2.5,5,[Q=,num2str(Q)])（3）exm5&&&&chi2=17.70668freedom=176Q=0.*exp(-0.4*x)+12*exp(-3.2*x)yest=2.8967*exp(-0.38045*x)+11.983*exp(-3.0985*x)&&&&&&&&0&&&&&&&&0.5&&&&&&&&1&&&&&&&&1.5&&&&&&&&2&&&&&&&&2.5&&&&&&&&3&&&&&&&&3.5&&&&&&&&4&&&&&&&&图3.5&&&&&&&&思考：是否可以将此例应用于所获拟合公式的稳定性分析？下面的例子仅供参考：（混合使用伪线性法估计与fminsearch估计&&&&&&&&26&&&&&&&&&&&&【例6】y?b1e以&&&&&&&&?a1x&&&&&&&&使用fminsearch估计aa1&&&&&&&&从受污染的数据中，使用伪线性法估计bb1b2?，?b2e?a2x为模型，&&&&&&&&a2?。x,y原始数据同上例。&&&&&&&&（1）[twoexps2.m]functionE=twoexps2(a,x,y,b)%twoexps2.mx=x(:);y=y(:);Y=b(1)*exp(-a(1)*x)+b(2)*exp(-a(2)*x);E=sum((y-Y).^2);（2）[exm.m]%exm.mk_noise=0.3;[x,y,STDY]=xydata(k_noise);a0=[12];options=optimset(fminsearch);options.TolX=0.001;options.Display=%while1Mb=exp(-x*a0);b=Mb\y;a=fminsearch(@twoexps2,a0,options,x,y,b);r=norm(a-a0)/norm(a);ifr0.001;enda0=a;endchi_est=twoexps2(a,x,y,b)/STDY^2;freedom=length(x)-length([a;b]);Q=1-chi2cdf(chi_est,freedom);%y_est=b(1)*exp(-a(1)*x)+b(2)*exp(-a(2)*x);ych=y_e_s_t=;b1=num2str(b(1));b2=num2str(b(2));a1=num2str(a(1));a2=num2str(a(2));char_y_est=[ych,b1,*exp(-,a1,*x)+,b2,*exp(-,a2,*x)];plot(x,y,b+);plot(x,y_est,r);axis([0,4,0,16])text(0.4,14,y=3*exp(-0.4*x)+12*exp(-3.2*x));text(0.4,12,char_y_est)text(2.5,9,[chi2=,num2str(chi_est)])text(2.5,7,[freedom=,num2str(freedom)])text(2.5,5,[Q=,num2str(Q)])（3）&&&&&&&&27&&&&&&&&&&&&exm&&&&chi2=18.00878freedom=176Q=0.*exp(-0.4*x)+12*exp(-3.2*x)yest=3.0187*exp(-0.39739*x)+11.8737*exp(-3.1466*x)&&&&&&&&0&&&&&&&&0.5&&&&&&&&1&&&&&&&&1.5&&&&&&&&2&&&&&&&&2.5&&&&&&&&3&&&&&&&&3.5&&&&&&&&4&&&&&&&&图3.6非线性最小二乘估计指令lsqnonlin前面介绍的求极值指令是针对一般目标函数设计的，当然可以用于最小二乘估计。但是，更有效和完善的非线性最小二乘估计法当推Marquadst算法。它是专门为参数估计的最小二乘准则而设计的。该理论认为关于被估参数的最小二乘（或Chi2）函数，在接近最小值点时，呈抛物线形态，可用Taylor级数的前三项足够好的近似，宜取较小步长；在远离最小值点时，变化陡峭，适于最速下降法处理，步长宜取大。完整指令为[a,resnorm,residual,exitflag,output]=lsqnonlin(fun,a0,lb,ub,options,x,y)最简指令为a=lsqnonlin(fun,a0)其中fun是误差向量（y-Y）,不是二乘误差sum((y-Y).^2)。【例7】采用与例5相同的原始模型和受噪声污染的数据。运用lsqnonlin从受污染数据中，估计出y?a1e&&&&?a3x&&&&&&&&?a2e?a4x的参数a?[a(1),a(2),a(3),a(4)]?[a1,a2,a3,a4]。&&&&&&&&（1）[twoexps7.m]functionE=twoexps7(a,x,y)x=x(:);y=y(:);Y=a(1)*exp(-a(3)*x)+a(2)*exp(-a(4)*x);E=y-Y;%lsqnonlin命令与fminsearch命令的要求是不同的，给的是误差，不是二乘误差（2）cleark_noise=0.3;[x,y,STDY]=xydata5(k_noise);a0=[1100.21];&&&&&&&&28&&&&&&&&&&&&options=optimset(lsqnonlin);options.TolX=0.01;options.Display=a=lsqnonlin(@twoexps7,a0,[],[],options,x,y);y_est=a(1)*exp(-a(3)*x)+a(2)*exp(-a(4)*x);a1=num2str(a(1));a2=num2str(a(2));a3=num2str(a(3));a4=num2str(a(4));char_y_est=[yest=,a1,*exp(-,a3,*x)+,a2,*exp(-,a4,*x)];disp([原方程,y=3*exp(-0.4*x)+12*exp(-3.2*x)])disp([估计方程,char_y_est])原方程y=3*exp(-0.4*x)+12*exp(-3.2*x)估计方程yest=2.8381*exp(-0.37236*x)+12.0338*exp(-3.0717*x)&&&&&&&&3.2插值法建模&&&&3.2.1一维插值已知n+1个节点(xi,yi),i=0,1,2,…,n,其中,xi互不相同,我们希望利用已知点的数据求一个过这些已知点的函数曲线,据此推断出任一点x*处的值。