测量误差主要分为三大类：系统误差、随机误差、粗差。

误差产生的原因可归结为以下几方面。

系统误差 在测量过程中，不可避免会产生的，可以通过特定的方法削弱

随机误差 在测量过程中随机出现的，不可预知

粗差 在测量过程中由于1、2、3、4点误差过大造成，可以消除

第一章测量误差数据处理不确定度的评定

第一章实验数据处理的基本方法我们每做一个物理实验都是先对这个实验中的物理现象进行观察然后通过相应的测量获得一些实验数据最后经过对这些数据的处理得到最终的实验结果。除了通过正确的原理和方法进行实验外用正确的方法对实验数据进行处理是获得合理的实验结果的关键。本章主要介绍实验数据处理的基本方法。其内容由以下两部分组成：第一部的主要内容是有效数字及其运算、实验误差的特点及克服方法、不确定度概念及其初步评定方法等。第二部的主要内容是列表法、作图法、逐差法等常用的实验数据处理方法。有效数字及其运算一、直接测量和间接测量我们知道量度物质的属性或描述物质的运动状态所用的各种量值叫做物理量如长度、速度、热量、功、电流强度等。测量是用实验方法获得物理量量值（测量值）的过程。按照测量值获得方法的不同测量分为直接测量和间接测量两种。直接测量：是指不需要对被测量与其它实测量进行函数关系的辅助计算直接从仪器或量具上得到被测量值的测量。例如：用直尺测量长度以秒表计时间用天平称质量用电流表测电流等。这些用直接测量得到量值的物理量叫做直接测得量。间接测量是指从一个或几个直接测量结果按一定的函数关系计算出来的的过程。而用间接测量得到量值的物理量叫做间接测得量。例如：在伏安法测电阻的实验中用电流表直接测量流过待测电阻的电流I用电压表直接测量待测电阻两端的电压U然后欧姆定律R=UI计算电阻的阻值R的过程就是间接测量。在这里电流I和电压U是直接测得量而电阻R是间接间接测得量。二、有效数字的定义由于种种原因用任何实验仪器直接测量的数值都不可避免地含有一定的误差因此测得的数据都只能是近似数。由这些近似数通过计算而得到的间接测量值也一定是近似数。显然几个近似数的运算不可能使运算结果更加准确而只会使其误差增大。因此近似数的表示和计算都必须遵循一些规则以便确切地表示和记录运算结果的近似性。这些规则就是有效数字及其运算规则。从仪器上读出的数字通常都要尽可能估计到仪器最小刻度的下一位。以如图所示的用米尺测量钢棒的长度为例我们可以读出cmcm或cm前二位“”可以从米尺上直接读出来是准确数字而第三位数“”“”或“”是测量者估读出来的估读的结果因人而异因此这一位是有疑问的叫做存疑数字（又叫做不可靠数字）。由于第三位已经存疑因此已没有必要估计它以后的各位数了。我们把仪器上直接读出的数字和最后一位估读的存疑数字全部记录下来叫做有效数字。也就是说有效数字包括从仪器上直接读出的准确数字和最后一位存疑数字即有效数字=准确数字存疑数字而且也只有最后一位数字是存疑数字。测量结果用并且只用它的有效数字表示。上面所说的钢棒长度的测量值cmcm或cm包含三位有效数字。也就是说有效数字的位数等于准确数字的位数加上存疑数字的位数（存疑数字的位数只能为）。在以下的表述中存疑数字下面有下滑线。例：（四位）（五位）（二位）（三位）（四位）。三、有效数字的特点有效数字前面的“”不是有效数字而中间和后面的“”都是有效数字。例：都是四位有效数字。在上例中的和本例中的最右边的“”是有效位数不可以省略不写。注意：实验中的数字与数学上的数字是不一样的。数学的==实验的（小数点后面的是有意义的）。单位换算时有效数字的位数不变。即有效数字的位数与小数点的位置无关。例：cm=m=km为了避免混淆并使记录和计算方便在写有效数字时通常在小数点前一律取一位有效数字其它的数字全写在小数点之后然后乘上的幂来表示即且a＜这样写有效数字的方法叫做科学记数法。例：在上例中我们可以这样写：cm=cm=m=km=nm例：光速c=万公里每秒。不正确的写法：c=kmsc=kms正确的写法：c=kms=ms有效数字的位数与被测物的大小和测量仪器的精密度有关。例如在图中测得物体的长度为cm是三位有效数字如果改用千分尺来测其有效数字的位数有五位。四、直接测得量有效数字的读取直接测得量的有效数字来源于测量时所用的仪器。