高级数学 圆的高中数学轨迹方程程式 02
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时间：2018-05-22 05:03
高一数学求轨迹方程问题_百度知道
高一数学求轨迹方程问题
已知圆C1：（x+1）² + y²=1和C2：（x-1）² +（y-3）²=10，过原点O的直线与C1交于P，与C2交于Q，求PQ线段的中点M的轨迹方程。
设直线方程为y=kx，p点坐标为（x1,y1)，q点坐标为（x2,y2)与俩圆方程组成方程组，可求得p(-2/(k^2+1),-2k/(k^2+1)),q((2+6k)/(k^2+1),(6k^2+2k)/(k^2+1))所以m的横坐标x3=3k/(k^2+1),将k=y/x代入得到其轨迹方程为：x^2+(y-3/2)^2=9/4
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下载须知 | 常见问题汇总
学年江苏省建陵高级中学高二数学学案：2.2.1《椭圆的标准方程》1(人教A版选修2-1)
10/21/2014课题221椭圆的标准方程（1）班级姓名学号第学习小组【学习目标】1理解并掌握椭圆的定义，了解椭圆标准方程的推导方法；2能根据椭圆的标准方程熟练地写出椭圆的焦点坐标，会用待定系数法求椭圆的方程；【课前预习】1、椭圆定义的理解2、椭圆的标准方程3、椭圆的标准方程的推导【课堂研讨】例1、（1）求椭圆的焦距与焦点坐标；（2）求焦点为142??YX，且过点的椭圆的标准方程0,3,21F?56,3?例2、已知椭圆，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一012???BAYX21,F10/21/2014点，求证的面积???21PF12PF?2TAN?BS?例3、已知动圆P过定点A3,0，并且在定圆BX32Y264的内部与其相切，求动圆圆心P的轨迹方程例4、在中，BC24，AC、AB边上的中线长之和等于39，ABC?求的重心的轨迹方程。【学后反思】10/21/2014课题221椭圆的标准方程（1）班级姓名学号第学习小组【课堂检测】1椭圆的焦距为32??YX2若椭圆的焦距为4，则M1M3焦点为0,1，0,1的椭圆方程可以是ABCD2??AYX12??AYX12???AYX12??AYX4椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离155如果方程表示焦点在X轴上的椭圆，则实数的取值范围是_______62?AYX6已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若21,F195?1F，则|||2?BA_|A【课后巩固】1椭圆上一点P与椭圆的两个焦点的连线互相垂直，则的1249?YX21,F21FP?面积__2椭圆的两个焦点为，点P在椭圆上，若则?21,F,4||1?P_,||2?PF_21??P3已知椭圆上一点与两个焦点的距离之和为10，焦距是函数的零162?XF点，则椭圆的标准方程为__________________________________4线段AB的两个端点A、B分别在X轴、Y轴上运动，|AB|5，点M是线段AB上一点，且|AM|2，点M随线段AB的运动而变化，求点M的轨迹方程WWWWWW5已知圆B的圆心为点B，又有定点为圆B上任意一点，162??YXCA,01求AC的垂直平分线与线段CB的交点P的轨迹方程10/21/20146已知椭圆C与椭圆的焦点相同，且椭圆C过点372??YX21,F6,275?1求椭圆C的标准方程；2若，且，求的面积CP?3???1PF?
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&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fdcb7fe01d029ceef4310_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&618& data-rawheight=&302& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&618& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-fdcb7fe01d029ceef4310_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-173e9f5ffeec00a9a6dd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&841& data-rawheight=&290& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&841& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-173e9f5ffeec00a9a6dd_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-0ebe78b9a4a752dc77d82150_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&918& data-rawheight=&400& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&918& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-0ebe78b9a4a752dc77d82150_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4dff3eefb97bdc63d814c3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&879& data-rawheight=&191& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&879& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4dff3eefb97bdc63d814c3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d2fa79fffa2ba_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&143& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d2fa79fffa2ba_r.jpg&&&/figure&&p&&b&超人 微信：math （← 加我加我）&/b&&/p&&p&&b&更多技巧尽在超人《vip通关卡》&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//ke.qq.com/course/package/9468%3Ftuin%3Db9fa5b68%26from%3Dshare_wexin_code_scan& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&ke.qq.com/course/packag&/span&&span class=&invisible&&e/9468?tuin=b9fa5b68&from=share_wexin_code_scan&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& (二维码自动识别)&/p&&p&&/p&
在我们遇到空间中异面直线的夹角问题时，文科同学往往将这两条直线平移到一起，而理科同学用空间直角坐标系轻松搞定，今天超人老师介绍给大家的方法就是当平移不好平移，坐标系又很难运算时，这种方法的优点就非常明显了。超人 微信：math （← 加…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-3d2d18e992f154ec42132b_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-3d2d18e992f154ec42132b_r.jpg&&&/figure&&p&欢迎来到我的专栏！！&/p&&p&为了便于查找内容，特地整理出这个专栏的文章的目录，主要分为不等式和解析几何，以后还会继续补充。&/p&&p&如果有发新的文章的话，也会在这里面更新~&/p&&p&&br&&/p&&h2&【解析几何】&/h2&&p&一、方法&/p&&p&（1）射影几何相关&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&什么是极线，好吃吗?&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&椭圆的仿射变换（伸缩变换）&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&把双曲线变成圆：带复数的仿射变换&/a&&/li&&/ol&&p&（2）点差法&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&点差法：关于原点对称的点&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&弦上的点与定比点差法&/a&&/li&&/ol&&p&（3）运算技巧&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&暴力之美：圆锥曲线硬解定理&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&硬算？还是用等效判别式吧&/a&&/li&&/ol&&p&（4）其它方法&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&极坐标方法的骚操作&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&双联立（齐次化处理）解决定点问题&/a&&/li&&/ol&&p&二、好题分享&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&圆锥曲线的一类切线问题&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&椭圆常见的定值问题：其实是同一个模型&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&蒙日圆问题的另解：仿射变换&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&椭圆的内接三角形：奇妙的定值&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&纯几何方法与解析方法的结合&/a&&/li&&/ol&&p&三、杂谈&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&谈谈解析：方程的处理&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&谈谈几何：充分运用平面几何&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&学习解几的一点经验&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&谈谈反比例函数与双曲线&/a&&/li&&/ol&&h2&【导数压轴题】&/h2&&p&一、常见例题与模型&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&二元不等式的巧妙证明方法&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&另一类二元不等式：可以用中值定理？&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&切线？可以放缩？&/a&&/li&&/ol&&p&二、技巧与方法&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&复合函数求导的几个妙用&/a&&/li&&/ol&&h2&【不等式】&/h2&&p&一、重要不等式&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&均值不等式及其应用&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&9-8不等式及其应用&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&柯西不等式及其应用&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&舒尔不等式及其应用&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&伯努利不等式及其应用&/a&&/li&&/ol&&p&二、杂谈&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&一个常见模型的优化解法&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&从一道题分析不等式的常见错误&/a&&/li&&/ol&&h2&【投稿文章】&/h2&&p&作者 &a class=&member_mention& href=&http://www.zhihu.com/people/95bc176d0f& data-hash=&95bc176d0f& data-hovercard=&p$b$95bc176d0f&&@永遠的十日天下&/a& &/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【原创导数小题】原函数，导函数和二阶导函数的方程问题&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【高考填空】三角形中的正余弦定理&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【导数题目】一个含参数函数的范围问题&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【导数】两个little导数比较问题&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&一些比较搞怪的（高中？）导数+放缩问题&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【某模拟导数压轴】等价命题的可行性&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【原创导数压轴（？）题】双估值函数（误）&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&分享些导数出题（zhuang13）的方法&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【2018NCS12题】椭圆中已知斜率求最小值&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【导数压轴类型一题】函数的极值点漂移&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【高中压轴题】数列积问题一道&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【导数压轴题】个人的一点小想法&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【导数小难题】分参后较难画出图像问题&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【胡思乱想系列】题目小改动，给大家测试难度&/a&&/li&&/ol&&p&&br&&/p&&h2&【其他】&/h2&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【拉格朗日乘数法】用骚骚的方法求最值&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【平面向量】三角形中超好用的“奔驰定理”&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【平面向量】向量的外积与三角形的面积&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【圆周率】编写计算机程序计算圆周率&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【编程&概率】怎么样才是抢红包的正确方式？？&/a&&/li&&/ol&&p&&/p&
欢迎来到我的专栏！！为了便于查找内容，特地整理出这个专栏的文章的目录，主要分为不等式和解析几何，以后还会继续补充。如果有发新的文章的话，也会在这里面更新~ 【解析几何】一、方法（1）射影几何相关
&p&看了@Dylan的数学专栏里面提到的问题，一下子勾起了我清华暑校的一些并不太愉快的回忆。当初考试的时候就出了一道类似的题，现在又见到了它，忍不住试着做一做，总算把它给搞定了。我就抽个空把它写一写吧。&/p&&p&已知椭圆 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&& ： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1& alt=&\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1& eeimg=&1&& ,过椭圆外一点 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 作两条切线，若两条切线相互垂直，求 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点的轨迹方程。&/p&&p&（PS:经过和广大知友以及年级大佬的讨论，发现了这个问题有多个不同角度的证法，在此都分享一下）&/p&&p&&b&解一：&/b&可以先设出 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点坐标 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7Bp%7D%2Cy_%7Bp%7D%29& alt=&(x_{p},y_{p})& eeimg=&1&& ,以及两个切点 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B1%7D& alt=&A_{1}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B1%7D%2Cy_%7B1%7D%29& alt=&(x_{1},y_{1})& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B2%7D& alt=&A_{2}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B2%7D%2Cy_%7B2%7D%29& alt=&(x_{2},y_{2})& eeimg=&1&&&/p&&p&根据切点弦公式，可得直线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B1%7DA_%7B2%7D& alt=&A_{1}A_{2}& eeimg=&1&& 的方程 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx_%7Bp%7Dx%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By_%7Bp%7Dy%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1& alt=&\frac{x_{p}x}{a^{2}}+\frac{y_{p}y}{b^{2}}=1& eeimg=&1&&&/p&&p&与椭圆方程联立，先消去 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& ，可得&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B4%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%29y%5E%7B2%7D-%5Cfrac%7B2a%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7Dy%2B%28%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7Bx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D-1%29%3D0& alt=&(\frac{a^{2}y_{p}^{2}}{b^{4}x_{p}^{2}}+\frac{1}{b^{2}})y^{2}-\frac{2a^{2}y_{p}}{b^{2}x_{p}^{2}}y+(\frac{a^{2}}{x_{p}^{2}}-1)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&由韦达定理， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y_%7B1%7D%2By_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D& alt=&y_{1}+y_{2}=\frac{2a^{2}b^{2}y_{p}}{a^{2}y_{p}^{2}+b^{2}x_{p}^{2}}& eeimg=&1&& , &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y_%7B1%7Dy_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7Db%5E%7B4%7D-b%5E%7B4%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D& alt=&y_{1}y_{2}=\frac{a^{2}b^{4}-b^{4}x_{p}^{2}}{a^{2}y_{p}^{2}+b^{2}x_{p}^{2}}& eeimg=&1&&&/p&&p&根据对称性，可以立即得到&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D& alt=&x_{1}+x_{2}=\frac{2a^{2}b^{2}x_{p}}{a^{2}y_{p}^{2}+b^{2}x_{p}^{2}}& eeimg=&1&& , &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B1%7Dx_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7Bb%5E%7B2%7Da%5E%7B4%7D-a%5E%7B4%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D& alt=&x_{1}x_{2}=\frac{b^{2}a^{4}-a^{4}y_{p}^{2}}{a^{2}y_{p}^{2}+b^{2}x_{p}^{2}}& eeimg=&1&&&/p&&p&由于两条切线互相垂直，因此有向量 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D& alt=&PA_{1}& eeimg=&1&& 和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B2%7D& alt=&PA_{2}& eeimg=&1&& 内积为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&&&/p&&p&即 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B1%7Dx_%7B2%7D-%28x_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%29x_%7Bp%7D%2Bx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2By_%7B1%7Dy_%7B2%7D-%28y_%7B1%7D%2By_%7B2%7D%29y_%7Bp%7D%2By_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%3D0& alt=&x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})x_{p}+x_{p}^{2}+y_{1}y_{2}-(y_{1}+y_{2})y_{p}+y_{p}^{2}=0& eeimg=&1&&&/p&&p&代入上面4式，可得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ba%5E%7B4%7Db%5E%7B2%7D-a%5E%7B4%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D-2a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2Ba%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B4%7D%5D%2B%5Bb%5E%7B4%7Da%5E%7B2%7D-b%5E%7B4%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D-2a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2Ba%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B4%7D%5D%3D0& alt=&[a^{4}b^{2}-a^{4}y_{p}^{2}-2a^{2}b^{2}x_{p}^{2}+a^{2}x_{p}^{2}y_{p}^{2}+b^{2}x_{p}^{4}]+[b^{4}a^{2}-b^{4}x_{p}^{2}-2a^{2}b^{2}y_{p}^{2}+b^{2}x_{p}^{2}y_{p}^{2}+a^{2}y_{p}^{4}]=0& eeimg=&1&&&/p&&p&这时得到了一个比较复杂的轨迹方程（我们数学老师跟我们说过次数不超过三次，项数不超过12项的多项式的计算是基本能力）。