通常我们总是希望构造一个简单的函数y=L(x),插值法就是一类最常用的方法之一。无论是从理论和计算的角度,还是从应用的角度看,多项式都是最简单的函数,因此,多项式插值是最基本的插值方法,不妨设&&&&&&&&a?x0?x1?x2?&&&&&&&&?xn?b，Ln(x)是n次多项式,记作&&&&(3.3)(3.4)&&&&&&&&Ln(x)?anxn?an?1xn?1?a1x?a0&&&&&&&&对于节点(xi,yi)应有Ln(xi)?yi,i?0,1,2,?,n记&&&&nn?x0x0?11n?n?11x1x1X?,nn1xnxn?1&&&&&&&&?ana?An?1?,a0?&&&&&&&&?y1y?Y2?yn?&&&&(3.5)&&&&&&&&将(3.4)式代入(3.3)得XA?Y易见X是范得蒙行列式,detX?&&&&0?j?i?n&&&&&&&&?&&&&&&&&(xi?xj)?0,于是(3.5)式有唯一解,也即根据&&&&&&&&n+1个节点可以确定唯一的n次插值多项式。下面介绍三类最常用的多项式插值。拉格朗日插值多项式在求插值多项式时,通常的做法不是解方程组(3.5),而是先构造一组基函数:&&&&&&&&li?&&&&&&&&(x?x0)(x?xi?1)(x?xi?1)(x?xn)(xi?x0)(xi?xi?1)(xi?xi?1)(xi?xn)&&&&&&&&i?0,1,2,n&&&&&&&&(3.6)&&&&&&&&li(x)是n次多项式,且满足&&&&&&&&29&&&&&&&&&&&&?1,li(xj)?0,&&&&令&&&&&&&&i?j,i?j&&&&&&&&i,j=0,1,…,n&&&&&&&&(3.7)&&&&&&&&Ln(x)yjlj(x)&&&&j?0&&&&&&&&n&&&&&&&&(3.8)&&&&&&&&显然Ln(x)是n次多项式。因为方程(3.5)的解是唯一的,所以(3.8)式表示的Ln(x)与(3.3)式相同。由(3.6)式与(3.8)式给出的Ln(x)称拉格朗日多项式。虽然我们可能不知道实际函数g(x)的具体形式,但是从实际应用角度出发,对于大多数问题,我们都可以假设g(x)是充分光滑的,具有n+1导数。对于任意x?[a,b]利用泰勒公式得到&&&&Rn(x)?g(x)?Ln(x)?g(n?1)(?)n?(x?xj),(n?1)!j?0&&&&&&&&[a,b]&&&&&&&&如果&&&&&&&&g(n?1)(?)?Mn?1&&&&&&&&则&&&&&&&&gn(x)?&&&&&&&&Mn?1n(?x?xj)(n?1)!?0j&&&&&&&&(3.9)&&&&&&&&虽然Mn?1通常难以确定,(3.9)式不能给出精确的误差估计,但是该式至少可以告诉我们,随着n增加,或者函数g(x)越光滑,或者x越接近xi,|Rn(x)|越小。利用拉格朗日插值法需要注意的是，随着节点数的增加,拉格朗日多项式的次数也增加,高次多项式有时会出现很大的振荡行为。理论上,不能保证Ln(x)处处收敛到g(x)。请看下面的一个例子(n)&&&&&&&&g(x)?&&&&&&&&1,x?[?1,1]1?25x2&&&&&&&&图16-1给出了g(x)与Ln(x)的图形比较。从图16-1中可以看出，高次插值多项式并没有获得理想的近似结果。高次多项式的这些缺陷促使人们寻求简单的低次多项式插值。分段线性插值简单地说,分段线性插值就是将每两个相邻的节点用直线连接起来,如此形成的一条折线就是分段线性插值函数,记作Ln(x),它满足Ln(xj)=yj,且Ln(x)在每个小区间[xj,xj+1]上是线性函数。&&&&&&&&30&&&&&&&&&&&&如果已知y=g(x)在节点a?x0?x1?xn?b的值y0,y1,y2,?,yn，则&&&&Ln(x)可以表示为&&&&&&&&?l0(x)?l(x)?Ln(x)1?ln?1(x)?&&&&&&&&x?[x0,x1]x?[x1,x2]x?[xn?1,xn]&&&&&&&&(3.10)&&&&&&&&其中&&&&lj(x)?yjx?xj?1xj?xj?1?yj?1x?xjxj?1?xj,j?0,1,?,n?1&&&&(3.11)&&&&&&&&易见Ln(x)满足插值条件。记&&&&h?max|xj?1?xj|&&&&0?j?n?1&&&&&&&&利用微分中值定理可以得到:&&&&&&&&max|g(x)?Ln(x)|?maxmax|g(x)?lj(x)|?max&&&&a?x?b0?j?n?1xj?x?xj?1&&&&&&&&h2max|g(x)|0?j?n?18xj?x?xj?1&&&&(3.12)&&&&&&&&=&&&&&&&&h2max|g(x)|8a?x?b&&&&&&&&(3.12)式给出了分段线性插值的误差估计。分段二次插值分段二次插值的基本思想是利用三个相邻节点的数据分别作二次插值,形成二次曲线段,然后将这些曲线段连接起来,形成的曲线,就是分段二次插值曲线。