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2009二模化学试题2016年河北省中考数学试题分析
来源：家长帮石家庄站&&&&作者：街角的幸福&&&& 16:54:54
　　回归课本，发展能力， 引领教学
　　&&2016年河北省中考数学试题分析
　　2016年河北省中考数学试题进一步落实了&立足基础，注重过程，突出能力，着重创新&的课改理念，试题原创，构思绝妙。试卷回归教材、回归数学本质，在平实中彰显了立意，在简约中彰显了功力，为今后的教和学指明了方向。
　　1、试题结构
　　今年数学试题基本延续去年的&基础+能力&的风格，在保持26个总题量的基础上,进行了新的布局调整，选择题仍为16个，填空题由4个调整为3个，但19题改为双空，解答题由6个改为7个，分值较去年多了2分。试题中代数、几何、统计与概率的比值仍保持5∶4∶1，与教学课时保持一致，起点低，基础性强，覆盖面广。其中填空的19题、解答题的25题和26题有一定难度和区分度。这种调整更加贴近了考生的认知基础和活动经验，是一套非常适宜的精彩试卷。
　　2、试题特点
　　立足基础，回归本质
　　今年我省试题立足基础，很多题源都来自于学生熟悉的课本，通过课本内容的挖掘、整合与延展得到新的活力，让学生有&似曾相识&又&耳目一新&的感觉，在简约中设置出数学特有的味道。如第4题（分式化简）、第6题（特殊四边形判定）、第11题（数轴上点的特点）的每一选项都基于学生易错问题而编排，很好地澄清了概念与细节；又如第8题（正方体的展开）图形常规但设问新奇；再如第20题至24题的5道解答题（共45分）也都来自于课本上的内容，第20题是初一所学，它很好地连接了小学的算术与初中有理数计算，门槛低，每位考生都有信心去解决，同时又要求运用简便运算，这样不只考查了数学的基本运算能力，也考查了学生的灵活能力和互逆思维；第24题是课本中掷两个骰子的简单概率题。试题立足课本，紧扣教材，新而不难，简中见奇，真正体现了&基础中含思维，熟悉中有精彩&，在增加了大部分考生解答试题信心的同时，也为考生对今后的数学学习提供了动力，真正做到了&以生为本&。
　　前后关联，变式创新
　　今年试题平实严谨，并与往年中考试题相互借鉴、相互呼应、前后关联。题目既在情理之中，又在意料之外。如第19题，既考查了找规律、一次不等式，又与物理的平面镜反射相联系，更考查了学生的理解力和三角形内角和定理及其推论，加大了思维含量；又如第25题，将显性旋转变为沿曲线的隐性旋转，创新了情境，增加了思维的含量，又创设了一个不常见新颖的特例，体现了命题者的构思的奇妙和开放，是一道具有甄别效果的好题。
　　能力立意，思维延伸
　　整套试题保持了知识与方法兼具，过程与结论并重，非常重视对考生数学思维的考查。特别是选择题，计算量很小，但观察思考量较多，是对所学知识的融合和灵活应用的有效考查，体现了能力立意，关注了学生的后续发展。压轴题更是融入了对学生的数学方法、数学能力的考查。如第25题，呈现形式简洁，后两问求解有一定的难度，更多地聚焦了圆的相关知识、等边三角形、三角函数、对称性等主干知识，同时考查了初中阶段重要的数学思想和方法，如转化思想、分类讨论思想、对称思想、一般到特殊思想以及极值位置解决问题的方法；又如26题，数形互助，跨度小，易入手，考查了两种函数的本质属性，在抛物线隐性平移中增大了思维含量以及动手探究的过程，4个问题并列设问，递进式求解，互为暗示与启示，层层推进，特别是第4问除考查了解一元二次方程外，更是考查了学生的理解力、思维的深刻性以及严谨的数学品质。
　　总之，今年我省试题在突出对基础知识、基本技能的考查外，还更加着力对学生基本数学思想方法和基本活动经验的考查。90%以上的题源来自于课本教材内容，这就为广大的一线教师和学生指明了教和学的方向，引导师生回归教材，回归概念，守住数学的根本，减轻学业负担。
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2013年广东省惠州市(初中)数学老师教学论文(32份)
浅谈如何选编数学课堂的例题与习题惠州市龙门县龙城第一中学 周琼英摘要：数学教学中例题与习题在帮助学生理解基础知识、巩固和强化记忆、培养和发展 学生思维能力等方面起着重要作用。因此，必须深钻教材，精选典型的例题与习题，运用启 发、联想、探究的方法，通过例题的剖析，习题的解答，使课堂教学的目标得以落实。例题 与习题是数学教材重要组成部分，我们老师对于例题与习题的选择，要有针对性、实效性， 解决学生普遍存在的一些重、难点，疑点和易混淆的地方，使学生达到融会贯通、举一反三 的效果。 关键词：针对性 实效性 举一反三 梯度数学课堂教学中例题与习题在帮助学生理解基础知识、巩固和强化记忆、培 养和发展学生思维能力等方面起着重要的作用。因此，必须深钻教材，精选典型 的例题与习题，运用启发、联想、探究的方法，通过例题的剖析，习题的解答， 使课堂教学的目标得以落实。 我们还知道， 例题与习题是数学教材重要组成部分， 上好习题课使学生更好的掌握和巩固课堂上所学的知识， 是初中数学教学重要的 一个环节，这就使得我们老师对于例题与习题的选择，要有针对性、实效性，以 解决学生普遍存在的一些重、难点，疑点和易混淆的地方，进而使学生达到融会 贯通、举一反三的效果。在数学教学过程中,数学习题贯穿于整个数学课堂教学 的始终,是数学教学中的一种重要课型,它对学生的知识起着巩固、完善、深化和 矫正的作用;又是对知识进行梳理、整合、再运用的过程;也是师生共同进一步探 讨解题方法、 提炼数学思想,探寻总结解题规律,提高分析问题与解决问题的能力, 优化思维品质的重要途径。下面就本人在多年的教学工作中，对数学课堂教学中 例题与习题的选编谈谈自己的看法： 一、贴合学生，要求适当 课堂教学是面向全体学生，旨在提高整体学生素质。为此选择例题与习题时 要注意切合学生实际水平，照顾不同层次的学生要求，题目难易适当，并且应由 易到难，有一定的梯度，使学习好的学生能得到提高，学习较差的学生也能掌握 基本的问题。例如：教授《绝对值》这一节时，教学时选下列习题供学生练习： 1、│3│=____ │-2.5│=_____; 2、若 a=4，b=\6，则│a│+│b│=_____;? 3、若│x│=5，则 x=______;? 4、绝对值小于 3 的整数有_____________；? 5、若 a＜0，则│a│=_______? 以上五个习题按学生认知水平，由浅入深，前三小题要求学生在掌握绝对值 的基本知识下完成的，后两小题是基本知识的灵活运用，能力要求进了一步。? 二、目标明确，解决问题? 一堂课必须目标明确，解决教学内容中的重点与难点，因此，选择的例题与1习题应该为这一目标服务。通过例题与习题的剖析，达到突出重点，突破难点的 功效，解决一堂课要解决的问题。例如： 《二次根式》这一节的教学时，选择下 列题目进行分析：? 1、当 a______时， a ? 6 在实数范围内有意义；? ? 2、若 x ? 1 + y + 2 =0，则 x+2y=______;? 3、在实数范围内分解因式 a2\5=______;? 2 ? 3? ? ? 2 4、计算 ? 4 ? +2 (? 3) =________.? ? ? 前两小题突出解决：二次根式（ a ，a≥0）是一个非负数；后两小题重点 是学生理解掌握( a ) =a,(a≥0)这一性质的正向、逆向运用。通过以上四小题的2分析，很自然这一课时的重点、难点问题得以解决。? 三、灵活多变，体现能力? 课堂教学选择的例题与习题要以能介绍解题方法和培养学生多种能力为出 发点，选题应注意灵活多变，通过有限的几道题，使学生能力得到有效的提高。 象设置有隐含条件的题培养学生审题能力，选用一题多解，培养学生发散思维能 力等，只要用得恰当，效果是很明显的。如：复习一元二次方程时，设计这样几 道题：? 1、当 k=_____时，方程（k\2）x│k│+3x\2=0 是一元二次方程； （这里要求学 生了解必须满足│k│=2 外，还要注意 k\2≠0 这个隐含条件，解到的 k=2 必须舍 去。 ）? 2、m 为何值时，方程 mx2\(1\2m)x+m=0 有实根？（这里要求学生考虑△≥0 外，还应该注意二次项系数 m≠0 这个隐含条件，尽管这里的结果没有影响，但 我们解题时都应该想到这个隐含条件的问题。 ）? 3、若方程 x2+3x+2=0 的两根分别为 x1、x2，则 x12+x22=_____， （本题可以直 接求方程的两个根再代入 x12+x22 求值，有时题目会要求利用一元二次方程的根 与系数的关系来求解，所以练习时两种方法应该要求学生尝试解答，通过比较两 种方法的优劣，获得灵活、简洁的解题技巧。 ）? 四、前后沟通，有机联系? 安排课堂例题与习题要突出知识间的相互联系，注意前后沟通，启发学生用 已有的知识，来学习新东西，解决新问题。? 例如：讲授《等腰三角形的性质》时，选用下列习题：? 1、等腰三角形中有一个角是 50°，则其余两角分别是多少度？若一个角是 120°时，又如何呢？（这里巧妙地沟通“三角形内角和为 180°” ，同时要求学2生了解等腰三角形两底角相等，只能是顶角为直角或钝角等知识点，要求学生灵 活运用新、旧知识的内在联系。 ）? 2、等腰三角形中，两边长分别是 4 和 9，则它的周长是多少？若两边长分 别是 4 和 7，则周长又是多少？（这里一定要想到“三角形中两边之和大于第三 边”这条概念，要求学生考虑问题应全面。 ）? 3、求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等。 （这里要求学生联系学过 的“角平分线性质”或通过三角形全等来证明。 ）? 五、题小量大，简捷有效? 一堂课 40 分钟，需要解决的问题较多，选择的例题与习题要求点多面广， 题量也有一定的要求，并且能在有限的时间内发挥较大较好的功能。所以课堂中 应充分利用尽量多的不同类型的题来巩固、深化基本知识。例如：在讲授《分式 的乘除法》这一节时，设计下列题可简捷、有效、快速地完成教学目标。? 1、判断下列计算是否正确：? 3a 16b 48ab （1） ? = ? ? ? ? ? （? ? ? ? ）? 4b 9a 2 36a 2 b （2）\3xy2÷ (3)a÷b?2y2 =\2y4? ? ? ? ? ? ? ? ? (? ? ? ? )? 3x1 =a÷1=a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (? ? ? ? )? b? x6 (b ? a) 2 ? =_________? ( a ? b) 2 x32、填空：(1) (2)x(2 ? y ) ÷(y\2)=________? x2c?a x3 ? 4 =（? ? ? ? ? ）? 2 (a ? c) x3、选择：A.x2 x2 x4 x4 ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? C. ? ? ? ? D. ? c?a a?c c?a a?c六、揭示弱点，拨雾正航? 课堂教学中要注意抓住学生容易出差错的薄弱处，设置例题与习题，通过问 题的分析，给予引导，使学生走出误区。