帮忙谁能举例说明一下矩阵列向量线性无关与矩阵可逆的关系?
可逆阵一定是方阵，与向量组对应的矩阵不一定是方阵。
如果矩阵的秩等于它的列数，则这个矩阵的列向量组是线性无关的，否则就是线性相关的。
可逆阵是满秩阵，它的秩一定等于它的列数，所以可逆阵的列向量组一定是线性无关的。
其他答案（共1个回答）
这个你找不到应该！其实你要是只是想自考过了，你没必要找那么多视频啊什么的去学习。去网上对这两科分别找两套题（好找得很，你在百度一搜就出来了，就搜以前考过的自考题...
把向量作列向量构造矩阵，然后作初等行变换。因为初等行变换不改变列秩，故可求出向量组的秩。
同理，完全可以把它们作为行向量构造矩阵，只要对它们作初等列变换即可。
问题1:设A是一个n阶实对称矩阵,证明存在一个n阶实矩阵B,
使AB+B^tA是正定矩阵与秩(A)=n互为充要条件,
B^t=B的转置
1.设秩(A)=n==&...
|A-5I|=|∧-5I|
B=A^3-5*A^2=A^2*|∧-5I|
猜着做的，不知对不对！
“矩阵相似，并非相等，怎么会有A+C=B+C！”这句...
1。子空间就是线性空间的非空集合对于其中的运算也构成一个空间，而span{ v1,v2...,vn }表示由v1,v2...,vn 张成的子空间，即v1,v2....
答: 是个问题，呵呵我想差不多的比例吧
答: 这个阿拉不太清楚,侬可以到教育网去查查
答: 北师大的国际关系专业一般，但是从另一方面来讲，难度上相对不是那么大。
每家运营商的DNS都不同，而且各省的也不同。你可以问问你的网络提供商，他们会告诉你的。（也可以通过分别访问域名和IP来检查DNS是否正常，访问域名不行，而访问IP可以，则说明DNS设置不对）
另外，如果ADSL-电脑没问题，一般ADSL-路由器也没问题的。而且采用ADSL拨号的话，DNS可以不设置的，拨号成功后会自动取得DNS服务器。
问题可能出在路由器设置上。进去检查一下吧。看看上网方式，上网用户名密码是否正确。
（有个问题要注意一下，有些地方的运营商会限制使用路由器或者限制接入数量，一般是采取绑定网卡MAC地址的方式，如果路由器设置都正常，试试路由器的MAC地址克隆功能，把电脑网卡的MAC复制过去）
嫌麻烦就把你洗衣机的型号或断皮带，拿到维修点去买1个，自己装上就可以了（要有个小扳手把螺丝放松，装上皮带，拉紧再紧固螺丝）。
关于三国武将的排名在玩家中颇有争论，其实真正熟读三国的人应该知道关于三国武将的排名早有定论，头十位依次为：
头吕（吕布）二赵（赵云）三典韦，四关（关羽）五许（许楮）六张飞，七马（马超）八颜（颜良）九文丑，老将黄忠排末位。
关于这个排名大家最具疑问的恐怕是关羽了，这里我给大家细细道来。赵云就不用多说了，魏军中七进七出不说武功，体力也是超强了。而枪法有六和之说，赵云占了个气，也就是枪法的鼻祖了，其武学造诣可见一斑。至于典韦，单凭他和许楮两人就能战住吕布，武功应该比三英中的关羽要强吧。
其实单论武功除吕布外大家都差不多。论战功关羽斩颜良是因为颜良抢军马已经得手正在后撤，并不想与人交手，没想到赤兔马快，被从后背赶上斩之；文丑就更冤了，他是受了委托来招降关羽的，并没想着交手，结果话没说完关羽的刀就到了。只是由于过去封建统治者的需要后来将关羽神话化了，就连日本人也很崇拜他，只不过在日本的关公形象是扎着日式头巾的。
张飞、许楮、马超的排名比较有意思，按理说他们斗得势均力敌都没分出上下，而古人的解释是按照他们谁先脱的衣服谁就厉害！有点搞笑呦。十名以后的排名笔者忘记了，好象第11个是张辽。最后需要说明的是我们现在通常看到的《三国演义》已是多次修改过的版本，笔者看过一套更早的版本，有些细节不太一样。
1、以身作则，如果连自己都做不好，还怎么当班长？
2、人缘好，我就是由于人缘不好，才改当副班长的。
3、团结同学，我们班有一个班长就是由于不团结同学才不当班长的，他现在是体育委员。
