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GB/T1 GB/T 1 天然饰面石材试验方法 第4部分：耐磨性试验方法
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GB/T1 GB/T 1 天然饰面石材试验方法 第4部分：耐磨性试验方法
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GB/T 1 天然饰面石材试验方法 第4部分：耐磨性试验方法 国家标准(GB) GB/T1 本标准规定了天然饰面石材耐磨性试验所用设备及量具、试样、试验步骤、结果计算和试验报告。本标准适用于天然石材的耐磨性试验。
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标准编号：
GB/T 1 正在载入地址
标准名称：
天然饰面石材试验方法 第4部分：耐磨性试验方法
英文名称：
Test methods for natural facing stones-Part 4:Test method for abrasion resistance（仅供参考）
替代情况：
GB/T 8（仅供参考）
采标情况：
（仅供参考）
发布部门：
中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局（仅供参考）
页　　数：
5页（仅供参考）
首发日期：
（仅供参考）
复审日期：
（仅供参考）
提出单位：
国家建筑材料工业局（仅供参考）
归口单位：
中国建筑材料工业协会（仅供参考）
主管部门：
中国建筑材料工业协会（仅供参考）
起草单位：
国家建材局人工晶体研究所（仅供参考）
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excel带￥的数字的运算公式
每个数字前都有￥，用公式运算不出来，数值格式选的货币，这一项没问题。然后我该如何使用公式运算出每个单元格的数值和并在其前面加上￥？
这样的，差额为预计支出-调配拨款
我有更好的答案
在修改下表，像这样的数据吗，或者其它样式的，可以取字符实现结果 ，LEFT\MID\RIGHT& 实现，我上表，你看看，不懂在追问，我不假如了啊，你看公式，或者下载表格附件&
￥号是写入的还是设置单元格格式为货币格式后得到的单元格的内容是什么样的 最好同时上一下表格图来看一下(要带上行号列标)
最简单的方法就是通过查找ctrl+f输入￥替换啥都不填--选择全部替换即可,选择数据区域--通过右键单元格设置--选择货币--在框带货币确定即可,你在输入数据就会自动带符号的数字了,也不影响公式运算,刚才光想做用公式来处理了,这是把简单事情复杂化了,笨蛋啊.建议楼主采纳.
这是作业啊，只能用老师给的这个模板，不能删除的
就是老师布置作业也不可能那操作的,只要你符合excel的操作规程就行了,你发过来我看看,联系方式查看我的资料
用你的办法弄完了，不懂老师准不准这样。然后我下一步要生成饼图，如何把饼图的每个扇区数据改为实际支出等等一列的和呢？不能添加单元格。
可以选中你要计算的单元格，格式-单元格-会计专用-确定然后就可以输入计算公式计算了。
可以设置你用公式运算出来的单元格或区域的 单元格格式 为 货币 类型并选择 货币为 人民币，这样，你用公式运算出来的数值就或在前面加上这个货币符号的了。
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速算巧算之四则运算
全是比赛题！各种方法的速算技巧和巧算技巧你都搞定了吗？知识你都会了吗？
1、&&&&&&&&
请完成下面的计算题
1、234+432-4&8+330&5=
2、248-48&2-8&3=
3、120+80&3&4=
4、36&19+64&19=
5、31&5+32&5+33&5+34&5=
2、&&&&&&&&
请完成下面的计算题
1、07&06-=
2、88&22+55&73-44&44-33&55=
3、33&34+34&35+35&36+36&37=
4、113&5-37&15=
5、80&95&22=
6、36&19+64&144=
3、&&&&&&&&
请完成下面的计算题
2、33&0&330033=
8、25&32&14+36&21&25=
9、765&213&27+765&327&27=
11、07&2009=
13、07+08+4015&（）=
4、&&&&&&&&
请完成下面的计算题
1、54321&9=
2、53&57-47&43=
3、53&46+71&54+82&54=
4、9&17+91&17-5&17+45&17=
5、{ [（77&78-6）-5679 ] &107+30 } &37=
5、&&&&&&&&
请完成下面的计算题
1、99&97-96&94=
4、04&02-+..........+3&2-2&1=
6、+690&105606=
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速算与巧算(四年级)
速算与巧算(四年级)
例1: 375+286+125+714
例2: +498+48
例3: 71+69+68+73+74+70+68
例5: 986-253-347-186
例6: 728-(28+320)
例8: 25×32×63×125
例9: 65×499
例10:13×12-26×4+13×7
例11:43+6534
例12:720×17÷18
1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)例14:379÷17-187÷17-124÷17
例16:17÷83
例17: 9÷13+13÷9+11÷13+14÷9+6÷13
例18:1+4+7+10+……+2008
例19:20+19-18-17+16+15-14-13+……+4+3-2-1
用简便方法计算下列各题
1. 432+63++6544
2. 19+298++599995
3. 54+52+47+46+55+49
4. 473+468+467+466+464+469+474+465+471+473
6. -283-278-276
7. 36+625+64+6
9. 78+75+76+64+76+70+68+62
10. (387+382+377+375+384)÷5
用简便方法计算下列各题
1.516-54-57-45-58-46-43
2. 25×9×64×125
3. 8÷7+16÷7+18÷7
4. 5÷7+5÷9+9÷7+13÷9
5. 456×345+654×456+456
6. (89+85+)÷8
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例 5: 986-253-347-...四 年 级 奥 数 集第一讲 入学试题评析 1. 计算：1-2+3-4+5-6+??+13＝ 1-2+3-4+5-6+7-.....-12+-（2012÷2） = =1007 因为（1-2）＝-1 ，每两个数字一组等于-1， 一共有 06 个-1 只有 2013 是正数，所以原式＝2013-（2012÷2） (1+3+5+....+2013)-(2+4+6+.....+2012) =（1-2）+（3-4）+（5-6）+……+（）+2013 =-1-1-1-……-1+2013 =- =1007 2.下图图（1）中有（ 数长方形的个数： ① ② ③ ）个长方形；图（2）中有（ ）个含有▲的长方形。① ② ③ 长的线段数：3+2+1＝6 宽的线段数：3+2+1＝6 长方形的个数＝长的线段数×宽的线段数＝6×6＝36（个）▲含▲的单列只有 1 列 含▲的连续两列有 2 种(1,2)(2,3) 含▲的连续三列有 1 种(1,2,3) 所以共有 1+2+1=4 种 所以含星号的长方形共 4*4=16 种含星号的单列只有 1 列 含星号的连续两列有 2 种(2,3)(3,4) 含星号的连续三列有 3 种(1,2,3)(2,3,4)(3,4,5) 含星号的连续四列有 3 种(1,2,3,4)(2,3,4,5)(3,4,5,6) 含星号的连续五列有 2 种(1,2,3,4,5)(2,3,4,5,6) 含星号的连续六列有 1 种 所以共有 1+2+3+3+2+1=12 种 同样的，行也有 12 种 所以含星号的长方形共 12*12=144 种由于每相邻连续几列和相邻的连续几行交叉构成一个长方形 所以先数总长方形的数量 如果是单列的话，有 6 列 要找连续两列的话，有五种(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)要找连续三列的话，有 4 种 以此类推，最后，要找连续六列的话，有一种 所以共 1+2+3+4+5+6=21 种 同样，找连续的行的话也有 21 种 所以图中共有 21*21=441 个长方形 然后两者相减 441-144=297 个不含星号的长方形 3.今天是 6 月 19 日星期三，聪明的你，请算一算今年 10 月 1 日国庆节是 星期（ 二 ）周期问题：①一个星期有 7 天 ② 从 6 月 19 日到 10 月 1 日有多少天？ ③ 用天数÷周期（7 天） ④ 余数+题目的星期数 6 月小 30-19＝11 7 月大 31 结果大于 7，请进行二次计算。 9 月小 30 10 月 18 月大 3111+31+31+30+1＝104（天） 104÷7＝14（星期）?6（天） 6+3＝9 结果大于 7 需二次计算 ，9÷7＝1（星期）?2（天） 4. － 2 （）（）（）（） （）（）（） 0 1 3在左边四位数减三位数的减法竖式中， 被减数有（900）种不同的数值 。由减数决定，减数最多可以填 999，最少也要填 100 其中 99 不是三位数，所以被减数只可以填 999-99＝900 种。5.某人乘火车从甲地到乙地，行了全程的一半开始睡觉，当他醒来时发现 火车又行了睡觉时剩下路程的一半，这时离乙地还有 400 千米. 甲、乙两 地相距（1600 ）千米。 还原问题：400×4＝1600（千米）6.一个菠萝和一个梨的重量等于 7 个桃子的重量，3 个梨的重量等于 6 个桃 子的重量。