泰勒公式及其应用泰勒公式及其应用许文锋 华南师范大学 数学科学学院 信息与计算科学专业 2007 级 6 班 指导老师：谢骊玲中文摘要文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在高等 数学、数值分析、数值最优化理论、其他非数学领域等应用,其中包括利用泰勒 公式求近似值、证明积分、不等式、求行列式等高等数学问题；在数值分析问题 上面主要讨论了泰勒公式在数值微积分及微分方程数值解上的应用； 在最优化问 题上面，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用. 关键词 ：泰勒公式，高等数学，数值分析，数值最优化，应用共 25 页 第 1 页泰勒公式及其应用Taylor Formula and its ApplicationXu WenFeng （Grade 07,Class 6, Major in Information and Computing Science,School of Mathematics, South China Normal University) Tutor:Xie LiLingAbstractThis paper briefly introduces the proof of Taylor and its derivation. And we discuss the application of Taylor formula in detail in some fields such as advanced mathematics, numerical analysis, numerical optimization theory and other applications in some non―mathematical fields ,including using Taylor formula to solve some advanced mathematical problems such as approximation, proof of integral, inequality, solution of determinant etc. In numerical analysis we mainly discuss the applications of Taylor formula in numerical differentiation and numerical integration.As for numerical optimization ，we discuss the applications of Taylor formula in theoretical proof and algorithm design. Keyword ： Taylor formula, advanced mathematics, numerical analysis, numerical optimization, applications optimization, applications共 25 页 第 2 页泰勒公式及其应用一、前言 对于某些函数，如果我们要求其在某一点上的值，有时是无法通过直接计算 得到的.在学习了导数和微分概念时我们已经知道，如果函数 f 在 x0 点可导，则 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x ? x0 ) + ο ( x ? x0 ) ， 即 在 点 x0 附 近 ， 用 一 次 多 项 式 f ( x0 ) + f ′( x0 )( x ? x 0 ) 逼近函数 f ( x) 时，其误差为 ( x ? x0 ) 的高阶无穷小.然而在 通常的场合中，取一次的多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多 项式去逼近，因此我们提出了用一个多项式去逼近一个函数，泰勒公式就是满足 上述逼近性质的多项式.泰勒公式尤其在一些近似计算和数值方法上发挥着举足 轻重的作用.本文分为三部分，第一部分是给出了本文所需要用的定理和推论； 第二部分是一元泰勒公式的推导和证明以及多元泰勒公式的介绍； 第三部分是通 过多个实例介绍泰勒公式的应用，包括在高等数学和数值计算方面的应用。 二、预备知识及定理 1.柯西中值定理 设 1 函 数 f ( x), g ( x) 满 足 是 在 [a, b] 上 连 续 ， 在 (a, b ) 内 可 导 ， g ′( x) ≠ 0( x ∈ (a, b)) 则至少存在一点 ξ ∈ (a, b) ，使f ′(ξ ) f (b) ? f (a ) = g ′(ξ ) g (b) ? g (a )2.拉格朗日中值定理 取 g ( x) = x 时候，就有 f ′(ξ ) = 于是就得到了拉格朗日中值定理. 3.连续函数介值定理 函数 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续，则在该闭区间必有最大值和最小值f max , f min ，且 f max ≠ f min .那么，对于 ?α ∈ [ f min , f max ] 在开区间 (a, b) 内至少存 f (b) ? f (a ) b?a在一点 ξ ，使得 f (ξ ) = α( a & ξ & b)特别地， f min & 0, f max & 0 时， 当 在开区间 (a, b) 内至少存在一点 ξ ， 使得 f (ξ ) = 0 4.比较原则 设 ∑ u n 和 ∑ v n 是两个正项级数，如果存在某整数 N ，对于一切 n & N 都 有un ≤ vn共 25 页 第 3 页泰勒公式及其应用则 (i) 若级数 ∑ v n 收敛，则级数 ∑ u n 也收敛； (ii)若级数 ∑ u n 发散，则级数 ∑ v n 也发散. 