刻度式仪表（米尺、千分尺、读数显微镜、常用的电流表、电压表等）一般读数应读到最小分度然后再估读一位如图所示。有时读数的估计位就取在最小分度位。例如仪器的最小分度值为则～～都是估计的不必估到下一位如图所示。游标类量具（游标卡尺、分光计度盘、大气压计等）读到游标分度值的整数倍。多数情况下不估读特殊情况估读到游标分度值的一半。如图所示数字式仪表及步进读数仪器（电阻箱、电桥、电位差计、数字电压表等）不需估读。直接读取仪表的示值如图所示。若测量值恰为整数必须补零直接补到存疑位如图所示。特殊情况直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定。例如在“电表的改装”中表头串联一个大电阻改装成电压表时由于线路灵敏度低在确定串联电阻时调节电阻箱上“Ω”挡时表头上的反映已经不太灵敏尽管最小步进值为“Ω”电阻值只记录到“Ω”。五、间接测得量有效数字尾数的舍入规则如上所述在对直接测得量进行测量时必须用有效数字表示其量值。而要通过对有效数字进行运算得到间接得测量时不可避免地会遇到间接得测量有效数字尾数的舍入问题。根据国家的相关标准将运算结果中多余的存疑数字舍去时本课程采用“舍入凑偶”的方法则。根据这个法则当要保留n位有效数字时如果第n位数字就把它直接舍掉第n位数字时则要向第n位数字进第n位数字＝并且后面的数字都为则第n位数字若为偶数时就把这个舍掉第n位数字为奇数时就向前进若第n位数字=且后面还有不为的任何数字时无论第n位数字是奇数或偶数都进。例：保留位有效位数则=（见上述第条）=（见上述第条）=（后面的数字都为并且它前面的是偶数。）=（后面的数字都为并且它前面的是奇数。）=（后面有不为的数字）六、有效数字的运算总的原则：（）准确数字与准确数字进行四则运算时其结果仍为准确数字。（）存疑数字与任何数字（准确数字或存疑数字）进行四则运算时其结果均为存疑数字。（）在最后的结果中只保留一位存疑数字其后多余的存疑数字数字是无意义的应按有效数字舍入规则截去。具体规则：（）两数相加、减时其结果的有效位数的最后（即最右）一位的位置与两数中最后一位位数高者的相同。例：（）两数相乘、除时其结果的有效位数与两数中有效位数少者相同。例如例：（）乘方、开方运算最后结果的有效数字位数一般取与底数的有效数字位数相同。例：（）指数、对数、三角等函数运算结果的有效数字位数由其改变量对应的数位决定。例：在中的存疑数字为那么我们将它的末位数改变（即）后比较看出发生改变的位置在小数点后的第三位（千分位）上就能得知。（）π、e、、等常数的有效数字位数可以认为是无限的应取足够的有效位数参与运算直接根据计算器上的计算结果取用。（）有效数字位数不能由数学或物理常数来确定。例：在公式中υ的计算结果不能由于“”的存在而只取一位存疑数字而要根据a和s来决定。以上这些结论在一般情况下是成立的有时会有一位的出入。为了防止数字截尾后运算引入新误差在中间过程中参与运算的数据可多取至有效数字。在当今计算机时代对参与运算的数和中间运算结果都可不作修约也可比传统方法估计的位数适当多取几位只在最后结果表示前再作修约这样可能更有利于实验效率的提高。测量误差和测量不确定度一、测量误差的基本概念物理实验是以测量为基础的但如前所述是任何测量结果都不可避免地存在误差。可以说任何测量都不可能无限准确。测量误差的定义测量结果与被测量真值的差叫做测量误差简称误差。如果用x表示待测物理量的测量结果x是它的真值则测量误差为（）测量误差可以为正值也可以为负值。显然这样定义的测量误差反映的是测量结果偏离真值的大小和方向（正负）因此又常称为绝对误差。为了评价一个测量结果的优劣除了看测量误差的大小和方向外还需要看测得量本身的大小。为此引入相对误差的概念。相对误差的定义为（）相对误差的意义在于它能够反映测量结果的准确程度。例如测得两个铜棒的长度分别为cm和cm而两次的测量误差均为cm则它们的相对误差分别为从测量误差看两者相等但从相对误差来看后者是前者的倍。我们自然认为第一个测量更准确些。一个物理量的真值是在它被观测时本身所具有的真实大小只有完善的测量（理想测量）才能得到真值。