考研数学无穷级数之幂级数的和函数的求法_考研_中公教育网
考研数学无穷级数之幂级数的和函数的求法
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　　2018考研交流群
　　数学是考研各科中难度较大的一科，考研数学无穷级数之幂级数的和函数的求法，一起来看下!　　
　　很多朋友都问过我一个和你一样的问题!书上写的什么逐项积分或者逐项求导乱七八糟的看不明白。 我用聊天的方式回答了他们的问题，今天我们来说说中学就有接触的数列就两种
　　1、等差数列
　　2、等比数列
　　这个你是知道的。。。当时解决N项数列和的公式你一定是记得的!1、等差数列Sn=n(a1+an)/2 或Sn=[2na1+n(n-1)d]/2 注：an=a1+(n-1)d
　　转换过程：Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2
　　2、等比数列Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q&1) (n为比值，a为项数)
　　你知道这两个就证明幂级数你学是一点问题都没有了(高数上你高懂的情况下)
　　那现在问题是你不知道为什么要逐项求导和逐项积分了!
　　听好了，以前初等数学就是用一些初等变换去对式子变形&&比如把原式变成两个等比或者等差数列，然后用等比等差数列求和公式求出原式的N项和。
　　现在高等数学就不好搞了，就不能用一些初等变换(比如分母有理化，比如分子加一减一等等)的方式去分成几项有规律的数列了，那么，我们现在怎么办?要回到高中我们就只有求神了。但是，当我们现在学了高等数学后，我们就可以通过求导或者积分的方式把他变成我们所了解的等比和等差数列了，那多爽，是吧!通过求导就回到高中!
　　不要去想什么逐项求导和逐项积分乱七八糟的，其实就是对通项求导或者积分。
　　先说求导：目的就是把我们不论用初等数学怎么变化都不能变成等比数列的式子变成等比数列!
　　注意观察：例如：S(X)=&(2~无穷){[(-1)^n][x^(n-1)]/n-1}这个式子你用高中的方法去分成几项等比数列嘛，你一定会很悲剧的。通过观察：求一次导x^(n-1)的导数不就是(n-1)[x^(n-2)],分子的n-1不是可以和分母的n-1约掉啊!( 注意了哈：逐项求导说的十分猥琐，其实就是对&(2~无穷){[(-1)^n][x^(n-1)]/n-1} 求导 ) 求导你要这样想n是常数，X是变量，对X求导(其实N就是常数，我怕你搞错了，我现在没有办法知道你的基础，所以当高中生在教)。求导以后的数列变成&(2~无穷){[(-1)^n][x^(n-2)]， 求了导之后你展开：把N=2带进去等于1 把N等于3带进去等于(-X) 把N等于4带进去等于(X^2) 把5带进去等于(-x^3).......发现没有，求导之后的通项居然是个 q=(-x) a1=1 的等比数列!那我们的目的达到了!这个等比数列的求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 得：1/(1+x) |x|&1才收敛哈!不然考试不写|x|&1要扣粉的哈!求导之后的通项的和我们求到了 1/(1+x) |x|&1 那是不是我们要积分一次才是原来的题目啊!求导和积分是逆运算的嘛!S(X)=S(0)+ 1/(1+T)求积分(从0到X)=ln(1+x) |x|&1
　　其实求导的目的就是把式子变成我们可以处理的等比数列，再求和，最后把和积分回来就对了，说的这样深邃!
　　再说为什么要积分：目的还是把式子变成我们可以处理的等比数列!什么逐项积分!说的太猥琐了，其实就是对通项积分，把式子能展开成等比数列就对了!NND不说猥琐点难道就体现不出编教材的人的水平吗? 看着啊，我现在就按照同济教材的立体为例子：给你玩一下：&(1~无穷) n(x^n-1)
　　解：S(x)=&(1~无穷) n(x^n-1) 的和函数仔细观察：(x^n-1)积分是不是分母出现了n ,正好和分子的n越掉。直接对)&(1~无穷) n(x^n-1) 积分哈~~~不要考虑什么逐项积分，从此你就当没有听过逐项积分这种说法。积分后就变成 &(x^n)，原式是没有办法处理的，但是有了这个式子之后，展开把N=(1、2、3、4。。。。)带入就发现是个很标准的q=x的等比数列了。这个等比数列求和为：x/(1-x)。 x/(1-x)是积分后的和哈，那要求原来的和简单嘛，求一次导就对了：1/[1-x)^2]
　　总结：原式我不能处理怎么办，求导或者积分后变成等比数列，我求和，求完了积分或者求导回去就对了!
　　注意：不光是处理成等比数列!那是在高中!现在给你增加几个数列!说白了，你只要通过求导或者积分后变成这些数列都是可以求和的，记得再变回去!e^x
　　= 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+... ln(1+x)= x-x^2/3+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+... (|x|&1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-&
　　求导或者积分后你要展开观察是什么数列，只要是等号右边的东西，你就直接得到他的和是等号左边了，再记得变回去!