如果一个梨重 240 克，那么一个菠萝重（600）克。 等量代换：1 菠萝+1 梨＝7 桃子 3 梨＝6 桃子→1 梨＝2 桃子（两边同时除以 3） 1 梨＝240 克→2 桃子＝240 克→桃子＝120（克） （两边同时除以 2） 1 菠萝+1 梨＝7 桃子→1 菠萝+2 桃子＝7 桃子 →1 菠萝＝7 桃子-2 桃子＝5 桃子 代入已知数据：1 菠萝＝5×120＝600（克）7. 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘， 到现在为止，甲已经赛了 4 盘，乙赛了 3 盘，丙赛了 2 盘，丁赛 1 盘，小 强已经赛了（2）盘。 逻辑推理： 首先，甲赛了 4 盘，说明比赛有甲乙，甲丙，甲丁，甲强，小强与甲盘 数为 1 ，丁只有 1 盘，说明就是丁甲这 1 盘，则小强未与丁赛，盘数为 0 现在看丙，丙已经有丙甲这 1 盘，且不与丁赛，现在有 2 个选择：与乙赛， 与小强赛 （1）若与乙赛，则有丙乙，丙甲 2 盘，丙与小强赛 0 盘。 乙有乙甲，乙丙 2 盘，且不与丁赛，只有一个选择，与小强赛 1 盘 则小强共赛 1+0+0+1=2 盘 （2）若与小强赛，则有丙强，丙甲 2 盘，丙与小强赛 1 盘。 但是乙最多只有乙甲，乙强 2 盘，不符合 3 盘的条件，不成立。 甲赛了 4 场，分别和乙，丙，丁与小强 乙赛了 3 场，分别和甲，丙，小强 丙赛了 2 场，分别和甲，乙， 丁赛了场，和甲 小强出现 2 次，就赛了 2 场8.自然数按下表的规律排列：第 10 行第 13 列的数是（154） 横向找规律： 竖向找规律： ①1②3③5④7⑤9⑥⑦⑧15⑨⑩17 1911 ○ 12 ○ 13 ○ 21 231 4 511 132612 ↓ ←35 ↓ 6 ↓ ← 710174 9 16 25↓ 11 ↓ ←8 12 ↓ ← 15 ← 14 ← 13↓ 18 ↓ 19 ↓ 20 ↓ ← 24 ← 23 ← 22 ← 21第 13 列第一行是 145，第 10 行是 145+10-1＝154。 方法二： 找规律：①第一列数都是平方数。第一行＝1 第二行＝2 第 n 行＝n ②第五行横着有五个连续递减的数字。 第 n 行就有 n 个横着连续递减的数字。 第十三行第十三列：13 -13+1＝157 第十行第十三列： 157-3＝1542 2 2 29.李华前两次数学测试的平均分是 88 分，第三次测试至少要考（94）分以 上才能保证前三次的平均分达到 90 分以上。 平均数问题：条件：①前三次的平均分达到 90 分以上 ②前两次数学测试的平均分是 88 分 由于前两次平均欠（90-88＝2 分才达到 90 分） 共欠 2×2＝4（分） 第三次本来要求考 90 分，但要补上前两次欠的 4 分 所以第三次测试至少要考 90+4＝94（分）10.学校图书室有故事书和文艺书共 680 本，其中故事书的本数是文艺书的 4 倍，文艺书比故事书少（408）本。 和倍问题： 和：680 总倍数：4+1＝5（倍） 1 倍：680÷（4+1）＝136（本） 文艺书比故事书少 4-1＝3（倍） 136×（4-1）＝408（本）11.定义新运算“△”，规定 A△B＝A+7×B。如果 14△X＝35，那么 X 应等 于（3）。 定义新运算＝等量代换 A△B＝A+7×B ↓ ↓14△X＝35 A△B＝14△X＝35→A＝14，B＝ A△B＝A+7×B＝14+7×X＝35 14+7×X＝35→7×X＝35-14→7×X＝21→X＝21÷7＝312.今年，小芳和爸爸两人的年龄和是 43 岁，妈妈今年 32 岁，（）年后， 他们一家三口的平均年龄是 37 岁。 年龄问题→平均数问题 N 年后一家三口的总年龄是 37×3＝111（岁） 今年一家三口的总年龄是 43+32＝75（岁） 差：111-75＝36（岁） 因每人同时增长，所以是 36÷3＝12（年）后13. 甲、乙两数的和是 52，甲数除以乙数商 4 余 7，甲数是（43），乙数 是（9）。 和倍问题 和：52 倍数：4 倍多 7 处理多出的 7 后 和：52-7＝45 倍数：4 倍 1 倍（乙） （52-7）÷（4+1）＝9大数（甲）方法一：52-9＝43 方法二：9×4+7＝4314.有一根 90 厘米长的绳子，从一端开始每隔 5 厘米作一记号，每隔 6 厘 米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了（30）段。 公倍数问题 ①每隔 5 厘米：90÷5=18（段）， ②每隔 6 厘米：90÷6=15（段）， ③但是可能 2 个划线划在一起，也就是要算出他们的公倍数， 重复的：90÷5÷6=3（段）， ④所以应该为 18+15-3=30（段）15.用 1 根 60 厘米长的铁丝围成一个长方形（长和宽都为整厘米数，且长 大于宽），有（ 14 ）种不同的围法，其中围成的长方形中面积最小是（ 29） 平方厘米，最大是（224）平方厘米。 图形的计算与数的分解问题 ①长方形的长与宽的和是：60÷2=30 厘米， ②把 30 分解成 1+29，2+28, 3+27, 4+26, 5+25, 6+24, 7+23, 8+22, 9+21, 10+20 11+19,12+18,13+17,14+16,15+15（长方形长&宽）,16+14(与前面重复) 因此有 14 种不同的围法 ③周长一定，长和宽越接近时面积越大， 因此最大面积是 14×16=224 平方厘米 ④最小面积是 1×29=29 平方厘米16.2 件上衣和 3 条裤子共 480 元，4 件上衣和 2 条裤子共 640 元。一件上 衣（）元，一条裤子（）元。 等量代换问题： ① 2 件上衣+3 条裤子＝480 元 ② 4 件上衣+2 条裤子＝640 元（两边同时除以 2 得） （4 件上衣+2 条裤子）÷2＝640÷2 元 2 件上衣+1 条裤子＝320 元③ ①-②得 2 件上衣+3 条裤子＝480 元 │ │ │2 件上衣+1 条裤子＝320 元 ‖ 0 ‖ ‖+2 条裤子＝160 元 1 条裤子＝160÷2 ＝80 元④2 件上衣+1 条裤子＝320 元 把 1 条裤子＝80 元代入④，得 2 件上衣+80＝320 2 件上衣＝320－80 2 件上衣＝240 → 1 件上衣＝240÷2 ＝120（元）17.把 1、2、3、4 填入下面四个方框： （）（）×（）（） 最大与最小的问题 （1）要使乘积最大，应该是（4）（1）×（3）（2）； 41-32＝9 42-31＝11 41×32＝＝1302两个数的差越小，它们的积越大。 （2）要使乘积最小，应该是（1）（3）×（2）（4）。 24-13＝11 23-14＝9 24×13＝312 23×14＝322两个数的差越大，它们的积越小。 规律一：两个数的和一定时，这两个数越接近它们的乘积越大；两个数相 差越大它们的乘积越小；当两个数相等时，它们的乘积最大。 规律二：两个数的积一定时，这两个数越接近，它们的和越小；当两个数 相差越大，它们的和越大；当两个数相等时，它们的和最大。 规律三：若把一个数拆成若干数的和，如果要使这些数的乘积最大，那么 拆出的数中 3 的个数尽量多，2 的个数不多于两个。 18. 甲、乙、丙三位工人共生产零件 161 个，已知甲生产的零件数比乙的 3 倍少 3 个，丙生产的零件数比乙多 4 个，甲生产零件（）个，乙生产零件 （），丙生产的零件（）个。 和倍问题 和：161调整后的和：161+3-4＝160 调整后的和对应的总倍数：甲＝3 倍 乙＝1 倍 丙＝1 倍 总倍数：3+1+1＝5 倍 乙生产零件：（161+3-4）÷（3+1+1）=32(个） 甲生产零件：32×3-3＝93（个） 丙生产的零件：32+4＝36（个） 乙 甲 丙 │ │ │ │ │ │ │ │19.四位数 2013 的数字和是 2+0+1+3＝6，那么 （1）数字和是 6，且只含有 1 个 0 的四位数有（28）个；9+9+10＝18 当个位是 0 时有 9 种：,, ,
4110 当十位是 0 时有 9 种:02,, ,
当百位是 0 时有 10 种 :23,,
, 4011, （2）数字和是 6，且不含 0 的四位数有（10）个。 1113， , 12, ,,20.现有如下一系列图形： D C D C D CA n=1BA n=2BA n=3B当 n=1 时，长方形 ABCD 分为 2 个直角三角形，这些三角形共有 5 条边（重 复的只算一条，下同）。 当 n=2 时，长方形 ABCD 分为 8 个直角三角形，这些三角形共有 16 条边。 当 n=3 时，长方形 ABCD 分为 18 个直角三角形，这些三角形共有 33 条边.按如上规律请你回答：当 n=6 时，长方形 ABCD 分为（72）个直角三角形， 这些三角形共有（120）条边。解：n=1 时，直角三角形有 2× 12 个，边数=2× 1× （1+1）+12=5； n=2 时，直角三角形有 2× 22 个，边数=2× 2× （2+1）22=16； n=3 时，直角三角形有 2× 32 个，边数=2× 3× （3+1）+32=33。 对一般的 n，共分为 2× n2 个直角三角形， 边数=2n（n+1）+n2。所以 n=100 时，共分为 2× （个）直角三角形，共有 2× 100× （100+1）+（条）边。当 n=6 时，长方形 ABCD 分为（2×62＝72）个直角三角形， 这些三角形共有（2× 6× （6+1）+62=120）条边。第2讲有余数除法（Ｐ31）在有余数除法中，被除数、除数、商和余数有如下关系： 被除数 = 除数 × 商 + 余数，（ 余数 & 除数 ） 例如，27 ÷ 6 = 4 余 3，则 27 = 6 × 4 + 3 利用以上关系式，若知道被除数、除数、商及余数四个数中三个数，便很容易确定第四个数。例 如，47÷6=（ ）余 5，要在（ ）中填上一个数，易知，应填上 7。但若只知道其中两个数，要填 47 - 5 ) ÷ 6= 7 余数）÷除数=商上另外两个数，就要想一些办法了。(（被除数例1在下列每个算式中的两个括号内，填上所有可能的数。 ）余 2 17-2＝15 1×15＝15 3×5＝15（1）17÷（ 1 ）=（15 3 5 15 5 3 1（2）（ 35 ）÷4=8 余（ 3 ） 34 33 32 2 1 0因为余数 & 除数 所以余数可以＝3、2、1、0 又因被除数 = 除数 × 商 + 余数 所以相应的被除数可以＝4×8+3＝35 ＝4×8+2＝34（3）（ ）÷（ 29 26 23 8 7 6）=3 余 5，（除数小于 9）5〈除数〈9 可以＝8、7、6、5 8×3+5＝29 7×3+5＝26例2有一个数，除以 7 余 2，除以 8 余 4，除以 9 余 3，这个数至少是多少？ （ ）÷7=（ （ ）÷8=（ （ ）÷9=（ ）余 2 ）余 4 ）余 3解答： 方法一：一般应考虑除数最大的那个条件，即先求满足除以 9 余 3 的数。 ①除以 9 余 3 的数有：12、21、30? ②从 12 开始试 12÷8＝1 余 4，刚好与题目相符。 ③从 12 开始试 12÷7＝1 余 5，不符合题意。 ④12+8×9、12+8×9×2 同样可以满足除以 8 余 4，除以 9 余 3 这两个要求。 通过 12+（8 和 9 的最小公倍数或把它们扩大 n 倍，总有一个数可以满足除以 7 余 2） ⑤从 12+8×9 开始试 12+8×9×2＝156，156÷7=22 余 2，刚好与题目相符。 所以这个数是 156. 方法二：（剩余定理，最小公倍数）的问题 关键是求三个数字 能够同时被 7 和 8 整除，但除以 9 余 3， 7×8=56(7 和 8 的最小公倍数) 但 56÷9=6 余 2 56×2÷9=（ ）余 4 56×3÷9=（ ）余 6 56×4÷9=（ ）余 8 56×5÷9=（ ）余 1 56×6÷9=（ ）余 3所以 56×6＝336 能够同时被 8 和 9 整除，但除以 7 余 2， 8×9=72(8 和 9 的最小公倍数) 因 72÷7=10 余 2 所以 72×1＝72 能够同时被 7 和 9 整除，但除以 8 余 4， 7×9=63(7 和 9 的最小公倍数) 但 63÷8=7 余 7 63×2÷8=（ ）余 6 63×3÷8=（ ）余 5 所以 64×4＝252 63×4÷8=（ ）余 4这三个数的最小公倍数为 7×8×9＝504 所以满足条件的最小的数字为 336+72+252-504=156 一个数被 3 除余 1，被 4 除余 2，被 5 除余 4，这个数最小是几？ 解答：关键是求三个数字 能够同时被 3 和 4 整除，但除以 5 余 4，即 12*2=24 能够同时被 4 和 5 整除，但除以 3 余 1，即 20*2=40 能够同时被 5 和 3 整除，但除以 4 余 2，即 15*2=30 这三个数的最小公倍数为 60 所以满足条件的最小的数字为 24+40+30-60=34 为什么最小公倍数是 60？最小公倍数不是得整除吗？可是 60 除以 40 也不是整数啊？ 另一道题：一个数除以 5 余 4，除以 8 余 3，除以 11 余 2，求满足条件的最小自然数？ 解答：关键是求三个数字 能够同时被 5 和 8 整除，但除以 11 余 2，即 40*5=200 能够同时被 8 和 11 整除，但除以 5 余 4，即 88*3=264 能够同时被 11 和 5 整除，但除以 8 余 3，即 55*5=275 这三个数的最小公倍数为 440 所以满足条件的最小的数字为 200+264+275-440=229 求三个数的最小公倍数：方法 1：把他们的倍数罗列出来找 因为：6 的倍数：6、12、18、24、30`````` 10 的倍数有：10 、20、30、40`````` 15 的倍数有：15、30、45、60、75`````` 所以：6、10、15 的最小公倍数是 30 方法 2：分解质因数 6=2*3 10=2*5 15=3*5他们的最小公倍数：2*3*5=30 方法 3：短除法例3582 除以一个数所得的不完全商是 11，并且除数与余数的差是 6，除数、余数各是多少？ 不完全商＝有余数根据题意得出： ① 582÷（ ）=11 余（ ）② 除数-余数＝6（因余数〈除数） 因为（被除数+除数与余数的差）÷除数＝商+1 （被除数+除数与余数的差）÷（商+1）＝除数例：38÷5＝7 余 3 5-3＝2 （38+2）÷5＝（7+1） 所以（582+6）÷（11+1）＝49 除数＝49 ，余数：49-6＝43例463285 与 70352 的积被 7 除，余数是多少？ 两个数分别被 7 除的余数相乘再除以 7 ①640 )余 5 ②7050)余 2③5×2÷7=(1) 余 3 答：余数是 3. 例5 阳历 1992 年 1 月 1 日是星期三，阳历 2004 年 1 月 1 日是星期几？① 从 1992 年 1 月 1 日到 2004 年 1 月 1 日经过 12 年（＝12）。 ②这个期间内 、2000 是闰年，其余是平年。 ③于是可以计算这 12 年的总天数，365*12+3=4383 ④由于每个星期都是 7 天一个循环，这样就转化为求 4383 被 7 除所得的余数。 （365*12+3）/7=626??1 ⑤因为 1998 年 1 月 1 日为星期三，那么余数是几 2004 年 1 月 1 日是星期三+1 故 2004 年 1 月 1 日是星期四。例6甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏，从 1 起按下面顺序进行：甲报 1、乙报 2、丙报3、丁报 4、丙报 5、乙报 6、甲报 7、乙报 8、丙报 9??这样，报 2003 这个数 的是谁？ ①按甲、乙、丙、丁、丙、乙的顺序，六个人一个周期 ②3 余 5 ③余 5，甲、乙、丙、丁、丙 答：报 2003 这个数的是丙。 例7 电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈。现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了 1991 步，落在一个圆圈里。一只黑跳蚤也从标有数 字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了 1949 步，落在另一个圆圈里。 问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？分析：本题的关键是要找出 12 个数一循环，确定顺时针方向，然后再求 1991被 12 整除后余数是多少来决定是哪个数；确定逆时针方向，然后再求 1949 被 12 整除后余数是多少来决定是哪个数． ①按顺时针方向跳，若余数为 0，圆圈所标的数字是 0； 若余数为 1，圆圈所标的数字是 1； 若余数为 2，圆圈所标的数字是 2； 若余数为 3，圆圈所标的数字是 3； …； 若余数为 11，圆圈所标的数字是 11． ②按逆时针方向跳，若余数为 0，圆圈所标的数字是 0； 若余数为 1，圆圈所标的数字是 11； 若余数为 2，圆圈所标的数字是 10； 若余数为 3，圆圈所标的数字是 9； …； 若余数为 11，圆圈所标的数字是 1． 依此求出两个圆圈中两数相乘即可．解答：解：根据题意可知是 0，1，2，3，4，…，11 即 12 个数是一个循环．①因为 1991 除 12 余数为 11，按顺时针方向跳． 故该圆圈所标的数字是 11． ②因为 1949 除 12 余数为 5，按逆时针方向跳． 故该圆圈所标的数字是 7． 7×11=77． 故答案为：77．点评：本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律：12 个数一 循环，直接利用规律求解．例8节日的街上挂起了长长的一排彩灯，共有 2013 盏，从第 1 盏开始，按照 5 盏红灯，4 盏黄灯，3 盏蓝灯，2 盏绿灯不断地排下去。问： （1）第 1982 盏灯是什么颜色？ 1982 ÷(5+4+3+2) = 141.......8 余数 8 ：5 盏红灯，4 盏黄灯，所以是黄颜色 答：第 1982 盏灯是黄颜色的。（2）蓝灯共有多少盏？： 2013÷14 = 143.......11 余数 11 ：5 盏红灯，4 盏黄灯，2 盏蓝灯 143×3+2=431（盏） 答：蓝灯共有 431 盏 例 9 两个数相除商 5 余 3。如果被除数、除数都扩大到原来的 2 倍，则被除数、除数、商、余 数之和为 101。求原来的被除数和除数。 注：被除数、除数扩大相同的倍数后，商不变，余数也扩大相同的倍数。 如： 扩大 2 倍后： 扩大 3 倍后： 12÷8=1 余 4 24÷16=1 余 8 36÷24=1 余 12条件： ①两数相除商 5 余 3， ②被除数、除数都扩大到原来的 2 倍，则：被除数+除数+商+余数＝101 ③除数、被除数同时扩大两倍，商不变，但余数也扩大 2 倍 例：10÷2＝5 20÷4＝5 ④ 30÷6＝5因被除数×2+除数×2+商+余数×2＝101 原被除数+原除数＝（101－商－余数×2）÷2 ＝（101-5-3×2）÷2 ＝45⑤原除数＝（被除数+除数-余数）÷（商+1） ＝（45－3）÷（5+1） ＝7⑥原被除数＝7×5+3＝38例 10有一类自然数，其中每个数与 3 的和都是 5 的倍数，与 4 的差都是 7 的倍数。这类自然数中最小的是多少？ ①每个数与 3 的和都是 5 的倍数→○ Ａ 比 5 的倍数多 2 Ｂ 比 5 的倍数少 3 ○（）÷5＝（）??2②与 4 的差都是 7 的倍数→○ Ａ 比 7 的倍数多 4 Ｂ 比 7 的倍数少 3 ○（）÷7＝（）??4③也就是说这个自然数比 5 和 7 的公倍数少 3 5 和 7 的最小公倍是 5×7＝35 所以这个数是 5×7-3＝35-3＝32.方程式解法： 根据题知，这类数除 5 则余 2，除 7 则余 4。 该数可表示为 5x+2，7y+4。(x,y 为自然数) 由 5x+2=7y+4 得： 5x=7y+2 X=（7y+2)÷5 =y+(2y+2) ÷5 要使 X 为自然数，则 自然数(2y+2) ÷5＝没有余数的整数，（2y+2）=10, y 最小=4 此时，x= y+(2y+2) ÷5 =4+(2×4+2) ÷5 =6 所以该数最小为5x+2＝5×6+2=32或 7y+4＝7×4+4＝32例：有一类自然数，其中每一个数与 2 的和都是 5 的倍数，与 5 的差都是 6 的倍数，问：这 类自然数中最小的是几？ 根据题知，这类数除 5 则余 3，除 6 则余 5。 