2012年高考数学专题复习系列 三角函数导学案.doc
压缩包内文档预览：<option selected="selected" value="12年高考数学专题复习系列 三角函数导学案.doc<option value="12年高考数学专题复习系列 函数概念与基本初等函数导学案.doc<option value="12年高考数学专题复习系列 圆锥曲线与方程导学案.doc<option value="12年高考数学专题复习系列 导数及其应用导学案.doc<option value="12年高考数学专题复习系列 推理与证明导学案.doc<option value="12年高考数学专题复习系列 数列导学案.doc<option value="12年高考数学专题复习系列 数系的扩充与复数的引入导学案.doc<option value="12年高考数学专题复习系列 概率导学案.doc<option value="12年高考数学专题复习系列 直线与圆导学案.doc<option value="12年高考数学专题复习系列 空间向量导学案.doc<option value="12年高考数学专题复习系列 简易逻辑导学案.doc<option value="12年高考数学专题复习系列 算法初步导学案.doc<option value="12年高考数学专题复习系列 统计导学案.doc(预览前20页/共49页) 1三角函数1．了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和???解??、A、的物理意义．5．会由已知三角函数值求角，并会用符号6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．知识网络考纲导读任意角的三角函数三角函数两角和与差的三角函数三角函数的图象和性质角的概念的推广、弧度制任意角的三角函数的定义同角三角函数基本关系诱导公式两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切Y＝Y＝图象和性质Y＝图象和性质Y＝X＋?的图象已知三角函数值求角2三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．第1课时任意角的三角函数一、角的概念的推广1．与角?终边相同的角的集合为．2．与角终边互为反向延长线的角的集合为．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在，终边在，终边在坐标轴上的角的集合为．4．象限角是指．5．区间角是指．6．弧度制的意义圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化180?＝弧度，1?＝弧度，1弧度＝??．8．弧长公式L＝；扇形面积公式S＝二、任意角的三角函数9．定义设PX,Y是角?终边上任意一点，且|＝R，则；；；10．三角函数的符号与角所在象限的关系基础过关高考导航－＋－＋＋－－－＋＋－XYOXYOXYO312、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域解析式Y＝Y＝Y＝义域值域13．三角函数线在图中作出角?的正弦线、余弦线、正切线．例1若?是第二象限的角，试分别确定2?,2?,3的终边所在位置解∵是第二象限的角，∴K?360°90°＜?＜K?360°180°（K∈Z）（1）∵2K?360°180°＜2?＜2K?360°360°（K∈Z），∴2?是第三或第四象限的角，或角的终边在（2）∵K?180°45°＜?＜K?180°90°（K∈Z），当K2N（N∈Z）时，N?360°45°＜2＜N?360°90°；当K2N1（N∈Z）时，N?360°225°＜2＜N?360°270°??XYO典型例题4∴2?是第一或第三象限的角（3）∵K?120°30°＜3?＜K?120°60°（K∈Z），当K3N（N∈Z）时，N?360°30°＜3?＜N?360°60°；当K3N1（N∈Z）时，N?360°150°＜3?＜N?360°180°；当K3N2（N∈Z）时，N?360°270°＜3?＜N?360°300°∴3?是第一或第二或第四象限的角变式训练1已知?是第三象限角，问3?是哪个象限的角解∵?是第三象限角，∴180°K?360°＜?＜270°K?360°（K∈Z），60°K?120°＜3?＜90°K?120°①当K3MM∈Z时，可得60°M?360°＜3＜90°M?360°（M∈Z）故3的终边在第一象限②当K3M1M∈Z时，可得180°M?360°＜3?＜210°M?360°（M∈Z故3?的终边在第三象限③当K3M2（M∈Z）时，可得300°M?360°＜3?＜330°M?360°（M∈Z）故3?的终边在第四象限综上可知，3?是第一、第三或第四象限的角例2在单位圆中画出适合下列条件的角?的终边的范围,并由此写出角?的集合12221?解（1）作直线Y23交单位圆于A、结5则域即为角?的终边的范围，故满足条件的角?的集合为?|2K?3?≤≤2K?32，K∈Z（2）作直线X21?交单位圆于C、结中阴影部分）即为角?终边的范围的集合为???????????342322|??????变式训练2求下列函数的定义域（1）Y1X；（2）Y解（1）∵21≥0，∴由三角函数线画出围如图阴影所示∴X∈????????32,3????K∈Z）（2）∵30,∴X＜43,∴3利用三角函数线画出如右图阴影,∴X?（K?K?3?）（K?Z例3已知角?