　　什么逐项求导和逐项积分，太恶心了!以后等你搞傅里级数的时候还有一些书上写的多深邃，其实简单的初中生都能搞的明白的东西。。。。书上写的巨恶心，其实就是三角变换一次，一次不行就两次。。。。。 lim(n-&无穷) [a1(1-q^n)/(1-q) =lim(n-&无穷) {[a1/(1-q)]-a1(q^n)/(1-q)} 因为当|q|&1时 lim(n-&无穷)(q^n)=0 所以lim(n-&无穷) [a1(1-q^n)/(1-q)=a1/(1-q
　　　以上是中公考研为大家准备整理的&考研数学无穷级数之幂级数的和函数的求法&的相关内容。另外，中公考研提醒大家、、以及已经出来，中公考研将为大家及时提供相关资讯。另外，为了帮助考生更好地复习，中公考研为广大学子推出2018考研、、系列备考专题，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，还会根据每年的考研大纲进行针对性的分析哦~欢迎各位考生了 解咨询。同时，中公考研一直为大家推出，足不出户就可以边听课边学习，为大家的考研梦想助力!
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更多文章推荐以下是网友分享的关于幂级数求和函数的步骤的资料6篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
&幂级数求和函数的步骤第一篇
幂级数的和函数一、 幂级数的运算：设∑a n ?xn =0∞n与∑bn =0∞n?x n 两个幂级数，收敛半径分别为R 1, R 2, 则在它们的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∑λan =0∞n?x ±∑μb n ?xnn =0∞n=∑(λan =0∞n±μb n ) x n其中λ、μ为常数。当R 1≠R 2时，上式的收敛半径为R =min{R 1, R 2} ii 乘法和除法：∑a n x ?∑b n x =nnn =0n =0∞∞n c x ∑0n =0∞ 其中c n =a 0b n +a 1b n -1+???+a n b 1∞二、 和函数： 设∑a n xn =0∞nnS (x ) =a x ∑n 为和函数，则有以下性质的收敛半径为R (R>0)，n =0成立i 和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导公式：S ′(x ) =(∑a n x n ) ′=∑na n x n -1n =0n =0∞∞且，同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。 ii 由此，和函数S （x ）在（-R,+R）内任意次 可导，并有逐项求导公式：S (k ) (x ) =(∑a n x n ) (k )n =0∞=∑n (n -1)(n -2) ???(n -k +1) a n xn =0∞n -k 它的收敛半径仍然为R 。iii 在（-R,+R）内逐项积分公式成立∫S (t ) dt =∑∫ n =00∞x∞xa n n +1a n t dt =∑n =0n +1n∞并且，逐项积分后收敛半径也不变iv 若幂级数∑a n x n 在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n =0nlim S (x ) =a R ∑n （A ） x →R -n =0∞∞x →R +lim S (x ) =∑a n (-R ) nn =0（B ） 可以在[0,R]或者[-R,0]上逐项积分，即： a n +1S (x ) dx =∑∫ n +1=0n 0R∞-a n n +1(-R ) S (x ) dx =∑∫n =0n +1-R ∞（C ） 逐项求导之后的级数S ′(x ) =(∑a n x ) ′=∑na n x n -1nn =0n =0∞∞在X=R(-R)处可能发散。则逐项（D ） 若∑a n x n 在X=R(-R)处发散，n =0∞求导之后的级数在X=R(-R)一定发散。则逐项（E ） 若∑a n x n 在X=R(-R)处发散，n =0∞求积分之后的级数∫S (t ) dt =∑∫ n =00x∞xa n n +1a n t dt =∑n =0n +1n∞在X=R(-R)可能收敛。三、 和函数的性质：（1） 性质1：设幂级数∑a n x n 的收敛半径为R （R>0），n =0∞则其和函数S （x ）在区间（-R,+R）连续，如果幂级数在X=R或者-R 也收敛，则其和函数在R 或者-R 也连续。（2） 性质2：和函数求导公式 （3） 性质3：和函数求积分公式四、 幂级数的求和：第一. 步： 经过适当变性，对和函数求导。 第二. 步： 然后对导函数求积分。第三. 步： 确定和函数的定义域（根据和函数性质（1））五、 补充知识：（1）1=1+x +x 2+???+x n +???(-1<x <1) 1-x1=1-x +x 2-???+(-1) n x n +???(-1<x <1) 1+x （2）&幂级数求和函数的步骤第二篇
