《“运算定律和简便运算”的复习课》课堂教学实录
《“运算定律和简便运算”的复习课》课堂教学实录
执教年级：四年级&&&&&
执教课时：1课时
师：我知道同学们非常喜欢数学，喜欢数学的人对数的感觉往往是不错的。（板书：运算定律，简便计算）现在我要试试同学们对数的感觉。25&#—要快速的计算你认为横线应该填什么数字。（纷纷举手——）
生：填4上去。
师：同意吗？
生：同意，不同意。（意见不统一）
师：同意的话是这样的。（板书：25E4=（25ⅹ4）&#请你观察这个式子什么变了什么没有变？
生：运算顺序变了，数字没有变。
师：数据和运算的符号没有变，运算的顺序发生了什么变化。这样变的依据是什么呢？
生：25和4是好朋友相乘的话恰好等于一百。
师：老师的意思是运用了乘法的什么——
生：乘法的交换律和乘法的结合律使25和4凑成整百，这样运算就方便了。
师：就是运用了乘法的定律使数字交换顺序得到新的结合，使计算简便了。看来同学们对数的感觉真的不错。对同学们来说这是个牛刀小试的问题想来一个难度大一点的吗——
生：（齐声）想。
师：好！两分钟把这六道题答完，写在纸上。答完了写上你们的名字。（板书：1、107+（58+93）+42&2、487-139-61&3、25ⅹ（4+8）
4、25ⅹ44&5、66&#&6、））准备好了吗——
生：（齐声）准备好了。
师：开始——
（同学们迅速地答题，老师巡视）
师：做完了吗？
生：（齐声）做完了。
师：老师做这六道题也需要一分半钟的时间，老师刚才发现很多的同学也有那么快的速度。你们能告诉我为什么能那么快吗？
生：运用了简便计算所以使计算方便了。
师：依据什么使这些计算简便了呢？
生：依据运算定律。
师：很好，做这些试题的时候你们都用了哪些运算定律呢？闭上眼睛你们好好的回忆一下。
（同学们纷纷闭上眼睛在回忆，有些用手蒙上了眼睛，有些趴在桌子上回忆。老师把上课的教具贴在黑板上。）
师：同学们争开眼睛看黑板，（板书：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，连除的运算性质，乘法分配律）你们发现了什么——
生：少贴了几个。
师：是吗？少贴了哪几个啊——
生1：减法的运算性质。
生2：乘法的结合律。
生3：连除的运算性质。
师：这几个在这呢——（板书：减法的运算性质，乘法的结合律，连除的运算性质）我们刚才做题的时候运用到了那么多的运算定律和性质，（板书：运算定律，性质）每一道试题到底运用到了哪一个定律或者性质呢？我们现在来对号入座。25E4？
生：乘法的交换律，乘法的结合律。
师：107+（58+93）+42呢？
生：加法的交换律。加发结合律。
师：487-139-61呢？
生：减法的运算性质。
师：25ⅹ（4+8）呢？
生：乘法分配律。
师：25ⅹ44呢？
生：乘法分配律。
师：66&#呢？
生：乘法分配律。
生：连除的运算性质。
师：真棒！这么多的定律你们知道什么意思吗——
生：（齐声）知道。
师：加法交换律是什么意思？
生：两个加数调换位置和不变。
师：如果我们用简洁明了的语言怎么表诉啊？
生：用字母表示。
师：对！用字母公式。现在我们一起来把这些定律用字母来表示出来。你们说我来写。加法交换律是？
生：(齐声)a+b=b+a。
师：加法结合律是——
生：（a+b）+c=a+(b+c)。
师：乘法交换律是——
生：aⅹb=bⅹa。
师：乘法结合律——
生：(aⅹb)ⅹc=aⅹ(bⅹc)。
师：乘法分配律是——
生：(a+b)ⅹc=aⅹc+bⅹc。
师：连减的运算性质，请男同学回答。
&&生：（男生）a-b-c=a-(b+c)。
&&师：连除的运算性质，女同学回答。
生：(女生)a&b&c=a&(bⅹc)。
师：把这些定律的名称，字母表达式和我们做的试题组合在在一起是什么——
&&生：（齐声）表格。（板书：老师画了一个运算定律的表格）
师：画表格整理的方法是我们整理一个单元知识，一块知识的常用方法。你们也对这一块知识整理了，你们看看跟黑板上的有没有要补充的或者黑板的内容要补充的。
生：黑板还要增加注意事项。
师：真好，你们比老师整理的还要多。你们这些注意的东西举了例子吗？
生：（齐声）举了。
师：同学们真会学习，我们用这样的方式对这一个单元的知识做了整理。我们对于一个单元的复习是远远不够的，我们还要思考这些知识之间到底有怎样的联系。用分类的方法能找到它们之间的联系。我们一起来找找看。我们先把五条运算定律来分分类。你准备怎么分？理由是什么？同桌之间先做个小小的讨论。
