不定积分的例题分析及解法_百度文库
赠送免券下载特权
10W篇文档免费专享
部分付费文档8折起
每天抽奖多种福利
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
不定积分的例题分析及解法
总评分4.5|
用知识赚钱
&&不定积分的例题分析及解法
阅读已结束，下载本文需要
想免费下载更多文档？
定制HR最喜欢的简历
下载文档到电脑，同时保存到云知识，更方便管理
加入VIP
还剩31页未读，
定制HR最喜欢的简历
你可能喜欢温馨提示：糗事百科为大家收集了很多的c语言计算不定积分的糗事，各种关于c语言计算不定积分的爆笑经历，尴尬时刻和开心视频，想持续关注c语言计算不定积分的糗事就收藏本页吧。
扫码下载糗事百科app已解决问题
求下列不定积分&?请帮忙
求下列不定积分&sec^3乘以x乘以dx
浏览次数：514
用手机阿里扫一扫
最满意答案
&&sec³x&dx&=&&&secx*sec²x&dx=&&&secx&dtanx，分部积分法，sec²x的积分是tanx=&secx*tanx&-&&&tanx&dsecx，分部积分法=&secx*tanx&-&&&tanx*(secx*tanx)&dx，secx的导数是secx*tanx=&secx*tanx&-&&&secx(sec²x-1)&dx，恒等式1+tan²x&=&sec²x=&secx*tanx&-&&&sec³x&dx&+&&&secx&dx，将&sec³x&dx移到等号左边，变为2个&&sec³x&dx2&sec³x&dx&=&secx*tanx&+&&&secx*(secx+tanx)/(secx+tanx)&dx，上下分别乘以secx+tanx&&sec³x&dx&=&(1/2)secx*tanx&+&(1/2)&&(secx*tanx+sec²x)/(secx+tanx)&dx&=&(1/2)secx*tanx&+&(1/2)&&d(secx+tanx)/(secx+tanx)，等同公式&&1/u&du，u=secx+tanx∴&&sec³x&dx&=&(1/2)secx*tanx&+&(1/2)ln|secx+tanx|&+&C
答案创立者
以企业身份回答&
正在进行的活动
生意经不允许发广告，违者直接删除
复制问题或回答，一经发现，拉黑7天
快速解决你的电商难题
店铺优化排查提升2倍流量
擅长&nbsp 店铺优化
您可能有同感的问题
扫一扫用手机阿里看生意经
问题排行榜
当前问题的答案已经被保护，只有知县（三级）以上的用户可以编辑！写下您的建议，管理员会及时与您联络！
server is ok第五章 不定积分与定积分习题解答_百度文库
赠送免券下载特权
10W篇文档免费专享
部分付费文档8折起
每天抽奖多种福利
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
第五章 不定积分与定积分习题解答
阅读已结束，下载本文需要
想免费下载本文？
定制HR最喜欢的简历
下载文档到电脑，同时保存到云知识，更方便管理
加入VIP
还剩6页未读，
定制HR最喜欢的简历
你可能喜欢您还可以使用以下方式登录
当前位置：&>&&>& > 不定积分计算方法 18212字 投稿：武絡絢
不定积分计算方法 18212字 投稿：武絡絢
定积分的概念教学目的：掌握定积分的有关概念和基本性质
点：无限细分和累积的思维方法 重
点：微元法思想和定积分的基本性质 教学内容：定积分是微积分学的重要内容之一，它和上一章讨论的不定积分有着密切的内在联系，并且，定积分的计算主要是通过不定积分来解决的. 定积分在各种实际问题中有着广泛的应用．在本章中，我们将在具体实例的基础上引入定积分的概念，然后讨论它的性质、计算方法与应用． 一、问题的提出1、曲边梯形的面积在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算. 但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”，我们怎样来计算它们的面积呢？下面以曲边梯形为例来讨论这个问题.设函数y?f(x)在[a,b]上连续. 由曲线y?f(x)与直线x?a、x?b、x轴所围成的图形称为曲边梯形(如图). 为讨论方便，假定f(x)?0.由于函数y?f(x)上的点的纵坐标不断变化，整个曲边梯形各处的高不相等，差异很大. 为使高的变化较小，先将区间[a,b]分成n个小区间，即插入分点. a?x0?x1?x2?????xn?b在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中第i个小区间的长度为?xi?xi?xi?1,i?1,2,???,n. 由于f(x)连续，故当?xi很小时，第i个小曲边梯形各点的高变化很小. 在区间[xi?1,xi]上任取一点?i，则可认为第i个小曲边梯形的平均高度为f(?i)，因此, 这个小曲边梯形的面积
?Ai?f(?i)??xi.用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值, 再求和, 即得整个大曲边梯形面nn积的近似值
A???Ai??f(?i)?xi.i?1i?1可以看出：对区间[a,b]所作的分划越细，上式右端的和式就越接近A. 记??max{?xi}，则当??0时，误差也趋于零. 因此，所求面积1?i?nnA?lim2、变速直线运动的路程??0?i?1f(?i)?xi.
