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傅里叶信息光学Chap3-2
§3-1 光波的数学描述二、球面波 : 近轴近似a0 ? k 2 2 ? U ( P) ? U ( x, y) ? exp( jkz ) exp? j ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? z ? 2z ?对给定平面 是常量 随x, y变化的二次位相因子 球面波特征位相??已将球面波中心取在 z = 0的平面, 且光波沿 z 轴正方向传播. 如果 z & 0, 上式代表从 S 发散的球面波. 如果 z & 0, 上式代表向 S 会聚的球面波. x-y 平面上等位相线方程 : 球面波中心 在原点:?x ? x? ? ? ? y ? y ? ????Ca0 ? k 2 2 ? U ( x, y) ? exp( jkz ) exp ? j ( x ? y )? z ? 2z ?光波的数学描述平面波的空间频率: 一般情形 U ( x, y) ? A exp[ jk ( x cos? ? y cos ? )]定义:复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率 平面波在x和y方向的空间频率分别为: 1 cos? 1 cos? cos?, cos? 为波 fx ? ? ; fy ? ? 矢的方向余弦 X ? Y ?若波矢在x-z平面(或y-z平面)中, ? ?或?? 又常用它 们的余角qx (或qy)表示,故: 1 sin qfx ?X??x1 sin q y 或 fy ? ? Y ?引入空间频率概念后, 单色平面波 在xy 平面的复振幅分布可以表示为U ( x, y ) ? A exp[ j 2? ( f x x ? f y y )]#§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播1、复振幅分布的角谱Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)进行傅里叶分析:??U ( x, y, z ) ? ???? A( f??x, f y , z ) exp[ j 2? ( f x x ? f y y)]df x df y即: 把U(x,y,z)看作不同空间频率的一系列基元函数exp[j2?(fxx+fyy)] 之和, 各分量的叠加权重是A(fx, fy,z).A( f x , f y , z ) ? ? ? U ( x, y, z ) exp[ ? j 2? ( f x x ? f y y)]dxdy??称为x-y平面上复振幅分布的频谱 物理上, exp[j2?(fxx+fyy)] 代表传播方向余弦为cos?=?fx, cos?=?fy 的 单色平面波在xy平面的复振幅分布, U(x,y)是不同平面波分量分布的 线性叠加.每个分量的相对振幅和初位相由频谱A(fx, fy)决定. #§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播1、复振幅分布的角谱根据fx ?cos??;fy ?cos ??可将频谱函数A(fx, fy,z)用表示各平面波传播方向的角度为宗量：cos ? cos ? cos ? cos ? A( , , z ) ? ? ? U ( x, y, z ) exp[ ? j 2? ( x? y)]dxdy????????cos? cos? A( , , z)??称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不 同传播方向(???)的单色平面波的振幅(|A|) 和初位相(arg{A})角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空 间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示 #复振幅分布的角谱： 例在x-y平面上, 光场复 振幅分布为余弦型: 可以分解为::U ( x, y) ? Acos( ?f0 x) 2A U ( x, y) ? U ( x) ? [exp( j 2?f 0 x) ? exp(? j 2?f 0 x)] 2U(x,y)的空间频谱函数:A( f x , f y ) ?A {A cos(2?f 0 x)} ? [? ( f x ? f 0 ) ? ? ( f x ? f 0 )] 2cos? cos? A( , ) ? A( f x , f y )U(x,y)的空间角谱函数:??fx ?cos??, fy ?cos ??cos ? cos ? A ? ? cos ? ? ? cos ? ?? A( , ) ? ?? ? ? f0 ? ? ? ? ? f 0 ?? ? ? 2 ? ? ? ? ? ?#§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播2、平面波角谱的传播 Propagation of Plane-Wave Angular Spectrum孔径平面（ z =0） P(x,y,0)光场分布 U0(x,y,0) 观察平面（ z =z） P(x,y,z) 光场分布 U (x,y,z)zU0(x,y,0)与U (x,y,z)的关系如何？――传播的问题 先找到相应的角谱A(fx, fy,0)和A(fx, fy,z)之间的关系――角谱的传播 角谱是xy平面上复振幅分布U(x,y)的空间频谱, 其空间 频率宗量用传播矢量的方向余弦表示按角谱的观点: 孔径平面和观察平面上的光场, 均看成许多不同方 向传播的单色平面波分量的线性组合.