而实际上任何测量都有缺陷因此真值是一个理想化的概念。由于真值无法确切地知道所以误差也无法准确地知道。在实际测量中经常用准确度高的测量结果（如推荐值、最佳估计值、已修正过的算术平均值、计量标准器具所复现的值等）来代替真值（叫做约定真值）才能计算误差。测量误差的分类根据误差的性质和产生的原因可以把误差分为系统误差和随机误差两类。（）系统误差在相同条件下对同一被测量的多次测量中误差的绝对值和符号（正、负）保持恒定或在条件改变时误差的绝对值和符号（正、负）按可预知的方式变化这类误差称为系统误差。在重复性条件下系统误差等于对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。一般来讲系统误差的主要来源包括：仪器本身的缺陷或没按规定条件使用仪器而引起的误差（又叫做仪器误差）。例如：电表的刻度不均匀（示值误差）等臂天平的两臂实际不等（机构误差）指针式电表使用前没调零（零位误差）大气压强计未在标定条件下使用引起的系统误差等。测量所依据的理论公式本身的近似性、实验条件不能达到理论公式的要求、测量方法所带来的系统误差（又叫做作理论误差或方法误差）。例如：单摆运动方程小角度近似解引起的误差、伏安法测电阻时电表内阻引起的测量误差等。实验者引入的误差。例如个人习惯和偏向（读数总是偏高或偏低）、感官分辨能力（触觉、嗅觉、听觉、视觉）等。根据误差的符号、绝对值是否确定系统误差分为如下两类：已定系统误差：是绝对值和符号已经确定的系统误差分量。如零位误差、大气压强计室温下使用引起的误差、伏安法测电阻时电流表内接或外接引起的误差等。实验中应尽量消除已定系统误差或对测量结果进行修正修正公式为：测得值(或其平均值)－已定系统误差未定系统误差：是符号或绝对值未被确定的系统误差分量。对这类误差一般要估计出其限值或分布范围。实验中可以通过方案选择、参数设计、计量器具校准、环境条件控制等环节来减小未定系统误差的限值。系统误差是由于确定的原因以确定的方式引起具有确定性。它具有始终偏大、始终偏小或周期性的特点。经验表明通过增加测量次数不能减少系统误差。要想减少系统误差只能从方法、理论、仪器等方面的改进与修正来实现。（）随机误差在相同条件下多次重复测量同一个量时每次测量出现的误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化这类误差称为随机误差。在重复性条件下随机误差等于测量结果与对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。产生随机误差的原因是多方面的如实验条件和环境因素的起伏、估读数的偏差、测量对象的不稳定、数字仪表末位取整数时的随机舍入过程等。随机误差由大量、微小、不可预知的因素引起具有随机性。它的特点是单个测量误差表现为不可预知的随机性而从总体来看这类误差服从统计规律。具体来讲大多数情况下当测量次数足够多时小误差出现的概率大大误差出现的概率小正、负误差对称分布具有抵偿性能大致相消。所以可以取多次测量的平均值来作为被测量的最佳估计值以消除随机误差的影响。如上所述无论是系统误差还是随机误差它们都是基于无限多次测量所得总平均值的理想概念。由于实际上只能进行有限次测量因此只能用有限次测量的平均值作为总平均值的估计值。类似于矢量与其各分量的关系在以后的论述中我们可以把系统误差和随机误差看作总误差的两个分量分别叫做系统误差分量和随机误差分量。另一类因为读数错误、操作失当等原因造成的明显超出规定条件下预期值的误差称为粗大误差。测量应避免出现粗大误差已被谨慎地确定为含有粗大误差的个别数据要剔除。系统误差有时也可转换成随机误差。例如某直尺的某一个或几个刻线不准。如果固定用某一刻度起始测量测量值有系统误差而如果从不同刻线起始做多次测量则测量值又具有随机分布的性质。常用的一些术语：精密度：反映随机误差的大小程度正确度：反映系统误差的大小程度准确度：随机误差与系统误差综合大小精度：物理意义不明确有时指精密度也有时指准确度。误差虽然不可确知但我们可以分析误差的主要来源尽可能消除或减小某些误差分量对测量的影响把它控制在允许范围之内。