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不定积分的分部积分法
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[bù dìng jī fēn]
在中，一个函数f 的，或原函数，或反导数，是一个等于f 的 F ，即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由确定。其中F是f的不定积分。
不定积分解释
根据，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
不定积分性质
1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数
的原函数存在，则
2、求不定积分时，被积函数中的因子可以提到积分号外面来。即：设函数
的原函数存在，
非零常数，则
不定积分求解
设F(x)是函数f(x)的一个，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
由定义可知：
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。
不定积分积分公式
注：以下的C都是指任意积分常数。
，其中a为常数，且a ≠ -1
，其中a & 0 ，且a ≠ 1
全体原函数之间只差任意常数C
证明：如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。
设G(x)是f(x)的另一个原函数,即?x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。
这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞&C&+∞}。
由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。
因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。
不定积分积分方法
不定积分积分公式法
直接利用积分公式求出不定积分。
不定积分换元积分法
换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
一、第一类换元法（即凑微分法）
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。例如
二、注：第二类换元法的变换式必须可逆，并且
在相应区间上是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种：
1、 根式代换法，
2、 三角代换法。
在实际应用中，代换法最常见的是链式法则，而往往用此代替前面所说的换元。
链式法则是一种最有效的微分方法，自然也是最有效的积分方法，下面介绍链式法则在积分中的应用：
链式法则：
我们在写这个公式时，常常习惯用u来代替g，即：
如果换一种写法，就是让：
这样就可以直接将dx消掉，走了一个捷径。
不定积分分部积分法
设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。得到udv=d(uv)-vdu
两边积分，得分部
∫udv=uv-∫vdu。 ⑴
称公式⑴为分部积分公式．如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到．
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v
一般来说，u,v 选取的原则是：
1、积分容易者选为v， 2、简单者选为u。
例子：∫Inx dx中应设U=Inx,V=x
的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。
有理函数分为（即多项式）和（即两个多项式的商），分式分为和假分式，而假分式经过可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分．
可以证明，任何真分式总能分解为之和。
不定积分不可积函数
虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分，但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成的有限次复合，原函数不可以表示成初等函数的有限次复合的函数称为不可积函数。利用微分代数中的微分Galois理论可以证明，如
，xx ，sinx/x这样的函数是不可积的。
不定积分积分表
含有三角函数的积分
不定积分示例
华中科技大学数学系．微积分：高等教育出版社，2008
王萍. 不定积分技巧点滴[J]. 上海工程技术大学教育研究, -42.
同济大学数学系．高等数学（第六版上册）．北京：高等教育出版社，2007：362-371
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高等数学：第四章 不定积分（2）分部积分法 特殊类型函数的积分
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用分部积分法求下列不定积分：
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提问人：匿名网友
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用分部积分法求下列不定积分：请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
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1计算∫xexsinxdx．2设f(x)是单调、连续、可导函数，f-1(x)是其反函数，若∫f(x)dx=F(x)+C，求证：∫f-1(x)dx=xf-1(x)-F[f-1(x)]+C．3设f(x)的原函数F(x)＞0，且F(0)=1，当x≥0时，f(x)F(x)=sin22x，求f(x)．4计算，其中a、b是不全为零的非负常数．
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