的终边在直线3X4Y0上，求值解∵角的终边在直线3X4Y0上，∴在角的终边上任取一点P4T,T≠0,则X4T,YR5342222?????T|,当T＞0时，R5T,5353????544??44当T＜0时，R5353????5454???4343???6综上可知，T＞0时，53?,4,43?T＜0时，53,43?变式训练3已知角?的终边经过点3,0,SIN4MMM????且，试判断角?所在的象限，并求和的值．解由题意，得MRMM????????故角?是第二或第三象限角．当5M?时,22R，点3,5?，36515CTA3???????????当5M??时,R?，点3,5??，36515CTA3???????????例4已知一扇形中心角为Α，所在圆半径为R．1若Α3??，R＝2扇形的弧长及该弧所在弓形面积；2若扇形周长为一定值CC0，当Α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．解（1）设弧长为L，弓形面积为S弓。32??扇弓△＝3???????＝332?（扇形周长22????∴22??2222121??????扇2222???????????当且仅当22＝4，即Α＝2时扇形面积最大为162C．7变式训练4扇形面积是1的周长是4中心角的弧度数和弦长解设扇形的半径为R，弧长为L，中心角的弧度数为Α则有????????12142????21Α|＝＝2∴|＝2?11．本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系．2．在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清①角的范围是什么②对应的三角函数值是正还是负③与此相关的定义、性质或公式有哪些第2课时同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角公式1平方关系1，1＋，1＋2商数关系，3倒数关系＝1，＝1，＝12．诱导公式－ΑΠ－ΑΠ＋Α2Π－Α2Α??2???2???23???23律奇变偶不变，符号看象限小结归纳基础过关83．同角三角函数的关系式的基本用途根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．4．诱导公式的作用诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°90?角的三角函数值．例1已知F?2???????????????????（1）化简F（2）若?是第三象限角，且?????????，求F?的值解（1）F（）???????（2）∵?????23??∴522???,∴F62变式训练1已知A＝?????????则A．{－1,1,－2,2}B．{1,－1}C．{2,－2}D．{－2,－1,01,2}解C例2．求值1已知5372??????????，求2?的值．2已知11????，求下列各式的值．①?????；②2?????解（1）542???；（2）35???????变式训练2化简①48?????????????，②44????解①原式＝②原式＝0例3已知－02??X?，X＋X＝51．（1）求X－X的值．（2）求XXX的值．典型例题9解1－57，2－17524变式训练3已知51,∈0,?（1）（2）（3）解方法一∵51,?∈0,?,∴由根与系数的关系知，方程的两根，解方程得4,3∵0,0,∴54,∴（1）（2）57（3）12537方法二（1）同方法一（2）（211??????,0,∴0,∴57（3）51????????例4．已知2,求下列各式的值（1）?????（2）????2222?（3）435解（1）原式??????????10（2）2222?????????????????（3）∵?1,∴45??????4412???????????变式训练4已知K?K?K∈Z求（1）?????（2）41解由已知得K?≠0,∴K?2K∈Z,即（1）10???????????（2）45????．求函数的定义域一般有三类问题一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法第3课时两角和与差的三角函数1．两角和的余弦公式的推导方法2．基本公式±Β＝±Β＝±Β＝小结归纳基础过关113．公式的变式Α＋Β1－1－?????4．常见的角的变换2?＝Α＋Β＋Α－Β；Α＝2???＋2??Α＝Α＋Β－Β＝Α－Β＋Β2???＝Α－?－?－Β；44????＝例1．求［213］??80的值解原式?????????????????????????800?????????8000??????????????????????10????????????100???????变式训练11已知?∈2?,?，53,则???等于（）C－71D－72等于（）A－1A2B例2已知Α?4?，43，Β?0，4?,－4?＝53，3?＋Β＝135，求＋Β的值．典型例题12解∵Α－4?＋43?＋Β＝Α＋Β＋2?Α∈43,4Β∈0,1???X∴Α－?∈0,2?Β＋?∈43,Π∴－4＝54??＝－1312∴＋Β＝－?＋Α＋Β＝－Α－4?＋???43＝6556变式训练2设－2?）－91，?－Β）32，且2Π＜?＜Π，0＜Β＜2Π，求Β）解∵Π＜＜Π，0＜Β＜2Π，∴4＜Α－2?＜Π，－4Π＜2?－Β＜2Π故由－2?）－91，得Α－）954由－Β）3，得?－Β）35∴??－?）－（?－Β）］CCSINSIN2222?????????????????7527?∴?Β）2?－1275227???????若5,010,且A,求A解∵A、5,010，∴，103∴B?????????55??????????①又∵2?＜A＜?,2?＜B＜?,∴?