(1)设物体作直线运动，速度v(t)是时间t的连续函数，且v(t)?0. 求物体在时间间隔[a,b]内所经过的路程s.由于速度v(t)随时间的变化而变化，因此不能用匀速直线运动的公式路程＝速度?时间 来计算物体作变速运动的路程. 但由于v(t)连续，当t的变化很小时，速度的变化也非常小，因此在很小的一段时间内，变速运动可以近似看成等速运动. 又时间区间[a,b]可以划分为若干个微小的时间区间之和，所以，可以与前述面积问题一样，采用分划、局部近似、求和、取极限的方法来求变速直线运动的路程.(1) 分割：用分点a?t0?t1?t2?????tn?b将时间区间[a,b]分成n个小区间[ti?1,ti](i?1,2,???n), ?si.其中第i个时间段的长度为?ti?ti?ti?1，物体在此时间段内经过的路程为(2) 求近似：当?ti很小时，在[ti?1,ti]上任取一点?i，以v(?i)来替代[ti?1,ti]上各时刻的速度，则?si?v(?i)??ti.(3) 求和：在每个小区间上用同样的方法求得路程的近似值，再求和，得nnis???si?1??v(?i?1i)?ti.(4) 取极限：令??max{?ti}，则当??0时，上式右端的和式作为s近似值的误差1?i?n会趋于0，因此
s?limn??0?v(?i?1i)?ti.
(2)以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限. 我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究． 二、定积分的定义定义
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，任意用分点a?x0?x1?x2?????xn?b 将[a,b]分成n个小区间，用?xi?xi?xi?1表示第i个小区间的长度，在[xi?1,xi]上任取一n点?i，作乘积f(?i)??xi，i?1,2,???,n. 再作和?i?1f(?i)?xi.若当??max{?xi}?0时，上式的极限存在，则称函数f(x)在区间[a,b]并称此1?i?n极限值为f(x)在[a,b]上的定积分，记作?f(x)dx. 即ab ?bnaf(x)dx?lim??0?i?1f(?i)?xi.
(3)其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a,b分别称为积分下限和上限.许多实际问题都可用定积分表示. 例如，若变速直线运动的速度为v(t)，则在时间区间[a,b]上，物体经过的路程为
s??bav(t)dt.
(4)同理，上图所示的曲边梯形面积可表为A??baf(x)dx
(5)对于由(3)式定义的定积分，需作如下几点说明：1、f(x)在[a,b]可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点?i在小区间[xi?1,xi]上如何选取，只要??0，极限值总是唯一确定的.哪些函数是可积的呢？可以证明（证明略）：定理
在闭区间[a,b]上连续的函数必在[a,b]上可积；在区间[a,b]上有界且只有有限个间断点的函数也必在[a,b]上可积.2、定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关，即?baf(x)dx??baf(u)du??baf(t)dt．此等式的正确性在几何上是显然，因为对非负函数f，这三个积分表示同一个平面图形的面积，只是坐标变量的记号不同而已，而这对面积没有影响.3、定义定积分时已假定下限a小于上限b，为便于应用，规定当b?a时，?baf(x)dx???f(x)dx．ba?aaf(x)dx?0．此规定说明：将积分上下限互换时，应改变积分的符号．4、下面讨论定积分的几何意义：（1）、若f(x)?0，则积分?f(x)dx表示如图所示的曲边梯形的面积，即ab?babaf(x)dx?A．（2）、若f(x)?0，则积分?f(x)dx表示如图所示的曲边梯形面积的负值，即?baf(x)dx??A．
这是显然的，因为此时曲边梯形各点处的高是?f(x)而不是f(x)．（3）、如果在[a,b]上f(x)的值有正也有负，如下图，则积分?f(x)dx表示介于x轴、ab曲线y?f(x)及直线x?a、x?b之间各部分面积的代数和．即在x轴上方的图形面积减去x轴下方的图形面积：?baf(x)dx?A1?A2?A3．由定积分的几何意义可直观地得出一些简单的积分值．如?ba0dx?0；?badx?b?a．三、定积分的基本性质以下介绍定积分的基本性质，假定所列定积分都是存在的，以下不一一说明． 性质1
函数代数和的定积分等于它们的定积分的代数和．即?ba[f(x)?g(x)]dx??baf(x)dx??bag(x)dx．这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形．性质2
被积函数的常数因子可以提到积分号前. 即?bakf(x)dx?k?baf(x)dx
（k为常数）．性质3
不论a,b,c三点的相互位置如何，恒有?baf(x)dx??caf(x)dx??bcf(x)dx．这性质表明定积分对于积分区间具有可加性．性质4