如果给定g(x)在节点a?x0?x1?&&&&&&&&?xn?b的值y0,y1,y2,&&&&&&&&,yn,对应n的奇偶情况,&&&&&&&&分别讨论如下:（1）设n为偶数对于数据(x2k,y2k),(x2k?1,y2k?1),(x2k?2,y2k?2),作二次插值函数&&&&s2k(x)?&&&&=&&&&&&&&(x?x2k?1)(x?x2k?2)(x?x2k)(x?x2k?2)y2k?y2k?1(x2k?x2k?1)(x2k?x2k?2)(x2k?1?x2k)(x2k?1?x2k?2)&&&&(3.13)&&&&&&&&(x?x2k)(x?x2k?1)y2k?2(x2k?2?x2k)(x2k?2?x2k?1)&&&&&&&&令&&&&?s0(x)?s(x)?2?Sn(x)s(x)?n?4?sn?2(x)?,,,,x?[x0,x2]x?[x2,x4]x?[xn?4,xn?2]x?[xn?2,xn]&&&&&&&&31&&&&&&&&&&&&（2）n为奇数时,在小区间[xn-2,xn]上作二次插值函数sn-2(x),其它的区间上作法与n为偶当数相同。令&&&&?s0(x)?s(x)?2?Sn(x)s(x)?n?4?sn?2(x)?,,,,x?[x0,x2]x?[x2,x4]x?[xn?3,xn?1]x?[xn?1,xn]&&&&&&&&称Sn(x)为g(x)在这n个节点的分段二次插值函数。可以证明,&&&&a?x?b&&&&&&&&max|g(x)?Sn(x)|?&&&&&&&&h3|g(x)|6&&&&&&&&(3.14)&&&&&&&&其中,h?max|xj?1?xj|。&&&&0?j?n?1&&&&&&&&分段二次插值函数有很好的收敛性,计算也比较简单,还可以根据函数g(x)的具体情况在不同的小区间上采用不同的插值公式。分段插值函数虽然在节点处连续,但是不一定可导,因此光滑性较差。下面介绍的三次样条插值将克服这一缺点。样条插值函数当节点数n较大时,拉格朗日插值多项式的次数较高,可能会出现不一致收敛情况,而且计算复杂。分段插值虽然收敛，但是光滑性较差，可能与某些实际需要不符，比如说表面光滑的工件加工问题等，因此我们还需要寻找其它的插值方法。样条插值就能较好地解决这类问题。它的基本思想就是对节点分段插值，但是需要将这些分段函数曲线光滑地连接起来，形成一条光滑曲线。这里我们只介绍最常用的三次样条插值。定义1设在区间[a，b]上给定n+1个插值节点a?x0?x1?xn?b及其函数g（x）相应的值y0,y1,?,yn。如果分段表示的函数S(x)满足：(1)S(xj)?yjj=0,1,…,n;&&&&(2)S(x)在每个小区间[xj,xj+1]上都是次数不高于3的多项式;(3)S(x)在[a,b]上有连续的二阶导数。&&&&&&&&则称S(x)为[a，b]区间上的三次样条插值函数。从定义中可以看出,要求出S(x)必须求出它在每个小区间[xj,xj?1]上的S(x)的表达式&&&&Sj(x)?Aj?Bjx?Cjx2?Djx3,j?0,1,?,n?1&&&&&&&&其中系数待定,且要满足下列条件:（i）插值条件&&&&S(xj)?yj&&&&（ii）连接条件j=0,1,…,n&&&&&&&&?S(xj?0)?S(xj?0)S(xj?0)?S(xj?0)?S(x?0)?S(x?0)jj?&&&&&&&&j?1,2,?,n?1&&&&&&&&32&&&&&&&&&&&&插值条件与连接条件共给出了4n-2个等式,而要求出S(x)需要确定4n个参数,因此还需要附加两个条件,通常称为边界条件,常用的有如下两种:（iii）边界条件&&&&&&&&S(x0)?g(x0),&&&&或者&&&&&&&&S(xn)?g(xn)&&&&&&&&(3.15)&&&&&&&&S(x0)?g(x0),&&&&&&&&S(xn)?g(xn)&&&&&&&&(3.16)&&&&&&&&利用插值条件、连接条件、边界条件可以唯一确定S(x)，但直接计算S(x)一般计算量很大。以上三种插值（拉格朗日插值、分段线性或分段二次插值、三次样条插值）有如下特点：拉格朗日插值曲线光滑，有误差表达式，但收敛性不能保证，主要用于理论分析，分段线性或分段二次曲线一般不光滑，三次样条曲线收敛性有保证，有一定的光滑性，应用广泛。3.2.2二维插值二维插值问题的提法是：构造一个二元函数z=f(x,y)，通过全部已知节点，f(xi,yj)?zij即&&&&（i＝0，1，2，…m;j=0，1，2，…n）再利用f(x,y)插值，即z*=f(x*,y*)。二维插值常用的有网格&&&&&&&&节点插值与散乱数据插值。网格节点插值适用于数据点比较规范，即数据点落在由一些平行的直线组成的矩形网格的每个顶点上。散落数据插值适用于一般的数据点，多用于数据点不太规范的情况。1.网格节点插值法（1）最邻近点插值（一般不连续）（2）分片线性插值（具有连续性的最简单插值）将矩形区域分为上三角形区域与下三角形区域分别定义f(x,y)。（见《数学建模与数学实验》一书P246）2.Shepard插值法Shepard插值是气象学家Shepard最早提出的应用于气象研究的方法，该方法的描述如下：对定点(x,y)，令ri为(x,y)与(xi,yi)的距离（i=1,2,…,N），设?为一个正实数，对散乱数据点(xi,yi,fi)，（i=1,2,…,N），则拟合曲面z?f(x,y)表示成下列插值公式：&&&&&&&&?Nfir?iN1i?1z?f(x,y)?ri?1ifi?&&&&?