（同学们同桌之间在认真的讨论，老师在巡视）
师：想必你们有结果了，谁先来。（纷纷举手）
生：我分的是定律一类。性质一类。
师：老师刚才说了我们先来看定律，谁来——
生：我准备把加法分为一类，乘法分为一类。
师：很好，理由呢？
生：加法和加法是一样的，乘法和乘法是一样的。
师：根据运算的名称分成了两类，还有吗——
生：交换律一类，结合律一类，分配律一类分成三类。
师：这样分的理由是什么？（该生回答不了）是根据定律的名称来分的。这样分有道理吗？
生：（齐声）有。
师：老师还有一种分法请你们听听看老师的分法依据是什么？我把加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律分为一类，把乘法分配律单独分为一类。这样一共分了两类，你觉得这样分的依据是什么？
生：前面的四条定律要么是加法，要么是乘法，而乘法分配律包含了两种运算。
师：真好，那你的意思是老师按照定律里面含有运算种类来分的是吗——
生：（齐声）是。
师：我们再来看乘法分配律，它是乘法对加法的分配，也可以是乘法对减法的分配。乘法分配律跟其它四条定律是与众不同的，所以老师把它单独分成了一类。这样分有道理吗？
生：（齐声）有。
师：我们对运算定律做了整理，分类。这样我们对这些运算定律有了更深的了解。现在我们再来看看刚才做的六道题目。请你们自己用红笔给自己修改一下。
1、107+（58+93）+42=（107+93）+（58+52）=200+100=300&
2、487-139-61=487-（139+61）=487-200=287&
3、25ⅹ（4+8）=25&#&#+200=300&
4、25&#E11=100&#0&&
5、66&#=66-（101-1）=6600&&
6、=3200&（25ⅹ4）=32）
（同学们迅速地在核对自己的答案，老师在巡视，并且个别指导。）
师：老师很高兴看到有些同学发现错误，马上在旁边修改，对自己错误的修改是一种教训。我想请大家看看其中一个同学做错的一道题目。我给大家演示一遍。（屏幕：25&#E4=;4=4000？）请你们分析一下这位同学这样做的原因是什么？
生：他把44拆成了40和4所以他就这样做了。
师：这位同学的想法是正确的，但是拆开来应该是这样的（屏幕：25&#ⅹ（40+4））理解了吗？
生：（齐声）理解了。
师：（屏幕：25&#E11=100&#0，25&#ⅹ（40+4）=25&#&#0+100=1100）这两种方法你们能够理解吗？左边的运用的是——
生：把44拆成4ⅹ11。
师：右边的是——
生：乘法分配律。
师：真厉害！现在老师再给你们出道题看你们怎么做。（板书：25&#）谁来说？（纷纷举手）
生：25&#ⅹ4。
师：很好，还有吗？
生：25E111。
师：真好，理由是什么？
生：因为25和4是好朋友，把444拆拆成4和111以后可以用乘法结合律。
师：真聪明！我们可以根据题目来选择不同的简便方法。在做这些题目的时候你有什么要提醒大家的——（纷纷举手）
生：加号不要写成乘号，乘号不要写成加号。
师：你呢？
生：找到好朋友不要乱乘。
师：对！刚才那位同学就是犯了这样的错误。做题目看清楚试题数据的特点，运算符号的特点，（板书：看）再去想我们可以用什么方法来做（板书：想）接着我们就做认真的计算，（板书：算）做完题目的时候还要检查。（板书：查）一般的题目都难不到你们，现在你们想来点更有挑战性的吗？
生：（齐声）想！
师：现在你们看试题，然后直接把答案写在课堂纸上。（屏幕：55+260+140+45）写完的把答案亮出来。是多少——
生：500。（同学们亮答案）
师：第二题。（屏幕：68&#）结果是——
生：6800。（同学们亮答案）
师：第三题。（屏幕：（100-4）ⅹ25）结果是——
生：2400（同学们亮答案）
师：第四题。（屏幕：104ⅹ25）结果是——
生：2600。（同学们亮答案）
师：第五题不写结果直接把后面的两步写出来。（屏幕：32E25=---------=--------）（4E125ⅹ25）能看明白吗？
生：（齐声）能！
师：太好了。下一个步骤是（屏幕：（8&#）ⅹ（4ⅹ25））你们写的也是这样的吗——
生：（齐声）是。
师：真棒！现在请你们看，不要写纸上看完题目直接把答案说出来。（屏幕：700-56+44）结果是多少——