若在区间[a,b]上，f(x)?0，则?baf(x)dx?0．推论1
若在区间[a,b]上，f(x)?g(x)，则
推论2?baf(x)dx??bag(x)dx．?baf(x)dx??ba|f(x)|dx?2．?2例１ 比较下列定积分?exdx和?xdx的大小. 解 令f(x)?e?x,xx???2,0?,则f(x)?0．故?0?2f(x)dx?0，即?0?2． (e?x)d?x0x故?0?2edx?x?0?2xdx, 从而原不等式成立.注f'(x)?ex?1＜0,x?[?2,0]f(0)?1,f(x)＞f(0)?1＞0.性质5 (估值定理)
设函数f(x)在区间[a,b]上的最小值与最大值分别为m与M，则
m(b?a)??baf(x)dx?M(b?a)．证
因为m?f(x)?M，由性质4推论1得?abamdx??baf(x)dx??babMdx． dx．即
m?dx?b?baf(x)dx?Mb?a故
m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)．利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围.例2 估计定积分??13x 的值32?sin2解 ?当x??0,??时,0?sinx?1,?0?sin2x?1，由此有32?2?sin2x?3,13?13?x12，2?sin2于是由估值定理有?3???13 ?x?2．2?sin2例3 估计定积分?e2x123?x4dx的值．32,解 设f(x)?2x3?x4,x??1,2?,则f'(x)?6x2?4x3,令f'(x)?0, 得x?327f(1)?1,f()?,f(2)?0,216又所以f(x)在［1,2］内的最大值为2716, 最小值为0，于是272x?x341?e?e由估值定理有
1? ?e1627， ．?21e2x?x34dx?e16性质6(定积分中值定理)
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]内至少存在一点?，使下式成立：?baf(x)dx?f(?)(b?a),
???a,b?．这个公式称为积分中值公式.证
把性质5的不等式各除以b?a，得
m?由于f(x)在闭区间[a,b]上连续，而?b?a1baf(x)dx?M．?b?a1baf(x)dx介于f(x)的最小值m最大值M之间，故根据连续函数的介值定理(第2章)，在[a,b]上至少存在一点?，使f(?)?1b?a?baf(x)dx，即?baf(x)dx?f(?)(b?a)．显然，积分中值公式不论a?b或a?b都是成立的．公式中，f(?)??b?a1baf(x)dx称为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值．这个定理有明显的几何意义：对曲边连续的曲边梯形，总存在一个以b?a为底，以[a,b]上一点?的纵坐标f(?)为高的矩形， 其面积就等于曲边梯形的面积．四、总结：1．定积分的概念：定积分是一种由近似到精确的无穷累积方法．2．定积分的几何意义：若f(x)?0，则积分?f(x)dx表示如图5－2所示的曲边梯ab形的面积；若f(x)?0，则积分?f(x)dx表示如图5－3所示的曲边梯形面积的负值；ab若在[a,b]上f(x)的值有正也有负，积分?f(x)dx表示介于x轴、曲线y?f(x)及直线abx?a、x?b之间各部分面积的代数和. 即在x轴上方的图形面积减去x轴下方的图形面积．3．可积性定理：在[a,b]上连续的函数比在[a,b]上可积． 4．定积分的基本性质（上述性质1—6）． 五、作业：练习
3、4、5、6第二节
微积分基本公式教学目的：掌握微积分基本公式和变上限积分的性质 难
点：变上限积分的性质与应用 重
点：牛顿----莱布尼兹公式 教学内容：由上一节可以看到，尽管定积分可以用“和式极限”来计算，但利用定义来计算定 积分一般是相当复杂和困难的，有时甚至是不可能的. 因此，我们必须寻求计算定积分的简便方法. 不难注意到下面的事实：设变速直线运动的速度为v(t)，路程为s(t)，则在时间区间[T1,T2]内运动的距离为s(T2)?s(T1)；另一方面，由上节的分析可知，该距离应为?v(t)dt.由此有T1T2?T2T1v(t)dt?s(T2)?s(T1)(1)即：v(t)在[T1,T2]上的积分等于它的一个原函数在[T1,T2]的增量. 这一结论是否具有普遍意义呢？下面来回答这个问题. 一、变上限的积分设函数f(x)在区间[a,b]上连续，x?[a,b]，则f(x)在[a,x]上连续，故积分?f(x)dx存在，ax称为变上限的积分. 为避免上限与积分变量混淆，将它改记为?f(t)dt. 显然，对[a,b]上任一ax点x，都有一个确定的积分值与之对应(图5－6)，所以它在[a,b]上定义了一个函数，记作?(x)．即?(x)??xaf(t)dt
(2)函数?(x)具有如下重要性质：定理1
如果f(x)在区间[a,b]上连续，则由(2) 式定义的积分上限的函数?(x)在[a,b]上可导，且有x????(x)???f(t)dt???f(x)?a?x.