&&&&&&&&ri?0&&&&(3.21)&&&&&&&&ri?0&&&&&&&&这是一个关于(xi,yi),i=1,2,…,N的全局插值公式，当(x,y)是非插值点时，f(x,y)取所有函数值fi的权平均；权因子(1ri)与(x,y)有关，(3.21)式称为Shepard公式。Shepard方法可以处理观测数据的数目很大，对于有峰值的曲面，有良好的逼近效果。若取2，也即通常所说的反距离平方插值。用Matlab解插值问题MATLAB在一维插值函数interp1中，提供了四种插值方法供选择：nearest（最邻近点插值），linear（线性插值），spline(三次样条插值)，cubic(三次插值)，linear是缺省值。&&&&&&&&33&&&&&&&&&&&&【例1】在12h内，每隔1h测量一次温度，温度依次为：试估计在3.26.57.111.7h时的温度值。解：h=1:12;t=[];tt=interp1(h,t,[3.26.57.111.7]);TT=interp1(h,t,[3.26.57.111.7],spline);tt,TTtt=10.030.0TT=9.731.0【例2】在例1的条件下，每隔1/10h估计一次温度值。解：由于数据太多，考虑用图形表示，输入命令：h=1:12;t=[];x=1:0.1:12;TT=interp1(h,t,x,spline);plot(h,t,+,x,TT,r:)xlabel(h),ylabel(t)&&&&&&&&35&&&&&&&&30&&&&&&&&25&&&&&&&&20&&&&&&&&t&&&&&&&&15&&&&&&&&10&&&&&&&&5&&&&&&&&0&&&&&&&&2&&&&&&&&4&&&&&&&&6h&&&&&&&&8&&&&&&&&10&&&&&&&&12&&&&&&&&MATLAB在处理二维插值问题时分两种情况使用不同的命令1.插值基点为网格节点MATLAB中提供了二维插值函数interp2，其格式为zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)，注：x（m维向量）,y（n维向量）必须单调增加，x是网格点横坐标，y网格点是纵坐标；z是m?n矩阵，xi是行（列）向量，yi是列（行）向量，xi与yi必须方向不同。Method可选nearest（最邻近点插值），linear（线性插值），spline(三次样条插值)，cubic(三次插值)，linear是缺省值。【例3】x=1:5;y=1:3;t=[;;];mesh(x,y,t)&&&&&&&&34&&&&&&&&&&&&1..55&&&&&&&&x=1:5;y=1:3;t=[;;];xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,t,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)&&&&&&&&2.插值基点为散乱节点&&&&iii该插值问题的提法是：构造一个二元函数z=f(x,y)，通过全部已知节点，即（i=1，2，…n）再利用f(x,y)插值，即z*=f(x*,y*)。对上述问题，MATLAB提供了插值函数griddata，其格式为：zi=griddata(x,y,z,xi,yi,method)其中x,y,z均是n维向量，分别是节点的横、纵、竖坐标；xi,yi一个是行向量，另一个是列向量。&&&&&&&&f(x,y)?z&&&&&&&&【例4】某海域（x，y）处的水深由下表给出，在矩形区域（75，200）×（－50，150）内画出海底曲面的图形。x157..5y7.2.-6.5-.584-33.5z49解：x=[157.];y=[7.2.-6.5-.584-33.5];&&&&&&&&35&&&&&&&&&&&&z=[49];xi=75:0.5:200;yi=-50:0.5:150;zi=griddata(x,y,z,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)&&&&&&&&3.3插值法建模实例估计水塔的水流量美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量。许多社区没有测量流入或流出当地水塔的水量的装置，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位，其精度不超过0.5%。更重要的是，当水塔中的水位下降到最低水位L时，水泵就启动向水塔输水直到最高水位H才停止，但也不能测量水泵的供水量。因此，当水泵正在输水时不容易建立水塔水位和水泵工作时间的关系。水泵每天输水一次或两次，每次大约两小时。试估计任何时刻（包括水泵正在输水时间）从水塔流出的流量f(t)，并估计一天的总用水量。表6.5给出了某个小镇一天中真实的数据。经了解,该水塔是一个高为40英尺,直径为57英尺的正圆柱。通常当水塔水位降至约为27英尺时水泵开始启动，当水位上升至35.5英尺时水泵停止工作。(注:1英尺=0.305米,1加仑=4.546升=4.546×10-3立方米)表3.5某小镇某天水塔水位统计水位(0.01加仑)时间(秒)水位(0.01加仑)779254水泵开动水泵开动82649水泵开动水泵开动&&&&&&&&时间(秒)模型假设&&&&&&&&36&&&&&&&&&&&&(1)假设水塔中流出的水流量只受社区的日常生活需要的影响,表中所给的数据是该小镇一天用水的典型反映,不包含任何非正常的需求。(2)根据流体力学中的Torricell定律,从水塔中流出水的最大流速正比于水位高度的平方根。对于本问题，根据所给的数据知道，水塔的最高水位与最低水位之比为35.5?1.15。