＜AB＜2②由①②知，AB47?13变式训练3在△，角A、B、,求角解在△，ABC180°,由4,得4?27,所以40于是,B60°例4．化简?1解方法一（复角→单角，从“角”入手）原式??2?2?4?21??1111方法二（从“名”入手，异名化同名）原式?1??1?????????222?????????12??21方法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式22??22?22??22?4方法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式22?212121???2?21?［221变式训练4化简（1）?????6?????2）????????????????????4解（1）原式22?????????????????????????22????????????????????????2???????22（2）原式?????????????????????222????11．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如2Α＋ΒΑΑ＋Β等．2．在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如三角函数式要创造条件使用公式．第4课时二倍角的正弦、余弦、正切1．基本公式小结归纳基础过关15；＝＝；2．公式的变用1＋；1－．例1求值14000???????解原式＝??????0602060??????????????＝3变式训练112??＝（）A．－23B．－21C．21D．23解D例2．已知Α为锐角，且21，求?????2的值解∵Α为锐角∴?????2＝????21?＝?245变式训练2化简41???????解原式＝442??????????＝1例3．已知2???；1求625?2设23412,,0??????F，求值．解（1）∵23625??∴0625252????????16（2）???∴234123???????411＝0解得8531??∵00?????故8531?变式训练3已知??6＝31，求?232?的值．解?＋2Α＝2＋Α－1＝2－Α－1＝－97例4．已知Α＋1，Α?0，2?，求值．解由已知得20即2＝0＋21＝0∵Α∈0，2?－1∴2121∴33变式训练4已知Α、Β、的等比数列2,0???，且Α、Β、解∵Α、Β、的等比数列．∴Β＝2Α，R＝4Α∵∴12??????????????????，解得1或21??当1时，0与等比数列首项不为零矛盾故1舍去当21??时，∵2∈0,2Π∴322??或322??∴38,34,3???????8,34????????倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系；小结归纳172．要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用正用、逆用、变形用．3．对三角函数式的变形有以下常用的方法①降次（常用降次公式）②消元（化同名或同角的三角函数）③消去常数“1”或用“1”替换④角的范围的确定第5课时三角函数的化简和求值1．三角函数式的化简的一般要求①函数名称尽可能少；②项数尽可能少；③尽可能不含根式；④次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有异角化同角、异名化同名、异次化同次．3．求值问题的基本类型及方法①“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．②“给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于变角，使其角相同；③“给值求角”关键也是变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．4．反三角函数别表示2,2???、0，Π、（2,??）的角．例1（1）化简?????4000?（2）化简XX466???解∵????100??＝??????∴原式??????????20?????2典型例题基础过关18变式训练1已知??11，若,2????，则?F??．解?已知02???????，Α∈2?，?，求2Α＋3?）的值．解法一由已知得322＝0?320或2０由已知条件可知0∴Α≠2?即Α∈2?,Π∴－32Α＋3?＝23＝????????222222????＝????222????＝2635136?解法二由已知条件可知0则Α≠2?从而条件可化为62＝0∵Α∈2?,Π解得－32下同解法一变式训练2在△，2??面积．解∵2①∵2－21从而0A∈??,2∴??＝26②据①②可得26?26??∴－2－319S△4263?例3已知－Β＝21，Α、Β∈（0，?），求2Α－Β的值解由－71Β∈0，Π得Β∈2?,Π①由Α－Β＋Β＝31Α∈0，Π得0＜Α＜2?∴0＜2Α＜Π由43＞0∴知0＜2Α＜2?②∵Α－Β＝?????＝1由①②知2Α－Β∈－Π，0∴2Α－Β＝－43?或利用2Α－Β＝2Α－Β＋Β求解变式训练3已知Α为第二象限角，且415，求12??????的值．解由415Α为第二象限角∴－41∴2??????????????＝?＝－2例4．已知3103??????????．（1）求值；（2）求2822?????????的值．解（1）由310????得03????解得－3或31?20又?????43，所以31??为所求．（2）原式???????????????6??????625226?????????变式训练4已知K??????（4?0的图象．令X＝ΩX＋?