当上限在点x处有增量?x(a?x??x?b)时，
????(x??x)??(x)??x??xaf(t)dt??f(t)dt?ax?x??xxf(t)dt．由于f(t)在此区间连续，由积分中值定理得???f(?)??x(?介于x与x??x之间). ．故???x?f(?)当?x?0时，??x. 再由f(x)的连续性得??(x)?lim???x?limf(?)?f(x)．??xx?x?0推论
若函数f(x)在区间[a,b]连续，则变上限的函数?f(t)dt是f(x)在[a,b]上的a一个原函数．由推论可知：连续函数必有原函数. 由此证明了上一章给出的原函数存在定理． 例1
求下列函数的导数： (1)?x
(2)?xe?tdt???e?t????0?x2?t?1xcos2tdt.解
(1) (2)t?x?e2?x..?1cos???x?tdt???????x??x1cos?tdt???cos2x??xb(x)a(x)例2
设a(x),b(x)均可导，求?解f(t)dt的导数．d?b(x)??d?0f(t)dt?f(t)dt???a(x)???a(x)dx?dx?d???dx??b(x) f(t)dt??? ??a(x) f(t)dt??b(x) f(t)dt? ??''?b(x)f?b(x)???a(x)f?a(x)?．a(x)注? f(t)dt是x的复合函数，它由?f(t)dt，u?a(x)复合而成，求导时要用复 u合函数求导公式计算，?2b(x) f(t)dt的导数计算与?x02a(x) f(t)dt完全相似．例3 求极限lim00x??costdt102x?0x.解
此极限为型，用洛必达法则求解，故x02x?limx?02?costdt1021?lim2x?2xcosx10x94x?0x?lim1?cosx5x84x?01?lim8?. x?05x10x8二、牛顿－莱布尼茨公式现在我们来证明对任意连续函数与(1)式相应的结论成立.定理2
牛顿(Newton)－莱布尼茨(Leibniz)公式
如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 ?baf(x)dx?F(b)?F(a)
由于F(x)与?f(t)dt均为f(x)的原函数，由原函数的性质知aF(x)??xaf(t)dt?C．上式中令x?a，得C?F(a)；再令x?b，得F(b)?即?baf(t)dt?F(a)．?baf(x)dx?F(b)?F(a)．公式(4)称为牛顿－莱布尼茨公式.牛顿－莱布尼茨公式是17世纪后叶由牛顿与莱布尼茨各自独立地提出来的，它揭示了定积分与导数的逆运算之间的关系，因而被称为微积分基本定理. 这个定理为定积分的计算提供了一种简便的方法. 在运用时常将公式写出如下形式：例4
计算?解4?baf(x)dx?F(x)ba?F(b)?F(a)
(5)1x2.42?41x2?lnx?ln4?ln2?ln2.例5
计算?e2xdx. 1解?1 e2xdx?21?2x1 e2xd(2x)?12e2x10?12(e?1).2例6
计算?2 ?x2dx.解?x?x32 dx?1?22 (1?x)2?12d(1?x)?212?2?x22? 5?1.例7
求?2?xdx.?1解
2?x???2?x,x?2,?x?2,x?2.由区间可加性，得?3?12?xdx??2?1(2?x)dx?x??2?22?32(x?2)dx23??2x???92?12??1?x????2x??2? 2?5.例8
求正弦曲线y?sinx在[0,?]上与x轴所围成的平面图形(如图)的面积.解
这个曲边梯形的面积
A???? sinxdx?[?cosx]0??(co?s?cos0)?2． 例9
设f(x)?11?x102?x3?1 f(x)dx．求?f(x)dx. 101解
因为定积分?f(x)dx是一个常数，所以，可设?f(x)dx=A，故f(x)?11?x2?xA3．上式两边在[0，1]上积分得A=?f(x)dx?01?111?x2 dx??1 xAdx?arctanx0?A?31x414? ?4?A4，移项后，得三、总结：34A??4，所以A??1 f(x)dx??3．1．变上限的积分
如果f(x)在区间[a,b]上连续，则有x????(x)????f(t)dt??f(x)?a?x．?ba其中F(x)是f(x)的一个原函数，f(x)dx?F(b)?F(a)，而原函数可以用不定积分的方法求得． 四、作业：练习
3、5第三节
定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法 难
点：定积分换元条件的掌握 重
点：换元积分法与分部积分法 教学内容：由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的． 一、定积分换元法定理
假设(1) 函数f(x)在区间[a,b]上连续；(2) 函数x??(t)在区间[?,?]上有连续且不变号的导数；(3) 当t在[?,?]变化时，x??(t)的值在[a,b]上变化，且?(?)?a,?(?)?b， 则有 ?baf(x)dx???f??(t)???(t)dt．?(1)本定理证明从略．在应用时必须注意变换x??(t)应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1
计算?2x?1x1dx．解
令x?1?t，则x?1?t2,dx?2tdt．当x?1时，t?0；当x?2时，t?1． 于是?2x?1x1dx??1t1?t2 1?1?2tdt?2??1?201?t???dt? ?2(t?arctant)0?2?1??1????4?．例2
计算?a a?xdx(a?0)．22解
令x?asint，则dx?acostdt．当x?0时，t?a? a?xdx?a222?2 acost?acostdt ??2?2 (1?cos2t)dt?1??t?sin2t
??2?2??a22? ?a42．显然，这个定积分的值就是圆x2?y2?a2在第一象限那部分的面积(如上图)．?例3