例如，在进行二次根式 a 2 的化简时， 学生易习惯 a 2 =a，忘记这等式成立的条件是 a≥0，为此设置下列题来练习， 使学生有深入的体会、了解。? 1、下列运算，正确的有_________? （1） 7 2 =7；? ? ? （2） (?7) 2 =?\7? ；? ? （3） 0 2 =0? ；? （4） x 2 =x(x〈0)；?3(5) (3 ? π ) 2 ? = π\3? ；? ? ? （6） ( 2 ? 1) 2 = 2 \1；? 2、甲、乙两人计算 a+ 1 ? 2a + a 2 (a＜1)的值时，甲的解答是：原式=a+(1 ? a) 2 =a+1\a=1，乙的解答是：原式=a+ (a ? 1) 2 =a+a\1=2a\1，请你判断甲、乙哪个同学解答正确？错误的原因在哪里？? 3、化简下列各式：? （1） 9a 2 (a＜0)? ；? ? （2） 16a 2 b （a&0）? 教师在精选例题与习题前,先对近阶段的教学情况作些回顾与小结,俗话说, 做事要胸有成竹,做到心中有数,如果教师对教学情况心中无底,全凭感觉和经验 随意挑选几个题目,很难收到预期的教学效果。选择的例题与习题不在多而在精, 习题训练之后,通过对解题过程的反思寻找解题的依据、思路与方法,学会找破题 的关键,达到做一题会一类题的目的;还要注意解题技巧的形成,不但会一题多解, 更重要的是能繁题简解,难题巧解,提高思维能力,做到以不变应万变。 精选的例题 与习题一定要讲深讲透,不怕花费时间多,力求事半功倍。所以我们在选题目时， 还力求使所选的题目具有典型性、启发性、综合性、实用性、趣味性。我们要在 今后的教学中不断地研究课堂题目的效果， 改变传统的练习观， “有效” 从 入手， 使学生学得既扎实又轻松，实现真正意义上的“减负提质”，提高教学质量。?中考试题引发对学法改革的启示? 惠阳崇雅中学初中部 张杏云?? 很多同学为了在中考科目―数学中能取得好成绩，看了很多遍课本，背诵了 该记的公式、 法则、 定理等， 还做了大量习题， 但有些考生的成绩还是不够理想。 本文想结合 2011 年试题的评析，谈一下学生应当怎样改进学习数学的方法，主 动适应各种题型变化，掌握新方法，迎接中考取得好成绩，全面推进和落实素质 教育。? 一、? 注重双基，形成知识体系? 全卷直接采用课本上的例题及习题或根据课本内容改篇而成的题目有 12 题 （如选择题 1、2、3、4、5，填空题 6、7、8、9，解答题 11、12、13） ，这些试 题起点低，知识覆盖面广，基础性强，要求合理，体现对基础知识和基本技能的 考查，因此要求学生要具有扎实的数学基础。在学习过程中，要注意知识的不断 深化， 知识之间的内在联系， 逐步形成和扩充知识结构， 构建一套完整的条理化、 有序化、网络化、系统化的知识结构，这样在解题时，就能由题目提供的信息， 从记忆系统中检索出相关信息， 有效选取出与题目要求相关的信息资料构成最佳 组合，寻找正确的解题途径，合理有效地安排技能训练，优化解题过程。? 二、联系生活实际，提高应用意识?4加强应用意识的考查是时代的需要，是教育改革的需要。但联系生活，立足 实际， 用数学观念去理解和解决生活中的问题是学生在学习数学中应加强的一个 方面。在本卷中就有 2 道解答题是实际应用题：例 1、 （试题 16 题）某品牌瓶装 饮料每箱价格 26 元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱 购买，购买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了 0.6 元，问该品牌饮料一箱 有多少瓶？? 简解：设该品牌饮料一箱有 x 瓶,依题意得? 26 26 ― =0.6? x x+3 解得? ? ? ? ? x 1 =10? ? ? ? ? ? x 2 =?\13? ? 本题结合社会生活热点，考查了方程思想，引导我们要在课堂上学习和课外 活动中体验数学知识的综合运用，只有学会从数学的角度去思考问题，解题才能 做到得心应手。? 例 2、 试题 17 题）如图，小明家在 A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一 （ 条公路 L， 是 A 到 L 的小路。 AB 现新修一条路 AC 到公路 L， 小明测量出∠ACD=30°， ∠ABD=45°，BC=50m.请你帮小明计算他家到公路 L 的距离 AD 的长度（精确到 0.1m;参考数据: 2 ≈1.414， 3 ≈1.732） ? 。? ? ? 简答：AD=50 3 ?1≈68.3m?? 此类题型的解题思路关键是把实际问题转化 为数学问题， 即把叙述的问题由文字语言转换成数 学语言，这就需要学生受到实际问题抽象成数学问题的训练，逐步培养他们分析 问题和解决问题的能力。因此，学生要充分利用教材的优势，利用教材中的实际 问题进行转化训练，同时也要搜集一些生产、生活及市场经济中的问题进行转化 训练，以激发思维，启迪智慧，拓宽视野，提高数学的应用能力。? 三、? 注重知识形成过程，探索规律? ? ? ? ? 数学的概念、定理、推论、法则等知识的形成，往往要经历观察、分析、综 合、归纳、类比、猜想和证明的，因此，在知识的形成过程中，应从不同的角度 发现问题，思考问题，并从中学会解决问题的策略和方法，它比掌握知识结论更 为重要，很值得重视。? （ ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形 例 3、 试题 10 题）如图（1） AFBDCE，它的面积为 1;取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星型 A 1 F 1 B 1 D1C 1 E 1 ,如图(2)中阴影部分;取△A 1 B 1 C 1 和△D 1 E 1 F 1 各边中点，连接成正六角星型A2 F2 B2 D2 C2 E2 ， 如图(3)? 中阴影部分;如此下去…,则正六角星形 A 4 F 4 B 4 D 4 C 4 E4的面积为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .? ?5???? ? ? ? 例 4、 试题 20 题）如下数表是由从 1 开始的连续自然数组成，观察规律并完 （ 成各题的解答。????????? ?????????? （1）表中第 8 行的最后一数是? ? ? ? ? ? ，它是自然数的? ? ? ? ? ? ? ? 平方，第 8 行共 有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 个数。? （2）用含的代数式表示：第 n 行的第一个数是? ? ? ? ? ? ? ，最后一个数是? ? ? ? ? ， 第 n 行共有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 个数；? ? (?3)? 第 n 行各数之和。? 由此可看出，规律探索题多数是利用题设让学生猜想，分析比较归纳推理或 由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或探索发现形成的 客观规律，这就要求学生在平时的学习中，加强对问题的探讨，大胆猜想，积极 思考。切实提高数学素养，重视科学思维方法的培养。? 四、探究开放，培养创新? ? ? ? 开放式试题的出现为学生提供了广阔的思维空间，给不同层次的学生学好数 学创设了机会，有力地发展了学生的创新思维，培养学生的创新技能，提高了学 生的创新能力，因而备受中考命题者的青睐。? 例 5、 试题 21 题）如图(1),? △ABC 和△EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE 重合， （ AB=AC=EF=9,∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，和△DEF 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止，现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE、DF（或它们的延长线）分别交 BC（或它的延长线）于 G、H 点，如图（2） 。? ????? ? （1）问：始终与△AGC 相似的三角形有?6?? （2）设 CG=x,?BH=y,求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明 理由） ；? ? （3）问：当 x 为何值时，△AGH 是等腰三角形？? 略解： （1）△HAB，△HGA。? GC AC x 9 ? ? ? ? ? （2）由△AGC∽△HAB 有 ，? 得 = ，则 y 关于 x 的函数关系 = AB HB 9 x 81 式为 y= .? x ? ? ? ? ? （3）分三种情况讨论：?1 1 ①当 x=CG= BC= 2 292 + 92 =9 2 时， （点 C、H 重合） ，△AGH 为等腰三 2角形；? ②当 x=CG=AB=9 时，△AGC∽△HAB，AG=AH； ③当 x=CG=BC=9 2 时，△AGH 为等腰三角形；? 此题为开放性试题，而开放性试题可分为条件开放题，综合性开放题，解决 此类问题，必须在平时的学习过程中加强“一题多解，一题多变，多题同解”的 训练，做到既掌握知识，又能活学活用。? ? 五、系统整理，综合应用? ? ? ? 学习成绩差的学生，脑海中的知识是一盘散沙，会学习的学生，其知识已系 统化和网络化，因此，只有形成良好的认知结构，系统整理，才便于记忆调动和 灵活综合地应用知识，解决复杂的问题。? 5 17 例 6、 试题 22 题）.如图，抛物线 y=\ x 2 + x + 1 与 y 轴交于 A 点，过点 A 的 （ 4 4 直线与抛物线交于另一点 B，过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为点 C(3,0).? （1）求直线 AB 的函数关系式;? （2）? 点 P 在线段 OC 从原点 O 出发以每秒一个单位的速度向 C 移动，过点 P 作 PN⊥x 轴，交直线 AB 与点 M，交抛物线与点 N.设点 P 移动的时间为 t? 秒，MN 的长度为 s 个单位.求 s 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围;? (3)设在(2)的条件下(不考虑点 P 与点 O、点 C 重合的情况),连接 CM、BN、当 t 为何值时四边形 BCMN 为平行形？问对于所求的 t? 值， 平行四边形 BCMN 是否 为菱形？请说明理由。? 1 略解： （1）易知 A（0，1） ，B（3，2.5） ，可得直线 AB 的解析式为 y= x+1? 2 5 17 1 5 15 ? ? ? ? ? （2）s=MN=NP\MP=\ t 2 + t + 1 ? ( t + 1) = ? t 2 + t (0QtQ3) 4 4 2 4 4 5 15 5 （3） 若四边形 BCMN 为平行四边形， 则有 MN=BC， 此时 ? t 2 + t = ，? 