转化为Y＝作图象用五点法，通过列表、描点后作图象．４．函数Y＝X＋?的图象与函数Y＝图象关系．振幅变换Y＝0，A≠1的图象，可以看做是Y＝，A1或00，Ω≠1的图象，可以看做是把Y＝Ω1或00的周期为．相位变换Y＝X＋?≠0的图象，可以看做是把Y＝?0或向0或向右?0或向右0，Ω0⑴若A＝3，Ω＝21，?＝－3?，作出函数在一个周期内的简图．⑵若振动频率是?2，当X＝24?时，相位是3?，求Ω和?．解1Y＝32??X列表略图象如下32???Π22ΠX32?35?38?0－302依题意有????????????32422???????F∴???????64???变式训练1已知函数Y22??X,1求它的振幅、周期、初相；2用“五点法”作出它在一个周期内的图象；3说明Y2??Y解（1）Y22,周期T22??，初相?3（2）令X2X3?,则Y22??X2列表，并描点画出图象X2?3?127?65??311?314?XY026X02??23?2?Y10Y2X3?020（3）方法一把Y单位，得到Y??把Y??坐标不变），得到Y2??后把Y2??长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到Y22??方法二将Y坐标不变，得到Y再将Y单位；得到Y??X2??的图象；再将Y??坐标伸长为原来的2倍，得到Y22??例2已知函数Y321??X（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由Y（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心解（1）列表27X2??325?729421????232?321??0描点、连线,如图所示（2）方法一“先平移，后伸缩”先把Y到Y??把Y??倍（纵坐标不变），得到Y21??后将Y1??倍（横坐标不变），就得到Y321??方法二“先伸缩，后平移”先把Y倍（纵坐标不变），得到Y把Y单位，得到Y2??后将Y2??倍（横坐标不变），就得到Y321??（3）周期T??212?4?，振幅A3，初相是4令421?XK?K∈Z,得X2K?23K∈Z,此为对称轴方程令21KK∈Z得X2?2K?K∈Z对称中心为0,22???KK∈Z变式训练2已知函数232?????,??的最小正周期为Π且图象关于6??对称；1求FX的解析式；282若函数Y＝1－FX的图象与直线Y＝,0?上中有一个交点，求实数解（1）2322??????2????W∈R122??????当W＝1时，162????∴W＝－162162??????????2）621?????????????图∵直线Y＝,0?上与Y＝1－FX图象只有一个交点∴2121???A或A＝1例3．如图为YX?的图象的一段，求其解析式解方法一以则AT2365????，∴?2，此时解析式为Y2X?）∵点N0,6??，∴2?0，∴?，所求解析式为Y2??X①方法二由图象知A3，以M0,3?为第一个零点，P0,65?为第二个零点0－?29列方程组??????????????????6503解之得????????322???∴所求解析式为Y322??X②变式训练3函数YX?＞0,|?|＜2?,X∈R的部分图象如图，则函数表达式为AY8???Y8???Y4Y4B例4．设关于K＋1在0，2?内有两不同根Α，Β，求Α＋Β的值及解由K＋1得2X＋6?＝K＋1即X＋6?＝21?K设CY＝X＋6?，LY＝2?K，在同一坐标系中作出它们的图象略由图易知当2121??＜1时,即0≤K＜1时直线两交点的横坐标为Α、Β，从图象中还可以看出Α、Β关于X＝6?对称。故Α＋Β＝3?变式训练FX＝X＋?Ω0，0≤?≤Π是图象关于点M43Π，0对称，且在区间0，2?上是单调函数，求和Ω的值．解由FX是偶函数，得F－X＝FX即?X＋?＝X＋?∴－X＝＞0，0依题意设0≤≤Π∴＝2?由FX的图象关于点得F43?－X＝－F43?＋X取X＝0得F（43?）＝－F（43?）F43?＝0∴F43?＝?＋2?＝＝030又?＞0得43??＝2?＋＝322K＋1K＝0，1，2,,,,当K＝0时，?＝32FX＝32??X在0，2?上是减函数；当K＝1时，＝2FX＝X＋2?在0，2?上是减函数；当K≥2时，?≥310FX＝在0，上不是减函数；∴＝32或＝21．图象变换的两种途径⑴先相位变换后周期变换Y＝Y＝X＋??Y＝X＋?⑵先周期变换后相位变换Y＝Y＝Y＝X＋?2．给出图象求解析式Y＝X＋?＋、?的确定，本质为待定系数法，基本方法是⑴“五点法”运用“五点”中的一点确定．⑵图像变换法，即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由零点或最值点确定T→Ω．第8课时三角函数的性质1．三角函数的性质函数Y＝Y＝Y＝义域值域奇偶性有界性周期性基础过关小结归纳小结归纳31单调性最大小值2．函数Y＝的关系．⑴若相邻两条对称轴为X＝A和X＝B，则T＝．⑵若相邻两对称点A，0和B，0，则T＝．⑶若有一个对称点A，0和它相邻的一条对称轴X＝B，则T＝．注该结论可以推广到其它任一函数．例1化简FX＝316???＋316???＋2?＋2XX∈R，K∈Z．并求FX的值域和最小正周期．解1FX＝2?0＜A＜1由于FX?GX最小正周期相同得A?2＝M即A＝2M又F1＝2G1即2A＋3?＝2M＋6?把A＝2M＋＝M＋∴2M＋6?M＋6?＝66???MM∴M＋6?＝0或M＋6?＝±22当M＋＝0时，M＝K?－K≠Z，这与0＜M＜1矛盾．当M＋6?＝±22时，M＝K＋12?或M＝K?－?125K∈Z，现由0＜M＜1时得M＝12?故A＝B?∴FX＝2?X＋3，GX＝2?X＋62由2K?－2≤X＋≤2K?＋2得X∈12K－5，12K＋1∴FX的单调递增区间为12K－5，12K＋1K∈Z典型例题32变式训练1已知函数1222??????（1）求函数FX的最小正周期；（2）求使函数FX取得最大值的解1112222???????12222?????????????