龙源期刊网 利用幂级数的和函数求常数项级数的和 作者：扈玉莲来源：《商情》2014年第45期【摘要】本人通过对四个实例的解析，尝试用求幂级数的和函数的方法来求常数项级数的和。【关键词】幂级数 幂级数的和函数 常数项级数的和一、问题的提出高等数学中无穷级数部分运用的是从一般到特殊的认知规律。幂级数、幂级数的和函数等是在常数项级数基础上研究的。对于收敛的常数项级数的和如何求没有一个统一的方法，有些可以将一般项拆成若干项的差的形式之后用常数项级数的和的定义求；收敛的等比级数，有求和公式。但有些常数项级数，不能用上面的方法求和，可以通过求幂级数的和函数来求解。二、问题的解析例1 求级数 的和。分析：可以考虑幂级数 ，若能求出它的和函数，则所求级数的和即为和函数中自变量x=■时的值，求和函数应根据幂级数的性质—“幂级数可以逐项求导数与逐项求积分”来求。解：设 ，则例2 求极限分析：本题由于括号内是无穷多项的和，因此不可以用“和的极限等于极限的和”来求，实际上，是求常数项级数的和的问题，例1给我们以启迪，构造幂级数■nxn，则所求常数项级数的和即为和函数中自变量x=■时的值。例3 求级数 的和。分析：此题的关键仍是构造幂级数，对照马克劳林级数中的，&幂级数求和函数的步骤第三篇
2009年第2期总第143期林区教学T e a c h i n g o f F o r e s t r y R e g i o nN o . 22009G e n e r a l N o . 143求幂级数的和函数的方法周学勤(濮阳职业技术学院数学与信息工程系, 河南濮阳457000)　　摘　要:幂级数是级数这一章的主要内容, 求幂级数的和函数是幂级数运算中的一个重点和难点, 具有一定的技巧性。结合多年的教学实践, 介绍了求幂级数的和函数的最基本的方法。关键词:幂级数; 和函数; 积分; 逐项求导; 收敛域中图分类号:O 173　　　文献标志码:A 　　　文章编号:09) 02-0005-02∞　　求幂级数的和函数的基本思路是:经过加、减、乘运算, 或逐项求导运算或逐项求积分运算, 将幂级数转化为我们已知其和的幂级数(例如等比级数1+x +x +…+x 1+…) , 从而求得原幂级数之和函数。下面通过举1-x 例说明求幂级数的和函数的最基本的方法。例1:求下列幂级数的和函数:∞-1代入∑x , 发散)nn =02n注意:逐项求导后收敛区间的端点的收敛性可能会起变化, 需要对端点进行讨论。(2) 幂级数的收敛域容易得出为(-1, 1) 。∞设S (x )=∑n x , 则逐项积分得n -1n =1∞(1) ∑n =1∞n =1n n -1n 　(2) 　(3) (2n +1) ∑∑n n =1n =02n -1∞∞ S (t ) d t =∑n t d t =∑x =x+x +…x +…∫∫n -1n2nn =1x x∞0n =1(4) 3n -1) x ∑(x1-x两边再求导得∞解:(1) 先要求出和函数的定义域, 即幂级数的收敛域。易得该幂级数的收敛域为[-1, 1) 。∞再设S (x )=∑n =1∞1nx 则逐项求导得n∞∞x ∑nn =1n -1x =S (x )=) ′∈(-1, 1) 2, x 1-x (1-x )∞注意:逐项积分后, 收敛区间端点的收敛性可能会起变化。此刻当x=±1代入级数∑x 时均为发散, 因此收nn =1S ′(x )=(∑n =11n 1n n -1x ) ′=∑(x ) ′=∑x n n =1n n =12n -1=1+x+x+…+x +…这是一个公比为x 的几何级数, 其和为1S ′(x 1-x 两边积分得S ′(t ) d t =∫而S ′(t ) d t =S(t ∫ x 0xx敛域与收敛区间相同。, 即1-x小结:从(1) (2) 题可以得出一个思路, 采用一种运算后使幂级数中的x 系数变成1或-1, 这样就可以利用几何级数的求和公式, 从而得出原幂级数之和。∞nd t x=-l n (1-x ) n (1-t 0=-l 1-tx 0∞(3) 先求∑(2n +1) x 的收敛域。a +1, 则n =2nnn =0r =li n ※∞得=S(x )-S (0)nx , 得S (x )=na 2n+3n +1=li =1n ※∞2n+1a n令x =0代入原幂级数得S (x )=∑n =1=1, 当x =±1代入时, 级数均为发散, 所以幂级r∞∞数的收敛域为(-1, 1) 。