4 4 2 ? ? ? ? ? ? 解得 t1 = 1, t 2 = 2 ,所以当 t=1、2 时，四边形 BCMN 为平行四边形。73 5 ? ,NP=4,故 MN=NP\MP= ? ,又 2 2 5 在 Rt△MPC 中,MC= MP 2 + PC 2 = ，故四边形 2 BCMN 为菱形。 9 5 ②当 t=2,MP= ? ,故 MN=NP\MP= ? ,又在 Rt△ 2 2①当 t=1,MP= MPC 中,MC=MP 2 + PC 2 = 5 ，故 MN≠MC，故四边形 BCMN 不是菱形。? ??? 由此可知，解答此类题目要求学生熟练，系统地掌握知识，并加强知识的小 结和整理过程，注重在知识的系统中整体把握，提高知识网络交泛处综合应用知 识的能力。? ???? 总之，从近几年的中考试题可以看出，不乏源于课本，高于课本的试题，因 而学生应立足于课本，加强对课本的例题、习题深入研究，注意题目的演变、引 申、拓展、运用，掌握规律的层次。将问题合理演化，纵横沟通，层层深入，凝 题成键，织题成网，从而达到“做一题，通一类，会一片”触类旁通的独特功效。 会进行自主性，研究型学习，避免题海战。? ? ?“动态生成”生成数学课堂韵律惠州市惠城区教研室 郭小斌【摘要】课堂教学是一个动态的不断发展、推进的过程，在这个过程中,除了“预设” 和“预设生成”外,往往还会产生动态生成资源。因此，教师应用动态生成的观点看待课堂 教学，树立学生资源观，时时关注学生的思维动向，努力觅得生成资源的“活性因子” ，探 寻生成资源与教学情境的“融通点” ，及时调整教学策略，才能促使课堂教学涌动生命的灵 性，演绎出数学课堂的韵律。 【关键词】 动态生成 演绎 数学课堂 韵律著名教育家叶澜教授指出： “要从生命的高度、用动态生成的观点看课堂教 学。课堂教学应被看作是师生人生中一段重要的生命经历，是他们生命的、有意 义的构成部分，要把个体精神生命发展的主动权还给学生。 ”这段话启示我们： 课堂教学不再是教师按照预设的教学方案机械、僵化地传授知识的线性的过程， 而应是根据学生学习的需要，不断调整，动态发展的过程。课堂生成无处不在，8教师要树立动态生成的正确态度，正视课堂教学中突发的每一件事，把握有利时 机，运用有效策略，善加开发、利用动态生成资源，演绎数学课堂的韵律，焕发 出数学课堂生命的活力。本文拟就结合本人送课下乡的几则案例，谈有效地利用 动态生成资源，彰显数学课堂的生命活力。 1．充分预设，萌发生成，孕育数学课堂教学的智慧 教学是一个动态生成的过程。教学的生成性，是否意味着不需要预设或不需 要改进预设？课程专家指出，新课程改革应该把握平衡，在平衡中才能使改革进 一步深化。在预设与生成这一对关系中，不能把任何一项绝对化。要处理好预设 与生成的辩证统一的关系，把预设与生成有机的结合起来，我们才能从瞬息万变 的课堂中孕育智慧。 1.1 预设支架，孕育生成 课堂作为老师和学生智慧生成的生命场，我们应注重预设，使其成为学习知 识、荡涤情感、体验生活、滋养理趣的师生向往之地，使课堂教学在悄然中涌动 生命的活力。一堂成功的数学课，应该充分估计或了解学生的学习实际，尤其在 课堂动态生成过程中，要不断地去了解学生的探索需求，找准动态生成教学的生 长点，及时生成。 【案例 1】有理数的乘方教学过程简述： 创设情景： （1）问题：一个细胞分裂一次，就会一分为二，变为两个，那么分裂 5 次， 有多少个细胞？如果分裂 n 次会有多少个细胞？能用代数式表示出来吗？ （2）算一算：①4×4×4×4= ③（－a 相乘）；②（－1）×（－1）×（－1）= ；④ a × a × L × a =； ； n个 （1 1 1 ）×（－ ）×（－ ）= 3 3 3（3）做一做：计算 ( ?3) 2 （4） 填一填： 2 = 2 （ ； ?2 ) 2 (； ( ?2 ) 3 ； （2 ； ( )3 32 ）= 4， 3 = 2； ； ?2 ) 3 = ( ；）3 = 8； （）3 = －8。（5）想一想：通过学习上述计算你发现什么规律？正数的任何次幂是 数，负数的奇次幂是 数，负数的偶次幂是9数。正是这样，通过一个个有价值的问题搭成的“支架” ，使学生掌握了乘方，发 展了数感。可见，教师恰到好处的预设，找准动态生成教学的生长点，几个成功 的“支架” ，使课堂的生成成为可能。 1.2 预设空间，催化生成 数学家波利亚认为： “一个专心认真备课的老师能够拿出一个有意义但又不 太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过 一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。 ”这就要求教师预设是给予学生留 有自由空间，随时调整教学策略，激发学生思维，让学生个性思维得以彰显,从 而涌动出课堂教学的灵性。 【案例 2】人教版七年级上教材中的例题：移动公司推出两种移动电话计费 方法： 计费方法 月租费 （元） 每分钟话费（元） 30 0 0.3 0.4A B(1)用计费方法 B 的用户一个月累计通话 360 分所需的话费，若改用计费方 法 A，则可通话多少分钟？ (2)上述两种计费方法，会出现通话时间相同。收费也相同的情况吗？ (3)用计费方法 B 的用户一个月累计通话 200 分所需的话费，若改用计费方 法 A，则可通话多少分钟？如果从支付话费的多少的角度，你认为应根据什么来 选择两种计费方法？ 其中（1）的答案是 380 分钟； （2）的答案是：300 分钟； （3）选 B； 然而， 一位学生站起来说： 老师我发现了一个问题。 我顿时心里一动， 于是， 让他说：当通话 300 分钟时，选 A 与选 B 一样。受到他的启发，同学们异口同声 地说：当通话超过 300 分钟时，选 A 优惠，当通话少于 300 分钟时，选 B 优惠。 精彩！真是想不到啊，这些回答就等于给这个题目以小结，完全起到画龙点睛的 作用。 试想，如果预设不留有较大的自由空间，假如没给学生以机会，假如教学流 程没有因此而“变奏” ，学生的潜能又怎能被充分激活，思维的触角又怎会自由 伸展，课堂上又怎会有如此出乎意料之外的收获呢？10总之，动态生成的课堂需要多维的、灵活的、开放的、动态的教学预设，只 有有效的预设，才能为动态生成的多样化、深层次提供广阔的舞台。从而建立师 生共鸣、智慧碰撞、充满生命活力的课堂。 2．捕捉生成，把握契机，演奏数学课堂教学的韵律 苏霍姆林斯基曾说： “教学的技巧并不在于能预见到课的所有细节，在于根 据当时具体情况巧妙地在学生不知不觉中作出相应的变动。 ”作为教师只有用动 态生成的观念，灵活调控课堂教学， “以学定教” ，才能使师生之间，生生之间产 生心灵的碰撞， 从而达成共识， 必将会让我们的数学课堂演奏出悦耳和谐的音符， 弹奏出数学课堂生命的交响曲，焕发课堂的生命活力。 2.1 善待“意外”资源，诱思中启开智慧 许多数学上的发现、发明是从意外中获得灵感的，课堂教学中教师注意意外 情况，适时更改或增加教学内容，是培养学生数学兴趣、引发好奇心、引发思考 的有效途径。在教学中，教师要善于捕捉课堂的意外，巧妙地加以转化和有效运 用，使其成为新的教学资源，促进学生思维的进一步发展，从而使我们课堂教学 高潮迭起，充满生命的律动。 【案例 3】执教《圆周角与圆心角的关系》时，我预想先引导学生证明特例 (图 1)∠AOB=2∠ACB，然后再启发学生利用图 1 证明图 2、3 两种情形。 但巡视中发现一名学生在图 2 中只连 CO，并设∠ACO=x,∠BCO=y。我以前从 未看到过这样的解法，自己备课时也未这样想过，稍作观察后我判断她的方法可 行。于是分析时就让她来说。她的方法是由三角形内角和得出∠AOC=180°-2x, ∠BOC=180°-2y，从而∠AOB=360°-(180°-2x)-( 180°-2y)=2(x+y)=2∠ACB。 图 3 仿此： ∠AOB=(180°-2x)-( 180°-2y)=2(y-x)=2∠ACB。 对此， 我给予评价： 这种方法显示了用代数方法解决几何问题的独特魅力！接下来，我进一步引导， 让学生细心观察图 2 和图 1 之间如何产生联系， 学生顿时发现只须延长 CO 交⊙O 于 D 即可把图 2、图 3 问题转化成图 1 的特例来解。11课堂教学中，学生提出的方法有时并不是教师预设中的方法。教师要在瞬间 作出判断，学生的方法是否正确或有合理成份。若是正确或合理的，有创新成份 的，此时教师不妨顺水推舟，临时做出变动，调整预设，顺应学生的思路，让其 展示思维的过程，不要怕这样做会打乱原先的安排，学生的创新方法说不定就是 本课最大的亮点。意外具有不定因素，如何处理意外，体现教师的应变能力，能 充分利用意外，用意外生成资源，构建动态的课堂，往往令课堂充满生机。 2.2 巧用“错误”资源，探究中绽放智慧 富兰克林有一句名言： 垃圾是放错了地方的宝贝。在一切为了学生的发展的新 课理念下，课堂生成的一个情境、一个问题、一个信息、乃至一个错误都是宝贵 的教学资源。教育专家成尚荣说过“我们的教室就是一个允许学生出错的地方。 出错了，课程才能生成。也正是在‘出错’和‘改错’的探究过程中，课堂才是 最活的，教学才是最美的，学生的生命才是最有价值的” 。 【案例 4】执教《分式加减》时，计算：2 1 ? a ?1 a ?12课堂上，教师叫一位学生上来板演，他的过程是： 解：原式=2 1 ? =2－（a+1）=1－a (a + 1)(a ? 1) a ? 1显然，解法错了，“张冠李戴”把方程变形搬到解计算题上，把分式的化简 当作分式方程，乘以（a+1） （a-1）进行去分母．于是教师来一个“顺水推舟， 将错就错” ，启发学生：刚才这位同学把计算题当作方程来解，虽然解法错了， 但给我们一个启示，若能将该题去掉分母来解，确实简洁明快，那我们能否完善 这种解法呢？经过探讨，一位学生叫出来，设这个分式等于一个字母．于是一个 新颖的解法就出来了。 解：设2 1 ? =X a ?1 a ?12去分母，得：2-（a+1）=（a+1） （a-1）X 1-a=（a+1） （a-1）X 解得：X= ?1 a ?1学生们都赞叹这种用方程思想解化简题的方法很有创意，情不自禁地纷 纷拍手。本案例中，正是因为教师对学生错误的悦纳和欣赏，才使学生的好奇心12和创造力在“出错”中发出了异常的光彩。因此，作为老师要知道有时教学中的 “错误资源” ，反而会给课堂注入新的生命力，使课堂呈现出峰回路转、柳暗花 明的神采。 2.3 引发“异点”资源，争鸣中迸发创新 “异点”就是学生在课堂上对某一问题产生的不同的见解或看法。 “异点” 往往能引起观点的撞击，生成课堂焦点，形成“百家争鸣”的气象，使课堂成为 思维交集的场所。因此，我们应将有价值的“异点”转化为教学资源，让学生去 思考、去感悟，为学生思维的飞跃提供了一个广阔的空间，不断闪现出思维的火 花，让智慧光环形成课堂教学的一道彩虹。 【案例 5】中考第一轮复习“实数与整式”教学时。题目：如图 4，边长分 别为 a,b 的两个正方形并排放着，求△ADF 的面积。 几分钟后，学生 1 说：“老师，我找到解法了。”