该数可表示为 5x+3，6y+5。(x,y 为自然数) 由 5x+3=6y+5 得： 5x=6y+2 X=（6y+2)/5 =y+(y+2)/5 要使 X 为自然数，则 自然数 y 最小=3 此时，x=4。 所以该数最小为 23练习 1、在下列每个算式中的两个括号内，填上所有可能的数。 （1）62÷（ ）=5 余（ ）（2）（）÷3=6 余（）（3）38÷（ ）=（）余 3（4）（）÷（ ）=5 余 2，被除数小于 35。2、把自然数中的单数 1、3、5、7、9，??，如右表所示依此排成列，把最左边的一列叫做第 1 列， 从左到右依此叫做第 2 列，??，第 5 列。问数“2003”出现在第几列？3、如图是一钟面共分成 12 格，设时针刚好对正 12，若将时针按顺时针方向向前拨动 365 格，再按 逆时针方向向前拨动 263 格，再按顺时针方向向前拨动 462 格，再按逆时针方向向前拨动 392 格， 这时时针应指向多少点？4、下面写了一组自然数：1，10，11，20，21，30，31，40，41，??如果按照这个规律写下去， 那么第 2003 个位置的数被 13 除余几5、50 以内被 5 除余 2，被 6 除余 5 的数是什么？6．甲数除以 9,商 12 余 7；乙数除以 9,商 28 余 8；丙数除以 9,商 3 余 6。甲数、乙数、丙数之和除 以 9,余数是多少?7．阳历 1999 年 1 月 1 日是星期五,阳历 2002 年 6 月 1 日是星期几?8．有红、黄、蓝珠共 298 个,按着先摆红珠 4 个,再摆黄珠 5 个,后摆蓝珠 6 个,这样依次顺序排列。 问:(1)第 201 珠是什么颜色? (2)蓝珠共有多少个?1．有 a、b、c、d 四条射线(如右图),从射线 a 开始 按箭头方向从 1 开始依次在上 a、b、c、d 上写上整 数 1，2，3，4，5?? (1) 整数 303 在 a、b、c、d 中哪条射线上? (2) 直线 a 上第 99 个整数是什么?2. 某班学生列队时,排成三路纵队多 1 人,排成四路纵队多 2 人,排成五路纵队多 3 人。那么这班学 生至少有多少人?3、有一个数，除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 7 余 3，求适合条件的最小数是多少？4、用一个两位数除 709，余数为 44，这个两位数是多少？5、求（+1985）÷11 的余数。第3 讲找规律学习数学，不仅要掌握好公式，法则，灵活运用，而且要学会通过比较、分析、综合，发现规 律和利用规律。本讲分别从数量变化中发现规律、从数的排列中寻找规律等方面来谈谈如何发现规 律和运用规律。 例1．观察下面每一串数有什么规律，根据规律填空。 (1) 1、2、3、 （2）1、3、5、 4 7 、 、 5 9 ??第100个数 ( 100 ) ??第100个数 ( 199 ) 自然数 奇数n = 2(n-1)+1，n = 100时 是199 或 等差数列，每一项等于该项的项数乘以2再减一。 即：第1项：1 × 2 - 1 = 1 第2项：2 × 2 - 1 = 3 ?? 第100项：100 × 2 - 1 =199。 （3）2、4、6、 8 、 10 ??第100个数( 200 ) 偶数2 × 100 = 200 （4） 1 、2 、5 、10 、17+9、26÷3+11、37。（差1、3、5、7、9、11）(5) 243 、81 、27 、9 、÷3 3 (6) 2 、4 、8 、16 、32 、×2、 、1×2。（每个都÷3） 128 20 。（每个都× 2） 。（每个都+3） 、+14 56 。64 17(7) 2 、5 、8 、11 、14 、+3、+3(8) +2 2 、+46 、+612 、+820 、+1030 、+1242例2．如下左图，找规律，在方框中填适当的数。规律: 17+24=41 8+9=17,9+15=24 5+3=8,3+6=9,6+9=15 3+2=5,2+1=3,1+5=6,5+4=9 例3．观察下面的几个算式，你发现了什么规律？ 1+2+l＝4 =22l+2+3+2+1=9 =32 1+2+3+4+3+2+1=16 =42 l+2+3+4+5+4+3+2+1=25=52 每个式子都等于中间项的平方 利用上面的规律，你能不能迅速计算出: 1+2+3+ ? +99+100+99+ ? +3+2+1＝ ? =×100＝10000 或（1+2+3+ ? +99+100）+（1+2+3+ ? +99） ＝0 ＝10000例4．如右图： 第 1 行?? 0个阴影小方格 第 2 行?? 1个阴影小方格 第 3 行?? 2个阴影小方格 第 4 行?? 3个阴影小方格 (1) 第100行中有多少个阴影小方格？ 100-1＝99（个） (2) 从第1行到第100行中，共有多少个阴影小方格？ 1+2+3+?+99＝4950（个）（注：1+2+3+?+99＝）例5．找规律填写各图形中“？”所表示的数。 （6-5）×2＝2 （7-4）×2＝6 （8-3）×2＝103×8+5＝292×9+7＝25（1+4+7）×2＝24（3+5+8）×2＝32（2+5+6）×2＝26例6．把自然数按下图的方式排列： 12 22 32 42 52 1 4 9 2 3 8 5 6 7 10 11 12 13 22 17 18 19 ? ? ?16 15 14 25 24 2320 ? 21 ??? 问：?第10行第10列的那个数是多少？ 102－1＝100－9＝91 ?2003在第几行第几列？ （横是行，竖是列，如8在第3行第2列上，22在第5行第4列。） 估算：因为402＝00 所以估452＝03+1＝23（列） 2003在第45行第23列.例7．四盏灯如下图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜 色,第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，??，这样一直进行下去，问开灯l小 时后四盏灯的颜色如何排列？（四次一个循环） 黄 白 ①求1小时有多少个30秒 60×60＝3600（秒） 0（次） 120÷4＝30（没有余数） 例8．平面上有30个点，任意三点都不在同一条直线上，若每两点间连一条线段，共可连出多少 条线段？ 6 6 红 蓝 红 蓝 黄 白15 +1 N=点数 线段数公式： n(n-1)÷2 3×（3-1）÷2＝3（条） 4×（4-1）÷2＝6（条） 30×（30-1）÷2＝435（条） +2 +3 +4练习31. 根据前面几个数的排列规律，在括号内填数： (1) 1 、4 、9 、16 、25 、( (2) 1 、3 、7 、13 、21 、( ) 、( ) 、( )； )； ) 、( )。(3) 1 、1 、2 、3 、5 、8 、13、(2. 五个连续自然数之和是225，求这五个数。 中间数是： 225÷5＝45五个连续自然数： 43、44、45、46、473. 在1～100 的自然数中有多少个能被7整除的数，它们的和是多少？ ①100÷7＝14?2（100个自然数中有14个能被7整除的数） ②运用等差数列计算公式： 未项＝首项+（项数－1）×公差 ＝7+（14-1）×7 ＝98 或 100-2（余数）＝98前n项的和＝（首项+未项）×项数÷2 ＝（7+98）×14÷2 ＝7354. 下图中数的排列存在着一定的规律，请按此规律找出括号内的数。 2 3 4 1 6 10 1 2 3 5 1 6( ) 3 11 45. 根据每小题前两组图形中三个数的关系，填出后两组图形空圈中的数。6． 找出下面每组图形中数的排列规律，再按规律填出适当的数。7． 按一定的规律在括号里填上适当的数。 ? 1，2，2，4，3，8，4，16，5，（ ? 7，8，14，16，21，24，28，32，（ ）； ），（ ）。8．从 19 开始，每隔 6 个数写出一个数，得到 19，26，33，40，??那么，在这列数中，152 是第 几个数？第 152 个数又是多少？ 运用等差数列计算公式： ①项数＝（第 n 项－第一项）÷公差+1 ＝（152-19）÷7+1 ＝20 ②第 n 项＝第一项+（项数－1）×公差 ＝19+（152-1）×7 ＝19+1057 ＝1076自测题3 1．按照下面数列中的规律，在括号里填上合适的数。 ? 1，4，5，9，14，（ ），37，60； ）； ）； ），（ ）。? 1，2，2，4，8，32，（? 2，1，4，3，6，9，8，27，10，（? 15，6，13，7，11，8，9，9，7，10，（2．下面的数表里的数是按一定的规律排列的，请问表中第8行第6个数是几？3．在下面各题中，选出与其他几个变化规则不同的一个，并把它划掉。 ? 42，25，18，24，36 ? 15，27，45，60，754．如下图所示，在左下角第1行第1列的位置上画上第1个点，然后按照箭头方向依次画上第2，3， 4，??个点。第200个点在第几行第几列上？1 1 2 3 4 5 6 1 4 5 16 17 362 2 3 6 15 18 353 9 8 7 14 19 344 10 11 12 13 20 335 25 24 23 22 21 326 26 27 28 29 30 31（1）找规律，我们发现(1)偶数行都是平方数。 (2)最左边的单数行第一列的数＝上一偶数行第一列的数+1 （2）解题 142&200&152 142＝14×14＝196 200-196＝4 答：第200个点在第15行第4列上.5．在 1989 后面写一串数，先算后两位 8、9 的和，将和的个位数字 7 写在 9 的后面，有 19897，再 算 9、7 的和，将和的个位数字 6 写在 7 后面有 198976，??那么从左边第 1 个数字到第 398 个数字 的和是多少？ (1) 继续往下写：1、9、8、9、7、6、3、9、2、1、3、4、7、1、8、9、7、6??（2）发现 8、9、7、6、3、9、2、1、3、4、7、1 这 12 个数字是周期性重复的（3）扣除前面的 1 和 9，余下的 398-2＝396 个数字是每 12 个数字一个周期的。 