4、要有管理能力，首先要有大嗓门，我们班有位学习委员就是由于声音太轻才以3票之差当不了班长；其次要口齿清楚，让同学能听得懂你说的话；第三要说出有道理的话,让吵闹或打架的同学心服口服；第四，不能包庇好朋友，公正；第五，要搞好师生关系；第六，要严以律己，宽以待人，我们班的第一任班长就是因为“严以待人，宽以律己”才不能继续当下去的。
5、要坚持，我们班的纪律委员就是由于没有恒心，原来的大组长、卫生委员、劳动委员、体育委员、学习委员、小组长等（每个学期都加起来）都被免除了，现在的才当1天的纪律委员要不要免除都在考虑中，还要写说明书。
6、提醒班干部做自己要做的事，要有责任心。我们班的纪律委员就是没有责任心，班长的职务都被罢免了。
7、不要拿出班长的架子，要虚心。
8、关心同学（包括学习）。
9、要及早发现问题,自己可以解决的自己解决；自己不能解决的，早日让班主任解决。
10、要发现班级的好的地方，及时表扬。让全班都照做。
11、不要太担心学习，当个班干部，对以后工作有好处，这是个锻炼的机会，好好当吧，加油！
在高中阶段，学校和老师的规定一般都是为了学生的成绩着想，执行老师的话，其实也是为了大家好。即使有时候打点小报告，只要你的心态的好的，也不是坏事。比如A学习不专心，你用个适当的办法提醒老师去关心他，其实也是为了他好。
总的方针：和同学们组成一个团结的班集体，一切以班集体利益为上（当然不冲突国家、社会和学校利益为前提）。跟上面领导要会说话，有一些不重要的东西能满就满，这对你的同学好，也对你的班好。
再说十五点
一，以德服人
也是最重要的，不靠气势，只靠气质，首先要学会宽容（very important）你才能与众不同，不能和大家“同流合污”（夸张了点），不要有这样的想法：他们都怎么样怎样，我也。如果你和他们一样何来让你管理他们，你凭什么能管理他们？
二，无亲友
说的绝了点，彻底无亲友是不可能，是人都有缺点，有缺点就要有朋友帮助你。不是说，不要交友，提倡交友，但是不能把朋友看的太重，主要不能对朋友产生依赖感，遇到事情先想到靠自己，而不是求助！
三，一视同仁
上边说的无亲友也是为了能更好的能一视同仁，无论是什么关系，在你眼里都应是同学，可能比较难作到，但没有这点，就不可能服众。
四，不怕困难
每个班级里都会一些不听话的那种，喜欢摆谱的那种，不用怕，他们是不敢怎么样的！知难而进才是一个班长应该有的作风。
五，带头作用
我想这点大家都有体会就不多说了
六，打成一片
尽量和大家达成共识，没有架子，不自负不自卑，以微笑面对每一个人，不可以有歧视心理，不依赖老师，有什么事情自己解决，老师已经够累的了。
七，“我是班长”
这句话要随时放在心底，但是随时都不要放在嘴上，有强烈的责任心，时刻以班级的荣誉为主，以大家的荣誉为主。什么事情都冲在最前面。遇事镇定。
八，帮助同学
帮助同学不是为了给大家留下一个好的印象等利益方面的事，是你一个班长的责任，是你应该做的，只要你还是一个班长，你就要为人民服务（夸张）为同学服务。
九，诚实守信
大家应该都知道这个，是很容易作到的，也是很不容易作到，然这两句话并不是矛盾的，不是为了建立一个好的形象，和班级责任也没有什么关系，只是一个人应该有的道德品质。但你必须作到，连这样都做不到，就不可能做成一个好的班长。
十，拿的起放的下
学会放弃也同样重要，学会辨别好与坏。知道什么是该做的，什么是不该做的。
十一，谦虚
认真分析同学给你提的意见，不管是有意的，还是无意的。提出来就有他的想法，有他的动机。要作到一日三醒我身。
十二，心态端正
总之要有一个好的心态，积极向上的心态，把事情往好里想，但同时要知道另一面的危机，遇到事情首先想到的应该是解决问题，而不是别的！
十三,合理的运用身边的人和事
主动,先下手为强,遇到不能够管理的,就可以和其他班干部一起对付,实在不行,就迅速找到老师陈述自己的观点,免得他倒打一耙(尽量少打小报告.)
十四,和老师同学搞好关系.
威信可以提高,你说的话老师也比较相信,可以简单一点的拿到老师的一些特殊授权,而这些授权往往对你的帮助很大.
十五,合理的运用自己的权利和魄力
对付难管理的,权利在他的眼中已经不存在的,就运用你的魄力,用心去交流,努力感动身边的人,感动得他们铭记于心,你就成功了.