计算?2cos5xsinxdx． 解法一
令t?cosx，则dt??sinxdx． 当x?0时，t?1；当x???25时，t?0，于是 ?2 cosxsinxdx???1tdt??516t601?16．解法二
也可以不明显地写出新变量t，这样定积分的上、下限也不要改变．??即?2 cosxsinxdx???2cosxdcosx 55 ??16?cos6x201?1????0???．6?6?此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限．例4
计算?解? ?sinxdx．??? ?sinxdx?? xxsi?codx22x2x2注：去绝对值时注意符号．??=?(cos20?sin)dx??(sin2x2?cosx2?2)dx ?=2(sinx2?cosx2)2?2(cosx2?sinx2) 00=4(2?1)．例5
计算??sinx3?sin2 dx． x解
设t?cosx，则当x?0时，t?1；当x??时，t??1．??sinx3?sin2 xdx=??1?14?t21dt??114?t2?1dt=2?114?t2 dt?2arcsint21? ?3．例6
设f(x)在[?a,a]上连续，证明： (1) 若f(x)为奇函数，则?f(x)dx?0；?aaa(2) 若f(x)为偶函数，则?f(x)dx?2??aa f(x)dx．a证
由于?a?af(x)dx?? ?af(x)dx??a f(x)dx,对上式右端第一个积分作变换x??t，有?故 ?af(x)dx???f(?t)dt?a? f(?t)dt??a f(?x)dx．?a?af(x)dx??a [f(?x)?f(x)]dx．(1) 当f(x)为奇函数时，f(?x)??f(x)，故?a?af(x)dx??a 0dx?0．(2) 当f(x)为偶函数时，f(?x)?f(x)，故?a?af(x)dx???a 2f(x)dx?2?a f(x)dx．利用例4的结论能很方便地求出一些定积分的值． 例如???xsinxdx?0． (4?2x4?x)dx?4?26?1?1(x?4?x)dx?22?11?1?1dx?0?8．二、定积分的分部积分法设函数u(x)与v(x)均在区间[a,b]上有连续的导数，由微分法则d(uv)?udv?vdu，可得
udv?d(uv)?vdu． 等式两边同时在区间[a,b]上积分，有 ?baudv?(uv)ba??bavdu．
(2)公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中a与b是自变量x的下限与上限． 例7
计算?e1lnxdx．dxxdxx,v?x解
令u?lnx,dv?dx，则du?．故?e1lnxdx?[xlnx]1??e?e1x??(e?0)?(e?1)?1．例8
计算?解xcos3xdx．1 ?? xcos3xdx??3? xdsin3x?2????9?1?xsin3x?3?? ??? ?sin3xdx?? ?1?10?cos3x?3?3? ．?例9
计算?4 x1?cos2xdx．?解?4x1?cos2x1? dx=?4 x2cos?402xdx?1?40?2xdtanx?=(xtanx04??2?1?tanxdx)=(?lncosx24?40)=?8?14ln2．例10
计算?4sec3xdx． ???解?4 secxdx?3?4 secx?secxdx???2?4 secxdtanx ??secxtanx?4? ?4 tanx?secxtanxdx???2?3?4 (secx?1)secxdx?402??2?
?2??4 secxdx?sec33?4 secxdx?2?1)．2??4 secxdx?ln(sexc?tanx) ??4 xdx?ln(?即
2?4sec3xdx?2?ln(2?1)
注 ：移项得． ?故1?4 secxdx?x322?12ln2?1)．例11
计算?e dx．解
先用换元法，令x?t，则x?t2,dx?2tdt．
当x?0时，t?0；当x?1时，t?1． 于是
再用分部积分法，得?10texdx?2?tedt． 1t?1ex dx?2?tde?2(te 1tt10??edt) 1?2[e?(e?1)]?2．三、总结：1、定积分换元积分定理：假设 (1) 函数f(x)在区间[a,b]上连续；(2) 函数x??(t)在区间[?,?]上有连续且不变号的导数；(3) 当t在[?,?]变化时，x??(t)的值在[a,b]上变化，且?(?)?a,?(?)?b．则有?baf(x)dx???f??(t)???(t)dt．?2、定积分分部积分法：设函数u(x)与v(x)均在区间[a,b]上有连续的导数，则有?baudv?(uv)ba??bavdu．3、对称区间上的积分：设f(x)在[?a,a]上连续，则有 (1) 若f(x)为奇函数，则?f(x)dx?0；?aaa(2) 若f(x)为偶函数，则?f(x)dx?2??aa f(x)dx．四、作业：练习
1、2、3、5第五节
定积分的应用教学目的：掌握定积分微元法、面积和旋转体体积求法
点：定积分微元法 重
点：面积和旋转体体积 教学内容：在这一节里，我们讨论定积分在几何、物理等方面的一些应用．我们在引入定积分概念时，曾经讨论了求曲边梯形面积和变速直线运动路程的实际问题，采用的是“微分求和”的方法．我们将区间[a,b]分成n个小区间，相应地，将所求的量A分割成n份很小的部分量?A．在[a,b]上任取一小区间[x,x?dx]，以f(x)dx近似代替?A、当分割无限细，?f(x)dx的极限就是所求的量A，即定积分．实质上，所谓定积分A?微元素dA?ba我们把f(x)dx称为f(x)dx就是由被积表达式f(x)dx从a到b累积之和．，再求出定积分?dA，即所求A．这ab．在定积分应用问题中，先求出微元素dA种方法称为元素法，也称微元法．在用元素法求解实际问题时，应注意要根据条件确定被积函数和积分区间． 一、平面图形的面积本节中将计算一些比较复杂的平面图形面积．我们只讨论直角坐标系的情形． 我们已经知道，在区间[a,b]上，一条连续曲线y?f(x)(?0)与直线x?a,x?b，x轴所围成的曲边梯形面积A就是定积分?f(x)dx．这里，被积表达式f(x)dx就是面积ab元素dA．如果求两条曲线f(x)与g(x)之间所夹图形的面积S(图5－10)，在区间[a,b]上，当0?g(x)?f(x)，则有
