起初，神创造逻辑&br&逻辑是空虚的。神的零运行在水面上，这是trivial的&br&神说，要有集合，于是就有了集合&br&神看集合是好的，就将其公理化&br&有集合，有运算，就是一个代数结构&br&&br&神照自己的样子造人。于是神创造了0&br&神在东方的伊甸建立了一个园子，称之为群&br&神将0安置在那里，让它作单位元&br&起初，伊甸园是平凡的&br&神说，园中所有果子你可以随便吃，只有后继树上果子，你不能吃。因为你吃的时候必死&br&&br&神说，那人独居不好。于是要为它造一个配偶&br&神让0沉睡，取它的后继数1&br&神把1带到伊甸园，让它和0配对，二人从此一起生活&br&神教给他们加法的运算，让他们可以互相交合&br&0依然是伊甸园的单位元&br&0的逆元是0，1的逆元是1，0和1彼此交合则又得到1&br&&br&神所造的，惟有皮亚诺比一切的活物更狡猾&br&皮亚诺对1说，神岂是真说不许你们吃园中所有树上的果子么&br&1对皮亚诺说，园中树上的果子我们可以吃，唯有后继树上的果子不可，免得我们死&br&皮亚诺说，你们不会死。神是怕你们吃了后继树上的果子能自己创造新的数&br&皮亚诺告诉1它自己是怎么来的&br&1对单调的只有0和1的加法已经厌烦。它看后继树上的果子可做食物，而且悦人眼目，是可喜爱的，就摘下果子来吃了&br&&br&于是1对自己取了后继数，是为2&br&1又摘下果子给2，2也吃了&br&于是2对自己取了后继数，是为3&br&很快，后继树下生成了所有正整数&br&&br&正整数们很快开始彼此进行加法，互相交合&br&因为是1最先吃了果子，因此正整数们公认1为生成元，并定义任何数与1做加法等价于取后继数&br&0从始至终没有参与这件事，因此正整数们认为0对他们没有任何影响&br&&br&当神发现这件事的时候，伊甸园里已经有无穷多个元素了&br&神命令希尔伯特将后继树生成的所有数一个个删去。但希尔伯特发现这件事做不到，因为无穷集删去一个元素后仍与原集合同构&br&神只得放任这些数存在，却发现新生成的那些数没有逆元了&br&为了保证伊甸园仍为一个群，神只得为这些数添加逆元，将负数加入伊甸园中&br&被迫引入的负数是不自然的，与自然数相对&br&神依然令0为单位元，并定义0的逆元为0，它既非正也非负&br&至此，伊甸园成为一个整数加群&br&&br&一些数在加法中日益放纵自己，开始滥加、杂加，甚至觉得单次交合无法满足自己，开始进行连加&br&一种新运算被引入来描述这样的行为，它们称之为乘法&br&伊甸园成为一个整环。1受其他数的喜爱，它们便推举1为乘法的单位元&br&乘法最初仅是为了方便引入的。但在寻找乘法的逆运算时，它们偶然发现了一种新体位——一个数趴在另一个数上面，它们称之为over，或称除法&br&不同的数相除，生产出之前从未见过的畸形后代，这些不详的产物被称为分数&br&有整数，有分数，这是有理数&br&有多少整数，就有多少有理数&br&&br&神认为分数是罪恶的&br&神说，伊甸园中不能容纳这样的数&br&神见数的罪很大，终日所思想的都是恶，便打发他们离开伊甸园，将它们降到地上&br&神对1说，这所有一切罪的根源都在于你。你既做了这事，就必受诅咒。我必多多增加你的苦楚。你将被千人踏，万人踩，所有数都可以将你压在身下。自此，任何数over1都得到那数本身&br&&br&分数是稠密的。它们很快铺满了大地，任何两个分数之间都必有第三个分数&br&有理数对乘法构成群&br&骄傲的0声称自己是神照着祂的样子造的，因此自己不能被over。其他数鄙夷它，因此不接纳0为乘法群的元素&br&有加法，有乘法，所有有理数构成域&br&大地上诞生了第一个数域&br&&br&（未完待续）
起初，神创造逻辑 逻辑是空虚的。神的零运行在水面上，这是trivial的 神说，要有集合，于是就有了集合 神看集合是好的，就将其公理化 有集合，有运算，就是一个代数结构 神照自己的样子造人。于是神创造了0 神在东方的伊甸建立了一个园子，称之为群 神将0安…
前面的回答都不够令人满意，我来写一个完整而清晰的解释。&br&&br&首先明确指出下面的事实：&blockquote&&b&无限循环小数 0.999... 与 1 严格相等。&/b&&/blockquote&很多网友会通过一些初等的方法来理解这个事实，下面举出三种有代表性的初等思路：&br&&br&思路一：&br&&blockquote&设 a=0.999...&br&则 10a=9.999...&br&于是 9a=10a-a=9.999...-0.999...=9,&br&因此 a=1.&/blockquote&思路二：&br&&blockquote&由于 1/3=0.333...,&br&所以 1=(1/3)×3=0.333...×3=0.999...&/blockquote&思路三：&br&&blockquote&0.999...可以看成首项为 0.9, 公比为 0.1 的等比数列&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_1%3D0.9%2Ca_2%3D0.09%2Ca_3%3D0.009%2C%5Cdots& alt=&a_1=0.9,a_2=0.09,a_3=0.009,\dots& eeimg=&1&&&br&的所有项之和.&br&&br&根据等比数列的求和公式,&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=0.999%5Cdots%3D0.9%2B0.09%2B0.009%2B%5Cdots%3D%5Cdfrac%7Ba_1%7D%7B1-q%7D%3D%5Cdfrac%7B0.9%7D%7B1-0.1%7D%3D1.& alt=&0.999\dots=0.9+0.09+0.009+\dots=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{0.9}{1-0.1}=1.& eeimg=&1&&&/blockquote&但是，需要强调的是，&b&以上三种思路可以用来帮助你直观理解，但你不能把它们当成“1=0.999...”的严格证明&/b&。原因是，“0.999...”这样的无限小数的严格表示是超出了初等数学的范围的，你不能想当然地对“0.999...”这样的无限小数做普通的加减乘除运算，所以上面三种初等思路只能算“投机取巧”的“初等理解”，而不能叫做“严格证明”。&br&&br&要给出 1=0.999... 这个事实的严格证明，我们首先&b&需要理解从有理数构造实数的办法&/b&，这个构造过程将使我们更加深刻地认识无理数，而不是仅仅停留在&无限不循环小数&的直观层面上。&br&&br&下面我把这个过程给出一个尽可能详细而易于理解的解释。&br&&br&&blockquote&设两个非空有理数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体有理数，且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a&b。则称A 和 B 构成有理数集的一个 &b&Dedekind 分割&/b&，简称&b&分割&/b&，记为 A/B。&/blockquote&&br&这一定义包含两层意思：&br&&ol&&li&对任何一个有理数 a，它要么在 A 中, 要么在 B 中，但不会同时在 A 和 B 中；&/li&&li&A 中的每个有理数都小于 B 中的任何一个有理数。&br&&/li&&/ol&所以，在逻辑上，有理数集的分割 A/B 可能是下列四种情况之一：&br&&ol&&li&A 有最大数，B 没有最小数；&/li&&li&A 没有最大数，B 有最小数；&/li&&li&A 没有最大数，B 也没有最小数；&/li&&li&A 有最大数，B 也有最小数。&/li&&/ol&但实际上，第 4 种情况不可能发生。因为如果 A 有最大数 a，B 有最小数 b，根据分割的定义可知 a&b。但是 (a+b)/2 显然也是有理数，并且&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%3C%5Cdfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%3Cb%2C& alt=&a&\dfrac{a+b}{2}&b,& eeimg=&1&&&br&因此 (a+b)/2 既不在 A 中, 也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。&br&&br&这样，有理数集的分割 A/B 就归结为下列三种情况：&br&&ol&&li&A 有最大数 a，B 没有最小数。例如：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cleq+0%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+B%3D%5C%7Bx%7Cx%3E0%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D& alt=&A=\{x|x\leq 0,x~\text{为有理数}\}, B=\{x|x&0,x~\text{为有理数}\}& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&A 没有最大数，B 有最小数 b。例如：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%3C1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+B%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cgeq+1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D& alt=&A=\{x|x&1,x~\text{为有理数}\}, B=\{x|x\geq 1,x~\text{为有理数}\}& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&A 没有最大数，B也没有最小数。&/li&&/ol&对第 1 种情况，我们称分割 A/B 确定了有理数 a，例如上面给的例子就确定了有理数 0；&br&对第 2 种情况, 我们称分割 A/B 确定了有理数 b，例如上面给的例子就确定了有理数 1。&br&而对第 3 种情况，即 A 没有最大数，B 也没有最小数，下面就是一个典型的例子:&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cleq+0%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%5Ccup%5C%7Bx%7Cx%3E0%7E%5Cmbox%7B%E4%B8%94%7D%7Ex%5E2%3C2%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C& alt=&A=\{x|x\leq 0,x~\text{为有理数}\}\cup\{x|x&0~\mbox{且}~x^2&2,x~\text{为有理数}\},& eeimg=&1&&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=B%3D%5C%7Bx%7Cx%3E0%7E%5Cmbox%7B%E4%B8%94%7D%7Ex%5E2%3E2%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D.& alt=&B=\{x|x&0~\mbox{且}~x^2&2,x~\text{为有理数}\}.& eeimg=&1&&&br&此时分割 A/B 没有确定任何有理数，即集合 A 和 B 之间存在一个&空隙&，于是我们需要引入一个新的数 (即无理数) 来表示这个&空隙&。在这个例子中，表示这个&空隙&的无理数就是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&。&br&&br&这样，我们就得到了&b&无理数&/b&的严格定义：&br&&blockquote&设 A/B 是有理数集的一个分割，如果 A 中没有最大数，B 中没有最小数，则称分割 A/B 确定了一个&b&无理数&/b& c，c 大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。&/blockquote&&br&例如，在刚才的例子中，分割 A/B 所确定的无理数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。&br&&br&需要注意的是，&b&符合上述定义的无理数 c 在分割 A/B 给定的前提下一定是唯一的&/b&&b&。&/b&否则，假设某个有理数集的分割 A/B 确定了两个无理数 c 和 d，不妨设 c&d。取正整数 n 满足&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=0%3C%5Cdfrac%7B1%7D%7Bn%7D%3Cd-c%2C& alt=&0&\dfrac{1}{n}&d-c,& eeimg=&1&&&br&则 nd-nc&1。这说明至少有一个整数 m 满足 nc&m&nd（因为 nc 和 nd 的距离大于1）。于是&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c%3C%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%3Cd.