&p&用肯定是不能直接用的，要不然也太不公平了，但是偷偷的用一下貌似也能省那么一丢丢时间，比如用向量叉乘算个法向量的啦，用隐函数求个切线啦，在比如这个问题下第一大争论子问题——洛必达法则到底扣分不扣分？关于这个问题各地学生说法不一，但是说扣分的比较多，为什么争议这么大？因为太好用，参变分离，求导讨论往往非常复杂，甚至都算不出来，边界最值很多同学又不懂，这时候洛必达往往分分钟出答案。高手怎么用呢，算出答案后。讨论下必要性充分性。试卷上不出现洛必达，但是逻辑上没有任何扣分理由。改卷老师懂，你也懂就够了。所以说基础好的高等数学当然可以用。但是要会不露痕迹的用。&/p&&p&高中常见的高等数学的方法超人老师几乎都录制视频讲了，有空的同学可以看看吧，别忘了点赞哦&/p&&p&&b&1、三视图篇&/b&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&三视图绝招秒杀土豪三色法屌丝排点法【视频讲解】&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&连线法秒杀三视图问题【视频讲解】&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&三色法秒杀百分之90三视图题目&/a&&/p&&p&&b&2、圆锥曲线篇&/b&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&齐次化处理秒杀双斜率定点定值问题&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&圆锥曲线中神奇的化椭为圆仿射变换【视频讲解】第一讲&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&圆锥曲线中神奇的化椭为圆仿射变换【视频讲解】第二讲面积&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&圆锥曲线中神奇的化椭为圆仿射变换【视频讲解】第三讲斜率&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&圆锥曲线中解决一类椭圆与双曲线共焦点问题&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&圆锥曲线技巧之神奇的蒙日圆&/a&&/p&&p&&b&3、向量篇&/b&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&向量妙招奔驰定理【视频讲解】&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&向量题型全归纳（1）三点共线定理【视频讲解】&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&向量题型全归纳（2）极化恒等式一多边形中【视频讲解】&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&向量题型全归纳（3）极化恒等式以圆为背景【视频讲解】&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&向量题型全归纳（4）极化恒等式以圆锥曲线为背景【视频讲解】&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&向量题型全归纳（5）等和线秒杀一类X+Y取值范围问题【视频讲解】&/a&&/p&&p&&b&4、导数篇&/b&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&泰勒公式秒杀高考导数压轴题&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&宋超：导数常用技巧和结论&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&天神下凡之导数压轴小题5秒一个【视频讲解】&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&高考居然会考拉格朗日中值定理&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&高考数学130分以上学生都会的技巧洛必达法则【视频讲解】&/a&&/p&&p&&b&5、立体几何篇&/b&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&外接球内切球绝招第九招【视频讲解】&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【数学超人】彻底搞定外接球内切球十种题型 必修三 立体几何【视频讲解】&/a&&/p&&p&&b&6、二项式排列组合篇&/b&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&什么？多项式定理都不会？从此三项式秒杀&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&排列组合另类隔板法【视频讲解】&/a&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&导数函数范围大招母函数神奇数字法&/a&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&排列组合另类隔板法【视频讲解】&/a&&/p&&p&&b&7、函数篇&/b&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&宋超：导数函数范围大招母函数神奇数字法&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&宋超：泰勒公式秒杀高考导数压轴题&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&神奇的奇函数+C模型【视频讲解】&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&隐函数在高中数学中的运用下大招求切线【视频讲解】&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&宋超：隐函数在高中数学中的运用【视频讲解】&/a&&/p&&p&&b&8、向量篇&/b&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&泰勒公式秒杀高考导数压轴题&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&高考立体几何法向量只要5秒求【视频讲解】&/a&&/p&&p&&b&9、数列篇&/b&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&数列求和可能这辈子不想求和【视频讲解】&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&什么等差数列求和只要三秒算【视频讲解】&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&错位相减法居然可以5秒口算【视频讲解】&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&数列裂项十一种方法全归纳【视频讲解】 数列提分课&/a&&/p&&p&&b&10、外挂篇&/b&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&阿波罗尼圆你不会的不会的解析几何技巧&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&射影定理秒杀解三角形【视频讲解】&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【超哥讲公式】可以说非常叼的海伦公式任意四边形面积公式你知道吗？【视频讲解】&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&超纲却十分好用的到角公式【视频讲解】&/a&&/p&&p&&b&11、学习指导无耻得分篇&/b&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&高考满分学霸教你真题性价比最高的使用方式【视频讲解】&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&你不得不看的高考数学无耻得分法&/a&&/p&
用肯定是不能直接用的，要不然也太不公平了，但是偷偷的用一下貌似也能省那么一丢丢时间，比如用向量叉乘算个法向量的啦，用隐函数求个切线啦，在比如这个问题下第一大争论子问题——洛必达法则到底扣分不扣分？关于这个问题各地学生说法不一，但是说扣分的…
&p&特征根求通项公式是个好东东，无奈看了这么多帖子，很少有写的很清楚的，本人目前是北京某机构一对一老师，怒答一枚。包含高中通项各种类型，有证明，有应用方法。当用特征方程无解时，记住了这个数列一定是周期数列，有解又分为等根和不等根的情况，都有详细过程和例题。本宝宝可是用word做的啊，输入公式真的好费劲，我眼睛看电脑都疼了，做成Word本人转成PDF,又做成图片，希望大家按照次序看，最后希望大家考试成功。&/p&&p&最后提醒大家，特征根的思想是为了帮助大家把复杂数列转化为等差或等比，解决的是思路问题，最后还得需要等差或等比求和，所以大家还是要重视基础。&/p&&p&看完有对国学和传统文化感兴趣的可以关注本人&i&&b&公众号：有酒可以留客谈&/b&&/i&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e8d2d9fe7c0b6d711daa1d542fe6e939_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e8d2d9fe7c0b6d711daa1d542fe6e939_r.jpg&&&/figure&&p&觉得推理啰嗦的直接看补充说明，求特征值在草稿纸上完成就行，记住相应的伪装技巧&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d596eb8ca0db326d0a6f_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d596eb8ca0db326d0a6f_r.jpg&&&/figure&&p&补充都跟大家总结了，好好看红色部分&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-fe903e8b4b05f9a931e7_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-fe903e8b4b05f9a931e7_r.jpg&&&/figure&&p&第三类直接以能在试卷使用的形式出现&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-5d02e2c9c2a6b_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-5d02e2c9c2a6b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-9f9f2d431c19c087d71d8e3f6c5f99be_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-9f9f2d431c19c087d71d8e3f6c5f99be_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b1b5c82addcd96d70b36dadb_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b1b5c82addcd96d70b36dadb_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-81b25ab8db439d9a97cbfb5_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-81b25ab8db439d9a97cbfb5_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c2e8e_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-c2e8e_r.jpg&&&/figure&&p&&/p&
特征根求通项公式是个好东东，无奈看了这么多帖子，很少有写的很清楚的，本人目前是北京某机构一对一老师，怒答一枚。包含高中通项各种类型，有证明，有应用方法。当用特征方程无解时，记住了这个数列一定是周期数列，有解又分为等根和不等根的情况，都有详…