三、一元泰勒公式 一元泰勒公式若函数 f (x) 在含有 x 的开区间 (a, b) 内有直到 n + 1 阶的导数，则当函数在此 区间内时，可展开为一个关于 ( x ? x0 ) 的多项式和一个余项的和：f ( x) = f ( x 0 ) + f ′( x0 )( x ? x0 ) +f ′′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( n+1) (ξ ) ( x ? x0 ) 2 + L + ( x ? x0 ) n + ( x ? x0 ) n +1 2! n! (n + 1)!f ( n +1) (ξ ) 其中 Rn (x) = ( x ? x0 ) n +1 (n + 1)!朗日余项。 1.泰勒公式的推导过程ξ 在 x 和 x0 之间的一个数， 该余项 Rn (x) 为拉格我们知道 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x ? x 0 ) + α ， 根据拉格朗日中值定理导出的有 限增量定理有 lim f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) = f ′( x 0 )?x ，其中误差 α 是在 ?x → 0 即?x → 0x → x0 的前提下才趋于 0，所以在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式：p ( x) = a 0 + a1 ( x ? x0 ) + a 2 ( x ? x0 ) 2 + L + a n ( x ? x0 ) n来近似表达函数 f (x) 并且误差为 Rn ( x) = f ( x) ? p ( x) ； 设多项式 p (x) 满足 p ( x 0 ) = f ( x0 ), p ′( x0 ) = f ′( x0 ) L p ( n ) ( x0 ) = f ( n ) ( x0 ) 因此可以得出 a 0 , a1 L a n .显然， p ( x 0 ) = a 0 ，所以 a 0 = f ( x 0 ) ； p ′( x 0 ) = a1 ，所以a1 = f ′( x0 ) ； p ′′( x0 ) = 2!a 2 ， 所 以 a 2 = f(n)f ′′( x0 ) L p ( n ) ( x0 ) = n!a n ， 所 以 有 2!an =( x0 ) n!因此，多项式 p (x) 的各项系数已经全部求出了，多项式 p (x) 为：共 25 页 第 4 页泰勒公式及其应用p ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x ? x0 ) +f ′′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x ? x0 ) 2 + L + ( x ? x0 ) n 2! n!其实要推出泰勒公式的表达式并不难，关键就是要推出其误差表达式，即余项。 2.泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项） ： 设 Rn ( x ) = f ( x ) ? p ( x ) 于是有 Rn ( x0 ) = f ( x0 ) ? p ( x0 ) = 0( ′ ′ 所以有 Rn ( x0 ) = Rn ( x0 ) = Rn′ ( x0 ) = L = Rnn ) ( x0 ) = 0根据柯西中值定理可得：′ Rn ( x ) R ( x ) ? Rn ( x 0 ) Rn (ξ1 ) = n = ( x ? x0 ) ( n +1) ( x ? x0 ) ( n +1) ? 0 (n + 1)(ξ1 ? x 0 ) n对上式再次使用柯西中值定理，可得：ξ1 是在 x 和 x0 之间的一个数；′ ′ ′ ′ Rn (ξ1 ) Rn (ξ1 ) ? Rn ( x 0 ) Rn′ (ξ 2 ) = = n n (n + 1)(ξ1 ? x0 ) ((n + 1)(ξ1 ? x0 ) ? 0) n(n + 1)(ξ 2 ? x0 ) ( n?1)间的一个数； 连续使用柯西中值定理 n + 1 次后得到：( Rn ( x ) Rnn +1) (ξ ) = 这里 ξ 是介于 x 和 x0 之间的一个数。 (n + 1)! ( x ? x0 ) ( n +1)ξ 2 是 在 ξ1 和 x 0 之由于 p ( n ) ( x) = n!a n ， n!an 是一个常数，故 p ( n +1) ( x) = 0 ，于是得到：( Rnn +1) ( x) = f ( n+1) ( x) ，综上可得，余项：Rn ( x ) =f ( n +1) (ξ ) ( x ? x 0 ) n+1 (n + 1)!ξ 介于 x 和 x0 之间此余项又称为拉格朗日余项。 到此为止，我们知道了泰勒公式的一般形式可以表示为：f ′′( x 0 ) f (n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x ? x0 ) + ( x ? x0 ) + L + ( x ? x 0 ) n + Rn ( x ) 2! n!其中 Rn (x) 为泰勒公式的余项，它可以有一下几种形式： (1)佩亚诺（Peano）余项Rn ( x) = ο (( x ? x0 ) n )共 25 页 第 5 页泰勒公式及其应用(2)施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项Rn ( x ) =间f ( n +1) (ξ ) ( x ? ξ ) n +1? q ( x ? x0 ) q q ? n!(0 & q ≤ n + 1) , ξ 介于 x 和 x0 之(3)拉格朗日(Lagrange)余项f ( n +1) (ξ ) Rn ( x ) = ( x ? x 0 ) n +1 (n + 1)!(4)柯西(Cauchy)余项 Rn ( x ) = (5)积分余项 Rn f( n +1)ξ 介于 x 和 x0 之间(ξ )n!( x ? ξ ) n ( x ? x0 )ξ 介于 x 和 x0 之间∫ ( x) =xx0f ( n +1) (t )( x ? t ) n dt n!