生：（齐声）600。
师：第二题，（屏幕：700-56-44）结果是多少——
生：（齐声）600。
师：怎么都是600啊，两道题目不一样啊。
生：第一道题不是600。
师：等到第二道题出来的时候，我们发现第一道题答案错了。那第一道题的答案是——
生：（齐声）688。
师：我们一定要看清楚运算符号。接下来看下一题。（屏幕：700-（56-44）结果是——
生：（齐声）688。
师：第一题和第三题是不一样的题目，怎么答案是一样的啊，谁来回答下？
生：因为第三题去掉括号要变号，就变成了和第一题的题目是一样的了。
师：对，接下来看这道题括号里填什么既简单又方便。（屏幕：876-52-（））填什么？
生：48，还有吗？
师：148，还有吗？
生：76，还有吗？
师：248，348，448，548都可以吗？
生：（齐声）可以。
师：刚才你们说了76还有可以填——
生：176，276……可以一直填到几百76？
师：可以一直填到几百76？
生：可以一直到676。
师：这道题目可以填很多的数字可以使它简便一些。现在我们发现很多的数据可以先给他们凑整，在运算过程当中把数字凑整可以使运算简便。同学们对数的感觉很好，接下来我们要运用所学的知识去解决生活当中的一个问题。迅速看题目信息看她能够为我们解决什么问题。
学校图书室准备购买125套《小学生世界》和25套《动漫故事》。《小学生世界》和《动漫故事》的每套单价分别为24元和28元。
师：谁先来说说你们想到了了能解决什么问题——
生：总共要花多少钱？
师：买两种课外书一共要花多少钱，还有吗？
生：买150套《小学生世界》要多少钱？
师：可以，我知道同学们想到了很多的问题，老师现在想提出几个问题？（屏幕：1、购买《小学生世界》一共要多少钱？2、购买《动漫故事》一共要花多少钱？3、购买两种课外书一共要多少钱？4、购买《小学生世界》比《动漫故事》多花多少钱？你们任意选一题解决写在课堂纸
（老师的话音刚落，同学们就迅速地解答着老师的问题，老师巡视）
师：我看见有些同学解决了几个问题，前面两个问题简单一点，后面两个问题就难一点。但是我发现我们的同学却基本选择了后面两个问题。我们来看看其中一位同学的答案。（125&#E3=;3=3000）这位同学要解决的是第一个问题，他的运算过程把24拆成8ⅹ3为什么呢？
（同学们纷纷举手，好像都知道原因）
师：老师很奇怪我没有叫你们用简便方法解决啊，你们怎么用的全是简便方法啊——
生：因为这样算起来会快一些。不用简便方法的话算起来很麻烦。
师：看！（指着屏幕，屏幕：125&#&#E3+25E7=3700）这样解决问题，运算起来就方便，简单。你们都用了这样的方法解决这个问题是吗？
生：（齐声）是。
师：我们学习的知识就是要拿来用，拿来解决现实生活中的问题。今天学习的这些简便运算定律在解决问题时会更方便更简便。同学们就会变得越来越聪明。上了今天的课同学们肯定有收获，你们说说你们今天都有什么收获啊——
生：我知道了做题的时候看得要仔细，想明白，算准确，不能忘记检查。
师：这些是我们在计算时的四个必要的步骤，我们注意了这四个步骤以后计算起来准确率就会提高，就能减少错误。还有什么收获吗？
生：能用简便方法计算的一定要自觉的用简便方法。把我们学的知识用到生活中去解决问题。
师：对！这样的话我们将变得更加的聪明。我们都肯定有收获。希望你们带着这样的收获结束今天的课堂。同学们，下课！
生：（齐声）老师，再见！
【专家评点】
复习课该怎么上？特别是计算课的复习课该怎么上？今天汤老师的课使我们耳目一新。一节看似朴实无华的课，背后所体现出的是汤老师对复习课的深入思考，值得我们细细品味。
一、在练习中梳理方法
2分钟计算6道习题，这可以看成是技能训练。但止于计算技能训练吗？显然，在运算过程中回顾所学的运算定律和运算性质，并加以提炼和梳理，这才是汤老师的真实意图。在这里，我们看到了复习课让学生对所学知识进行自主整理是完全可以实现的，关键在于教师提供怎样的教学情境。
二、在辨析中学会反思
有“简便运算”教学经验的老师都有这样的体会：“简便运算”最易出错的地方就是计算过程中运算定律的混淆。在今天的课上，我们看到了汤老师对这种情况的关注：自我检查与修正；同桌互相检查、自我订正；对学生中出现的问题及时点评（先征求学生意见，如25&44）；错例辨析专题训练等等。我们看到的是真实的课堂；看到的是课堂上学生学习状况的真实反映；看到的是学生在辨析中学会了自我反思，并在反思中逐步提高了运算定律的运用能力。正如汤老师自己说的：“这节课，怎样让孩子们收获更多？”
