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由下列不等式：，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
题型：解答题难度：中档来源：江苏月考题
解：根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：．用数学归纳法证明如下：①当n=1时，1，猜想正确．②假设n=k时猜想成立，即，则n=k+1时，==，即当n=k+1时，猜想也成立，所以对任意的n∈N+，不等式成立．
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据魔方格专家权威分析，试题“由下列不等式：，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．-高..”主要考查你对&&数学归纳法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
数学归纳法
对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法叫做归纳法。归纳法包括完全归纳法和不完全归纳法。
数学归纳法：
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立； （2）假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立； 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法的特点:
①用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，两步同样重要，两步骤缺一不可； ②第二步证明，由假设n＝k时命题成立，到n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归纳法； ③最后一定要写“由（1）（2）……”。
数学归纳法的应用：
（1）证明恒等式； （2）证明不等式； （3）三角函数； （4）计算、猜想、证明。
发现相似题
与“由下列不等式：，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．-高..”考查相似的试题有：
403960244359498872443930442453486268做4-5题。_百度知道
我有更好的答案
x＜2∵关于x的不等式组整数解有三个∴x可取1，-1∴2&gt4.将不等式组的两个不等式记作 1（第一个不等式）、2（第二个不等式）由2得,0：-2x &x≤-1由1得x≥a2≥a&-15.将不等式组的两个不等式记作 1（第一个不等式）、2（第二个不等式）由1得x≥4-2a由2得x＜2分之3+b∵解集为0≤x＜1∴4-2a=02分之3+b=1
b=-1∴a+b=1本人仅凭个人见解答题
由第二个不等式得出x&-1，即-1-a&=0所以a的取值范围为-1到负无穷，我不知答案对不对，你等下发答案过来
两题给你分开拍
你在坑吗？？
你采纳的事什么答案
提问者是什么节奏，乱采纳，果断屏蔽
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已知3个不等式 1.ab＞0 2.a/c＞b/d 3.bc＞ad,以其中两个做条件,余下一个做结论,写出两个能成立的不等式是不等式命题..错了..第二个是c/a＞d/b我不懂网上怎么大的
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1. 若c/a>d/b, 且bc>ad, 则ab>0
这个命题只要c/a-d/b>0再通分,然后运用bc>ad就可以得到ab>02. 若c/a>d/b且ab>0, 则bc>ad
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一个二元一次不等式组,第一个不等式是x+2y=5,第二个不等式是5x+3y=1,这个不等式的解是?
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由1得 x=5-2y 带入25(5-2y)+3y=125-10y +3y=1-7y=-24 y=24/7x= - (13/7)
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y=7/24x=53/12
y=24/7 x= -13/7
(1)5x+3y=1
(2)由（1）得 x=5-2y
(3)(3)代入（2）得 25-10y+3y=1
