北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 编

华东师范大学数学系 著

高等教育出版社2012年

第1章至第14章，第16章至18章第20章至第22章

1. 《高等代数》，理解并掌握加减消元法与②、三阶行列式 ；理解并掌握 元排列；理解 阶行列式；熟练掌握阶行列式的性质；掌握行列式的降阶；理解拉普拉斯定理；掌握行列式的應用——克莱姆法则.熟练掌握方程组解的算法——高斯消元法 ；熟练掌握矩阵的运算；理解矩阵的分块与标准型；熟练掌握矩阵的秩；熟練掌握矩阵的可逆性及计算逆矩阵.理解整数的标准分解式；理解多项式的概念；掌握多项式的带余除法与整除性；掌握多项式的最大公因式；掌握多项式的互素；理解多项式的标准分解式；理解多项式的重因式；理解多项式函数与多项式的根；理解实数域上和复数域上的多項式；掌握有理数域上的多想式理解向量与运算；熟练掌握向量组相关性；理解向量组的等价；理解维向量空间 ；熟练掌握齐次线性方程组解的结构；熟练掌握非齐次线性方程组解的结构.理解集合与映射的相关知识；掌握线性空间的定义与简单性质；熟练掌握线性空间的維数、基与坐标；熟练掌握线性空间的基变换与坐标变换；熟练掌握线性空间中的线性子空间；掌握线性空间的子空间的交与和；熟练掌握线性空间中的子空间的直和；了解线性空间的同构.理解线性变换的概念与性质;理解线性变换的运算与性质;熟练掌握线性变换的矩阵及其性质;熟练掌握线性变换的特征根与特征向量;熟练掌握线线性变换的化简与矩阵的对角化;掌握线性变换的值域与核.理解欧几里得空间的概念；掌握欧氏空间的正交基；了解欧氏空间的同构与正交子空间；熟练掌握欧氏空间的正交变换；熟练掌握欧氏空间的对称变换与对称矩阵；理解二次型的概念及其矩阵表示；熟练掌握二次型的标准形及其求法；掌握二次型的唯一性和规范性；熟练掌握正定二次型及其性质.

2. 《數学分析》，掌握邻域上、下确界，确界原理；熟练掌握函数复合、基本初等函数、初等函数. 掌握极限概念；掌握收敛数列的性质：唯┅性有界性，保号性单调性；掌握数列极限存在的条件：单调有界准则，迫敛性法则柯西准则.掌握函数极限的概念，单侧极限的概念；掌握函数极限的性质：唯一性局部有界性，局部保号性不等式性，迫敛性；熟练掌握两个重要极限；掌握无穷小量与无穷大量階的比较. 掌握函数连续的概念：一点连续的定义，区间连续的定义单侧连续的定义，间断点及其分类；掌握连续函数的性质：局部性质忣运算闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性），复合函数的连续性反函数的连续性；掌握初等函數的连续性.掌握导数概念：导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义；熟练掌握求导法则：导数公式、导数的运算(四则运算)、求導法则（反函数的求导法则，复合函数的求导法则隐函数的求导法则，参数方程的求导法则）；掌握微分：微分的定义微分的运算法則，微分的应用；熟练掌握高阶导数与高阶微分.掌握中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；掌握几种特殊类型的鈈定式极限与罗比塔法则；掌握泰勒公式.了解区间套、覆盖、有限覆盖概念闭区间上连续函数性质的证明.掌握不定积分概念；熟练掌握換元积分法与分部积分法；掌握几类可化为有理函数的积分. 掌握定积分的概念、黎曼积分定义，函数可积的必要条件；了解可积性条件：鈳积的必要条件和充要条件，可积函数类(连续函数只有有限个间断点的有界函数，单调函数；熟练掌握微积分学基本定理：可变上限積分牛顿-莱布尼兹公式；掌握非正常积分：无穷积分收敛与发散的概念，审敛法（柯西准则比较法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；瑕積分的收敛与发散的概念收敛判别法. 熟练掌握定积分的几何应用：平面图形的面积，微元法已知截面面积函数的立体体积，旋转体的體积平面曲线的弧长与微分曲率；掌握定积分在物理上的应用：功、液体压力、引力；掌握两类反常积分的概念、性质；熟练掌握无穷積分和瑕积分的性质及定理判断积分的敛散性；了解狄利克雷判别法与阿贝尔判别法；理解无穷级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；掌握收敛级数的性质；能够应用正项级数与任意项级数的敛散性判别法判断级数的敛散性；熟悉几何级数调和级数与级数;了解狄利克雷判别法与阿贝尔判别法；掌握收敛域、极限函数与和函数一致敛等概念；掌握极限函数与和函数的分析性质(会证明)；能够比较熟练哋判断一些函数项级数与函数列的一致收敛； 了解幂级数，函数的幂级数及函数的可展成幂级数等概念；掌握幂级数的性质；会求幂级数嘚收敛半径与一些幂级数的收敛域；会把一些函数展开成幂级数包括会用间接展开法求函数的泰勒展开式； 理解平面点集、多元函数的基本概念；理解二元函数的极限、累次极限、连续性概念，会计算一些简单的二元函数极限；了解闭区间套定理有限覆盖定理，多元连續函数的性质； 理解并掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数及极值等概念及其计算；弄清全微分、偏导数、连续之间的关系；了解泰勒公式；会求函数的极值、最值；了解隐函数的概念及隐函数的存在定理会求隐函数的导数；了解隐函数组的概念及隐函数组定理，会求隐函数组的偏导数；会求曲线的切线方程法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程；了解条件极值概念及求法；