一点要加油哦
是由关系的，原因如下：
01如果女性朋友们的性格是比较内向的话，不能够很好的发泄自己的脾气，那么长期的情况下，不仅是伤害了自己的肝脏，而且还会大大增加月经出现不调的问题，所以一定要学会释放自己的情绪。02如果一个女性的情绪波动的很大的话，那么他的内分泌也会出现失调的问题，我们都知道内分泌与一个人的心情是由非常密切的关系的，所以精神要保持放松。03在人生气的时候，人的表现不只是脸部会呈现红的颜色，而且血液中的氧气也会变得少了，这时候人体内的毒素也会增加的多了，这样也是月经不调的原因，表现为面部出现一些色斑。04所以女性为了自己的生理健康，一定要学会调节自己的情绪。
方法步骤：01肚子肥大，减肥无效。很多女性朋友对肚子上堆积的脂肪感到很苦恼，总想减掉那一圈肥肉，然后当肥肉没减掉，反而腹胀越来越严重时，就要当心是否是患了卵巢囊肿了。02用白芥子10，化湿祛痰的苡仁20，南星6，理气行滞、活血祛瘀的桃仁10，三棱10，赤芍12，消痰软坚、散结消肿的夏枯草20，海藻12。这个方子可以起到理气行滞、活血祛痰、软坚消肿的功效03附件及全子宫切除。一侧或双侧卵巢囊肿的近绝经期或绝经期妇女则可以选用这个方法，不过这个方法会严重影响内分泌，可能会引起内分泌失调。04选择手术治疗应到正规的医院请专业的医生进行诊治和制定手术方案。
方法步骤：01女性如果患有子宫内膜异位的，一般会出现子宫阴道不规则出血，一旦出现这样不规则的出血，女性朋友就要提高警觉，到医院去做个B超找医生检查一下。02子宫内膜异位的女性还会感觉腹痛，但是一开始不会那么疼痛，到了中期因为子宫内膜异位引起宫血引流不畅，导致宫血淤积，就会开始更重的疼痛，有的女性疼痛敏感的一开始就会觉得很痛，所以这个时候要开始检查。03而且会出现白带异常，阴道的内分泌会不断地增多，就会出现恶臭，而且还带有脓性物质，由于子宫内膜癌物质溃疡充满子宫，使得女性子宫增大。04如果发现以上的症状，一定要马上到医院检查治疗。平时要好好保养自己。
经常生气会导致大脑的血液中增加毒素，该毒素会刺激毛囊，引起毛囊炎的发生，继而出现色斑的情况，影响女性的面容。女人生气会很容易伤子宫，和乳房，而这两个部位对于女性来说有很重要，所以女性平时心态要好。经常生气会导致机体内的内分泌出现异常，继而影响甲状腺的功能，出现甲亢。生气时面部出现红色，主要是因为血液向大脑涌去，减少心脏的血液供应，有心脏病的患者易出现心脏疾病的发生。情绪过于激动，会直接作用于心脏和血管，引起胃肠道缺血，出现胃溃疡的可能。女性情绪冲动时，呼吸会急促，甚至出现过度换气的现象，从而危害健康。
方法步骤：01首先推荐大家多喝牛奶和酸奶。牛奶里面含有丰富的钙物质和维生素D，可以在肠道内和有害物质结合，排除体外，酸奶有通便的作用，牛奶还能在中老年时预防女性骨质疏松，应该每天都喝，根据自己的具体情况选择是酸奶还是牛奶。02其次推荐给大家的是蜂蜜。蜂蜜可以促进肠道蠕动，帮助排便，还有多种维生素和矿物质，可以促进身体的代谢，提高造血功能，对受伤的组织还有修复的作用哦。03最后推荐大家多吃点菇类。香菇，金针菇，猴头菇等，好吃又可以防癌，香菇和金针菇都有抑制恶性肿瘤生长的作用，猴头菇可以提高自身的免疫。04乳腺癌重点在预防，如果女性肥胖一定要注意减肥。
在喜刷刷生活购看到的宝贝价格和在tao宝看到的价格不yi样1、VIP价格：卖家会设置部分喜刷刷生活购宝贝为VIP价格，只有是tao宝VIP用户才能看到折扣价价格；2、优惠券价格：卖家会设置使用优惠券才能享折后的价格，只有领取优惠券才能以喜刷刷生活购的价格购买到宝贝。购买是VIP或优惠券价格时成交列表显示的的都是原价。
现在很多搞半永久培训的 有的是个人工作室 还有稍微大一点的培训机构 还有培训学校 价格也是从几百到几千不等 看你想选择什么样的了 如果你讨厌唇线，如果你不喜欢用唇线，我们再教你一个防止花妆的办法：先在嘴唇上拍点蜜粉，再涂口红，然后抿开。重复以上过程一次，但是第二次就不用再抿开了。或者第yi次抿开后用吸油纸或者面巾纸轻轻盖上，将浮在表面的口红粘去，然后再涂抹一次，能有效避免口红脱妆哦。
必须如实列出施工图中存在的不确定因素，并由编制人员与发包方协商确定暂定金额。同时，应在《招标投标法》规定的时间内作为对招标文件的补充送达全部投标人。招标文件应明确投标文件中任何需要签字、盖章的具体要求。招标文件应该明确对非中标单位投标文件的处理规则，如果非中标单位的投标文件不予归还投标人，则可视作招标人将全部或者部分使用非中标单位投标文件中的技术成果或技术方案，此时应征得非中标单位的书面同意，并给予1定的经济补偿。
选择yi个好的购物平台，是畅享购物的开始。现在网络购物平台众多，鱼龙混杂，选择可依据以下：yi、身份明确购物平台身份明确，是消费者的知情quan，也是商品和服务的保证。实名制已经实施，但很多平台继续在忽悠消费者，其中道理就是不想担责。二、求真务实不要被蛊惑动心的广告所打动，“天上不掉馅饼”是真理。三、服务到位主要是售后能否做到，门槛低。有的售后条款很多，隐设门槛，致使售后遇难。