27这一点表明，我们可以假设水塔中水位对流速没有影响。同样我们忽略环境、气候等因素对流速的影响。(3)假设水泵供水速度是常数。因为没有证据证明水泵供水速度是随时间变化的，也没有证据表明水泵的供水速度与水塔中的水位有关。假设在水塔水位降到27英尺时水泵立即供水，上升到35.5英尺时立即停止供水。不考虑水泵因其它原因而中断或需要维修等情况。(4)假设从水塔流出的水流速度比水泵供水速度小，以保证不存在断水情况。(5)假设水的消耗每天相同,每天从水塔中流出的水流速度随时间的变化可以用光滑曲线近似。从统计意义上来看，由于每个用户的用水量远远小于社会群体用水量，以致于个别用户的突然用水基本上不能改变水塔的流水速度。建立数学模型(1)水塔的形状、尺寸都已经清楚地给出，当水泵不供水时，根据水位随时间的变化可以确定从水塔中流出水流的速度v(t)。&&&&&&&&572)h(t)2利用差商确定h(t)，h(t)表示函数h(t)关于时间t的导数。v(t)(&&&&&&&&(3.22)&&&&&&&&通过公式(3.22)计算，可得：表3.6观测时间中点与该时间区间平均水流速度时间中点区间平均流速时间中点区间平均流速时间中点区间平均流速(小时)(×103加仑/小时)(小时)(×103加仑/小时)(小时)(×103加仑/小时)0无数据9.47无数据18.1.210.45无数据19..710.94无数据20..611.无数据3.418.112.无数据4.439.313.无数据5.447.214.1.26.457.915..57.477.416..417.)用三次样条曲线拟合流速曲线利用流速的光滑性假设,采用光滑的三次样条插值近似表示流速曲线,请读者自行计算并给出流速曲线的图形。(3)计算总用水量通过三次样条插值,可以获得水塔的流速V与时间的关系式V(t),据此,我们可以通过数值积分求出这个小镇一天的总的用水量&&&&&&&&Q&&&&&&&&24.46&&&&&&&&0.46&&&&&&&&V(t)dt?264000(加仑)&&&&&&&&具体算法此处不再详细说明,留待读者自己考虑。&&&&&&&&37&&&&&&&&&&&&习题三：1.赛艇2000米比赛成绩如下：赛手数n（人）成绩t（分）单人7.21双人6.88四人6.32八人5.84由2.4知tn，为了确定该公式中的参数?,?,通过取对数，转化为线性拟合问&&&&?&&&&&&&&题：y?a1x?a2(y?lnt,x?n,a1,a2?ln?),求a1,a2，?,?？2.磁铁电弧灯的弧长一定时，实验测得电弧电流I与电压降V之间的测定值列于下表：表&&&&I&&&&V&&&&0.&&&&&&&&I与V测定值&&&&6&&&&&&&&试求出V与I的公式（参考P23页，如取C＝30）。4.用非线性拟合命令求解P23页例2，并将习题2所得参数值作为初值。5.已经测得某地大气压强随高度变化的一组数据高度(m)0300600压强（kgf/m2）0..9&&&&?x?5007756&&&&&&&&的计算结果作比较。&&&&&&&&试求出每隔100米的压强值，并与理论计算公式P?1.0332e&&&&&&&&6.（1）已知某平原地区的一条公路经过如下坐标所表示的点，请用不同的插值方法绘出这条公路（不考虑公路的宽度）。X(m)80Y(m)X(m)320332Y(m)188186X(m)378400Y(m)296308X(m)200Y(m)400（2）对于上表给出的数据，编程计算三次样条插值估计的公路长度。7.试完成3.3水塔的水流量的计算。&&&&&&&&38&&&&&&&&&&&&第四章&&&&&&&&简单的优化模型&&&&&&&&优化问题可以说是人们在工程技术，经济管理和科学研究中经常遇到的问题。设计师在满足强度要求等的条件下选择材料的尺寸，使得结构总重量最轻；公司经理要根据生产成本和市场需求来确定产品价格，使得所获利润最高；投资者要选择购买一些股票，债券，使得收益最大，而风险最小。有人习惯于依赖过去的经验来解决面临的问题，但是这种方法会融入过多的主观因素；有人习惯于做大量的实验反复比较，但是显然要花费很多的资金和人力，而且结果不一定理想。我们建议用数学建模的方法来处理优化问题，即建立和求解优化模型。虽然在建模时要做出适当的简化，可能使得结果不一定达到全局最优或者完全可行，但是它基于客观规律和具体数据，又不需要很大的费用。如果在此基础上再辅之适当的经验和试验，就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答。&&&&&&&&第一节&&&&&&&&存储模型&&&&&&&&先考察如下的问题：配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因为积压资金、占用仓库要付储存费。如今已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费是5000元，储存费为每日每件1元。如果生产能力远远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次生产多少，可使总费用最少？问题分析：试让我们计算一下：如果每天生产一次，每次100件，无储存费，生产准备费5000元，每天费用是5000元；如果10生产一次，每次1000件，储存费900?800?0元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天950元；如果50生产一次，每次5000件，储存费元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天2550元。