这位学生的解法：延长 BA 与 EF 延长线交于点 H（如图 5）。1 1 1 1 则 S△ADF =S 矩形 BDEH-S△ABD-S△DEF-S△AFH= b(a + b) ? a (a + b) ? b 2 ? a(b ? a) = b 2 2 2 2 2“嘿，真有大局观！”我心里暗自叫道。从同学们充满敬佩的眼光中，知 道大家认同了他的思路。 生 2 说：我觉得用 S 矩形 BDFH-S△ABD-S△AHF 也可求得 S△ADF。这样做不是更简单吗？ 生 3 说：不需要添加辅助线也可求解。 S△ADF =S 正方形 ABCG + S 正方形 CDEF+ S△AFG -S△ABD-S△DEF.生 3 的话音刚落 学生 4 站起来说：看我的更简单。如图 6，连接 AC。S△ADF=S 梯形 ACDF-S△ACD. 学生纷纷发表见解时，突然，有个学生冒出这样一句话：“我觉得这个答案 怪怪的。S△ADF 怎么与 a 的取值无关呢？”顿时，学生们开始“骚动”起来。 学生 5 说：我知道，由同底等高可知 S△ADF=S△CDF.此时，同学们异口同声地 说：太巧妙了！ 正是这样的“异点”使课堂教学的精彩就这样在偶然中悄然生成。我们必须13用心倾听、及时捕捉和充分肯定每一个意想不到的“异点” ，才能使学生对未知 世界始终怀有强烈的兴趣和激情，敢于标新立异，追求思维的创新，进而迸射出 闪耀智慧的光芒，涌动课堂的生命活力。 3．顺应生成，欣赏学生，拨动数学课堂情感的和谐弦 学生作为一种活生生的力量，带着自己的经验、知识、思考、灵感、兴致参 与课堂教学，从而使课堂教学呈现出丰富性、复杂性和多变性。他们的行为、思 想会在课堂中发生相互作用，生成一种全新的教学资源。教师如果能欣赏、信任 学生，能有效地激发学生的积极情感，进而引发学生群体思维在交流碰撞中迸发 创新思维，发表创新见解。从而使学生及时体验到成功的喜悦，丰富学生的情感 体验同时，不断涌现出课堂的智慧与灵气。 【案例 6】一次中考第一轮复习《正方形》一课： 如图（7） ，已知：把正方形 ABCD 绕着点 A，按顺时针方 向旋转得到正方形 AEFG，边 FG 与 BC 交于点 H．求证： HG=HB。 片刻后，大部分学生证明思路是：连接 AH，通过证 △AGH 与△ABH 全等来证得 HG=HB。问题解决后，我正准备讲下一题时，学生甲 突然说： “我的证明思路不是这样，而是连接 GB，依题意知 AB=AG，得∠AGB=∠ ABG，从而推出∠HGB=∠HBG，得 HG=HB.”我说：好，能从不同角度思考问题。 我原本预想学生证出 HG=HB 就可以了。然而，这位学生证法引发了同学们的积极 思维， 将课堂不断推向高潮。 接着， 学生乙马上又抢着说： “不用全等也可以证， 连接 AH 后用勾股定理同样可以证明 HG=HB。 ”正当其他同学为丙的证法欣然一笑 时。学生丙又站起来说： “用三角函数也能证明，连接 AH 后，先利用余弦函数证 明∠GAH 与∠BAH 相等，然后再用正切函数证明结论成立” 。这样，在学生“仁者 见仁，智者见智”的侃侃而谈中，顺然地生成了多种证法，充分体现出学生的个 性化思维，展示了学生“风采” 。 这正是学生的自主性得到了充分的尊重、个性得到充分的张扬，学生在学习 过程中独特体验得以关注， 从中拓惑释疑， 获取新知识同时， 开启了学生的智慧， 使师生的情感共鸣所获得效果。 4．结束语 课堂上的每一分钟都孕育着创造，蕴藏着生成。一个情境、一个问题、一个14信息， 都会使课堂教学形成极大的生成空间， 使教师与学生结成 “学习的共同体” 。 只要我们从心底认可、 尊重课堂中的动态生成， 把它当作是宝贵的课堂教育资源， 让数学课堂韵律随课堂的动态生成而起伏， 那么就一定能让我们的数学课堂充满 了绚烂的生命情趣与浓郁的春天气息， 才会使课堂在不断的 “生成” 中绽放美丽， 呈现高潮。参考文献 [1]吴刚平.深入研究教学过程中动态生成的课程资源[J].福建论坛，-3 [2]徐娟.充分利用“稍瞬即逝”的课堂资源[J].初中数学教与学，]陈德前． 《既要关注生成，又要重视预设》 ．中学数学教学参考，2007.9 期． [4]章晓东 高洁 《如何在生成教学中彰显智慧的魅力》 中学数学教学参考， ． 2007.8 期． ?应用 MM 教育模式? 创高效课堂? 惠城区惠州市第九中学徐玉琼?摘要：数学方法论（Mathematical methodology）的教育方式（简称 MM 方式） 遵循数学方法论的基本原则， 遵循学生身心发展规律和学习规律， 促使教学过程、 学习过程和数学发现、发展过程同步，即“教学、学习、研究”三者同步协调， 也就是数学方法论(Mathematical methodology)的教育方式，即 MM 教育方式。 高效课堂是理想课堂的教学形式，它以模式驱动，以导学案统领，以小组组织为 抓手，以自主、合作、探究为本质，以“三维目标”为目标，以发展学生为方向 的一种教育思想体系。它的核心理念是自主、合作、探究。 关键词：数学方法论 MM 教育方式 高效课堂 近年来，随着科学技术的不断进步，电脑、电子计算器的广泛应用，以及社 会各因素的影响，学生对学习的兴趣不断减弱，对于数学一门逻辑思维较强的学 科，学生思想上不重视，不善于动脑筋、不善于建立知识体系，直接影响学习兴 趣，甚至有些学生出现厌学、弃学！这很让数学老师深思，如何提高学生的学习 积极性、 课堂参与率， 提高课堂教学质量， 成了每一位数学老师迫切思考的问题。 下面本人以 《一道初中平面几何题的探究》一课为例，浅谈应用 MM 教育模式， 以创高效课堂的做法进行浅析。? 。? 2008 年福建省南平市的一道中考压轴题（第 26 题 14 分） （1）如图 1，图 2，图 3，在 △ ABC 中，分别以 AB，AC 为边，向 △ ABC 外作 正三角形，正四边形，正五边形， BE，CD 相交于点 O ．?15? ① 如图 1，求证： △ ABE ≌△ ADC ；? ②探究：如图 1， ∠BOC = ? ? ? ? ? ? ? ? ? o ；? 如图 2， ∠BOC = ? ? ? ? ? ? ? ? ? o ；? 如图 3， ∠BOC = ? ? ? ? ? ? ? ? ? o ．? （2） 如图 4， 已知：AB，AD 是以 AB 为边向 △ ABC 外所作正 n 边形的一组邻边； AC，AE 是以 AC 为边向 △ ABC 外所作正 n 边形的一组邻边． BE，CD 的延长相 交于点 O ．? ①猜想：如图 4， ∠BOC = ? ? ? ? ? ? ? ? ? o （用含 n 的式子表示） ；? ② 根据图 4 证明你的猜想．? ? 一、 “温故而知新”――学会了才有乐趣? 一切教学都必须从学生的实际出发，即新知识的教学必须基于学生原有的 知识。美国著名教育心理学家奥苏伯尔曾经提出这样的问题： “如果我不得不将 教育心理学原理还原为一句话的话，我将会说，影响学习的最重要因素是学生 已经知道了什么， 根据学生原有知识进行教学。 温故知新的本质就是化难为易， ” 由于变易了，学生就能学会，而学会了，学生便容易激发学习的兴趣和信心。 因此，我依据数学方法论、结合学生实际设计“跳一跳、够得着”的问题情景 让学生温故而知新：? 首先从进行情境创设：由我们最熟悉的基本图形――三角形，以其中的两边 向三角形外侧作正三角形引入：? 如图 1：在 △ ABC 中，分别以 AB，AC 为边，向 △ ABC 外作正三角形△ABD 和△ACE，? BE，CD 相交于点 O ． （教师屏幕演示）? 其次让学生根据题意动手操作画图，培养学生理解几何符号语言的能力和画 图能力；? 再次让学生观察图形，问：能从图形中得到哪些结 论？学生可能答：AD=AB=BD，AC=AE=CE，∠BAD=∠ ABD=ADB=60°∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°； ∠BAE=∠DAC，? △ ABE ≌△ ADC ，△BOD∽△EOC 等.? 通过一道熟悉的开放性问题的设计， 通过让学生观 察图形、分组讨论、比较、分类、猜想发现答案，如学生会从边、角，图形之间 的相似、全等方面考虑，此时教师对学生能从不同角度，用分类的方法考虑问题 加以肯定，同时点明这是一道结论开放性题目，答案有很多，需要我们认真去探 讨。并且说出正三角形三边相等，三个内角为 60 度、以及正三角形都相似是显16然的，接着顺着学生的思维提出下一个问题。这样的设计不仅让学生发现自己学 会了那些知识， 吸引了学生的注意力和学习激情， 还为后面的问题探究埋下伏笔， 符合学生的个性的思维发展规律。? 接着问：你能说出 △ ABE ≌△ ADC 的理由吗？? 问题较简单， 让学生独立思考后证明自己猜想的结论， 为下一步探究做准备。 当学生说出用三角形的“边角边公理”证明时，教师提问：证明三角形全等还有 哪些方法呢?同时复习三角形全等的其他公里或定理.接着教师启发学生：除了我 们能用三角形全等的公里或定理证明三角形全等外， 还有没有其他方法呢？如我 们知道：通过翻折、平移、旋转等基本变换得到的图形是全等形，那么在这一道 题里我们能否用其中的某种方法呢？此时，学生恍然大悟，马上发现可以用旋转 解释。教师再问，是怎样旋转的呢？让学生描述图形旋转的过程，提醒学生注意 说明旋转的三要素。让学生体验一题多解的历程，充分利用 MM 教育模式中的 既教猜想，又教证明的原则。既让学生复习了课本基础知识，又让学生集中了注 意力，又让学生明白了解决问题离不开书本基础知识，同时让学生知道思考问题 和解决问题的常用方法。大大增强了学生的“成就感” ，从而激发学生求知的欲 望，让学生乐学。? 顺着学生的思维和求知的欲望，再问：此时∠BOC 的度数是多少呢？? 在全等 的基础上，学生不难发现∠BOD=∠BAD=正三角形的内角，而∠BOC 是∠BOD 的 邻补角， 故∠BOC 等于正三角形的一个外角。 ∠BOC? ? =?180°\∠BOD?=?360° 即： ÷3? ? =?120°。 此时教师对学生准确的分析给以鼓励， 为下一步的探究奠定基础。 ? 二、 “先学后教”――? 以教导学? 揭示解题本质? 万物发展都有规律， 数学问题的解决方法也有规律， 如何引导学生发现规律、 或让学生独立思考发现规律，或自主探究得出规律，这也是数学的以教导学。 MM 教育方式中要求在教学过程中贯穿合情推理教学， 演绎推理教学和一般解题 方法的教学，要求教学过程、学习过程和研究过程的同步协调发展，于是从题设 改变、探究同一问题假想向学生大胆提出：? 1、如果向三角形外侧作的图形是正四边形呢？∠BOC 的度数又是多少呢？ （结合正三角形时的说明方法，启发学生同样会得到∠BOD=∠BAD=正四边形的 内角，而∠BOC 是∠BOD 的邻补角，故∠BOC 等于正四边形的一个外角，即：∠ BOC? ? =?180°\∠BOD?=?360°÷4? ? =?90°）? 2、如果向三角形外侧作的图形是正五边形呢？∠BOC 的度数又是多少呢？ （此时学生会马上说∠BOC = 180°-∠BOD = 360°÷5 = 72°） 3、教师再问：如果向三角形外侧作的图形是正 n 边形呢？∠BOC 的度数又 是多少呢？ （学生经历了前面的探索，很快会说∠BOC = 360°÷n，此时学生从 自己学会――有了兴趣――愿学转变。） 通过前面几个环节由浅入深、由特殊到一般、层层递进的设计，符合数学本 质教学同时也符合学生的思维发展规律，让学生充分感受到“收获”的喜悦，明 确解决问题的本质，这也正是 MM 教育所要达到的目的：不断引导学生增进一般 的科学素养，积累数学品质，恰当操作了八个变量中的数学发现法教育，合情推 理教学，演绎推理教学等变量。从而让课堂充满活力，提高课堂效率。 三、 “严谨教学 ” ―― 培养学生思维周密性和发散性 数学方法论的教学归纳法告诉我们：由一般到特殊， 我们可以直接利用规律； 但由特殊到一般， 则要进行逻辑推17理、 进行证明。 教育方式要求在数学教学中要充分发挥数学教育的两个功能： MM 技术教育功能和文化教育功能，贯彻两条基本原则：教学、学习、发现同步协调 原则和既教证明、又教猜想原则。这正是数学教学必须做到的――严谨教学。在 前面引导学生由特殊到一般，得出∠BOC 度数与向外所作的正多边形有关，等于 外角和 360°÷n， 这只是猜想，提醒学生这结论必须加以证明，于是接着提 出：你能利用所给图 4 进行证明吗？（学生合作探究） 由刚才的分析学生明白：∠BOC = 180°-∠BOD = 180°-∠BAD， 即∠BOC = 180o ?(n ? 2)180o 360o = n n所以只要转化为在四边形 ABOD 中说明∠ABE +∠ADO= 180°即可，找到了解题的 关键。） 此时教师进一步拓展学生的思维，在四边形 ABOD 中可以证明，那么在四边 形 ACOE 中呢？ 学生会发现：∠BOC = 180°-∠BOD =180°-∠BAD=180°-∠CAE (∠BAD=∠ CAE)). 接着教师再问我们除了上面两种方法外， 还有别的方法吗？刚才我们知道∠ BOC = 正多边形的一个外角，那我们能否通过作辅助线，把∠BOC 转化为正多 边形的一个外角呢？有几种作法呢？ 学生通过思考会发现如图延长 BA、 或延长 DA、 或延长 CA、 或延长 EA 都行， 因此又得出四种做法。（学生为自己的发现高兴起来）此时，教师并没有停下，接着再进一步引导学生：我们知道三角形的内角和 为 180 度，能否将∠BOC 转化为三角形的其中一个内角或两个内角的和呢？ 通过引导学生很快发现，只要连结 EC 或 BD 或直接在△BOC 内都行，此时又 得出三种证明方法！ 哇！太妙了，一道题竟有九种解法。学生不由自主地说：方法总比问题多！ ? 接着教师向大家揭示这实际上就是 2008 年福建省南平市的一道中考题（第 26 题 14 分） 。让学生明白中考题的形式、理解考点、热点，以便更有方向、动 力去学习数学。? 上述问题的设计引领过程充分依据学生从已有的知识出发，通过通过猜想 ――论证――一题多解，联想转化，找到解决问题的方法。通过一题多解，挖掘 学生的潜能，提高学生的数学品质，这样学生思维马不停蹄的转动，想开小差都 不行，这既吸引了学生的高度注意力，还培养了学生的思维的全面性，拓展了学 生的数学思维，更让学生发现数学的奥妙与乐趣，让学生乐学，还会学。这也是 我们 MM 教育所期待的目标，同时为本节课点题，揭示重点，突破难点，提高 课堂质量，实现了课堂的教育功能――课堂效率自然提高了。? 四、 “发现问题内涵? ”――培养学生编题能力?18课堂是否高效，用 MM 教育方式来说，就是是否实现了教育的两个功能， 瞄准三个目标、操作了八个变量。根据这一点，培养学生利用已学知识，进行探 究、编题、改题，就是学生数学应用能力的最高体现，也是教育的最佳效果。? 在学生刚为自己的发现而“欣喜” ，而“兴奋”时，教师思维一转，其实问 题也很多。刚才我们的三角形是任意三角形，我们能否用特殊三角形呢？比如 AB=AC,图形又会变成怎样的呢？或者 AB=AC=BC 时，又会得到怎样的图形？? （学生动手绘画，想像图形。后教师用幻灯片演示，学生加以比较。） 师问：此时∠BOC 的度数又是多少呢？ 学生：学生思索一会，就听见说还是 120 度！ 师问：为什么？ 学生答：∠BOC 的度数与三角形的条件无关，只与外面的正多边形有关。 师再问：能否告诉老师你得出结论的理由吗？ 学生：因为像前面一样，∠BOD=∠BAD=正三角形的内角，而∠BOC 是∠BOD 的邻 补角，故∠BOC 还是等于正三角形的一个外角。（此时掌声一片） 教师：你能根据刚才改变三角形 ABC 的条件,编一道题 D 吗？ E 学生（甲）：一位同学站起来说，那我改变 结论吧！ 就求∠BOD 是多少度？ o 学生（乙）：我改变三角形 ABC 的条件,把三角形换成 点 A 是线段 BC 的中点， 再求∠BOD 是多少 度？ 如图 7。 B A 学生 （丙） 我把三角形的邻边改为任意四边形的邻边， ： 图7 再求∠BOD 是多少度？ … 这时，学生异口同声地说：“改为任何多边形的邻边都行！ 师问：为什么？ 学生：齐声答道：∠BOC 的度数与三角形的条件无关，也就与里面的图形的形状 无关，只与外面的所作的正多边形有关！ 教师：从刚才我们的分析，我们能否再通过图 2 进行演变，编出新的题目呢？ 学生：行！可以通过基本变换（旋转）将正方形旋转得到新的图形如：CA G BD FAD GA E O F B F E GDCEBCC教师：如图大家能编一道新的题目吗？此时教师显示其中 2008 年义乌市的中考 题就是由图 2 演变改编的： 如图 1， 四边形 ABCD 是正方形， 是 CD 边上的一个动点(点 G 与 C、 不重合)， G D 以 CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG，连结 BG，DE．我们探究下列图 中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系：? ?19（1）①猜想如图 1 中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系；? ②将图 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 α ，得到如图 2、如图 3 情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到 的结论是否仍然成立,并选取图 2 证明你的判断．? ? ? ? ? ? ? ? （2）将原题中正方形改为矩形（如图 4―6） ，且 AB=a，BC=b，CE=ka，? CG=kb?(a ≠ b，k & 0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图 5 为 例简要说明理由．? ? ? ? ? ? ? ? 1 （3）在第(2)题图 5 中，连结 DG 、 BE ，且 a=3，b=2，k= ，求 BE 2 + DG 2 的 2 值．? 同学们眼前一亮，仿佛惊讶，又好像悟出什么道理似的！课堂接近尾声，进 入了高潮。? 五、 “反思课堂”――凝聚精华，增强信心? ? ? ? ? 课堂反思是对所学知识的小结，是对知识进一步巩固，同时也是课堂精髓发 现，有效引导学生进行课堂反思，有利于激发学生的成就感、有利于培养学生归 纳能力，有助于增强学生的学习长效性、永久性。? 此时教师小结：其实我们还可以将图形进行变换，得到更多新的图形和题 目，值得我们去探讨。但万变不离其宗，我们应知道有一点是不变的。 （教师故 意停顿了片刻）问：大家知道吗？? ? ? ? ? ? 学生： （纷纷发言）? 甲说：就是任何图形都是由基本图形通过基本变换演变而来的。? 乙补充说，也可以改变基本图形的条件，得到的！? 丙接着说：那我们只要把课本的基本知识掌握好，多动脑筋，一定能把数 学学好！ （此时，雷鸣般的掌声久久不息? ）? ? ? ? ? ? 教师再问：哪位同学还有不同的感悟吗？? 另一位稍微内向的同学补充说：其实生活也一样，只要善于开动脑筋“方 法总比问题多”（掌声再次响起）? ！ ? 一节课在大家的掌声中意犹未尽！? 本节课，学生在认知上，从不懂到懂、从少知到多知，从不会到会；在情感 上，从不喜欢到喜欢，从不热爱到热爱，从不感兴趣到感兴趣；在教学上，教师20始终贯穿一条主线， 即以教师为主导， 学生为主体， 是以数学方法论为基本原则， 根据学生身心发展规律和学习规律，促使教学过程、学习过程和研究过程的同步 协调发展，做到既教猜想，又教证明的原则。在整个教学过程中，恰当地操作了 八个变量；努力实现三个目标，即引导学生不断自我增进一般科学素养，提高社 会文化修养，形成和发展数学品质。充分调动了学生的学习积极性，培养了学生 的学习主动性，这既是 MM 教育的精髓，也是高效课堂的结晶。? 总之，只要我们教师不断增进教师的素质修养，深刻领悟 MM 教育模式， 认真贯彻 MM 精神，走进课堂、研究课堂、反思课堂，相信我们的数学课堂会 更高效、更精彩！焕发出生命的活力，让生命在课堂中涌动和成长！? 参考文献：1、徐利泉的《MM 教育方式的推广与研究》? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2、李炳婷的《高效课堂 22 条》\\\山东文艺出版社? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3、中学数学教学参考 2011 年（1―2 上中旬）?数学猜想在初中几何解题中的应用初探惠州市龙门县龙田中学 坚?黄志摘要：数学猜想是数学研究的一种科学思维形式，是解决数学理论自身矛盾疑 难问题的一个有效途径，它对丰富数学理论，推动数学科学的发展，促 进数学方法论的研究具有重要意义，在数学领域的应用极其广泛。在初 中几何解题中, 数学猜想改变了直接单纯的解题模式，实现了以激励学 生为特征的解题模式；它具有直觉性 、不确定性、 延续性 、多样性等 特点；这些特点对于我们在解答探索性问题时,具有很大的帮助。 关键词：数学猜想 直觉性 不确定性 延续性 多样性? 猜想是人们根据事实的某些现象对它的本质属性、服从规律、发展趋势或可 能结果作出的一种预测性判断。猜想与数学有着密切的关系，根据某些已知的事 实材料和数学知识， 对未知的现象及其规律所作出的一种预测性的推断即是数学 猜想。数学猜想是数学研究的一种科学思维形式，是解决数学理论自身矛盾疑难 问题的一个有效途径，它对丰富数学理论，推动数学科学的发展，促进数学方法 论的研究具有重要意义。数学研究是一种探索性思维活动，数学学习活动当然也 离不开探索性思维， 而探索性思维中最关键的环节是提出一个有希望的合理的猜 想。数学猜想作为数学研究和发展的一种重要思维方式，它又是科学假说在数学 中的具体表现， 并深刻反映了数学研究和发展的相对独立性与数学理论的相互导 出的合理性。数学猜想在数学领域的应用很广泛，在解题时有时凭我们的直觉思 维是很难解决的，这时我们从猜想的角度去解决有时会觉得很容易；尤其在考试 中，在时间有限的情况下，利用数学猜想往往可以让问题很快得到解决。考试作 为检查教学质量、学生成绩和升学的最主要手段,让学生学会利用数学猜想解题， 显得尤为重要。