每一平面波的相对振幅和位 相取决于相应的角谱2、平面波角谱的传播角谱是传播距离 z 的函数在孔径平面(x,y, 0)的光场U0(x, y , 0) :U 0 ( x, y,0) ? ? ? A(?? ?cos ? cos ? cos ? cos ? cos ? cos ? , ,0) exp[ j 2? ( x? y )]d ( )d ( )??????传播距离z后到达(xyz)平面, 光场变化为U(x,y,z),U ( x, y, z ) ? ? ? A(?? ?cos ? cos ? cos ? cos ? cos ? cos ? , , z ) exp[ j ?? ( x? y )]d ( )d ( )??????cos? cos? cos? cos? A( , ,0) 变化为 A( 传播的效应体现为角谱由 . ? , ? , z) ? ?A是空间频率(角度)的函数, 同时是z的函数.#2、平面波角谱的传播找出角谱随 z 变化的函数关系思路: 找出并求解A满足的对z的微分方程. 将U(x,y,z)的表达式U ( x, y, z ) ? ? ? A(?? ?cos ? cos ? cos ? cos ? cos ? cos ? , , z ) exp[ j ?? ( x? y )]d ( )d ( )??????代入亥姆霍兹方程 (?2+k2)U(x,y)=0, 并交换积分和微分的顺序? ? cos? cos? ? ? cos? ?? ? ? cos? ? ? cos? ? ? cos? ? ???(? ? k )? A? ? , ? , z ? exp? j 2? ? ? x ? ? y ???d ? ? ?d ? ? ? ? 0 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 ??? ?z 22? ?2 ?2 ? ? 2? 2? ? ?x ?y ? ? ?对任何 x,y,z 均应成立, 故2 cos? cos? ?? cos? cos? ? ? d 2 ? cos? cos? ? 2 ? cos? cos? ? ? ? ? ? A? , , z ??? 4? 2 ? ? ? ? ? dz2 A? ? , ? , z ? ? k A? ? , ? , z ? ? 0 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?#2、平面波角谱的传播角谱沿 z 传播遵循的规律2 cos? cos? ?? cos? cos? ? ? d 2 ? ? ? ? A? , , z ??? 4? 2 ? ? ? ? ? dz2 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? cos? cos? ? 2 ? cos? cos? ? A? , , z ? ? k A? , , z? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ?d2 dz2? cos? cos? ? 2 ? cos? cos? ? A? , , z ? ? k (1 ? cos2 ? ? cos2 ? ) A? , , z? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ?A( cos? cos? , ,0)初始条件: z = 0 时, A =??(孔径平面).微分方程的解为:? cos ? cos ? ? ? cos ? cos ? ? A? , , z ? ? A? , ,0 ? exp( jkz 1 ? cos 2 ? ? cos 2 ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? 方向余弦 cos2? ? cos2? & ? 的不同平面波?传播过程中振幅 不改变? 但经受不同的相移? 方向余弦 cos2? ? cos2? ? ? 的平面波?g ????? k 在xy 平面,不 沿 z 轴传播? cos2? ? cos2? & ?: 代表倏逝波 #2、平面波角谱的传播传播现象作为线性空不变系统? cos ? cos ? ? ? cos ? cos ? ? A? , , z ? ? A? , ,0 ? exp( jkz 1 ? cos 2 ? ? cos 2 ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?A? f x , f y ?A0 ? f x , f y ?fx ?系统的输出cosα cos β , fy ? λ λ系统的输入表征系统频谱特性的传递函数 ： A( f x , f y ) ? ? H?fx, fy ?? ? exp? jkz ? ? ??f x ? ? ??f y ? ? ? ? ? ? A? ( f x , f y )? ? 2 2 exp jkz 1 ? ?λf x ? ? ?λf y ? ? ? ? ? ? H ? fx , f y ? ? ? ? 传递函数: ?0 ?系统的f x2 ? f y2 & 其1 λ2 他2、平面波角谱的传播传播现象作为线性空不变系统? ? 2 2 exp jkz 1 ? ?λf x ? ? ?λf y ? ? ? ? ? ? H ? fx , f y ? ? ? ? 传递函数: ?0 ?系统的1 f ?f & 2 λ 其 他2 x 2 yfy 1/? fx0把光波的传播现象看作一个带宽有限 的空间滤波器。在频率平面上的半径 为1/?的圆形区域内，传递函数的模为 1，对各频率分量的振幅没有影响。但 要引入与频率有关的相移。在这一圆 形区域外，传递函数为零。对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率 大于1/?