对于最终不能消除的误差分量我们还可以估计出它的限值或分布范围对测量结果的精确程度作出合理的评价。一般来讲误差是普遍存在的。误差的普遍性要求必须重视对测量结果的误差分析和测量结果的可信赖程度的评定并且完整地表示测量结果。为了表示测量结果的可信赖程度我们引入不确定度的概念。二、测量不确定度的基本概念简单地讲测量不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度它是被测量的真值在某一量值范围内的一个评定。不确定度反映了可能存在的误差分布范围即误差的随机误差分量和未定系统误差分量的联合分布范围。这个范围叫做置信区间这个区间以一定的概率（叫做置信概率）包含着被测量的真值。不确定度越大置信区间内包含真值的置信概率就越高即测量结果落在该区间内的把握就越大。置信区间的半宽度就是测量不确定度的大小。例如：测量人体温度为或加或减置信概率为％。则该结果可以表示为（）不确定度为置信概率为P=％。这个表述是说我们测量的人体温度处在到之间有％的把握。测量误差是一个差值而测量不确定度是一个区间这是测量不确定度和测量误差的最根本的区别。此外由于真值的不可知误差一般是不能计算的它可正、可负也可能十分接近零而不确定度总是不为零的正值是可以具体评定的。不确定度是评价测量质量的一个新概念是表达测量结果具有分散性的一个参数是误差的数字指标。在测量方法正确的情况下不确定度越小测量结果可信赖程度越高不确定度越大测量结果可信赖程度越低。用不确定度评定实验结果的误差其中包含了各种来源不同的误差对结果的影响而它们的计算又反映了这些误差所服从的分布规律这就更准确地表述了测量结果的可靠程度因而有必要采用不确定度的概念。传统的误差理论把误差分为“系统误差”和“随机误差”两类。但实际上系统误差往往是未知的（一旦确知则可以校正）。不确定度理论摈弃了这种分类方法而是在修正了已定系统误差之后将余下的不确定度分量分量按照测量数据的性质分为两类：（）A类不确定度：多次重复测量时与随机误差有关的分量用uA表示。它与数据的离散性相对应用数理统计方法处理。（）B类不确定度：多数与未定系统误差有关的分量用uB表示。它与仪器的欠准确相对应用非数理统计方法处理。注意A、B两类不确定度与传统划分的随机误差、系统误差并不存在简单的对应关系。不确定度理论仍保留了系统误差的概念。研究不确定度的意义在于它能够科学地反映测量结果的数值和可靠程度可以根据对测量不确定度的要求确定实验方案选择仪器和环境同时能够找出和减小系统误差提高实验精度。不确定度必须正确评价。如果评价得过大则在实验中会因怀疑结果的正确性而不能果断地做出判断在生产中会因测量结果不能满足要求而造成浪费如果评价得过小在实验中可能会得出错误的结论在生产中则产品质量不能保证造成危害。测量结果是否有用在很大程度上取决于其不确定度的大小所以测量结果必须有不确定度说明时才是完整和有意义的。一个完整的测量结果应包括测量对象、测量对象的量值、测量不确定度、测量值的单位（又称测量的四个要素）。例如电桥法测某一电阻的结果可表示为：R=（）Ω。这里R代表测量对象（电阻）是被测量值为测量不确定度Ω是电阻的单位。不确定度的初步评定在测量不确定度的使用过程中根据表示的方式不同有三种不同的术语：标准不确定度：测量结果的不确定度用标准偏差表示。合成不确定度：测量结果的标准不确定度是各不确定度分量的合成得到的。扩展不确定度：为了提高置信水平用包含因子k乘合成标准不确定度得到的一个区间来表示的测量不确定度。在年由中国计量科学研究院发布的《测量不确定度表达指南》中对实验的测量不确定度有严格而详尽的论述。但作为大学物理实验教学限于教学要求在对不确定度进行初步评定时本教程只介绍标准不确定度和合成不确定度。一、随机误差的统计规律由于随机误差的存在实验数据会围绕真值有所起伏对某一次测量这种起伏是不可预测的。若进行多次测量就会发现实验数据常满足一定的统计分布规律可用一定的分布函数来描述。物理实验中遇到的典型分布有正态分布、均匀分布、三角分布、t分布（可参阅相关书籍）等。在实验中如果影响测量结果的因素很多很细微并且相互独立则当测量次数无限时实验数据服从正态分布。二、测量仪器的误差测量仪器的性能可以用示值误差和最大允许误差来表示。