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1三角函数1．了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和???解??、A、的物理意义．5．会由已知三角函数值求角，并会用符号6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．知识网络考纲导读任意角的三角函数三角函数两角和与差的三角函数三角函数的图象和性质角的概念的推广、弧度制任意角的三角函数的定义同角三角函数基本关系诱导公式两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切Y＝Y＝图象和性质Y＝图象和性质Y＝X＋?的图象已知三角函数值求角2三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．第1课时任意角的三角函数一、角的概念的推广1．与角?终边相同的角的集合为．2．与角终边互为反向延长线的角的集合为．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在，终边在，终边在坐标轴上的角的集合为．4．象限角是指．5．区间角是指．6．弧度制的意义圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化180?＝弧度，1?＝弧度，1弧度＝??．8．弧长公式L＝；扇形面积公式S＝二、任意角的三角函数9．定义设PX,Y是角?终边上任意一点，且|＝R，则；；；10．三角函数的符号与角所在象限的关系基础过关高考导航－＋－＋＋－－－＋＋－XYOXYOXYO312、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域解析式Y＝Y＝Y＝义域值域13．三角函数线在图中作出角?的正弦线、余弦线、正切线．例1若?是第二象限的角，试分别确定2?,2?,3的终边所在位置解∵是第二象限的角，∴K?360°90°＜?＜K?360°180°（K∈Z）（1）∵2K?360°180°＜2?＜2K?360°360°（K∈Z），∴2?是第三或第四象限的角，或角的终边在（2）∵K?180°45°＜?＜K?180°90°（K∈Z），当K2N（N∈Z）时，N?360°45°＜2＜N?360°90°；当K2N1（N∈Z）时，N?360°225°＜2＜N?360°270°??XYO典型例题4∴2?是第一或第三象限的角（3）∵K?120°30°＜3?＜K?120°60°（K∈Z），当K3N（N∈Z）时，N?360°30°＜3?＜N?360°60°；当K3N1（N∈Z）时，N?360°150°＜3?＜N?360°180°；当K3N2（N∈Z）时，N?360°270°＜3?＜N?360°300°∴3?是第一或第二或第四象限的角变式训练1已知?是第三象限角，问3?是哪个象限的角解∵?是第三象限角，∴180°K?360°＜?＜270°K?360°（K∈Z），60°K?120°＜3?＜90°K?120°①当K3MM∈Z时，可得60°M?360°＜3＜90°M?360°（M∈Z）故3的终边在第一象限②当K3M1M∈Z时，可得180°M?360°＜3?＜210°M?360°（M∈Z故3?的终边在第三象限③当K3M2（M∈Z）时，可得300°M?360°＜3?＜330°M?360°（M∈Z）故3?的终边在第四象限综上可知，3?是第一、第三或第四象限的角例2在单位圆中画出适合下列条件的角?的终边的范围,并由此写出角?的集合12221?解（1）作直线Y23交单位圆于A、结5则域即为角?的终边的范围，故满足条件的角?的集合为?|2K?3?≤≤2K?32，K∈Z（2）作直线X21?交单位圆于C、结中阴影部分）即为角?终边的范围的集合为???????????342322|??????变式训练2求下列函数的定义域（1）Y1X；（2）Y解（1）∵21≥0，∴由三角函数线画出围如图阴影所示∴X∈????????32,3????K∈Z）（2）∵30,∴X＜43,∴3利用三角函数线画出如右图阴影,∴X?（K?K?3?）（K?Z例3已知角?的终边在直线3X4Y0上，求值解∵角的终边在直线3X4Y0上，∴在角的终边上任取一点P4T,T≠0,则X4T,YR5342222?????T|,当T＞0时，R5T,5353????544??44当T＜0时，R5353????5454???4343???6综上可知，T＞0时，53?,4,43?T＜0时，53,43?变式训练3已知角?的终边经过点3,0,SIN4MMM????且，试判断角?所在的象限，并求和的值．解由题意，得MRMM????????故角?是第二或第三象限角．当5M?时,22R，点3,5?，36515CTA3???????????当5M??时,R?，点3,5??，36515CTA3???????????例4已知一扇形中心角为Α，所在圆半径为R．1若Α3??，R＝2扇形的弧长及该弧所在弓形面积；2若扇形周长为一定值CC0，当Α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．解（1）设弧长为L，弓形面积为S弓。32??扇弓△＝3???????＝332?