y=24/7代入（1）得 x=-13/7∴x=-13/7y=24/7
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头像镇楼（镇楼图不就是为了吸引你们的注意力嘛。。。）：吉大化院镇楼（影响我这一年最重要的地方，好的&坏的）：
目录：前言三道小题（一）一些基础。。。（二）不等式的一些直观解释。。。（三）谈谈放缩法。。。（四）杂谈 关于配方法。。。（五）杂谈 差分代换。。。（六）杂谈 谈谈切线法及其推广（七）介绍几个重要的不等式①。。。（八）介绍几个重要的不等式②。。。（九）杂谈 再谈配方法。。。。（十）关于函数实根分别和不等式解集问题。。。。。。。（十一）谈谈齐次形式不等式的程序化处理①对称整理类。。。（十二）谈谈齐次形式不等式的程序化处理②Schur拆分法。。。（十三）细化赫尔德(Hölder)不等式&引入闵可夫斯基(Minkowski)不等式。。。。（十四）幂平均函数及其他。。。。。。。（十五）SOS定理。。。（十六）凸函数理论及受控理论。。。（十七）杂谈 克劳修斯（Clausius）不等式与热力学第二定律。。。。（十八）关于机械化方法的历史。。。（十九）多元函数极值的偏导方法。。。。（二十）解析——几何与代数的桥梁小测试 A（轮换不等式）小测试 B（含参情况）小测试 C（对称破缺）
前言：不等式博大精深，源远流长。。。。（流啊流）。。。。（哗哗）。。。。。。。。。。。事实上不等式作为一个专门方向是在哈代等人的名著《Inequality》出版之后的事了，这个名著竟然就是那三个人为了娱乐才写的私人性作品，所以跟几何比起来真是年轻多了。。。不过这不重要，数学竞赛中，不等式早已与几何分庭抗礼了，虽说不等式近年来不怎么爱考了（事实上好像考得也不少），但是人们研究不等式的热情依旧高涨，主要是研究的时候计算有点过了，出不出来什么题，一出就是考计算。。。当然闲来无事，看看这些(po)题也很好嘛。。。由于这几百年来的不断研究，一个人若是能深入不等式的每一个领域已经不大现实，事实上，不等式是一种思想，渗透在数学，以及自然科学，社会科学，人文艺术的每一个角落。五个不等号，承载着与等号相当的内涵，随着社会的发展，正不断地被人们发掘出来，渐渐地与等量关系平分秋色了。我是个学化学的（虽然现在是高中生，但是这基本定了），人们一想，学化学的不懂什么数学，确实啊，我也不怎么懂数学，懂数学的也不屑于与我们交谈，所以我只能跟同样不懂数学的交流交流。。。我喜欢的是统一证明，追求简洁性，相信“大道至简”，不怕计算量，就怕思维量。。。我这种人怎么懂数学？所以我根本就学不了数学。。。我相信这个帖子在许多人眼中是“充斥着暴力、无聊，毫无美感可言，不值得一看”，但是这里面不缺乏技巧，这里的技巧，不是小技巧，而是大技巧，像本因坊道策的围棋一样。小技巧并非不重要，那是对计算量的补充。毕竟，“思维量与计算量互补”。但是小技巧很杂很多，唯有经历过专门训练的人才能信手拈来。我又没有经历过数竞培训，自然没有系统的了解过这写东西，所以我也不会。这里我介绍的每一种方法，都是用来解决一类问题的，即向计算量补充思维量的方向发展。很多代数恒等变换自然不是我手算的，但是我从来没说过要你手算。。。这只是交代一种思想罢了。。。里面出现的大部分题都是我解的或是出的，权当我自已为了收集一下罢了。差不多就这样了，我们看看内容。。。
我出三道小题，作为你们的自我检测，如果做不上来，你你还需要多练习练习。如果可以，那我们继续看：①对于实数 x , y , z 证明：②求 f(x) = x^x 的最小值。③对于正数 a , b , c 满足 a + b + c = 1 , 证明：感觉如何？一般来说都可以做出来，我们继续。
（一）一些基础。。。因为懒，我们发明了这么两个符号:sss.这是懒到cyc都不写了。。。之后不引人sym，（写起来）太麻烦。。。因为懒，再引入逻辑符号：且& ,或|| ,推出=& ,逆推出&= ,等价于&=& ,当且仅当iff 我总说的sss.是“事实上”的意思。。。说说基本性质：三分律：任何两个实数都有确定的序关系。对逆性：a & b &=& b & a传递性：a & b || b & c =& a & c.单调性：a & b =& a + c & b + c.完事了。。简单吧。。。谈谈“加糖原理”（糖水不等式，糖水更甜原理and more...）：这个式子看似简单，到IMO上去也能用得着。。。例如IMO46：对于正数 x , y , z 满足xyz ≥ 1证明：证明：设x = k a , y = k b , z = k c使得abc = 1（这样就完成了齐次化工作，根据后面点知识很容易证明下式）sss.我们经常用加糖原理证明一类条件上带有不等号的结论。加糖原理可推广至“溶液混合原理”：更广泛的是“加权混合原理”：这些式子可以通过他们的名字去简单的理解。对于（很多高端的）不等式来说，绝对值既基础又高端。。二元形式的（绝对值）三角不等式：对于实数a , b（可推广至复数或向量），有：n元形式的（绝对值）三角不等式：对于实数a_k（可推广至复数或向量），有：三角不等式是度量空间的基本性质，无论对那种度量来说，三角不等式都是成立的。对许多中学生来说度量即:这很好。。sss.非负性，同一性，对称性，三角不等式是度量空间的四条腿。。。在很多时候将式子放到其他度量空间中研究，会事半功倍。但是这个我不讲也讲不明白。。。。