泰勒公式的特殊形式： 当取 x0 = 0 的时候 此时泰勒公式为： f ( x) = f (0) + f ′(0) x + f ′′(0) x2 xn + L + f ( n ) ( 0) + Rn ( x ) 2! n!Rn (x) 为相应的余项， 该式叫做泰勒公式的麦克劳林展开， 也叫做麦克劳林公式； 麦克劳林公式主要应用在一些比较特殊的函数，如三角函数，对数函数等. 如 ： 对 y = sin x 或 y = cos x 的 麦 克 劳 林 展 开 进 行 求 值 计 算 ； 欧 拉 公 式e ix = cos x + i sin x 的证明与应用等等.运用麦克劳林展开可以得到一些常用的泰勒展开式：x2 xn e θx +L+ + x n +1 . 2! n! (n + 1)!ex =1+ x +sin x = x ?x3 x5 x 2 n +1 + ? L + ( ?1) n + o( x 2 n + 2 ) . 3! 5! (2n + 1)!共 25 页 第 6 页泰勒公式及其应用cos x = 1 ?x2 x4 x6 x2n + ? + L + (?1) n + o( x 2 n ) . 2! 4! 6! (2n)!x 2 x3 x n +1 + ? L + (?1) n + o( x n +1 ) . 2 3 n +1ln(1 + x) = x ?1 = 1 + x + x 2 + L + x n + o( x n ) 1? x四、多元泰勒公式 除了上面的一元泰勒公式外，多元泰勒公式的应用也非常的广泛；特别是在微 分方程数值解和最优化上面，有着很大的作用。 1.二元泰勒展开 引人记号： h = x ? x0 ， t = y ? y 0 则二元函数 f ( x, y ) 在 ( x0 , y 0 ) 处的泰勒展开为：f ( x, y ) = f ( x 0 , y 0 ) + ( h? ? ? ? ? ? + t ) f ( x 0 , y 0 ) + ( h + t ) 2 f ( x 0 , y 0 ) + L + ( h + t ) m f ( x 0 , y 0 ) + Rm ?x ?y ?x ?y ?x ?y? ? ? ?f ?f ?h+ ?t ?(h + t ) f ( x0 , y 0 ) = ?y ?x ( x0 , y0 ) ?y ( x0 , y0 ) ? ?x ? 2 ?2 f ?2 f ?(h ? + t ? ) 2 f ( x , y ) = ? f ? h2 + ? ht + 2 0 0 ? ?x ?y ?x?y ( x , y ) ?x 2 ( x , y ) ?y ? 0 0 0 0 ? ?LLL m ? ? ? ?m f k ?(h + t ) m f ( x0 , y 0 ) = ∑ C m k m ? k ? h k t m ?k ?y ?x ?y ? ?x k =0 ( x0 , y 0 ) ? Rm 是二元泰勒公式的余项?t2( x0 , y 0 )由于二元泰勒展开比较复杂，所以在一般的应用之中，只作二阶泰勒展开. 2.二元泰勒展开的余项 与一元泰勒公式类似，二元泰勒公式的余项分别有： (1)佩亚诺（Peano）余项Rm = ο [( x ? x0 ) m + ( y ? y 0 ) m(2)拉格朗日(Lagrange)余项Rm = 1 ? ? m+1 (h +k ) f (ξ ,η ) (m + 1)! ? x ?y( ξ ,η )是 ( x, y ) 和 ( x0 , y 0 ) 线段上的一点共 25 页 第 7 页泰勒公式及其应用3.多元函数泰勒展开 (1)多元函数一阶泰勒展开 多元函数 f ( X ) ∈ R ′, X , X * ∈ R n ，则 f ( X ) 在 X * 的一阶泰勒展开为：1 f ( X ) = f ( X * ) + ?f ( X * ) Τ ( X ? X * ) + ( X ? X * ) Τ ? 2 f ( X * + θ ( X ? X * ))( X ? X * ) 2 (0 & θ & 1)或对于任意的 λ & 0 及任意的 p ∈ R n ，有：f ( x * + λ p ) = f ( x * ) + λ ?f ( x * ) Τ p + ο ( λ p )(2) f ( X ) 在 X * 的二阶泰勒展开式2 1 f ( X ) = f ( X * ) + ?f ( X * ) Τ ( X ? X * ) + ( X ? X * ) Τ ? 2 f ( X * )( X ? X * ) + ο ( X ? X * ) 2或对于任意的 λ & 0 及任意的 p ∈ R n ，有1 2 f ( x * + λp ) = f ( x * ) + λ?f ( x * ) Τ p + (λp ) Τ ? 2 f ( x * )(λp ) + ο ( λp ) 2 多元泰勒公式主要应用在微分方程数值解和最优化上面.五、泰勒公式的应用 1.泰勒公式在高等数学中 1.泰勒公式在高等数学中的应用 泰勒公式在高等数学 (1)利用泰勒公式求极限 例 1.1 求 limx → +∞ x2 2cos x ? e x4? x2 2?解：由泰勒公式 e= 1?x2 x4 + + ο (x 4 ) 2 8x2 x4 + + ο(x4 ) 2 24cos x = 1 ?因此有cos x ? e lim x 4 x → +∞(2)利用泰勒公式求高阶导数?x2 21 1 ( ? )x 4 + ο (x 4 ) 1 = lim 8 24 4 =? 12 x x → +∞例 1.2 求函数 f ( x) = x 2 e x 在 x = 1 处的高阶导数 f (100 ) (1) .共 25 页 第 8 页泰勒公式及其应用解：设 x = u + 1 则 f ( x) = g (u ) = (u + 1) 2 e (u +1) = e ? (u + 1) 2 e u f ( n ) (1) = g ( n ) (0) 而且 e u 在 u = 0 的泰勒展开为：u 98 u 99 u 100 e = 1+ u +L+ + + + ο (u 100 ) 98! 99! 