令S (x )=∑(2n+1) x =∑[(2n+2)-1]x =nnn =0n =0∞∞0。所以∞∑n =1nx =S(x )=-l n (1-x ) , x ∈(-1, 1) 。(x=nn +1) x -∑x ∑2(nnn =0n =0　　收稿日期:作者简介:周学勤(1968-) , 女, 河南内黄人, 讲师, 从事高等数学及其在各专业应用研究。后一个幂级数为几何级数, 得∞∑x =1+x +x +…+x +…n2nn =0, x ∈(-1, 1-x1)前一个幂级数, 要使其x 的系数2(n +1) 变为与n 无关的常数, 可用逐项积分的方法。令∞∞n而∑xn =12n -1=x+x +…+x32n -1+…x2, 所以1-xS (x ∞x∈(-1, 1) 222, x(1-x ) 1-x2n -1S x )=2∑(n +1) x 1(nn =0则S (t ) d t =2∑(n +1) ∫t d t =2∑x ∫n 1n =0即∑(3n -1) xn =1∈(-1, 1) 22, x (1-x ) x在区间(-1, 1) 内的和函数n +2∞n =03x∞x∞∞n +10n =0=2(x +x2例2:求幂级数∑n =0n +12x+…+x +…1-xn解:设和函数为s (x ) , 则s (x )=∑=0, 于是∞x, 显然s (0) n +2n +1两边求导2S x ∈(-1, 1) 1(2, x(1-x ) 即121n(2n +1) x =S(x ) =12∑n =01-x (1-x ) 1-x 1+x∈(-1, 1) 2, x(1-x )∞∞x s (x )=∑n =0xn+2∞∞n +2n x逐项求导, 得[x s (x ) ]′=∑x =xx , ∑n =0n =01-xn +10<<1对上式从0到x 积分, 得x s (x )=d t =-l n (1-x )-x1-t0xt(4) 3n -1) x , 这是缺项幂级数。u (x )=(3n n ∑(2n -1n =1-1) x2n -1l n (1-x )于是, 有s (x )=-1, 从而x 1l n (1-x )-1, 0<<1x s (x 0, x=0参考文献:[1]盛祥耀, 等. 高等数学辅导[M ]. 北京:高等教育出版社,2003.[2]梁保松, 等. 高等数学[M ]. 北京:中国农业出版社, 2001. [3]王信峰, 大学数学简明教程[M ]. 北京:高等教育出版社,2002.[4]刘永莉, 李曼生. 两类幂级数的和函数的求法[J ]. 甘肃联合大学学报:自然科学版, 2005, (2) .[5]张绍璞. 一类幂级数的和函数与h (n , K ) 数的引入[J ].天津轻工业学院学报, 1993, (2) .〔责任编辑:李海波〕u x 3n+222n +1(ρ=li =li m x ) =xn ※∞n ※∞3n-1u x ) n (2ρ<1时, 即x <1 -1<x1时,即x >1 >1时发散。当x =±1时幂级数发散, 所以幂级数的收敛域为(-1, 1) 。∞∞2设S (x ) =∞3n-1) x ∑(n =12n -1=∑n =132n -1(2n ) x -2∑xn =12n -13令S x 1(2则20∞x ∑2nn =12n -1∫xS t ) d t 1(2∞∑x 2nn =1242n(x +x +…x+…)=2x221-x3x两边求导得S x 1(22(1-x )&幂级数求和函数的步骤第四篇
2009年第2期总第143期林区教学T each i ng of F orestry R eg i onN o . 22009G eneral N o . 143求幂级数的和函数的方法周学勤(濮阳职业技术学院数学与信息工程系, 河南濮阳457000)摘 要:幂级数是级数这一章的主要内容, 求幂级数的和函数是幂级数运算中的一个重点和难点, 具有一定的技巧性。结合多年的教学实践, 介绍了求幂级数的和函数的最基本的方法。关键词:幂级数; 和函数; 积分; 逐项求导; 收敛域中图分类号:O173 文献标志码:A 文章编号:09) 02-0005-02求幂级数的和函数的基本思路是:经过加、减、乘运算, 或逐项求导运算或逐项求积分运算, 将幂级数转化为我们已知其和的幂级数(例如等比级数1+x +x + +x + =2n-1代入n =0x , 发散)n 注意:逐项求导后收敛区间的端点的收敛性可能会起变化, 需要对端点进行讨论。(2) 幂级数的收敛域容易得出为(-1, 1) 。设S (x) = 1) , 从而求得原幂级数之和函数。下面通过举1-x例说明求幂级数的和函数的最基本的方法。