如果细致一点的话，可以注意到得到该方程利用了向量 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D& alt=&PA_{1}& eeimg=&1&& 和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B2%7D& alt=&PA_{2}& eeimg=&1&& 内积为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&& ，而当 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点在椭圆上时，可认为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B1%7D& alt=&A_{1}& eeimg=&1&& ，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B2%7D& alt=&A_{2}& eeimg=&1&& 三点重合，自然两向量内积为0，该点的横纵坐标为方程的一组解，因此上面的轨迹包含了已知的椭圆，因此这个复杂的轨迹方程是可以分解因式的！&/p&&p&将该轨迹方程以 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bp%7D%5E%7B2%7D& alt=&x_{p}^{2}& eeimg=&1&& 进行降幂排列&/p&&p&由上述分析可知关于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bp%7D%5E%7B2%7D& alt=&x_{p}^{2}& eeimg=&1&& 的方程的一个解为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Bx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%3Da%5E%7B2%7D-%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D& alt=&{x_{p}^{2}}=a^{2}-\frac{a^{2}y_{p}^{2}}{b^{2}}& eeimg=&1&&&/p&&p&根据韦达定理可以得到另一个解为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%3Da%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7D-y_%7Bp%7D%5E%7B2%7D& alt=&x_{p}^{2}=a^{2}+b^{2}-y_{p}^{2}& eeimg=&1&&&/p&&p&那么原轨迹方程为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28b%5E%7B2%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D%2Ba%5E%7B2%7D%7By%5E%7B2%7D%7D-a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7D%29%28x%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D-a%5E%7B2%7D-b%5E%7B2%7D%29%3D0& alt=&(b^{2}{x^{2}}+a^{2}{y^{2}}-a^{2}b^{2})(x^{2}+y^{2}-a^{2}-b^{2})=0& eeimg=&1&&&/p&&p&又由于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点不在椭圆上，因此 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点的轨迹方程为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%3Da%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7D& alt=&x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&解二：&/b&设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点坐标 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7Bp%7D%2Cy_%7Bp%7D%29& alt=&(x_{p},y_{p})& eeimg=&1&& ，两个切点 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B1%7D& alt=&A_{1}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B1%7D%2Cy_%7B1%7D%29& alt=&(x_{1},y_{1})& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B2%7D& alt=&A_{2}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B2%7D%2Cy_%7B2%7D%29& alt=&(x_{2},y_{2})& eeimg=&1&&&/p&&p&根据切点弦公式，可得直线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B1%7DA_%7B2%7D& alt=&A_{1}A_{2}& eeimg=&1&& 的方程 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx_%7Bp%7Dx%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By_%7Bp%7Dy%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1& alt=&\frac{x_{p}x}{a^{2}}+\frac{y_{p}y}{b^{2}}=1& eeimg=&1&&&/p&&p&考虑二次曲线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B1%7D& alt=&\Gamma_{1}& eeimg=&1&& ： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cfrac%7Bx_%7Bp%7Dx%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By_%7Bp%7Dy%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D-1%29%5E%7B2%7D%3D0& alt=&(\frac{x_{p}x}{a^{2}}+\frac{y_{p}y}{b^{2}}-1)^{2}=0& eeimg=&1&&&/p&&p&设直线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D& alt=&PA_{1}& eeimg=&1&& 和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B2%7D& alt=&PA_{2}& eeimg=&1&& 构成的二次曲线为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B2%7D& alt=&\Gamma_{2}& eeimg=&1&&&/p&&p&则椭圆 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B1%7D& alt=&\Gamma_{1}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B2%7D& alt=&\Gamma_{2}& eeimg=&1&& 交于
&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B1%7D& alt=&A_{1}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B1%7D& alt=&A_{1}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B2%7D& alt=&A_{2}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B2%7D& alt=&A_{2}& eeimg=&1&& 四点&/p&&p&&i&注：这里看起来比较奇怪，来解释一下为什么两个交点为什么能当成四个。&/i&&/p&&p&&i&1.椭圆&/i& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B1%7D& alt=&\Gamma_{1}& eeimg=&1&&&i&的交点：&/i& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B1%7D& alt=&\Gamma_{1}& eeimg=&1&& 为两条直线的组合，一条直线有两个交点，两条直线有四个交点。&/p&&p&&i&2.&/i&椭圆 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B2%7D& alt=&\Gamma_{2}& eeimg=&1&& 的交点：&i&交点由于是两个切点，一个切点可以看做两个交点，因此可认为两曲线有四个交点。&/i&&/p&&p&&i&3.&/i& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B1%7D& alt=&\Gamma_{1}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B2%7D& alt=&\Gamma_{2}& eeimg=&1&& 的交点：&i&与1类似。&/i&&/p&&p&根据二次曲线系的理论， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B2%7D& alt=&\Gamma_{2}& eeimg=&1&& 的方程可表示为&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda%28%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D-1%29%2B%28%5Cfrac%7Bx_%7Bp%7Dx%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By_%7Bp%7Dy%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D-1%29%5E%7B2%7D%3D0& alt=&\lambda(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-1)+(\frac{x_{p}x}{a^{2}}+\frac{y_{p}y}{b^{2}}-1)^{2}=0& eeimg=&1&& ,其中 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&& 为一确定常数&/p&&p&由于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B2%7D& alt=&\Gamma_{2}& eeimg=&1&& 上，可以得到 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda%3D-%28%5Cfrac%7Bx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D-1%29& alt=&\lambda=-(\frac{x_{p}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{p}^{2}}{b^{2}}-1)& eeimg=&1&&&/p&&p&即 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B2%7D& alt=&\Gamma_{2}& eeimg=&1&& ： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D-1%29%28%5Cfrac%7Bx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D-1%29-%28%5Cfrac%7Bx_%7Bp%7Dx%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By_%7Bp%7Dy%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D-1%29%5E%7B2%7D%3D0& alt=&(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-1)(\frac{x_{p}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{p}^{2}}{b^{2}}-1)-(\frac{x_{p}x}{a^{2}}+\frac{y_{p}y}{b^{2}}-1)^{2}=0& eeimg=&1&&
(1)&/p&&p&又由于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D& alt=&PA_{1}& eeimg=&1&& 和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B2%7D& alt=&PA_{2}& eeimg=&1&& 垂直，故 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B2%7D& alt=&\Gamma_{2}& eeimg=&1&& 还可表示为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28kx%2By%2Bm_%7B1%7D%29%28x-ky%2Bm_%7B2%7D%29%3D0& alt=&(kx+y+m_{1})(x-ky+m_{2})=0& eeimg=&1&&
(2)&/p&&p&注意到（2）中 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%7B2%7D& alt=&x^{2}& eeimg=&1&& 和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%5E%7B2%7D& alt=&y^{2}& eeimg=&1&& 的系数和为0&/p&&p&在（1）中比对系数可以立即得到 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2By_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%3Da%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7D& alt=&x_{p}^{2}+y_{p}^{2}=a^{2}+b^{2}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&解三（几何解法）：&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-9babaf62a75c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1468& data-rawheight=&784& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1468& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-9babaf62a75c_r.jpg&&&/figure&&p&如图 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=O& alt=&O& eeimg=&1&& 为椭圆中心， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F_%7B1%7D%EF%BC%8CF_%7B2%7D& alt=&F_{1}，F_{2}& eeimg=&1&& 为椭圆两个焦点。 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D%2CPA_%7B2%7D& alt=&PA_{1},PA_{2}& eeimg=&1&& 为椭圆两条切线。其中椭圆已略去。&/p&&p&过 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F_%7B1%7D& alt=&F_{1}& eeimg=&1&& 作 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D& alt=&PA_{1}& eeimg=&1&& 垂线交 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D& alt=&PA_{1}& eeimg=&1&& 于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& ，过 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F_%7B2%7D& alt=&F_{2}& eeimg=&1&& 作 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B2%7D& alt=&PA_{2}& eeimg=&1&& 垂线交 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B2%7D& alt=&PA_{2}& eeimg=&1&& 于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&&/p&&p&连 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=OM%EF%BC%8CON& alt=&OM，ON& eeimg=&1&& ，则 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=OM%3DON%3Da& alt=&OM=ON=a& eeimg=&1&& （由椭圆光学性质很容易证明）&/p&&p&过 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=O& alt=&O& eeimg=&1&& 作 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D& alt=&PA_{1}& eeimg=&1&& 垂线交 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D& alt=&PA_{1}& eeimg=&1&& 于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& ，过 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=O& alt=&O& eeimg=&1&& 作 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B2%7D& alt=&PA_{2}& eeimg=&1&& 垂线交 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B2%7D& alt=&PA_{2}& eeimg=&1&& 于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=E& alt=&E& eeimg=&1&&&/p&&p&未完待续......&/p&
看了@Dylan的数学专栏里面提到的问题，一下子勾起了我清华暑校的一些并不太愉快的回忆。当初考试的时候就出了一道类似的题，现在又见到了它，忍不住试着做一做，总算把它给搞定了。我就抽个空把它写一写吧。已知椭圆 C ： \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}…
解析几何最让人头疼的是大量复杂运算，更头疼是没有思路。联立解方程得韦达定理，那之后呢？之后怎么办？不能教给大家灵活的思路，只能给大家我做题的经验，我那些失败的经验，要是以后大家遇到会快一点找到思路。&p&（一）解析几何中的面积&/p&&p&最常见的是求三角形面积的取值范围，肯定无法从图中看出什么时候最大，只有表示成式子，才可以求出。表示三角形面积有一下几种&/p&&br&&ol&&li&&u&&b&三角形被x轴或y轴分成等地的两个三角形——&/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes+d%5Ctimes+%7Cy_1-y_2%7C+& alt=&S=\frac{1}{2}\times d\times |y_1-y_2| & eeimg=&1&&&br&&/u&&/li&&/ol&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2cd920f46be59c12d7c7a_b.png& data-rawwidth=&247& data-rawheight=&206& class=&content_image& width=&247&&&/figure&&p&&b&例&/b& (2016新课标Ⅲ) 已知抛物线C:y^2=2x的的焦点为F，平行于x轴的两条直线L_1,L_2分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点.&br&&br&(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR//FQ&br&&br&(2) 若&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+& alt=&\triangle & eeimg=&1&& PQF的面积是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+& alt=&\triangle & eeimg=&1&& ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-98fdec9f6da5640d59adacf_b.png& data-rawwidth=&216& data-rawheight=&215& class=&content_image& width=&216&&&/figure&&br&&blockquote&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+PQF& alt=&\triangle PQF& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+ABF& alt=&\triangle ABF& eeimg=&1&&都被x轴分成同底的两个三角形&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_%7BPQF%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes+1%5Ctimes+%7Cy_a-y_b%7C+& alt=&S_{PQF}=\frac{1}{2}\times 1\times |y_a-y_b| & eeimg=&1&&,&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_%7BABF%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes+d%5Ctimes+%7Cy_1-y_2%7C+& alt=&S_{ABF}=\frac{1}{2}\times d\times |y_1-y_2| & eeimg=&1&&&br&可得&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=d%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&d=\frac{1}{2}& eeimg=&1&&,直线AB过（1,0）点，于是可设AB直线，联立解方程，得韦达定理，求中点轨迹&/blockquote&&p&&b&&u&2.底是弦长，顶点是定点——&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes++& alt=&S=\frac{1}{2}\times
& eeimg=&1&&点到直线距离&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctimes+& alt=&\times & eeimg=&1&&弦长公式&/u&&/b&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-febf0fffe079616fbb74f_b.png& data-rawwidth=&241& data-rawheight=&203& class=&content_image& width=&241&&&/figure&&p&例：（2014新课标一）已知点A(0，2)，椭圆E：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&(a&b&0)的离心率为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D& alt=&\frac{\sqrt{3}}{2}& eeimg=&1&&,F是椭圆E的右焦点，