396÷12＝33 （有 33 个周期） （4）8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1＝60 （5）所以这 398 个数字之和为 1+9+60x33=1990第 4 讲 速算与巧算（Ｐ23）计算是数学的基础，学会一些速算与巧算的方法，不仅能提高准确、快速、合理、灵活的计算 能力，而且对提高记忆能力和分析、判断等思维能力都有很大帮助。 速算 4 举一反三（Ｐ105） （1） 凑整法： ①先算相加能凑成整十、整百的数。 12+21+9 ＝21+9+12 ＝30+12 ＝42 27+44+56+53 ＝（27+53）+（44+56） ＝80+100 ＝180② 混合运算（相交位置） 加减混合运算，一般是从左往右依次计算。因为加法和减法是同一级运算，所以，在计算 加、减混合运算时，先加后减或先减后加结果是不变的。根据这一规律，混合运算可以把能 得到整数的先算。108-59+159 ＝108+（159-59） ＝108+100 ＝20883-160+17+260 ＝（83+17）+（260-160） ＝100+100 ＝200③ 连减＝减和 从一个数中连续减去两个数，可以把要减的两个数加起来再从被减数中减去两个数的和， 结果不变。 130-58-42 ＝130-（58+42） ＝130-100 ＝30 458-136-64 ＝458-（136+64） ＝458-200 ＝258④ 去括号 153+（47-29） ＝153+47-29 ＝200-29 ＝171976-（76+85） ＝976-76-85 ＝900-85 ＝815153-（53-19） ＝153-53+19 ＝100+19 ＝119（2）取近似值法：；加上一个接近整十、整百、整千的数，可以先把它看作整十、整百、整千。如 果加多了就减回去，加少了就加上，减多了再加上。 98+67 ＝100+67-2 ＝165 999+99+9 ＝-3 ＝1110-3 ＝1107（3）基准数法：如果几个加数都接近某个数，就把原来的几个数都看作是这个数，再比较，多加了 要减，少加了要再加上。102+100+99+101+98 ＝100×5+2-1+1-2 ＝50023+20+19+22+18+21 ＝20×6+3-1+2-2+1 ＝123（1） 高斯定理 ①（首项+尾项）÷2×项数 1+2+3+﹍﹍+19 ＝（1+19）÷2×19 ＝20÷2×19 ＝10×19 ＝190②（首项+尾项）×项数÷2 1+2+3﹍﹍+30 =(1+30) ×30÷2 =31×15 =30×15+15 =450+15 =465③特殊算式 25×4＝100；125×8＝＝111； 37×27＝999；7×11×13＝7＝10001；例 1 计算： （1）运用加法交换律和结合律，把能够凑成整十、整百、整千?的数先算出， 使计算简便。 432 + 63 + 3456 + 37 + 568 + 6544 ＝（432+568）+（63+37）+（） 熟背互补数 ＝00 ＝11100（2）运用近似值法，把它们看作所接近的整十、整百、整千?的数先加起来，然后 再减去多加的数之和（或现加上少加的数之和）。 19 + 298 + 3997 + 49996 + 599995 ＝（20-1）+（300-2）+（4000-3）+（50000-4）+（） =20+300++-2-3-4-5 =20+300++600000-（1+2+3+4+5） = =654305 例 2 计算：（运用基准数法） 基准数——就是选一个数作为标准，方便其他的数和它比较的一个数。通常选取这组数据的最大值和最小值中间的某个比较整的数。 多用于一组比较接近的数的求和或求平均值 基准数法用于求和：和=基准数×个数+浮动值（1）54 + 52 + 47 + 46 + 55 + 49 ＝50×6+（4+2-3-4+5-1） ＝300+3 ＝303（2）473+468+467+466+464+469+474+465+471+473 ＝470×10+（3-2-3-4-6-1+4-5+1+3） ＝4700-10 ＝4690例 3 计算：运用基准数法+拆括号法（乘法分配率） （89+85+）÷8 =(+3+9+1+11+5+7-2)÷8 ＝〔 （1680×8）+（6+3+9+1+11+5+7-2） 〕÷8 =+(6+3+9+1+11+5+7-2)÷8 = =1685例 4 计算：运用连减＝减和这一性质，添加括号，结和凑整、基准数法 （1） 2003 – 1862 – 138 ＝2003-（） ＝ ＝3（2）2445– 285 – 279 – 283 – 278 – 276 ＝2455-（285+279+283+278+276） ＝2455-（280×5+5-1+3-2-4） ＝2455-（280×5+1）拆括号注意符号 ＝ ＝1054（3）3415– 285 – 279 – 283 – 278 – 276 ＝3415—（285+279+283+278+276） ＝3415—（280×5+5—1+3—2—4） ＝3415—（280×5+1）拆括号注意符号 ＝—1 ＝2014例 5 计算： ①运用数的拆分与乘法分配率 （1）157 ×10002 ＝157×（10000+2） ＝157××2 ＝ ＝1570314 （2）157 ×9999 ＝157×（10000-1） ＝157××1 ＝ ＝1569843②利用某些乘法的特点，进行拆分重新组合后计算 37×3＝111 125×8＝＝10037×27＝37×3×9＝111×9＝999＝1000—1 （3）568×37×27×125 =71×8×37×3×9×125 =(37×3) ×(125×8) ×(71×9) =111× =7 =（4）728×37×27×125（原理同上）=（91×8）×（37×3×9）×125 =91×（37×3）×9×（8×125） =91×111×9×9×1000 =91×（1000—1）×1000 ＝（91000—91）×1000 ＝例 6 计算：①提取公因数 a×b+a×c=a(b+c) ②运用乘法分配率，再利用凑整法 76543 × 99999 + 12345 × 99999 ＝99999×() ＝9 ＝() ×88888 ＝888 －1×88888 ＝－（112）注意去括号时的符号 ＝－12 ＝ 例 7 计算：利用 ×3 6×2 需要得到一个 99999＝（）再利用乘法分配率进行计算 6666 × 66666 ＝（2222×3）×（33333×2）都是乘的关系可以互换位置 ＝（2222×2）×（33333×3） ＝ ＝4444×（） ＝44 ＝【分析】2×3×6=3322×18,而 000,可逆运用乘数分配律进行速算.例 8 计算：9966 × 6 + 6678 × 18 =+22×18+6678×18 =()×18 =10000 例 9 计算：（1）细心把被除数相等的数归类，提取公因数 9+11+6＝26 是 13 的 2 倍，13+14＝27 是 9 的 3 倍 9 ÷ 13 + 13 ÷ 9 + 11 ÷ 13 + 14 ÷ 9 + 6 ÷ 13 =9÷13 + 11÷13 + 6÷13 + 13÷9 + 14÷9 =(9+11+6) ÷13 + (13+14) ÷9 =26÷13 + 27÷9 =2 + 3 =5（2）,-83, 利用乘法分配率（a-b）÷c=(a÷c)-(b÷c) 17÷83 =(3800－38)÷38+(83000－83)÷83 =÷38+8÷83 =100－1+8例 10a=, b=;a 与 b 比较，哪个数较大？ 较大的数比较小的数大多少？最大最小定理：如果两个数的和为定值，则两个数愈接近 （即两个数的差越小），则这两个数的积越大。 A+B=C+D A-B&C-D A×B&C×D解：(1)①＝＝16579 ②＝333 ＝111 ∵ 333&111∴ a&b (2)b-a＝-＝-8123×() ＝--(乘法分配率) ＝（）××111（提取公因数） ＝111××111 ＝111×（） ＝111×222 ＝24642练习 1、计算下列各题： （1）36 + 625 + 64 + 1234 + 375 + 8766 （2）19 + 198 +2、计算下列各题： （1）78 +75+67+ 64+76 + 70+68+62 （2）（387 + 382 + 377 + 375 + 384 ）÷53、计算下列各题： （1）623 – 354 – 146 （2）516 – 54 – 57 – 45 – 58 – 46 – 434、计算：（1）25 × 9 × 64 × 125（2）25 ×37 ×485、计算：（1）2222 × 9999（2）6666 × 666666、计算：（1）8÷7 + 16÷7 + 18÷7（2）5÷7 + 5÷9 + 9÷7 + 13÷97、计算：456 × 345 + 654 × 456 + 4568、计算： （1）（ 1 + 3 + 5 + ? + 999 ）– （ 2 + 4 + 6 + ? + 998 ）（2）19+199+1999+?+99 个 9）（3）2 – 1 + 4 – 2 + 6 – 3 + 8 – 4 + 10 – 5 + ? + 50 – 259． 57+372++34610． （365+363+358+357+367）÷511． 321－64－62－57－58－5912． 48+13． 314． 1÷6＋2÷6＋3÷6＋4÷6＋5÷6＋6÷6＋7÷6＋8÷615． 666÷99999916． 88＋98×99＋9517． 67×23＋34×68＋43×6918． 6＋66＋666＋＋666666计算是数学的基础，学会一些速算与巧算的方法，不仅能提高准确、快速、合理、灵活的计算 能力，而且对提高记忆能力和分析、判断等思维能力都有很大帮助。 