例1:求下列幂级数的和函数:(1) (4) n=1nxn-1, 则逐项积分得d t = n=1 n=1n n-1 (2) (3) n n=1(3n -1)x2n-1 n=0 (2n +1)=n S (t) d t =x t nxn=1n-1 xn=1 n=x +x + x +2n x1-x两边再求导得n=1解:(1) 先要求出和函数的定义域, 即幂级数的收敛域。易得该幂级数的收敛域为[-1, 1) 。再设S (x) =S (x) =( n=11nx 则逐项求导得nn=1nx n-1=S (x) =() =, 1) 2, x (-11-x (1-x ) 注意:逐项积分后, 收敛区间端点的收敛性可能会起n=1 n=11nx ) =n2 1n(x) =nn-1x n-1变化。此刻当x = 1代入级数 x 时均为发散, 因此收nn=1=1+x +x + +x +, 即1-x敛域与收敛区间相同。小结:从(1) (2) 题可以得出一个思路, 采用一种运算后使幂级数中的x 系数变成1或-1, 这样就可以利用几何级数的求和公式, 从而得出原幂级数之和。 这是一个公比为x 的几何级数, 其和为S (x) =11-xxn两边积分得S (t) d t =而S (t) d t =S (t)x 0 x 0=-ln (1-t) 1-tx 0(3) 先求 (2n +1)x 的收敛域。a n =2n +1, 则nn=0x =-ln (1-x )r =n li m得R ==S (x) -S (0)a n+12n +3=n li m =12n +1a n令x =0代入原幂级数得S (x)=0。所以 n=1 nx , 得S (x) =n=1, 当x = 1代入时, 级数均为发散, 所以幂级r 数的收敛域为(-1, 1) 。令S (x)= n=1nx =S (x) =-ln (1-x ), x n(-1, 1) 。(x= nn=0(2n +1)x =n n=0[(2n +2) -1]x =nn=0 2(n+1)x -xn=0 n收稿日期:作者简介:周学勤(1968-), 女, 河南内黄人, 讲师, 从事高等数学及其在各专业应用研究。后一个幂级数为几何级数, 得n=0xn=1+x +x + +x + =2n, x (-1, 1-x 1)前一个幂级数, 要使其x 的系数2(n+1) 变为与n 无关的常数, 可用逐项积分的方法。令S 1(x) =2 (n+1) xn=0n而 xn=1 2n-1=x +x + +x32n-1+ =x2, 所以1-xS (x)= (-1, 1) 22-2, x(1-x ) 1-x2n-1n则S (t) d t =2 (n+1) t d t =2 xxx n 1n=0 即 (3n -1)xn=1=(-1, 1) 22, x (1-x )n+13n+1 n=0=2(x+x2例2:求幂级数 n=0在区间(-1, 1) 内的和函数n +22x+ +x + ) =1-xn解:设和函数为s(x),则s(x) ==0, 于是(-1, 1)x s(x)=n=0 n=0x显然s(0) n +2n+1两边求导2S 1(x) =2x(1-x) 即 x n +2n+2逐项求导, 得[x s(x) ] =121(2n +1)x =S 1(x) -==2-1-x 1-x (1-x )n xn=0 n+1=x x =nn=0 , 1-xn=00<x <1对上式从0到x 积分, 得x s(x)=1+x(-1, 1) 2, x(1-x )(4) -1)x2n-1n=1 (3n -1)x2n-1, 这是缺项幂级数。u n (x) =(3n1-x 0td t =-ln (1-x ) -xt-1, 从而xx <1于是, 有s(x) =--u n+1(x) 3n +222=n li m =li m (x ) =x n3n -1u n (x)<1时, 即x 2<1 -1<x 1时, 即x >12s(x) =1ln (1-x ) -1, 0<x0, x = 参考文献:[1]盛祥耀, 等. 高等数学辅导[M].北京:高等教育出版社,2003.[2]梁保松, 等. 高等数学[M].北京:中国农业出版社, 2001. [3]王信峰, 大学数学简明教程[M].北京:高等教育出版社,当x = 1时幂级数发散, 所以x >1时发散。幂级数的收敛域为(-1, 1) 。设S (x) =n=1 (3n -1)x2n-1=n=1 32n-1(2n )x -2xn=1 2n-13令S 1(x)=2则20 2 n=12nx2n-12002.[4]刘永莉, 李曼生. 两类幂级数的和函数的求法[J].甘肃联合大学学报:自然科学版, 2005, (2).[5]张绍璞. 一类幂级数的和函数与h (n , K ) 数的引入[J].天津轻工业学院学报, 1993, (2).责任编辑:李海波 xS 1(t) d t =n=1 x =2n242n(x+x + x + ) =221-x 23x两边求导得S 1(x) =22(1-x )6&幂级数求和函数的步骤第五篇