直线AF的斜率为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D& alt=&\frac{2\sqrt{3}}{3}& eeimg=&1&&，O为坐标原点&/p&&p&（1） 求E的方程&/p&&p&（2）设过点A的动直线L与E交于PQ两点，当&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+& alt=&\triangle & eeimg=&1&& OPQ的面积最大时，求L的方程。&/p&&blockquote&思路：点斜式设过A点的直线与椭圆联立解方程，得韦达定理&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_%7BOPQ%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Ctimes+d%5Ctimes+%7CPQ%7C& alt=&S_{OPQ}=\frac{1}{2} \times d\times |PQ|& eeimg=&1&&,其中d为O点到直线的距离，|PQ|用弦长公式表示&/blockquote&&br&&br&&p&&b&&u&3.都在动，但和其他三角形有关系——&/u&&/b&&u&&b&找到关键三角形的比例关系&/b&&/u&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-71c55c515d27bd39e06e38dec7f305ab_b.png& data-rawwidth=&264& data-rawheight=&217& class=&content_image& width=&264&&&/figure&&br&&p&&b&例&/b&： (2014浙江22)已知&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+& alt=&\triangle & eeimg=&1&& ABP的三个顶点都在抛物线C：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2%3D4y& alt=&x^2=4y& eeimg=&1&&上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BPF%7D%3D3%5Coverrightarrow%7BFM%7D& alt=&\overrightarrow{PF}=3\overrightarrow{FM}& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&
(1)若&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7CPF%7C%3D3& alt=&|PF|=3& eeimg=&1&&，求点M的坐标。&/p&&p&
(2)求&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+ABP& alt=&\triangle ABP& eeimg=&1&&面积的最大值。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b43bbac998b4a_b.png& data-rawwidth=&174& data-rawheight=&143& class=&content_image& width=&174&&&/figure&&blockquote&解题思路：三角形的三边都在变动，三个点都在变动，还好F是定点和P点有关系，所以只要找到三角形ABP和三角形ABF的关系，表示三角形ABF就好。&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_%7BABP%7D%3D4S_%7BABF%7D& alt=&S_{ABP}=4S_{ABF}& eeimg=&1&&，&br&设AB直线为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dkx%2Bm& alt=&y=kx+m& eeimg=&1&&，与抛物线联立得韦达定理，且&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%5Cgeq+0& alt=&\Delta \geq 0& eeimg=&1&&求范围&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7CAB%7C& alt=&|AB|& eeimg=&1&&弦长公式表示，高为F到AB直线的距离&/blockquote&&b&&u&4、对角线互相垂直的四边形面积——&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes++& alt=&S=\frac{1}{2}\times
& eeimg=&1&&对角线弦长&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctimes+& alt=&\times & eeimg=&1&&对角线弦长&/u&&/b&&p&&b&例&/b&：(2016新课标一20)设圆&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2%2By%5E2%2B2x-15%3D0& alt=&x^2+y^2+2x-15=0& eeimg=&1&&的圆心为A，直线L过点B(0,1)且与x轴不重合，L交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E，&/p&&p& (1)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程。&/p&&p&
(2)设点E的轨迹为曲线C_1，直线L交C_1于M,N两点，过B且与L垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。&/p&&blockquote&设直线L&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dkx%2B1& alt=&y=kx+1& eeimg=&1&&和与它垂直的直线&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7Dx%2B1+& alt=&y=-\frac{1}{k}x+1 & eeimg=&1&&分别与椭圆联立得韦达定理&br&|MN|和|PQ|分别用弦长公式表示&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes+%7CPQ%7C%5Ctimes+%7CMN%7C& alt=&S=\frac{1}{2}\times |PQ|\times |MN|& eeimg=&1&&&/blockquote&&br&&p&&b&5、任意四边形面积——分为两三角形&/b&&/p&&p&例：如图，O为坐标原点，椭圆&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C_1& alt=&C_1& eeimg=&1&&:&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=& \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&(a&b&0)的左右焦点分别为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F_1%2CF_2& alt=&F_1,F_2& eeimg=&1&&，离心率为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=e_1& alt=&e_1& eeimg=&1&&，双曲线&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C_2%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&C_2:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&左右焦点分别为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F_3%2CF_4& alt=&F_3,F_4& eeimg=&1&&，离心率为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=e_2& alt=&e_2& eeimg=&1&&，已知&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+e_1e_2%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D& alt=& e_1e_2=\frac{\sqrt{3}}{2}& eeimg=&1&&，且&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F_2F_4%3D%5Csqrt%7B3%7D-1& alt=&F_2F_4=\sqrt{3}-1& eeimg=&1&&&/p&&p&(1) 求&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C_1%2CC_2& alt=&C_1,C_2& eeimg=&1&&的方程。&/p&&p&(2)过&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F_1& alt=&F_1& eeimg=&1&&点作&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C_1& alt=&C_1& eeimg=&1&&的不垂直与y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C_2& alt=&C_2& eeimg=&1&&交于P、Q两点时，求四边形APBQ的面积的最小值。&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ecce4bc03_b.png& data-rawwidth=&217& data-rawheight=&193& class=&content_image& width=&217&&&/figure&&/p&&br&&blockquote&解题思路：因为M为AB中点，可得A点到直线FQ的距离与B点到FQ的距离相等，&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_%7BAPBQ%7D%3D2%5Ctimes+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes+%7CPQ%7C%5Ctimes+d+& alt=&S_{APBQ}=2\times \frac{1}{2}\times |PQ|\times d & eeimg=&1&&,其中d为A点到直线PQ的距离&br&设AB直线&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dmy%2B1& alt=&x=my+1& eeimg=&1&&,与椭圆联立，得M点坐标，可得&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=K_%7BOM%7D& alt=&K_{OM}& eeimg=&1&&,于是设直线OM与双曲线联立解方程算弦长|PQ|&/blockquote&—————————————————————————————————————————&p&知乎排版要疯了，大家将就看吧&/p&
解析几何最让人头疼的是大量复杂运算，更头疼是没有思路。联立解方程得韦达定理，那之后呢？之后怎么办？不能教给大家灵活的思路，只能给大家我做题的经验，我那些失败的经验，要是以后大家遇到会快一点找到思路。（一）解析几何中的面积最常见的是求三角形…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f05bc819a86d1aefa5730a2_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&448& class=&content_image& width=&400&&&/figure&&p&大家都知道椭圆双曲线第一定义都是空间中的点到两定点距离之和之差为定值，那么圆有类似的性质吗？当然有那就是阿波罗尼圆。这个性质浙江四川北京卷都考过，非常简洁，美观。更多技巧尽在数学超人&VIP通关卡&&/p&&a class=&video-box& href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/392064& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-f58bcd43c813801dcee4_b.jpg& data-lens-id=&392064&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-f58bcd43c813801dcee4_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/392064&/span&
&p&不是这个阿波罗哦&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-af132ce2b0da4cbae8dd33d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&334& data-rawheight=&480& class=&content_image& width=&334&&&/figure&&p&是他是他&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-acdadf18f637a0b1a414047_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&250& data-rawheight=&306& class=&content_image& width=&250&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-1449c82b2b81c4206d6d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&872& data-rawheight=&101& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&872& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-1449c82b2b81c4206d6d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-4a591fea21f07faa5cca17_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&866& data-rawheight=&162& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&866& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-4a591fea21f07faa5cca17_r.jpg&&&/figure&&p&数学超人通关卡，一个高中所有套路技巧题型的合集。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d2fa79fffa2ba_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&143& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d2fa79fffa2ba_r.jpg&&&/figure&&p&&b&超人 微信：math （← 加我加我）&/b&&/p&&p&&b&vip通关卡：（微信扫描二维码）&/b&&/p&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//ke.qq.com/course/package/9468%3Ftuin%3Db9fa5b68%26from%3Dshare_wexin_code_scan& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&ke.qq.com/course/packag&/span&&span class=&invisible&&e/9468?tuin=b9fa5b68&from=share_wexin_code_scan&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& (二维码自动识别)&/p&&p&&/p&
大家都知道椭圆双曲线第一定义都是空间中的点到两定点距离之和之差为定值，那么圆有类似的性质吗？当然有那就是阿波罗尼圆。这个性质浙江四川北京卷都考过，非常简洁，美观。更多技巧尽在数学超人&VIP通关卡&不是这个阿波罗哦是他是他数学超人通关卡，一个…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-3e48ee1fc97_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-3e48ee1fc97_r.jpg&&&/figure&&p&在平常做题当中，要使用判别式的情况并不常见，但是一旦出现常常让人头痛。&/p&&p&这两天写了篇关于蒙日圆问题的文章，评论区有人说到可以使用“等效判别式”。&/p&&p&公式非常简洁，并且可以大量简化计算，所以我特地写了一篇文章，将常用的“等效判别式”列出来。&/p&&p&可参考以下文章阅读~&/p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic4.zhimg.com/v2-f90e09ad161d2a6c0.jpg& data-image-width=&1920& data-image-height=&1080& class=&internal&&Dylan：【解析几何】暴力之美：圆锥曲线硬解定理&/a&&p&&br&&/p&&h2&一、回归本质：什么是判别式&/h2&&p&下面内容初中老师都讲过，再来复习一下~&/p&&p&对于常见的一元二次方程 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0& alt=&ax^2+bx+c=0& eeimg=&1&& 来说，我们通过以下方法来求它的根：&/p&&p&配凑得到 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%29%5E2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2-4ac%7D%7B4a%5E2%7D& alt=&(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}& eeimg=&1&& ，所以 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D& alt=&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}& eeimg=&1&&&/p&&p&这就是常见的二次方程的求根公式。&/p&&p&当存在两个解时， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2-4ac%3E0& alt=&b^2-4ac&0& eeimg=&1&& ；&/p&&p&当存在一个解时， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2-4ac%3D0& alt=&b^2-4ac=0& eeimg=&1&& ；&/p&&p&当不存在解时， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2-4ac%3C0& alt=&b^2-4ac&0& eeimg=&1&& 。&/p&&p&所以令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3Db%5E2-4ac& alt=&\Delta=b^2-4ac& eeimg=&1&& ，可以通过判断 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta& alt=&\Delta& eeimg=&1&& 的正负来判断一元二次方程的解的个数。&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3Db%5E2-4ac& alt=&\Delta=b^2-4ac& eeimg=&1&& 就叫做一元二次方程的判别式。&/p&&p&&br&&/p&&h2&二、椭圆情形&/h2&&p&对于椭圆 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&& 和直线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%2BBy%2BC%3D0& alt=&Ax+By+C=0& eeimg=&1&&&/p&&p&等效判别式为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_0%3DA%5E2a%5E2%2BB%5E2b%5E2-C%5E2& alt=&\Delta_0=A^2a^2+B^2b^2-C^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&证明&/b& 由 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&& 与 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%2BBy%2BC%3D0& alt=&Ax+By+C=0& eeimg=&1&& 联立得：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28A%5E2a%5E2%2BB%5E2b%5E2%29x%5E2%2B2ACa%5E2x%2Ba%5E2%28C%5E2-b%5E2B%5E2%29%3D0& alt=&(A^2a^2+B^2b^2)x^2+2ACa^2x+a^2(C^2-b^2B^2)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D%282ACa%5E2%29%5E2-4a%5E2%28A%5E2a%5E2%2BB%5E2b%5E2%29%28C%5E2-B%5E2b%5E2%29& alt=&\Delta=(2ACa^2)^2-4a^2(A^2a^2+B^2b^2)(C^2-B^2b^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E2B%5E2b%5E2%28A%5E2a%5E2%2BB%5E2b%5E2-C%5E2%29& alt=&=4a^2B^2b^2(A^2a^2+B^2b^2-C^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=4a%5E2B%5E2b%5E2%3E0& alt=&4a^2B^2b^2&0& eeimg=&1&& ，所以判别式的正负只与 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%5E2a%5E2%2BB%5E2b%5E2-C%5E2& alt=&A^2a^2+B^2b^2-C^2& eeimg=&1&& 有关&/p&&p&则可令等效判别式 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_0%3DA%5E2a%5E2%2BB%5E2b%5E2-C%5E2& alt=&\Delta_0=A^2a^2+B^2b^2-C^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&当椭圆焦点在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 轴上时，交换 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5E2& alt=&a^2& eeimg=&1&& 与 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2& alt=&b^2& eeimg=&1&& 即可&/p&&p&此时 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_0%3DA%5E2b%5E2%2BB%5E2a%5E2-C%5E2& alt=&\Delta_0=A^2b^2+B^2a^2-C^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&h2&三、双曲线情形&/h2&&p&对于双曲线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&& 和直线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%2BBy%2BC%3D0& alt=&Ax+By+C=0& eeimg=&1&&&/p&&p&等效判别式为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_0%3DB%5E2b%5E2-A%5E2a%5E2%2BC%5E2& alt=&\Delta_0=B^2b^2-A^2a^2+C^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&证明&/b& 由 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&& 与 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%2BBy%2BC%3D0& alt=&Ax+By+C=0& eeimg=&1&& 联立得：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28B%5E2b%5E2-A%5E2a%5E2%29x%5E2-2ACa%5E2x-a%5E2%28C%5E2%2Bb%5E2B%5E2%29%3D0& alt=&(B^2b^2-A^2a^2)x^2-2ACa^2x-a^2(C^2+b^2B^2)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D%282ACa%5E2%29%5E2%2B4a%5E2%28B%5E2b%5E2-A%5E2a%5E2%29%28C%5E2%2BB%5E2b%5E2%29& alt=&\Delta=(2ACa^2)^2+4a^2(B^2b^2-A^2a^2)(C^2+B^2b^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E2B%5E2b%5E2%28B%5E2b%5E2-A%5E2a%5E2%2BC%5E2%29& alt=&=4a^2B^2b^2(B^2b^2-A^2a^2+C^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=4a%5E2B%5E2b%5E2%3E0& alt=&4a^2B^2b^2&0& eeimg=&1&& ，所以判别式的正负只与 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B%5E2b%5E2-A%5E2a%5E2%2BC%5E2& alt=&B^2b^2-A^2a^2+C^2& eeimg=&1&& 有关&/p&&p&则可令等效判别式 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_0%3DB%5E2b%5E2-A%5E2a%5E2%2BC%5E2& alt=&\Delta_0=B^2b^2-A^2a^2+C^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&当双曲线焦点在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 轴上时，交换 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5E2& alt=&a^2& eeimg=&1&& 与 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2& alt=&b^2& eeimg=&1&& 即可&/p&&p&此时 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_0%3DB%5E2a%5E2-A%5E2b%5E2%2BC%5E2& alt=&\Delta_0=B^2a^2-A^2b^2+C^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&h2&四、应用&/h2&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic2.zhimg.com/v2-fe5d4cf27e4b28ea36a25_180x120.jpg& data-image-width=&1920& data-image-height=&1080& class=&internal&&Dylan：【解析几何】圆锥曲线的一类切线问题及解答&/a&&p&我们这时候可以再来做一遍“蒙日圆”问题：&/p&&p&&b&例1&/b& 已知椭圆&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&& ，过椭圆外一点 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 作两条切线，若两条切线相互垂直，求 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点的轨迹方程。