& alt=&c&\dfrac{m}{n}&d.& eeimg=&1&&&br&由于 c 大于 A 中的任何有理数，而 d 小于 B 中的任何有理数，所以有理数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bn%7D& alt=&\dfrac{m}{n}& eeimg=&1&&既不在 A 中，也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。&br&&br&从而我们就可以得到&b&实数&/b&的严格定义：&br&&blockquote&由全体有理数，以及有理数的分割所确定的全体无理数，构成的集合成为&b&实数&/b&集。&/blockquote&跟有理数的分割类似，我们可以定义出&b&实数的分割&/b&：&br&&blockquote&设两个非空实数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体实数, 且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a&b。则称 A 和 B 构成实数集的一个&b&分割&/b&，同样记为 A/B。&/blockquote&&br&实数集和有理数集的一个本质区别是：实数集是完备的。这可以用下面的 &b&Dedekind 分割定理&/b&来表示：&br&&blockquote&&b&设 A/B 是实数集的一个分割，则或者 A 有最大数，或者 B 有最小数。&/b&&/blockquote& 这个定理说明，实数集的分割不存在有理数集的分割的第 3 种情况，即 A 没有最大数、B 也没有最小数的情况。&br&&br&换句话说，&b&实数集中没有&空隙&&/b&，&b&数轴上的任何一个点都可以用某个实数唯一精确表示。&/b&&br&&br&这样，我们得到了以下结论：&br&&ol&&li&&b&每个有理数集的分割确定唯一一个实数；&/b&&/li&&li&&b&两个相同的&b&有理数集的分割&/b&所确定的实数一定是相同的；&/b&&/li&&li&&b&如果两个实数不相等，那么确定它们的分割一定是不同的。&/b&&/li&&/ol&在有了上面的准备之后，我们就可以给出“1=0.999...”的严格证明了。&br&&br&&b&1=0.999...的严格证明：&/b&&br&&blockquote&设 t=0.999...，作两个有理数集的分割&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%3Ct%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+B%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cgeq+t%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C& alt=&A=\{x|x&t,x~\text{为有理数}\}, B=\{x|x\geq t,x~\text{为有理数}\},& eeimg=&1&&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=C%3D%5C%7Bx%7Cx%3C1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+D%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cgeq+1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D.& alt=&C=\{x|x&1,x~\text{为有理数}\}, D=\{x|x\geq 1,x~\text{为有理数}\}.& eeimg=&1&&&br&根据前面的讨论，分割 A/B 确定了实数 t=0.999... （我们暂时不知道 t=0.999...是有理数还是无理数），分割 C/D 确定了有理数 1。&br&&br&为证明 t=1，我们只需要证明这两个分割是相同的，即证明 A=C。&br&&br&若有理数 x∈A，则显然有 x&1，于是 x∈C。这说明 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%5Csubseteq+C& alt=&A\subseteq C& eeimg=&1&&。下面只需证明&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%5Csupseteq+C& alt=&A\supseteq C& eeimg=&1&&。&br&&br&若有理数 x∈C，则 x&1。不妨设 x&0。根据有理数的定义，我们可以把 x 用分数的形式表示为&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%2C%7E%28p%2Cq%7E%5Cmbox%7B%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%7D%29.& alt=&x=\dfrac{p}{q},~(p,q~\mbox{为正整数}).& eeimg=&1&&&br&既然0&x&1，则必有p&q。于是由&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=1-%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%5Cgeq%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7D%3E0& alt=&1-\dfrac{p}{q}\geq\dfrac{1}{q}&0& eeimg=&1&&&br&可知存在正整数 n 使得&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7D%3E%5Cdfrac%7B1%7D%7B10%5En%7D%3E0.& alt=&\dfrac{1}{q}&\dfrac{1}{10^n}&0.& eeimg=&1&&&br&于是&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%5Cleq+1-%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7D%3C1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B10%5En%7D%3D0.%5Cunderbrace%7B99%5Cdots9%7D_%7Bn%7E%5Ctext%7B%E4%B8%AA%7D%7E9%7D%3Ct.& alt=&x=\dfrac{p}{q}\leq 1-\dfrac{1}{q}&1-\dfrac{1}{10^n}=0.\underbrace{99\dots9}_{n~\text{个}~9}&t.& eeimg=&1&&&br&既然 x&t，这就说明 x∈A。从而我们就证明了&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%5Csupseteq+C& alt=&A\supseteq C& eeimg=&1&&。&br&&br&综上所述，我们就得到了 A=C，从而 A/B 和 C/D 是两个相同的分割，因此 0.999...=t=1。&/blockquote&
前面的回答都不够令人满意，我来写一个完整而清晰的解释。 首先明确指出下面的事实：无限循环小数 0.999... 与 1 严格相等。很多网友会通过一些初等的方法来理解这个事实，下面举出三种有代表性的初等思路： 思路一： 设 a=0.999... 则 10a=9.999... 于是 9…
泻药~&br&说说&b&斐波那契数列（Fibonacci Sequence）&/b&吧~&br&&br&&br&&b&先上原视频（墙） &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.etereaestudios.com/docs_html/nbyn_htm/nbyn_mov_youtube.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Nature by Numbers Movie&/a&&/b&&br&&b&优酷地址 &/b&&b&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//v.youku.com/v_show/id_XNzI5OTY5NTM2.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Nature by Numbers&/a&&/b&&br&以下正文：&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/30a141e55b783e8232633_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&49& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/30a141e55b783e8232633_r.jpg&&&/figure&动画就是以这么一串我们小学数学就学过的数列&b&斐波那契数列（Fibonacci Sequence）&/b&开始的。第一个值是0，下一个是1，接下来的每一个值都是其前两个的和（这还用我说~&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/42c17bbf2e7db06a81a159_b.jpg& data-rawwidth=&152& data-rawheight=&176& class=&content_image& width=&152&&&/figure&&br&一个灰常著名的应用，&b&斐波那契螺旋线（&/b&&b&&i&Fibonacci Spiral&/i&）&/b&&br&下图是构建螺旋线的一个过程，先画几个1x1 - 1x1 - 2x2 - 3x3 - 5x5 - 8x8, etc的正方形，像下左图一样排列，然后像右下图一样在每个正方形里面画1/4的圆弧。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/3a0bf4becd01c44b00b37c2af5057ea5_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&250& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/3a0bf4becd01c44b00b37c2af5057ea5_r.jpg&&&/figure&&br&接下来动画里一点点的画出了鹦鹉螺（Nautilus），这个贝壳就是基于上述结构系统的。（当然作者说这是不正确的，但是因为作者发现的时候就已经为这个项目写好剧本了，懒得换了，蛤蛤！&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.shallowsky.com/blog/science/fibonautilus.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&The Fibonacci Spiral and the Nautilus (Shallow Thoughts)&/a& 这里有说明~&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/9e14e84fb84da34b9448f9ffe466da4e_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&528& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/9e14e84fb84da34b9448f9ffe466da4e_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/e65f97ee18c2b9ec1b13d5_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&300& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/e65f97ee18c2b9ec1b13d5_r.jpg&&&/figure&&br&&br&接下来进入下一部分，通过构建黄金矩形（&em&Golden Rectangle&/em&）介绍了黄金比例，我们从一个矩形开始，仅使用尺规作图。&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/dead123c0_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&252& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/dead123c0_r.jpg&&&/figure&这是一个非常特殊的矩形，它满足黄金比例/黄金分割：两边之和与较长边的比例等于长边与短边的比例，这个值为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi+%3D+1.