摘要：幂级数求和函数是级数这一章的重点和难点。根据多年教学经验，对幂级数求和函数总结出四种常用类型及其解法。关键词：幂级数；和函数；几何级数中图分类号：O1-0文献标识码：A 幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题，对于学生来说是一个难点，因此有必要对幂级数求和函数这类问题进行研究探讨。求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数（又叫等比级数）,的和函数，其中为的多项式（一）解法：1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。积分总是从收敛中心（用的和函数。文章编号：（2010）-09-0137-02因②、③可直接利用①的结论求得，下面仅给出①、④的求解过程。解①（法一）收敛域为（-1，1）, 对级数逐项积分再逐项求导：。则（-1<<1）。（法二）将级数化为几何级数的和函数的导数而求之：（-1<<1）④（法一）收敛域为（-1，1），在收敛域内对级数先逐项积分两次，再逐项求导两次求之：则（-1<<1）所以（-1<<1）（法二）更简便的是将级数化为几何级数的和函数的导数而求之：（-1<<1）（三）结论：（-1<<1）（1）（-1<<1）（2）（-1<<1）（3）（-1<<1）（4）例2求（求之，过程略；也可化为几何级数和函数的导数求之：由在收敛域内连续得：, （-1<<1）。三、类型三：求能的和函数。解：收敛域为[-1，1]，可以对级数先逐项求导两次，再逐项积分两次的方法求和函数，方法与上类似，过程略，也可直接利用上面的结论（5）、（6），则当(-1<1) 时，，。四、类型四：求含阶乘因子的幂级数的和函数（一）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用，sin 及cos 的幂级数展开式，求其和函数。一般分母的阶乘为！的幂级数常用的展开式来求其和函数；分母的阶乘为（2+1）！或（2）！的幂级数常用sin 及cos 的展开式来求其和函数。求和过程中要注意利用标号变换，将待求级数化为，sin 及cos 的幂级数展开式的标准形式。（二）逐项求导、逐项积分法（三）微分方程法：含阶乘因子的幂级数（特别是形如的和函数。解：（法一）（法二）收敛域为（-,+），则（-<<+）（法三）转化为的常微分方程的初值问题：幂级数求和函数的类型与解法作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：邓俊兰， 李鑫南阳师范学院数学与统计学院,河南,南阳,473061北京电力高等专科学校学报(社会科学版)BEIJING DIANLI GAODENG ZHUANKE XUEXIAO XUEBAO)0次 参考文献(2条) 1. 同济大学教学系 高等数学 20072. 朱来义 微积分 2004 相似文献(10条)1.期刊论文 解烈军 求幂级数和函数的微分方程方法 -高等数学研究)按照通常求幂级数和函数的思路,对一些幂级数并不能奏效.在某些情况下,可以引入求幂级数和函数的微分方程方法.其主要思路是通过建立和函数的微分方程,将幂级数求和函数问题化为微分方程初值问题来求解.2.期刊论文 徐凤林. 张秀丽. XU Feng-lin. ZHANG Xiu-li 幂级数和函数的解法综述 -山东轻工业学院学报(自然科学版))本文总结了求幂级数和函数的四种方法.一种方法是将待求级数分解成己知和函数的级数的运算(一般是加减)表达形式,然后逐一求和新的级数;第二种方法是"先求导,再积分"或"先积分,再求导";第三种方法是把待求级数用基本初等函数的幂级数展开式表示出来;第四种方法是列写出和函数满足的微分方程,解此微分方程得到和函数.3.期刊论文 周正迁 关于求幂级数的和函数 -科技信息2010(15)在函数项级教中,幂级数占有重要的地位,而求幂级数的和函数又是其中不可或缺的内容.本文通过一些典型的例题介绍了求幂级数和函数的一般方法.4.期刊论文 张锦来. ZHANG Jin-lai 幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k和函数的递推公式及其应用 -延边大学学报（自然科学版）)根据收敛级数的分析性质研究了幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k(k≥2)的和函数问题,用数学归纳法证明了其和函数的递推公式,由此得出k=2,3,4,…时幂级数和函数的具体表达式,进而导出几个与之相关的非初等积分的值或近似值.5.