这个看类型的，市面上有2000多的、3000多的、4000多的 使得沉积在体内的杂质或废物，随着汗水排泄出来，以达到新陈代谢和养颜mei容的效果。汗蒸房的种类随着ren们对bao健的需要，汗蒸房开始走进千家万户的生活。汗蒸房主要分为两大类：私家使用的家庭汗蒸房和汗蒸馆。家庭蒸汗的产品又分为：光波浴房、频谱能量屋、电气石汗蒸房;汗蒸馆分为：韩式汗蒸、日式汗蒸以及欧式桑拿、远红外桑拿。
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矩阵乘法(一)
矩阵乘法(二)
矩阵的逆(一)
矩阵的逆(二)
矩阵的逆(三)
矩阵法求解方程组
矩阵法求向量组合
三元线性方程
求解三元方程组
直线的参数表示
线性组合和向量张成的空间
关于线性无关
线性无关的进一步介绍
[第18课]线性无关的相关例题
线性无关的相关例题
线性子空间
线性代数——子空间的基
向量的点积和模长
向量点积的性质及证明
不等式的证明
三角不等式
向量夹角的定义
R3中由点与法向量定义的平面
外积与夹角正弦值的关系
点积与外积的比较
矩阵行简化阶梯型1
矩阵行简化阶梯型2
矩阵行简化阶梯型3
讲解矩阵与向量的乘法定义
矩阵的零空间的定义与性质
矩阵的零空间的计算
零空间与线性无关间的关系
讲解矩阵的零空间的定义与性质
零空间与列空间
通过求出两个列向量的叉乘积求出平面的方程
通过反证法替换基底向量中的元素来推导出矛盾，得出所有子空间基底必相等。
求一个矩阵的零度的方法是将该矩阵化成阶梯型A，求Ax=0自由变量的个数即是零度。
通过把一个矩阵化成阶梯型，进而求出不相关主列的个数即秩
通过证明Rx=0和Ax=0中零空间的一致性，推出基底列和主列的关系。
从五个向量中选取了三个向量，证明了其符合张成C(A)空间的两个条件。
更加深入地探讨函数概念。
将函数的定义域范围从数字推广到了向量，用T代替f，、。
介绍了变换中一类特殊的变换----线性变换满足的两个条件。
本节讲述矩阵向量乘法和线性变换之间的关系。
介绍如何将一个线性变换表示成向量与矩阵乘积的形式。
通过线性变换将R2中的三角形映到R2中的另一个三角形
本节视频讲述子空间的变换 以及变换的像空间的概念。
介绍值域的子集合关于某个变换的原像的概念
线性变换中关于原像和核的定义及相关例题
介绍线性变换的加法运算规则和数乘运算规则。
详细介绍矩阵加法和标量乘法。
构造一种变换使得一个三角形翻转并在y方向上伸长。
线性变换的实例。
对R2中做旋转变换的扩展
介绍了单位向量的概念，以及构造与给定向量同向的单位向量的方法。
本集介绍了向量到直线投影的定义、几何含义及求法。
详细计算了投影到直线的情况。
介绍了两种线性变换及其复合变换。
验证复合变换的变换矩阵等于两个线性变换对应的变换矩阵的乘积。
举例来说明矩阵乘积问题，并从变换角度来看矩阵乘积问题。
利用线性变换证明两个或两个以上矩阵乘法满足结合律。
考察矩阵乘法的又一个性质。
介绍了逆函数的概念并证明了其性质。
利用函数可逆性的定义从两个方向相互证明一个函数f的可逆性和f(x)=y解的唯一性是等价的这一命题。
介绍满射函数和单射函数是如何定义的
证明一个函数是可逆的当且仅当它是一个映上的而且是一对一的函数。
通过这个变换的对应矩阵的维数可以判断变换是否是满射
通过线性变换求解Ax=b的解集。
介绍并论证矩阵在1-1映射下进行变换的条件。
某变换可逆的两个满足条件，以及条件所隐含的几何意义。
利用线性变换满足的两个条件：T(a+b)=T(a)+T(b) 和 T(ca)=cT(a)
（a和b都是同一集合中的向量）来证明逆矩阵是线性变换。
根据逆矩阵本身的定义：从值域到定义域的映射，利用增广矩阵及行变换来求出一个矩阵的逆矩阵。
通过上一课得到的方法，实际运用试求逆矩阵。
通过前两课学习的方法，用2×2矩阵的一般形式推导2×2矩阵的逆矩阵的一般形式以及2×2矩阵行列式的求法。
基于上一节课所学的2×2矩阵的行列式求法，寻求3×3矩阵行列式的求法。
本课介绍了递归的思想，通过递归定义以及前两课提及的最基本的2×2矩阵行列式的求法，推广出n×n矩阵一般形式的行列式求法。
上节课介绍了求矩阵行列式的基本方法，我们举的例子是沿着第一行算。这节课我们探索其它求矩阵行列式的方法，不仅仅是可以沿着第一行，而是能够任意挑选一行或一列，以达到简化运算的目的。
利用增广矩阵简单记忆求行列式公式。
探寻当矩阵的其中一行乘以一个系数k时行列式与原行列式的关系：即为原行列式的k倍。
对于上节课标记错误的一点修正。
当有三个矩阵X Y Z，出了某特定第i行以外全部相等，而Z的第i行为X和Y的第i行相加得到时，三个矩阵的行列式有如下规律：det(Z)=det(X)+det(Y)86.