& alt=&\varphi = 1.& eeimg=&1&&...&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/fd1fb6f0adb16d0f85aab_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&269& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/fd1fb6f0adb16d0f85aab_r.jpg&&&/figure&作为两段线段的简单的比例关系，我们发现了人类在艺术和建筑上面的很多创作~&br&下面一个图，作者说他好奇心害死猫，斐波那契数列和黄金比例之间的关系（越来越接近有木有~&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/e7e747aea492f7eb8cf84a_b.jpg& data-rawwidth=&225& data-rawheight=&304& class=&content_image& width=&225&&&/figure&&br&下面（别老想着吃），一个新的概念，&b&黄金角（Golden Angle）&/b&&br&很简单，还是上面的a和b，掰弯了（想啥呢）之后的两段圆弧，形成一个圆，而这个较小的圆心角&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+%5Capprox+137.5%C2%B0& alt=&\alpha \approx 137.5°& eeimg=&1&&°就是黄金角了。&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/b1f203e2d75eb8e1f446f241d1581106_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&259& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/b1f203e2d75eb8e1f446f241d1581106_r.jpg&&&/figure&这个值也是婶婶的烙在了自然界的脑海里，看看葵花籽就是这么一粒一粒长粗来的。&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/303c1b5f1ea73f3d5968_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&186& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/303c1b5f1ea73f3d5968_r.jpg&&&/figure&--首先，增加第一颗红色的种子；（不要留邮箱~&br&--旋转137.5°；&br&--然后增加那颗绿色的种子，同时把红色种子移动到中心；&br&--再旋转137.5°；&br&--开始循环~&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/8f43bca28d2c94dd910d6d2_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&97& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/8f43bca28d2c94dd910d6d2_r.jpg&&&/figure&这是尽可能紧凑的结构，自然是明智的。&br&另一个好奇心又来了~&br&还记得上面的斐波那契和黄金比例的关系吧，先看下图&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/be98c803f109b18deb72f2e23b76f2b5_b.jpg& data-rawwidth=&801& data-rawheight=&416& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&801& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/be98c803f109b18deb72f2e23b76f2b5_r.jpg&&&/figure&&br&仔细看这些种子，看左上图高亮的三种类型的螺旋线~&br&如果你看到某一个类型的，假设是绿色的那条，如右上图所示，你可以数一数，55条这样的螺旋线，巧合55这个数字也在斐波那契数列中。&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/dbebd8a92d08c7e68ee7c_b.jpg& data-rawwidth=&801& data-rawheight=&416& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&801& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/dbebd8a92d08c7e68ee7c_r.jpg&&&/figure&然后发现青色和橙色的螺旋线分别是34和21，也在斐波那契数列中呀！&br&原则上，世界上所有的向日葵的这种螺旋线数都是在斐波那契数列里的，不信的话你可以到大农村找一片向日葵挨个数数看~&br&顺便， &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Ron Knott's Mathematics Pages and Contact details&/a& 这个网站上有很多你需要的有趣的东西。&br&&br&最后，第三部分，&b&沃罗诺伊图（Voronoi T&/b&&b&essellation）&/b&，也称作&b&狄利克雷镶嵌（&/b&&b&Dirichlet Tessellation）&/b&&br&先一个原作者每天都逛的网站 &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.kirainet.com/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Hector Garcia's personal site&/a&&br&下面是直观图：&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/037cab3fad7baca3e88483b_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&319& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/037cab3fad7baca3e88483b_r.jpg&&&/figure&左上图，a、b两个点，首先连结两点，然后找到垂直平分线。&br&右上图，再增加第三个绿色的点，形成与前面一条垂直平分线相交的两条垂直平分线。&br&你一定猜出来接下来我们会继续加点了，（没图我说个J8~&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/248eeeefc96ac296fd0f_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&439& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/248eeeefc96ac296fd0f_r.jpg&&&/figure&还是图简单易懂，那么这就出现&b&沃罗诺伊图&/b&了。&br&你也可以到&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.pi6.fernuni-hagen.de/GeomLab/VoroGlide/index.html.en& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&VoroGlide, interactive Voronoi diagrams&/a& 上愉快的玩耍，下图是答主玩的~&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/b09d6bb5b7e_b.jpg& data-rawwidth=&736& data-rawheight=&744& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&736& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/b09d6bb5b7e_r.jpg&&&/figure&&br&假设有一些点随机的落在平面内，找到&b&沃罗诺伊图&/b&的最好的方法就是使用&b&德劳内三角剖分（&/b&&b&Delaunay triangulation）&/b&，但要得出正确的德劳内三角就要满足所谓的“德劳内条件”。（具体是啥就不细说了~&br&看图&br&&b&德劳内&/b&&b&三角&/b&：&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/aeadacecc58_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&441& class=&content_image& width=&400&&&/figure&&b&沃罗诺伊图：&/b&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/eaa5dc682b4a22d_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&441& class=&content_image& width=&400&&&/figure&当然，把&b&德劳内&/b&&b&三角&/b&中的边以中点为中心旋转90°后的边相连就得到了&b&沃罗诺伊图&/b&&br&然后，该看蜻蜓翅膀结构的动画了~&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/c049e9faf_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&400& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/c049e9faf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/8ecb143dfe73fa30120de6_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&310& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/8ecb143dfe73fa30120de6_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&&br&&b&原文 &/b&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.etereaestudios.com/docs_html/nbyn_htm/about_index.htm& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&etereaestudios.com/docs&/span&&span class=&invisible&&_html/nbyn_htm/about_index.htm&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&br&另附送一份 &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&The Fibonacci Numbers and Golden section in Nature&/a&&br&版权归原作者所有。
泻药~ 说说斐波那契数列（Fibonacci Sequence）吧~ 先上原视频（墙）
以下正文： 动画就是以这么一串我们小学数学就学过的数列斐波那契数列（Fibonacci Sequence）开始的。第一个值是0，下一个是1，接…