下面从数学猜想的直觉性、不确定性、延续性、多样性这四个特 点初探它在初中几何解题中的应用。? 一、数学猜想的直觉性? 数学猜想的直觉性就是从数学题目的已知条件直接猜想结论成立。? 例 1．如图 1\1，已知O 的弦 AC、BD 交于 E，A 为弧 BD 上一动点，当 A 的21位置在何处时，△ABE∽△ACB。A? D B C? E B E A D?C( 1-- 1 )?( 1- 2 )?分析：猜想 A 为弧 BD 的中点时，如图 1-2，△ABE∽△ACB。 解： ∵弧 AB=弧 AD? ∴∠ABE=∠C? ∵∠A=∠A? ∴△ABE∽△ACB 例 2.图 2-1，圆的内接三角形△ABC 中，AB＝AC,D 为 BC 上一点，E 是直线 AD 和圆的交点。? 2 （1）求证：AB =AD?AE? （2）题目中，若 D 为 BC 延长线上一点，如图 2\2,第（1）题的结论成立吗？? 若成立，证明；若不成立，请说明理由。? 第（2）问刚提出来学生凭自己的直觉性肯定它是成立的，然后要学生 A A 自己画图 2\2，证明结论。? 证明：连结 BE? ∵AB=AC? E ∴∠ABC=∠ACB? D B C ∴∠ABD=∠AEB? B C ∵∠BAE=∠DAB? E ∴△ABE∽△DAB? ( 2-2 )? ( 2 -1 ) ∴AB:AE=AD:AB ∴AB2=AD?AE? ? 例 3,如图 3，设 CD 是O 的任意一条直径，A 为O 上任意一点，如何在 圆上找到 A 点关于 CD 的对称点呢？ 解： 过点 A 作 AA′⊥CD， 垂足为 M， 交O 于 A′,这时学生很快猜想到 A’ 就是 A 点关于 CD 的对称点. C? 例 4，如图 4，在△ABC 中，∠BAC 的平分线与 ∠ABC 的平分线交于 E，延长 AE 交△ABC 的外接圆于 D，连接 BD、CD、CE，且∠BDA＝600、∠BDC＝1200， 猜想四边形 BDCE 是怎样的四边形？并证明你的猜想。 此题学生经过很久的讨论最后猜想是菱形。 M? A' 证明：∵∠BDA=600,∠BDC=1200 A ∴弧 BAC 的度数为 2400,弧 BDC 的度数为 1200， 0 D? ∠BEC=120( 3 )?D?22又∵AE 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD=300 ∴弧 BD=弧 CD 的度数为 600 A ∴∠BAD=∠CAD=∠DBC=300,BD=DC ∴∠DBA=900 ∴∠CBE=∠ABE=300 E ∴∠DBE=600 B 0 ∴同理：∠DCE=60 ∴四边形 BDCE 为平行四边形 又∵BD=DC C? D ∴四边形 BDCE 为菱形 (4) 从上面的几道题可以看出猜想的直觉性是凭直觉获得感性认识，它常 以观察，联想，引入等思维方法为基础，根据已有的知识、经验和方法， 对数学问题广泛联想，积极探索，大胆猜想，寻找规律，合理论证，是创 造性思维活动的主要途径。 二.数学猜想的不确定性 数学猜想的不确定性是指猜想的途径、结果等方面的不确定。有时一道题从 表面去猜想几种答案都有可能,但正确答案又只有一种， 这就增加了猜想的难度。 看下面例子。 例 5．想一想：圆的外切四边形的两组对边的和有什么关系？说明你的结论的 正确性。 此题刚提出时，要求同学们自己画图，这时有些学生画出的四边形是正方 形 、 梯 形 、 任 意 四 边 形 。 答 案 也 出 现 三 种 情 况 ： 1 ） AB ＋ CD&AD+BC. （ （2)AB+CD&AD+BC.（3)AB+CD=AD+BC 这时提示学生不要画特殊图形，画圆的外切四边形为任意四边形，要求学 生证明他们的三种结论，结果是证明（3）的学生能证明自己的结论正确。 N 已知：如图 6，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 和 D 分别相切于点 L、M、N、P 求证：AB+CD=AD+BC 证明：AB、BC、CD、DA 都与圆相切，L、M 、N、P 是切点 AL=AP、LB=MB、DN=DP、NC=MC AL+LB+DN+NC=AP+MB+DP+MC=AP+DP+MB+MC P 即 AB+CD=AD+BC 圆的外切四边形的两组对边的和相等 例 6，如图 6，AB 是⊙O 中一条长为 4 的弦,P 为上的一?A LCMB1 动点，COS∠APB= ,问是否存在以 A、P、B 为顶点的面积? 3最大的三角形？试说明理由，若存在，求这个三角形大面积。? 分析：假设存在，底为 AB，高为最大时，S△APB 为最大值。? P 为优弧 AB 的中点。? 解：作直径 AD，连 BD。则∠P=∠D,? ∠ABD=900，?P O(5 )?DA23B（6）?1 又 COS∠P=COS∠D=BD:AD= ，∴AD=3BD? 3∵AD2―BD2=AB2? ∴BD= 2 ,AD=3 2 ,△APB 的高为1 1 BD+ AD=2 2 ? 2 21 ∴S△APB= ×4×2 2 =4 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2例 7，如图 7，两等圆⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点，且两圆互过圆心，? 过 B 任作一直线，分别交⊙O1 与⊙O2 于 C、D 两点，连结 AC、AD。?（7\1）?(1) 猜想△ACD 的形状，并证明。? (2) 若已知中，两圆不一定互过圆心? ？此时△ACD 形状如何？试证明。? 分析：这是猜想探究型题，先猜想后推理论证，假设（1）为等边三角形， （2） 为等腰三角形。? 解： （1）连 O1A、O1B、O2A、O2B、O1O2,则? ? ? ? ? ? ? O1A＝O1B＝O2A＝O2B＝O1O2? ∴∠AO1B=∠AO2B=1200? ∴∠ADB=∠ACB=600? ∴△ACD 为等边三角形? （2）连 O1A、O1B、O2A、O2B、O1O2,则? O1A＝O1B＝O2A＝O2B＝O1O2? ∴∠AO1B=∠AO2B? ∴∠ADB=∠ACB? ∴△ACD 为等腰三角形。 猜想的不确定性有时会把我们引入误区，这时我们只要一步步的去尝试了， 没有更好的办法，然后通过论证去推翻我们一开始的猜想，直到其中有一种猜想 是正确的为止。 三.数学猜想的延续性24数学猜想的延续性，也就是在第一次猜想的基础上，再继续猜想下去直到 猜想的结论成立。 例 8．如图 8，已知四边形 ABCD 外接圆的半径为 2，对角线 AC 和 BD 交于 点 E，AE＝EC,AB=√2AE，BD=2√3，求四边形 ABCD 的面积。 此题难度较大，需要几次猜想延续下去 才能计算出来，开始有同学猜想 是平行四边形、正方形。但都证明不出来。这时提示： 猜想一：把四边形的面积转化为求三角形的面积。 猜想二：S 四边形 ABCD＝2S△ABD 猜想三：连结 OA,OA⊥BD 于 H 猜想四：△ABE∽△ACB 解：连结 AO 交 BD 于 H AB= 2 AE AB2=2AE2 AB2=AE?2AE AB2=AE?AC AB:AE=AC:AB ∠BAE=∠CAB △ABE∽△ACB ∠ACB=∠ABE 弧 AB=弧 AD OA⊥BD,OA 平分 BD。BD=2 3 BH=HD= 3 连结 BO,即 BO=2 OH=1 OA=2 AH=OH=1 1 1 S△ABD= BD?AH= ?2 3 ?1= 3 2 2 又∵E 为 AC 中点 S△ABE=S△BEC,S△AED=S△CED ∴S△ABD=S△BCD ∴S 四边形 ABCD=2S△ABD=2? 3 =2 3 四.数学猜想的多样性? ? ? ? 数学猜想的多样性是指猜想的途径和结果具备多样性。一道题的猜想，学生 有时猜出多种多样的猜想结果，但不管是怎样的结果答案只有一个。? 例 9? 如图 9， 为半圆 O 的直径， 是半圆上的一个动点， AD⊥BC 于 D， BC A 且 P 是弧 AC 上的一点，弧 PA=弧 AB,连结 PB 交 AD、AC 于 E、F. 求证：(1) ∠EAB=∠ABE，(2)当 A 在什么位置时，△AEF 是等边三角形？证 A 明你的结论。 0 P 证明：(1)∵∠BAE+∠ABD=9025E B FC∴∠C+∠ABD=900 ∴∠BAE=∠C 又弧 PA=弧 AB ∴∠C=∠ABE ∴∠BAE=∠ABE （2）当 A 在半圆的三等份点时，△AEF 是等边三角形 ∵∠DAC+∠C=900∠AFE+∠ABE=900 由（1）得∠ABE=∠C ∴∠AFE=∠DAC ∴EA=EF ∵点 A 三等份半圆 ∴∠ACB=300 0 ∴∠BAC=60 ∴△AEF 是等边三角形 此题实际上有很多种猜想，比如当 AB＝1/2BC 时，AO 的连线垂直平分线段 EF，还有一部分学生利用逆推的方法假设它是一个等边三角形然后再证明。 从以上几个方面可以看到，用数学猜想解题切合学生实际，符合学生的认识 规律，注重知识形成过程，注重学生思维的发展，注重学生能力的培养。它改变 了单纯的直接的解题模式，实现了以激励学生为特征的解题模式，符合新课标下 快速解题的要求。 猜想是人类认识中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富 于创造性的部分。著名科学家牛顿有句名言： “没有大胆的猜想，就不可能有伟 大的发明和发现。 ”在数学发展史中曾有过很多著名的猜想，如哥德巴赫猜想、 费马猜想、欧拉猜想等，这些猜想具有划时代的意义；在初中数学解题中，只要 善于运用数学猜想，便能更好地激发学习兴趣，培养思维能力，开发智力，从而 更好地解决新问题。参考文献： 1.初三数学几何课本（沿海版,人教版） 2.初三几何练习册（配套练习） 3.《初等数学思维方法》 ，过伯祥著 4.《新课标活学巧练》 5.《中学生数学》学生资源让数学课堂涌动生命的灵性惠州市演达中学 谢郁红摘要：新课程理念下学生既是教育对象，也是教育资源。学生自身的兴趣、经验、差异26等因素构成了学生内在的“资源” ，一个学生就是一个独特的“资源点” ，从而丰富了课堂教 学资源。 教师若能适时地将学生的自身资源转化为教学资源， 从而使课堂教学焕发出生命的 活力，必将能实现高效的课堂。 关键词：学生资源 数学课堂 生命的灵性苏霍姆林斯基强调： “学生是教育重要的力量，如果失去了这个力量，教育 也就失去了根本。 因此， ” 学生不仅是教学对象， 更是课程资源的重要组成部分， 有效地利用学生资源对提高数学课堂教学效果起着重要作用。但长期以来，教学 资源一般被认为是教师、教材和教学设备等，而蕴藏着的丰富的学生资源却往往 被我们所忽视。教师若能巧妙地将学生的自身资源转化为教学资源，必将会衍生 出丰富多彩的课堂教学，涌动课堂生命的灵性。本文根据农村中学的数学课堂教 学实际，就如何激发“兴趣资源” 激活“经验资源” 、 、利用“差异资源” 、巧用 “错误资源” ，从而使课堂教学焕发出生命的活力谈几点做法。 1．激发学生的兴趣资源，铺设智慧之路 学生的兴趣是一种资源。心理学家布卢姆说： “学习的最大动力，是对学习 材料的兴趣。 ”教学必须与学生的兴趣相结合，寓教于乐，充分调动学生多方面 的兴趣，才能让学生成为课堂学习的主人，演绎精彩的课堂活动，呈现课堂生命 的活力。 