100!u从而 g (u ) = e ? (u 2 + 2u + 1)(1 + u + L + 故 g (100 ) (0) = 100!e(1 2 1 + + ) 98! 99! 100! = e ? 10101u 98 u 99 u 100 + + + ο (u 100 )) 98! 99! 100!所以 f (100 ) (1) = g (100 ) (0) = 10101 ? e (3)泰勒公式在定积分上的应用 可利用泰勒展开证明些定积分问题. 例 1.3 在 [a, b] 上 f ( x) & 0 ，且 f ′′( x) & 0 ，试证明 max f ( x) &a ≤ x ≤b2 b f ( x)dx b ? a ∫a证明：任取 ?[ p, q ] ? [a, b], ?x ∈ [ p, q ] ，利用泰勒公式及条件 f ′′( x) & 0 ，可得f ( p ) = f ( x) + f ′( x)( p ? x) + f ′′(ξ1 ) ( p ? x) 2 & f ( x) + f ′( x)( p ? x) 2! f ′′(ξ 2 ) (q ? x) 2 & f ( x) + f ′( x)(q ? x) 2!f (q ) = f ( x) + f ′( x)(q ? x) +其中 ξ1 , ξ 2 ∈ [ p, q] 则 f ( p )(q ? x) + f (q )( x ? p )& [ f ( x) + f ′( x)( p ? x)](q ? x) + [ f ( x) + f ′( x)(q ? x)]( x ? p ) = f ( x)(q ? p )所以有 ∫ [ f ( p )(q ? x) + f (q )( x ? p )]dx & (q ? p ) ∫ f ( x)dxp pqq即q f ( p) + f (q) (q ? p ) & ∫ f ( x)dx p 2a ≤ x ≤b(?)设 c ∈ [a, b] ,使 f (c) = max f ( x) ，根据 ? 及条件 f ( x) & 0共 25 页 第 9 页泰勒公式及其应用∫baf ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dxa ccb即f ( a ) + f (c ) f (c) + f (b) (c ? a ) + (b ? c) 2 2 f (c ) f (c) & (c ? a ) + (b ? c) 2 2 f (c) = (b ? a ) 2 2 b max f ( x) & f ( x)dx a ≤ x ≤b b ? a ∫a &(4)利用泰勒公式证明根的存在唯一性 例 1.4 设 f (x) 在 [a, +∞) 上二阶可导,且 f (a ) & 0, f ' (a ) & 0 ,对 x ∈ (a, +∞), f '' ≤ 0 , 证明：方程 f ( x) = 0 在 (a, +∞) 内存在唯一实根.证 明 ： 因 为 f '' ( x) ≤ 0 , 所 以 f ' ( x) 单 调 减 少 , 又 f ' (a ) & 0 , 因 此 x & a 时, f ' ( x) & f ' (a ) & 0 ,故 f (x) 在 (a, +∞) 上严格单调减少.在 a 点展开一阶泰勒 公式有 f ' (ξ ) ( x ? a) 2 (a & ξ & x) 2f ( x) = f (a ) + f ' (a )( x ? a ) +由题设 f ' (a ) & 0, f ' (ξ ) ≤ 0 ,于是有 lim = ?∞ ,从而必存在 b & a ,使得 f (b) & 0 ,又x→∞因为 f (a ) & 0 ,在 [a, b] 上应用连续函数的介值定理,存在 x0 ∈ (a, b) ,使 f ( x0 ) = 0 , 由 f ( x) 的严格单调性知 x0 唯一,因此方程 f ( x) = 0 在 (a, +∞ ) 内存在唯一实根. (5)利用泰勒公式判断级数的敛散性 例 1.5 判定级数 ∑ (n =1 ∞1n? lnn +1 ) 的敛散性 n分析：判定级数的收敛性有多种方法，本例存在对数项，因此首先考虑的就是 把指数去掉，因此先用泰勒展开去掉指数项，然后再化简。 解：由（麦克劳林）泰勒公式有共 25 页 第 10 页泰勒公式及其应用lnn +1 1 1 1 1 1 1 = ln(1 + ) = ? 2 + 3 ? 4 + L & , n n n 2n 3n 4n n所以 1 1 & n +1 nln所以 1 n +1 ? ln &0 n nun =故该级数是正向级数. 又因为n +1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ? 2 + 3 + o( 3 ) & ? 2+ 3 = ( ? 3)= ? 3 n n 2n 3n n n n 4n n n 2n 2 2n 2ln所以1 n +1 1 1 1 1 ? ln & ?( ? 3)= 3 n n n n 2n 2 2n 2un =因为 ∑n =1∞1 2n3 2收敛,所以由正向级数比较原则知级数∑(n =1∞1 n? lnn +1 ) 收敛 n(6)利用泰勒公式求定积分的近似值 1 sin x 例 1.6 求定积分 ∫ dx 的近似值 0 x 分析：由于被积函数的原函数不是初等函数，用牛顿-莱布尼兹公式无法求出 其精确的解.若用泰勒展开，就能方便的求得其近似解. 解：由泰勒公式得共 25 页 第 11 页泰勒公式及其应用7 sin(θx + π ) x x 2 x7 sin x = x ? + ? 3! 5! 7!3 5故有 7 sin(θx + π ) sin x x x 2 x6 = 1? + ? x 3! 5! 7! 所以由牛顿-莱布尼兹公式2 47 sin(θx + π ) sin x x x 2 x 6 dx ∫0 x dx = ( x ? 3 ? 3! + 5 ? 5!) ? ∫0 7! 01 3 5 1 17 因为, sin(θx + π ) & 1 2 1 sin x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 故∫ dx & 1 ? ? + ? ? ? ≈ 1 ? ? + ? ≈ 0.09461 0 x 3! 