（扇形周长22????∴22??2222121??????扇2222???????????当且仅当22＝4，即Α＝2时扇形面积最大为162C．7变式训练4扇形面积是1的周长是4中心角的弧度数和弦长解设扇形的半径为R，弧长为L，中心角的弧度数为Α则有????????12142????21Α|＝＝2∴|＝2?11．本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系．2．在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清①角的范围是什么②对应的三角函数值是正还是负③与此相关的定义、性质或公式有哪些第2课时同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角公式1平方关系1，1＋，1＋2商数关系，3倒数关系＝1，＝1，＝12．诱导公式－ΑΠ－ΑΠ＋Α2Π－Α2Α??2???2???23???23律奇变偶不变，符号看象限小结归纳基础过关83．同角三角函数的关系式的基本用途根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．4．诱导公式的作用诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°90?角的三角函数值．例1已知F?2???????????????????（1）化简F（2）若?是第三象限角，且?????????，求F?的值解（1）F（）???????（2）∵?????23??∴522???,∴F62变式训练1已知A＝?????????则A．{－1,1,－2,2}B．{1,－1}C．{2,－2}D．{－2,－1,01,2}解C例2．求值1已知5372??????????，求2?的值．2已知11????，求下列各式的值．①?????；②2?????解（1）542???；（2）35???????变式训练2化简①48?????????????，②44????解①原式＝②原式＝0例3已知－02??X?，X＋X＝51．（1）求X－X的值．（2）求XXX的值．典型例题9解1－57，2－17524变式训练3已知51,∈0,?（1）（2）（3）解方法一∵51,?∈0,?,∴由根与系数的关系知，方程的两根，解方程得4,3∵0,0,∴54,∴（1）（2）57（3）12537方法二（1）同方法一（2）（211??????,0,∴0,∴57（3）51????????例4．已知2,求下列各式的值（1）?????（2）????2222?（3）435解（1）原式??????????10（2）2222?????????????????（3）∵?1,∴45??????4412???????????变式训练4已知K?K?K∈Z求（1）?????（2）41解由已知得K?≠0,∴K?2K∈Z,即（1）10???????????（2）45????．求函数的定义域一般有三类问题一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法第3课时两角和与差的三角函数1．两角和的余弦公式的推导方法2．基本公式±Β＝±Β＝±Β＝小结归纳基础过关113．公式的变式Α＋Β1－1－?????4．常见的角的变换2?＝Α＋Β＋Α－Β；Α＝2???＋2??Α＝Α＋Β－Β＝Α－Β＋Β2???＝Α－?－?－Β；44????＝例1．求［213］??80的值解原式?????????????????????????800?????????8000??????????????????????10????????????100???????变式训练11已知?∈2?,?，53,则???等于（）C－71D－72等于（）A－1A2B例2已知Α?4?，43，Β?0，4?,－4?＝53，3?＋Β＝135，求＋Β的值．典型例题12解∵Α－4?＋43?＋Β＝Α＋Β＋2?Α∈43,4Β∈0,1???X∴Α－?∈0,2?Β＋?∈43,Π∴－4＝54??＝－1312∴＋Β＝－?＋Α＋Β＝－Α－4?＋???43＝6556变式训练2设－2?）－91，?－Β）32，且2Π＜?＜Π，0＜Β＜2Π，求Β）解∵Π＜＜Π，0＜Β＜2Π，∴4＜Α－2?＜Π，－4Π＜2?－Β＜2Π故由－2?）－91，得Α－）954由－Β）3，得?－Β）35∴??－?）－（?－Β）］CCSINSIN2222?????????????????7527?∴?Β）2?－1275227???????若5,010,且A,求A解∵A、5,010，∴，103∴B?????????55??????????①又∵2?＜A＜?,2?＜B＜?,∴?＜AB＜2②由①②知，AB47?13变式训练3在△，角A、B、,求角解在△，ABC180°,由4,得4?27,所以40于是,B60°例4．化简?1解方法一（复角→单角，从“角”入手）原式??2?2?4?21??1111方法二（从“名”入手，异名化同名）原式?1??1?????????222?????????12??21方法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式22??22?22??22?4方法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式22?212121???2?21?［221变式训练4化简（1）?????6?????2）????????????????????4解（1）原式22?????????????????????????22????????????????????????2???????22（2）原式?????????????????????222????11．