&p&本人是北京地区兼职教师老师，爱好文学，力争把难的知识简单化，高等方法初等化，力争让广大学子多学东西，建议将此文与本人发的&i&&b&圆锥曲线优化算法&/b&&/i&结合起来看。&i&&b&北京地区学生有数、语补习需求的可以私底下联系本人，价格绝对比机构划算&/b&&/i&。圆锥曲线是高考的绝对重点，也是最难处理的，各种处理圆锥曲线题目的技巧不一而足，但这些方法都不系统。圆锥曲线难在哪，一是不好计算，二是不好想，对于简化圆锥曲线计算的技巧大致有双根，化齐次，曲线系方程、隐函数求导、柯西不等式等；对于解决思路大致有参数方程，我说的是从直线到椭圆，抛物线，双曲线所有的参数方程，极坐标方程(这部分是可以见光的奇技淫巧，可以直接用，学生也有所接触，我会在开头重点讲解)、仿射(只能在小题用，我会靠后讲)等，当然还有终极方法那就是极点极线的性质(放在第二部分讲)，不过高中生很难掌握，不是之前所有方法都掌握的情况本人不会祭出这个大杀器。此外欢迎对高考作文有兴趣的同学来我&b&&i&公众号：
有酒可以留客谈
&/i&另外导数奇技淫巧也已经更新，有兴趣的同学可以去看。&/b&&/p&&a data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&吴磊：导数题奇技淫巧&/a&&p&&b&&i&
做客。&/i&&/b&&/p&&ul&&li&
先来一首定场诗，没考虑押韵问题，个人最近原创，重在抒发个人感受，不喜欢的直接跳过。
数学老师都在努力学语文，那诸位有什么理由不学好数学呢，本人最喜欢踏实行动之人，正如本诗末尾写的千人之谔谔，无如一行者
&/li&&/ul&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-414a7e975cff192abc0a44_b.jpg& data-rawwidth=&558& data-rawheight=&350& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&558& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-414a7e975cff192abc0a44_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-be40cfbf5cd251b9ec9ba_b.jpg& data-rawwidth=&558& data-rawheight=&389& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&558& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-be40cfbf5cd251b9ec9ba_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-56e7f0e446e11f33d713_b.jpg& data-rawwidth=&558& data-rawheight=&235& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&558& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-56e7f0e446e11f33d713_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-889a3d3bb543f1de6b9371_b.jpg& data-rawwidth=&558& data-rawheight=&350& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&558& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-889a3d3bb543f1de6b9371_r.jpg&&&/figure&&p&开讲 &/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d7a5cc8d2873bba6ba55fa_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-d7a5cc8d2873bba6ba55fa_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-be8e4a22e61b9a571217b_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-be8e4a22e61b9a571217b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-f8a057c0fd5e_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f8a057c0fd5e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e767b03768a6fcd53c83dd_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e767b03768a6fcd53c83dd_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-71f5ec11f66f154c3d8c_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-71f5ec11f66f154c3d8c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a1fc21abee4ed_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-a1fc21abee4ed_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ebfeda361fe9_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-ebfeda361fe9_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f373f36febf5f77ce102cdb29b6f1c1c_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f373f36febf5f77ce102cdb29b6f1c1c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-674edcac47_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-674edcac47_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-acedfdb6ccaa33_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-acedfdb6ccaa33_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-6406fdb0dd7aedb625847ebec2d1b2ae_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-6406fdb0dd7aedb625847ebec2d1b2ae_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-1b65e0c3ca942d1afae1764_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-1b65e0c3ca942d1afae1764_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a559ce55364aba0ba1ee_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-a559ce55364aba0ba1ee_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b7e1a6bedd24eee48ab76c74b1879fa1_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b7e1a6bedd24eee48ab76c74b1879fa1_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-429adde0bd5d93b7a0bb_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-429adde0bd5d93b7a0bb_r.jpg&&&/figure&&p&---------------------------------------------------------------分割线-------------------------------------------------------------&/p&&p&
极点极线&/p&&p&各类参数方程和极坐标只是开胃小菜，他们可以简化思路，把各类圆锥曲线问题转化为三角函数问题。今天要讲烧脑的东西了，极点极线，
极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途径，真正学会这部分内容很多圆锥曲线定点定值可以一眼看出答案。
刷尽题目千千万，不如老老实实吃透极点极线这几页纸，一旦弄懂，你会体会到做圆锥曲线的无上快感，真的停都停不下来&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-b21b29a513dab8da5d55fa653d9f57d0_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-b21b29a513dab8da5d55fa653d9f57d0_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-665b6c22e5afcc89aab2e_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-665b6c22e5afcc89aab2e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-f94efca33a217476ccd50ac0f94d0f30_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f94efca33a217476ccd50ac0f94d0f30_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-228babbbe280f7cdac61_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-228babbbe280f7cdac61_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-afc6ea8cf680_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-afc6ea8cf680_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-5fea92398abab423bbaba_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-5fea92398abab423bbaba_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-325f8b000c11aec45cdf3ea49c3cae78_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-325f8b000c11aec45cdf3ea49c3cae78_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-d89b6881272ecf_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d89b6881272ecf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-8fdbbee7b10_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-8fdbbee7b10_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-edf6a168c1b417ff6a8a_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-edf6a168c1b417ff6a8a_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-2b001c44f5b80f9b43c66881e4bfd36b_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-2b001c44f5b80f9b43c66881e4bfd36b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-68cfdf4d556cc9d4aaaf_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-68cfdf4d556cc9d4aaaf_r.jpg&&&/figure&&p&---------------------------------------------------------分割线-----------------------------------------------------------------&/p&&p&