3 5! 5 7! 7 3! 3 5! 5 (7)利用泰勒公式求行列式的值例 1.7 求 n 阶行列式 D 的值x z D= z z y x z z y y x zL L L Ly y y xL L L L L分析：用行列式的性质直接求解该行列式是比较困难的，但是如果把行列式看 作是某个变量的泰勒展开，然后再求解就非常简单了.x z y x z z y y x zL L L Ly y y x解：设Dn ( x ) = z zL L L L L则 Dn ( x) 在 z 上的泰勒展开为( ′ ′ Dn ( z ) Dn′ ( z ) Dn n ) ( z ) 2 Dn ( x ) = Dn ( z ) + ( x ? z) + ( x ? z) + L + ( x ? z) n 1! 2! n!共 25 页 第 12 页泰勒公式及其应用z z 其中 Dn (z ) = z zy z z zy y z zL L L Ly y y zL L L L L将 k 列乘(-1)+第 k ? 1 列， k = n, n ? 1L 2z-y 0 0 z? y 0 L 0 0 0 L 0 L L y y y = z ( z ? y ) n ?1 z故 Dn (z ) =0 L 0z?y L LL L又对 Dn (x) 求一阶导数1 z ′ Dn (x) = z z x =n z z 0 x z z y x z 0 y x z L L L L L L L y y x = nDn?1 ( x) 0 y x 0 y 1 z z y 0 x z L L L L y 0 x z y x z 0 y y x 0 L L L L y y y 1y + z x zy +L+ z x 0L L L L LL L L L LL L L L LL L L L′ 因此有 Dn (x) = nDn?1 ( x) ′ 根据递推关系有 Dn-1 ( x) = (n ? 1) Dn ? 2 ( x) M′ D2 ( x) = 2 D1 ( x) D1′ ( x) = 1′ ′ 再有递推关系有 Dn′ ( x) = nDn ?1 ( x) M( ( ? Dnn ) ( x) = nDnn11) ( x) ?( D1 ( x) = x)有上面两个递推关系可以得到：′ Dn ( z ) = nDn?1 ( z ) = nz ( z ? y ) n? 2共 25 页 第 13 页泰勒公式及其应用′ ′ Dn′ ( z ) = nDn?1 ( z ) = n(n ? 1) Dn ? 2 ( z ) = n(n ? 1) z ( z ? y ) n ?3′ ′ ′ Dn′′( z ) = nDn′?1 ( z ) = n(n ? 1) Dn ?1 ( z ) = n(n ? 1)(n ? 2) Dn?3 ( z ) = n(n ? 1)(n ? 2) z ( z ? y ) n? 4M( Dnn ?1) ( z ) = n(n ? 1) L 2 D1 ( z ) ( Dnn ) ( z ) = n!所以 Dn ( x) = z ( z ? y ) n ?1 + nz ( z ? y ) n ? 2 ( x ? z ) + +L+ 如果 z = y ，则n(n ? 1) z ( z ? y ) n ?3 ( x ? z ) 2 2!n(n ? 1) L 2 z ( x ? z ) n ?1 + ( x ? z ) n (n ? 1)!Dn ( x) = nz ( x ? z ) n ?1 + ( x ? z ) n = ( x ? z ) n?1 [ x + (n ? 1) z ]若z ≠ y ，则 z n(n ? 1) [( z ? y ) n + n( z ? y ) n ?1 ( x ? z ) + ( z ? y) n?2 ( x ? z ) 2 z?y 2! n(n ? 1) L 2 y ( z ? y )( x ? z ) n?1 + ( x ? z ) n ] ? (x ? z) n (n ? 1)! z?yDn ( x) =+L+=z y [( z ? y ) + ( x ? z )] n ? ( x ? z) n z?y z?y=z ( x ? y) n ? y( x ? z ) n z? y?( x ? z ) n ?1 [ x + (n ? 1) z ] z = y ? 因此行列式 D = ? z ( x ? y ) n ? y ( x ? z ) n z≠y ? z? y ?2.泰勒公式在数值分析上面的应用 (1)泰勒公式在插值问题中的应用 泰勒公式的思想就是用一个多项式去逼近某个连续函数，从而可以简化计算. 在数值分析之中，多项式插值是一种常见的逼近法，利用泰勒公式，也能实现插 值近似计算.共 25 页 第 14 页泰勒公式及其应用例 2.1 对 y = e x 进行插值计算，求其近似值 利用泰勒公式将下式展开成泰勒级数形式 1 e x + t = e x ? e t = e x (1 + t + t 2 + L) 2(2.1)假设因子 e x 为已知的.将该级数在 t 2 项后截断，这表示误差(在圆括号内)最多为 1 h3 ? ，其中 h 为相邻两个插值点之间的间隔.假设 h = 0.05 ，这个误差就是 6 232.6 × 10 ?6 .它说明，若在 t 2 项处停止，在计算 e x + t 的值时可以精确到 5 位十进制数(不是指小数位数).例如，用表 1 中的数据， e 2.718 的插值进行如下，取1 t = 0.018,1 + t + t 2 = 1.01816 2e 2.718 = e 2.70 (1.01816) = (14.880)(1.01816) = 15.150它的全部 5 位都是正确的，我们的配置多项式(2.1)也会产生同样的结果. 