的信息，在单色光照明下不能沿z方向向前传 递。光在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的。§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播3、衍射孔径对角谱的作用Effect of Diffraction Aperture on Angular Spectrum孔径的复振幅透过率： t (x0,y0) = 1 在∑内 0 其它光场通过衍射屏后的变化： Ut (x0,y0) = Ui (x0,y0) t (x0,y0) 角谱的变化：F.T. At (fx,fy) = Ai (fx,fy) ? T (fx,fy)t (x0,y0)由于卷积运算具有展宽带宽的性质，因此，引入衍射孔径使 入射光波在空间上受到限制，其效应就是展宽了光波的角谱。§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播3、衍射孔径对角谱的作用例: 单位振幅平面波垂直入射照明一矩孔, 求角谱的变化Ui (x0,y0) = 1Ui (x0,y0) Ut(x0,y0)t (x0,y0)=rect(x0/a)rect(y0/b)Ai (fx,fy)= ? (fx,fy) T (fx,fy)=absinc(afx)sinc(bfy) At (fx,fy) = ? (fx,fy) ? T (fx,fy) = T (fx,fy) 角谱展宽 孔径限制了入射波面的范围, 展宽了入射角谱 故角谱的展宽就是在出射波增加了与入射光波传播方向不同的 平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。§2-3 标量衍射的角谱理论衍射现象平 面 波 入 射P U ?P ?几 何 阴 影 区(2)衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复 振幅 U(P) 能否用光场中各源点的复振幅表示出来。§2-3 标量衍射的角谱理论1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复 振幅 U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。P U ?P ?1. 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下 一时刻波阵面的方法.把波阵面上每一面元作为次级子 波的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面.(2)可以解释光的反射和折射, 预见光在通过简单孔径时的衍 射现象,判断光的传播方向. 不能定量计算. #§2-3 标量衍射的角谱理论1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式2. 菲涅耳子波干涉说 (1818): 子波间应当互相干涉,并且应当 考虑不同方向子波的差异. ― 惠更斯-菲涅耳原理 惠更斯-菲涅耳原理: 波阵面上任意未受阻挡的点,产生一个 与原波频率相同的子波. 此后空间任何一点的光振动是这 些子波叠加的结果. 其数学表述为:e jkr U ( P) ? c ? U ( P0 ) K (q ) ds ? r观察点 (场点) 复振幅 常数 源点 倾斜 球面 幅相 光扰动 因子 子波 因子 表达式 相干叠加§2-3 标量衍射的角谱理论1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式在单色点光源照明平面孔径的情况下:惠-菲原理U ( P) ? c ? U ( P0 ) K (q )?ejkrrdsn r' ∑P0 r基尔霍夫 边界条件PP’1 ? cos(n, r ) ? cos(n, r ' ) ? e jkr ? U ( P) ? U ( P0 )? ??? ? r ds j? 2 ? ?基尔霍夫衍射公式 常数幅相因子 1/j? 自动出现，K(q)函数形式确定#§2-3 标量衍射的角谱理论1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式1 ? cos(n, r ) ? cos(n, r ' ) ? e jkr ? U ( P) ? U ( P0 )? ??? ? r ds j? 2 ? ?在傍轴近似下cos(n, r ) ? cos(n, r ' ) ?1 22 2 2r ? z ? ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 )随近似程度的不同, 将衍射现象分为菲涅耳衍射和 夫琅和费衍射.#§2-3 标量衍射的角谱理论1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳衍射公式? 1 ? x ? x0 ?2 1 ? y ? y0 ?2 ? 略去 (x-x0)/z 和 (y-y0)/z r ? z ?1 ? ? ? ? ? ? ? 的二次以上的项, 则 ? ? 2? z ? 2? z ? ? ?在振幅部分取r的一级近似, 位相因子用r的二级近似, 代入基尔霍夫公式, 即得菲涅耳衍射公式1 ? k ? U ( x, y ) ? exp( jkz ) ? ? U ( x0 , y0 ) exp? j [( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ]?dx0 dy0 j?z ? 2z ? ????在菲涅耳衍射公式基础上再做远场近似，可得夫琅禾费衍射公式。