三、在应用中整体提升
如果我们把梳理运算定律和运算性质做为本堂课的第一层次，灵活运用运算定律和性质进行简便运算看做第二层次，那么我想更高层次的要求就应该是在解决问题的过程中进行简便运算的自觉性。甚至我们可以把这一层次的要求理解为学生数感的发展，对算式特征的整体把握。汤老师在这个方面有意识地进行了尝试，我们也看到了学生的精彩表现。当然，意识的提升不是一节课所能实现的，更需要长期的积累。但我相信我们的孩子在经历了这样一堂课后，会在脑海深处留下深刻的印象。也相信我们的老师听了这样一堂课后会对复习课的课堂结构有一个更清晰的认识。
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【专家简介】
汤春燕，女，本科学历，中学高级教师，浙江省教坛新秀。自1998年从教以来，一直担任小学中，高段数学工作。“让学生真正成为课堂主人”，是她一直为之努力追求的教学境界，这也是她对数学教学的一片痴心。她努力学习现代理论，转变教学观念，致力于教学模式的研究与教学方法的改进，在数学课堂教学这块领域里大胆探索，开拓创新，形成了独特的教学风格。1998年至2002年期间，先后获得绍兴市，浙江省，华东六省一市的课堂教学一等奖，分别被邀请到福建、四川及省内的许多地方做课。2001年，被浙江省教科院确认为学科创新教学“千课万人”观摩活动的首批教师，并多次参加“课改吹山村”的送教活动。
在教育实践中，她总能带着问题去教学，带着问题去研究，带着问题去反思。承担省市研究课题数个，课题成果获市、省一、二等奖；能不段的总结和积累，有十余篇文章在省市、省报刊杂志社发表。2001年，被推荐为浙江省名师培养人选，参加第二期省级数学培训班，于2004年12月结业。
2003年8月，调到绍兴市教研工作，任小学数学教研员。“沿着溪水往下走，每天都会有新的体验”，她工作着、快乐着，学习着、美丽着！
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巴菲特的搭档查理·芒格说：“我只要知道我死在哪里，我就不去那个地方。”这个逆向思维告诉你，只要是靠简单体力劳动和运算记忆的职业，你别去和机器人较劲。
巴菲特的搭档查理·芒格说：“我只要知道我死在哪里，我就不去那个地方。”这个逆向思维告诉你，只要是靠简单体力劳动和运算记忆的职业，你别去和机器人较劲。—在线播放—《巴菲特的搭档查理·芒格说：“我只要知道我死在哪里，我就不去那个地方。”这个逆向思维告诉你，只要是靠简单体力劳动和运算记忆的职业，你别去和机器人较劲。》—生活—优酷网，视频高清在线观看
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谈谈常规计算和简便运算以及简便运算的算理（我口算的一些心得）& && && && && && && & 小学篇& &&&在各种选拔性的考试中计算都有着举足轻重的作用。想学好数学首先就要过计算这一关。否则你的数学思维再强，都是纸上谈兵。犹如三国时期的马谡，战国时期的赵括。在小升初的考试中计算题所占比重一般不会少于五分之一，间接相关的分数还不知道有多少。现在有的小孩子觉得掌握计算法则就可以了，没必要去练习。这时绝对错误的，在平时的学习中我们不仅要重视计算还要重视口算与心算。首先我们在学习计算的时候一定要熟悉计算法则。先乘方再乘除最后加减，有括号先算括号里的按小括号中括号大括号依次进行。在考试中有些题目给人以简便运算的假象误区<font color="#
如 150-120除以2.4乘以2.1& &有的孩子算到120除以2.4就简便来什么