表1xy = ex2.60 13.4642.65 14.1542.70 14.8802.75 15.6432.80 16.445(2)泰勒公式在数值微分和积分的应用 (i)利用泰勒公式可以构造各阶精度的数值微分公式 (b ? a ) 例如 设节点为等距的，即 xi +1 = xi + h, h = , k 为一个正整数， f ( x) 有 k 阶 n 的微商，对 i = 1,2, L , n ? 1 ，利用泰勒展开公式有h k (k ) f ( xi +1 ) = f ( xi ) + hf ′( xi ) + L + f (ξ1 ) k! f ( xi ?1 ) = f ( xi ) ? hf ′( xi ) + L +( ? h) k f k!(k )(ξ 2 )其中 ζ 1 ∈ ( xi , xi +1 )，ξ 2 ∈ ( xi ?1 , xi ) .分别取 k = 2,3,4 可以得到：f ′( xi ) = f ( xi +1 ) ? f ( xi ) 1 ? hf ′′(ξ1 ) h 2共 25 页 第 15 页泰勒公式及其应用f ′( xi ) = f ′( xi ) = f ′′( xi ) =f ( xi ) ? f ( xi ?1 ) 1 ? hf ′′(ξ 2 ) h 2 f ( xi +1 ) ? f ( xi ?1 ) 1 2 ? h f ′′′(ξ 3 ) 2h 6 f ( xi +1 ) ? 2 f ( xi ) + f ( xi ?1 ) 1 2 ( 4) ? h f (ξ 4 ) 12 h2其中 ξ 3 , ξ 4 ∈ ( xi ?1 , xi +1 ) .忽略各式中的余项， 可得用差商近似微商的如下数值微分 公式： 一阶微商的向前差商近似公式： f ′( xi ) ≈ f ( xi +1 ) ? f ( xi ) h一阶微商的向后差商近似公式： f ′( xi ) ≈ f ( xi ) ? f ( xi ?1 ) h一阶微商的中心差商近似公式： f ′( xi ) ≈ f ( xi +1 ) ? f ( xi ?1 ) 2h二阶微商的中心差商近似公式： f ′′( xi ) ≈ f ( xi +1 ) ? 2 f ( xi ) + f ( xi ?1 ) h2当 f (x) 的各阶导函数有界时，可知道，一阶微商的向前、向后差商近似的截断 误差量级是 ο (h) ，一阶微商的中心差商近似的截断误差量级是 ο (h 2 ) ，二阶微商 的中心差商近似的截断误差量级是 ο (h 2 ) . (ii)利用泰勒公式可以推导出数值积分中点公式、 梯形公式与 Simpson 公式的截 断误差 设 f ( x) ∈ C[a, b] ，且已知 x = 最简单的求积公式： b a+b ∫a f ( x)dx ≈ f ( 2 )(b ? a) 该公式称为中点求积公式；共 25 页 第 16 页a+b a+b 处的函数值 f ( ) ,则我们可以得到一个 2 2泰勒公式及其应用若已知 x = a, b 两点的函数值为 f (a ), f (b) ，则我们可以作 f (x) 的一次插值多 项式P1 ( x) = x?b x?a f (b) f (a) + a?b b?ab从而有∫baf ( x)dx ≈ ∫ P1 ( x)dx =af (a ) + f (b) (b ? a ) 2该公式称为梯形公式； a+b a+b 若已知 x0 = a, x1 = , x 2 = b 三点的函数值 f (a ), f ( )和f (b) ，则我们可 2 2以作 f (x) 的二次插值多项式P2 ( x) =从而有( x ? x0 )( x ? x 2 ) ( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? x1 )( x ? x 2 ) a+b f (a) + f( )+ f (b) ( x0 ? x1 )( x 0 ? x 2 ) ( x1 ? x0 )( x1 ? x 2 ) 2 ( x 2 ? x0 )( x 2 ? x1 )b?a a+b [ f (a) + 4 f ( ) + f (b)] a a 6 2 该求积公式称为 Simpson 公式或抛物线公式.∫bf ( x)dx ≈ ∫ P2 ( x)dx =b例 2.2 利用泰勒公式证明中点公式的截断误差为∫baf ( x)dx ? f (a+b (b ? a ) 3 )(b ? a ) = f ′′(ξ1 ) ， ξ1 ∈ (a, b) 2 24证明：假设 f ( x) ∈ C 2 [a, b] 将 f (x) 在 x =a+b 处泰勒展开得 2 a+b a+b a+b 1 a+b 2 f ( x) = f ( ) + (x ? ) f ′( ) + f ′′(ξ1 )( x ? ) 2 2 2 2 2对上式两边同时关于 x 在区间 [a, b] 上进行积分有b a+b a+b a+b 1 b a+b 2 )dx + ∫ ( x ? ) f ′( )dx + ∫ f ′′(ξ1 )( x ? ) dx a a a 2 2 2 2 2 a+b 1 b a+b 2 = (b ? a ) f ( ) + ∫ f ′′(ξ1 )( x ? ) dx a 2 2 2 b a+b 1 a+b 2 = (b ? a ) f ( ) + f ′′(ξ1 ) ∫ ( x ? ) dx a 2 2 2 b∫baf ( x)dx = ∫ f (= (b ? a ) f (a+b 1 1 (b ? a ) 3 ) + f ′′(ξ1 ) × 2 2 3 4共 25 页 第 17 页泰勒公式及其应用= (b ? a ) f (1 a+b )+ f ′′(ξ1 )(b ? a ) 3 2 24即 ∫ f ( x)dx ? f (ab(b ? a ) 3 a+b )(b ? a ) = f ′′(ξ1 ) 2 24同理利用泰勒公式能推导出梯形公式的截断误差为∫baf ( x)dx ?(b ? a ) 3 f (a ) + f (b) (b ? a ) = ? f ′′(ξ 2 ) 2 12ξ 2 ∈ ( a, b)Simpson 公式的截断误差为∫baf ( x)dx ?(b ? a ) 5 b?a a+b ) + f (b)] = ? [ f (a) + 4 f ( f 6 2 2880( 4)(ξ 3 ), ξ 3 ∈ (a, b)(iii)泰勒公式在数值分析中的其他应用， 比如利用泰勒公式在 Richardson 外推 加速收敛数值计算方法方面的应用. 