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如2Α＋ΒΑΑ＋Β等．2．在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如三角函数式要创造条件使用公式．第4课时二倍角的正弦、余弦、正切1．基本公式小结归纳基础过关15；＝＝；2．公式的变用1＋；1－．例1求值14000???????解原式＝??????0602060??????????????＝3变式训练112??＝（）A．－23B．－21C．21D．23解D例2．已知Α为锐角，且21，求?????2的值解∵Α为锐角∴?????2＝????21?＝?245变式训练2化简41???????解原式＝442??????????＝1例3．已知2???；1求625?2设23412,,0??????F，求值．解（1）∵23625??∴0625252????????16（2）???∴234123???????411＝0解得8531??∵00?????故8531?变式训练3已知??6＝31，求?232?的值．解?＋2Α＝2＋Α－1＝2－Α－1＝－97例4．已知Α＋1，Α?0，2?，求值．解由已知得20即2＝0＋21＝0∵Α∈0，2?－1∴2121∴33变式训练4已知Α、Β、的等比数列2,0???，且Α、Β、解∵Α、Β、的等比数列．∴Β＝2Α，R＝4Α∵∴12??????????????????，解得1或21??当1时，0与等比数列首项不为零矛盾故1舍去当21??时，∵2∈0,2Π∴322??或322??∴38,34,3???????8,34????????倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系；小结归纳172．要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用正用、逆用、变形用．3．对三角函数式的变形有以下常用的方法①降次（常用降次公式）②消元（化同名或同角的三角函数）③消去常数“1”或用“1”替换④角的范围的确定第5课时三角函数的化简和求值1．三角函数式的化简的一般要求①函数名称尽可能少；②项数尽可能少；③尽可能不含根式；④次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有异角化同角、异名化同名、异次化同次．3．求值问题的基本类型及方法①“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．②“给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于变角，使其角相同；③“给值求角”关键也是变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．4．反三角函数别表示2,2???、0，Π、（2,??）的角．例1（1）化简?????4000?（2）化简XX466???解∵????100??＝??????∴原式??????????20?????2典型例题基础过关18变式训练1已知??11，若,2????，则?F??．解?已知02???????，Α∈2?，?，求2Α＋3?）的值．解法一由已知得322＝0?320或2０由已知条件可知0∴Α≠2?即Α∈2?,Π∴－32Α＋3?＝23＝????????222222????＝????222????＝2635136?解法二由已知条件可知0则Α≠2?从而条件可化为62＝0∵Α∈2?,Π解得－32下同解法一变式训练2在△，2??面积．解∵2①∵2－21从而0A∈??,2∴??＝26②据①②可得26?26??∴－2－319S△4263?例3已知－Β＝21，Α、Β∈（0，?），求2Α－Β的值解由－71Β∈0，Π得Β∈2?,Π①由Α－Β＋Β＝31Α∈0，Π得0＜Α＜2?∴0＜2Α＜Π由43＞0∴知0＜2Α＜2?②∵Α－Β＝?????＝1由①②知2Α－Β∈－Π，0∴2Α－Β＝－43?或利用2Α－Β＝2Α－Β＋Β求解变式训练3已知Α为第二象限角，且415，求12??????的值．解由415Α为第二象限角∴－41∴2??????????????＝?＝－2例4．已知3103??????????．（1）求值；（2）求2822?????????的值．解（1）由310????得03????解得－3或31?20又?????43，所以31??为所求．（2）原式???????????????6??????625226?????????变式训练4已知K??????（4?0的图象．令X＝ΩX＋?转化为Y＝作图象用五点法，通过列表、描点后作图象．４．函数Y＝X＋?的图象与函数Y＝图象关系．振幅变换Y＝0，A≠1的图象，可以看做是Y＝，A1或00，Ω≠1的图象，可以看做是把Y＝Ω1或00的周期为．相位变换Y＝X＋?≠0的图象，可以看做是把Y＝?0或向0或向右?0或向右0，Ω0⑴若A＝3，Ω＝21，?＝－3?，作出函数在一个周期内的简图．⑵若振动频率是?2，当X＝24?时，相位是3?，求Ω和?．解1Y＝32??X列表略图象如下32???Π22ΠX32?35?38?0－302依题意有????????????32422???????F∴???????64???变式训练1已知函数Y22??X,1求它的振幅、周期、初相；2用“五点法”作出它在一个周期内的图象；3说明Y2??Y解（1）Y22,周期T22??，初相?3（2）令X2X3?,则Y22??X2列表，并描点画出图象X2?3?127?65??311?314?XY026X02??23?2?Y10Y2X3?020（3）方法一把Y单位，得到Y??