S??baf(x)dx??bag(x)dx．或
S??ba[f(x)?g(x)]dx．
(1)公式(1)对于下图所示情况也成立．
如果求两条曲线x??(y)、 例1
求两条抛物线y2?x,y?x2所围成图形的面积． 解
作两条抛物线的图形，如图所示．解方程组?x?0,??y?02??y?x,?2??y?x.得两组解及?x?1,??y?1.．即两抛物线交点为 (0,0),(1,1)．下面求面积元素：取x为积分变量．区间[0,1]上的任一小区间[x,x?dx]的窄条，其面积近似于高为x?x2，底为dx的窄矩形面积．这样就得到面积元素
dA?(x?x2)dx． 于是，所求图形面积为定积分A??1 3?23?x12(x?x)dx??x2???33??031．本题也可按(1)式直接求解．例2
求抛物线y?x2与直线y?x,y?2x所围图形的面积(如图)．解
作出图形，解两个方程组?y?x2,?y?x2,?和?y?xy?2x??得抛物线与两直线的交点分别为(1,1)与(2,4)．故所求面积为
S?S1?S2??1 (2x?x)dx??21(2x?x)dx?276．解
作出图形(如图)．解方程组?y2?2x,??y?x?4.得抛物线与直线的交点(2,?2)和(8,4)．取y坐标为积分变量，确定积分区间1??为[?2,4]．于是面积元素dA??(y?4)?y2?dy2??．所求图形面积为3?y2y?2A??(y?4?y)dy???4y???2226??414?18?2．注：若上下边界均不需分段表示，可对x积分；否则应区分左右边界，对y积分． 例4
求椭圆xa22?yb22?1的面积．解
椭圆如图5－15所示．因为椭圆关于两坐标轴都对称，所以，椭圆面积为第一象限内的那部分面积的4倍，即A?4?a0ydx．为便于积分，在上式中利用椭圆的参数方程作换元．令x?acost,则y?bsinx，dx??asintdt．当x?0时，t?A?4? ?2; 当x?a时，t?0． 于是 ?2bsint(?asint)dt??4ab?2 1?cos2t2dt?2ab??2??ab．特别，当a?b时，得圆面积公式A??a2．注
当曲边梯形的曲边可用参数方程表示时，可以用例4的方法求其面积． 二、体积1、旋转体的体积一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而成的立体称为旋转体，该直线称为旋转轴．圆柱、圆锥、圆台、球体等都是旋转体．现在我们计算由连续曲线y?f(x)，直线x?a,x?b与x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积．取x为积分变量，用[a,b]为积分区间．垂直于x轴的一组平行平面将旋转体分割成许多立体小薄片, 其断面都是圆，只是半径不同.任取[a,b]的一个小区间[x,x?dx]上的一小薄片，它的体积近似于以
f(x)为底面半径, dx为高的扁圆柱体的体积(见上图)，即体积元素为dV??[f(x)]dx2．于是，以?[f(x)]2dx为被积表达式，在区间[a,b]上作定积分，便得所求旋转体体积
V??ba?[f(x)]dx?2?ba?ydx．
(2)2这就是以x轴为旋转轴的旋转体体积公式．类似地，由连续曲线x??(y)，直线y?c,y?d与y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所围成旋转体的体积为
求由椭圆xa22?dc?[?(y)]dy?2?dc?xdy．
(3)2?yb22?1绕x轴旋转一周而成的旋转体(称旋转椭球体)的体积．解
旋转椭球体可看作是由上半个椭圆y?b?及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体．xa22 2?x??取x为积分变量，积分区间为[?a,a]，则体积元素为
dV??b??1?2?dx． a??222a??x?x?2????b??1?2?dx??b??a?1?2?dx a?a???2a于是，旋转椭球体的体积
V??a?a3x?42???b?x???ab2?3a??a3?2．43当a?b时，就是半径为a的球体体积公式V??a．3例6
求由抛物线y?x2，直线x?2与x轴所围成的平面图形(1)绕x轴、(2)绕y轴旋转一周所得立体的体积．解
(1) 积分变量为x，积分区间为[0,2]．绕x轴旋转而成的旋转体体积(如下图)为V?? 2 ?ydx?2?2 32??5??． ?xdx??x??5?5?042(2) 积分变量为y，积分区间为[0,4]．绕y轴旋转而成的旋转体体积应为圆柱体体积减去杯状的体积．即V??4 ??2dy?2?4 ?(y)dy???24 ?22?(2?y?2y)dy???4y???8?2?0??42、平行截面面积为已知的立体的体积设一立体被垂直于某直线(可设此直线为x轴)的平面所截，截面面积A(x)是x的连续函数, 立体位于过点x?a,x?b(a?b)且垂直于x轴的两个平面之间(图5－19)．虽然这类立体一般不是旋转体，但它的体积可仿旋转体体积的求法，用定积分来计算．取x为积分变量，积分区间为[a,b]．体积元素为
dV?A(x)dx． 于是，该立体的体积为
一平面经过半径为R的圆柱体的底面半径，且与底面交成定角?(如图)．求此平面截圆柱所得立体(楔形体)的体积．解
取底面直径所在直线为x轴，底面上过圆心且垂直于x轴的直线为y轴．则底圆方程为x2?y2?R2．立体中过点x(x?(?R,R))且垂直于x轴的截面是直角三角行，其面积为A(x)?