虽然从上面的结果看来，第二种方法总费用少，但是要得到准确地结论，应该建立生产周期、产量与需求量、生产准备费、储存费之间的关系，即建立相应的数学模型。从上面的计算可以看出，生产周期短，产量少，会使得储存费少，准备费大;生产周期长，产量多，会使得储存费大，准备费小。所以必然存在一个最佳的生产周期，使得每天费用最少。模型假设为了讨论问题的方便，考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q为连续量，&&&&&&&&根据问题的性质作如下的假设：1．产品每天的需求量为常数r；2．每次的生产准备费为c1，每天每件产品的储存费为c2；3．生产能力为无限大（相对于需求量），当储存量降到零时，Q件产品立即生产出来&&&&&&&&39&&&&&&&&&&&&供给需求，即不允许缺货。模型建立：将储存量表示为时间t的函数q(t)，t?0生产Q件，储存量q(0)?Q，q(t)以需求速率r递减，直到q(T)?0。如图所示。&&&&&&&&q&&&&&&&&Q&&&&&&&&O&&&&&&&&T&&&&&&&&t&&&&&&&&图1不允许缺货的储存模型&&&&&&&&显然有：&&&&&&&&Q?rT。&&&&&&&&（4－1）&&&&&&&&一个周期内的储存费为c2&&&&&&&&?&&&&&&&&T&&&&&&&&0&&&&&&&&1q(t)dt，其中积分恰好等于三角形A的面积QT，2&&&&&&&&因为一个周期的生产准备费是c1，得到一个周期的总费用为：&&&&&&&&11C?c1?c2QT?c1?c2rT2，22&&&&于是每天的平均费用为：&&&&&&&&（4－2）&&&&&&&&c11C?(c1?c2QT)/T?1?c2rT，2T2&&&&（3－3）就是这个优化模型的目标函数。模型求解求T的值使得中的C最小。方法一，用均值不等式来处理。&&&&&&&&（4－3）&&&&&&&&C?&&&&&&&&c11c1?c2rT?21?c2rT?2c1c2rT，T2T2&&&&&&&&40&&&&&&&&&&&&等号成立的充要条件是：&&&&&&&&c11?c2rT，T2&&&&&&&&即&&&&&&&&T?&&&&&&&&2c1，c2r&&&&&&&&（4－4）&&&&&&&&Q?&&&&&&&&2c1r，c2&&&&&&&&（4－5）&&&&&&&&C?2c1c2r&&&&以上（4－4）（4－5）是经济学中著名的经济订货批量公式（EOQ公式），。&&&&&&&&（4－6）&&&&&&&&方法二：用微分法处理一元函数极值问题。令C?0，得到&&&&&&&&&&&&?&&&&由于T?0，所以&&&&&&&&c11?c2r?0，T22&&&&&&&&T?&&&&&&&&2c1。c2r&&&&&&&&第二节&&&&&&&&森林救火&&&&&&&&森林失火了！消防队接到报警后派多少消防队员去救火呢？派出的队员越多，森林的损失越小，但是救援的开支会越多，所以需要综合考虑森林的损失费和救援费与队员人数之间的关系，以总费用最少来决定派出队员的数目。问题分析：损失费通常正比与森林烧毁的面积，而烧毁面积与失火，灭火时间有关，灭火时间又取决与消防队员数目，队员越多灭火时间越短。而救援费既与消防队员人数有关，又与灭火时间长短有关。记失火时刻为t?0，开始救火时刻为t?t1，灭火时刻为t?t2。设在时刻森林烧毁面积为B(t)，则造成损失的森林烧毁面积为B(t2)，建模要对函数B(t)的形式作出合理的简单假设。&&&&&&&&dBdB比B(t)更为直接和方便。是单位时间烧毁面积，表示火势蔓延的程度。在dtdtdB消防队员到达之前，即0?t?t1时，火势越来越大，即随t的增加而增加；开始救火后，dtdB即t1?t?t2，如果消防队员救火能力足够强，火势会越来越小，即应该减小，并且当t?t2dt&&&&研究&&&&&&&&41&&&&&&&&&&&&时，有&&&&&&&&dB?0。dt&&&&&&&&救援费可以分为两个部分：一部分是灭火材料的损耗和消防队员的薪金等，与队员数量以及灭火时间有关；另外一部分是运送队员等一次性支出，只与消防队员人数有关。模型假设：需要对烧毁森林的损失费、救援费及火势蔓延程度的形式&&&&&&&&dB作出假设。dt&&&&&&&&1．损失费与森林烧毁面积B(t2)成正比，比例系数c1为单位烧毁面积的损失费。2．从失火到开始救火这段时间（0?t?t1）内，火势蔓延程度系数?为火势蔓延速度。&&&&&&&&dB与时间t成正比，比例dt&&&&&&&&3．派出消防队员x名，开始救火后（t1?t），火势蔓延速度降为?x，其中?可以视为每个队员的平均灭火速度，显然有?x。注意：火势以失火点为中心，以均匀速度向四周呈现圆形蔓延，所以蔓延半径r与时间t成正比。又因为烧毁面积B与r2成正比，故与成正比，所以与成正比。这种假设在风力不大的情况下是合理的。模型构成：根据假设条件2，3，火势蔓延程度少。图形大致如下&&&&&&&&dB在0?t?t1线性地增加，在t1?t?t2线性地减dt&&&&&&&&dBdt&&&&&&&&b&&&&&&&&O&&&&&&&&t1&&&&&&&&t2&&&&&&&&t&&&&&&&&图2记t?t1时&&&&&&&&森林救火中&&&&&&&&dBdt&&&&&&&&t的关系&&&&&&&&t2dBdB?b，烧毁面积B(t2)dt恰好是图形中三角形的面积，显然有0dtdt&&&&&&&&42&&&&&&&&&&&&1B(t2)?bt2，而t2满足2&&&&t2?t1?&&&&于是，&&&&&&&&?t1b，x?x&&&&&&&&（4－7）&&&&&&&&B(t2)?