多项式问题为使矩阵A可对角化，须A的最小多项式没_百度知道
多项式问题为使矩阵A可对角化，须A的最小多项式没
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f(x)是A的最小多项式,那么它满足 f(A)=O且对任意满足g(A)=O的多项式g(x) f(x)整除g(x)根据凯莱哈密顿定理可知矩阵 的特征多项式 |xE-A|=h(x)h(A)=O那么f(x)|h(x)所以那么f(x)是(x-1)^2(x+1)的因式 所以可能为x+1 (x-1)(x+1) (x-1)^2(x+1)
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矩阵的特征系和相似对角化.doc 7页
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矩阵的特征系和相似对角化
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矩阵的特征系和相似对角化
华中师范大学　　李华
特征向量和相似对角化
相似变化的概念：对于同阶的方阵A,B。如果存在可逆矩阵P，满足,则称A与B相似。也就是说A通过相似变换成为了B.如果一个方阵A通过相似变换转化为了一个较为简单的方阵【相似于对角矩阵】就称为矩阵A可以相似对角化。
那么我们就要研究这个P事怎么求算的和什么样的方阵A可以相似对角化，以及相似对角化形成的新矩阵B的各个元素是什么样的。
下面先定义几个相关概念。
对于属于F来讲，如果有,就称是A的特征值，称是属于特征值的A的特征向量。【是一个列向量，如】
注：将转化一下就是.我们不难看出来这是一个齐次线性方程组求解。那么要有解，则满足系数矩阵是不可逆矩阵。也就是,我们知道这是个行列式之间的运算。我们来算下：,则系数矩阵为，再利用矩阵的运算，我们一定能够得到一个多项式，求算多项式的根。我们在学习多项式的时候知道，一个n次多项式最多含有n个根。（包含重根）。所以我们将来求算出来的也就有很多个。
那么现在我们来看特征向量的求算方法其实就是解一个齐次线性方程组。我们知道在求解线性方程组的解时，往往我们得到是一个基础解系。这样我们也得到每个与相对应的。
有了上面的铺垫，我们现在来研究什么样的矩阵A是可以相似对角化的。
引理：设A是原方阵，P是能使A相似对角化的一个可逆矩阵。则以下两条等价：
矩阵(即A被相似对角化形成的新矩阵B)的第j列是
是A的特征值，并且矩阵P的第j列是相应的特征向量。
注：从上面的引理我们知道了，如果一个矩阵A 可以相似对角化，那么使它达到对角化的矩阵P是可以找到的。并且我们在定义相似对角化的时候，要求矩阵P式可逆的。所以将来我们根据求出的相应的列向量之间必须是线性无关的。【可逆矩阵的秩是n，可以利用初等变换转化为，那么显然其各个列向量之间是线性无关的，即满秩。】如果矩阵A 可以相似对角化，那么得到的新矩阵B就是对角矩阵，并且它的第j列是。【我们把单位矩阵按照列分块写为】所以我们可以这样表示】
所以我们就可以得到下面的定理：
n阶方阵A可以相似对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量，此时A的相似对角形元恰好是特征多项式的全部根（计重数）。
我们有一个这样的定理：矩阵A的不同特征值对应的特征向量之间是相互线性无关的。
注：这也就是说，我们将来求出的的有n个（n个不同的根），所以对应的特征向量之间是相互线性无关的。根据定理知，矩阵A是可以对角相似化的。那么我们在利用多项式求的时候，可能就有重根或者是不能够含有n个根。但是我们带入每个所得的的个数也有可能成为n个。如果这n个列向量相互线性无关，那么对应的原向量A就是可以相似对角化的。【我们在利用特征多项式求出的有多个，而且每个带入也可以根据齐次线性方程组求出的 也有多个(我们在求线性方程组的时候求的只是一个基础解系）】
我们在下一节的内容中将研究含有重根的情况，因为在没有重根的情况（多项式含有n个不同的根）下，我们知道不同的根对应的特征向量之间线性无关，所以矩阵A就有n个特征向量，那么就知道A是可以相似对角化的。
特征根与相似对角化
在这一节里，我们主要是研究了特征根与相似对角化的关系。其实就是研究在特征多项式含有重根的情况下的可相似化的判定。
首先，这一节先给我们介绍了一个n阶复矩阵【特征矩阵在复数域里可以分解为n个一次质因式的幂的乘积形式】假设这个n阶复矩阵A的特征多项式的根为（计重数),那么特征多项式
的系数为两种表达方式，一种是利用根与系数的关系来表述，一种是利用矩阵A 的主子式来表述。
下面只简单叙述第二种表述方法。
注：求和符号后面的行列式代表的是k阶主子式。主子式是特殊的子式，他表示其对角元素为原矩阵的对角元素，可以看出来一个矩阵的子式的个数是明显大主子式的。
接下来我比较两种不同的方法得到的关于矩阵A的特征多项式的系数的表达式，我们可以看出最具特点的系数为
的得到是利用第二种表达方式得到的，【原矩阵A的一阶主子式之和就是矩阵A的对角元素之和，即为trA，detA是原矩阵的A的行列式的表示，即是矩阵A的n阶主子式】同时我们对比两种方法所得结果可以知道，原矩阵A 的特征根之和就等于trA，原矩阵A的特征根之积就等于detA,所以很容易看出来一个矩阵A的可逆的条件是它的特征根都不为零。
代数重数和几何重数
代数重数是指矩阵A的特征多项式在标准分解后，不计重根（重根合并），每个特征根的次数称为代数重数，
，即其中的m为对应的特征根的代数重数。
几何重数是指我们找出的每个特征值对应的相应的特征向量的个数。那么这个特征向量的个数是怎么得的？我们在求特征向量的时候，利用的是求齐次线性方程组的方法求解的。那么他的解的维数【特征子空间的维数】就等于[Q为系数矩阵，在这里就相当于.
下面我们来谈谈什么
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可对角化的矩阵
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判断：若A可对角化,则对任意多项式f（λ）,f（A）也可对角化
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你是华科的吧,2.这个是正确的,证明以你现在知识是解不出来的
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关于矩阵对角化若A可对角化，则对任意多项式f(λ),f(A)也可对角化就是判断正误
如果有证明过程更好
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显然是对的A=PDP^{-1} => f(A)=Pf(D)P^{-1}
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