矩阵有重复的行或列，行列式为0。
进行行变换不改变矩阵的行列式。
上三角矩阵行列式的求解。
一个4×4矩阵化简成上三角矩阵，并求解行列式。
求解由两个向量构造的平行四边形的面积。
一个区域在线性变换下映射到另一个区域，这两个区域的面积比就是变换矩阵的行列式的绝对值。
求解矩阵的转置矩阵。
方阵进行转置，行列式不变。
矩阵乘积的转置等于矩阵调换顺序之后分别做转置的乘积。
转置矩阵加法与求逆过程的运算一般性质。
向量转置的基本运算及重要性质。
通过例子讲解行空间与左零空间的定义。
由一个在R3中的例子而直观地看出左零空间和行空间。
讲解一般情形下的子空间V的正交补的定义性质及计算方法。
通过计算A与A的转置的的列空间的基向量的个数而证明出矩阵A的秩等于A的转置的秩。
通过计算子空间V的列空间的维数和左零空间的维数而证明出V的维数与V的正交补空间的维数的和等于n
找出子空间V的列空间的一组基和V的左零空间的一组基 并证明出它们合起来就是Rn的一组基
研究一个子空间与其正交补空间的正交补空间的关系并证明
给出零空间的正交补并证明
求方程Ax=b在行空间中的唯一解并证明其唯一性
用几何方法从图像上讨论方程Ax=b在行空间中的解
证明A'A可逆
介绍子空间上投影的概念并用投影的方法计算方程的解
将子空间上投影的定义应用于平面并从几何上来描述
证明子空间上的投影本质上是一个线性变换
R4中关于子空间投影矩阵的例子
求投影矩阵的一种简单方法
证明一个向量在子空间中的投影是该子空间的所有向量中距离原向量最近的向量
介绍最方程Ax=b小二乘解的定义及几何意义
利用最小二乘原理求到三条直线交点距离之和最小的点
利用最小二乘原理求过平面上四个点的直线的最佳逼近
定义一个向量在给定的一组基下的坐标
利用基的变换矩阵求一个向量在一组基下的坐标
在基向量的变换矩阵是可逆的条件下，一个向量在标准基下的坐标可以与它在其他基下的坐标相互转换
当把标准基底变成一个随意选取的基底时，线性变换矩阵也随之变换且和原来的矩阵有一定关系
本节视频是用一个具体的例子验证上节视频结论是否成立
本节视频是延续上一讲，用一个具体例子证明了所得结论是成立的，并且指出了选取恰当基底的重要性
本节视频从一个具体的变换（反射变换）出发，通过改变基底向量，使得求解变换矩阵A变得更简单。
本节引出了一类特殊的基底---标准正交基，并证明了它两个基本性质
本节介绍了标准正交基下求解坐标方法的特殊性和简洁性，并用一个具体的例子验证了这个结论。
利用正交基做向量到子空间上的投影
使用正交基计算向量到子空间上的投影矩阵
用改变基底的方式来计算镜像变换的矩阵
正交矩阵具有保角和保长度的性质
通过空间的一组非标准正交基获得一组标准正交基的常见作法
通过一个求平面上的一组标准正交基的例子掌握Gram-Schmidt过程
再次用Gram-Schmidt过程求解一组标准正交基
通过几何直观引入特征值和特征向量的概念并简介它的主要用途
证明求解特征值问题转化为求解行列式等于0下的λ这一等价命题
求解一个2×2矩阵的特征值：通过求解2×2矩阵的特征值获得求解一般方阵的特征值的方法
根据特征值，特征向量，特征空间的定义计算一个矩阵的特征向量及它的特征空间
用特征多项式求解方程确定3×3矩阵的特征值
根据特征值，特征向量，特征空间的定义计算一个3×3矩阵的特征向量及它的特征空间
通过求变换矩阵的特征向量获得一组基从而构建很好的坐标系
将三个向量a b c的外积a×b×c展开成用内积表示的形式
介绍在已知具体的平面方程的情况下如何求出该平面的法向量
推到点到平面的距离公式并进行应用
求两个相互平行的平面之间的距离
学校：可汗学院
讲师：Salman Khan
授课语言：英文
类型：数学 可汗学院
课程简介：理工类有三门基础课，一门是微积分，一门是概率与统计，另外的一门就是线性代数了。在这个课程里面，主讲者介绍了线性代数的很多内容，包括：矩阵，线性方程组，向量及其运算，向量空间，子空间，零空间，变换，秩与维数，正交化，特征值与特征向量，等等。以上这些内容是线性代数的关键内容，它们也被广泛地应用到现代科学当中。本课程的特点是每个专题都单独开设一个视频。观众无需从头到尾持续观看，可以有的放矢地选择自己感兴趣的章节来学习。
扫描左侧二维码下载客户端如何生动有趣的入门线性代数目录矩阵乘法向量点乘下面严肃点，我是来讲线性代数的。先让我们来看一段视频，但我希望你只看一遍！
如果你继续读到了这句话，那么恭喜你，你抵抗住了病毒的洗脑。同时你听到了3个向量点乘。1、I have a pen, I have an apple—-&apple pen
（eq.1） 2、I have a pen, I have a pineapple—-&pineapple pen
（eq.2） 3、apple pen, pineapple pen—-&pen pineapple apple pen