&&&&&&&&?t12&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&?2t12，2(?x)&&&&&&&&（4－8）&&&&&&&&根据假设条件1，4，森林损失费为c1B(t2)，救援费为c2x(t2?t1)?c3x。将（4－7），（4－8）代入，得到：&&&&&&&&C(x)?&&&&&&&&c1?t12c?2t2c?tx?11?21?c3x，22(?x)?x&&&&&&&&（4－9）&&&&&&&&所以得到这个优化模型的目标函数C(x)。模型求解为了求x使得C(x)达到最小，令&&&&&&&&dC?0，可以得到应该派出的队员人数为dx&&&&&&&&c1?t12?2c2t1?x?。?2c3?2&&&&结果解释首先，应派出队员人数有两个部分组成，其中一部分&&&&&&&&派出的最小队员数。因为?是火势蔓延速度，而?是每个队员的平均灭火速度。&&&&&&&&?是为了把火扑灭所必须?&&&&&&&&其次，派出队员的另外一部分，与问题的各个参数有关。当队员的灭火速度?和救援费用系数c3增大时，队员数应该减少；当火势蔓延速度?，开始救援时刻t1及损失费用系数c1增加时，队员数应该增加。&&&&&&&&评注：建立这个模型的关键是对&&&&&&&&dB的假设。比较合理而又简化的假设条件2，3只能符dt&&&&&&&&合风力不大的情况。如果风力很大，则应该考虑另外的假设。习题四1.在上面的不缺货储存模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量，证明和不缺货储存模型中的结果相同。2.如果允许缺货，情况如何？请大家考虑。3.有三个正数a,b,c，它们的和为M（M为常数），函数T?abc，问a,b,c为何值时，&&&&mnp&&&&&&&&函数T?abc达到最大？最大值为多少？&&&&mnp&&&&&&&&43&&&&&&&&&&&&4.在森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。5.人体行走时所作的功是提高人体重心所需要的势能与两腿运动所需要的动能之和。试建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适（匀速行走）。（1）设腿长l，步长s，证明人体重心在行走时升高s/8l(s?l)。&&&&2&&&&&&&&（2）将腿看成是均匀直竿，行走看成腿绕腰部的转动。设腿的质量为m，行走速度为v，证明单位时间所需要的动能为mv/6s。（3）设人体质量为M，证明在速度v一定时每秒行走n?&&&&2&&&&&&&&3Mg步作功最小。实际上，4ml&&&&&&&&M?4，l?1m，分析这个结果合理吗？m&&&&（4）将（2）的假设修改为：腿的质量集中在腿部，行走看作是腿的直线运动。证明结果应该为n?&&&&&&&&Mg，分析这个结果的合理性。4ml&&&&&&&&44&&&&&&&&&&&&第五章&&&&第一节&&&&1．矩阵的概念&&&&&&&&线性规划（LP）&&&&&&&&向量和矩阵的基本知识&&&&c1tc2t?叫做一个s行t列?cst&&&&&&&&?c11c12c21c22定义1：由s?t个数cij排成的一个s行t列（数）表?c?s1cs2&&&&&&&&（或s?t）矩阵。cij叫做这个矩阵的元素；常用大写字母A、等表示矩阵，B有时为明确s?t矩阵记为As?t或A?cij&&&&&&&&&&&&&&&&s?t&&&&&&&&。&&&&&&&&注意：（1）解释几个术语：行、列、下标等。（2）矩阵与行列式形式不同、意义不同，行列式表示一个数，矩阵只是一个数表；行列式要求行列数相同，而矩阵不然。例如：（1）三阶矩阵（2）4?5的矩阵&&&&&&&&?210?A121312?&&&&&&&&?1?0B=00&&&&&&&&1100&&&&&&&&0110&&&&&&&&0011&&&&&&&&0?001?&&&&&&&&向量是一种特殊的矩阵，分为行向量和列向量。（1）行向量是1?n的矩阵，它的具体形式为&&&&&&&&a?[a1,a2,&&&&&&&&,an]；&&&&&&&&（2）列向量是n?1的矩阵，它的具体形式为：&&&&&&&&?b1b?b2?，或者b?[b1,b2,?bn?&&&&例如：&&&&&&&&,bn]T。&&&&&&&&a?[1,2,&&&&&&&&?10?,n]；b0?&&&&&&&&45&&&&&&&&&&&&2．几种特殊矩阵（1）零矩阵：元素全为零的矩阵；记为O。Note：零矩阵只是给出了元素的特征（全为0），由于行、列数的不同有不同形式的零矩阵。例如&&&&&&&&二阶零矩阵：&&&&&&&&?000000?，3?4零矩阵：B?0000。A000000?&&&&&&&&（2）负矩阵：设A?(aij)m?n，则称(?aij)m?n为A的负矩阵；记为?A。Note：负矩阵是相对于一个给定的矩阵而言的。（3）方阵：行列数相同的矩阵。n行n列矩阵叫n阶矩阵。&&&&&&&&?1?2?1?1?二阶方阵A；四阶方阵A?312?4&&&&&&&&2341&&&&&&&&3412&&&&&&&&4?1.23?&&&&&&&&（4）单位矩阵：主对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵。Note：（1）单位阵是一类特殊方阵。（2）定义给出了元素特征，由于阶数不同有不同形式的单位阵。n阶单位矩阵记为In。&&&&&&&&?100?例如，三阶单位阵A?010,?001?&&&&（3）矩阵的相等：设A、B是数域F上两个矩阵，若1）A、B具有相同的行数和列数；2）对应位置上的元素相等。