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-57b67a4bb13cd84c76ef0f6e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&419& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-57b67a4bb13cd84c76ef0f6e_r.jpg&&&/figure&&p&&b&解 &/b&设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28x_0%2Cy_0%29& alt=&P(x_0,y_0)& eeimg=&1&& ，切线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y-y_0%3Dk%28x-x_0%29& alt=&y-y_0=k(x-x_0)& eeimg=&1&& 即 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=kx-y-%28kx_0-y_0%29%3D0& alt=&kx-y-(kx_0-y_0)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&等效判别式 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_0%3Da%5E2k%5E2%2Bb%5E2-%28kx_0-y_0%29%5E2%3D0& alt=&\Delta_0=a^2k^2+b^2-(kx_0-y_0)^2=0& eeimg=&1&&&/p&&p&化简得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28a%5E2-x_0%5E2%29k%5E2%2B2x_0y_0k%2B%28b%5E2-y_0%5E2%29%3D0& alt=&(a^2-x_0^2)k^2+2x_0y_0k+(b^2-y_0^2)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&由韦达定理： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=k_1k_2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2-y_0%5E2%7D%7Ba%5E2-x_0%5E2%7D%3D-1& alt=&k_1k_2=\frac{b^2-y_0^2}{a^2-x_0^2}=-1& eeimg=&1&&&/p&&p&化简得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0%5E2%2By_0%5E2%3Da%5E2%2Bb%5E2& alt=&x_0^2+y_0^2=a^2+b^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例2&/b& 已知双曲线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1%28a%3Eb%29& alt=&C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a&b)& eeimg=&1&& ，过双曲线外一点 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 作两条切线，若两条切线相互垂直，求 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点的轨迹方程。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f3dd5ae588b30d38adc5e3f3d79a49c6_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&578& data-rawheight=&540& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&578& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f3dd5ae588b30d38adc5e3f3d79a49c6_r.jpg&&&/figure&&p&&b&解 &/b&设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28x_0%2Cy_0%29& alt=&P(x_0,y_0)& eeimg=&1&& ，切线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y-y_0%3Dk%28x-x_0%29& alt=&y-y_0=k(x-x_0)& eeimg=&1&& 即 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=kx-y-%28kx_0-y_0%29%3D0& alt=&kx-y-(kx_0-y_0)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&等效判别式 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_0%3Db%5E2-a%5E2k%5E2%2B%28kx_0-y_0%29%5E2%3D0& alt=&\Delta_0=b^2-a^2k^2+(kx_0-y_0)^2=0& eeimg=&1&&&/p&&p&化简得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_0%5E2-a%5E2%29k%5E2-2x_0y_0k%2By_0%5E2%2Bb%5E2%3D0& alt=&(x_0^2-a^2)k^2-2x_0y_0k+y_0^2+b^2=0& eeimg=&1&&&/p&&p&由韦达定理： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=k_1k_2%3D%5Cfrac%7By_0%5E2%2Bb%5E2%7D%7Bx_0%5E2-a%5E2%7D%3D-1& alt=&k_1k_2=\frac{y_0^2+b^2}{x_0^2-a^2}=-1& eeimg=&1&&&/p&&p&化简得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0%5E2%2By_0%5E2%3Da%5E2-b%5E2& alt=&x_0^2+y_0^2=a^2-b^2& eeimg=&1&&&/p&
在平常做题当中，要使用判别式的情况并不常见，但是一旦出现常常让人头痛。这两天写了篇关于蒙日圆问题的文章，评论区有人说到可以使用“等效判别式”。公式非常简洁，并且可以大量简化计算，所以我特地写了一篇文章，将常用的“等效判别式”列出来。可参考…
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f90e09ad161d2a6c8109b_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f90e09ad161d2a6c8109b_r.jpg&&&/figure&&p&希望大家不要只收藏不点赞，也当作是对我的小小的支持了~&/p&&p&喜欢的话可以关注一下我的专栏，会持续更新!&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理(The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem)或JZQ-EH定理(The JZQ Ellipse & Hyperbola Theorem)，其是一套求解椭圆（或双曲线）与直线相交时，联立方程求判别式、韦达定理与相交弦长的简便算法，常应用于解析几何。&/blockquote&&p&这是网上找得到的东西。&/p&&p&我另外整理，亲自算了一遍，并把结果写在下面，希望方便大家学习~&/p&&p&由于大部分是自己算的，可能会出现错误，如果有误欢迎指出！&/p&&p&但是应该特别注意的是，&b&定理并不能直接用于高考&/b&，可以把计算的过程，也就是下面推导的过程写出来。&/p&&p&&br&&/p&&p&原定理内容：&/p&&blockquote&若曲线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bm%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bn%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1& eeimg=&1&& 与直线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%2BBy%2BC%3D0& alt=&Ax+By+C=0& eeimg=&1&& 相交于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=E%2CF& alt=&E,F& eeimg=&1&& 两点，则：&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2ACm%7D%7B%5Cvarepsilon%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2ACm}{\varepsilon}& eeimg=&1&& ，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Bm%28C%5E2-B%5E2n%29%7D%7B%5Cvarepsilon%7D& alt=&x_1x_2=\frac{m(C^2-B^2n)}{\varepsilon}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27%3Dmn%28%5Cvarepsilon-C%5E2%29& alt=&\Delta'=mn(\varepsilon-C^2)& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7CEF%7C%3D%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B%28A%5E2%2BB%5E2%29%5CDelta%27%7D%7D%7B%7C%5Cvarepsilon%7C%7D& alt=&|EF|=\frac{2\sqrt{(A^2+B^2)\Delta'}}{|\varepsilon|}& eeimg=&1&&&br&其中 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%3DA%5E2m%2BB%5E2n& alt=&\varepsilon=A^2m+B^2n& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4B%5E2%7D%5CDelta& alt=&\Delta'=\frac{1}{4B^2}\Delta& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&原定理内容并不适合高考中常见的模型，因此在这里另外给出一套计算公式。&/p&&p&&b&如果不想看计算过程的话可以直接跳到文章的结尾，有完整的总结~&/b&&/p&&p&&br&&/p&&h2&一、抛物线情形&/h2&&p&设抛物线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%3Ay%5E2%3D2px& alt=&C:y^2=2px& eeimg=&1&& ，直线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l%3Ax%3Dmy%2Bt& alt=&l:x=my+t& eeimg=&1&& ，联立得：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%5E2-2pmy-2pt%3D0& alt=&y^2-2pmy-2pt=0& eeimg=&1&& ，由韦达定理：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y_1%2By_2%3D2pm& alt=&y_1+y_2=2pm& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y_1y_2%3D-2pt& alt=&y_1y_2=-2pt& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D& alt=&\Delta=& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28-2pm%29%5E2-4%28-2pt%29%3D4p%5E2m%5E2%2B8pt& alt=&(-2pm)^2-4(-2pt)=4p^2m^2+8pt& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cy_1-y_2%7C%3D%5Csqrt%7B%28y_1%2By_2%29%5E2-4y_1y_2%7D%3D%5Csqrt%7B%282pm%29%5E2-4%28-2pt%29%7D& alt=&|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}=\sqrt{(2pm)^2-4(-2pt)}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Csqrt%7B%5CDelta%7D& alt=&=\sqrt{\Delta}& eeimg=&1&&&/p&&p&抛物线的计算量较小，通常选择消去一次项。&/p&&p&其他情形的抛物线可以类比，在这里不再列出。&/p&&p&&br&&/p&&h2&二、椭圆情形 &/h2&&p&（1）设椭圆 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&，直线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l%3Ay%3Dkx%2Bm& alt=&l:y=kx+m& eeimg=&1&& ，将椭圆方程变形为：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2x%5E2%2Ba%5E2y%5E2%3Da%5E2b%5E2& alt=&b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2& eeimg=&1&& ，与直线联立： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29x%5E2%2B2a%5E2kmx%2Ba%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%3D0& alt=&(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&由韦达定理： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2a%5E2km%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2a^2km}{a^2k^2+b^2}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D& alt=&x_1x_2=\frac{a^2(m^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D%282a%5E2km%29%5E2-4%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29%5Ccdot+a%5E2%28m%5E2-b%5E2%29& alt=&\Delta=(2a^2km)^2-4(a^2k^2+b^2)\cdot a^2(m^2-b^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E4k%5E2m%5E2-%284a%5E4k%5E2m%5E2%2B4a%5E2b%5E2m%5E2-4a%5E4b%5E2k%5E2-4a%5E2b%5E4%29& alt=&=4a^4k^2m^2-(4a^4k^2m^2+4a^2b^2m^2-4a^4b^2k^2-4a^2b^4)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E4b%5E2k%5E2%2B4a%5E2b%5E4-4a%5E2b%5E2m%5E2& alt=&=4a^4b^2k^2+4a^2b^4-4a^2b^2m^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E2b%5E2%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2-m%5E2%29& alt=&=4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_1-x_2%7C%3D%5Csqrt%7B%28x_1%2Bx_2%29%5E2-4x_1x_2%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%28-2a%5E2km%29%5E2%7D%7B%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29%5E2%7D-4%5Cfrac%7Ba%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D%7D& alt=&|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\frac{(-2a^2km)^2}{(a^2k^2+b^2)^2}-4\frac{a^2(m^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%282a%5E2km%29%5E2-4a%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%5Ccdot+%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29%7D%7B%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29%5E2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5CDelta%7D%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D& alt=&=\sqrt{\frac{(2a^2km)^2-4a^2(m^2-b^2)\cdot (a^2k^2+b^2)}{(a^2k^2+b^2)^2}}=\frac{\sqrt{\Delta}}{a^2k^2+b^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2-m%5E2%7D%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D& alt=&=\frac{2ab\sqrt{a^2k^2+b^2-m^2}}{a^2k^2+b^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Da%5E2k%5E2%2Bb%5E2& alt=&A=a^2k^2+b^2& eeimg=&1&& ，则：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2a%5E2km%7D%7BA%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2a^2km}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&x_1x_2=\frac{a^2(m^2-b^2)}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_1-x_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA-m%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|x_1-x_2|=\frac{2ab\sqrt{A-m^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.c}
高一数学求轨迹方程问题
已知圆C1：（x+1）² + y²=1和C2：（x-1）² +（y-3）²=10，过原点O的直线与C1交于P，与C2交于Q，求PQ线段的中点M的轨迹方程。
设直线方程为y=kx，p点坐标为（x1,y1)，q点坐标为（x2,y2)与俩圆方程组成方程组，可求得p(-2/(k^2+1),-2k/(k^2+1)),q((2+6k)/(k^2+1),(6k^2+2k)/(k^2+1))所以m的横坐标x3=3k/(k^2+1),将k=y/x代入得到其轨迹方程为：x^2+(y-3/2)^2=9/4
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学年江苏省建陵高级中学高二数学学案：2.2.1《椭圆的标准方程》1(人教A版选修2-1)
10/21/2014课题221椭圆的标准方程（1）班级姓名学号第学习小组【学习目标】1理解并掌握椭圆的定义，了解椭圆标准方程的推导方法；2能根据椭圆的标准方程熟练地写出椭圆的焦点坐标，会用待定系数法求椭圆的方程；【课前预习】1、椭圆定义的理解2、椭圆的标准方程3、椭圆的标准方程的推导【课堂研讨】例1、（1）求椭圆的焦距与焦点坐标；（2）求焦点为142??YX，且过点的椭圆的标准方程0,3,21F?56,3?例2、已知椭圆，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一012???BAYX21,F10/21/2014点，求证的面积???21PF12PF?2TAN?BS?例3、已知动圆P过定点A3,0，并且在定圆BX32Y264的内部与其相切，求动圆圆心P的轨迹方程例4、在中，BC24，AC、AB边上的中线长之和等于39，ABC?求的重心的轨迹方程。【学后反思】10/21/2014课题221椭圆的标准方程（1）班级姓名学号第学习小组【课堂检测】1椭圆的焦距为32??YX2若椭圆的焦距为4，则M1M3焦点为0,1，0,1的椭圆方程可以是ABCD2??AYX12??AYX12???AYX12??AYX4椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离155如果方程表示焦点在X轴上的椭圆，则实数的取值范围是_______62?AYX6已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若21,F195?1F，则|||2?BA_|A【课后巩固】1椭圆上一点P与椭圆的两个焦点的连线互相垂直，则的1249?YX21,F21FP?面积__2椭圆的两个焦点为，点P在椭圆上，若则?21,F,4||1?P_,||2?PF_21??P3已知椭圆上一点与两个焦点的距离之和为10，焦距是函数的零162?XF点，则椭圆的标准方程为__________________________________4线段AB的两个端点A、B分别在X轴、Y轴上运动，|AB|5，点M是线段AB上一点，且|AM|2，点M随线段AB的运动而变化，求点M的轨迹方程WWWWWW5已知圆B的圆心为点B，又有定点为圆B上任意一点，162??YXCA,01求AC的垂直平分线与线段CB的交点P的轨迹方程10/21/20146已知椭圆C与椭圆的焦点相同，且椭圆C过点372??YX21,F6,275?1求椭圆C的标准方程；2若，且，求的面积CP?3???1PF?