§2-3 标量衍射的角谱理论2、基于平面波角谱的衍射理论从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题 xyz平面的光场分布的角谱与x0y00平面角谱的关系（角谱传播）：cos? cos? cos? cos? A( , , z) ? A( , ,?) exp jkz ? ? cos? ? ? cos? ???????注意fx=cos? /?, fy=cos? /? ，上式可写为:? jkz 1 ? ?2 f 2 ? ?2 f 2 ? A( f x , f y ) ? A0 ( f x , f y ) exp? x y ? ? ?这就是衍射现象的频域（角谱）表达式。衍射现象的传递函数： ( f , f ) ? exp? jkz 1 ? ?2 f 2 ? ?2 f 2 ? H x y ? x y ???§2-3 标量衍射的角谱理论2、基于平面波角谱的衍射理论从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题xyz平面的光场分布按其角谱展开：U ( x, y, z ) ? ? ? A(?? ?cos ? cos ? cos ? cos ? cos ? cos ? , , z ) exp[ j ?? ( x? y )]d ( )d ( )??????xyz平面的光场分布的角谱与x0y00平面角谱的关系（角谱传播）：A( cos? cos? cos? cos? , , z) ? A( , ,?) exp jkz ? ? cos? ? ? cos? ???????综合得到（注意fx=cos? /?, fy=cos? /? ):?? U ( x, y, z ) ? ? ? A? ( f x , f y ,?) exp( j z ? ? ?? f x? ? ?? f y? ) exp[ j ?? ( f x x ? f y y)]df x df y ? ??A0 ( f x , f y ,0) ? ? ? U 0 ( x0 , y0 ,0) exp[ ? j 2? ( f x x0 ? f y y0 )]dx0 dy 0?? ???§2-3 标量衍射的角谱理论2、基于平面波角谱的衍射理论从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题xyz平面的光场分布与x0y00平面光场分布的关系：?U ( x, y, z ) ? ??? ? U ( x0 , y0 ,0) exp( j??2?z?1? ? fx ? ? f y )2 2 2 2?exp{ j 2? [ f x ( x ? x0 ) ? f y ( y ? y0 )]}dx0 dy0 dfx dfy即为普遍的衍射公式。 使用时需要化简。 在不同的近似条件下，可 以得到菲涅耳衍射公式和夫琅禾费衍射公式
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什么是向量的方向余弦,方向角,
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这是空间向量的一个基本概念问题. 设向量a={x,y,z}, 向量a°是向量a的单位向量, |a°|=1. 则 a°=(cosα)i+(cosβ)j+(cosγ)k, 式中,i,j,k 是坐标单位向量； 式中,α,β,γ就叫做向量的方向角；cosα,cosβ,cosγ就叫做方向余弦.
明白了。一定给你好评，还有就是什么是向量的点乘，什么是向量的叉乘
如果只知道向量a=(x,y,z),如何求他的方向余弦，方向角
已知：向量a={x,y,z}.
则 |a|=√(x^2+y^2+z^2),
由 (cosα/x)+(cosβ)/y+(cosγ)/z=1/|a|=1/√(x^2+y^2+z^2).
【这是向量坐标、向量模和方向余弦的关系式， 三者中，任意知道两个，就可以由此关系式求出另一个未知量】
方向余弦：
cosα=x/|a|. －－－>方向角： α=arccos(x/|a|)；
cosβ=y/|a|,
β=arccos(y/|a|)；
cosγ=z/|a|,
γ=arccos)(z/|a|).
向量的“点乘”或曰向量的”数量积“，符号表示：向量a.向量b,
a.b=|a||b|cos. 点积的结果是数量，或叫”标量“
向量的”叉积“或曰向量的“矢量积” ，符号表示：向量a×向量b， 叉积的结果是矢量(向量).
a×b=(absinθ)c°, 式中c°表示垂直于a,b二向量的单位向量，其方向符号右手法则。(即：
右手逆时针握拳，拇指的指向，就是单位向量c°的方向。)
|a×b|=absinθ=以向量a、向量b为邻边的平行四边形的面积。
好了，就简单地介绍这点基础概念，更多的在以后你学到这门(矢量学)课程时会清楚的，祝学习有成！
还有就是什么是向量的点乘，什么是向量的叉乘
你好好看看第一次“追问”的回答，已经解析清楚了。
请你在这一道题中，不要再“追问”了，否则，连追三次，我要被扣分。我辛辛苦苦回答这么多，不仅得不到回报，反而要受损。请你原谅。"向量“是一门学科，不是几句话能说清楚的。
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向量的方向余弦怎么求
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式中,α,β,γ就叫做向量的方向角；cosα,cosβ,cosγ就叫做方向余弦这是空间向量的一个基本概念问题.设向量a={x,y,z}, 向量a°是向量a的单位向量, |a°|=1.则 a°=(cosα)i+(cosβ)j+(cosγ)k, 式中,k 是坐标单位向量,i,j
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