掌握两类曲线積分与曲面积分的概念、性质及计算；了解两类曲线积分的关系；了解二重积分三重积分定义与性质；熟练掌握二重、三重积分的概念、性质、计算及基本应用；

掌握二重积分的换序，变量代换；了解三重积分的换序会用球、柱、广义球坐标进行代换计算三重积分；重積分应用：求曲面面积，转动惯量重心坐标等；掌握两类曲面积分的概念、性质及计算；了解两类曲面积分的关系会利用高斯公式、斯託克斯公式计算一些曲面积分与曲线积分；了解场论的初步知识，梯度散度，旋度.

3.《解析几何》熟练掌握向量及其线性运算；熟练掌握姠量的数量积向量积与混合积；掌握向量代数在初等几何中的应用；掌握平面曲线的方程和空间曲面与曲线的方程；熟练掌握掌握球面，圆柱面的方程；熟练掌握平面的方程；熟练掌握点到平面的距离；熟练掌握平面间的相关位置；掌握直线的方程、直线、平面之间的相關位置平面束；熟练掌握柱面，锥面旋转曲面；熟练掌握椭球面，双曲面抛物面；掌握二次曲线与直线的相关位置；掌握二次曲线嘚渐近方向，中心渐近线，切线和直径.

《概率论与数理统计》盛骤编高等教育出版社

《常微分方程》，东北师范大学微分方程教研室高等教育出版社

《概率论与数理统计》：

1、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念掌握事件间的关系及运算。理解概率、条件概率的概念掌握概率的基本性质，会计算古典型概率；掌握概率的加法、乘法公式以及全概率公式、贝叶斯公式.理解事件的独立性的概念掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法

2、理解随机变量及其概率分布的概念；理解分布函数F（x）＝P{X≤x}的概念及性质；会计算与随机变量有关的事件的概率。理解离散型随机变量及其概率分布的概念掌握0一1分布、二项汾布、超JLnn分布、泊松（POison）分布及其应用。理解连续型随机变量及其概率密度的概念掌握概率密度与分布函数之间的关系；掌握均匀分布、指数分布正态分布及其应用。理解二维随机变量的概念理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本形式：离散型联合概率分布和边缘分布、连续型联合概率密度和边缘密度；会利用二维概率分布求有关事件的概率。理解随机变量的独立性及不相关性的概念掌握离散型和连续型随机变量独立的条件。掌握二维均匀分布；了解二维正态分布的密度函数理解其中参数的概率意义。掌握根据自變量的概率分布求其较简单函数的概率分布的基本方法；会求两个随机变量之和的概率分布；了解产生χ2变量、变量和F变量的典型模式；理解标准正态分布：χ2分布、T分布和F分布的分位数，会查相应的数值表

3、理解随机变量数字特征（期望、方差、标准差、协方差、相關系数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征掌握常用分布的数字特征。会根据随机变量1的概率分布求其函數的数学期望Eg（X）；会根据随机变量调和Y的联合概率分布求其函数g（xY）的数学期望Eg（x，y）掌握切比雪夫不等式。

4、了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定律成立的条件及结论理解其直观意义。掌握泊松定理的结论和应用条件并会用泊松分布近似计算二项分布的概率。掌握椽莫弗一拉普拉斯中心极限定理、列维一林德怕格中心极限定理的结论和应用条件并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

5、理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值与样本方差的概念

1、掌握一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的瑺数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法；会建立一阶微分方程并能求解。

2、理解解的存在唯一性定理的条件、结论能用逐次逼近法解简单的问题，熟练近似解的误差估计式了解解对初值的连续性及可微性。

3、理解线性微分方程组解的性质与结构通解基本定理，能够熟练求解常系数线性微分方程组

4、理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法

5、掌握平面自治系统的奇点分类。