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数学考试想节省时间? 这些常用解题结论你必须知道 大家会几个？
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a0f0835eab01eca3ced95_b.jpg& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&724& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-a0f0835eab01eca3ced95_r.jpg&&&/figure&&p&在我们遇到空间中异面直线的夹角问题时，文科同学往往将这两条直线平移到一起，而理科同学用空间直角坐标系轻松搞定，今天超人老师介绍给大家的方法就是当平移不好平移，坐标系又很难运算时，这种方法的优点就非常明显了。&/p&&a class=&video-box& href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/376960& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic2.zhimg.com/80/v2-4c1e50ca373d034b1ea399f_b.jpg& data-lens-id=&376960&&
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&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fdcb7fe01d029ceef4310_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&618& data-rawheight=&302& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&618& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-fdcb7fe01d029ceef4310_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-173e9f5ffeec00a9a6dd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&841& data-rawheight=&290& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&841& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-173e9f5ffeec00a9a6dd_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-0ebe78b9a4a752dc77d82150_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&918& data-rawheight=&400& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&918& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-0ebe78b9a4a752dc77d82150_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4dff3eefb97bdc63d814c3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&879& data-rawheight=&191& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&879& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4dff3eefb97bdc63d814c3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d2fa79fffa2ba_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&143& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d2fa79fffa2ba_r.jpg&&&/figure&&p&&b&超人 微信：math （← 加我加我）&/b&&/p&&p&&b&更多技巧尽在超人《vip通关卡》&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//ke.qq.com/course/package/9468%3Ftuin%3Db9fa5b68%26from%3Dshare_wexin_code_scan& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&ke.qq.com/course/packag&/span&&span class=&invisible&&e/9468?tuin=b9fa5b68&from=share_wexin_code_scan&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& (二维码自动识别)&/p&&p&&/p&
在我们遇到空间中异面直线的夹角问题时，文科同学往往将这两条直线平移到一起，而理科同学用空间直角坐标系轻松搞定，今天超人老师介绍给大家的方法就是当平移不好平移，坐标系又很难运算时，这种方法的优点就非常明显了。超人 微信：math （← 加…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-3d2d18e992f154ec42132b_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-3d2d18e992f154ec42132b_r.jpg&&&/figure&&p&欢迎来到我的专栏！！&/p&&p&为了便于查找内容，特地整理出这个专栏的文章的目录，主要分为不等式和解析几何，以后还会继续补充。&/p&&p&如果有发新的文章的话，也会在这里面更新~&/p&&p&&br&&/p&&h2&【解析几何】&/h2&&p&一、方法&/p&&p&（1）射影几何相关&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&什么是极线，好吃吗?&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&椭圆的仿射变换（伸缩变换）&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&把双曲线变成圆：带复数的仿射变换&/a&&/li&&/ol&&p&（2）点差法&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&点差法：关于原点对称的点&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&弦上的点与定比点差法&/a&&/li&&/ol&&p&（3）运算技巧&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&暴力之美：圆锥曲线硬解定理&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&硬算？还是用等效判别式吧&/a&&/li&&/ol&&p&（4）其它方法&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&极坐标方法的骚操作&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&双联立（齐次化处理）解决定点问题&/a&&/li&&/ol&&p&二、好题分享&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&圆锥曲线的一类切线问题&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&椭圆常见的定值问题：其实是同一个模型&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&蒙日圆问题的另解：仿射变换&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&椭圆的内接三角形：奇妙的定值&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&纯几何方法与解析方法的结合&/a&&/li&&/ol&&p&三、杂谈&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&谈谈解析：方程的处理&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&谈谈几何：充分运用平面几何&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&学习解几的一点经验&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&谈谈反比例函数与双曲线&/a&&/li&&/ol&&h2&【导数压轴题】&/h2&&p&一、常见例题与模型&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&二元不等式的巧妙证明方法&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&另一类二元不等式：可以用中值定理？&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&切线？可以放缩？&/a&&/li&&/ol&&p&二、技巧与方法&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&复合函数求导的几个妙用&/a&&/li&&/ol&&h2&【不等式】&/h2&&p&一、重要不等式&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&均值不等式及其应用&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&9-8不等式及其应用&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&柯西不等式及其应用&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&舒尔不等式及其应用&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&伯努利不等式及其应用&/a&&/li&&/ol&&p&二、杂谈&/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&一个常见模型的优化解法&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&从一道题分析不等式的常见错误&/a&&/li&&/ol&&h2&【投稿文章】&/h2&&p&作者 &a class=&member_mention& href=&http://www.zhihu.com/people/95bc176d0f& data-hash=&95bc176d0f& data-hovercard=&p$b$95bc176d0f&&@永遠的十日天下&/a& &/p&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【原创导数小题】原函数，导函数和二阶导函数的方程问题&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【高考填空】三角形中的正余弦定理&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【导数题目】一个含参数函数的范围问题&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【导数】两个little导数比较问题&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&一些比较搞怪的（高中？）导数+放缩问题&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【某模拟导数压轴】等价命题的可行性&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【原创导数压轴（？）题】双估值函数（误）&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&分享些导数出题（zhuang13）的方法&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【2018NCS12题】椭圆中已知斜率求最小值&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【导数压轴类型一题】函数的极值点漂移&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【高中压轴题】数列积问题一道&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【导数压轴题】个人的一点小想法&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【导数小难题】分参后较难画出图像问题&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【胡思乱想系列】题目小改动，给大家测试难度&/a&&/li&&/ol&&p&&br&&/p&&h2&【其他】&/h2&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【拉格朗日乘数法】用骚骚的方法求最值&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【平面向量】三角形中超好用的“奔驰定理”&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【平面向量】向量的外积与三角形的面积&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【圆周率】编写计算机程序计算圆周率&/a&&/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【编程&概率】怎么样才是抢红包的正确方式？？&/a&&/li&&/ol&&p&&/p&
欢迎来到我的专栏！！为了便于查找内容，特地整理出这个专栏的文章的目录，主要分为不等式和解析几何，以后还会继续补充。如果有发新的文章的话，也会在这里面更新~ 【解析几何】一、方法（1）射影几何相关
&p&看了@Dylan的数学专栏里面提到的问题，一下子勾起了我清华暑校的一些并不太愉快的回忆。当初考试的时候就出了一道类似的题，现在又见到了它，忍不住试着做一做，总算把它给搞定了。我就抽个空把它写一写吧。&/p&&p&已知椭圆 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&& ： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1& alt=&\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1& eeimg=&1&& ,过椭圆外一点 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 作两条切线，若两条切线相互垂直，求 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点的轨迹方程。&/p&&p&（PS:经过和广大知友以及年级大佬的讨论，发现了这个问题有多个不同角度的证法，在此都分享一下）&/p&&p&&b&解一：&/b&可以先设出 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点坐标 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7Bp%7D%2Cy_%7Bp%7D%29& alt=&(x_{p},y_{p})& eeimg=&1&& ,以及两个切点 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B1%7D& alt=&A_{1}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B1%7D%2Cy_%7B1%7D%29& alt=&(x_{1},y_{1})& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B2%7D& alt=&A_{2}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B2%7D%2Cy_%7B2%7D%29& alt=&(x_{2},y_{2})& eeimg=&1&&&/p&&p&根据切点弦公式，可得直线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B1%7DA_%7B2%7D& alt=&A_{1}A_{2}& eeimg=&1&& 的方程 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx_%7Bp%7Dx%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By_%7Bp%7Dy%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1& alt=&\frac{x_{p}x}{a^{2}}+\frac{y_{p}y}{b^{2}}=1& eeimg=&1&&&/p&&p&与椭圆方程联立，先消去 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& ，可得&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B4%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%29y%5E%7B2%7D-%5Cfrac%7B2a%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7Dy%2B%28%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7Bx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D-1%29%3D0& alt=&(\frac{a^{2}y_{p}^{2}}{b^{4}x_{p}^{2}}+\frac{1}{b^{2}})y^{2}-\frac{2a^{2}y_{p}}{b^{2}x_{p}^{2}}y+(\frac{a^{2}}{x_{p}^{2}}-1)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&由韦达定理， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y_%7B1%7D%2By_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D& alt=&y_{1}+y_{2}=\frac{2a^{2}b^{2}y_{p}}{a^{2}y_{p}^{2}+b^{2}x_{p}^{2}}& eeimg=&1&& , &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y_%7B1%7Dy_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7Db%5E%7B4%7D-b%5E%7B4%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D& alt=&y_{1}y_{2}=\frac{a^{2}b^{4}-b^{4}x_{p}^{2}}{a^{2}y_{p}^{2}+b^{2}x_{p}^{2}}& eeimg=&1&&&/p&&p&根据对称性，可以立即得到&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D& alt=&x_{1}+x_{2}=\frac{2a^{2}b^{2}x_{p}}{a^{2}y_{p}^{2}+b^{2}x_{p}^{2}}& eeimg=&1&& , &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B1%7Dx_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7Bb%5E%7B2%7Da%5E%7B4%7D-a%5E%7B4%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D& alt=&x_{1}x_{2}=\frac{b^{2}a^{4}-a^{4}y_{p}^{2}}{a^{2}y_{p}^{2}+b^{2}x_{p}^{2}}& eeimg=&1&&&/p&&p&由于两条切线互相垂直，因此有向量 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D& alt=&PA_{1}& eeimg=&1&& 和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B2%7D& alt=&PA_{2}& eeimg=&1&& 内积为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&&&/p&&p&即 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B1%7Dx_%7B2%7D-%28x_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%29x_%7Bp%7D%2Bx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2By_%7B1%7Dy_%7B2%7D-%28y_%7B1%7D%2By_%7B2%7D%29y_%7Bp%7D%2By_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%3D0& alt=&x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})x_{p}+x_{p}^{2}+y_{1}y_{2}-(y_{1}+y_{2})y_{p}+y_{p}^{2}=0& eeimg=&1&&&/p&&p&代入上面4式，可得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ba%5E%7B4%7Db%5E%7B2%7D-a%5E%7B4%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D-2a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2Ba%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B4%7D%5D%2B%5Bb%5E%7B4%7Da%5E%7B2%7D-b%5E%7B4%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D-2a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7Dx_%7Bp%7D%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2Ba%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B4%7D%5D%3D0& alt=&[a^{4}b^{2}-a^{4}y_{p}^{2}-2a^{2}b^{2}x_{p}^{2}+a^{2}x_{p}^{2}y_{p}^{2}+b^{2}x_{p}^{4}]+[b^{4}a^{2}-b^{4}x_{p}^{2}-2a^{2}b^{2}y_{p}^{2}+b^{2}x_{p}^{2}y_{p}^{2}+a^{2}y_{p}^{4}]=0& eeimg=&1&&&/p&&p&这时得到了一个比较复杂的轨迹方程（我们数学老师跟我们说过次数不超过三次，项数不超过12项的多项式的计算是基本能力）。如果细致一点的话，可以注意到得到该方程利用了向量 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D& alt=&PA_{1}& eeimg=&1&& 和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B2%7D& alt=&PA_{2}& eeimg=&1&& 内积为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&& ，而当 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点在椭圆上时，可认为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B1%7D& alt=&A_{1}& eeimg=&1&& ，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B2%7D& alt=&A_{2}& eeimg=&1&& 三点重合，自然两向量内积为0，该点的横纵坐标为方程的一组解，因此上面的轨迹包含了已知的椭圆，因此这个复杂的轨迹方程是可以分解因式的！