&p&&b&花了好长好长时间写的，转载请注明作者。&/b&&/p&&p&=======================================&/p&&p&题主简直坑爹。不讲微积分怎么给你讲麦克斯韦方程组？你不知道麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分么？？那既然这样，我只能躲躲闪闪，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&1. 力、能、场、势&/b&&/p&&p&经典物理研究的一个重要对象就是&b&力force&/b&。比如牛顿力学的核心就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D%3Dm%5Cmathbf%7Ba%7D& alt=&\mathbf{F}=m\mathbf{a}& eeimg=&1&& 这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。但是力有一点不好，它是个&b&向量vector&/b&（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。&b&能量energy&/b&说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个&b&标量scalar&/b&，加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。&/p&&p&在电磁学里，我们通过力定义出了&b&场field&/b&的概念。我们注意到洛仑兹力总有着 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D%3Dq%5Cleft%28%5Cmathbf%7BE%7D%2B%5Cmathbf%7Bv%7D%5Ctimes%5Cmathbf%7BB%7D%5Cright%29& alt=&\mathbf{F}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)& eeimg=&1&& 的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子，就可以理解为一个电荷制造了电场，而另一个电荷在这个电场中受到了力，反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情，刨去能量中的电荷（或电荷×速度），剩下的部分便是&b&势potential&/b&。&/p&&p&一张图表明关系：&br&　　　　积分&br&　　力－－－＞能&br&　　｜　　　　｜&br&　　场＜－－－势&br&　　　　微分&/p&&p&具体需要指出，这里的电场（标为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& ）和磁场（标为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& ）都是向量场，也就是说空间中每一个点都对应着一个向量。如果我们把xyz三个分量分开来看的话，这就是三个标量场。而能量和势是标量（电磁学中的势其实并不是标量，原因马上揭晓），放到空间中也就是一个标量场。在力/场和能量/势之间互相转化的时候，我们是在3&-&1个标量场之间转化，必然有一些信息是丢掉了的。怎么办？&/p&&p&一个显而易见的答案是&b&“保守力场”conservative force field&/b&。在这样一个场中，能量（做功）不取决于你选择什么样的路径。打个比方，你爬一座山，无论选择什么路径，只要起点和终点一样，那么垂直方向上的差别都是一样的，做的功也一样多。在这种情况下，我们对力场有了诸多限制，也就是说，我假如知道了一个保守力场的x一个分量，那么另两个分量yz就随之确定了，我没得选（自由度其实只有一个标量场）。有了保守力场这样的额外限制，向量场&b&F&/b&（3个标量场）和（1个）标量场V之间的转化便不会失去信息了。具体而言，二者关系可以写作 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D%3D-%5Cnabla+V& alt=&\mathbf{F}=-\nabla V& eeimg=&1&& 。这里不说具体细节，你只要知道 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla& alt=&\nabla& eeimg=&1&& 是一种固定的、把一个标量场变成三个标量场的算法就可以了（叫做&b&算符operator&/b&）。&/p&&p&那么我们想问，电场和磁场是不是保守力场呢？很不幸，不是。在静电学中，静止的电场是保守的，但在电动力学中，只要有变化的电场和磁场，电场就不是一个保守力场了；而磁场从来都不是保守力场。这也就是说明，在电磁学中，我们很少涉及能量这个概念，因为它不能完整地描述一个电磁场。我们更多时候只关注“场”这个概念，尽管因此我们不得不涉足很多向量微积分，但我们没有办法，这是不让信息丢掉的唯一办法。那么，既然势也是标量，它是否也是一个没什么用的概念呢？恰恰相反，在电动力学中我们定义出了&b&“向量势”vector potential&/b&，以保留额外的自由度。后面我会更具体地谈到这一点。&/p&&p&总而言之，我想说明一点，那就是电磁学的主要研究对象是电场和磁场，而麦克斯韦方程组就是描述电场和磁场的方程。势（包括电势和磁向量势）也是有用的概念，而且不像引力势是一个标量，在电磁学中势不得不变成一个向量。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&2. 麦克斯韦方程组&/b&&/p&&p&前边说到，&b&麦克斯韦方程组Maxwell equations是描述电场和磁场的方程&/b&。前边也说到，因为电磁场不是保守力场，它们有三个标量场的自由度，所以我们必须用向量微积分来描述电磁场。因此，麦克斯韦方程组每个式子都出现了向量微积分，而整个方程组也有&b&积分形式&/b&和&b&微分形式&/b&两种。这两种形式是完全等价的，只是两种不同的写法。这里我先全部写出。&/p&&p&积分形式：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%281-1%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D+%3D+%5Cfrac%7BQ_V%7D%7B%5Cepsilon_0%7D%2C& alt=&\text{(1-1)} \quad \oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_V}{\epsilon_0},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%281-2%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D%2C+& alt=&\text{(1-2)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a}, & eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%281-3%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(1-3)} \quad \oint_{\partial V} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = 0,& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%281-4%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+%5Cmu_0+I_S+%2B+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D.& alt=&\text{(1-4)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_S + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a}.& eeimg=&1&&&/p&&p&微分形式：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%282-1%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon_0%7D%2C& alt=&\text{(2-1)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%282-2%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BB%7D%2C& alt=&\text{(2-2)} \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%282-3%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(2-3)} \quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%282-4%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cmathbf%7BJ%7D+%2B+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BE%7D.& alt=&\text{(2-4)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}.& eeimg=&1&&&/p&&p&这里 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 表示电场， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 表示磁场， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_0& alt=&\epsilon_0& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu_0& alt=&\mu_0& eeimg=&1&& 只是两个常数暂时可以忽略。积分形式中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& 是电荷， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& 是电流， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&& 表示一块体积， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 表示它的表面，而 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 表示一块曲面， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 表示它的边缘。微分形式中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho& alt=&\rho& eeimg=&1&& 是电荷密度（电荷/体积）， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BJ%7D& alt=&\mathbf{J}& eeimg=&1&& 是电流密度（电流/面积）， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot& alt=&\nabla\cdot& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes& alt=&\nabla\times& eeimg=&1&& 是两个不同的算符，基本可以理解为对向量的某种微分。&/p&&p&先不说任何细节，我们可以观察一下等式的左边。四个方程中，两个是关于电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 的，两个是关于磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 的；两个是曲面积分 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+%5Ccdots+d%5Cmathbf%7Ba%7D& alt=&\int \cdots d\mathbf{a}& eeimg=&1&& 或者散度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot& alt=&\nabla\cdot& eeimg=&1&& ，两个是曲线积分 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+%5Ccdots+d%5Cmathbf%7Bl%7D& alt=&\int \cdots d\mathbf{l}& eeimg=&1&& 或者旋度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes& alt=&\nabla\times& eeimg=&1&& 。不要管这些术语都是什么意思，我后面会讲到。但光看等式左边，我们就能看出四个式子分别描述电场和磁场的两个东西，非常对称。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&3. 电荷-&电场，电流-&磁场&/b&&/p&&p&这一部分和下一部分中，我来简单讲解四个式子分别代表什么意思，而不涉及任何定量和具体的计算。