期刊论文 解烈军. XIE Lie Jun 一类幂级数求和函数的代数方程方法 -高等数学研究)建立幂级数和函数相关的代数方程,给出形如∑∞n=0anxn(其中an为以n为变元的多项式)的幂级数求和函数的一种方法.6.期刊论文 张玉灵 由通项公式求一类幂级数的和函数 -高等数学研究)利用和函数的定义对形如∞∑anbn(x)的幂级数,其中{an}是一等差数列,{bn(x)}是一等比函数列,推导出了求该类幂级数和函数的一个通项公式.7.期刊论文 张雪梅. 封功能 求函数极限方法研究 -科技信息2009(27)求极限是高等数学中最基本的运算之一,由于题型多变,所以方法灵活,技巧性强,本文结合教学实践,讨论了求函数极限的几种常用方法,揭示了极限理论广泛而深刻的内涵.8.期刊论文 桂曙光. GUI Shu-guang 利用差分法求一类幂级数的和函数 -安庆师范学院学报（自然科学版）)利用差分法导出了求幂级数和函数的一个通项公式,用它能求出系数为高阶等差数列和高阶等比数列的幂级数∞∑n=0anxn的和函数.9.期刊论文 周宏安. ZHOU Hong-an 幂级数和函数分析性质的一种证明 -陕西工学院学报)作者在文[1]中给出了幂级数在收敛区内连续性的一种证明,本文直接利用幂级数的收敛性,给出幂级数和函数在收敛区间上的分析性质的一种简捷证明.并举例说明方法的实用性.10.期刊论文 李高明 利用拆项法求一类幂级数的和函数 -高等数学研究)利用拆项法,给出一类系数为和式的幂级数和函数的求法.并对此类幂级数收敛半径计算,给出一个一般性结论. 本文链接：.cn/Periodical_bjdlgdzkxxxb.aspx授权使用：湖北经济学院(hbjjxy)，授权号：c283de2e-f500-45e9-a96d-9f0700edfce2下载时间：日&幂级数求和函数的步骤第六篇
ＶＭｏａｌ．ｙ１．２，’２Ｎｏｏｏ．９３ｓＴｕ。ＩＥｓＩＮＣ高Ｏ等ＬＬ数ＥＧ学Ｅ研Ｍ究ＡＴＨＥＭＡＴＩｃｓ——————————————————————————————————————一．４７：：利用拆项法求一类幂级数的和函数＋李高明（武警工程学院基础部西安７１００８６）摘要利用拆项法?给出一类系数为和式的幂级数和函数的求法．并对此类幂级数收敛半径计算?给出一个一般性结论．关键词幂级数；收敛半径；和函数；中图分类号（）１７２．．．２００８年陕西省第七次大学生高等数学竞赛（复赛）中有一道求幂级数收敛域与和函数的试题，例求幂级数蚤（１＋专＋…＋去）ｚ”的收敛域与和函数．解法１因为１≤√１＋专十…＋音≤石，且！鲤橱一ｌ，所以有！！彬—碡乩！受（１＋虿１＋…＋丢）一。。，ｓｃｚ，一蚤（１＋虿１＋…＋丢）ｚ”＝薹（，＋虿１＋…＋击）ｚ一＋茎｝一一ｚ蚤ｏｏ（，＋ｉ１＋…＋去）ｚ”＋善丢ｚ”一岱ｃｚ，＋姜｝一，∞∑㈣∥一南蚤｝”＝岫ｃ１－－ｘ，，得ｓ（ｚ）＝堡掣，ｚ∈（一１，１）．解法２因为对于ｚ∈（一１，１），有萎Ｆ一击，蚤扣一?棚一珐（∑ｚ”）（∑‰ｚ７。）＝∑（“。＋以：＋…＋以。）ｚ”＋收稿日期：２００８—０９—０２，修改日期：２００９—０２～２３基金项目：陕西省自然科学基金（ＳＪ０８Ａ２８）万方数据芒中幂级数系数是一个和式，此类题目较为少见，学生做起来有一定的难度．兹将此题例列于下，并给出两种解法．因此收敛半径Ｒ一１．又因为所以幂级数的收敛域为（一１，１）．对于任意ｚ∈（一ｌ，１），记幂级数的和函数为Ｓ（ｚ），则由町幂级数在收敛域内是绝对收敛的，绝对收敛级数的Ｃａｕｃｈｙ乘积仍绝对收敛ｍ，所以４８高等数学研究２００９年５月在（一１，１）内收敛，又璺（－＋虿１＋…告）＝。。，所以幂级数的收敛域为（一ｌ，１），其和函数为ｓ（ｚ）一堕掣，ｚ∈（一１，１）．以上二种解法思路不同，方法各异．第一种解法，把幂级数恒等变形，这一技巧较常用．第二种解法利用幂级数Ｃａｕｃｈｙ乘积，关键是把所给幂级数看成某二个幂级数的Ｃａｕｃｈｙ乘积，这一解法很少用到，学生也较难掌握．事实上，以上解法对于形如∑（“。一ｉ－ａ２＋…十‰）∥的幂级数具有一般性．定理１嘲设幂级数∑‰ｒ和∑ｂ。一的收敛半径分别为Ｒ。和Ｒ。，则幂级数∑（∑纵ｂ，ｒ。）ｚ””一０ｎｆｌ”一Ｏ女＝０的收敛半径Ｒ≥ｍｉｎ｛Ｒ。，Ｒ。）．定理２设幂级数∑“。３２”的收敛半径为Ｒ，，和函数为Ｓ。（ｚ），在ｚ＝１发散或者收敛但其和不为零．则幂级数∑（“。＋“。十…＋（１ｎ）ｚ”的收敛半径为Ｒ—ｍｉｎ｛Ｒ。，１），和函数为ｓ（Ｔ）一拿丛生。ｚ∈（一Ｒ，．Ｒ）．证明和函数可用与例题类似的方法得到．下面就收敛半径Ｒ—ｍｉｎ（Ｒ，，１）给出证明．