?1212y?ytan?(R22?baA(x)dx．
(4) ．2?x)tan?于是，楔形体体积为V???R?RA(x)dx12tan??R?R(R?x)dx2
3?21x?23?tan??Rx??Rtan??323??R?R．三、压力与功1、液体的压力在生产实践中，我们常遇到水压力的计算问题，如计算水库闸门所受的压力等．这些都可应用定积分来解决．设闸门oMNa如图所示，当水齐闸门顶时，求闸门所受的压力P．习惯上，我们是这样选取直角坐标系的：设y轴位于液面上即与闸门顶重合，沿水平方向；x轴铅直向下．两坐标轴与闸门位于同一平面上．则闸门为由直线x?0(y轴)，x?a，x轴与曲线y?f(x)所围图形．取水深x为积分变量，区分区间为[0,a]．设闸门的面积为A，则面积元素 dA?ydx．由物理学知道, 在水深x处的压强为p??gx (?表示水的密度，g表示重力加速度)，于是，压力元素dP??gx?dA??gxydx??gxf(x)dx．因此，整个闸门所受的水压力为
P??a dP??a ?gxydx??a ?gxf(x)dx．
设某水库的放水闸门为一梯形，如图所示(图中所示闸门尺寸以米为单位)．求水库水齐闸门顶时闸门所受的水压力．解
由于闸门关于x轴对称，只要计算一半闸门的水压力，然后再二倍就得闸门所受总的水压力．取水深x为积分变量．由图可知， 积分区间为[0,10]，直线方程为y?3?15x．因此，闸门所受的总的水压力为P?2?100?gxydx
(??1tm3)10?2?9.8? 1??x?3?x?dx5??10 23???9.8??3x2?x??1 633．3 (kN)15??02、功我们知道，若物体在不变的力F的作用下沿直线移动了距离s，则此过程中力F所作的功为
W?F?s．如果力是变力F(x)，上面的公式显然不适用．但当F(x)连续时，可以在点x附近近似将力看作不变的力F(x)，因而在位移[x,x?dx]过程中，功的微元为dW?F(x)dx．由此可知，在变力F(x)作用下物体沿x轴由点a到点b过程中，力F所作的功为
W??baF(x)dx．
(6)在其他情况下功的计算，也可类似地用微元法来处理．例9
半径为1米的半球形水池，池中充满了水，把池内的水全部抽出需作多少功？ 解
建立坐标系如图所示，圆的方程为x?y22?1．选水深x为积分变量，x?[0,1]．在[0,1]上任意小区间[x,x?dx]上相应小薄圆柱体的水重近似为(??1)9.8??ydx?9.8?(1?x)dx22．将这小水柱体提到池口的距离为x，故功微元为dW?9.8?ydx?x?9.8?(x?x)dx23．将功的微元在区间[0,1]上累积，得所求功为W??1 ?1214?39.8?(x?x)dx?9.8??x?x?4?2?1?7.7?10(J)．3 四、总结：1、平面图形的面积求法： 对x积分：
S?对y积分：
S???baba[f(x)?[f(y)?(上边界-下边界再积分)；
g(x)] d x(右边界-左边界再积分)．
g(y)] d y2、旋转体的体积：以x轴为一直角边的曲边梯形绕x轴旋转：V?以y轴为一直角边的曲边梯形绕y轴旋转：V???baba?[f(x)]dx??[f(y)]dy?b22??bab2?ydx；a?xdy．23、平行截面面积为已知的立体的体积：
V?4、物理应用：微元法． 五、作业：练习
2、3、4、6、7?aA(x)dx．第五节
无穷区间上的广义积分教学目的：掌握广义积分的基本概念 难
点：积分后极限的计算 重
点：无穷限广义积分 教学内容：前面讨论的定积分，事实上有两个前提，一是积分区间是有限的，二是被积函数在该区间是有界的，但在实际问题中，经常遇到积分为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分，例如： ???1x1dx，?111?x?1dx，,,．它们已经不属于前面所说的定积分。因此，我们对定积分作如下推广（运用极限概念），从而形成广义积分的概念。 一、无穷区间上的广义积分定义
设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取b>a，极限lim[?f(x)dx]存在，则称b???ab此极限为f(x)在[a,+∞)上的广义积分，记为?即??af(x)dx???af(x)dx＝lim[?f(x)dx]．b???ab如果等号右端的极限存在，则称广义积分?则称此广义积分发散。??af(x)dx收敛；如果等号右端极限不存在，类似地，可定义函数f(x)在区间(-∞,b]上的广义积分为?b??f(x)dx?lim[?f(x)dx]a???ab对于f(x)在(-∞,+∞)上的广义积分，定义为?????f(x)dx?lim[?f(x)dx]?lim[?f(x)dx]a???ab???ccb其中，c为介于a，b之间的任意实数，a，b各自独立地趋向于无穷大，且仅当右端两个极限都存在时，广义积分?