案例 1： 《立体图形的表面展开图（人教版七年级上册） 》教学片段： 我简要地介绍了生活中正方体包装盒的拆、装情况后，正准备通过多媒体课 件向学生展示正方体的几种表面展开图，让学生直观感受正方体表面展开图，并 对正方体的表面展开图的多样性有更深刻的认识。然而，同学们早就兴致勃勃地 拿出课前准备好小正方体，还有一种迫切动手操作的欲望。刹那间，我脑海里灵 光顿闪，这何尝不是学生潜在的兴趣所致呢！于是我灵机一动，给了学生一个自 由发挥的空间：以 4 人小组为单位进行比赛，把正方体的表面展开，看哪一个小 组能得到表面展开图的情况最多？学生的热情空前高涨。 他们经过一番充分的交 流、讨论、操作等活动后，竟然总结出了正方体的表面展开图有 11 种情形。惊 奇于学生有如此广阔的思维的同时，我进一步追问：你们发现这 11 种表面展开 图是否存在一定的规律呢？同学们能否进行归纳分类呢？这一追问再次激发了 学生的兴趣，使学生的思维活动步入了新一轮高潮，通过交流、讨论，最终归纳27出如下分类： （1，4，1 型）（1，3，2 型）（2，2，2 型）（3，3 型）这一教学片段的精彩之处在于我及时抓住教学契机， 巧妙地将学生的潜在的 兴趣转化成教学资源， 让学生在一个自由操作和探寻的氛围中发现数学是一个多 么美妙的世界。这比教师直接讲授更具深远的教育意义！在这过程中我看到了学 生变得更加关注实践操作、关注探究知识形成与发生发展的过程，还有什么比这 更值得让我们欣慰的呢！同时，让我感悟到心理学家皮亚杰所说： “智慧的鲜花 是开放在手指尖上的。 ”真是一语道破了动手实践的重要性。 2．激活学生的经验资源，叩开智慧之门 学生的经验是一种教学资源。每个学生都有各自的知识基础、情感态度和经 验世界。学生的知识经验是一种无形的教学资源，是课堂教学新知识的衍生点。 教学中，我从学生实际出发，充分把握学生学习新知识之前已有的知识经验，将 教学设置在学生的“最近发展区” ，激活学生已有的知识经验，引发学生已有知 识与学习的内容之间进行有机结合，相互渗透，形成富有生命活力的课堂。 案例 2： 《因式分解法――解一元二次方程》教学片段： 我首先让学生合作、讨论，若 A?B=0，下面两个结论对吗？ （1）A 和 B 同时为零，即 A=0，且 B=0； （2）A 和 B 中至少有一个为零，即 A=0，或 B=0。 这看似简单的问题却激活了学生的知识经验，他们一致认为：结论（2）是 正确的。因为零乘以任何数都得零。于是，我追问：同学们能运用“若 A?B=0， 则 A=0，或 B=0”这一结论解方程 ( x ? 3) 2 ? 4 = 0 吗？一位学生立刻说：老师，这 很简单。 x ? 3 = 2 ，所以原方程的根是 x = 5 。 姑且不论这个学生的答案是否正 确，这个学生的解题方法就不是我预设的方法。然而，此时我知道不能否定此学28生的方法，因为这样，极有可能会扼杀他们的数学思维。于是，我顺着该学生的 思路问：大家觉得这位同学的做法对吗？很快有学生说：不对。因为±2 的平方 都等于 4， 所以 x ? 3 = 2 或 x ? 3 = ?2 ， 所以原方程的根是 x1 = 5, x 2 = 1 。 我趁机说： 很好！请同学们观察方程 ( x ? 3) 2 ? 4 = 0 左边的结构特征，开动脑筋，你们还有 其他的解题方法吗？同学们在交流、合作、讨论中大声地说：想到了！可以将方 程左边因式分解，同时，争着回答问题。这时，我让两位学生将解答过程在黑板 上 板 演 ： 解 ： 将 方 程 左 边 因 式 分 解 ， 得 ： ( x ? 3 + 2)( x ? 3 ? 2) = 0 =0 ， 即( x ? 1)( x ? 5) = 0 ，所以 x ? 5 = 0 或 x ? 1 = 0 ，所以原方程的根是 x1 = 5, x 2 = 1 。同学们充分肯定了这两位同学的解答过程。这时，我进一步提问：同学们能运用因 式 分 解 法 解 方 程 ： 3x( x ? 4) = 6( x ? 4) 吗 ？ 同 学 们 很 快 地 求 出 方 程 的 解 为 ：x1 = 4, x 2 = 6 。好！请同学们总结一下因式分解法解一元二次方程的解题步骤。这个教学片段不是将新知识通过教师的教学直接传授给学生， 而是让学生在 活动中经历、感悟知识的生成、发展与变化过程，这样有利于学生对新知识的理 解与掌握，学生的探究能力也得到了培养，主动探究知识的意识也随之增强了。 同时，我更赞叹学生的知识经验作为资源给教学带来了丰富的启示，一方面激活 了学生已有的知识基础，另一方面又为新知识的生长找到了结合点。不仅有效地 调动了学生的积极性，而且提高了学生的探索能力，思维交流的碰撞，展现了课 堂教学的生命活力。 3．利用学生的差异资源，点燃智慧之火 学生的个体差异是一种教学资源。加德纳的多元智力理论提出： “每个人都 是具有多元智力的个体，智力之间的不同组合造成个体间的智力差异。 ”同一个 班级的学生之间存在着各种差异，不同的个体思考问题的方法、解决问题的策略 都有自己的特点， 而这种个性化的方法和策略正是展开教学活动最有价值的教学 资源。 “文似看山不喜平。 ”课堂教学也是如此，沉闷的课堂就如一潭死水，激不 起思维的浪花的；只有跌宕起伏的课堂，才能引人入胜。因此，教学中，我们应 该把差异视作一种财富，充分利用个体差异资源，并抓住契机“穿针引线” ，让 不同层面的学生都能“曲径通幽” ，共享差异性资源，让学生思维在碰撞中迸发29出火花，促进个体的思维发展，使我们的数学课堂教学锦上添花。 案例 3： 《用待定系数法求二次函数的解析式》教学片段： 已知某二次函数的图象经过点 A （3， 和 B -2） （1， ， 0） 且对称轴是直线 x = 3 , 求这个二次函数的解析式。 这道例题的教学，我预设的教学思路是让学生会根据对称轴是直线 x = 3 得 到?b = 3 ，然后将 A（3，-2）和 B（1，0）代入 y = ax 2 + bx + c 中得到方程， 2a联立方程组求出 a、b、c 即可，但实际的课堂教学并没有朝着我的预设展开。上 课伊始，在例题出示后，学生甲说：依据抛物线的对称轴是直线 x = 3 这一条件, 可设抛物线的解析式为： y = a ( x ? 3) 2 + h ，从而得到下面解法： 解：设此二次函数的解析式为 y = a ( x ? 3) 2 + h ,把 A（3，-2） ，B（1，0）两?(3 ? 3) 2 a + h = ?2 1 ? 点坐标代入得： ? 解得 a = , h = ?2 2 2 ?(1 ? 3) a + h = 0 ?∴所求的解析式为 y =1 ( x ? 3) 2 ? 2 2学生甲刚板演完解答过程，学生乙站起来说： “老师，我也是利用顶点式来 求的，但我的方法更简单，由于对称轴是直线 x = 3 ,且点A的横坐标是3，因此可 以得知点A（3，-2）就是抛物线的顶点，所以可设成 y = a ( x ? 3) 2 ? 2 ，再把点B 的坐标（1，0）代入就可求出解析式” 。显然，学生乙的思维更为缜密，他比学 生甲更敏锐地捕捉到了条件中对称轴与点A坐标的联系，自然也就得到了更简单 的方法。正当其他学生为学生乙的精彩解法而鼓掌时，学生丙又站起来说： “我 也有一种比较简单的方法，我利用交点式来求的，由于点B（1，0）是抛物线与 x 轴的一个交点，对称轴是直线 x = 3 ,因此利用抛物线的对称性可得抛物线与 x 轴 的另一个交点坐标为 （5， ， 0） 所以可设成 y = a ( x ? 1)( x ? 5) ， 再把点A的坐标 （3， -2）代入就可求出解析式” ，课堂上再次响起了热烈的掌声…… 这正是学生的个体差异得以充分发挥，激发了学生的内在潜能，使学生的各 种不同解法、思路、奇妙的构思呈现出来，学生在愉悦的气氛中主动参与、主动 学习，从而获取新的知识,展示了课堂的生命力！ 4．巧用学生学习的错误资源，步入智慧之境30学生学习中出现的错误是一种鲜活的教学资源。 学生学习的错误其价值不在 于“错误”本身，而在于探究错误原因与获取正确的思路。实现“错误”背后的 创新价值， 才是真正使课堂中的 “错误” 成为重要的教学资源。 心理学家盖耶说： “谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻。 ” 教学中，我经常挖掘学生学习中的错误所蕴藏的宝贵的教学资源，捕捉错误中的 亮点， 让这些 “错误” 资源为教学和学生的发展服务， 使错误成为启迪思维的 “催 化剂” ，焕发课堂生命的活力。 案例 4：九年级复习课《分式方程》教学片段： 解分式方程：5 1 ＋x＝ x 2我让甲、 乙两位学生上台板演， 其他学生各自认真地在练习本上解这个方程。 片刻，大家都已完成后，再一起看看这两位学生的解法。当同学们看到学生乙的 解法时，全堂哄笑，有的叫道“错！错！……” ，原来他只写了：1 1 解：∵ ＋x＝ +2 x 2∴x=2我一看，学生乙萌芽的思路是由互为倒数这一特征所产生的解法。于是，我 来了一个“顺水推舟，将错纠错”说： “乙同学，你是怎么想的？请说出来与大 家分享。 ”学生乙不好意地站起来说： “我看两边结构一样，都是互为倒数所想到 的。 ”我说： “你的想法很有新意，大家认为有道理吗？”这时，原来发笑的同学 也开始认真地思考着。 “道理是有道理，怎么只有一个解呢？”有几个同学在下 面说。 我趁机说：是的， “ 乙同学只得到一个解， 请大家帮他找到第二个解好吗？” 在讨论、交流活动中， “知道了，知道了！ ”丙同学突然叫道。 “哦，请把你的想1 1 1 1 法说给大家听听。 ”丙同学： “当 x=2 时， = ；当 x= 时， =2；都满足这个 x 2 2 x 1 方程，所以还有一个解是 x= ，与甲同学的一样也有两个解。 ” 2我说： “非常好！看来乙同学为我们解这类分式方程提供了一种新思路。 ”接 着，我临时安排了： （1）2 x 5 1 7 + = ;(2) +x= 两道方程让学生解，同学们 x 2 2 x ?1 2都很快完成了。这时，学生乙与同学们都表现出得意的表情。 对于学生乙的简单解法，虽然不完整但我并没有简单的给予否定，而是让他 说出了自己的想法，并引导学生一起完善这一思路，让其成为解特定形式分式方 程的一种新思路，在这个过程中，学生得到了应有的尊重，很好的保护了学生的31自尊心和思考的积极性。 错误是正确的先导，是通向成功的阶梯。真实的课堂正是因“错误――发现 ――探究――领悟”的良性循环而充满活力，我们尤其要善于捕捉与利用学生出 现的错误，特别是具有普遍指导意义的错误或蕴含着创新思维的错误，进而引领 学生从错中求知，从错中探究，由“误”到“悟” ，使学生茅塞顿开，达到将错 纠错，不攻自破的目的，让课堂教学进入柳暗花明又一村的境界。 5．结束语 多年的教学实践，让我认识到课堂教学不是简单的知识学习过程，它是师生 共同成长的生命历程，蕴涵着无穷的生命力。教学中，我从变化的、动态的、生 成的观点来看待课堂教学，将学生的兴趣、经验、情感、差异与课堂动态资源等 巧妙地转化为教学资源，不仅能充分地激发学生的学习潜能，而且使数学课堂教 学涌动出生命的灵性。参考文献 [1]叶少雄.