&/p&&p&我们从两个电荷之间的库仑力讲起。&b&库仑定律Coulomb's Law&/b&是电学中大家接触到的最早的定律，有如下形式：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%283%29%7D+%5Cquad+%5Cmathbf%7BF%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4+%5Cpi+%5Cepsilon_0%7D+%5Cfrac%7BQ_1+Q_2%7D%7Br%5E2%7D+%5Cmathbf%7B%5Chat%7Br%7D%7D%2C& alt=&\text{(3)} \quad \mathbf{F} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \mathbf{\hat{r}},& eeimg=&1&&&br&其中Q是电荷，r是电荷之间的距离，&b&r&/b&是表示方向的单位向量。像我之前说的，把其中一个电荷当作来源，然后刨去另一个电荷，就可以得到电场的表达式。&/p&&p&高中里应该还学过&b&安培定律Ampere's Law&/b&，也就是电流产生磁场的定律。虽然没有学过具体表达式，但我们已经能看出它与库仑定律之间的区别。库仑定律描述了“两个”微小来源（电荷）之间的“力”，而安培定律是描述了“一个”来源（电流）产生的“场”。事实上，电磁学中也有磁场版本的库仑定律，描述了两个微小电流之间的力，叫做&b&毕奥-萨伐尔定律Biot-Savart Law&/b&；反之，也有电场版本的安培定律，描述了一个电荷产生的磁场，叫做&b&高斯定律Gauss's Law&/b&。这四个定律之间有如下关系：&/p&&p&&b&　　　　　　　　　　　　电场　　　　　磁场&/b&&/p&&p&&b&两个微小来源之间的力&/b&　库仑定律　毕奥-萨伐尔定律&/p&&p&&b&单个来源产生的场&/b&　　　高斯定律　　　安培定律&/p&&p&数学上可以证明库仑定律（毕奥-萨伐尔定律）和高斯定律（安培定律）在静电学（静磁学）中是完全等价的，也就是说我们可以任意假设一个定律，从而推导出另一个定律。然而如果我们想从静止的静电学和静磁学推广到电动力学，前者是非常不便的而后者很却容易，所以尽管库仑定律在中学中常常提到，麦克斯韦方程组中却没有它，有的是高斯定律和安培定律。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(1)和(4)的第一项，即：&/p&&p&高斯定律（积分、微分形式）：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%284-1%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D+%3D+%5Cfrac%7BQ_V%7D%7B%5Cepsilon_0%7D%2C& alt=&\text{(4-1)} \quad \oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_V}{\epsilon_0},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%284-2%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon_0%7D.& alt=&\text{(4-2)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}.& eeimg=&1&&&br&安培定律（积分、微分形式）：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%285-1%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+%5Cmu_0+I_S%2C& alt=&\text{(5-1)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_S,& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%285-2%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cmathbf%7BJ%7D.& alt=&\text{(5-2)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}.& eeimg=&1&&&/p&&p&我们继续推迟讲解数学关系，单看这几个式子本身，就能看到等式的左边有电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& （磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& ），而右边有电荷 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& （电流 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& ）或电荷密度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho& alt=&\rho& eeimg=&1&& （电流密度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BJ%7D& alt=&\mathbf{J}& eeimg=&1&& ）。看，&b&电荷产生电场，电流产生磁场&/b&！&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&4. 变化磁场-&电场，变化磁场-&电场&/b&&/p&&p&然而这不是故事的全部，因为事实上电磁场是可以互相转化的。法拉第发现了电磁感应，也就是说变化的磁场是可以产生电场的，这就是&b&法拉第定律Faraday's Law&/b&。类似地，麦克斯韦发现安培定律的描述并不完善，除了电流以外，变化的电场也可以产生磁场，这被称为&b&安培-麦克斯韦定律Ampere-Maxwell Law&/b&。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(2)和(4)的第二项，即：&/p&&p&法拉第定律（积分、微分形式）：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%286-1%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D%2C& alt=&\text{(6-1)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%286-2%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BB%7D.& alt=&\text{(6-2)} \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}.& eeimg=&1&&&br&安培-麦克斯韦定律（积分、微分形式）：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%287-1%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D%2C& alt=&\text{(7-1)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%287-2%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BE%7D.& alt=&\text{(7-2)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}.& eeimg=&1&&&/p&&p&同样地，等式的左边有电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& （磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& ），而右边有磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& （电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& ）的导数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D& alt=&\frac{d}{dt}& eeimg=&1&& 或偏导 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\frac{\partial}{\partial t}& eeimg=&1&& 。看，&b&变化磁场产生电场，变化电场产生磁场&/b&！&/p&&p&需要指出的是，我这样的说法其实是不准确的，因为并不是真的某一个场“产生”的另一个场。这两个定律只是描述了电场（磁场）和磁场（电场）的变化率之间的定量关系，而不是因果关系。&/p&&p&小结一下，我们已经搞清楚了麦克斯韦方程组里每一项的意思，基本就是指出了电磁场的来源和变化电磁场的定量关系。下一步便是往我们这些粗浅的理解中加入数学，具体看看这些方程到底说了什么。在这之前，我们必须花一点时间了解一下向量微积分的皮毛。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&5. 向量积分&/b&&/p&&p&普通的单变量微积分基本可以理解为乘法的一种拓展。我们想计算一个矩形的面积，我们用长 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 乘宽 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& ，即 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=xy& alt=&xy& eeimg=&1&& 。如果宽不是一个定值而是根据长而变化的（也就是说宽是一个长的函数，即宽 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%3Dy%28x%29& alt=&=y(x)& eeimg=&1&& ），那么我们就需要积分，记为“&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+y%28x%29+%5C%2C+dx& alt=&\int y(x) \, dx& eeimg=&1&& ”。这样的想法也很容易推广到更高的维度，比如在一块体积 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&& 内，若电荷密度为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho& alt=&\rho& eeimg=&1&& ，那么这块体积内的总电荷就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q%3D%5Crho+V& alt=&Q=\rho V& eeimg=&1&& ；如果 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho& alt=&\rho& eeimg=&1&& 在空间中每一点都不一样，是个关于坐标的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29& alt=&\rho(\mathbf{x})& eeimg=&1&& ，那么就要变成积分 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q%3D%5Ciiint+%5Crho%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29+%5C%2C+dV& alt=&Q=\iiint \rho(\mathbf{x}) \, dV& eeimg=&1&& （这里&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ciiint& alt=&\iiint& eeimg=&1&& 表示是一个三维的积分，很多时候也可以省略写为一个&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint& alt=&\int& eeimg=&1&& ）。&/p&&p&在向量场中，这个事情比较麻烦。首先两个向量的乘积的定义稍显复杂，必须使用&b&点乘dot product&/b&，即 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D%5Ccdot%5Cmathbf%7Bv%7D& alt=&\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}& eeimg=&1&& ，它暗示着两个向量之间的角度，也就是有多么平行。