（150-50）乘以2.1=210这就掉入了出题者的陷阱。实际上应该先算乘法而不是减法，如果要改变运算循序，必须加括号。而很多孩子被凑整数100的假象所迷惑。这时基本功不扎实的表现，结果一个很容易的计算题得不到分。学好计算首先要掌握基本运算法则并熟练运用。有的孩子做那些技巧强的计算做的可以但基础计算反而搞不定，这个误区是应该避免的。这类学生实际上并没有掌握计算的内涵，而仅仅是记住了套路。误区2& & 2乘以3除以3乘以2，有的孩子直接2乘以3除以（2乘以3）=1，误认为可以简便运算得到了1，其实没有括号要从左到右依次计算。这两类错误都是很典型的。想要巧首先要会拙，拙能生巧。在基础计算扎实的情况下要逐渐学会简便运算，并且没做一步都要看能否简便运算。比如做乘法的时候看到25与75就要找4，再把另外一个乘数除以4就可以了。看到125，625，875就要找8，看到5找2就是要经过量变训练的数感。所以我对学生要求1/8=0.125,1/4=0.25,3/8=0.375,1/2=0.5,5/8=0.625,3/4=0.75,7/8=0.875;要能信手拈来，这对培养良好的数感很有好处。再就是不要死记硬背那些运算律和简便运算律。脑子中要多问为什么这些公式是正确的。比如乘法分配律就可以用面积来解释。a-b-c=a-(b+c),a-(b-c)=a-b+c都可以用面积解释。还有乘法结合律可以用体积解释。学习要做到数形结合，这样对数学的认识才会深刻。比如我们平时用的除法竖式它的算理实际上就是除法分配律。很多东西不是做不到真的是想不到，只要多留心就会有收获。现在有的孩子连两位数乘以两位数都经常出错，就是算功不扎实。很多孩子用计算器取代了计算这时十分不利的。才说的恶果和这个依赖计算器关系很大。在计算中当有现成的分配律的时候孩子们做的很好，可是具体到题目中或许就不能灵活运用。有的题需要移动小数点凑公因数，有的要转化倍数才行。
&&有的题如& &3.6×31.4+43.9×6.4既没有公因数移动小数点和倍数转化后也不能解决的题。该如何处理？很多孩子选择哎算，可是计算又不扎实，这就导致了计算的丢分。在计算的时候方便计算的时候要顺势而为，而不方便计算的时候要选择围而不打，通过后面的转化或许就会出现分配律等简便运算。而直接算了后面能简便都看不出。这样说做计算题的时候好算的要顺势而为，不好算的可以围而不打。二战期间马其诺防线被迂回包抄后整个形如摆设。可是如果德军如一战期间在凡尔登形成拉锯战，那必然是变得异常艰苦。计算中大的数字计算我们可以先放一放，集中精力打弱敌。回到这个题没有公因数，乘数之间不是整数倍关系。但我们注意到3.6与6.4的和是整数，于是可以凑整。如果与6.4相乘的数是31.4很容易运用分配律就可以了。那么我们就按这个思路继续下去多出部分单独算有了原式=3.6×31.4+（31.4+12.5）×6.4=3.6×31.4+6.4×31.4+12.5×6.4=314+12.5×8×0.8=314+80=394,这个题是考查思维能力的好题，它根据凑整的思想创造了分配律，再发现余下部分实际异常简单但最后那个乘法的计算要有比较好的数感。看到125找8.下面我介绍一些口算技巧适合小学生的。比如7992×25，看到25就要找4所以原式=7992除以4乘以100&&接下来就是口算7992除以4，看到大数要联想到凑整就有了（8000-8）除以4=8加2个0就可以了得到了199800，再比如77的平方实际上就是7的平方乘以11的平方=121×49=121×（50-1）=121×50-12=9.所以我们在看到大数的时候不要慌不择路，而要仔细找到规律有效进行简便运算。有时候可能要多次使用分配和结合律。或许我们不能一眼看出来但只要把握一个原则方便算的顺势而为，不方便的围而不打就一定能找到好的计算方案。看到大数只要善于换元凑整其实这些大的数字全是纸老虎，但如果你被吓着了就是真老虎了。总之在计算中我们要能熟练各个公式，还要善于把一些陌生的问题转化到熟悉的模型和情境中来。公式的熟练要靠自己有意识的简便运算其实一般如两位数的乘法一般都可以凑整来解决。还有学习的时候大数的乘法可以拆开成小数相乘再运用简便运算比如算&&27乘以729我们可以写为729×3×9=83我们就可以把多位数乘以多位数转化为多位数乘以一位数。最后说下有的题目当你找不到法门的时候也要不怕复杂的计算。计算是基本功，常规计算这个武器我们还是必须会的。当你没想到最佳方法的时候哎算的正确率也是很重要的，解题灵感并不是时时有。这就是考试方法和最佳方法的区别。3.6×31.4+43.9×6.4这个题有的学生就是硬算还比一般人巧算快而准，这就是扎实的基本功。我们在学习中要追求巧不怕唉，有些方法实际上是似笨实佳的。介于小学生知识有限有的巧算方法道理学生不能理解，我将在初中篇中继续讲述。