则称A与B相等。记为A=B。3、矩阵的运算及性质(1）加法：定义：设A?(aij)m?n，B?(bij)m?n；A与B的和为矩阵(aij?bij)m?n；记为A?B，即A?B=(aij?bij)m?n。Note：(1)注意可加的条件以及相加的结果，实质转化为数的加法运算。(2）利用负矩阵可以定义矩阵的减法：设A?(aij)m?n，B?(bij)m?n，定义&&&&&&&&A?B=A?(?B)=(aij?bij)m?n。&&&&&&&&46&&&&&&&&&&&&??1?，B21?1?，于是例1：设A1??A?B12?2?，A?B?300?。?402?2?4012?4?例2：设三阶方阵A满足2A?5I3?B，其中B?238，求A。?64?1?&&&&(2）数量乘法定义：设k?F,A?(aij)m?n?Mm?n(F)，k与A的数乘为(kaij)m?n，记为kA。&&&&&&&&?12?412?424?8238?，则2B?2?238?4616?。例如：设B64??&&&&(3）乘法(A）定义：设A?(aij)m?n，B?(bij)n?p；A与B的乘积为C?(cij)m?p，其中&&&&&&&&cij?ai1b1j?&&&&&&&&?ainbnj；记为AB。&&&&&&&&Note：可乘的条件与结果。例如：（1）设A&&&&&&&&?1?11?10?20?3?,B,于是AB，BA。??&&&&01?00，于是100?1?&&&&&&&&?1?1?1?101?（2）设A，B0?011?1?0&&&&&&&&?000?AB?。?111?&&&&(B）性质：（注意下列式子有意义的条件）（1）(AB)C?A(BC)；（2）InAn?p?An?p,Am?nIn?Am?n；&&&&&&&&47&&&&&&&&&&&&（3）A(B?C)?AB?AC;(B?C)A?BA?CA；（4）a(AB)?(aA)B?A(aB)。Note：1）由定义及矩阵相等的概念证明（略）。2）乘法一般不满足交换律（可分析不同的情况）。3）由于A?O,B?O而可能有AB?O，所以“消去律”不成立，即“AB?AC，且A?O,不一定有B?C”。(C）方阵的方幂：注：由于乘法满足结合律，所以有限个矩阵相乘有意义，由可乘的条件，只有方阵才可以自乘。&&&&r&&&&&&&&定义：设A?Mn(F),r?N，定义A?A&&&&r&&&&&&&&A，称为A的r次方幂；规定A0?In。&&&&&&&&性质：显然AA?A&&&&kl&&&&&&&&k?l&&&&&&&&,(Ak)l?Akl,k,l?N。&&&&&&&&Note：1）幂指数为非负整数。2）一般地(AB)?AB，以及无类于其它指数性质和代数公式，如&&&&kkk&&&&&&&&(A?B)2?A2?2AB?B2等。&&&&(D）矩阵方程：（线性方程组的矩阵表示）&&&&&&&&?a11x1设线性方程组axm11&&&&&&&&?a1nxn?b1&&&&（1），其系数矩阵为A，&&&&&&&&?amnxn?bm&&&&&&&&?x1b1?令X?。,B?，则方程组（1）可写为矩阵方程AX?B（2）?xbnm?&&&&若B?O，则AX?O为齐次线性方程组的矩阵表示。求（1）的解，即求满足（2）的n?1矩阵（列向量）。例3：求解下列方程的解：&&&&&&&&?x1?5x2?6x384x1?7x2?8x3?5，?5x?2x?7x?723?1&&&&首先，把上面的方程组化成矩阵方程的形式，即记&&&&&&&&48&&&&&&&&&&&&?1?56x1?8478?，Xx?，b5?，A?2?x35?277?&&&&于是上面的方程组可以写成如下的形式：&&&&&&&&AX?b。&&&&这种矩阵方程在Matlab中是容易求解的。上面的例子可以这样写：A=[1,-5,6;4,7,8;5,-2,7];b=[-8,5,7];x=A\bx=3.-1.6522例4：求解下列方程的解：&&&&&&&&?x1?2x2?3x3?2，?3x1?2x2?x3?3?&&&&首先，把上面的方程组化成矩阵方程的形式，即记&&&&&&&&?x11232?A?，Xx2?，b3?，?321x3?&&&&于是上面的方程组可以写成如下的形式：AX?b。这种矩阵方程在Matlab中的求解过程如下：A=[1,2,3;3,2,1];b=[2;3];c=A\bc=0.0注意：这个方程组得到的是范数最小的解。&&&&&&&&49&&&&&&&&&&&&4）转置定义：A?Mm?n(F),，A的行变为列、设把列变为行所得的n行m列矩阵称为矩阵A的转置（矩阵），记为A?（或者记为A）（可写出具体形式）。&&&&T&&&&&&&&性质：（1）(A?)A；（3）(AB)B?A?；&&&&&&&&（2）(A?B)AB?；（4）(aA)aA?。&&&&&&&&第二节线性规划问题（LP）&&&&例1设有两个煤厂甲和乙，每月进每煤分别为60吨和100吨，联合供应三个居民区A,B,C,三个居民区每月对煤的需求量为50吨，70吨和40吨。煤厂到各个居民区的距离如下表所示。表一：煤厂到居民区的距离表居民区煤厂甲乙10公里4公里5公里8公里6公里12公里ABC&&&&&&&&如何分配供煤量使得运输量达到最小？解：设甲乙煤厂到各个居民区的供煤量如下表所示：表二：煤厂到居民区的距离表居民区煤厂甲乙收煤量ABC发煤量&&&&&&&&x11&&&&&&&&x12x22&&&&70&&&&&&&&x13x23&&&&40&&&&&&&&60100求最小运输量&&&&&&&&x21&&&&50&&&&&&&&50&&&&&&&&&&&&于是运输量为&&&&&&&&f?10x11?5x12?6x13?4x21?8x22?12x23。&&&&&&&&由于发}