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已知函数f（x）=x2-2x+alnx+1有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：f（x2）＞1-2ln24．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知函数f（x）=x2-2x+alnx+1有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：f（x2）＞1-2ln2/4．”的分析与解答如下所示：
（1）已知函数f（x）=x2-2x+alnx+1有两个极值点x1，x2可化为f′（x）=2x2-2x+ax=0有两个不同的正根x1，x2，从而解得；再由导数的正负写出函数的单调区间．（2）由根与系数的关系可得，x1+x2=1，x1x2=a2，从而a=2x2（1-x2），代入化简可得f（x2）=（x2-1）2+2x2（1-x2）lnx2，（12＜x2＜1），令h（t）=（t-1）2+2t（1-t）lnt，（12＜t＜1），求导判断函数的单调性，从而证明上式成立．
解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x2-2x+ax，∵函数f（x）=x2-2x+alnx+1有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．∴f′（x）=2x2-2x+ax=0有两个不同的根x1，x2，且0＜x1＜x2，∴{△=4-8a＞012a＞0解得，0＜a＜12，此时，f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；（2）证明：由（1）知，x1+x2=1，x1x2=a2，则a=2x2（1-x2），因此，f（x2）=（x2-1）2+alnx2=（x2-1）2+2x2（1-x2）lnx2，（12＜x2＜1）令h（t）=（t-1）2+2t（1-t）lnt，（12＜t＜1）则h′（t）=2（t-1）+[2（1-2t）lnt+2（1-t）]=2（1-2t）lnt，∵12＜t＜1，∴1-2t＜0，lnt＜0，∴h′（t）＞0，即h（t）在（12，1）上单调递增，则h（t）＞h（12）=1-2ln24，即f（x2）＞1-2ln24．
本题考查了导数的综合应用，同时考查了根与系数的关系，化简比较繁琐，注意要细心，属于难题．
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已知函数f（x）=x2-2x+alnx+1有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：f（x2）＞1-2ln2/4．...
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与“已知函数f（x）=x2-2x+alnx+1有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：f（x2）＞1-2ln2/4．”相似的题目：
设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=exx，f（2）=e28，则x＞0时，f（x）（　　）有极大值，无极小值有极小值，无极大值既有极大值又有极小值既无极大值也无极小值
若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．
已知函数f（x）=ex-12x2-ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；（Ⅲ）如果函数g（x）=f（x）-（a-12）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a＞√e2．
“已知函数f（x）=x2-2x+alnx+...”的最新评论
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1设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=exx，f（2）=e28，则x＞0时，f（x）（　　）
2若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．
3已知函数f（x）=ex-12x2-ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；（Ⅲ）如果函数g（x）=f（x）-（a-12）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a＞√e2．
该知识点易错题
1已知函数f（x）=ex-12x2-ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；（Ⅲ）如果函数g（x）=f（x）-（a-12）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a＞√e2．
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猜你感兴趣数学题：一元二次方程怎么解？求几条公式，最好有例子
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基 础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax^2（2为次数，即X的平方）+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：
1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为x=m± .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11&0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）解： 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
当b2-4ac≥0时，x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
配方：(x-)2=
直接开平方得：x-=±
∴原方程的解为x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24&0
∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)
∴原方程的解为x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
再找理科高手，学长学姐帮帮忙，小弟数学太菜求高手帮忙用MATLAB编下共轭梯度法求解f（x）=100*（x2-x1^2）^2+(1-x1)^2_百度知道
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