应用回归分析之多元线性回归（Mathematica 版本）
应用回归分析
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<span class="tipso_style" id="tip-w-j" data-tipso=''>多元线性回归模型_百度百科
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多元线性回归模型
多元线性回归模型，（multivariable linear regression model ）在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响。
多元线性回归模型表达式
多元线性回归模型的一般形式为
Yi=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXki+μi i=1,2,…,n
其中 k为解释变量的数目，βj（j=1,2,…,k)称为（regression coefficient)。上式也被称为的随机表达式。它的非随机表达式为
E(Y∣X1i,X2i,…Xki,)=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXki
βj也被称为（partial regression coefficient)
多元线性回归模型计算模型
一元线性回归是一个主要影响因素作为来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与之间是时，所进行的回归分析就是多元性回归。 　设y为因变量X1,X2…Xk为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为：
Y=b0+b1x1+…+bkxk+e
其中，b0为，b1,b2…bk为，b1为X1,X2…Xk固定时，x1每增加一个单位对y的效应，即x1对y的；同理b2为X1,X2…Xk固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等。如果两个x1,x2同一个y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为：
y=b0 +b1x1 +b2x2 +e
建立多元线性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是：
(1)自变量对必须有显著的影响，并呈密切的；
(2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的；
(3)之间应具有一定的互斥性，即自变量之间的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度；
(4)自变量应具有完整的，其预测值容易确定。
多元性回归模型的，同一元一样，也是在要求（Σe)为最小的前提下，用求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准为
解此方程可求得b0,b1,b2的数值。亦可用下列法求得
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多元线性回归分析总结
一、什么是回归分析
&变量与变量之间的关系可以分为两类：一类是确定性关系，可以用确定的函数表示，也成为函数关系；一类是不确定性关系，不能用确定的函数表示，分析不确定性关系的过程称为回归分析。
二、什么是线性关系&#8203;
线性关系并不仅仅是变量与变量的关系呈现直线型，只有在一个自变量的时候是呈现直线关系，当两个或者两个以上的自变量存在的时候，因变量与自变量的关系就不是呈现直线型了，线性关系的解释参照以下的维基百科的解释，在此并不需要给出明确的定义。
&#65279;来自维基百科的线性关系解释
三、多元线性回归分析
& & 多元线性回归如下图所示。
&#65279;多元线性回归分析定义
& &多元线性回归分析有以下几个前提假设：
&#65279;多元线性回归分析前提假设
四、多元线性回归显著性检验
&#8203; & &
&1、线性关系检验
&&#8203;&#8203;&#8203;1）检验因变量与所有自变量之间的关系是否显著，也被称为总体显著性检验。
&2）检验方法是将回归平方和(SSR)同残差平方和(SSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著。如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系，如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系。
&#65279;整体回归方程显著性检验方法
& & 2、回归系数显著性检验
&在回归方程通过线性关系检验后，就可以对各个回归系数有选择地进行一次或多次检验。但究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在建立模型之前作出决定。对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多的第一类错误(弃真错误)。
&#65279;回归系数显著性检验方法
五、其他几个概念
& 1、多重判定系数和调整后的多重判定系数
&#65279;多重判定系数
&#65279;调整后的多重判定系数
&调整的多重判定系数&&&
的解释与R2类似，不同的是：
&1）&#8203;同时考虑了样本量和模型中的自变量的个数的影响，这就使得&&&
的值永远小于R2，而且&&&
的值不会由于模型中自变量个数的增加而越来越接近1。因此，在多元回归分析中，通常用调整的多重判定系数。
2）&#8203;&#8203;R2的平方根称为多重相关系数，也称为复相关系数，它度量了因变量同k个自变量的相关程度。
&2、标准估计误差
& & &#8203;
&回归模型与实际观测值存在随机误差项ε，多元回归分析中的估计标准误差也是对误差项ε的标准差s的一个估计值，它是衡量多元回归方程的拟合优度方面也起着重要作用。
& &&#8203;
&&&#8203;&#8203;
&#8203;&#8203;&#8203;&#8203;
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