（eq.3） 以（eq.1）举例。等式右边的第二个向量表示你有什么，右边的第一个向量表示你各拿几个，而等式的左边表示你获得了什么。从中你可以看出来：向量点乘(dot product)是一种组合(combination)矩阵乘向量我们也可以把（eq.1）（eq.2）合二为一表示为（eq.4）：I have a pen, I have an apple—-&apple pen，I have a pen, I have a pineapple—-&pineapple pen
（eq.4）这时，表示你各拿几个的向量变成了两行（两组），也就成了矩阵（向量是只有一行或一列的矩阵）。
表示你各拿几个的一个向量也叫一组权重(weights)。
在 中，第一个1对应着apple，第二个0对应着pineapple，第三个1对应着pen，我们不可以随意调换位置。所以，向量是有顺序的一组数字，每个数字都是该向量的一个因素(element) 因素横着排列的向量叫做行向量(row vector)，因素竖着排列的向量叫做列向量(column vector)到这里我们需要更具体的描述一下第一个结论。向量点乘是一种组合，但向量点乘向量可以是列向量中各个因素的一个组合上式（eq.4）可分两步计算：计算第一行权重得到的组合apple pen后，放到了第一行计算第二行权重得到的组合pineapple pen后，放到了第二行行成的依然有顺序，仍然是一个向量。比较向量点乘向量，我们可以看出矩阵乘向量可以是列向量中各个因素的多个有顺序的组合向量乘矩阵然而形成组合的成分并不一定非要是向量中的各个元素，也可以是不同向量之间的组合。我们可以把（eq.1）（eq.2）（eq.3）改写成（eq.5）（eq.6）：（eq.5）（eq.6）在（eq.5）等式右侧的矩阵是由两个行向量组成的。矩阵中，第一个行向量表示怪蜀黍两次组合中分别先拿什么，第二个行向量表示两次组合中分别后拿什么。等式右侧的权重（行向量）的第一个因素对应着矩阵中第一个行向量的个数，第二个因素表示右侧第二个行向量的个数。这样保持矩阵中每个行向量内部因素的比例，完成矩阵内向量与向量之间的组合。向量乘矩阵可以是矩阵中各个行向量的多个有顺序的组合而向量中的每个因素都可以当成是因素个数为一个的向量，也再次解释了为什么，向量可以看成是矩阵。在（eq.6）中，你会发现，要形成组合的向量被拿到了乘法点(dot)的左边，而权重被拿到了右边。因为当行向量的因素作为组合成分时，乘法点右侧的矩阵（向量）装有着权重信息。效果是拿一个penpineapple和一个applepen形成组合。
从中你可以看出矩阵乘法并不满足乘法交换律，因为交换了两个矩阵的位置，就交换了权重与要形成组合的向量的位置。矩阵乘法不满足乘法交换律：commutative law: AB =! BA矩阵乘矩阵如果怪蜀黍跳了两遍舞蹈。第二遍跳舞时，他在两次组合时，后一次拿的东西都是都拿两个，那么我们就可以把等式右侧的行向量变成两个行向量，也就形成了一个矩阵。那怪蜀黍在唱第二遍时，就要唱：
I have a pen. I have two apples. 2-Apples-pen!
I have a pen. I have two pineapples. 2-Pineapples-pen!
那该蜀黍就有卖水果的嫌疑，每次都拿两个水果。
至此你看到了我用的是2*pineapple +pen方式去形成组合。也就是只有乘法来控制数量，加法来组合不同向量。这样的组合方式才是线性代数讨论的组合，即线性组合。所以我们所有概括的结论中，所有组合前面都要加上线性二字。同时乘法所乘的数属于什么数要事先规定好（经常被规定为是实数，也有虚数域）。不过这还没有结束，严谨性是数学的特点。我上文所说的“加法”“乘法”也只不过是一个名字而已。它们到底指的是什么运算，遵循什么样的规则。然后当你看线性代数教材的时候，你就会发现这8条规则。..There is a unique “zero vector” such that
for all x.For each x there is a unique vector
such that .....然而你不需要去记它们。你只需要知道，他们是用于描述和约束在线性代数中的加法，乘法的运算。特别要注意的是，这些运算都有一个原点（0），为了允许正负的出现。线性组合：一组向量乘上各自对应的一个标量后再相加所形成的组合。（满足上述对乘法、加法的规则）当我们再用(m by n)，即m行n列的方式去描述一个矩阵的形状(shape)时，你就得到了矩阵的第一种描述：矩阵的静态信息坐标值与坐标系：矩阵所包含的信息从来都是成对出现，拿向量举例来说，这个向量并没有被赋予任何数值。但你已经确定了你要在apple的数量和pen的数量的两个因素（两个维度）下描述你的数据。换句话说，你已规定好你的坐标系。所以当你写出任何具有实际数值的向量，例如
时，他们的坐标系（二维向量空间）和坐标值就同时被确定了。它实际上是和的缩写。二者无法分割。即使是，虽然我没有再pen，apple前面写具体数字。但依然包含所有因素间的比例相同的隐含信息。而调换2和1的顺序同时也表示坐标轴之间的调换。坐标值的两种看法：单单考虑坐标值时，有两种角度去理解矩阵所包含的静态信息。矩阵的静态坐标值信息：
