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线性代数问题
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两个有趣的线性代数问题
两个有趣的线性代数问题
[摘要]本文通过对两个游戏的分析,将它们转化为对应的线性方程组求解的问题,从而增加了学生学习线性代数的兴趣。
[关键词]矩阵线性方程组秩
学生可能会觉得数学比较抽象,如果能用一些有趣的例子反映数学思想,则会给学生留下深刻印象,激发学生的兴趣,达到良好的教学效果。而线性代数方面的有趣问题,似乎是很少的。下面我们提供两个这样的例子。
一、逃生协议
有一百名游客因轮船遇难而流落到荒岛,更不幸的是在岛上有一个怪物把他们俘虏了。怪物告诉他们,明天上午将让他们从山上到山下站成一排,面向大海,然后给他们分别戴上红,白,黄三种颜色的帽子。后面的人可以看到前面所有人的帽子颜色,前面人则不能看到后面人的帽子颜色。
怪物将从最后一个人开始提问:你的帽子是什么颜色?被问人只能回答红,白或黄这三个字中的一个。如果被提问的人能正确说出自己帽子的颜色,则被释放,否则被吃掉。然后提问下一个人。问:这群人采取什么协议,可以让尽量多的人逃生?
注:此问题由日本新泻大学教授秋山茂树提供。
看到这个问题,一些人可能会想,既然每个人只能回答红、白、黄这三个字中的一个,那么他猜对自己帽子颜色的概率就是,所
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线性代数是最有趣最有价值的 大学数学课程_教学反思/汇报_教学研究_教育专区。...3, i6 ? 2. 交通流问题 图3-3给出了某城市部分单行街道在一个 下午早些...以这个为基础,延伸出两个主要部分,一 部分是向量和...矩阵的特征值和特征向量问题,是线性代数的重点的重点...超爆笑笑话 有趣及爆笑图片汇集 绝对经典搞笑照片文档...线性代数的核心,至于运算的问题,有了计算机之后就迎...另外有趣 的是,找这么一组基,又不冗余,又不缺少...线性变换这个事情,现在看来线性这两个字很重要,它...线性代数试题及答案_理学_高等教育_教育专区。线性代数...培养学生运用所学知识去分析问题、建立数 学模型的...有趣及爆笑图片汇集 绝对经典搞笑照片68份文档
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导读：深度学习从入门到放弃?一定是哪里出了问题。深度学习背后的核心数据结构是标量，向量，矩阵和张量。让我们以编程方式用这些解决所有基本的线性代数问题。
深度学习从入门到放弃?一定是哪里出了问题。
这篇文章想来和你探讨下：深度学习背后的线性代数问题。
先做个简单的名词解释
深度学习：作为机器学习的一个子域，关注用于模仿大脑功能和结构的算法：人工神经网络。
线性代数：连续的而不是离散的数学形式，许多计算机科学家不太了解它。对于理解和使用许多机器学习算法，特别是深度学习算法，理解线性代数是非常重要的。
为什么需要数学?