& & 计算的意义：1打下牢靠的底子2培养数学思维能力最后说下需要积累的东西1&&常用数1/8...7/8分数小数百分数的互化。一位两位小数与分数互化要信手拈来。2 1-30的平方，1-10的立方要信手拈来。3 100以内的25个质数要脱口而出。4加法2条乘法3条运算律要信手粘来。此外如连除连减 除法分配律和a-(b-c)=a-b+c都要很熟练。5此外需要一些常用裂项的技巧如1/(1×2)=1-1/2& &1/(2×3)=1/2-1/3& &1/n(n+1)=1/n-1/n+1 （1）&&1/n(n+k)=1/k(1/n-1/n+k)&&（2）很多学生对（1）与（2）的区别不加区分。这就是经验和教条主义没有学活。&&如很多学生做1/3+1/15+1/35+1/63用1-1/3+1/3-1/5+...+1/7-1/9=1-1/9=8/9实际上就是唉记结论。只要数感强的第一个裂隙就有警觉知道要除以2，只要1-1/3就会发现是2倍关系而不是去机械记忆裂开的两个数差几最后除以几。更深入的要知道裂成这种结构的原因是什么？1/n(n+1)=n+1-n/n(n+1)=1/n-1/n+1，这里的技巧实际上巧妙运用n+1-n=1，所以如1/(1×2×3）+。。。1/(8×9×10)得到了 1/n(n+1)(n+2)=1/2(n+2-n)/n(n+1）（n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]找到裂项的规律就好办了。6掌握一些奇特的数字比如142857，它乘以2，3，4，5，6分别是285714，428571，571428，714285，857142.这6个数字写成一个圈就是按顺时针排列的。比如四位数中的1089乘以4=9801，2187乘以4=8712.还有数字黑洞，幻方中也有很多有趣的东西，读者可查阅资料去深入研究。总之在学习中要善于总结和打破常规，追求简洁。所以在计算问题中要善于归纳总结多问为什么。多深入发掘，您的计算能力一定大有提高的。& && && &&&初中篇& &当你的计算学的很扎实，一般题目也掌握得较好的时候可以适当学些简单的初中知识比如平方差和完全平方公式，可以学一学两项式乘以两项式如何展开。实际很多口算并不是什么很神秘的技巧，而是运用了基本的代数恒等式。比如说我们计算99的平方=（100-1）的平方=0+1=9801，再比如几十5的平方尾数是25，前面是除去个位以外前面部分乘以前面部分加1.因为这个多位数可以写为（10a+5）的平方利用完全平方公式有100a的平方+100a+25这就一目了然了。再比如口算93×97=（90+3）×（90+7）=90×90+（3+7）×90+21=9021.那么我们归纳了什么规律了。个位的和为10，十位相同的数的简便方法是十位乘以十位与1的和作为前面部分，再把个位相乘。接下来我们用恒等式说明(10a+b)[10a+(10-b)]=100a的平方+100a+b(10-b)=100a(a+1)+ b(10-b)就是这个道理指导我们简便运算.接下来我们再来介绍一个口算技巧十位和为10，个位相等的两位数的计算比如 37×77=2849&&个位乘以个位作为后两位 十位相乘再加上个位作为前面部分（10a+b）[10(10-a)+b]=100[a(10-a)+b]+b的平方&&再比如说我们笔算开方的原理是什么？很多孩子只是记住了法则，但并没有抓住本质实际上就是利用的完全平方公式（10a+b）的平方=100a的平方+20ab+b的平方。再谈下对完全平方与平方差结合的探究。比如103的平方加97的平方。这2个数都离100接近我们想到（a+b）的平方加（a-b）的平方=2a的平方+2b的平方，这个题目中的a相当于100，b=3&&原式=18，还比如（a+b）的平方-（a-b）的平方=4ab，计算103的平方-97的平方和上题一样的确定ab有答案是3×100×4=1200，也可以直接用平方差得到（103+97）×（103-97）=1200.其实在有意识训练自己口算能力的时候就已经熟练运用了乘法公式，这比做大量习题还管用。或许做几十个题能让你记住公式，而真正到了计算中孩子未必能灵活运用。实际上那些速算高手的方法肯定是有他的原理在里面，这是我们对有些恒等式不熟悉罢了。在平时多把抽象的问题转化为具体的数和形，您的数学思维能力无形中就会有很大提高。那些结构复杂的数的计算一般观察规律然后换元，最后用整式乘除或因式分解就解决问题了。这里最后谈下整除判定和质数的判定。一些相关数整除的判定附录割尾法判断整除一些相关数整除的判定一、基本概念和符号：