例 1 计算：（1）432 + 63 + 3456 + 37 + 568 + 6544（2）19 + 298 + 3997 + 49996 + 599995例 2 计算：（1）54 + 52 + 47 + 46 + 55 + 49（2）473+468+467+466+464+469+474+465+471+473例 3 计算：（89+85+）÷8例 4 计算：（1）2003 – 1862 – 138（2）2445– 285 – 279 – 283 – 278 – 276例 5 计算：（1）157 ×10002（2）157 ×9999（3）568×37×27×125例 6 计算：76543 × 99999 + 12345 × 99999例 7 计算：6666 × 66666例 8 计算：9966 × 6 + 6678 × 18例 9 计算：（1）9 ÷ 13 + 13 ÷ 9 + 11 ÷ 13 + 14 ÷ 9 + 6 ÷ 13（2）17÷83练习 61、计算下列各题： （1）36 + 625 + 64 + 1234 + 375 + 8766 （2）19 + 198 +2、计算下列各题： （1）78 +75+67+ 64+76 + 70+68+62 （2）（387 + 382 + 377 + 375 + 384 ）÷53、计算下列各题： （1）623 – 354 – 146 （2）516 – 54 – 57 – 45 – 58 – 46 – 434、计算：（1）25 × 9 × 64 × 125（2）25 ×37 ×485、计算：（1）2222 × 9999（2）6666 × 666666、计算：（1）8÷7 + 16÷7 + 18÷7 （2）5÷7 + 5÷9 + 9÷7 + 13÷97、计算：456 × 345 + 654 × 456 + 4568、计算：（1）（ 1 + 3 + 5 + ? + 999 ）– （ 2 + 4 + 6 + ? + 998 ）（2）2 – 1 + 4 – 2 + 6 – 3 + 8 – 4 + 10 – 5 + ? + 50 – 25自测题 6 计算下列各题： 1． 57+372++3462． （365+363+358+357+367）÷53． 321－64－62－57－58－594． 43+5． 36． 1÷6＋2÷6＋3÷6＋4÷6＋5÷6＋6÷6＋7÷6＋8÷67． 666÷9999998． 88＋98×99＋959． 67×23＋34×68＋43×6910． 6＋66＋666＋＋666666第6讲数字谜我们常常会遇到猜字谜游戏的数学问题：题目给出某个算术运算式子，可是式中缺少某些数字， 要求我们确定出这些缺少的数字，把整个运算式子补充完整，这些缺掉的数字就像谜一样等待着人 们把它解开，因而人们称这类问题为数字谜。通过观察、分析、判断、推理等途径和手段，这些谜 是可以解开的。分析问题时，往往要把推理、“拼凑”和“尝试”等方法灵活结合起来，从而加快 解题的速度。 方法：（1）仔细审题 （2）要选择突破口 （3）试验求解 例 1、在下式的每一“□”内填入一个数字，使算式成立。 1 □□→一定是 2 →因为没有余数，所以是 32（例 1） 答案：个位的 2 第一次除后余下的数 3 是突破口 由数字“3”可推出被除数十位上的数减去第一次的商×除数的积＝3 9-6，8－5，7-4，6-3，5-2，4-1 ①商是一个 2 位数，②被除数最高位的数是 1→除数的十位数是“1” 32 能被 1？整除 32÷16＝2→除数＝16 1？－16＝3 →被除数＝19 16 1219216 32 32 0例 2、将 1、2、3、4、5、6、7、8 八个数，分别填入上图中八个空格中，使图中四边正好组成 加、减、乘、除四个算式。（例 2） 答案：观察这幅图，用 8 个数组成四个等式.从左上角开始先作减法和除法，得出结果之后再分 别作加法和乘法得到右下角的数字.所以问题的关键是左上角的数字与右下角的数字.它们应该是较大的且能够作乘法与除法的数.即 8 和 6，不妨取左上角是 8，右下角是 6，再试填其他数字.也可取左上 角是 6，右下角是 8，再试填其他数字.例 3、将 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 十个不同的数字分别填入十个方框中，使下面三个算 式成立。 □＋□＝□ □－□＝□ □×□＝□□3+6=9 8-1=7 4×5＝200 是突破口，0 不能作为被除数、除数、减数、被减数，只能是积的个位数。因此积的 两个因数中，一个是 5，另一个是 2、4、6、8 的其中一个。所以第三个算式有 4 种填 法。2×5＝10 4×5＝20 6×5＝30 8×5＝40试验：2×5＝10 （3、4、6、7、8、9） 试验失败 4×5＝20 （1、3、6、7、8、9） 试验成功例 4、下面竖式中的△代表同一个数字：则△代表数字（ △△△ ＋ △ ６７２ 6□ × □□□ □□ □□6 ）□□ □□□6 （例 4） 例 5、在上面的乘法中填上所缺的数字。 为了表述方便在此先把例 5 改写如下 （例 5）6 A ×B C D E F G H I J K L M 66 6 ×1 1 1 6 6 6 6 6 6 7 3 2 6这是一个两位数乘三位数的乘法算式，积的个位数是 6→F＝6 D×6 A＝E F→积是两位数，且个位是 6→6（A）×（D）＝（E）6→D 只能＝1，所以 A＝6 C×6 A＝G H →因为 C×6 A 没有进位所以 C 只能是 1 B×6 A＝IJ→同理 都没有进位例 6、式中不同汉字代表不同的数字，请解这个数字谜。 学啊学 9 8 9+ 努力学 努 力学啊 ○+1 0 9 1 0 9 8突破口是“努”字，两个 3 位数相加得到一个 4 位数，努＝1 学+努＝努力→学＝9，只有 9+1＝10 啊＝8（9+9＝18） 啊+力+进位 1＝学→8+力+1＝9 9+力＝9→力＝0例 7、下面算式中，不同的汉字代表不同的数字，“趣味数字”代表的四位数是多少？ 趣 + 趣味 + 趣味数 + 趣味数学 = 4321趣 趣味 趣味数 + ○ 趣 味数学 4 321 ○突破口是千位的“趣”字，趣＝4， 趣+味不可能＝3 所以“趣”字＝3→趣+味＝13→3+（）＝13，味不可能＝10，→ 趣+味+数＝（）有进位，不知进了几位， 假设进了 1 位→味＝9，那么趣+味+数＝12，但趣+味＝12那么数＝0，但趣+味+数+学≠1 所以应该是进了 2 位→味＝8，那么趣+味+数＝22，但趣+味＝11 那么数+进位＝11→数＝9，进位＝2，趣+味+数+学＝3+8+9+学＝21 →学＝1例 8、在下的算式中，商是两位数，而且没有余数，把这个算式填写完整。解：（1）没有余数 只有 9×9＝81 （2）349×9＝3141商的个位×除数（349）＝（）（）1 商的个位是（9）商的十位×除数（349）＝10（）（）-314 10-3＝7 3×2＝6 3×3＝9商的十位只能≦2, 349×2＝698 698+314=101229 349 10121所以这个数 是例 9、下面的乘法算式中，“素”、“质”、“高”分别代表不同的数字，你能算出“ 素+ 质 + 高 ”等于几吗？ 素质高 ×质素高 □□□□ □□素 □□□质 □□□□□□例 10、在下面乘法竖式中，每个不同的字母代表 0-9 中不同的数字。乘积是多少？A B C × B A C□ □ □ □ □□ □ □ □ B □ □ □ □ □ □A例 11 把 1-9 这九个数字填入下列三个等式的九个□中，使得三个等式都成立。 □ □×7-3 □ □×3+5 □ □×4+7 ＝□ □ □例 11 把 1-9 这九个数字填入下列三个等式的九个□中，使得四等式都成立。 1、2、3、4、5、6、7、8、9 （5）- （4）＝1 （3）+ （6）＝9 （7）（2）÷（8）＝9 （只有是两个连续自然数的差都＝1） （1+8、2+7、3+6、4+5） （2×9＝18、3×9＝27、4×9＝36、5×9＝45、 9×9＝81 （1）×（9）＝9 8×9＝72、7×9＝63、6×9＝54）（突破口，只有 1×9＝9）练习 51、把下面算式填写完整。 4□ + □□2 □□□1 2、把 1、2、3、4、5、6、7、0 这八个数字填入下列方框内（每个数字只用一次），使两个算式都 成立。3、算式中的字母代表什么数字？A 0 7A 4 6+ A 3 A 1 A 8 8 4、下面的字母，各代表什么数，算式才能成立？B D C E + A D A E A E C B E5、在一个两位数的两个数中间加一个 0，那么所得的三位数比原数大 8 倍，求这两位数。6、在给出的竖式中“努”、“力”各代表一个数字，请你根据竖式求出“努力”代表的两位数，并 填好所有空格。 7、把下面算式填写完整： 努 力 ×努 力 ３ □ □ □ □ □ □ □ □ １（第 6 题）（第 7 题）自测题 51．在下面这个图形算式中，一种图形代表一个数字，三种图形各代表什么数字？2．算式中的字母代表什么数字？3．填空格389×□□＝8□□74．根据下面算式，请你推算出这个算式中的“栩栩如生”所代表的四位数是什么？5．下面两个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字， 那么 A＋B＋C＋D＋E＋F＋G = 。第 7 讲 几种简单的数学方法在本讲里我们准备介绍几种常用的解题方法。 一、倒推法（还原问题） 还原问题的一般特点是已知对某个数按照一定的顺序施行四则运算的结果，或把一定数量的物 品增减变化的结果，要我们按照与原来运算顺序或变化顺序相反的方向，进行相应的逆运算或逆变 换，求出原来的数。 还原问题（4 举一反三 P165）一个数经过若干次变化，成了另一种结果，我们从结果出发根据每一次变化情况，一步步地倒 着想，把结果还原成开始的状态，这类问题叫做还原问题，又叫做逆运算问题。 对于简单的每一次变化不太复杂的还原问题，可直接列式一步步倒着推算；对于变化较复杂的， 可借助列表和画图来帮助解决问题。 还原问题通常用倒推法求解。 例 1 已知一个数除以 3 的商与 112 的乘积，减去 10 以后的结果是 2006，这个数是多少? 根题意：（）÷3×112—10＝2006 倒推法：2×3＝54例 2 做一道整数加法题时，小强把个位上的 6 看作 9，把十位上的 8 看作 3，结果得出和为 123。 问正确的答案应该是多少? 方法一：还原法： （1）求出另一个加数：123－39＝84 （2）2 个正确的加数相加求出答案：84+86＝170方法二：作差法： （1）求出正误两数的差：86—39＝47 （2）错误的和+因写错导致少了的数：123+47＝170例 3 某人去储蓄所取款，第一次取了存款数的一半还多 5 元，第二次取了余下的一半还多 10 元， 最后剩 125 元。他原有存款多少元? ？ 125 元一半5一半的一半 10① 他原来存款的一半：（125+10）×2+5＝275（元） ②他原有存款：275×2＝550（元）例 4 将 8 个数从左至右排成一行，从第三个数开始，每个数都恰好等于前面两个数之和。