线性代数，概率和微积分是机器学习用于表述的「语言」。学习这些主题将有助于深入理解底层算法机制，便于开发新算法。
当限定在更小的层次时，深度学习背后的基础都是数学。所以在开始深度学习和编程之前，理解基本的线性代数是至关重要的。
深度学习背后的核心数据结构是标量，向量，矩阵和张量。让我们以编程方式用这些解决所有基本的线性代数问题。
标量是单个数字，是一个 0 阶张量的例子。符号 x∈R 表示 x 是一个标量，属于一组实数值 R。
深度学习有不同的有趣的数字集合。N 表示正整数集合(1,2,3，...)。Z 表示实数，包括正值，负值和 0。Q 表示有理数的集合，有理数可以表示为两个整数组成的分数。
Python 中内置一些标量类型 int，float，complex，bytes 和 Unicode。在 NumPy 这个 python 库中，有 24 种新的基本数据类型来描述不同类型的标量。有关数据类型的信息，请参阅此处的文档(https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.14.0/reference/arrays.scalars.html)。
在 Python 中定义标量和一些操作：
下面的代码片段解释了对标量的几个算术运算。
以下代码片段检查给定变量是否是标量。
向量是一维有序数组，是一阶张量的例子。向量被称为向量空间的对象的片段。向量空间可以被认为是特定长度(或维度)的所有可能向量的全部集合。三维实值向量空间(用 R^3 表示)通常用于从数学角度表示我们对三维空间的现实世界概念。
为了明确识别向量的必要成分，向量的第 i 个标量元素被写为 x [i]。
在深度学习中，向量通常表示特征向量，其原始组成部分定义特定特征的相关性。这些元素中可能包括二维图像中像素集强度的相关重要性或者金融工具的横截面的历史价格值。
Python 中定义向量和一些操作：
矩阵是由数字组成的矩形阵列，是二阶张量的一个例子。如果 m 和 n 均为正整数，即 m, n ∈ N，则矩阵包含 m 行 n 列，共 m*n 个数字。
完整的矩阵可写为：
将所有矩阵的元素缩写为以下形式通常很有用。
在 Python 语言中，我们使用 numpy 库来帮助我们创建 n 维数组。这些数组基本上都是矩阵，我们使用矩阵方法通过列表，来定义一个矩阵。
在 Python 中定义矩阵的操作：
矩阵可以与标量、向量和其他的矩阵相加。这些运算都有严格的定义。这些技巧在机器学习和深度学习中会经常用到，所以值得熟练运用这些技巧。
矩阵-矩阵加法
C=A+B(矩阵 A 和 B 应该有相同的形状)
这类方法返回矩阵的形状，并将两个参数相加后返回这些矩阵的总和。如果这些矩阵的形状不相同，则程序会报错，无法相加。
矩阵-标量相加
将给定的标量加到给定矩阵的所有元素。
矩阵-标量相乘
用给定的标量乘以给定矩阵的所有元素。
矩阵 A 与矩阵 B 相乘得到矩阵 C。
通过矩阵转置，你可以将行向量转换为列向量，反之亦然。
A=[aij]mxn
AT=[aji]n×m
张量的更一般的实体封装了标量、向量和矩阵。在物理学科和机器学习中有时需要用到高于二阶的张量。
我们使用像 tensorflow 或 Pytorch 这样的 Python 库来声明张量，而不是用嵌套矩阵。
在 Pytorch 中定义一个简单的张量:
Python 中张量的几点算术运算
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设想在R维空间里有多少个向量能满足两两夹角大于90度？这是个课后习题，我看了下答案说应该是至多有R+1个，它是这么分析的，假设有R+2个，那么把他们向垂直于某个向量的平面投影则在这个R-1维平面上我们得到R+1个两两夹角大于90度的向量，以此类推将会得到在二维平面上有4个两两夹角大于90度的向量，显然这是不可能的。我的问题是为什么R+2个向量向R-1维平面上一投影就会得到R+1个两两夹角大于90度的向量？根据是什么？谢谢。
“那么把他们向垂直于某个向量的平面投影”把“某个向量”记作N_i，我们选取一组正交归一基底{e_i} 且e_1=N_i/|N_i| 即是与N方向相同的单位向量，那么N_i=(N1,0,0,0……)
N1&0 垂直于向量N_i的N-1维超平面记作M，在基底{e_i}下该平面内任意向量X_i都满足X_1=0对于假设中两两夹角大于90°的N+2个向量，任取和N不同的其中两个，记作A_i,B_iA_i=(A1,A2,A3,……) B_i=(B1,B2,B3,……) 以上三个向量N A B两两夹角大于90°，所以A1N1&0，B1N1&0，A1B1+A2B2+……&0 ∴A1&0 B1&0令P=A1B1 Q=A2B2+A3B3+……
则P&0 Q&0向量A,B在平面M上的投影的分量分别为A'=(0,A2,A3……) B'=(0,B2,B3……)A'B'=Q&0 所以A'和B'的夹角大于90°
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