&/p&&p&将该轨迹方程以 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bp%7D%5E%7B2%7D& alt=&x_{p}^{2}& eeimg=&1&& 进行降幂排列&/p&&p&由上述分析可知关于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bp%7D%5E%7B2%7D& alt=&x_{p}^{2}& eeimg=&1&& 的方程的一个解为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Bx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%3Da%5E%7B2%7D-%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7Dy_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D& alt=&{x_{p}^{2}}=a^{2}-\frac{a^{2}y_{p}^{2}}{b^{2}}& eeimg=&1&&&/p&&p&根据韦达定理可以得到另一个解为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%3Da%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7D-y_%7Bp%7D%5E%7B2%7D& alt=&x_{p}^{2}=a^{2}+b^{2}-y_{p}^{2}& eeimg=&1&&&/p&&p&那么原轨迹方程为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28b%5E%7B2%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D%2Ba%5E%7B2%7D%7By%5E%7B2%7D%7D-a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7D%29%28x%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D-a%5E%7B2%7D-b%5E%7B2%7D%29%3D0& alt=&(b^{2}{x^{2}}+a^{2}{y^{2}}-a^{2}b^{2})(x^{2}+y^{2}-a^{2}-b^{2})=0& eeimg=&1&&&/p&&p&又由于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点不在椭圆上，因此 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点的轨迹方程为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%3Da%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7D& alt=&x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&解二：&/b&设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点坐标 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7Bp%7D%2Cy_%7Bp%7D%29& alt=&(x_{p},y_{p})& eeimg=&1&& ，两个切点 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B1%7D& alt=&A_{1}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B1%7D%2Cy_%7B1%7D%29& alt=&(x_{1},y_{1})& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B2%7D& alt=&A_{2}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B2%7D%2Cy_%7B2%7D%29& alt=&(x_{2},y_{2})& eeimg=&1&&&/p&&p&根据切点弦公式，可得直线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B1%7DA_%7B2%7D& alt=&A_{1}A_{2}& eeimg=&1&& 的方程 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx_%7Bp%7Dx%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By_%7Bp%7Dy%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1& alt=&\frac{x_{p}x}{a^{2}}+\frac{y_{p}y}{b^{2}}=1& eeimg=&1&&&/p&&p&考虑二次曲线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B1%7D& alt=&\Gamma_{1}& eeimg=&1&& ： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cfrac%7Bx_%7Bp%7Dx%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By_%7Bp%7Dy%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D-1%29%5E%7B2%7D%3D0& alt=&(\frac{x_{p}x}{a^{2}}+\frac{y_{p}y}{b^{2}}-1)^{2}=0& eeimg=&1&&&/p&&p&设直线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D& alt=&PA_{1}& eeimg=&1&& 和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B2%7D& alt=&PA_{2}& eeimg=&1&& 构成的二次曲线为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B2%7D& alt=&\Gamma_{2}& eeimg=&1&&&/p&&p&则椭圆 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B1%7D& alt=&\Gamma_{1}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B2%7D& alt=&\Gamma_{2}& eeimg=&1&& 交于
&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B1%7D& alt=&A_{1}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B1%7D& alt=&A_{1}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B2%7D& alt=&A_{2}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7B2%7D& alt=&A_{2}& eeimg=&1&& 四点&/p&&p&&i&注：这里看起来比较奇怪，来解释一下为什么两个交点为什么能当成四个。&/i&&/p&&p&&i&1.椭圆&/i& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B1%7D& alt=&\Gamma_{1}& eeimg=&1&&&i&的交点：&/i& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B1%7D& alt=&\Gamma_{1}& eeimg=&1&& 为两条直线的组合，一条直线有两个交点，两条直线有四个交点。&/p&&p&&i&2.&/i&椭圆 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B2%7D& alt=&\Gamma_{2}& eeimg=&1&& 的交点：&i&交点由于是两个切点，一个切点可以看做两个交点，因此可认为两曲线有四个交点。&/i&&/p&&p&&i&3.&/i& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B1%7D& alt=&\Gamma_{1}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B2%7D& alt=&\Gamma_{2}& eeimg=&1&& 的交点：&i&与1类似。&/i&&/p&&p&根据二次曲线系的理论， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B2%7D& alt=&\Gamma_{2}& eeimg=&1&& 的方程可表示为&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda%28%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D-1%29%2B%28%5Cfrac%7Bx_%7Bp%7Dx%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By_%7Bp%7Dy%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D-1%29%5E%7B2%7D%3D0& alt=&\lambda(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-1)+(\frac{x_{p}x}{a^{2}}+\frac{y_{p}y}{b^{2}}-1)^{2}=0& eeimg=&1&& ,其中 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&& 为一确定常数&/p&&p&由于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B2%7D& alt=&\Gamma_{2}& eeimg=&1&& 上，可以得到 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda%3D-%28%5Cfrac%7Bx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D-1%29& alt=&\lambda=-(\frac{x_{p}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{p}^{2}}{b^{2}}-1)& eeimg=&1&&&/p&&p&即 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B2%7D& alt=&\Gamma_{2}& eeimg=&1&& ： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D-1%29%28%5Cfrac%7Bx_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D-1%29-%28%5Cfrac%7Bx_%7Bp%7Dx%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7By_%7Bp%7Dy%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D-1%29%5E%7B2%7D%3D0& alt=&(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-1)(\frac{x_{p}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{p}^{2}}{b^{2}}-1)-(\frac{x_{p}x}{a^{2}}+\frac{y_{p}y}{b^{2}}-1)^{2}=0& eeimg=&1&&
(1)&/p&&p&又由于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D& alt=&PA_{1}& eeimg=&1&& 和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B2%7D& alt=&PA_{2}& eeimg=&1&& 垂直，故 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma_%7B2%7D& alt=&\Gamma_{2}& eeimg=&1&& 还可表示为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28kx%2By%2Bm_%7B1%7D%29%28x-ky%2Bm_%7B2%7D%29%3D0& alt=&(kx+y+m_{1})(x-ky+m_{2})=0& eeimg=&1&&
(2)&/p&&p&注意到（2）中 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%7B2%7D& alt=&x^{2}& eeimg=&1&& 和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%5E%7B2%7D& alt=&y^{2}& eeimg=&1&& 的系数和为0&/p&&p&在（1）中比对系数可以立即得到 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%2By_%7Bp%7D%5E%7B2%7D%3Da%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7D& alt=&x_{p}^{2}+y_{p}^{2}=a^{2}+b^{2}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&解三（几何解法）：&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-9babaf62a75c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1468& data-rawheight=&784& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1468& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-9babaf62a75c_r.jpg&&&/figure&&p&如图 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=O& alt=&O& eeimg=&1&& 为椭圆中心， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F_%7B1%7D%EF%BC%8CF_%7B2%7D& alt=&F_{1}，F_{2}& eeimg=&1&& 为椭圆两个焦点。 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D%2CPA_%7B2%7D& alt=&PA_{1},PA_{2}& eeimg=&1&& 为椭圆两条切线。其中椭圆已略去。&/p&&p&过 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F_%7B1%7D& alt=&F_{1}& eeimg=&1&& 作 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D& alt=&PA_{1}& eeimg=&1&& 垂线交 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D& alt=&PA_{1}& eeimg=&1&& 于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& ，过 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F_%7B2%7D& alt=&F_{2}& eeimg=&1&& 作 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B2%7D& alt=&PA_{2}& eeimg=&1&& 垂线交 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B2%7D& alt=&PA_{2}& eeimg=&1&& 于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&&/p&&p&连 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=OM%EF%BC%8CON& alt=&OM，ON& eeimg=&1&& ，则 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=OM%3DON%3Da& alt=&OM=ON=a& eeimg=&1&& （由椭圆光学性质很容易证明）&/p&&p&过 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=O& alt=&O& eeimg=&1&& 作 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D& alt=&PA_{1}& eeimg=&1&& 垂线交 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B1%7D& alt=&PA_{1}& eeimg=&1&& 于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& ，过 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=O& alt=&O& eeimg=&1&& 作 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B2%7D& alt=&PA_{2}& eeimg=&1&& 垂线交 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PA_%7B2%7D& alt=&PA_{2}& eeimg=&1&& 于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=E& alt=&E& eeimg=&1&&&/p&&p&未完待续......&/p&
看了@Dylan的数学专栏里面提到的问题，一下子勾起了我清华暑校的一些并不太愉快的回忆。当初考试的时候就出了一道类似的题，现在又见到了它，忍不住试着做一做，总算把它给搞定了。我就抽个空把它写一写吧。已知椭圆 C ： \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}…
解析几何最让人头疼的是大量复杂运算，更头疼是没有思路。联立解方程得韦达定理，那之后呢？之后怎么办？不能教给大家灵活的思路，只能给大家我做题的经验，我那些失败的经验，要是以后大家遇到会快一点找到思路。&p&（一）解析几何中的面积&/p&&p&最常见的是求三角形面积的取值范围，肯定无法从图中看出什么时候最大，只有表示成式子，才可以求出。表示三角形面积有一下几种&/p&&br&&ol&&li&&u&&b&三角形被x轴或y轴分成等地的两个三角形——&/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes+d%5Ctimes+%7Cy_1-y_2%7C+& alt=&S=\frac{1}{2}\times d\times |y_1-y_2| & eeimg=&1&&&br&&/u&&/li&&/ol&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2cd920f46be59c12d7c7a_b.png& data-rawwidth=&247& data-rawheight=&206& class=&content_image& width=&247&&&/figure&&p&&b&例&/b& (2016新课标Ⅲ) 已知抛物线C:y^2=2x的的焦点为F，平行于x轴的两条直线L_1,L_2分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点.&br&&br&(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR//FQ&br&&br&(2) 若&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+& alt=&\triangle & eeimg=&1&& PQF的面积是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+& alt=&\triangle & eeimg=&1&& ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-98fdec9f6da5640d59adacf_b.png& data-rawwidth=&216& data-rawheight=&215& class=&content_image& width=&216&&&/figure&&br&&blockquote&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+PQF& alt=&\triangle PQF& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+ABF& alt=&\triangle ABF& eeimg=&1&&都被x轴分成同底的两个三角形&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_%7BPQF%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes+1%5Ctimes+%7Cy_a-y_b%7C+& alt=&S_{PQF}=\frac{1}{2}\times 1\times |y_a-y_b| & eeimg=&1&&,&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_%7BABF%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes+d%5Ctimes+%7Cy_1-y_2%7C+& alt=&S_{ABF}=\frac{1}{2}\times d\times |y_1-y_2| & eeimg=&1&&&br&可得&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=d%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&d=\frac{1}{2}& eeimg=&1&&,直线AB过（1,0）点，于是可设AB直线，联立解方程，得韦达定理，求中点轨迹&/blockquote&&p&&b&&u&2.底是弦长，顶点是定点——&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes++& alt=&S=\frac{1}{2}\times
& eeimg=&1&&点到直线距离&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctimes+& alt=&\times & eeimg=&1&&弦长公式&/u&&/b&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-febf0fffe079616fbb74f_b.png& data-rawwidth=&241& data-rawheight=&203& class=&content_image& width=&241&&&/figure&&p&例：（2014新课标一）已知点A(0，2)，椭圆E：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&(a&b&0)的离心率为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D& alt=&\frac{\sqrt{3}}{2}& eeimg=&1&&,F是椭圆E的右焦点，