如果 第七个数和第八个数分别是 81、131，那么第一个数是多少? 1 5 2 7 3 12 4 19 5 81-50＝31 6 131-81＝50 7 81 8 131二、包含与排除 求和问题，我们学习过的多是直接相加就可得出答案。但是，有些时候，求和问题却不能直接相加 求出答案。 例如，小明和一班小朋友排成一行，从左向右数，小明数 12，从右向左数，小明数 15，问这一 行有多少人?这道题的答案不是 12+15=27(人)，为什么呢?因为从左向右数，小明数了一次，从右向左 数，小明又数了一次，显然，小明数了二次，12+15=27，把小明多算了一次，应把 重复计算的减去，所以正确答案应是 12+15—1=26(人)。 又例如，有大、小两个正方形纸片放在桌子上(如右图)，大正方形边长是 3 厘米，小正；方形边长为 2 厘米；问一共覆盖多大的面积? 显然，求一共覆盖多大的面积，不能用 3 ×3 和 2×2 直接相加。因为，当 3×3+2×2 时，事实上，重 复部分(阴影部分)的面积(1 ×1)加了 2 次。所以一共覆盖的面积是： 3 ×3+2 × 2—1 ×1=12(平方厘米)。 像上面这种因有重复包含的情况，在解题时要考虑排除因重复、相互包含而引起多加的数学问题， 称包含与排除问题。 重叠问题多见于数字重复使用的填数问题，求重叠事物的数量，求几何图形的重叠部分的面积等 等。本讲重点谈谈如何求有重叠事物的数量问题。 例 1 四(1)班学生去图书室借书，每人都借了课外书，统计的结果是：借语文书的 39 人，借数学书 的 32 人，语文、数学两种书都借的有 26 人，求全班学生有多少人? 39+32-26＝45（人）A B例 2 如右下图，已知正方形 ABCD 的边长是 6 分米，长方形 BCEF 和长方形 AGHD 的面积分别是 24 平方分米和 20 平方分米，求阴影部分的面积。 (1)求出正方形 ABCD 的面积：6×6＝36 （平方分米） （2）求阴影部分的面积：24+20—36＝8（平方分米）A例 3 在 1—100 的自然数中，能被 2 或能被 3 整除的数有多少个? （1）在 1—100 的自然数中，能被 2 整除的数有： 100÷2＝50（个） （2）在 1—100 的自然数中，能被 3 整除的数有： 100÷3＝33（个） （3）算出即能被 2 又能被 3 整除的数有多少个。（重复部分） 100÷（3×2）＝16（个）用 100÷3 与 2 的最小公倍数（4）50+33—16＝67（个）三、抽屉原理（3 举一反三 P230） 把 9 只苹果，不论按什么方法放人 8 个抽屉里，可以肯定，其中至少有一个抽屉里面有两只或两只 以上的苹果。道理是简单的，因为每个抽屉如果至多有一只苹果的话，那么 8 个抽屉最多只有 8 只 苹果。 用抽屉原理解决问题，小朋友一定要注意哪些是“抽屉”，哪些是“苹果”，并且要应用所学的数 学知识制造抽屉，巧妙地加以应用，这样看上去十分复杂，甚至无从下手的题目才能顺利地解答。 据同样理由，某小学有 400 名学生，我们可以断言：其中至少有二个小学生有相同的生日。 一年 365 天（抽屉）400 名学生（苹果） 这种推理的依据是抽屉原理。例 1 一副扑克牌有 54 张，最少要抽取几张牌，才能使其中至少有 2 张牌有相同的点数? （1）了解扑克牌：一副扑克牌有四种花色，每种花色各 13 张（13 个点数），另外还有两张王牌13×4+2＝54（张）①13 个点数，分别是 1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K) ②一副扑克牌有 4 种花色，分别是红桃、黑桃、方块、梅花解：点数为 1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取 1 张，再取大王、小 王各 1 张，一共 15 张，这 15 张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取 1 张的话，它的 点数必为 1～13 中的一个，于是有 2 张点数相同。 13+2+1＝16（张） 补充：一副扑克牌，共 54 张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证① 至少有 6 张牌的花色相同；② 四 种花色的牌都有；③ 至少有 3 张牌是红桃。 ①为了“保证”6 张牌花色相同，我们应从最“坏”的情况去分析，即先摸出了两张王牌.把四种花色看作 4 个抽屉，要想有 6 张牌属于同一抽屉，只需再摸出 4×5+1＝21（张），也就是共摸出 23 张牌.即至 少摸出 23 张牌，才能保证其中有 6 张牌的花色相同。 ②因为每种花色有 13 张牌.若考虑最“坏”的情况，即摸出了 2 张王牌和三种花色的所有牌共计 13×3＋ 2=41（张），这时，只需再摸一张即一共 42 张牌，就保证四种花色的牌都有了.即至少摸出 42 张牌 才能保证四种花色的牌都有 ③最坏的情形是先摸出了 2 张王牌和方块、黑桃、梅花三种花色所有牌共计 41 张，只剩红桃牌.这时 只需再摸 3 张，就保证有 3 张牌是红桃了.即至少摸出 44 张牌，才能保证其中至少有 3 张红桃牌。例 2 从任意 3 个不等于零的自然数中，一定可以找到两个，使得他们的和是一个偶（双）数。 任意三个整数有可能是 ①1 个偶数 2 个奇数 ②3 个奇数 ③3 个偶数 ④1 个奇数 2 个偶数以上 4 种可能性 一定可以找到两个数使它们的和是一个偶数 偶数+偶数＝偶数 奇数+奇数＝偶数 例 3 口袋中放有红、黄、蓝色三种的小球各 10 只，为了保证能取出 3 只颜色相同的小球，应从 口袋中至少摸出几只小球。 解：①为了保证能取出 3 只颜色相同的小球，前面必须先保证能取出 2 只颜色相同的小球 3－1＝2 ② 因为有红、黄、蓝 3 种颜色，每个颜色须有 2 只 3×2＝6（只）2 红 2 蓝 2 黄 ③最后一个可以是三种颜色中的任意一种 6+1＝7（只） 答：应从口袋中至少摸出 7 只小球。 补充：口袋里有同样大小同样质地的红黄蓝三种颜色的球各 10 个问一次最少摸出几个球，才能保证有 5 个小球颜色相同? 解：抽屉问题，关键是找出“最坏情况”。 此题最坏情况是每种颜色摸 4 个，则无论如何下一个就会符合要求。 需要：4×3＋1＝13（次） 答：至少应该摸 13 次才能保证。练习 1．同学们玩扔沙袋游戏，甲、乙两班共有 140 只沙袋，如果甲班先给乙班 5 只，乙班又给甲班 8 只， 这时两班沙袋数相等，两班原来各有沙袋多少只?2．王苹在做一道加法题时，把个位上的 5 看作 9，把十位上的 8 看作 3，结果和得 123，正确的答案 应是多少?3．有一筐苹果，第一次取出全部的一半多 2 个，第二次取出余下的一半少 2 个，筐中还剩 20 个， 筐中原有苹果多少个?4．某年级有学生 120 人，其中参加体育小组的有 85 人，参加文艺小组的有 78 人，两个小组都不参 加的有 7 人，那么同时参加体育、文艺小组的有多少人?5．班上分发柿子和苹果，要柿子的 18 人，要苹果的 20 人，其中两样都要的 13 人，如果每人分 2 个，需要柿子和苹果各多少个?6．某班 36 人参加一次测验，在测试的两道题中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的有 23 人， 两题都答对的有 15 人，问有几个同学两题都答不对?7．三个小同学一起上学去，试说明必有二个小同学是男生或是女生。8．黑色、白色的筷子各 8 根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的一双筷子， 问至少要取多少根?自测题 7 1．一次数学小测验只有两道题，结果全班有 10 人全对，第一题有 25 人做对，第二题有 18 人做错， 问：两题都做错的有几人?2．在 1～2006 个自然数中，能被 3 或 5 整除的数有多少个？3．某数扩大 3 倍再加上 8 得 23，如果这个数先加 8，然后才扩大 3 倍，那么结果是多少?4．有三堆煤，第一堆煤的吨数是第二堆的 3 倍，第三堆煤的吨数是第二堆的 4 倍，如果从第三堆里 每天取用 5 吨，那么 9 天后还剩 3 吨，求第一堆煤有多少吨?5．任意给定的 5 个自然数中，必有 3 个数，它们的和是 3 的倍数。第8讲最大最小问题在日常生活、生产劳动、科学研究、决策运筹中，经常会遇到这样的一些问题：怎样安排时间最 省、怎样管理费用最低、这样合作效率最高、怎样设计面积最大等等。它们都可以归结为一定范围 内、一定条件下的最大值或最小值。这些问题涉及到的知识很广泛，在生产和生活中有着很强的应 用价值。在小学数学学习中涉及的问题，没有固定的模式，方法多样。因此，我们在解答这类问题时，一 定要认真审题，根据题目的具体特点，仔细分析和思考，灵活和辩证地选择解法。 例 1、如果 10 个互不相同的两位单数之和等于 898，那么这 10 个单数中最小的一个是多少？例 2、在长为 1536 米的路段上植树，最少要种多少棵，才能保证至少有两棵树之间的距离小于 16 米？例 3、有两个整数 A 和 B，它们的和是 8，当 A 和 B 各是多少时，A×B 的积最大。例 4、30 名选手参加越野赛，已知参赛者中任何 10 人里至少有 1 名男选手，那么男选手至少有 多少人？例 5、在 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这一排数字之间填入 5 个加号，组成一个连加算式并使结 果尽可能的小。例 6、103 除以一个一位数，余数最大是多少？例 7、六位同学数学考试的平均成绩是 92.5 分，他们的成绩是互不相同的整数，最高分是 99 分， 最低分是 76 分。那么，按分数从高到低居第三名的同学至少得多少分？例 8、把 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字，组成三个三位数与一个一位数（每个数 字只能用一次），并且使这四个数之和为 999，要求最大的三位数尽可能的小。例 9、商店进玩具熊若干，每三个一数则余下一只，若每五个一数则还差 4 个。问商店至少进了 多少只玩具熊？