求???????f(x)dx才收敛，否则是发散的。1x41dx．解 由广义积分定义，???1x41dx?lim[?b???b1x41dx]?lim[?b???13x3b1]?lim13b???(1?1b3)?13．例
求?e2xdx．?? 解? ??e2xdx?lim[?ea???a 2xdx]?lim[a???12e2x0a]?lim12a???(1?e2a)?12．仿照牛顿－莱布尼兹公式的形式，假设F(x)是f(x)在积分区间上的一个原函数，若记F(??)?limF(b)b???；F(??)?alim???F(a)则可记为???af(x)dx?F(??)?F(a)?F(x)??a．另外两种广义积分也有类似的简记法，需要注意的是，积分限+∞，－∞代入时，应理解为对F(x)求极限。根据这一法则，上例的解法可表示为???11??112x011x4dx??3x31?3；? x??e2dx?2e???2．例
求???1??1?x2dx．解 由定义，得???1?1??1?x2dx?? 1??1?x2dx???01?x2dx?arctgx0???arctgx??0 ??(??2)??2??例
求?0??xexdx．解? xx0x0??xedx?? ??xd(ex)?xe???? ??edx?xex0???ex?? 注意到 xex0?x00aa??alim???(xea)?alim???(0e?ae)??alim???ae ＝?limalim1a???e?a＝?a????e?a＝ 0．ex0?x0??a)?0aaalim???(ealim???(e?e)?1?alim???e?1?0?1于是? x??xedx??1．例
讨论广义积分???11xpdx的收敛性。解 当p＝１时，???1??1xdx?ln|x|1???发散； F(x) 当p≠１时，???1xp1dx?[11?px1?p]1??? +∞，p<1 1p?11，p>1所以，当p>1时，此时广义积分收敛，其值为二、无界函数的广义积分定义
P131－（略）例
讨论下列广义积分的敛散性。（1）、?1p?1，而当p≤1时，此广义积分发散。xdx?xx?x22 （2）、?11x2dx?1（3）、?lnxdx 1解
⑴∵f(x)?在［0,1］的右端点x=1处是无穷间断点，因此，12?1xdx?x??02 ?lim?[???021??x?x2 dx]?lim?[???021?21?? (1?x)2?d(1?x)]2 ??lim?(?x1?? )??lim?(2?????0?1)?1⑵∵f(x)?1x2在［-1,1］内有无穷间断点x=0，因此1x2?11x?1?21x? ?1dx??11x2 dx?lim?[??1?01??11x2?1dx]?lim?[??2?011x2?2dx]?lim?(??1?0??1?1)?lim?(??2?01x1 ?2)不存在，所以广义积分?1x2?1发散。⑶∵f(x)?lnx在［0,1］的左端点x=0处是无穷间断点，因此?1 lnxdx?lim?[?lnxdx]?lim?(xlnx??0???011????dx)??lim1?0?(??ln??1??)1??lim???0ln?1?1??lim???0?1 ?1??12??例
证明?11xq dx当q<1时收敛，q≥1时发散。1证
当q=1时，?当q1时，?故三、总结：11x dx?lim?[???011x?dx]?lim?(ln|x|??011?)??1?q 11?q1xq dx?lim?(??0x1?q1?q?)?11?q?lim???0?1?q? 11xq dx?11?q?lim???0?1?q1?q???11xq dx当q<1时收敛，且收敛于11?q，当q≥1时发散1、设f(x)在积分区间上连续，定义??b????af(x)dx?limb????babaf(x)dx f(x)dx?lima????f(x)dx，?1xp????f(x)dx??c??f(x)dx????cf(x)dx．若右端的极限存在，则称左端的广义积分收敛，否则称该广义积分发散．
2、???adx(a?0,p?0)当p?1收敛，其值为a1?pp?1，当p?1时发散．四、作业：练习
2、3、4、6百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆!
欢迎转载：
推荐： 　　　}