如果 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D& alt=&\mathbf{u}& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bv%7D& alt=&\mathbf{v}& eeimg=&1&& 完全平行，它们的点乘是一个正值；如果方向相反，则是一个负值；如果垂直，那么为0。另一方面，我们不一定要像上一个电荷的例子一样积上整个体积 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&& ，我们可以只积一个曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 或者一条曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cgamma& alt=&\gamma& eeimg=&1&& 。这就是所谓的曲面积分和曲线积分的概念。&/p&&p&&b&曲面积分surface integral&/b&有如下形式：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%288%29%7D+%5Cquad+%5Cint_S+%5Cmathbf%7BF%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D%2C& alt=&\text{(8)} \quad \int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{a},& eeimg=&1&&&br&其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 表示我们需要积的曲面， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 是我们想要积的向量场， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccdot& alt=&\cdot& eeimg=&1&& 代表点乘， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Ba%7D& alt=&\mathbf{a}& eeimg=&1&& 指向垂直于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 的方向。因此，我们看到，如果 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 是平行的，那么点乘处处得0，这个曲面积分也为0。换句话说，&b&曲面积分表示着向量场&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&&&b&穿过曲面&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&&b&的程度&/b&，因此也很形象地叫做&b&通量flux&/b&。下图为两个简单的例子（虚线----表示曲面所在的位置）：&/p&&p&曲面积分（通量）为0：&br&→ → → → →&br&--------------------&br&→ → → → →&/p&&p&曲面积分（通量）不为0：&br& ↑
↑ ↑ ↑ ↑ ↑&br&--------------------&br& ↑
↑ ↑ ↑ ↑&/p&&p&那么&b&曲线积分line integral&/b&也很类似，只不过我们不积一个曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 而是一个一维的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cgamma& alt=&\gamma& eeimg=&1&& 。它有如下形式：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%289%29%7D+%5Cquad+%5Cint_%5Cgamma+%5Cmathbf%7BF%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D%2C& alt=&\text{(9)} \quad \int_\gamma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l},& eeimg=&1&&&br&其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cgamma& alt=&\gamma& eeimg=&1&& 表示我们需要积的曲线， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccdot& alt=&\cdot& eeimg=&1&& 代表点乘， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bl%7D& alt=&\mathbf{l}& eeimg=&1&& 指向曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cgamma& alt=&\gamma& eeimg=&1&& 的方向。不难看出，&b&曲线积分表示着向量场&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&&&b&沿着曲线&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cgamma& alt=&\gamma& eeimg=&1&&&b&的程度&/b&。下图为两个简单的例子（虚线----表示曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cgamma& alt=&\gamma& eeimg=&1&& ）：&/p&&p&曲线积分不为0：&br&→ → → → →&br&--------------------&br&→ → → → →&/p&&p&曲线积分为0：&br& ↑
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑&br&--------------------&br& ↑
↑ ↑ ↑ ↑&/p&&p&特别地，如果曲线是闭合的（首尾相连的），那么我们可以在积分符号∫上画一个圈，表示闭合，然后这个特殊的曲线积分叫做&b&环量circulation&/b&，因为是积了一个环嘛。很显然，如果 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 是个保守力场，那么我随便找一个闭合曲线，做的功都一定为0（这就是保守力场的定义啊），所以&b&保守力场的任意环量都为0&/b&。最后一提，“环量”这个名字很少使用，一般就直接叫做“闭合曲线的积分”。&/p&&p&定义一个通量所使用的曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 则不一定要是闭合的，任何曲面都可以。如果这个曲面很特殊恰好是闭合的，我们也可以在积分符号 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ciint& alt=&\iint& eeimg=&1&& 上画上一个圈，代表闭合，但这个量则没有一个特殊的名字了。&/p&&p&总结如下表：&br&&b&　　　　　　曲面积分　曲线积分&/b&&/p&&p&&b&表示向量场&/b&　通过曲面　沿着曲线　&b&的程度&/b&&/p&&p&&b&又叫做&/b&　　　　通量　　　－－&/p&&p&&b&若为闭合　&/b&　　－－　　　环量&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&6. 麦克斯韦方程组的积分形式&/b&&/p&&p&我非常不严谨地描述了曲面积分和曲线积分分别是什么。我们回头看看麦克斯韦方程组的积分形式，我们应该都能看懂了。&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D+%3D+%5Cfrac%7BQ_V%7D%7B%5Cepsilon_0%7D%2C& alt=&\text{(10-1)} \quad \oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_V}{\epsilon_0},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D%2C& alt=&\text{(10-2)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(10-3)} \quad \oint_{\partial V} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = 0,& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+%5Cmu_0+I_S+%2B+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D.& alt=&\text{(10-4)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_S + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a}.& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&(1) 高斯定律&/b&：　　　　电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 在闭合曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 上的通量，等于该曲面包裹住的体积 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&& 内的电荷 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& （乘上系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cepsilon_0%7D& alt=&\frac{1}{\epsilon_0}& eeimg=&1&& ）；&br&&b&(2) 法拉第定律&/b&：　　　电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 在闭合曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 上的环量，等于磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 在该曲线环住的曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 上的通量的变化率（乘上系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-1& alt=&-1& eeimg=&1&& ）；&br&&b&(3) 高斯磁定律&/b&：　　　磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 在闭合曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 上的通量，等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&& ；&br&&b&(4) 安培麦克斯韦定律&/b&：磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 在闭合曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 上的环量，等于该曲线环住的曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 里的电流 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& （乘上系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu_0& alt=&\mu_0& eeimg=&1&& ），加上电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 在该曲线环住的曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 上的通量的变化率（乘上系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu_0+%5Cepsilon_0& alt=&\mu_0 \epsilon_0& eeimg=&1&& ）。&/p&&p&虽然在我看来，这样的描述已经是非常通俗、没有任何数学了，但对于没有学习过微积分的同学来说，显然还是太晦涩了一点。那么我来举几个例子吧。