测量仪器的示值误差被定义为“测量仪器的示值与对应输入量的真值之差”。同型号的不同仪器它们的示值误差一般是不同的。一台仪器的示值误差必须通过检定或校准才能获得正因为如此才需要对每一台仪器进行检定或校准。已知某仪器的示值误差后就可对其测量结果进行修正示值误差反号就是该仪器的修正值。修正后结果的不确定度就与修正值本身的不确定度有关也就是说与检定或校准所得到的示值误差的不确定度有关。测量仪器的最大允许误差（也叫允许误差限简称允差）被定义为“对给定测量仪器规范、规程等所允许的误差极限值。”它是由各种技术性文件诸如国际标准、国家标准、检定规程、技术规范或仪器说明书等规定的可以从仪器说明书中得到。最大允许误差不是通过检定或校准得到的而是制造厂对该型号仪器所规定的示值误差的允许范围。显然它并不是某台仪器实际存在的误差因而不能作为修正值使用。物理实验中通常将规定条件下正确使用仪器时仪器的最大允许误差限作为仪器的误差用Δm表示。允许误差限本身不是测量不确定度它给出仪器示值误差的合格区间因而可以作为评定测量不确定度的依据。当直接使用仪器的示值作为测量结果时由仪器引入的标准不确定度分量可以根据该型号仪器的允许误差限按B类评定方法得到。一些器具在实际使用时很难保证在相同条件下操作、或在规定的正常条件下测量仪器误差除了允许误差限外还应包含一些附加误差分量。三、直接测得量不确定度的评定一般来讲在对随机误差的进行处理时先将多次测量的平均值作为测量结果的最佳估计值然后研究其分布找出其特征值归入A类不确定度参与对测量结果的评价在对系统误差的进行处理对在对已定系统误差设法消除或修正后估计未定系统误差（如仪器误差）的限值归入B类不确定度参与对测量结果的评价。不确定度的A类评定不确定度的A类评定就是用统计方法计算出多次重复测量时与随机误差有关的分量。其基本方法和步骤如下：（）在相同条件下对物理量x进行次测量得到测量数据列x、x、x、…、xi、…xn。（）计算测量数据列的算术平均值：（）特殊情况：如果存在已定系统误差Δx则要计算测量值的修正值：。（）用利贝塞耳（Bessel）公式计算算术平均值的实验标准差（请参阅相关书籍）就得到平均值的A类标准不确定度：（）不确定度的B类评定不确定度的B类评定不是用统计的方法而是用经验或资料以及假设的概率分布估计出的不确定度与未定系统误差有关的分量用估计的标准偏差表示。获得B类标准不确定度的信息来源一般有：以前的观测数据对有关技术资料和测量仪器的了解和经验生产部门提供的技术说明文件校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的级别包括目前暂在使用的极限误差手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限或复现性等。信息的来源不同平定的方法也不同。在本教程中对B类不确定度我们主要讨论仪器不准确对应的不确定度。由于仪器误差是仪器的最大允许误差限Δm表示误差落在去间ΔmΔm内概率为％这样以来B类标准不确定度为：（）式中的就是置信区间的半宽度而因子k由可能的误差概率分布决定：按正态分布、均匀分布和三角分布分别取、和。在大学物理实验中被测量既受随机影响又受系统影响而对影响量缺乏任何其他信息的情况下一般假设为均匀分布即取。在相同置信概率下把不确定度的A、B两类分量用“方和根”方法合成便得到合成标准不确定度（也叫做总标准不确定度）即（）直接测量量的最终测量结果可以表示为（）这个结果表明置信区间为为置信区间的半宽度如果是正态分布则置信概率为P=％。四、间接测得量不确定度的合成（或传递）设N为间接测量量它是相互独立的个直接测得量x、y、z的函数即（）显然间接测量的近似真实值和合成不确定度必须由直接测量结果通过函数式计算出来。既然直接测量有误差那么间接测量也必有误差这就是误差的传递（或合成）。由直接测量值及其不确定度来计算间接测量值不确定度的关系式称为误差的传递公式。设各直接观测量的测量结果分别为如果将各个直接测量量的近似真实值、、代入函数表达式（）中即可得到间接测量的近似真实值。（）求间接测量的合成不确定度。