（1）若干个维度相同的要形成组合的向量信息
（2）若干组维度相同的权重信息他们本质都是向量，然而（2）中所指的向量（或叫权重）是用于控制每个向量的数量（scale），而（1）中的所指的向量是要通过乘法与加法的线性组合形成新向量的向量。拿矩阵来说，你可以理解成该矩阵包含了两个行向量，也可以理解为包含了两组权重；同时，用列向量的方式也同样可以理解成向量和权重。矩阵的动态信息在一个矩阵内，你把矩阵内的向量理解为向量或权重都可以。但是当两个矩阵进行矩阵乘法时，一旦选择以权重信息理解其中一个矩阵，另一个矩阵的信息就会被瞬间确定为要形成组合的向量（量子力学的味道）。举例来说，它的实际数学表达应该是：
，即便是都换成了数字，其物理意义任然存在，始终并未丢失。但也可以被理解为其他的物理意义。我会在与二者之间进行切换，他们表示同一个矩阵。
当我把矩阵看成是两组行向量的权重时，后一个矩阵的两个行向量和就瞬间被赋予了要形成组合的向量的观察方式。
当我把矩阵看成是两组列向量的权重时，前一个矩阵的两个列向量和就瞬间被赋予了要形成组合的向量的观察方式。矩阵的动态信息，两个矩阵相乘A?B 时，
当把前者矩阵(A)中行向量理解成若干组权重，后者矩阵(B)中的行向量就是要形成组合的成分。同样的两个矩阵相乘当把后者矩阵(B)中列向量理解成若干组权重，前者矩阵(A)中的列向量就是要形成组合的成分。注意对应行向量与列向量。 请回想线性组合的描述（一组向量乘上各自对应的一个标量后再相加所形成的组合），这是因为向量的维度和权重的维度要一一对应。所以，矩阵A(m by n)和矩阵B(p by q)能够做乘法的条件是 n = p向量空间很多线性代数教材所引入的第一个概念就是线性空间（linear space）。可见它的地位。虽然它有些抽象，但是却是自然而然推演出来的一个概念。
空间的本质是集合。而且是一个能够容纳所有你要描述内容的集合。
在具体讨论之前先要对上句话中“你要描述的内容”进行进一步说明。
从如何理解线性代数这四个字开始。首先我们已经知道了什么是线性（那8个条件约束的加法和乘法）。那什么是代数？意思是指你可以把任何概念都代入其中。
可以怪蜀黍手中的水果和笔换成盆和大菠萝。也可以换成任何宇宙上有的物体。然而不仅仅是物体，甚至可以是一个抽象的概念。我个人最喜欢的描述是：向量空间是描述状态(state)的线性空间。再加上之前的约束，于是我们就有了向量空间是能够容纳所有线性组合的状态空间那什么样的空间（所有状态的集合）能够容纳所有的线性组合？
如果说，我现在想要描述的你的两个状态（下图中的行向位置，和纵向位置），向量的维度就是二维。那么一个大圆盘够不够容纳所有的线性组合？答案是不够。
因为线性组合是一组向量乘上各自对应的一个标量后再相加所形成的组合，而这个标量是实数域的时候，由于实数域无线延伸，那么乘以标量后的状态也会无限延伸。所以向量空间一定是各个维度都像实数轴一样可以无线延伸。最终你得到的将不会是一维下的线段，二维下的圆盘。而一定是一维下的无限延伸的直线，二维下的无限延伸的平面。
向量空间的基本特点是各个维度都可以无限延伸。
我之所以用状态二字，是因为刚才的两个维度，我可以用于描述你的速度和体温。这时，这两个维度所展开的依然是一个平面，但却又不是描述位置的平面。子空间子空间（subspace）可以被想成是向量空间内的空间，同样要满足能够容纳线性组合的条件
那么最小的子空间是什么？只有一个状态的空间（集合）。而这个状态不是其他状态，就是0。只有这样才可以在乘以完一个标量后依然不会跑出空间外部。（因为跑出去了，我们就不得不扩大空间来容纳它）。其次空集可不可以是向量空间？不可以，空集是没有任何元素的集合，既然什么状态都没有，又怎么能够容纳线性组合。最小的向量空间是只包含零向量的空间假如上图的圆盘是一个无线延伸的平面，那么这个平面的子空间就是那个平面上所有直线吗？不是，8个运算规则中明确规定了，一定要有原点，这样才可以包含正负。所以这个平面的子空间是所有过原点的直线，并且包括中心的那个原点自己所组成的最小子空间，同时也包括这个平面自身（最大的子空间）线性无关s你会发现，在怪蜀黍的例子中，当要把可以把（eq.1）（eq.2）合二为一表示为（eq.4）时，是这个样子：
（eq.4）最右侧的向量并不是4个维度。而是三个。因为pen 和pen是一个东西。我们想用的是若干个毫不相关的因素去描述状态。这里的毫不相关是在线性空间下的毫不相关，所以叫做线性无关。那么当我们要描述的状态是由向量来描述时怎么办？我们知道判断两个向量是否线性无关是，可以看他是否在空间下平行。但怎么判断几个向量之间（不一定是两个）是否线性无关？我们需要可靠的依据。这也是数学为什么要证明，它要让使用者知道某个性质在什么条件下适用，什么条件下又不适用。线性无关（linearly independent）: 当表示权重，表示向量时，
只发生在当 全都等于零时。