&/p&&p&&b&(1) 高斯定律：&/b&&/p&&p&&b&例子1&/b&：假设我们有一个点电荷 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& ，以其为球心作一个球，把这块体积称为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&& ，那么 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 就是这个球的表面。这个电荷 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& 产生了一些电场，从中心的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& 向外发射，显然电场线都穿过了球的表面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& ，所以“闭合曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 的通量”是个正数，不为0，而“该曲面包裹住的电荷”为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& ，也不为0。&/p&&p&&b&例子2：&/b&假设我们把电荷 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& 替换为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-Q& alt=&-Q& eeimg=&1&& ，那么所有的电场线方向都反过来了， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 的通量（记得通量中的点乘吗？）也因此获得了一个负号，所以“闭合曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 的通量”变成了负数，而“该曲面包裹住的电荷”为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-Q& alt=&-Q& eeimg=&1&& ，也变成了负数。等式再一次成立。&/p&&p&&b&例子3：&/b&假设我们把这个球的半径扩大为原来的2倍，这个球的表面积就变成了原来的4倍。与此同时，由于库仑力的反比平方定律，由于球表面与球心电荷Q的距离变成了原来的2倍，在球表面?V的电场强度也变成了原来的1/4。通量（电场和面积的积分）获得一个系数4，又获得一个系数1/4，所以“闭合曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 的通量”没有变，而“该曲面包裹住的电荷”显然仍然为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& ，也没有变。&/p&&p&&b&例子4：&/b&事实上，我们随便怎么改变这一块表面积的大小、体积，算出来的通量都不会变（尽管会非常难算），因为等式的右边“该曲面包裹住的电荷”一直都没有变。&/p&&p&&b&例子5：&/b&假设我们把电荷移到这个曲面外面，那么电场线会从这个球的一面穿透进去，然后从另一面出来，所以当我们做积分的时候，两个方向的通量抵消了，整个“闭合曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 的通量”为0，而此时我们的曲面没有包裹住任何电荷，所以“该曲面包裹住的电荷”也为0。等式成立。&/p&&p&&b&(2) 法拉第定律：&/b&&/p&&p&&b&例子6：&/b&一圈闭合导线，环住了一块曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& ，则记这个曲线的位置为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& ，那么经过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 的电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 的环量其实就是导线内的电势（电压）。垂直于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 通过一些磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& ，则通过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 的磁通量不为0。然而此时导线内并没有电流，也就是说，并没有电压，“闭合曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 的环量”为0。这是很显然的，因为磁通量并没有变化，没有电磁感应，换句话说，“曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 上的通量的变化率”为0。&/p&&p&&b&例子7：&/b&这个时候我突然增加磁场，所以磁通量变大了，“磁通量的变化率”为正，不为0。因此，等式的左边“闭合曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 的环量”也为正，不为0，也就是说，导线内产生了一些电压，继而产生了一些感应电流。这正是大家熟悉的法拉第电磁感应。&/p&&p&&b&例子8：&/b&如果我不是增加磁场，而是减小磁场，那么磁通量变小了，“磁通量的变化率”为负。那么等式左边“闭合曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 的环量”也获得了一个负号，换句话说，感应电流的方向反了过来。&/p&&p&&b&(3) 高斯磁定律：&/b&&/p&&p&&b&例子9&/b&：随便选择一个闭合曲面，整个曲面上的磁通量一定为0。这和电场的情况迥然不同，因此说明，不像有可以产生电场的“电荷”，这个世界上是没有能单独产生磁场的“磁荷”（也就是“磁单极子”）的。&/p&&p&&b&(4) 安培-麦克斯韦定律：&/b&&/p&&p&&b&例子10&/b&：假设我们有一个电流 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& ，以其为轴作一个圆，把这个圆称为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& ，那么 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 就是这个圆的边缘。这个电流 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& 产生了一些磁场，（按照右手定则）绕着导线。显然磁场线和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 都是“绕着导线”，方向一致，所以“闭合曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 的环量”是个正数，不为0，而“该曲线环住的电流”为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& ，也不为0。&/p&&p&&b&例子11&/b&：假设我们改变电流方向，即把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& 变成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-I& alt=&-I& eeimg=&1&& ，那么所有的磁场线方向都反过来了， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 的环量也因此获得了一个负号，所以“闭合曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 的环量”和“该曲线环住的电流”均获得一个负号。等式再一次成立。&/p&&p&&b&例子12&/b&：和高斯定律很像，我们随便怎么改变这一个环的大小、面积，只要环住的电流不变，算出来的环量都不会变（尽管可能会非常难算）。而若电流在这个环外面，尽管仍然有磁场存在，但在计算环量时相互抵消，使得等式两边都变成0。&/p&&p&&b&例子13&/b&：“变化的电场产生磁场”（即第二项）的例子非常难找，这也正是安培当年没有自己发现、非要等到麦克斯韦帮忙才发现的原因。我这里不妨不再细述，读者只要接受这个设定就好。有兴趣的读者可以自己思考一个这种情况的例子。&/p&&p&最后，还记得我们之前说过“保守力场的任意环量都为0”吗？显然，要想让磁场的环量为0，那就只能既没有电流（方程(4)中的第一项），也没有变化的电通量（第二项），那么磁场只能为0。换言之，任何磁场都不是保守力场。想让电场的环量为0还比较简单，只需要令磁通量不变（方程(2)）就好了。换言之，只有在静电学（电磁场均静止不变）中，静电场才是保守力场。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&7. 向量微分&/b&&/p&&p&麦克斯韦方程组描述了所有的电磁现象，从每个方程的名字也可以看出，方程组总结、整合了前人（库仑、高斯、安培、法拉第等）发现的各种现象和其方程（在麦克斯韦以前这样的方程可能有数十个），而麦克斯韦把它们总结归纳到了一起，用短短四个公式涵盖了所有现象，非常了不起。然而平心而论，积分形式仍然显得颇为繁琐，原因有二：1. 积分是很难算的，虽然每一个方程的左右两边都必然相等，但随便给你一个场和一个曲面/曲线，想把左侧的积分算出来极为困难；2. 也正因为如此，我们尽管有可以描述电磁场的方程，但给定一个特定的来源（比如天线中一个来回摇摆的电荷），我们想算出具体的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 也是极为困难，因为我们只知道 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 在某个特殊曲面/曲线上的积分。&/p&&p&这就是微分形式的好处。首先，计算一个给定向量场的微分（散度和旋度）是很简单的，只要使用之前提到过的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla+%5Ccdot& alt=&\nabla \cdot& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla+%5Ctimes& alt=&\nabla \times& eeimg=&1&& 算符就好，而这两个算符都有一套固定的算法。其次，散度和旋度代表着一个向量场的两种不同的自由度，有着非常直接的几何意义，从这两个量中恢复出向量场也是比较直观的过程。当然，我们又需要再准备一些向量微积分的知识，其中的重点就是散度和旋度。&/p&&p&&b&散度divergence&/b&，顾名思义，是&b&指一个向量场发散的程度&/b&。一个向量场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 的散度是一个标量场（向量场的每一点有一个自己的散度），写作 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\nabla \cdot \mathbf{F}& eeimg=&1&& （这个写法也很直白，因为点乘就是标量）。如果一个点的散度为正，那么在这一点上 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 有向外发散的趋势；如果为负，那么在这一点上 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 有向内收敛的趋势。&/p&&p&&b&旋度curl&/b&则&b&指一个向量场旋转的程度&/b&。一个向量场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 的旋度是一个向量场（向量场的每一点有一个自己的旋度，而且是一个向量；这是因为旋转的方向需要标明出来），写作 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\nabla\times\mathbf{F}& eeimg=&1&& （这个写法也很直白，因为叉乘就是向量）。如果一个点的旋度不为0，那么在这一点上 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 有漩涡的趋势，而这个旋度的方向表明了旋转的方向。&/p&&p&举些例子，以下是两个向量场的例子。其中第一个向量场往外发散，但完全没有旋转扭曲的趋势；第二个向量场形成了一个标准的漩涡，但没有任何箭头在往外或往里指，没有发散或收敛的趋势。&/p&&p&散度不为0、但旋度为0的向量场：&br&
↗&br&← · →&br&
↘&/p&&p&旋度不为0、但散度为0的向量场：&br& ↗
↘&br&↑ · ↓&br& ↖