直线AF的斜率为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D& alt=&\frac{2\sqrt{3}}{3}& eeimg=&1&&，O为坐标原点&/p&&p&（1） 求E的方程&/p&&p&（2）设过点A的动直线L与E交于PQ两点，当&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+& alt=&\triangle & eeimg=&1&& OPQ的面积最大时，求L的方程。&/p&&blockquote&思路：点斜式设过A点的直线与椭圆联立解方程，得韦达定理&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_%7BOPQ%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Ctimes+d%5Ctimes+%7CPQ%7C& alt=&S_{OPQ}=\frac{1}{2} \times d\times |PQ|& eeimg=&1&&,其中d为O点到直线的距离，|PQ|用弦长公式表示&/blockquote&&br&&br&&p&&b&&u&3.都在动，但和其他三角形有关系——&/u&&/b&&u&&b&找到关键三角形的比例关系&/b&&/u&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-71c55c515d27bd39e06e38dec7f305ab_b.png& data-rawwidth=&264& data-rawheight=&217& class=&content_image& width=&264&&&/figure&&br&&p&&b&例&/b&： (2014浙江22)已知&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+& alt=&\triangle & eeimg=&1&& ABP的三个顶点都在抛物线C：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2%3D4y& alt=&x^2=4y& eeimg=&1&&上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BPF%7D%3D3%5Coverrightarrow%7BFM%7D& alt=&\overrightarrow{PF}=3\overrightarrow{FM}& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&
(1)若&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7CPF%7C%3D3& alt=&|PF|=3& eeimg=&1&&，求点M的坐标。&/p&&p&
(2)求&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+ABP& alt=&\triangle ABP& eeimg=&1&&面积的最大值。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b43bbac998b4a_b.png& data-rawwidth=&174& data-rawheight=&143& class=&content_image& width=&174&&&/figure&&blockquote&解题思路：三角形的三边都在变动，三个点都在变动，还好F是定点和P点有关系，所以只要找到三角形ABP和三角形ABF的关系，表示三角形ABF就好。&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_%7BABP%7D%3D4S_%7BABF%7D& alt=&S_{ABP}=4S_{ABF}& eeimg=&1&&，&br&设AB直线为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dkx%2Bm& alt=&y=kx+m& eeimg=&1&&，与抛物线联立得韦达定理，且&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%5Cgeq+0& alt=&\Delta \geq 0& eeimg=&1&&求范围&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7CAB%7C& alt=&|AB|& eeimg=&1&&弦长公式表示，高为F到AB直线的距离&/blockquote&&b&&u&4、对角线互相垂直的四边形面积——&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes++& alt=&S=\frac{1}{2}\times
& eeimg=&1&&对角线弦长&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctimes+& alt=&\times & eeimg=&1&&对角线弦长&/u&&/b&&p&&b&例&/b&：(2016新课标一20)设圆&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2%2By%5E2%2B2x-15%3D0& alt=&x^2+y^2+2x-15=0& eeimg=&1&&的圆心为A，直线L过点B(0,1)且与x轴不重合，L交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E，&/p&&p& (1)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程。&/p&&p&
(2)设点E的轨迹为曲线C_1，直线L交C_1于M,N两点，过B且与L垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。&/p&&blockquote&设直线L&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dkx%2B1& alt=&y=kx+1& eeimg=&1&&和与它垂直的直线&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7Dx%2B1+& alt=&y=-\frac{1}{k}x+1 & eeimg=&1&&分别与椭圆联立得韦达定理&br&|MN|和|PQ|分别用弦长公式表示&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes+%7CPQ%7C%5Ctimes+%7CMN%7C& alt=&S=\frac{1}{2}\times |PQ|\times |MN|& eeimg=&1&&&/blockquote&&br&&p&&b&5、任意四边形面积——分为两三角形&/b&&/p&&p&例：如图，O为坐标原点，椭圆&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C_1& alt=&C_1& eeimg=&1&&:&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=& \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&(a&b&0)的左右焦点分别为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F_1%2CF_2& alt=&F_1,F_2& eeimg=&1&&，离心率为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=e_1& alt=&e_1& eeimg=&1&&，双曲线&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C_2%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&C_2:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&左右焦点分别为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F_3%2CF_4& alt=&F_3,F_4& eeimg=&1&&，离心率为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=e_2& alt=&e_2& eeimg=&1&&，已知&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+e_1e_2%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D& alt=& e_1e_2=\frac{\sqrt{3}}{2}& eeimg=&1&&，且&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F_2F_4%3D%5Csqrt%7B3%7D-1& alt=&F_2F_4=\sqrt{3}-1& eeimg=&1&&&/p&&p&(1) 求&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C_1%2CC_2& alt=&C_1,C_2& eeimg=&1&&的方程。&/p&&p&(2)过&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F_1& alt=&F_1& eeimg=&1&&点作&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C_1& alt=&C_1& eeimg=&1&&的不垂直与y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C_2& alt=&C_2& eeimg=&1&&交于P、Q两点时，求四边形APBQ的面积的最小值。&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ecce4bc03_b.png& data-rawwidth=&217& data-rawheight=&193& class=&content_image& width=&217&&&/figure&&/p&&br&&blockquote&解题思路：因为M为AB中点，可得A点到直线FQ的距离与B点到FQ的距离相等，&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_%7BAPBQ%7D%3D2%5Ctimes+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes+%7CPQ%7C%5Ctimes+d+& alt=&S_{APBQ}=2\times \frac{1}{2}\times |PQ|\times d & eeimg=&1&&,其中d为A点到直线PQ的距离&br&设AB直线&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dmy%2B1& alt=&x=my+1& eeimg=&1&&,与椭圆联立，得M点坐标，可得&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=K_%7BOM%7D& alt=&K_{OM}& eeimg=&1&&,于是设直线OM与双曲线联立解方程算弦长|PQ|&/blockquote&—————————————————————————————————————————&p&知乎排版要疯了，大家将就看吧&/p&
解析几何最让人头疼的是大量复杂运算，更头疼是没有思路。联立解方程得韦达定理，那之后呢？之后怎么办？不能教给大家灵活的思路，只能给大家我做题的经验，我那些失败的经验，要是以后大家遇到会快一点找到思路。（一）解析几何中的面积最常见的是求三角形…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f05bc819a86d1aefa5730a2_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&448& class=&content_image& width=&400&&&/figure&&p&大家都知道椭圆双曲线第一定义都是空间中的点到两定点距离之和之差为定值，那么圆有类似的性质吗？当然有那就是阿波罗尼圆。这个性质浙江四川北京卷都考过，非常简洁，美观。更多技巧尽在数学超人&VIP通关卡&&/p&&a class=&video-box& href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/392064& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-f58bcd43c813801dcee4_b.jpg& data-lens-id=&392064&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-f58bcd43c813801dcee4_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/392064&/span&
&p&不是这个阿波罗哦&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-af132ce2b0da4cbae8dd33d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&334& data-rawheight=&480& class=&content_image& width=&334&&&/figure&&p&是他是他&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-acdadf18f637a0b1a414047_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&250& data-rawheight=&306& class=&content_image& width=&250&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-1449c82b2b81c4206d6d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&872& data-rawheight=&101& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&872& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-1449c82b2b81c4206d6d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-4a591fea21f07faa5cca17_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&866& data-rawheight=&162& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&866& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-4a591fea21f07faa5cca17_r.jpg&&&/figure&&p&数学超人通关卡，一个高中所有套路技巧题型的合集。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d2fa79fffa2ba_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&143& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d2fa79fffa2ba_r.jpg&&&/figure&&p&&b&超人 微信：math （← 加我加我）&/b&&/p&&p&&b&vip通关卡：（微信扫描二维码）&/b&&/p&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//ke.qq.com/course/package/9468%3Ftuin%3Db9fa5b68%26from%3Dshare_wexin_code_scan& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&ke.qq.com/course/packag&/span&&span class=&invisible&&e/9468?tuin=b9fa5b68&from=share_wexin_code_scan&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& (二维码自动识别)&/p&&p&&/p&
大家都知道椭圆双曲线第一定义都是空间中的点到两定点距离之和之差为定值，那么圆有类似的性质吗？当然有那就是阿波罗尼圆。这个性质浙江四川北京卷都考过，非常简洁，美观。更多技巧尽在数学超人&VIP通关卡&不是这个阿波罗哦是他是他数学超人通关卡，一个…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-3e48ee1fc97_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-3e48ee1fc97_r.jpg&&&/figure&&p&在平常做题当中，要使用判别式的情况并不常见，但是一旦出现常常让人头痛。&/p&&p&这两天写了篇关于蒙日圆问题的文章，评论区有人说到可以使用“等效判别式”。&/p&&p&公式非常简洁，并且可以大量简化计算，所以我特地写了一篇文章，将常用的“等效判别式”列出来。&/p&&p&可参考以下文章阅读~&/p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic4.zhimg.com/v2-f90e09ad161d2a6c0.jpg& data-image-width=&1920& data-image-height=&1080& class=&internal&&Dylan：【解析几何】暴力之美：圆锥曲线硬解定理&/a&&p&&br&&/p&&h2&一、回归本质：什么是判别式&/h2&&p&下面内容初中老师都讲过，再来复习一下~&/p&&p&对于常见的一元二次方程 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0& alt=&ax^2+bx+c=0& eeimg=&1&& 来说，我们通过以下方法来求它的根：&/p&&p&配凑得到 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%29%5E2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2-4ac%7D%7B4a%5E2%7D& alt=&(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}& eeimg=&1&& ，所以 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D& alt=&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}& eeimg=&1&&&/p&&p&这就是常见的二次方程的求根公式。&/p&&p&当存在两个解时， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2-4ac%3E0& alt=&b^2-4ac&0& eeimg=&1&& ；&/p&&p&当存在一个解时， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2-4ac%3D0& alt=&b^2-4ac=0& eeimg=&1&& ；&/p&&p&当不存在解时， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2-4ac%3C0& alt=&b^2-4ac&0& eeimg=&1&& 。&/p&&p&所以令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3Db%5E2-4ac& alt=&\Delta=b^2-4ac& eeimg=&1&& ，可以通过判断 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta& alt=&\Delta& eeimg=&1&& 的正负来判断一元二次方程的解的个数。&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3Db%5E2-4ac& alt=&\Delta=b^2-4ac& eeimg=&1&& 就叫做一元二次方程的判别式。&/p&&p&&br&&/p&&h2&二、椭圆情形&/h2&&p&对于椭圆 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&& 和直线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%2BBy%2BC%3D0& alt=&Ax+By+C=0& eeimg=&1&&&/p&&p&等效判别式为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_0%3DA%5E2a%5E2%2BB%5E2b%5E2-C%5E2& alt=&\Delta_0=A^2a^2+B^2b^2-C^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&证明&/b& 由 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&& 与 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%2BBy%2BC%3D0& alt=&Ax+By+C=0& eeimg=&1&& 联立得：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28A%5E2a%5E2%2BB%5E2b%5E2%29x%5E2%2B2ACa%5E2x%2Ba%5E2%28C%5E2-b%5E2B%5E2%29%3D0& alt=&(A^2a^2+B^2b^2)x^2+2ACa^2x+a^2(C^2-b^2B^2)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D%282ACa%5E2%29%5E2-4a%5E2%28A%5E2a%5E2%2BB%5E2b%5E2%29%28C%5E2-B%5E2b%5E2%29& alt=&\Delta=(2ACa^2)^2-4a^2(A^2a^2+B^2b^2)(C^2-B^2b^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E2B%5E2b%5E2%28A%5E2a%5E2%2BB%5E2b%5E2-C%5E2%29& alt=&=4a^2B^2b^2(A^2a^2+B^2b^2-C^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=4a%5E2B%5E2b%5E2%3E0& alt=&4a^2B^2b^2&0& eeimg=&1&& ，所以判别式的正负只与 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%5E2a%5E2%2BB%5E2b%5E2-C%5E2& alt=&A^2a^2+B^2b^2-C^2& eeimg=&1&& 有关&/p&&p&则可令等效判别式 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_0%3DA%5E2a%5E2%2BB%5E2b%5E2-C%5E2& alt=&\Delta_0=A^2a^2+B^2b^2-C^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&当椭圆焦点在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 轴上时，交换 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5E2& alt=&a^2& eeimg=&1&& 与 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2& alt=&b^2& eeimg=&1&& 即可&/p&&p&此时 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_0%3DA%5E2b%5E2%2BB%5E2a%5E2-C%5E2& alt=&\Delta_0=A^2b^2+B^2a^2-C^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&h2&三、双曲线情形&/h2&&p&对于双曲线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&& 