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大学数学不定积分.ppt 18页
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大学数学不定积分
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第不定积分 不定积分的概念与基本积分公式 换元积分法 分部积分法 几类特殊函数的不定积分 7.1不定积分的概念和基本积分公式 原函数和不定积分 基本积分公式表 不定积分的线性运算法则 求导（微分）运算 不定积分运算 一、不定积分的定义 求？ 定义: 已知一个函数求这个函数的导数 已知一个函数的导数求这个函数 首先介绍原函数的概念 一、原函数与不定积分的概念 例如： 理解定义： (1)
一个函数的原函数不是唯一的.
因为 即：一个函数存在原函数, 其原函数必有无限多个. (2)
f (x) 的原函数的一般形式是 F(x) + C.
几何意义： o x x y F(x) + C 曲线 F(x) 上
函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。 函数f(x)的积分曲线也有无限多条。 函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线， 而f(x)正是积分曲线的斜率。 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ 例 （
为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 原函数的结构定理 若F(x)是函数f(x)在区间Ⅰ的一个原函数，则函数f(x)的无限多个函数仅限于F(x)+C的形式. 一个函数的无限多个原函数彼此仅相差一个常数。 如果欲求函数f(x)的所有的原函数，只需求出函数f(x)的一个原函数F(x) ，然后再加上任意常数C，就得到函数的所有的原函数F(x)+C 。 关于原函数的说明： （1）若
，则对于任意常数
， （2）若
的原函数， 则 （
为任意常数） 证 （
为任意常数） 一个函数的无限多个原函数彼此仅相差一个常数。 积分常数 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量
定义 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分， 根据定义，如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则 注1.
一个函数的不定积分既不是一个数, 也不是一个函数,
而是一个函数族. 例如： 注2.
f (x)的所有的原函数 F(x) + C
称为 f (x) 的不定积分. (用集合形式表示这个函数族) 二、不定积分的基本公式 由不定积分定义
不定积分和微分运算是互逆的运算，由由此得基本积分公式表.
P.327 (熟记) 这些基本公式和导数基本公式相对应 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 基本积分表 ? 证明： (注意) 三、不定积分的运算法则（性质） 由微分运算易得： 注：法则1可推广到 n个（有限）函数的代数和的情形. 基本积分表(1) 不定积分的性质
原函数的概念： 不定积分的概念： 互逆关系 四.小结 * ige * p * ige * p
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这里入选原则是必须配得起&经典&二字。知识范围要求不超过大二数学系水平，尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是&函数的函数&，即&定义域&不是区间，而是&一堆&函数。最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。5）填满正方形的连续曲线。数学总是充满神奇与不可思议，以前人们总是以为曲线是一维的，但是皮亚诺却发现了一条可以填满正方形的连续曲线。结果人们不得不重新审视以往对曲线的看法。BTW：先写到这里，明天接着写另外5个。1345中的例子可以在《数学分析新讲》中找到。6)重积分变量替换定理。该定理可以说是数学分析中比较大的一个定理，选择它的理由是因为其具有微积分的显著特征，即用一般化的通法代替特殊化技巧性的方法。微积分的出现解决了不少以前从为解决的难题，使数学一般化了。比如求面积，你不再像以往那样使用特殊的分割技巧，然后求和求极限了，而且范围也更广泛了。7）泰勒级数和傅立叶级数是如何发现的。注意这里是发现，而不是证明。教材中对于一个定理，往往是直接列出定理，接着证明，最后举例。但是对于数学思想阐述不够，尤其是对定理的&发现&过程介绍甚少，而这和定理本身同样重要。泰勒级数和傅立叶级数源自于人们这样朴素的思想，即用简单函数表示复杂函数。而人们所熟悉的简单函数要数幂函数（整数次）和三角函数了。泰勒级数来自泰勒多项式，而后者是泰勒从牛顿差分法中得到的，而且非常不严密。傅立叶级数是傅立叶用分离变量法解热传导方程（二阶抛物型偏微分方程）时得到的。此前欧拉等人也曾得到过类似结果，不过他们大都持怀疑态度。谁会想到任意一个连续函数可以用和它根本不像的三角函数表示呢？人们对于无穷的认识还很少。关于泰勒级数和傅立叶级数是如何发现，大家可以参考《古今数学思想》二三册。8）多项式逼近连续函数。泰勒级数提供了用简单函数研究
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