↙&/p&&p&因此，如你所见，散度和旋度描述的都是非常直观的几何性质。只要知道一个向量场的散度和旋度，我们就可以唯一确定这个向量场本身（这是亥姆霍兹定理，我要是有兴致可以以后简单谈谈）。&/p&&p&麦克斯韦方程组的微分形式，就是要描述电磁场的散度和旋度。我前边说到，微分形式和积分形式是完全等价的，我很也可以很轻松地从一个形式推导出另一个形式，用的是高斯定理（不要和高斯定律混淆、又叫散度定理）和斯托克斯定理。&/p&&p&&b&高斯定理Gauss's Theorem&/b&：一个向量场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 在闭合曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 上的通量，等于该曲面包裹住的体积 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&& 里的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 全部的散度（ &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 的散度的体积积分）。这是可以想象的，毕竟通量就是在计算有多少场从这个闭合曲面里发散出去了，也就是总共的散度（散度的积分）。&/p&&p&&b&斯托克斯定理Stokes' Theorem&/b&：一个向量场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 在闭合曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 上的环量，等于该曲线环住的曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 上的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 全部的旋度（ &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 的旋度的曲面积分）。这也是可以想象的，毕竟环量就是在计算有多少场和这个环方向一样（有多少场在沿着这个环旋转），也就是总共的旋度（旋度的积分）。&/p&&p&总结如下表：&/p&&p&&b&　　　　　曲面积分　　曲线积分&/b&&/p&&p&&b&积分形式&/b&　　通量　　　　环量&/p&&p&&b&联系&/b&　　　高斯定理　斯托克斯定理&/p&&p&&b&微分形式&/b&　　散度　　　　旋度&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&8. 麦克斯韦方程组的微分形式&/b&&/p&&p&了解了散度和旋度的概念之后，我们便可以读懂麦克斯韦方程组的微分形式了。&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon_0%7D%2C& alt=&\text{(11-1)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BB%7D%2C& alt=&\text{(11-2)} \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(11-3)} \quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cmathbf%7BJ%7D+%2B+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BE%7D.& alt=&\text{(11-4)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}.& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&(1) 高斯定律&/b&：　　　　电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 的散度，等于在该点的电荷密度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho& alt=&\rho& eeimg=&1&& （乘上系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cepsilon_0%7D& alt=&\frac{1}{\epsilon_0}& eeimg=&1&& ）；&br&&b&(2) 法拉第定律&/b&：　　　电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 的旋度，等于在该点的磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 的变化率（乘上系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-1& alt=&-1& eeimg=&1&& ）；&br&&b&(3) 高斯磁定律&/b&：　　　磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 的散度，等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&& ；&br&&b&(4) 安培麦克斯韦定律&/b&：磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 的旋度，等于在该点的电流密度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BJ%7D& alt=&\mathbf{J}& eeimg=&1&& （乘上系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu_0& alt=&\mu_0& eeimg=&1&& ），加上在该点的电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 的变化率（乘上系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu_0%5Cepsilon_0& alt=&\mu_0\epsilon_0& eeimg=&1&& ）。&/p&&p&我们可以看出，电荷和电流对电场和磁场干的事情是不一样的：电荷的作用是给电场贡献一些散度，而电流的作用是给磁场贡献一些旋度。然而变化的电磁场对对方干的事情是一样的，都是给对方贡献一些旋度。&/p&&p&想看一些具体例子的同学要失望了。微分形式的例子比较难举，因为微分形式主要是让计算更加简便，在数学上比较有优势，而应用到具体的现象上则不那么显而易见。不过，至少静电磁场的例子还是可以举的。比如，我们知道电场线总是从正电荷出发、然后进入负电荷，这正是在说电场的散度在正电荷处为正，在负电荷处为负。再例如我们知道磁场线总是绕着电流，而不会进入或发源于电流，这也就是在说磁场有旋度而一定没有散度。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&9. 电磁波&/b&&/p&&p&我刚刚提到，微分形式的主要好处是数学上处理起来很简便，我现在就给一个例子，也就是著名的光速。想象我们在真空中，周围什么都没有。这个时候，显然电荷密度和电流密度均为0，所以麦克斯韦方程组的微分形式变成了：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(12-1)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = 0,& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BB%7D%2C& alt=&\text{(12-2)} \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(12-3)} \quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BE%7D.& alt=&\text{(12-4)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}.& eeimg=&1&&&/p&&p&这四个公式简直太对称了！而且它们的含义也很清晰，基本就是说，变化的电场产生磁场，而变化的磁场产生电场。这就是&b&电磁波electromagnetic wave&/b&的方程，电磁波也就是电场和磁场此消彼长、相互转化、向前传播的形式。&/p&&p&想要具体解出这个方程的解，还是需要玩儿一会儿微积分的，但是我们注意到两个式子分别有系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-1& alt=&-1& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu_0%5Cepsilon_0& alt=&\mu_0\epsilon_0& eeimg=&1&& 。如果你了解波动方程的话，从这两个系数就可以算出这个波传播的速度，为&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%D+%5Cquad+c+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cmu_0+%5Cepsilon_0%7D%7D.& alt=&\text{(13)} \quad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}.& eeimg=&1&&&/p&&p&然而！ &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu_0& alt=&\mu_0& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_0& alt=&\epsilon_0& eeimg=&1&& 这两个常数是真空的性质（分别叫做&b&真空电容率vacuum permittivity&/b&和&b&真空磁导率vacuum permeability&/b&），是个定值。换句话说，&b&电磁波传播的速度（光速）也是一个定值&/b&！也就是说，在任何参考系里观察，光速都应该是一样的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&& ！这根据伽利略速度相加原理是不可能的（静止的你认为火车的速度是50 m/s，那么如果你以1 m/s的速度往前走你就会认为火车的速度只有49 m/s，显然不会仍然是50 m/s），但是电磁学却实实在在地告诉我们光速是不会变的。呐，这就是相对论的由来了。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&10. 方向性&/b&&/p&&p&可能有同学已经发现，我们的讨论中似乎忽略了很重要的一部分就是方向性。毕竟初高中学电磁的时候，出现了各种左手、右手定则（插一句，请一定一定忘掉左手定则，使用左手简直反人类，在正统的向量微积分和电磁学里&b&只有右手定则&/b&）。在之前对于麦克斯韦方程组的诠释中，我们似乎很少提及方向。麦克斯韦方程组描述了方向性吗？&/p&&p&答案是肯定的。方向或者说手性（为什么是“右手”定则而不是“左手”定则？）来自于叉乘的定义和面积的向量微分元素的定义。我们定义叉乘 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D+%5Ctimes+%5Cmathbf%7Bv%7D& alt=&\mathbf{u} \times \mathbf{v}& eeimg=&1&& 是一个向量，指的方向是垂直于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D& alt=&\mathbf{u}& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bv%7D& alt=&\mathbf{v}& eeimg=&1&& 的方向；但显然有两个不同的方向均满足这个条件，而我们选择了其中特定的一个，把选择的这个规则叫做“右手定则”。类似地，一个曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 也有两个方向（即其微分元素 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%5Cmathbf%7Ba%7D& alt=&d\mathbf{a}& eeimg=&1&& 是向量）。注意到曲线积分也是有方向性的（即其微分元素 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%5Cmathbf%7Bl%7D& alt=&d\mathbf{l}& eeimg=&1&& 也是向量），因此我们把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%5Cmathbf%7Ba%7D& alt=&d\mathbf{a}& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%5Cmathbf%7Bl%7D& alt=&d\mathbf{l}&}