换句话说，这些向量不可以通过线性组合形成彼此。形成彼此的情况只能是他们都是零向量。张成明白了线性无关后，张成（spanning）就十分容易了，接下来要注意的是词的属性和关联词。
张成（spanning）是一个动词，而动词的主语是一组向量（a set of vectors）。描述的是一组向量通过线性组合所能形成子空间。是个动词，描述的内容并不是形成的这个空间，而是形成的这个行为。，就可以看成是4个向量，这4个向量，可以张成一个三维空间。（因为有两维线性相关，所以并不能张成4维）基（基底）基底也是建立在张成的基础上理解的。一个向量空间的一个基底（A basis for a vector space V）是一串有顺序的向量（a sequence of vectors），满足：
A、向量之间彼此线性无关 （不可多余）
B、这些向量可以张成向量空间V （不可过少）
换句话说，刚刚好可以张成向量空间V的一串向量是该向量空间V的一个基底基底是一个类似people的复数名词，是从属于某个空间的，而不是矩阵，也不是向量。维度一个向量空间可以有无数个基底。但每个基底所包含的向量的个数（the number of vectors in every basis）是一个空间的维度。注意，维度是空间的概念，而不是描述一个具体的向量。人们常说的n维向量实际是指n维向量空间内的向量，由于在讨论时并未给向量指定任何实际的数值，所以可以是任何值，可以张成整个空间。所以其真正描述的依旧是一个空间。并且，选择的维度是一个站在观察者角度，希望在某个向量空间下可以尽可能的描述一个物体的状态而选择的，并不一定是被描述者真实处在的空间。数学就是这么“拐外抹角”的去描述一个概念，不过确实非常有必要。但若是你觉得理解起来有困难。就简单记住：互不相关的因素的个数是一个向量空间的维度。秩秩（rank）是矩阵的概念。指的是一个矩阵的所有列向量所能张成的空间的维度。矩阵的所有列向量所张成的空间叫做列空间（column space）
矩阵的所有行向量所张成的空间叫做行空间（row space）
一个矩阵的列空间的维度是这个矩阵的秩，同时也等于该矩阵行空间的维度
秩是用于描述矩阵的包含的信息的
转置一个矩阵可以理解为调换一个矩阵的行空间与列空间。
单位矩阵可以被理解为行空间与列空间相同。线性变换线性变换（linear transformation）可以说是最最重要的概念了。你可以忘记我上面描述的所有内容，但不可以不深刻理解线性变换。下面是关于什么叫变换。由于概念很重要，我先不用逗比例子来解释。而用比较抽象的描述。 一个从n维实数域（）到m维实数域（）的变换（transformation or mapping or function）是将n维实数域（）空间下任意一个向量转换成为在m维实数域（）空间下对应向量其中n维实数域（）空间叫做变换T的domain，m维实数域（）的空间叫做该变换的codomain。向量叫做向量的image（变换T行为下的）所有image组成的集合叫做变换的range
而线性变换是是指线性规则所造成的变换，是由一个矩阵来实现的。此时你就会看到无处不在的式子： ：列向量左乘一个矩阵后得到列向量（eq.4）举例来说，
是三维空间的向量（即的domain是三维），而经过线性变换后，变成了二维空间的向量（即的codomain是二维）。矩阵可以被理解成一个函数(function)，将三维空间下的每个向量投到二维空间下。
也可以理解为x经由一个动因，使其状态发生了改变。
同时也是深层神经网络每层变换中的核心：在机器学习中你会你会需要构架一个虚拟的世界，并选择合适的、用于描述某个事物状态的各种因素。 线性代数是有关如何构架“世界”的学问。矩阵又是存储着所架构的世界的信息的媒介。举一个小小的例子，比如你想通过温度，气候，湿度，当天时间，海拔，经度，纬度等信息来描述天气状况，从而进行预测是否会下雨。你如何合理的选择这些信息？你如何知道这些信息，海拔和气候如是否相关，是否重复？如果重复，那么你又是否可以减少某个信息？判断的准则又是什么？数学讲的是我刚才所描述的内容的纯粹的结构关系。请你忘记我给你举得怪蜀黍例子，抓住“逻辑框架”。当你可以把这种关系应用在任何符合该结构关系的现实现象中时，你就算是精通了如何应用数学。线性代数的内容十分庞大，行列式，特征向量，奇异值分解等你也会经常用到。然而我的描述就到此为止，我无法涵盖所有内容。写这篇文章只是希望能够用你脑中已有的概念帮助你构建一个对线性代数模糊的认识。当你今后用到线性代数时，再不断的加深和更正此刻的理解。52756 条评论分享收藏文章被以下专栏收录人工智能的火热，越来越多的人想要入门深度学习。尽管网上有很多深度学习教程，但过于专业，使得其他领域的朋友难以理解其做法和背后原理。
该专栏目的就是以尽可能通俗易懂的方式解释各种深度学习技术的每个操作。而更为重要的是分析这些操作背后的原因。
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