曲线系方程&/p&&p&虽然我不高考，可真有种迫不及待的感觉，本人牺牲休息，加班补全圆锥曲线技巧，有可能你因为这部分内容就做作对一个大题。下面我们将看到解析几何中最精彩部分,曲线系，利用好了曲线系未知点再多也不可怕，最终通过对比系数就能解决要求的问题。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-7542acc68f539e21dcbd5c10ddefaddf_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-7542acc68f539e21dcbd5c10ddefaddf_r.jpg&&&/figure&&p&看到这的童鞋想必看完极点极线了，想想这题第三问如何秒杀:点T（9,m）对应极线为&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-de7ea85b02df9e3a302c2a30ffa9028b_b.jpg& data-rawwidth=&558& data-rawheight=&92& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&558& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-de7ea85b02df9e3a302c2a30ffa9028b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-6ec50cc541abea943361_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-6ec50cc541abea943361_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-19d123f3851fcff974ce12a24d48f856_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-19d123f3851fcff974ce12a24d48f856_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c80bac83d7a8b899fc4ddb_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-c80bac83d7a8b899fc4ddb_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-6addaabe9f4176213fcd9bd6c52ccd3e_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-6addaabe9f4176213fcd9bd6c52ccd3e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-8ab716ac5de125e07eafd9b9d7d103ca_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-8ab716ac5de125e07eafd9b9d7d103ca_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ceac69dae3afbd_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-ceac69dae3afbd_r.jpg&&&/figure&&p&图应该是四点共圆的充要条件，写成表示圆了，大家注意&/p&&p&--------------------------------------------------------------分割线-------------------------------------------------------&/p&&p&
仿射变换&br&
仿射变换主要是把不规则图形转化成我们熟悉的图形，比如把椭圆变成圆，其实双曲线利用复数仿射也能变成圆，由于本种方法不能直接在大题使用，故本人只讲椭圆的情况，图片和例题都是现成的，本人主要讲解仿射前后斜率，面积以及距离到底怎么变化的，理解清楚原理就不用死记硬背公式。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-6bf2b994ab0_b.jpg& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&1168& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-6bf2b994ab0_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ff6d441cedf5a5061739_b.jpg& data-rawwidth=&725& data-rawheight=&1023& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&725& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-ff6d441cedf5a5061739_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-9fa1f04e897e1c26c1e1452_b.jpg& data-rawwidth=&725& data-rawheight=&1023& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&725& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-9fa1f04e897e1c26c1e1452_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-6a6d9ec45aee6_b.jpg& data-rawwidth=&558& data-rawheight=&356& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&558& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-6a6d9ec45aee6_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-79a874abc76b4eaafa600cbe7c3d6635_b.jpg& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&1168& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-79a874abc76b4eaafa600cbe7c3d6635_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-1b42b20dc137be061522cddee63a29b4_b.jpg& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&1168& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-1b42b20dc137be061522cddee63a29b4_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-841aa22bdc7aaa489dbda0_b.jpg& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&1168& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-841aa22bdc7aaa489dbda0_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d8ad1da2f5f3cabf7393fdd6eb1ab500_b.jpg& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&1168& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d8ad1da2f5f3cabf7393fdd6eb1ab500_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d4af56a500a1d8f05f1b167fb90e71d2_b.jpg& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&1168& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-d4af56a500a1d8f05f1b167fb90e71d2_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d4af56a500a1d8f05f1b167fb90e71d2_b.jpg& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&1168& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-d4af56a500a1d8f05f1b167fb90e71d2_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ca491d6d614c31c3bb80c_b.jpg& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&1168& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-ca491d6d614c31c3bb80c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-7feae0f0d89e_b.jpg& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&1168& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-7feae0f0d89e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ed08ab7aa03f4_b.jpg& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&1168& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-ed08ab7aa03f4_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-45f43a592db3de_b.jpg& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&1168& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-45f43a592db3de_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-dfbaadb84d34_b.jpg& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&1168& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-dfbaadb84d34_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-56c1edbc2ded5a6d306139_b.jpg& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&1168& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-56c1edbc2ded5a6d306139_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-0bad30b0a822ccfe8b61da414a6347fc_b.jpg& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&1168& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0bad30b0a822ccfe8b61da414a6347fc_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e527daef6160f_b.jpg& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&1168& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-e527daef6160f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-dcbe018d950_b.jpg& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&1169& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-dcbe018d950_r.jpg&&&/figure&&p&&/p&
本人是北京地区兼职教师老师，爱好文学，力争把难的知识简单化，高等方法初等化，力争让广大学子多学东西，建议将此文与本人发的圆锥曲线优化算法结合起来看。北京地区学生有数、语补习需求的可以私底下联系本人，价格绝对比机构划算。圆锥曲线是高考的绝对…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-217d76e03d593e909c65e_b.jpg& data-rawwidth=&545& data-rawheight=&375& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&545& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-217d76e03d593e909c65e_r.jpg&&&/figure&.&p&　　向量法是解高中立体几何题的神器。只要能建立空间直角坐标系的题，都可以用向量法来解，而这样的题目可以占到所有立体几何题的 95% 以上。与传统方法相比，向量法的计算量稍微大一些，但它的优点是不需要费脑筋做辅助线，而只需要简单粗暴地按套路进行计算，所以尤其适用于复杂的问题。&/p&&p&　　向量法的完整套路中，包含一种名为「叉积」的运算，它在部分地区是超出教学大纲的。但是没有「叉积」的向量法在很多情况下发挥不出它的魔力。本文就来把「叉积」这个缺口补上，让大家领略一下向量法的简单、粗暴、有效。当然啦，我知道你们会有「考试时不让用叉积」的抱怨。没关系，我会教你怎样把叉积「伪装」成不超纲的内容。&/p&&p&　　本文的第一部分将介绍向量间的点积、叉积两种运算，包括它们的定义、计算公式、运算律，以及向量法中直线和平面的方向的表示方法。高中立体几何题的大部分问题都是求角或求距离，本文的第二、三部分就来介绍各种角和距离用向量法怎么求。证明题一般是要证明线、面之间的平行或垂直，或者两个角的大小、两条线段的长度相等，都可以化归成求角或求距离。在第四部分，我会讲一下叉积在求面积、求体积这两种相对罕见的题型中的用法。最后展示一道例题。&/p&&h2&一、基础知识&/h2&&p&&b&　1.1 向量的点积运算&/b&&/p&&p&　　向量的点积是大纲之内的内容。设两个向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&，它们的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&的点积记作&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b}& eeimg=&1&&，读作「a 点乘 b」，或干脆读作「a 点 b」（「点」字常常儿化）。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b}& eeimg=&1&&是一个数，它等于&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&各自的模之积再乘以夹角的余弦：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C+%5Ccos+%5Ctheta& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta& eeimg=&1&&。当&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&垂直时，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+0& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b} = 0& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&　　点积运算适用于任何维度的向量，不过本文只讨论三维情况。在空间直角坐标系中，设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&的坐标为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%3D+%28x_1%2C+y_1%2C+z_1%29%2C+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%28x_2%2C+y_2%2C+z_2%29& alt=&\vec{a} = (x_1, y_1, z_1), \vec{b} = (x_2, y_2, z_2)& eeimg=&1&&，则&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b}& eeimg=&1&&可用这些坐标表达为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+x_1x_2+%2B+y_1y_2+%2B+z_1z_2& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2& eeimg=&1&&。&/p&&p&　　向量的点积具有交换律和分配律：&br&&/p&&br&&ul&&ul&&li&交换律：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%5Cvec%7Bb%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}& eeimg=&1&&&/li&&li&分配律：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%28%5Cvec%7Bb%7D+%2B+%5Cvec%7Bc%7D%29+%3D+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%2B+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bc%7D& alt=&\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}& eeimg=&1&&&/li&&/ul&&/ul&&p&但没有结合律，因为两个向量的点积是一个数，不能再与第三个向量进行点积运算。&/p&&p&&b&　1.2 向量的叉积运算&/b&&/p&&p&　　向量的叉积是本文要介绍的重点。&b&叉积仅对三维向量有定义&/b&。设两个三维向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&，它们的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&的叉积记作&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b}& eeimg=&1&&，读作「a 叉乘 b」，或干脆读作「a 叉 b」（「叉」字也可以儿化）。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b}& eeimg=&1&&是一个&b&向量&/b&，它具有以下性质：&/p&&ol&&ol&&li&它的模等于&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&各自的模之积再乘以夹角的正弦，即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%7C+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C+%5Csin+%5Ctheta& alt=&| \vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta& eeimg=&1&&；&/li&&li&它的方向与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&都垂直，且满足&b&右手定则&/b&，如下图所示。&/li&&/ol&&/ol&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-bcf9a0a639b75f27edeb4ab_b.jpg& data-rawwidth=&371& data-rawheight=&343& class=&content_image& width=&371&&&/figure&&p&　　右手定则有两种理解方式，如下图。一种是：伸出拇指和食指，让它们分别朝向&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&的方向，然后伸出中指让它与手掌垂直，则中指的方向就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b}& eeimg=&1&&的方向。另一种是：让四指从&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a}& eeimg=&1&&的方向弯向&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{b}& eeimg=&1&&的方向，并伸出拇指，则拇指的方向就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b}& eeimg=&1&&的方向。&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5039cbe610bffba3bd8078dad4c3c3e3_b.jpg& data-rawwidth=&509& data-rawheight=&282& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&509& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-5039cbe610bffba3bd8078dad4c3c3e3_r.jpg&&&/figure&&/p&&br&&p&当&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&平行时，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%5Cvec%7B0%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}& eeimg=&1&&（注意结果是&b&零向量&/b&）。&br&&/p&&p&　　在空间直角坐标系中，设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&的坐标为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%3D+%28x_1%2C+y_1%2C+z_1%29%2C+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%28x_2%2C+y_2%2C+z_2%29& alt=&\vec{a} = (x_1, y_1, z_1), \vec{b} = (x_2, y_2, z_2)& eeimg=&1&&，则&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b}& eeimg=&1&&可用这些坐标表达为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%28y_1z_2+-+z_1y_2%2C+%5C%2C+z_1x_2+-+x_1z_2%2C+%5C%2C+x_1y_2+-+y_1x_2%29& alt=&\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2 - z_1y_2, \, z_1x_2 - x_1z_2, \, x_1y_2 - y_1x_2)& eeimg=&1&&。这个公式可以用交叉相乘法来记忆：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-edc49f2f3787acaaf5197e_b.jpg& data-rawwidth=&435& data-rawheight=&248& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&435& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-edc49f2f3787acaaf5197e_r.jpg&&&/figure&注意，左、右两个交叉相乘是「捺减撇」，中间的交叉相乘是「撇减捺」。&/p&&p&　　向量的叉积具有&b&反交换律&/b&和分配律：&/p&&ul&&ul&&li&反交换律：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+-+%5Cvec%7Bb%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&分配律：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%28%5Cvec%7Bb%7D+%2B+%5Cvec%7Bc%7D%29+%3D+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%2B+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bc%7D& alt=&\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}& eeimg=&1&&&/li&&/ul&&/ul&&br&&p&两个向量的叉积是一个向量，可以继续与第三个向量进行叉积运算，但不幸的是，叉积运算也不满足结合律，即没有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D%29+%5Ctimes+%5Cvec%7Bc%7D+%3D+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%28%5Cvec%7Bb%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bc%7D%29& alt=&(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})& eeimg=&1&&。&/p&&p&&b&　1.3 直线与平面方向的表示&/b&&br&&/p&&p&　　在能建立空间直角坐标系的题目中，提到一条直线，一定会已知直线上两点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB& alt=&A,B& eeimg=&1&&的坐标。两个坐标的差就是直线的方向向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D& alt=&\overrightarrow{AB}& eeimg=&1&&，它可以表示直线的方向，在求角和求距离时都很有用。&/p&&p&　　而平面的方向，则是用与平面&b&垂直&/b&的向量来表示的，这个向量称为「法向量」。提到一个平面，一定会已知平面上不共线的三点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB%2CC& alt=&A,B,C& eeimg=&1&&的坐标，由此可以得到两个向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&。这两个向量的叉积就是平面的法向量。根据需要，可以选择&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&或&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAB%7D& alt=&\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}& eeimg=&1&&作为平面的法向量，这两个法向量大小相同，方向相反。&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-6f18980ed7abcec5fa3b1c_b.jpg& data-rawwidth=&544& data-rawheight=&275& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&544& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-6f18980ed7abcec5fa3b1c_r.jpg&&&/figure&　　在立体几何题中，叉积的主要用途就是求平面的法向量。如果考试时不允许在步骤中使用叉积运算，可以用如下方法绕过去：既然法向量就是与平面中两个已知向量都垂直的向量，那么可以设出法向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&的坐标&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_n%2Cy_n%2Cz_n%29& alt=&(x_n,y_n,z_n)& eeimg=&1&&，并利用&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&都垂直来列出两个方程。设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&的坐标分别为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_1%2C+y_1%2C+z_1%29%2C+%28x_2%2C+y_2%2C+z_2%29& alt=&(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)& eeimg=&1&&，则两个垂直可以用点积表示为：&/p&&blockquote&★ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%0Ax_1x_n+%2B+y_1y_n+%2B+z_1z_n+%3D+0+%5C%5C%0Ax_2x_n+%2B+y_2y_n+%2B+z_2z_n+%3D+0%0A%5Cend%7Barray%7D+%5Cright.& alt=&\left\{ \begin{array}{ll}
x_1x_n + y_1y_n + z_1z_n = 0 \\
x_2x_n + y_2y_n + z_2z_n = 0
\end{array} \right.& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&在试卷上列出这个方程组后，不必真正去解它，而是在草稿纸上根据&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&，利用交叉相乘法算出法向量坐标，直接把结果写到试卷上。但这种「伪装」具有一定的局限性——方程组只能解出法向量的方向，不能解出它的模，所以遇到需要使用叉积的模的场合，就绕不过去了。&/p&&h2&二、用向量法求各种角&/h2&&p&　　高中立体几何涉及的角度有：线线角、线面角、面面角。&/p&&p&&b&　2.1 求两条直线的夹角&/b&&/p&&p&　　设两条直线的方向向量分别为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2C+%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{a}, \vec{b}& eeimg=&1&&，它们的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。两条直线的夹角，就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi+-+%5Ctheta& alt=&\pi - \theta& eeimg=&1&&中较小的那个，它的余弦一定是非负的。由点积定义&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C+%5Ccos+%5Ctheta& alt=&\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta& eeimg=&1&&可得两个方向向量的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Carccos+%5Cfrac%7B%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D%7D%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D& alt=&\arccos \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}& eeimg=&1&&，于是两条直线的夹角就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Carccos+%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D& alt=&\arccos \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}& eeimg=&1&&。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c6adbbf10eb7bed_b.jpg& data-rawwidth=&572& data-rawheight=&225& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&572& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-c6adbbf10eb7bed_r.jpg&&&/figure&　　有同学要问了：上面的方法利用的是点积，那么利用叉积求得两条直线的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Carcsin+%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D& alt=&\arcsin \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}& eeimg=&1&&行不行呢？答案是：行，但是&b&叉积的计算量比点积大&/b&，所以优先选择点积。&/p&&br&&p&　　注意向量法并不要求两条直线共面，它&b&同样适用于异面直线&/b&！这就避免了传统方法中作平行线的麻烦。&br&&/p&&p&&b&　2.2 求直线与平面的夹角&/b&&/p&&p&　　设直线的方向向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a}& eeimg=&1&&，平面的法向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&，两个向量的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。容易看出，待求的线面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&&是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi+-+%5Ctheta& alt=&\pi - \theta& eeimg=&1&&中较小者的余角，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csin%5Calpha+%3D+%7C%5Ccos%5Ctheta%7C& alt=&\sin\alpha = |\cos\theta|& eeimg=&1&&。由点积定义，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C+%5Ccos+%5Ctheta& alt=&\vec{a} \cdot \vec{n} = |\vec{a}| |\vec{n}| \cos \theta& eeimg=&1&&，于是有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+%3D+%5Carcsin+%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D& alt=&\alpha = \arcsin \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| |\vec{n}|}& eeimg=&1&&。与 2.1 节相同，我们优先选择计算量小的点积运算，而不是叉积。&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-df0f89a2b82dee5e1251e01_b.jpg& data-rawwidth=&347& data-rawheight=&197& class=&content_image& width=&347&&&/figure&&/p&&p&　　请再次领略向量法的简单粗暴有效：传统方法中，要求线面角，必须找到直线与平面的交点，并作出直线在平面内的投影。而在向量法中，只要知道直线上的任意两点和平面中任意三点（不共线）的坐标，就可以代入公式计算出直线的方向向量和平面的法向量，再代入公式计算夹角，完全不必考虑五个已知点的位置关系。&/p&&p&&b&　2.3 求两个平面的夹角&/b&&/p&&p&　　设两个平面的法向量分别为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D%2C+%5Cvec%7Bm%7D& alt=&\vec{n}, \vec{m}& eeimg=&1&&，它们的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。两个平面的夹角，就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi+-+%5Ctheta& alt=&\pi - \theta& eeimg=&1&&中较小的那个。用与 2.1 节相同的方法，可以得到两个平面的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Carccos+%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bm%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bm%7D%7C%7D& alt=&\arccos \frac{|\vec{n} \cdot \vec{m}|}{|\vec{n}| |\vec{m}|}& eeimg=&1&&。&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-5d6a75bd7a4afebe4befc_b.jpg& data-rawwidth=&375& data-rawheight=&298& class=&content_image& width=&375&&&/figure&&p&　　在几何题中，提到「二面角」，往往指的不是两个「平面」的夹角，而是两个「半平面」的夹角——也就是说，求的是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi+-+%5Ctheta& alt=&\pi - \theta& eeimg=&1&&中特定的某一个。怎么知道是哪一个呢？还记得在求法向量的时候，可以人为选择箭头指向哪一头吗？只要让两个法向量&b&一个指向角外，一个指向角内&/b&（如上图），那么两个半平面构成的二面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&&，就一定是两个法向量的夹角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta+%3D+%5Carccos+%5Cfrac%7B%5Cvec%7Bn%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bm%7D%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bm%7D%7C%7D& alt=&\theta = \arccos \frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{|\vec{n}| |\vec{m}|}& eeimg=&1&&（注意分子上没有绝对值），而不是它的补角了。反之，如果两个法向量都指向角内或都指向角外，那么二面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&&就是法向量夹角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&的补角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi+-+%5Ctheta& alt=&\pi - \theta& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&　　用向量法求二面角，同样不需要找到两个面的交线和它在两个面内的垂线，而只需要知道两个面内六个点的坐标。在很多情况下，交线上会有两个已知点，那么就只需要在两个面中各再找一个点。&/p&&br&&h2&三、用向量法求各种距离&/h2&&p&　　点、线、面三种图形两两组合，可以得到六种距离：两点距、点线距、点面距、线线距、线面距、面面距。其中线面距、面面距只在线面或面面平行时才有定义，此时可以在直线或其中一个平面中任取一点，转化为点面距。因此这一部分将介绍前四种距离的求法。&/p&&p&&b&　3.1 求两点间的距离&/b&&/p&&p&　　设两点的坐标分别为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%28x_1%2Cy_1%2Cz_1%29%2C+B%28x_2%2Cy_2%2Cz_2%29& alt=&A(x_1,y_1,z_1), B(x_2,y_2,z_2)& eeimg=&1&&，则它们的距离为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7CAB%7C+%3D+%5Csqrt%7B%28x_1-x_2%29%5E2+%2B+%28y_1-y_2%29%5E2+%2B+%28z_1-z_2%29%5E2%7D& alt=&|AB| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}& eeimg=&1&&。&/p&&p&&b&　3.2 求点到直线的距离&br&&/b&&/p&&p&　　如图，设直线上任意一点到已知点的向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a}& eeimg=&1&&，直线的方向向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bb%7D& alt=&\vec{b}& eeimg=&1&&，两个向量的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。可以看出，点到直线的距离为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%5Csin+%5Ctheta& alt=&|\vec{a}| \sin \theta& eeimg=&1&&。由叉积的定义，有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%7C+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C+%5Csin+%5Ctheta& alt=&| \vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta& eeimg=&1&&，所以点到直线的距离就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C%7D& alt=&\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1f3fa64e5d2c14cf6b343e91d3296457_b.jpg& data-rawwidth=&419& data-rawheight=&172& class=&content_image& width=&419&&&/figure&　　这里为什么使用了计算量大的叉积，而不是点积呢？这是为了利用叉积定义中现成的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csin+%5Ctheta& alt=&\sin \theta& eeimg=&1&&。&/p&&p&&b&　3.3 求点到平面的距离&br&&/b&&/p&&p&　　如图，设平面上任意一点到已知点的向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a}& eeimg=&1&&，平面的法向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&，两个向量的夹角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&。可以看出，点到直线的距离为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Ccos+%5Ctheta%7C& alt=&|\vec{a}| |\cos \theta|& eeimg=&1&&（余弦取绝对值是因为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&可能是钝角）。由点积的定义，有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C+%5Ccos+%5Ctheta& alt=&\vec{a} \cdot \vec{n} = |\vec{a}| |\vec{n}| \cos \theta& eeimg=&1&&，所以点到平面的距离就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D& alt=&\frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-7c10fa086b4c_b.jpg& data-rawwidth=&365& data-rawheight=&216& class=&content_image& width=&365&&&/figure&　　点到平面的距离，其实是向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D& alt=&\vec{a}& eeimg=&1&&在法向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&上的投影长度，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D& alt=&\frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}& eeimg=&1&&也正是投影长度公式。&br&&/p&&p&&b&　3.4 求两条直线的距离&/b&&/p&&p&　　三维空间中直线有三种位置关系：相交、平行、异面。后两种情况都可以求距离，但方法不一样。若两条直线平行，则可在其中一条直线上任取一点，转化成求该点到另一条直线的距离。若两条直线异面，则可以按如下步骤求出它们的距离。设第一条直线上有两个已知点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB& alt=&A,B& eeimg=&1&&，第二条直线上有两个已知点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%2CD& alt=&C,D& eeimg=&1&&。首先，找一个向量与两条直线都垂直，这个向量可以是两条直线的方向向量的叉积&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BCD%7D& alt=&\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD}& eeimg=&1&&。然后，任作一条连结两条直线的线段（比如&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AC& alt=&AC& eeimg=&1&&），将它投影到&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D& alt=&\vec{n}& eeimg=&1&&上，投影长度&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7C%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C%7D& alt=&\frac{|\overrightarrow{AC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}& eeimg=&1&&就是异面直线的距离。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b5fbe67aff97b6fb7af5d784ad4e0d4_b.jpg& data-rawwidth=&266& data-rawheight=&209& class=&content_image& width=&266&&&/figure&　　我们看到，两条直线的位置关系不同时，它们的距离求法不一样。但向量法最有用的时候，正是图形的位置关系不清楚的时候。有没有简便的方法判断直线的位置关系呢？有！先不管三七二十一地计算「法向量」&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BCD%7D& alt=&\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD}& eeimg=&1&&，如果算出来发现是零向量，那么说明两条直线平行，转化成点线距。如果算出来法向量非零，那么就继续计算投影长度，如果投影长度为 0，说明两条直线相交，否则两条直线异面，投影长度是它们之间的距离。&h2&四、用向量法求三角形面积和四面体体积&/h2&&p&　　这两种题型在高中立体几何中出现的频率不高，但它们与高等数学中「行列式」的概念联系紧密，有兴趣的同学可以涉猎一下。&/p&&p&&b&　4.1 求三角形的面积&br&&/b&&/p&&p&　　设三角形三个顶点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB%2CC& alt=&A,B,C& eeimg=&1&&的坐标均已知，则三角形的面积为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7CAB%7C+%7CAC%7C+%5Csin+%5Cangle+A& alt=&S = \frac{1}{2} |AB| |AC| \sin \angle A& eeimg=&1&&。而由叉积的定义，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%7C+%3D+%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D%7C+%7C%5Coverrightarrow%7BAC%7D%7C+%5Csin+%5Cangle+A& alt=&|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \sin \angle A& eeimg=&1&&，所以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%7C& alt=&S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&　　这个公式同样适用于平面几何，此时&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB%2CC& alt=&A,B,C& eeimg=&1&&的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&坐标均为 0。设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%3D+%28x_1%2C+y_1%2C+0%29& alt=&\overrightarrow{AB} = (x_1, y_1, 0)& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%3D+%28x_2%2C+y_2%2C+0%29& alt=&\overrightarrow{AC} = (x_2, y_2, 0)& eeimg=&1&&，则&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%3D+%280%2C+0%2C+x_1y_2+-+y_1x_2%29& alt=&\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (0, 0, x_1y_2 - y_1x_2)& eeimg=&1&&。这个向量的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&坐标的绝对值的一半就是三角形&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ABC& alt=&ABC& eeimg=&1&&的面积，而&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&坐标的绝对值是以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AB%2CAC& alt=&AB,AC& eeimg=&1&&为邻边的平行四边形的面积。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&坐标的正负号，表示在平面中从&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D& alt=&\overrightarrow{AB}& eeimg=&1&&到&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&是逆时针还是顺时针旋转，因此&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&坐标也称为平行四边形的&b&有向面积&/b&。&br&&/p&&p&　　把&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}& eeimg=&1&&的二维坐标排成两行两列&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%7C+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D+x_1+%26+y_1+%5C%5C+x_2+%26+y_2+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%7C& alt=&\left| \begin{array}{cc} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{array} \right|& eeimg=&1&&，这个东西称为「行列式」，它的值是一个数。二阶行列式的计算公式是「交叉相减」：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%7C+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D+x_1+%26+y_1+%5C%5C+x_2+%26+y_2+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%7C+%3D+x_1y_2+-+y_1x_2& alt=&\left| \begin{array}{cc} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{array} \right| = x_1y_2 - y_1x_2& eeimg=&1&&。二阶行列式对应着平面中两个向量的叉积，其几何意义就是「平行四面体的有向面积」。&/p&&br&&p&&b&　4.2 求四面体的体积&br&&/b&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-84ec92aa63b4a1e19a21c_b.jpg& data-rawwidth=&346& data-rawheight=&295& class=&content_image& width=&346&&&/figure&　　设四面体四个顶点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB%2CC%2CD& alt=&A,B,C,D& eeimg=&1&&的坐标均已知。由 4.1 节，底面三角形&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ABC& alt=&ABC& eeimg=&1&&的面积为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7C+%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%7C& alt=&\frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} |& eeimg=&1&&；而四面体的高是顶点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&&到底面的距离，由 3.3 节，这个距离为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h+%3D+%5Cfrac%7B%7C%5Coverrightarrow%7BAD%7D+%5Ccdot+%28%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%29%7C%7D+%7B%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%7C%7D& alt=&h = \frac{|\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})|} {|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|}& eeimg=&1&&。四面体的体积为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7DSh+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%7C%5Coverrightarrow%7BAD%7D+%5Ccdot+%28%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%29%7C& alt=&V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{6}|\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})|& eeimg=&1&&。&/p&&p&　　上述结果去掉&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D& alt=&\frac{1}{6}& eeimg=&1&&后剩下的部分&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Coverrightarrow%7BAD%7D+%5Ccdot+%28%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%29%7C& alt=&|\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})|& eeimg=&1&&，是以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AB%2CAC%2CAD& alt=&AB,AC,AD& eeimg=&1&&为三边的平行六面体的体积。再去掉绝对值，剩下的部分称为向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAD%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}& eeimg=&1&&的&b&混合积&/b&，它表示了平行六面体的&b&有向体积&/b&——若从角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&内部观察，向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%2C+%5Coverrightarrow%7BAD%7D& alt=&\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}& eeimg=&1&&呈逆时针排列，则体积为正，反之为负。&/p&&br&&p&　　设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%3D+%28x_1%2C+y_1%2C+z_1%29& alt=&\overrightarrow{AB} = (x_1, y_1, z_1)& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAC%7D+%3D+%28x_2%2C+y_2%2C+z_2%29& alt=&\overrightarrow{AC} = (x_2, y_2, z_2)& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAD%7D+%3D+%28x_3%2C+y_3%2C+z_3%29& alt=&\overrightarrow{AD} = (x_3, y_3, z_3)& eeimg=&1&&。容易验证，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAD%7D+%5Ccdot+%28%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BAC%7D%29+%3D+x_1y_2z_3+%2B+y_1z_2x_3+%2B+z_1x_2y_3+-+x_1z_2y_3+-+y_1x_2z_3+-+z_1y_2x_3& alt=&\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) = x_1y_2z_3 + y_1z_2x_3 + z_1x_2y_3 - x_1z_2y_3 - y_1x_2z_3 - z_1y_2x_3& eeimg=&1&&。这正是三阶行列式&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%7C+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D+x_1+%26+y_1+%26+z_1+%5C%5C+x_2+%26+y_2+%26+z_2+%5C%5C+x_3+%26+y_3+%26+z_3+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%7C& alt=&\left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{array} \right|& eeimg=&1&&的计算公式。三阶行列式对应着三维空间中三个向量的混合积，其几何意义是「平行六面体的有向体积」。&/p&&br&　　行列式的概念还可以推广到更高维的空间。从同一个点出发的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&个&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维向量的坐标排成的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&阶行列式，代表了以这些向量为边的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维「超平行体」的「有向超体积」。&h2&五、一道例题&/h2&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-217d76e03d593e909c65e_b.jpg& data-rawwidth=&545& data-rawheight=&375& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&545& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-217d76e03d593e909c65e_r.jpg&&&/figure&　　图中是一座金字塔。它是一个正四棱锥，底面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ABCD& alt=&ABCD& eeimg=&1&&是一个边长 10 米的正方形，各个侧面都是正三角形。在底边&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=BC& alt=&BC& eeimg=&1&&的中点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&处竖立着一根高&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%5Csqrt%7B2%7D& alt=&2\sqrt{2}& eeimg=&1&&米的火把&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=FG& alt=&FG& eeimg=&1&&。&/p&&ol&&ol&&li&求金字塔相邻侧面所成的二面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A-EB-C& alt=&A-EB-C& eeimg=&1&&。&/li&&li&求金字塔的棱&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AE& alt=&AE& eeimg=&1&&所在直线与底边&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=BC& alt=&BC& eeimg=&1&&所在直线的距离。&/li&&li&求火苗&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&到棱&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=BE& alt=&BE& eeimg=&1&&所在直线的距离。&/li&&/ol&&/ol&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a1dffae48f5fce4a8520a61_b.jpg& data-rawwidth=&717& data-rawheight=&478& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&717& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-a1dffae48f5fce4a8520a61_r.jpg&&&/figure&&p&&b&解：&/b&如上图建立空间直角坐标系，原点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=O& alt=&O& eeimg=&1&&为底面中心。容易求得下列各点坐标：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%285%2C+-5%2C+0%29%2C+B%285%2C+5%2C+0%29%2C+C%28-5%2C+5%2C+0%29%2C+F%280%2C+5%2C+0%29%2C+G%280%2C+5%2C+2%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&A(5, -5, 0), B(5, 5, 0), C(-5, 5, 0), F(0, 5, 0), G(0, 5, 2\sqrt{2})& eeimg=&1&&（单位均为米，下略）。金字塔的高未知，设顶点的坐标为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=E%280%2C0%2Ch%29& alt=&E(0,0,h)& eeimg=&1&&。由于侧面都是等边三角形，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=EB+%3D+%5Csqrt%7B5%5E2+%2B+5%5E2+%2B+h%5E2%7D+%3D+10& alt=&EB = \sqrt{5^2 + 5^2 + h^2} = 10& eeimg=&1&&，解得&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h+%3D+5%5Csqrt%7B2%7D& alt=&h = 5\sqrt{2}& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&&b&求二面角&/b&&b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A-EB-C& alt=&A-EB-C& eeimg=&1&&：&/b&侧面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=EBC& alt=&EBC& eeimg=&1&&的一个法向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BBC%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BBE%7D+%3D+%28-10%2C+0%2C+0%29+%5Ctimes+%28-5%2C+-5%2C+5%5Csqrt%7B2%7D%29+%3D+%280%2C+50%5Csqrt%7B2%7D%2C+50%29& alt=&\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BE} = (-10, 0, 0) \times (-5, -5, 5\sqrt{2}) = (0, 50\sqrt{2}, 50)& eeimg=&1&&，不妨缩短成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bn%7D+%3D+%280%2C+%5Csqrt%7B2%7D%2C+1%29& alt=&\vec{n} = (0, \sqrt{2}, 1)& eeimg=&1&&，它指向二面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A-EB-C& alt=&A-EB-C& eeimg=&1&&外部。侧面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=EAB& alt=&EAB& eeimg=&1&&的一个法向量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BBA%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BBE%7D+%3D+%280%2C+-10%2C+0%29+%5Ctimes+%28-5%2C+-5%2C+5%5Csqrt%7B2%7D%29+%3D+%28-50%5Csqrt%7B2%7D%2C+0%2C+-50%29& alt=&\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BE} = (0, -10, 0) \times (-5, -5, 5\sqrt{2}) = (-50\sqrt{2}, 0, -50)& eeimg=&1&&，不妨缩短成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bm%7D+%3D+%28-%5Csqrt%7B2%7D%2C+0%2C+-1%29& alt=&\vec{m} = (-\sqrt{2}, 0, -1)& eeimg=&1&&，它指向二面角&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A-EB-C& alt=&A-EB-C& eeimg=&1&&内部。二面角的大小就是法向量的夹角，即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Carccos+%5Cfrac%7B%5Cvec%7Bn%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bm%7D%7D%7B%7C%5Cvec%7Bn%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bm%7D%7C%7D+%3D+%5Carccos+%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright%29& alt=&\arccos \frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{|\vec{n}| |\vec{m}|} = \arccos \left(-\frac{1}{3}\right)& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&&b&求直线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AE& alt=&AE& eeimg=&1&&与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=BC& alt=&BC& eeimg=&1&&的距离：&/b&先求一个与两条直线都垂直的向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAE%7D+%5Ctimes+%5Coverrightarrow%7BBC%7D+%3D+%28-5%2C+5%2C+5%5Csqrt%7B2%7D%29+%5Ctimes+%28-10%2C+0%2C+0%29+%3D+%280%2C+-50%5Csqrt%7B2%7D%2C+50%29& alt=&\overrightarrow{AE} \times \overrightarrow{BC} = (-5, 5, 5\sqrt{2}) \times (-10, 0, 0) = (0, -50\sqrt{2}, 50)& eeimg=&1&&，不妨缩短成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bl%7D+%3D+%280%2C+-%5Csqrt%7B2%7D%2C+1%29& alt=&\vec{l} = (0, -\sqrt{2}, 1)& eeimg=&1&&。将&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%3D+%280%2C+10%2C+0%29& alt=&\overrightarrow{AB} = (0, 10, 0)& eeimg=&1&&投影到这个向量上，投影长度为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bl%7D%7C%7D%7B%7C%5Cvec%7Bl%7D%7C%7D+%3D+%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D+%5Csqrt%7B6%7D& alt=&\frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \vec{l}|}{|\vec{l}|} = \frac{10}{3} \sqrt{6}& eeimg=&1&&，这就是直线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AE& alt=&AE& eeimg=&1&&与&img src=&https://www.zhihu.com/equa}