初中数学教学中教师与课程资源的整合[J].四川教育学院学报，2007(10).? [2]吴刚平.课程资源的开发与利用[J].全球教育展望，2001(8).? [3]李海燕.初中数学课程资源中学生资源的开发与利用[J].教育实践与研究，2008(10).?运用多媒体教学，引导信息加工，提高思维能力?惠州市华侨中学 李福华 【摘要】数学教学是数学思维活动的教学。教师要善用多媒体，创设情境，对例 题信息重新加工。 教师作为教学过程的组织者和参予者， 要导控学生的思维活动， 以达成编题者的思维活动、 教师的思维活动和学生的思维活动这三种思维活动的 和谐与统一，引导学生成为教学活动的主要参予者，积极思维，善于思维，使学 生的思维品质得到训练，思维能力得到发展。这就要求教师要认真备课，为培养 和训练学生的思维能力作好素材上的准备， 课堂教学中要善于激发学生思维活动 的发生机制，诱发学生积极思维的动机，精心编选好促进学生积极思维的习题， 强化训练。 【关键词】多媒体，信息加工，思维品质，思维能力 【正文】32现代教学论认为：在教学中不仅是传授必要的知识与技能，而且更重要的是 通过教学去促进学生能力的发展。 发展学生的智力，启迪学生的智慧，关键的一环是要培养学生的思维能力。 数学思维能力的培养，关键又在于激发学生思维活动的发生机制。而现代数学教 学理论认为：数学教学就是数学思维活动的教学。而学生思维能力的发展，有赖 于学生学习的兴趣和热情。学生好奇时，思维处于相当积极而活跃的状态。学生 信息加工的能力又是在思维能力的基础上发展的。 多媒体技术具有较强的集成性、 交互性和信息量大的特点。它将文字、图形、动画、视频、声音等多种信息加工 组成在一起，来呈现知识信息，形象、直观、生动，声情并茂。它能给学生以良 好的情境感受，使之兴趣自来，大大激发了学生的学习兴趣和热情，激活学生的 思维。 因此， 在多媒体教学中， 教师如何发挥主导作用， 引导学生注重信息加工， 培训他们的思维品质，提高他们的思维能力，培养具有创新意识的人才，值得重 视，值得探讨。 一、运用多媒体，创设情境，对例题信息重新加工 启发思维诱因，教师要注意在日常教学中，经常地选择一些典型数学知识或 问题，运用多媒体创设问题情境，促进智力探索，形成思考气氛，活跃学生的数 学思维。下面是我在多媒体教学中，引导学生对一道例题信息的重新加工过程： （屏幕逐步显示例题、分析过程、证明过程） 例 1 已知： ∠ １ =∠ ２， ∠B=∠C 。 （图 1 ） 求证： AE ＝ AF 。 分析：要想证明 AE ＝ AF ，只要证明 △AFB≌△AEC 就可以了。但是在这 两个三角形中只知道 ∠A ＝ ∠A 和 ∠B ＝ ∠C 这两个条件， 还不能确定这两 个三角形全等，因此还要设法找一组对应边相等。由已知条件很容易证明 △ABD ≌△ACD （ AAS ） ，因此 AB ＝ AC ，于是 △AFB≌△AEC 。 证明：在 △ABD 与 △ACD 中， ∠ １＝ ∠ ２， （已知） ∵ ∠B ＝ ∠C ， （已知） AD ＝ AD ， （公共边） ∴ △ABD≌△ACD ， AAS ） （ ∴ AB ＝ AC 。 （全等三角形的对应边相等）33在 △AEC 与 △AFB 中 ∠C ＝ ∠B ， （已知） ∵ AB ＝ AC ， （已证） ∠EAC ＝ ∠FAB ， （公共角） ∴ △AEC≌△AFB ， A Ｓ A ） （ ∴ AE ＝ AF ， （全等三角形的对应边相等） （在显示分析过程中， 运用多媒体将相关三角形的三边在图形上分别连续闪 烁，使学生易于悟出证明线段相等的道理。 ） 学生对此例题的分析易看懂、接受。然而，通过观察和阅读，学生只能接收 解题过程的一部分信息， 更谈不上 “从已知的信息和回忆的信息中生成新的信息” ， 思维还不能“处于积极而活跃的状态” ，因此要使学生的知识深化，要使原有的 知识同化新知识，形成新的知识系统，必需依靠教师的启发、引导与小结。根据 “关键时点拨引导，对学生进行启发和指导”的要求，为有利于学生进行信息重 新加工，挖掘其内在的潜能，就启问学生：此例题还有没有别的证法？很快就有 学生回答：有！先证明 ∠ADB ＝ ∠ ADC ，再证明 △ADB≌△ADC （ ASA ） ， 最后证明 △AFB≌△AEC （ ASA ） 。此证法仍需通过两次三角形全等证明才能完 成。 （教师又运用多媒体将相关的角、三角形分别连续闪烁。 ）接着又提问：有无 更好的证法？不一会，有几个学生都说：有！且迫不急待地说出了证明思路。 如图 3 － 35 ，要证 AE ＝ AF ，只要证明 △ADE≌△ADF 。根据角边角 定理就要证明 ∠ ３＝ ∠ ４，而 ∠ ３、 ∠ ４分别是 △ACD 与 △ABD 的外 角， 所以 ∠ ３＝ ∠ ２＋ ∠C ， ∠ ４＝ ∠ １＋ ∠B ， 再由已知， 易知 ∠ ３＝ ∠ ４，从而 △ ADE≌△ADF ，因此 AE ＝ AF 。 （教师又运用多媒体将相 关的角、三角形分别连续闪烁。 ） 二、对学生信息重新加工的分析 数学教学中的三种思维活动：编题者的思维活动（反映在例题中） ，教师的 思维活动和学生的思维活动（反映在教学过程中） 。例 1 的分析、证明就是编题 者的思维活动。教师作为教学过程的组织者和参予者，要导控学生的思维活动， 以达成三种思维活动的和谐与统一，使学生的思维品质得到培训，思维能力得到 发展。34例 1 的分析，实质上是对学生学习的启发和提示。这应该和解决问题的思 考程序同步，即循着“一般 DD 功能 DD 特殊”的次序进行。例 1 的“分 析” 略去了一般性启发， 即方法论水平上的提示 （证明两条线段相等有哪些方法、 定理？） ，而作了功能性启发：用证明 △AFB≌△AEC 的方法证明 AE ＝ AF ， 接着又作了特殊性启发， 这是最具体的提示： 证明 △ABD≌△ ACD ， 从而得到 △ AFB 与 △AEC 的一组对应边 AB ＝ AC 。此时，教师若满足于学生能看懂、能 接受，不去挖掘素材的深层功能，不去引导学生对例题所提供的信息（语意、图 形、 符号等）与已贮存的材料信息 （基本概念、 公式、 定理、 方法、 解题经验等） 重新加工，即“从已知的信息和回忆的信息中生成新的信息” ，学生的思维品质 不可能得到较好训练，思维能力不可能得到较大提高，尤其是创造性求异思维能 力不可能得到发展。实际上，当时学生阅读完例题，观察完图形后的思维状态不 是最佳的（学生四种思维状态： 1 、启蒙状态； 2 、朦胧状态； 3 、探索状 态； 4 、流畅状态） ，学生的思维品质（深刻性、批判性、灵活性、敏捷性、创 造性）无以表现和训练。 基于这些认识，我在教学中有层次地提出了（一）中所述的两个问题，发挥 了导控学生思维活动， 使之完美的主导作用。 在我的引导下， 学生利用题目条件、 解题经验和现有知识重新进行组合、评价、调整等形式的信息加工。学生的思维 按 “检索 DD 联想 DD 想象 DD 评价” 四环节操作， 首先对证明 AE ＝ AF 的两条途经： 1 、 证明 △AFB≌△AEC ； 2 、 证明 △ADE≌ △ADF 进行检索， 选择了后者，接着根据题目条件和角边角定理，联想到三角形外角定理，想象出 ∠ ３＝ ∠ ４ 　 △ADE≌△ADF 　 AE ＝ AF ，最后认准这一思路的可行性。 由此，另一种证法跃然而出！学生跃跃欲言！这是一次成功的思维活动。通过这 些思维活动，学生的思维状态才能达到最佳的流畅状态，思维品质才得到训练。 在教学中，重视反馈机制的形成和评价能力的提高，对发展学生思维能力是十分 重要的。 如在初二代数一节练习课中，出了一道题：化简? ? 1 + 1+ x ? ÷ ? ? ? 1? x ?? ? 1 ? + 1? 。不少学生按常规思路，将分母有理化，经过较烦锁的化简，才 ? ? ? ? 1? χ2 ? ?35得出结果。而有些反馈和评价能力较强的学生，善于进行信息加工，思维敏捷， 一反思维定势，将被除式提出因式 1 + x ，得到另一个与除式相同的因式? ? ? ? 1 1 ? ? ， ? 1 + 1+ x ? ÷ ? ? + 1? ? + 1? = 1 + x ? ? ? ? ? ? 1? x ? ? 1? χ2 ? 1? χ2 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? + 1? = 1 + x ,就这样快捷而正确地得出了结果。 ? ? ? ? 1? χ2 ? ? ? ? 1 ? + 1? ÷ ? ? ? ? 1? χ2 ? ?三、教师的教学方法与教学技巧，制约着学生的学习方法与学习效果。 教师的主导作用不仅起讲解知识的作用， 更重要的是起到启发学生思维的作 用。因此，在运用多媒体辅助教学中，要引导学生成为教学活动的主要参予者， 积极思维，善于思维。课本知识是进行思维训练的材料，要充分发挥和挖掘教材 中启迪学生思维的因素，在课堂教学中紧抓学生的心理活动，使教学更好地符合 学生认识过程和认识能力发展的规律，培养知识、能力同步发展的学生。 第一，教师要认真钻研教材，发挥和挖掘利于学生思维的因素，为培养和训 练学生的思维能力作好素材上的准备。如（一）中所述。 第二，要激发学生思维活动的发生机制，诱发学生积极思维的动机。思维活 动是在学生具有思维动机的基础上展开的。 多媒体具有能激发学生的学习兴趣和 主动精神的特点。 为此， 教师必须根据教材特点和学生实际， 精心设计教学过程， 瞄准学生能力的“最近发展区” ，运用多媒体创设情景，呈现知识信息，诱发学 生积极思维的动机，促使他们以探索者的身份去发现问题、解决问题。如在学生 观察、阅读了例 1 后，设计了 ( 一 ) 中所述的教学过程。实践证明，这堂课 有效地培养了学生的思维能力。 第三，编选好促进学生积极思维的习题。为了引导学生注重信息加工，提高 思维能力，要经常训练。为此，教师除了使用好课本习题，还要精编一些习题。 如： 1. 已知 X ＝1 ，求 X （ X － 2 ）的值。 3 ?1 1 　 时， 求代数式 11 ＋ 6 （ 3+ 2362. 当 X ＝2 ）2 ＋ 3 ＋ X （2）X ＋2 的值。做第 1 题时，习惯于将分母有理化，再将 X 的值代入计算即可，因此，一 些学生做第 2 题时，不假思索，如法照搬。而善于思索、信息加工的学生，根 据题目提供的重要信息：二次项与一次项的系数的特点，不将分母有理化，直接 将 X 的值代入计算，轻而易举求出结果为 2 ＋2 。在数学教学中，要提高学生的思维能力，必须抓纲务本，充分运用多媒体， 重法求能。教师在课堂中不应是“演员” ，而应是启导、激励学生进行思维活动 的“导演” 。参考文献： [1]? 中学数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2010. [2]? 靳义.? 浅谈数学思维能力的培养[J].? 新课程(教研)，-24. [3] 陈文军.? 数学教学中信息技术的作用[J].? 中小学教育，-32.重视课堂教学设计，培养数学思维品质广东省惠州市第一中学（516002） 卢志强 在数学教学活动中，有的学生思维灵活，思路开阔，能透过数学现象揭示问 题的本质；而有的学生则反应迟钝，思路狭窄，解决数学问题只会生搬硬套停留 在模}