例 10、100 名少先队员选举大队长，有三位候选人甲、乙、丙，每人只能选他们中的一个人， 不能弃权。前 80 张票中，甲得到 38 票，乙得到 32 票，丙得到 10 票。规定谁的票最多谁当选。若 甲要当选，最少还需要多少张票？练习 81.有 20 个非零自然数，它们的和是 1999，在这些数里，奇数的个数比偶数的个数多，那么这 20 个 数里偶数至多有多少个？2.一把钥匙只能开一把锁，现有 6 把钥匙 6 把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次才能 配好全部的钥匙和锁？3.有 50 颗珠子分别放入 9 个盒子里，要使每个盒子里都有珠子且互不相等，那么其中珠子数量多的 盒子里至少有几颗珠子？4.有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，如 1 等。 那么，这类自然数中最大的一个自然数是多少？5.有一群小朋友，他们中任意五人的年龄之和小于 50 岁，所有小朋友的年龄之和是 202 岁。那么， 这群小朋友至少有多少人？自测题 81．下面算式中的两个□内应填什么数，才能使这道整数除法题的余数为最大？ □÷25＝104??□2．三个连续单数的积的个位数字最小是。3．一个自然数的数字之和是 35，这个数最小是。4．在兴趣小组的同学中，有 4 人特别喜欢学数学，有 6 人特别喜欢学外语，但有 1 人两门都不喜欢。 这个小组的同学最多有 人，最少有 人。5．A 和 B 都是非零自然数，并且 A＋B＝100，A 和 B 相乘的积最大是，最小是。第9 讲计数问题在小学数学题目中，有一类是要求具体确定出“几个”的问题。我们把这类问题称之为“计数 问题”或“数数问题”。 细致观察，掌握特征，认真去数，无疑是对解决这类问题有很大的帮助。在数数时，必须做到 既不重复，又不遗漏，因此，在数数时，要建立数数的顺序，遵循规律依次去数，依次进行计算， 不能胡乱去数。 数数图形（4 举一反三Ｐ87）数线段的段数：①②③④ 4+3+2+1＝10（段） （2）数三角形的个数： ① ① ② ③ ④ 4+3+2+1＝10（个） ②数数下图中共有多少个三角形图中 AD 边上的每一条线段都能与顶点 O 构成一个三角形，也就是说，AD 边上有几条线段， 就能构成几个三角形。 因为 AD 上共有 4 个端点，就有 1+2+3＝6（条）线段 所以图中有 6 个三角形。③数数下图中共有多少个三角形与上图相比，图中多了一条线段 A’D’。 所以图中的三角形个数应该是： AD 上的线段与点 O 构成一个三角形个数 （1+2+3）×2＝12（个） （3）数长方形的个数： ① ① ② ③ 长的线段数：4+3+2+1＝10 宽的线段数：3+2+1＝6 长方形个数＝长的线段数×宽的线段数 ＝10 ×6＝60（个） （4）数正方形的个数： ㈠ 行数与列数相等 ①②③④ 1 2 3 4 4×4+3×3+2×2+1×1 =16+9+4+1 ＝30(个) ② ③ ④+ A’D’上的线段与点 O 构成一个三角形个数。㈡ 行数与列数不相等（Ｐ92） 1 1 2 3 2 3 4 55×3+4×2+3×1 ＝15+8+3 ＝26（个）下图图（1）中有（ 数长方形的个数： ⑤ ① ② ③ ②）个长方形；图（2）中有（ ）个含有▲的长方形。③长的线段数：3+2+1＝6 宽的线段数：3+2+1＝6 长方形的个数＝长的线段数×宽的线段数＝6×6＝36（个）▲含▲的单列只有 1 列 含▲的连续两列有 2 种(1,2)(2,3) 含▲的连续三列有 1 种(1,2,3) 所以共有 1+2+1=4 种 所以含星号的长方形共 4*4=16 种含星号的单列只有 1 列 含星号的连续两列有 2 种(2,3)(3,4) 含星号的连续三列有 3 种(1,2,3)(2,3,4)(3,4,5) 含星号的连续四列有 3 种(1,2,3,4)(2,3,4,5)(3,4,5,6) 含星号的连续五列有 2 种(1,2,3,4,5)(2,3,4,5,6) 含星号的连续六列有 1 种 所以共有 1+2+3+3+2+1=12 种 同样的，行也有 12 种 所以含星号的长方形共 12*12=144 种由于每相邻连续几列和相邻的连续几行交叉构成一个长方形 所以先数总长方形的数量 如果是单列的话，有 6 列 要找连续两列的话，有五种(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6) 要找连续三列的话，有 4 种 以此类推，最后，要找连续六列的话，有一种 所以共 1+2+3+4+5+6=21 种 同样，找连续的行的话也有 21 种 所以图中共有 21*21=441 个长方形 然后两者相减 441-144=297 个不含星号的长方形图中有几个三角形？1 2 3 4①1行1行数的有： 第1行有：（1）个 1行△上 第2行有：（2）个 第3行有：（3）个 第4行有：（4）个 共有：（10）个 ②2行2行数的有： 第1～2行有：（1）个 2行△上 第2～3行有：（2）个 第3～4行有：（3）个 共有：（6）个 ③3行3行数的有： 3行△上 第1～3行有：（1）个 第2～4行有：（2）个 共有：（3）个 ④4行4行数的有： 4行△上 第1～4行有：（1）个 ▽▽下 第1～4行有：（0）个 ▽▽下 1行▽下 第1行有：（0）个 第2行有：（1）个 第3行有：（2）个 第4行有：（3）个 共有：（6）个 第1～2行有：（0）个 第2～3行有：（0）个 第3～4行有：（1）个 共有：（1）个▽▽下第1～3行有：（0）个 第2～4行有：（0）个 共有：（0）个⑤图中有三角形：10+6+6+1+3+1＝27（个）例1．下图中有多少条线段？ABCDE4+3+2+1＝10（条）例2．右图中有几个三角形？ 分析：可按基本图形拼合组成的顺序来计数（从小到大） 由1个基本三角形组成：16个小三角形。 由4个基本三角形组成：7个三角形 （6个尖向上，1个尖向下） 由9个基本三角形组成：3个三角形 由16个基本三角形组成：1个大三角形 因此，图中有：16+7+3+1＝27（个）大三角形。有许多问题，只要善于从观察分析中去发现规律，从简单的情况去总结规律，就会使问题简化， 从而迅速、准确地解决问题。例3．图中有多少条线段？7+6+5+4+3+2+1＝（7+1）÷2×7＝28（条）例4．右图中有几个三角形？ （5+4+3+2+1）×2＝30（个）例5．下图中有几个长方形？长：3+2+1＝6（种） 宽：3+2+1＝6（种） 长方形个数：6×6＝36（种）枚举法枚举法是一种常常被采用来解答“计数问题”的有效方法。根据问题的要求,一一列举问题的解 答,或者为了解答问题的需要与方便,把问题分成既不重复,也不遗漏的有限种情况,一一列举这各种 情况而加以解决,最后达到解决整个问题的目的。这样来考虑、解决问题的方法,叫做“枚举法”由 此看来,分为有限种情况,也就是按一定规律恰当地分类是个关键. 例6．数学园地出版小组有5名同学,开学第一天进行活动,准备出版一期数学园地,集中时,每两 个同学都要握一次手。他们一共握多少次手?（与循环赛一样） 方法一：分类计数原理(加法原理) ①5－1＝4（次） ②4+3+2+1 ＝（首项+末项）×项数÷2 ＝（4+1）×4÷2 ＝10（次）方法二：分步计数原理(乘法原理) ①5－1＝4（次）每个人需要握 4 次手。 ②4×5÷2＝10（次）因为每两个人握一次所以要÷2 例7．有红、黄、绿三面不同颜色的旗，每次可取一面、二面或三面，按不同顺序挂在旗杆上表 示信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 排列加法原理：先分类 ①一面旗表示的信号：红、黄、绿 3共有3种不同的信号。 ②两面旗表示的信号：红 黄 黄 红 红 绿 绿 红 黄 绿 绿 黄 3 23×2＝6（种）共有6种不同的信号。 ③三面旗表示的信号：红 黄 绿 红 绿 黄 黄 绿 红 黄 红 绿 绿 红 黄 绿 黄 红 3 2 13×2×1＝6（种）共有6种不同的信号。 一共可以表示：3+6+6＝15（种）信号。 例8．用一个2，两个3，一个4可以组成种种不同的四位数，这些四位数一共有多少个？共有4个数，其中一个是重复的，因为有两个3，那么这两个3不论怎么换位置，得到的数值都是一样 的，也就是这样的数值重复了，那么不同的四位数的个数就应该除以2才行，所以4×3×2×1÷2＝24÷2＝12*如果是4个完全不同的数，那么组成不同的4位数的排列有4×3×2×1＝24例9．下图中有6个点，9条线段。一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点。进行中，同 一个点或同一条线段只能经过1次。这只甲虫最多有多少种不同的走法？例10．把3个相同的小球放入甲、乙、丙三个盒中，共有多少种不同的放法？数数不简单，数数大有学问，计数问题形形色色，多种多样，只要不断地努力学习，掌握解决 这类问题的各种方法和技巧，就能解决形形色色的计数问题。练习 1．右图中有多少个正方形？2．下图中有多少个三角形？3．下图中有多少个三角形？4．下图中有多少个三角形？5．在8个大城市之间都有直达的航空线，一共有多少条航空线？6．有红、黄、绿、蓝、白五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最多可以配成不重复的几组？7．用0，2，4，6四个数字，可以组成几个不同的四位数？8．小慧有10个1分币，5个2分币，2个5分币，要拿出1角钱买一支铅笔，问可以有几种拿法？9．十位数字大于个位数字的两位数共有多少个？10．有8块长2厘米，宽1厘米的长方形纸板，2块竖着摆，6块横着摆，可拼成一个面积是16平方厘米 的正方形，有多少种不同的拼法？11．用一根长80厘米的铁丝，围成一个长和宽都是5厘米的倍数的长方形，且长大于宽，可围成多少 种这样的长方形？哪一种围法所围的长方形面积最大？12．从1到100的自然数中，每次取两个数，要求它们的和大于100，有多少种取法？13．小玲有 12 块奶糖，如果每天至少吃 3 块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
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