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e^iθ＝cosθ＋isinθ对于任意的实数θ都是成立的,其证明过程可以利用e^x,sinx和cosx的麦克劳林级数和i^2＝－1,但是我从书上看到e^iZ＝cosZ＋isinZ对于任意的复数Z也都是成立的、我很不明白、也不清楚其证明过程是怎么来的?请教高手解答.谢谢.
复数的加法和减法都有很明显的几何意义.那复数的乘法和除法是否也有一定的几何意义呢?

实际上在定义 e^(x+iy) 的值具体是多少之前,讨论它是没意义的
所以从这点来看欧拉公式是不需要证明的,你看到的证明是怎么回事呢?
是因为有些时候我们用另一种定义去定义 f(z)=e^z 的值,
而那个证明就是证明了这两种定义之间的等价性
现在我们有了复指数函数的定义（而且是出自两种不同的方式,却相互和谐的定义）
但是对三角函数,我们还只能处理实变量的情况,现在我们要继续推广出复变量的三角函数.
因为我们希望复变量三角函数仍然满足欧拉公式 e^z=cosz+isinz
这样定义出来的复变量的三角函数当然也符合欧拉公式了,不过此时的正余弦函数失去了“有界性”,即对任意的复数w,不能总保证 Sinw 或者 Cosw 的模不大于1
复数乘法的意义体现在复数的模与辐角上,这一点写成三角形式特别容易证明
利用简单的三角公式,很容易证明 z1z2 的模就是 r1r2 ,而辐角就是两个复数各自辅角的和 a+b
注意模在复数乘法中的不变性是比较重要的一个性质,尽管写成三角形式它很显然,而它的另一面就是一个比较著名的恒等式：
该恒等式能反映出的一个事实是,两个形如 x^2+y^2 的数的乘积,也能表示成类似的平方和,这在数论里有一定意义,详细可见 “费马平方和问题”.