把Y??坐标不变），得到Y2??后把Y2??长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到Y22??方法二将Y坐标不变，得到Y再将Y单位；得到Y??X2??的图象；再将Y??坐标伸长为原来的2倍，得到Y22??例2已知函数Y321??X（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由Y（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心解（1）列表27X2??325?729421????232?321??0描点、连线,如图所示（2）方法一“先平移，后伸缩”先把Y到Y??把Y??倍（纵坐标不变），得到Y21??后将Y1??倍（横坐标不变），就得到Y321??方法二“先伸缩，后平移”先把Y倍（纵坐标不变），得到Y把Y单位，得到Y2??后将Y2??倍（横坐标不变），就得到Y321??（3）周期T??212?4?，振幅A3，初相是4令421?XK?K∈Z,得X2K?23K∈Z,此为对称轴方程令21KK∈Z得X2?2K?K∈Z对称中心为0,22???KK∈Z变式训练2已知函数232?????,??的最小正周期为Π且图象关于6??对称；1求FX的解析式；282若函数Y＝1－FX的图象与直线Y＝,0?上中有一个交点，求实数解（1）2322??????2????W∈R122??????当W＝1时，162????∴W＝－162162??????????2）621?????????????图∵直线Y＝,0?上与Y＝1－FX图象只有一个交点∴2121???A或A＝1例3．如图为YX?的图象的一段，求其解析式解方法一以则AT2365????，∴?2，此时解析式为Y2X?）∵点N0,6??，∴2?0，∴?，所求解析式为Y2??X①方法二由图象知A3，以M0,3?为第一个零点，P0,65?为第二个零点0－?29列方程组??????????????????6503解之得????????322???∴所求解析式为Y322??X②变式训练3函数YX?＞0,|?|＜2?,X∈R的部分图象如图，则函数表达式为AY8???Y8???Y4Y4B例4．设关于K＋1在0，2?内有两不同根Α，Β，求Α＋Β的值及解由K＋1得2X＋6?＝K＋1即X＋6?＝21?K设CY＝X＋6?，LY＝2?K，在同一坐标系中作出它们的图象略由图易知当2121??＜1时,即0≤K＜1时直线两交点的横坐标为Α、Β，从图象中还可以看出Α、Β关于X＝6?对称。故Α＋Β＝3?变式训练FX＝X＋?Ω0，0≤?≤Π是图象关于点M43Π，0对称，且在区间0，2?上是单调函数，求和Ω的值．解由FX是偶函数，得F－X＝FX即?X＋?＝X＋?∴－X＝＞0，0依题意设0≤≤Π∴＝2?由FX的图象关于点得F43?－X＝－F43?＋X取X＝0得F（43?）＝－F（43?）F43?＝0∴F43?＝?＋2?＝＝030又?＞0得43??＝2?＋＝322K＋1K＝0，1，2,,,,当K＝0时，?＝32FX＝32??X在0，2?上是减函数；当K＝1时，＝2FX＝X＋2?在0，2?上是减函数；当K≥2时，?≥310FX＝在0，上不是减函数；∴＝32或＝21．图象变换的两种途径⑴先相位变换后周期变换Y＝Y＝X＋??Y＝X＋?⑵先周期变换后相位变换Y＝Y＝Y＝X＋?2．给出图象求解析式Y＝X＋?＋、?的确定，本质为待定系数法，基本方法是⑴“五点法”运用“五点”中的一点确定．⑵图像变换法，即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由零点或最值点确定T→Ω．第8课时三角函数的性质1．三角函数的性质函数Y＝Y＝Y＝义域值域奇偶性有界性周期性基础过关小结归纳小结归纳31单调性最大小值2．函数Y＝的关系．⑴若相邻两条对称轴为X＝A和X＝B，则T＝．⑵若相邻两对称点A，0和B，0，则T＝．⑶若有一个对称点A，0和它相邻的一条对称轴X＝B，则T＝．注该结论可以推广到其它任一函数．例1化简FX＝316???＋316???＋2?＋2XX∈R，K∈Z．并求FX的值域和最小正周期．解1FX＝2?0＜A＜1由于FX?GX最小正周期相同得A?2＝M即A＝2M又F1＝2G1即2A＋3?＝2M＋6?把A＝2M＋＝M＋∴2M＋6?M＋6?＝66???MM∴M＋6?＝0或M＋6?＝±22当M＋＝0时，M＝K?－K≠Z，这与0＜M＜1矛盾．当M＋6?＝±22时，M＝K＋12?或M＝K?－?125K∈Z，现由0＜M＜1时得M＝12?故A＝B?∴FX＝2?X＋3，GX＝2?X＋62由2K?－2≤X＋≤2K?＋2得X∈12K－5，12K＋1∴FX的单调递增区间为12K－5，12K＋1K∈Z典型例题32变式训练1已知函数1222??????（1）求函数FX的最小正周期；（2）求使函数FX取得最大值的解1112222???????12222?????????????
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2012年高考数学专题复习系列 导学案（打包13套） (1),年高,数学,专题,复习,温习,系列,导学案,打包,13
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本文标题：2012年高考数学专题复习系列 导学案（打包13套） (1) 链接地址：
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