若Ｒ－＜ｌ，则Ｖ勘∈（Ｒ，，１），级数∑“。ｚ。’‘发散．若级数∑（口。＋Ⅱ。＋…＋以。）弼收敛于ｓｏ，则Ｓ。一∑（以－＋“。＋…＋％）ｚ；一∑（ｎ＋“ｚ＋…十以。一。）ｚｇ＋∑ａ。ｚ３一¨２ｎ＝ｌｎ＝ｌｚ∑（“。十ｎ。＋…＋‰）ｚ；＋∑以。Ｘｏ”一ｘＳ。＋∑口。ｚ；．＂＝二１Ｈ＝ｌｎ＝１这与级数∑ｎ。ｚ：发散矛盾，因此，级数∑（锄＋“。＋…＋％）瑚发散，从而Ｒ—Ｒ。一ｒｎｉｎ｛Ｒ。，１１．若Ｒｚ≥１，且级数圣“”发散，则璺（“－＋“。十…＋如）不存在，从而级数圣（“－＋ａｚ＋…＋如）一在ｘ一１发散，此时，Ｒ＝１一ｍｉｎ｛Ｒ．，１）；若Ｒ。≥１，且级数∑ｎ。收敛但其和不为零，不妨设其和为ｓ，幂级数∑（“。＋ｎ。＋…＋ｎ。）ｚ”的收敛半径肛。ｌｉ—ｍ鲁击穿毫一斟＝－，参考文献此时，Ｒ一１一ｍｉｎ｛Ｒｌ，１）．综上有Ｒ—ｍｉｎ｛Ｒ，，ｌ｝［１］同济大学数学教研室．高等数学（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２．［２］吉林大学，数学分析（中册）［Ｍ］．北京：人民教育出版社。１９７９．万方数据利用拆项法求一类幂级数的和函数作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：李高明李高明,武警工程学院基础部,西安,710086高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS)0次 参考文献(2条)1. 同济大学数学教研室 高等数学 20022. 吉林大学 数学分析 1979 相似文献(10条)1.期刊论文 滕兴虎. 滕加俊. 周华任. 吴红. TENG Xing-hu. TENG Jia-jun. ZHOU Hua-ren. WU Hong 关于2个幂级数和的收敛半径的说明 -高师理科学刊)在众多教材中,仅仅指出了2个幂级数的和在某区间内收敛,而没有对这2个幂级数的和的收敛区间加以说明,因此关于2个幂级数的和的收敛半径往往会产生想当然的结论. 为此,文中指出了2个幂级数的和的收敛半径的可能性,并举例予以说明.2.期刊论文 项明寅. 鲍志晖. 叶鸣. Xiang Mingyin. Bao zihui. Ye ming ∞∑n=0 an(bx+c)np+q型幂级数的收敛半径的简捷求法 -黄山学院学报)本文通过对赵树嫄教授主编的关于求幂级数收敛半径一处笔误的讨论,得出关于∞∑n=0an(bx+c)np+q型幂级数收敛半径的简捷求法.3.期刊论文 蒋国强 一类幂级数收敛半径的统一求法 -高等函授学报(自然科学版))本文导出了计算形如+∞∑n=0 anx mn+k(m是正整数,k是非负整数)的一类幂级数收敛半径的一个统一方法,使该类幂级数的收敛半径的计算好教易学.4.期刊论文 王育宽 幂级数的收敛半径公式的优化 -沧州师范专科学校学报)对教科书中幂级数的收敛半径公式作了一点补充性推广,使这个推广后的公式能方便、快捷地求各种形式幂级数的收敛半径.5.期刊论文 张鸣 幂级数收敛半径的若干性质 -郧阳师范高等专科学校学报)给出了由已知幂级数生成新的幂级数后收敛半径发生变化的若干结果,并提供了相关实例.6.期刊论文 周剑蓉. ZHOU Jian-rong 幂级数8∑n＝0 an(x-x0)mn+p收敛半径的计算 -西华大学学报（自然科学版）)依据阿贝尔定理,利用比值审敛法(D'Alembert审敛法)与根值审敛法(Cauchy审敛法)导出形如8∑n＝0 anxmn+p或8∑n＝0 an(x-x0)mn+p(其中m∈Z+,P∈Z)的幂级数收敛半径的计算公式并加以应用.7.期刊论文 杜兴朝. DU Xing-zhao 关于幂级数的收敛半径的计算公式 -咸阳师范学院学报)给出了幂级数收敛半径的计算公式,它是通常计算公式的推广.8.期刊论文 马娜蕊 幂级数收敛半径的一些求法 -高等数学研究)讨论了在一些特殊情形下,幂级数收敛半径的求法.9.期刊论文 高国成. 宋治涛 求幂级数收敛半径的方法 -工科数学)指出了文[1]中一个考研题的错误解法,并给出求幂级数收敛半径的几种方法.10.期刊论文 许万银. XU Wan-yin 幂级数∑∞n=0anxψ(n)收敛半径的两种求法 -青海师专学报（自然科学）)幂级数∑∞n=0anxψ(n)收敛半径的两种求法. 本文链接：.cn/Periodical_gdsxyj.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：36f72e92-0c89-41d5-9729-9dcc01277f39下载时间：日
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