例 2.3 依据 n sin( )(n = 3,6,12) 的值，用外推算法求 π 的近似值. n 解：将 sin( ) 在 x = 0 处进行泰勒展开，有 n π π 1 π 3 1 π 5 sin = ? ( ) + ( ) L n n 3! n 5! n 整理得n sinπππn=π ?1 π3 1 π5 + L 3! n 2 5! n 4 1 的偶次项，故可以用外推技术，利用公式 n(k )由于展开式余项仅含( k +1) (k )Tn4 m Tm ?1 ? Tm ?1 = m 4 ?1计算如下n3 6 9Tn(0)Tn(1)Tn( 2)2...10582863..14110483.1415801故 π ≈ 3.1415801 (iv)泰勒公式是一些数值迭代法的基础，利用泰勒公式能推导出某些数值迭代共 25 页 第 18 页泰勒公式及其应用法，如牛顿(Newton)迭代法. 例 2.4 牛顿迭代法的推导 设 f (x) 在其零点 x * 附近充分光滑， x k , x k +1 都在 x * 附近.由泰勒展开式f ( x * ) = f ( x k ) + f ′( x k )( x * ? x k ) + 1 f ′′(ξ k )( x * ? x k ) 2 2ξ k 介于 x k 与 x * 之间当 x * ? x k 很小时,忽略右端最后一项高阶小量，从而有f ( x k ) + f ′( x k )( x * ? x k ) ≈ 0这样我们有 x * ≈ x k ?f ( xk ) ，即可以构造迭代序列 f ′( x k ) x k +1 = x k ? f ( xk ) ， f ′( x k )k = 0,1,2, L.这就是牛顿(Newton)迭代法. 3．泰勒公式在微分方程数值解的应用 在微分方程数值方法主要是求初值问题?u ′ = f (t , u ) ? ? u (t 0 ) = u 0的解.利用泰勒公式可以知道，初值问题的单步法为u n +1 ? u n = h? (t n , u n , h) n = 0,1L.证明：设初值问题?u ′ = f (t , u ) ? ? u (t 0 ) = u 0的解充分光滑.将 u (t ) 在 t 0 处用泰勒公式展开：u (t1 ) = u (t 0 ) + hu ′(t 0 ) +h 2 ( 2) h p ( p) u (t 0 ) + L + u (t 0 ) + Ο(h p +1 ) 2! p!（3.1）其中 u (t 0 ) = u 0 , u ′(t 0 ) = f (t 0 , u (t 0 )) = f (t 0 , u 0 ) ，共 25 页 第 19 页泰勒公式及其应用? ( 2) d = [ f t + f u ? u′(t )]t =t0 ?u (t 0 ) = dt f t =t0 ? ?= f t (t 0 , u0 ) + f (t 0 , u0 ) f u (t 0 , u0 ) ? d d ? (3) 2 ?u (t 0 ) = [ f ]t =t0 = f tt (t 0 , u0 ) + 2 f (t 0 , u0 ) f tu (t 0 , u ) + f (t 0 , u0 ) f uu (t 0 , u0 ) （3.2） dt dt ? ?+ f t (t 0 , u0 ) f u (t 0 , u0 ) + f (t 0 , u0 ) f u 2 (t 0 , u0 ) ? ?LL ? ?令? (t , u (t ), h) = ∑则可将 3.1 改写为h j ?1 d j ?1 f (t , u (t )) j! dt j ?1 j =1p（3.3）u (t 0 + h) ? u (t 0 ) = h? (t 0 , h(t 0 ), h) + Ο(h p +1 )舍去余项 Ο(h p +! ) ，则得u1 ? u 0 = h? (t 0 , u 0 , h)一般来说，已知 u n ，则u n +1 ? u n = h? (t n , u n , h) ， n = 0,1L.于是就得到了初值问题的单步法. 4.多元泰 4.多元泰勒公式在数值最优化上的应用 多元 (1)泰勒公式在数值最优化理论证明中的应用 (i)定理 4.1(无约束问题解的一阶必要条件) 设 f : R n → R 连续可微， x * 是无 约束问题 min f ( x), ( x ∈ R n ) 的一个局部最优解，则 x * 满足?f ( x * ) = 0证明：任给 p ∈ R n ，由局部最优解的定义和多元泰勒展开，对任意充分小的数t & 0 ，有 f ( x * ) ≤ f ( x * + tp ) = f ( x * ) + t?f ( x * ) Τ p + ο (t )不等式的两端同时减去 f ( x * ) 后除以 t ， 并令 t → 0 + 可得 ?f ( x * ) Τ p ≥ 0, ?p ∈ R n . 特别令 p = ??f ( x * ) 得共 25 页 第 20 页泰勒公式及其应用? ?f ( x * )* 从而， ?f ( x ) = 02= ??f ( x * ) Τ ?f ( x * ) ≥ 0(ii)定理 4.2(无约束问题解的二阶必要条件) 设 f：R → R 二次连续可微，nx * 是无约束问题 min f ( x), ( x ∈ R n ) 的一个局部最优解，则 x * 满足 ?f ( x * ) = 0 且? 2 f ( x * ) 半正定. 证明：由定理 4.1，只需证明 ? 2 f ( x * ) 半正定.任给 p ∈ R n ，由最优解的定义和 二阶泰勒展开，对任意充分小的数 t ，有1 f ( x * ) ≤ f ( x * + tp ) = f ( x * ) + t 2 p Τ ? 2 f ( x * ) p + ο (t 2 ) 2由 t 和 p 的任意性得 p Τ ? 2 f ( x * ) p ≥ 0 即 ? 2 f ( x * ) 半正定.