由于不确定度均为微小量相似于高等数学中的微小增量对函数式N＝f（x,y,z）求全微分即得式中dN、dx、dy、dz均为微小量代表各变量的微小变化dN的变化由各自变量的变化决定、、为函数对自变量的偏导数。将上面全微分式中的微分符号d改写为不确定度符号u并将微分式中的各项求“方和根”即为间接测量的合成不确定度（）当间接测量的函数表达式为积和商（或含和差的积商形式）的形式时为了使运算简便起见可以先将函数式两边同时取自然对数然后再求全微分即同样改写微分符号为不确定度符号再求其“方和根”便得到间接测量的相对不确定度即（）如果、已知则由（）式可以求出合成不确定度（）在计算间接测量的不确定度时对函数表达式仅为和差形式可以直接利用（）式先求出间接测量的合成不确定度再利用（）求出相对不确定度如果函数表达式为积和商（或积商和差混合）等较为复杂的形式可直接采用（）式先求出相对不确定度再求出合成不确定度。下表列出一些常用函数的不确定度传递公式。函数表达式不确定度传递（合成）公式最后将对间接测得量N的测量结果写成如下标准形式：需要指出的是在进行测量不确定度评定时往往不可能将所有不确定度来源所导致的不确定度分量都考虑在内这样会使评定复杂化。所以不确定度来源的分析尤为重要每一个有影响的因素应不重复同时也不能遗漏。重复将导致不确定度过大遗漏将导致不确定度过小应抓住对结果影响的不确定度来源。有些不确定度分量的数值很小时相对而言可以略去不计。在计算合成不确定度（）式中求“方和根”时如果某一平方值小于其它平方值的则这一项就可以略去不计。这一结论叫做微小误差准则。在进行数据处理时利用微小误差准则可减少不必要的计算。五、测量结果的表述规范总不确定度数值截尾时采取“只入不舍”的方法以保证其置信概率不降低。例：计算得到的总不确定度为uc(x)=m截取后面的三位便得到ucr(x)=m。如果测量结果是最终结果其不确定度可用一位或二位数字表示。本课程约定当不确定度的第一位数字为或时取二位第一位数字时取一位。例：某测量数据计算的不确定度为uc(x)=m则取uc(x)=m另一个测量数据计算的不确定度为uc(x)=m则取uc(x)=m。如果是作为间接测量的中间结果其不确定度位数可比正常截断多取一位以免造成截尾误差的累积。本教程约定测量结果的相对不确定度一律用二位数的百分数表示。例：某测量数据计算的相对不确定度为ucr(x)=m则取ucr(x)=m。测量结果的有效数字位数由不确定度来确定。测量结果的最后一位应与不确定度的最后一位对齐即不确定度决定测量结果的有效位数。数据截断时其尾数按本教程采用的“舍入凑偶”的方法处理。测量结果与不确定度的数量级、单位要相同。例：某测量数据计算的平均值为m其不确定度计算得uc(x)=m则测量结果可表示为x=（）m。在测量结果后一般要求用括号注明置信概率的近似值。本教程中为方便起见在表示测量结果时置信概率不要求注明。六、数据处理举例例：用千分尺测量小钢球的直径八次的测量值分别为d（mm）＝千分尺的零点读数d为mm最小分度数值为mm试写出测量结果的标准式。解：（）求直径d的算术平均值：（）修正千分尺的零点误差：（）计算A类不确定度：在本题中是中间结果因此多取了一位下面计算时也是如此。（）计算B类不确定度：仪器误差取最小分度值的一半即Δm＝mm因此（）合成不确定度：是最终结果因此取了一位而且采取了“只入不舍”的方法。（）测量结果为：（）相对不确定度：按照约定测量结果的相对不确定度用二位数的百分数表示。例：已知电阻＝（Ω）＝（Ω）求它们被串联后的总电阻R及合成不确定度。解：串联电阻的阻值为合成不确定度相对不确定度测量结果为例：已知金属环的内径D=（）cm外径D=（）cm高度h=（）cm求环的体积和不确定度。解：环体积为：取环体积的对数并计算偏导数：代入“方和根”合成公式（）中得体积V的相对不确定度：由（）式得体积V的总不确定度：因此环体积为：V的表达式中的最后一位应与不确定度的位数取齐因此将小数点后的第三位数按照数字修约原则进到百分位所以为。cm图读数：cm图mm读数：mm图cm图读数：cm读数：mm图cm图PAGEunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown