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离散数学 第七章
&&离散数学
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你可能喜欢一、定义概念
1.哈密顿通路
& & & & &设G=&V,E&为一图（无向图或有向图）.G中经过每个顶点一次且仅一次的通路称作哈密顿通路
2.哈密顿回路
& & & & &G中经过每个顶点一次且仅一次的回路（通路基础上+回到起始点）称作哈密顿回路
3.哈密顿图
& & & & 若G中存在哈密顿回路，则称它是哈密顿图
4.定义详解：
& & & &（1）存在哈密顿通路（回路）的图一定是连通图；
& & & &（2）哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路；
& & & &（3）若G中存在哈密顿回路，则它一定存在哈密顿通路，反之不真（看课本的话，是必要条件，而不是充分条件，故不可反推！）
& & & &（4）只有哈密顿通路，无哈密顿回路的图不叫哈密顿图；即，哈密顿图是回路
二、判定定理
注意：目前没有找到哈密顿图的简单的充要条件
& & & &（1）设无向图G=&V,E&为哈密顿图，V1是V的任意真子集，则（注：n阶xx图指的是n个顶点，不要迷！）
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & p(G-V1)&=|V1|
& & & &其中，p(G-V1)为G中删除V1后的所得图的连通分支数目，|V1|为V1集合中包含的顶点个数。【哈密顿图存在的必要条件】
& & &&&推论：有割点的图一定不是哈密顿图
& & & &设v是图中的割点，则p(G-v)&=2,由上述定理知G不是哈密顿图
& & & &（2）设G是n(n&=3)阶无向简单图，若对于G中的每一对不相邻的顶点u,v,均有
&&&&&&d(u)+d(v)&=n-1
& & & &则G中存在哈密顿通路。又若
d(u)+d(v)&=n
& & & &则G中存在哈密顿回路，即G为哈密顿图。【哈密顿图存在的充分条件，不是必要条件】
& & & &其中d(u),d(v)分别代表顶点u,v的度数。
& & & &推论：设G是n(n&=3)阶无向简单图，若G的最小度&=n/2,则G是哈密顿图。
& & & &由推论知，对于完全图Kn,当n&=3时，是哈密顿图，完全二部图Kr,s当r==s&=2时是哈密顿图。
& & & &（3）在n(n&=2)阶有向图D=&V,E&中，如果略去所有有向边的方向，所得无向图中含生成子图Kn,则D中存在哈密顿通路。
& & & &推论：n(n&=3)阶有向完全图是哈密顿图。
1.常用方法判断是哈密顿图：
& & & &（1）若能通过观察找出图G中的一条哈密顿回路，则G当然是哈密顿图。
& & & &（2）若一个无向图G满足上述（2）中的条件，一个有向图D满足上述（3）的推论的条件，则G、D都是哈密顿图。
2.破坏哈密顿图存在的必要条件，判定不是哈密顿图：
& & & &设n阶图G是哈密顿图，则G应该满足以下诸条件：
& & & &（1）G必须是连通图；
& & & &（2）G中的边数m必须大于等于顶点数n；
& & & &（3）若G中存在2度顶点v,即d(v)=2,则与v关联的两条边ei,ej必须在G中的任何哈密顿回路上；
& & & &（4）若G中存在每条哈密顿回路中出现的边，不能构成边数小于n的初级回路（圈）；
破坏以上诸条件中的一条，都不是哈密顿图。
加一道例题：证明：某次国际会议8人参加已知每人至少与其余7人中的4人有共同语言问服务员能否将他们安排在同一张圆桌就坐是的每个人都能与两边的人交谈？请用图论中的原理来解释原因。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ==d(任意顶点)&=4;
任意选取两个不相邻顶点（i,j）
d(i)+d(j)&=4+4&8-1;
故存在哈密顿通路（即可以遍历顶点一圈（每个一次）--成为圈----对应一张圆桌）
阅读(...) 评论()1959 年&William Rowan Hamilton 发明了一个小玩具，这个玩具是一个木刻的正十二面体，每面系正五角形，三面交于一角，共 20 个角，没每个角上标有世界上一个重要城市。他提出一个问题：要求沿着正十二面体的边寻找一条路，通过 20 个城市，而每个城市只通过一次，最后返回原地。Hamilton 将此问题称为周游世界问题，并且坐了肯定的回答。
上面提到的问题就是经典的 Hamilton 回路问题。
当然，还有另一个著名的回路问题&&欧拉回路问题，不同于 Hamilton 回路问题，欧拉问题已经得到了圆满解决
二、一些定义
设无向图 G=(V, E)，其中 V 是点集，E 是边集， n=|V| 表示图中点的数量，m=|E| 表示图中边的数量
Hamilton 通路：经过图 G 中每个节点一次且仅一次的通路称为 Hamilton 通路
　　特点：包含图 G 中所有顶点，通路上各顶点不重复
Hamilton 回路：经过图 G 中每个节点一次且仅一次的回路称为 Hamilton 回路
　　特点：包含图 G 中所有顶点，回路中，除了起点和终点相同之外，回路上各点不重复
Hamilton 图：存在 Hamilton 回路的图称为 Hamilton 图
Hamilton 通路问题转化为 Hamilton 回路问题：
　　一个可行的做法是枚举通路的起点和终点，添加一条边，转化为对应 Hamilton 回路问题
三、Hamilton 图的判定
众所周知，现在没有判断图中是否存在 Hamilton 通路、Hamilton 回路的简单判定定理，我们只能对节点较少的图凭经验去判定，下面给出的是一些必要条件和充分条件以及相应的简单证明
PS：这些证明当然不是我写的啦，都是抄的书上的，不过我都理解了
1、必要条件：
定理1：设无向图 G=(V, E) 是 Hamilton 图，V1 是 V 的任意非空子集，则：p(G-V1)&|V1|（其中：p(G-V1) 表示从 G 中删除 V1 后得到的图的联通分支的数量）
考虑 G 的一条 Hamilton 回路 C，显然 C 是 G 的生成子图，从而 C-V1 也是 G-V1 的生成子图，且有 p(G-V1)&p(C-V1)，因此只需要证明 p(C-V1)&|V1|即可。
下面分两种情况讨论：
　　（1）、V1 中节点在 C 中均相邻，删除 C 上 V1 中各点及关联的边后，C-V1 仍是联通的，但已非回路，因此 p(C-V1)=1&|V1|
　　（2）、V1 中节点在 C 中存在 r(2&r&|V1|) 个互不相邻，删除 C 上 V1 中各点及关联的边后，将 C 分为互不相连的 r 段，即 p(C-V1)=r&|V1|
一般情况下，V1 中的点在 C 中既有相邻的也有不相邻的，因此总有&p(C-V1)&|V1|
又因为 C 是 G 的生成子图，从而 C-V1 也是 G-V1 的生成子图，故有：p(G-V1)&p(C-V1)&|V1|
推论1.1：设无向图 G=(V, E) 中存在 Hamilton 通路，则对 V 的任意非空子集 V1，都有 p(G-V1)&|V1|+1
上面的定理和推论在用来判断一个图是否存在 Hamilton 回路（通路）时非常有用
2、充分条件：
定理2：设 G=(V, E) 是具有 n 个节点的简单无向图（|V|=n），如果对于任意的两个不相邻的节点 u, v&V，均有 deg(u)+deg(v)&n-1，则 G 中一定存在 Hamilton 通路
首先证明满足上述条件的图是一个联通图，然后用&延长通路法&找出一条 Hamilton 通路
（1）、反证法证明满足上述条件的图是一个连通图：
假设 G 有两个或者更多联通分支。设一个联通分支有 n1 个节点，另一个联通分支有 n2 个节点。这两个联通分支中分别有节点 v1 和节点 v2。显然：deg(v1)&n1-1，deg(v2)&n2-1。从而：deg(v1)+deg(v2)&n1+n2-2&n-2，与已知条件"对于任意的两个不相邻的节点 u, v&V，均有 deg(u)+deg(v)&n-1"矛盾，故 G 是联通的
（2）、证明 G 中存在 Hamilton 通路
设 p=v1v2...vk 为 G 中用&延长通路法&得到的&极大基本通路&，即 p 中的始点 v1 和终点 vk 不与 p 外的节点相邻，显然 k&n
　　（Ⅰ）、若 k=n，则 p 为 G 中经过所有节点的通路，即为 Hamilton 通路
　　（Ⅱ）、若 k&n，说明 G 中还存在 p 外的节点，但此时可以证明存在仅经过 p 上所有节点的基本回路，证明如下：
　　　　（a）、若在 p 上 v1 与 vk 相邻，则 v1v2...vkv1 为仅经过 p 上所有节点的基本回路
　　　　（b）、若在 p 上 v1 不与 vk 相邻，假设 v1 在 p 上与 vi=v2,vi2,vi3，...，vij 相邻（j 必然大于等于 2，否则 deg(v1)+deg(vk)&1+k-2&n-1），此时，vk 必定与&vi2,vi3，...，vij&中相邻的节点&vi2-1,vi3-1，...，vij-1 至少一个相邻（否则 deg(v1)+deg(vk)&j+k-2-(j-1)=k-1&n-1）。设 vk 与 vir-1(2&r&j) 相邻，如下图所示：在 p 中添加边 (v1, vir)，(vk, vir-1)，删除边 (vir-1, vir) 得到基本回路：C=v1v2...vir-1vkvk-1...virv1
　　　　 &　&
　　（Ⅲ）、证明存在比 p 更长的通路
　　 &　　因为&k&n，所以 V 中还有一些节点不在 C 中，由 G 的联通性可知，存在 C 外的节点与 C 上的节点相邻，不妨设 vk+1&V-V(C)，且与 C 上的节点 vt 相邻，在 C 中删除边 (vt-1, vt)，添加边 (vt, vk+1) 从而得到通路 p'=vt-1...v1vir...vkvir-1...vtvk+1，如下图所示，显然，p& 比 p 长 1，且 p& 上有 k+1 个不同的节点。
　　　　　　
对 p& 重复 （Ⅰ）~（Ⅲ），得到 G 中 Hamilton 通路或比 p& 更长的基本通路，由于 G 中节点数目有限，故在有限步内一定能得到 G 中一条 Hamilton 通路
推论2.1：设 G=(V, E) 是具有 n 个节点的简单无向图，如果对于任意两个不相邻的节点&u, v&V，均有 deg(u)+deg(v)&n，则 G 中一定存在 Hamilton 回路
需要指出的是，推论2.1就是著名的 Ore 定理
推论2.2：设 G=(V, E) 是具有 n 个节点的简单无向图，n&3，如果对于任意的 u&V，均有 deg(v)&n/2，则 G 是 Hamilton 图
四、刷题练手
额，暂时只写了一道题目，还是非常裸的求 Hamilton 回路的题目 :&
题目大意：给一个含有 n(2&n&1000) 个点的无向图，图中每个顶点至少有 (n+1)/2 个相邻点，让求一条 Hamilton 回路
注意到 "每个顶点至少有 (n+1)/2 个相邻点" 这句话，满足 Ore 定理，直接构造解即可，构造的方法就是在证明定理 2 时使用的方法
1 #include &cstring&
2 #include &cstdio&
3 #include &iostream&
4 #include &list&
6 using namespace
8 struct Hamilton_Circuit {
static const int N=1006;
bool G[N][N], vs[N];
int n, next[N], head,
void init(int _n) {
memset(G, 0, sizeof G);
void DFS_Head(int u) {
for(int i=0; i&n; i++) if(G[i][u] && !vs[i]) {
next[i]=u;
DFS_Head(i);
void DFS_Tail(int u) {
for(int i=0; i&n; i++) if(G[u][i] && !vs[i]) {
next[u]=i;
DFS_Tail(i);
void Reverse(int u) {
for(int i=next[u], temp, last=-1; i!=-1; i=temp) {
temp=next[i];
tail=next[u];
int Find(int u) {
for(int i= i!=-1; i=next[i]) {
if(G[u][next[i]]) return
return -1;
bool Extend(int u) {
if(G[u][head]) {
int pre=Find(u);
if(pre==-1) return 0;
next[u]=next[pre];
next[tail]=
next[tail=pre]=-1;
void Solve() {
memset(next, -1, sizeof next);
memset(vs, 0, sizeof vs);
DFS_Head(0), DFS_Tail(0);
int Len=1;
for(int i= i!= i=next[i], Len++);
for(int 1; ) {
if(!G[tail][head]) {
for(i=next[head]; !(G[i][tail] && G[next[i]][head]); i=next[i]);
Reverse(i);
if(Len==n) break;
for(i=0; i&n; i++) if(!vs[i] && Extend(i)) {
head=i, vs[i]=1, Len++;
void PRINT() {
for(int i= head!=0; i=next[i]) {
next[tail]=
head=next[head];
next[tail]=-1;
for(int i= i!=-1; i=next[i]) {
printf("%d", i+1);
if(next[i]==-1) printf(" 1\n");
else printf(" ");
104 Hamilton_C
107 int main() {
scanf("%d", &n);
fuck.init(n);
for(int i=0; i&n; i++) {
for(int ; ) {
scanf("%d", &x);
fuck.G[i][x-1]=1;
x=getchar();
if(x=='\n' || x=='\r' || x==EOF) break;
fuck.Solve();
fuck.PRINT();
阅读(...) 评论()按需分风网风量调节的通路公共分支法--《煤炭工程师》1993年05期
按需分风网风量调节的通路公共分支法
【摘要】：文章提出了按需分风网风量调节的通路公共分支法及其相应的计算机算法,用这种方法可以快速求得既能满足风量供需矛盾和风量、风压平衡定律,又能符合客观实际的最佳调节方案.该方法的一个最大特点是将相关通路的相同调节量均加于其公共分支上,抓住了各回路的共性,避免了回路间调节设施的互相影响,从而在满足矿井总能耗最小的同时保证了调节设施的数量最少.
【作者单位】：
欢迎：、、)
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【引证文献】
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李湖生;[J];煤炭工程师;1997年01期
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【参考文献】
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张惠忱;[J];煤矿安全;1986年10期
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【共引文献】
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