(iii)定理 4.3(无约束问题解的二阶充分条件) f：R n → R 二次连续可微.若 x * 满足 ?f ( x * ) = 0 且 ? 2 f ( x * ) 正定，则 x * 是无约束问题 min f ( x), ( x ∈ R n ) 的一个严格 局部最优解. 证明：由于 ? 2 f ( x * ) 正定，故存在常数 δ & 0 ，使得对所有的y ∈ U δ ( x * ) ={ y ∈ R n | y ? x * & δ } ， ? 2 f ( y ) 正定 . 由此，对任意 y ∈ U δ ( x * ) ，?y ≠ x* .由泰勒展开知，存在 θ ∈ (0,1) 使得1 f ( y ) = f ( x * ) + ( y ? x * ) Τ ? 2 f [ x * + θ ( y ? x * )]( y ? x * ) & f ( x * ) 2即 x * 是问题 min f ( x), ( x ∈ R n ) 的一个严格局部最优解. (2)泰勒公式在数值最优化算法设计中的应用 我们知道最优化算法中我们需要知道两个重要的条件，一个的算法迭代步 长 α ，而另外一个就是算法的下降方向 d ，利用泰勒公式展开，能帮助我们 确定下降算法的方向. 例 4.1 求最速下降法的下降方向. 解： f 在 x ( k ) 的一阶泰勒展开为共 25 页 第 21 页泰勒公式及其应用f ( x ( k ) + αd ( k ) ) = f ( x ( k ) ) + α?f ( x ( k ) ) Τ d ( k ) + ο (α ) 若设 ?f ( x ( k ) ) Τ d ( k ) & 0 则可以知道 d (k ) 为 f 在 x (k ) 的下降方向. 对任意 d ∈ R n ，由 Cauchy-Schwarz 不等式，得?f ( x ( k ) ) Τ d ≥ ? ?f ( x ( k ) ? d当 d = d ( k ) = ??f ( x ( k ) ) 是上式不等式成立，这时我们称 d (k ) 为 f 在 x (k ) 处的最速下降方向 5.泰勒公式在其他领域的应用 泰勒公式在其他领域的应用 分子动力学数值方法广泛应用于计算化学、计算物理、材料科学以及生物科 学.等领域中 一个经典体系的 Hamilton 量等于它的总能量p H = H (r , p) = K ( p ) + U (r ) = ∑ i + U (r ) i 2mi2这里 K ( p ) 是动能， U (r ) 为势能， p i 是粒子 i 的动量， mi 是粒子 i 的质量， ri 的 粒子 i 的位置. 由 Newton 第二定律有Fi = mi a i = mi d 2 ri dt 2（5.1）这里 Fi 是作用于粒子 i 上的力Fi = ?? iU (r )由 H (r , p ) 的定义，更加一般的运动方程式是 ? dri ?H (r , p ) ? dt = ?p ? i ? ? dp i = ? ?H (r , p ) ? dt ?ri ? 求解方程组（5.1）或（5.2）的方法就是分子动力学方法. 对此我们仅考虑分子动力学数值方法，其中不考虑分子动力学其他方面. Verlet 方法Verlet 方法是利用泰勒展开的一种求解方法.（5.2）由泰勒展开式有共 25 页 第 22 页泰勒公式及其应用rn +1 = rn + v n ?t + rn ?1 = rn ? v n ?t +1 Fn 2 ? ?t + Ο(?t 3 ) 2 m 1 Fn 2 ? ?t ? Ο(?t 3 ) 2 m这里 ?t 是时间步长， rn = r (n?t ) ，上面两式相加，可得 rn +1 = 2rn ? rn?1 + 然后应用中心差商可得到 vn = rn +1 ? rn ?1 + Ο(?t 2 ) 2?t 6.总结 总结 本文主要介绍了泰勒公式在高等数学和数值分析上面的应用，通过列举大量 的例题证明，说明了从泰勒公式的推导及其到在各领域上的应用，让我们了解到 泰勒公式的重要性，只要我们细心观察，认真去总结，我们就会发现我们的学习 和生活处处都可以找到泰勒公式的影子. Fn 2 ?t + Ο(?t 4 ) m共 25 页 第 23 页泰勒公式及其应用参考文献 [1] 张平文、李铁军，数值分析[M]，北京大学出版社，2007 [2] 李荣华、刘播，微分方程数值解法[M]，高等教育出版社，2008 [3] 东北师范大学数学系，数学分析:第三版[M] 高等教育出版社，2007 [4] 赵建，泰勒公式在解题中的若干应用[J] ，天中学刊，2004(02)，54-56 [5] 孙燮华，关于泰勒公式的推广及其应用[J]，数学的实践与认识 ，1995(04)， 86-89 [6] 陈小春、 刘学飞， 利用积分证明 Taylor 公式[J]， 数学的实践与认识， 2003(02)， 117-118 [7] 数学辞海:第一版[M]，中国科学技术大学出版社，2002 [8] 同济大学应用数学系，高等数学:第五版[M]，高等教育出版社，2006 [9] 周脉东、王金柱，Taylor 公式在最优化中的应用[J]，陕西教育学院学报， 2010(04)，75-77 [10] 耿晓哲，Taylor 公式及其应用[J]，潍坊高等职业教育，2009(03)，45-46 [11] 李董辉、童小娇，数值最优化算法与理论:第二版[M]，科学出版社，2010 [12] 腾家俊、罗剑，数值分析辅导与习题精解[M]，陕西师范大学出版，2006 [13] [美]F.施依德，数值分析[M]，科学出版社，2002共 25 页 第 24 页泰勒公式及其应用致谢本文是在谢骊玲老师是认真指导和修改下完成的，同时这篇文章总结了我四 年学习的一些成果.在文章的完成过程之中，谢骊玲老师从开题报告到最后提交 初稿过程之中都给我指正了很多的错误，才能使我的论文能很好顺利地完成，同 时也感谢陈兆伦同学帮我纠正了英文摘要的一些语法错误，在此，我对他们表示 由衷的感谢！ 许文锋 2011 年 4 月 30 日于华南师范大学共 25 页 第 25 页
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