和直线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%2BBy%2BC%3D0& alt=&Ax+By+C=0& eeimg=&1&&&/p&&p&等效判别式为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_0%3DB%5E2b%5E2-A%5E2a%5E2%2BC%5E2& alt=&\Delta_0=B^2b^2-A^2a^2+C^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&证明&/b& 由 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&& 与 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%2BBy%2BC%3D0& alt=&Ax+By+C=0& eeimg=&1&& 联立得：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28B%5E2b%5E2-A%5E2a%5E2%29x%5E2-2ACa%5E2x-a%5E2%28C%5E2%2Bb%5E2B%5E2%29%3D0& alt=&(B^2b^2-A^2a^2)x^2-2ACa^2x-a^2(C^2+b^2B^2)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D%282ACa%5E2%29%5E2%2B4a%5E2%28B%5E2b%5E2-A%5E2a%5E2%29%28C%5E2%2BB%5E2b%5E2%29& alt=&\Delta=(2ACa^2)^2+4a^2(B^2b^2-A^2a^2)(C^2+B^2b^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E2B%5E2b%5E2%28B%5E2b%5E2-A%5E2a%5E2%2BC%5E2%29& alt=&=4a^2B^2b^2(B^2b^2-A^2a^2+C^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=4a%5E2B%5E2b%5E2%3E0& alt=&4a^2B^2b^2&0& eeimg=&1&& ，所以判别式的正负只与 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B%5E2b%5E2-A%5E2a%5E2%2BC%5E2& alt=&B^2b^2-A^2a^2+C^2& eeimg=&1&& 有关&/p&&p&则可令等效判别式 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_0%3DB%5E2b%5E2-A%5E2a%5E2%2BC%5E2& alt=&\Delta_0=B^2b^2-A^2a^2+C^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&当双曲线焦点在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 轴上时，交换 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5E2& alt=&a^2& eeimg=&1&& 与 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2& alt=&b^2& eeimg=&1&& 即可&/p&&p&此时 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_0%3DB%5E2a%5E2-A%5E2b%5E2%2BC%5E2& alt=&\Delta_0=B^2a^2-A^2b^2+C^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&h2&四、应用&/h2&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic2.zhimg.com/v2-fe5d4cf27e4b28ea36a25_180x120.jpg& data-image-width=&1920& data-image-height=&1080& class=&internal&&Dylan：【解析几何】圆锥曲线的一类切线问题及解答&/a&&p&我们这时候可以再来做一遍“蒙日圆”问题：&/p&&p&&b&例1&/b& 已知椭圆&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&& ，过椭圆外一点 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 作两条切线，若两条切线相互垂直，求 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点的轨迹方程。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-57b67a4bb13cd84c76ef0f6e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&419& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-57b67a4bb13cd84c76ef0f6e_r.jpg&&&/figure&&p&&b&解 &/b&设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28x_0%2Cy_0%29& alt=&P(x_0,y_0)& eeimg=&1&& ，切线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y-y_0%3Dk%28x-x_0%29& alt=&y-y_0=k(x-x_0)& eeimg=&1&& 即 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=kx-y-%28kx_0-y_0%29%3D0& alt=&kx-y-(kx_0-y_0)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&等效判别式 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_0%3Da%5E2k%5E2%2Bb%5E2-%28kx_0-y_0%29%5E2%3D0& alt=&\Delta_0=a^2k^2+b^2-(kx_0-y_0)^2=0& eeimg=&1&&&/p&&p&化简得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28a%5E2-x_0%5E2%29k%5E2%2B2x_0y_0k%2B%28b%5E2-y_0%5E2%29%3D0& alt=&(a^2-x_0^2)k^2+2x_0y_0k+(b^2-y_0^2)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&由韦达定理： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=k_1k_2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2-y_0%5E2%7D%7Ba%5E2-x_0%5E2%7D%3D-1& alt=&k_1k_2=\frac{b^2-y_0^2}{a^2-x_0^2}=-1& eeimg=&1&&&/p&&p&化简得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0%5E2%2By_0%5E2%3Da%5E2%2Bb%5E2& alt=&x_0^2+y_0^2=a^2+b^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例2&/b& 已知双曲线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1%28a%3Eb%29& alt=&C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a&b)& eeimg=&1&& ，过双曲线外一点 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 作两条切线，若两条切线相互垂直，求 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 点的轨迹方程。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f3dd5ae588b30d38adc5e3f3d79a49c6_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&578& data-rawheight=&540& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&578& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f3dd5ae588b30d38adc5e3f3d79a49c6_r.jpg&&&/figure&&p&&b&解 &/b&设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28x_0%2Cy_0%29& alt=&P(x_0,y_0)& eeimg=&1&& ，切线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y-y_0%3Dk%28x-x_0%29& alt=&y-y_0=k(x-x_0)& eeimg=&1&& 即 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=kx-y-%28kx_0-y_0%29%3D0& alt=&kx-y-(kx_0-y_0)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&等效判别式 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_0%3Db%5E2-a%5E2k%5E2%2B%28kx_0-y_0%29%5E2%3D0& alt=&\Delta_0=b^2-a^2k^2+(kx_0-y_0)^2=0& eeimg=&1&&&/p&&p&化简得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_0%5E2-a%5E2%29k%5E2-2x_0y_0k%2By_0%5E2%2Bb%5E2%3D0& alt=&(x_0^2-a^2)k^2-2x_0y_0k+y_0^2+b^2=0& eeimg=&1&&&/p&&p&由韦达定理： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=k_1k_2%3D%5Cfrac%7By_0%5E2%2Bb%5E2%7D%7Bx_0%5E2-a%5E2%7D%3D-1& alt=&k_1k_2=\frac{y_0^2+b^2}{x_0^2-a^2}=-1& eeimg=&1&&&/p&&p&化简得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0%5E2%2By_0%5E2%3Da%5E2-b%5E2& alt=&x_0^2+y_0^2=a^2-b^2& eeimg=&1&&&/p&
在平常做题当中，要使用判别式的情况并不常见，但是一旦出现常常让人头痛。这两天写了篇关于蒙日圆问题的文章，评论区有人说到可以使用“等效判别式”。公式非常简洁，并且可以大量简化计算，所以我特地写了一篇文章，将常用的“等效判别式”列出来。可参考…
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f90e09ad161d2a6c8109b_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f90e09ad161d2a6c8109b_r.jpg&&&/figure&&p&希望大家不要只收藏不点赞，也当作是对我的小小的支持了~&/p&&p&喜欢的话可以关注一下我的专栏，会持续更新!&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理(The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem)或JZQ-EH定理(The JZQ Ellipse & Hyperbola Theorem)，其是一套求解椭圆（或双曲线）与直线相交时，联立方程求判别式、韦达定理与相交弦长的简便算法，常应用于解析几何。&/blockquote&&p&这是网上找得到的东西。&/p&&p&我另外整理，亲自算了一遍，并把结果写在下面，希望方便大家学习~&/p&&p&由于大部分是自己算的，可能会出现错误，如果有误欢迎指出！&/p&&p&但是应该特别注意的是，&b&定理并不能直接用于高考&/b&，可以把计算的过程，也就是下面推导的过程写出来。&/p&&p&&br&&/p&&p&原定理内容：&/p&&blockquote&若曲线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bm%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bn%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1& eeimg=&1&& 与直线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%2BBy%2BC%3D0& alt=&Ax+By+C=0& eeimg=&1&& 相交于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=E%2CF& alt=&E,F& eeimg=&1&& 两点，则：&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2ACm%7D%7B%5Cvarepsilon%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2ACm}{\varepsilon}& eeimg=&1&& ，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Bm%28C%5E2-B%5E2n%29%7D%7B%5Cvarepsilon%7D& alt=&x_1x_2=\frac{m(C^2-B^2n)}{\varepsilon}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27%3Dmn%28%5Cvarepsilon-C%5E2%29& alt=&\Delta'=mn(\varepsilon-C^2)& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7CEF%7C%3D%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B%28A%5E2%2BB%5E2%29%5CDelta%27%7D%7D%7B%7C%5Cvarepsilon%7C%7D& alt=&|EF|=\frac{2\sqrt{(A^2+B^2)\Delta'}}{|\varepsilon|}& eeimg=&1&&&br&其中 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%3DA%5E2m%2BB%5E2n& alt=&\varepsilon=A^2m+B^2n& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4B%5E2%7D%5CDelta& alt=&\Delta'=\frac{1}{4B^2}\Delta& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&原定理内容并不适合高考中常见的模型，因此在这里另外给出一套计算公式。&/p&&p&&b&如果不想看计算过程的话可以直接跳到文章的结尾，有完整的总结~&/b&&/p&&p&&br&&/p&&h2&一、抛物线情形&/h2&&p&设抛物线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%3Ay%5E2%3D2px& alt=&C:y^2=2px& eeimg=&1&& ，直线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l%3Ax%3Dmy%2Bt& alt=&l:x=my+t& eeimg=&1&& ，联立得：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%5E2-2pmy-2pt%3D0& alt=&y^2-2pmy-2pt=0& eeimg=&1&& ，由韦达定理：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y_1%2By_2%3D2pm& alt=&y_1+y_2=2pm& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y_1y_2%3D-2pt& alt=&y_1y_2=-2pt& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D& alt=&\Delta=& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28-2pm%29%5E2-4%28-2pt%29%3D4p%5E2m%5E2%2B8pt& alt=&(-2pm)^2-4(-2pt)=4p^2m^2+8pt& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cy_1-y_2%7C%3D%5Csqrt%7B%28y_1%2By_2%29%5E2-4y_1y_2%7D%3D%5Csqrt%7B%282pm%29%5E2-4%28-2pt%29%7D& alt=&|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}=\sqrt{(2pm)^2-4(-2pt)}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Csqrt%7B%5CDelta%7D& alt=&=\sqrt{\Delta}& eeimg=&1&&&/p&&p&抛物线的计算量较小，通常选择消去一次项。&/p&&p&其他情形的抛物线可以类比，在这里不再列出。&/p&&p&&br&&/p&&h2&二、椭圆情形 &/h2&&p&（1）设椭圆 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&，直线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l%3Ay%3Dkx%2Bm& alt=&l:y=kx+m& eeimg=&1&& ，将椭圆方程变形为：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2x%5E2%2Ba%5E2y%5E2%3Da%5E2b%5E2& alt=&b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2& eeimg=&1&& ，与直线联立： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29x%5E2%2B2a%5E2kmx%2Ba%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%3D0& alt=&(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&由韦达定理： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2a%5E2km%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2a^2km}{a^2k^2+b^2}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D& alt=&x_1x_2=\frac{a^2(m^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D%282a%5E2km%29%5E2-4%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29%5Ccdot+a%5E2%28m%5E2-b%5E2%29& alt=&\Delta=(2a^2km)^2-4(a^2k^2+b^2)\cdot a^2(m^2-b^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E4k%5E2m%5E2-%284a%5E4k%5E2m%5E2%2B4a%5E2b%5E2m%5E2-4a%5E4b%5E2k%5E2-4a%5E2b%5E4%29& alt=&=4a^4k^2m^2-(4a^4k^2m^2+4a^2b^2m^2-4a^4b^2k^2-4a^2b^4)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E4b%5E2k%5E2%2B4a%5E2b%5E4-4a%5E2b%5E2m%5E2& alt=&=4a^4b^2k^2+4a^2b^4-4a^2b^2m^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E2b%5E2%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2-m%5E2%29& alt=&=4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_1-x_2%7C%3D%5Csqrt%7B%28x_1%2Bx_2%29%5E2-4x_1x_2%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%28-2a%5E2km%29%5E2%7D%7B%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29%5E2%7D-4%5Cfrac%7Ba%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D%7D& alt=&|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\frac{(-2a^2km)^2}{(a^2k^2+b^2)^2}-4\frac{a^2(m^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%282a%5E2km%29%5E2-4a%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%5Ccdot+%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29%7D%7B%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29%5E2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5CDelta%7D%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D& alt=&=\sqrt{\frac{(2a^2km)^2-4a^2(m^2-b^2)\cdot (a^2k^2+b^2)}{(a^2k^2+b^2)^2}}=\frac{\sqrt{\Delta}}{a^2k^2+b^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2-m%5E2%7D%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D& alt=&=\frac{2ab\sqrt{a^2k^2+b^2-m^2}}{a^2k^2+b^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Da%5E2k%5E2%2Bb%5E2& alt=&A=a^2k^2+b^2& eeimg=&1&& ，则：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2a%5E2km%7D%7BA%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2a^2km}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&x_1x_2=\frac{a^2(m^2-b^2)}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_1-x_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA-m%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|x_1-x_2|=\frac{2ab\sqrt{A-m^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.c}
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