　　1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
　　2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
　　二、整除判断方法：
　　1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
　　2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
　　3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
　　4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
　　5. 能被7整除：
　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
　　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
　　6. 能被11整除：
　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
　　②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
　　③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
　　7. 能被13整除：
　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
　　②逐次去掉最后一位数字并加上末位数字的4倍后能被13整除8能被17整除逐次去掉最后一位数字并减去个位数字的5倍后能被17整除。9能被19整除逐次去掉最后一位数字并加上个位数字的2倍后能被19整除。实际上判断7，11，13整除的第一条是判断1001的方法。判断个位是7的数时候乘以3&&如21&&有2-1 2=0<font color="#& && && &&&5-1 5=0&&判断个位是1的就好办了如果除去个位前面部分是a，就用前面部分减去个位的a倍来判定。如11&&1-1=0& & 31&&3-1 3=0判断个位是3和9的就从这个数本身出发如& &13=1+3 4&&19=1+9 2& &23=2+3 7&&29=2+9 3下面证明7的判定方法可以设个位为b,前面部分为a& &这个多位数就是10a+b& &(1)a-2b& &（2）&&（1） 2+（2）&&得到了21a 而21是7的倍数，所以只要a-2b是7的倍数整个数就是7的倍数。其它数的证明类似。对于7，11，13割末三位方法证明如下设后三位为b，前面部分为a则有原数是1000a+b&&(1)& &a-b&&(2)&&（1）-（2）有1001a是1001的倍数，而7，11，13都是1001的约数，所以判断1001的方法当然可以判断它的这3个约数。对于判断7，11，13数字大的时候用割三位方便，对较小的数割个位方便，有时候两种方法交替使用比较好。对于37的判定可以用999的方法类比1001可以割3位。设后三位为b&&前面为a我们有原数是1000a+b,如果999|a+b&&相减得到了999a是37的倍数，所以某些情况割三位更方便。一般比较大的质数判定方法可以根据尾数来。采用割个位的方法解决。这个内容于考试或许没有直接关系，但是善于运用的话能使得您的计算速度大大加快。比如分解质因数。有一年湖南理科实验班考试中解答题过程涉及到分解4351，我利用整除的判定方法很快确定了它是19的倍数就是19乘以229.229是否为质数根据质数判定不到一分钟就得到了答案。通过归纳整除判定的方法可以进一步加强对数和代数的认识。
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<font color="#0dj918 发表于
谢谢分享谢谢分享
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谢谢肖老师分享！
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