（二）不等式的一些直观解释。。。有人说：“什么是不等式， 我看不懂代数结构啊。”众所周知，你看的书要是有图，自己要是不板着点，过一会你就变成看图不看字了。。。所以我就要你看图。。。为什么f(x) = x^2≥0?OK,看明白了。。为什么68 - 120 x + 40 x^2 + 10 x^8 + 2 x^9 + x^10 ≥ 60 x^3 - 124 x^4 + 40 x^5 - 9 x^6 + 34 x^768 - 120 x + 40 x^2 + 10 x^8 + 2 x^9 + x^10 -(60 x^3 - 124 x^4 + 40 x^5 - 9 x^6 + 34 x^7) = (x - 1)^2 (x^2 + 4 x + 17) (x^3 - 2)^2 ≥ 0.我上哪知道去！！！看看图吧。。大于1那部分真是相当紧。。。也不是那么紧吗。。。这就是画图的劣势。。二元的也一样：为什么(a + b)/2 ≥ sqrt(ab)呢？如图：对于三元形式，我们可以用动态规划的方法理解：对于条件a^2+b^2+c^2=2 , a+b+c的最小值如何？看出a+b+c=√6时，两图像相切。所以根据高中线性规划的知识可知a+b+c≥√6，当且仅当a=b=c=√6/3时取等。
前排——为了联赛不择手段的数竞狗萌萌滴说
（三）谈谈放缩法。。。原则上没有一个绝对的最强不等式，只有满足一定条件限制的最强情况。就比如说三元三次完全对称形整式中最强的为三次Schur不等式：对于正数a , b , c有：但是去掉条件整式，我们提出来这个式子：对于正数a , b , c有：可见，我们传说的Schur也被放缩了。。。证明可见：所以说，一切不等式原则上都可以用放缩法解决。。。只是简不简单了。。。为了形象的理解，我们用一元不等式作图解释：利用公切线y = x放缩证明：exp(x)-1 ≥ x ≥ ln(x+1). 放缩是无穷无尽的：1+x ≤ 1+x+x^2/2 ≤ 1+x+x^2/2+x^3/6 ≤ 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24 ≤ 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120 ≤ 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+x^6/720 ≤ 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+x^6/720+x^7/5040 ≤ 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+x^6/720+x^7/5040+x^8/40320 ≤ 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+x^6/720+x^7/5040+x^8/40320+x^9/362880 ≤ 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+x^6/720+x^7/5040+x^8/40320+x^9/362880+x^10/3628800 ≤ ... ≤ exp(x)推广（包括证明方法）与紧化是不等式专家们不懈追求的东西，更是他们的乐趣所在。事实上，发现问题比解决它更为重要，漂亮的解决一个问题，是不等式爱好者们喜欢追求的东西，提出一个漂亮的问题，是不等式专家们热衷的话题。四次Schur是一个强度一般的结论，我们提出了一些补充：三元四次完全对称不等式中，最强的为：可转化为基本对称多项式的形式：附带说一下：三元四次轮换对称不等式中，最强的为：容易看出，这里面出现了参数p，而三次Schur却是被固定的参数，这是因为不等式的自由度增加了，自由度这个词我从分析力学中借用过来，可能有更规范的说法，我不去探寻了。为了方便，先设：三元三次完全对称最强不等式，要满足1.完全对称，所以根据对称多项式基本定理，不妨设：2.均值取等：27 + 9 x + y = 0.3.最强：证明得到：x = -1 , y = 6 化简得到熟悉的三次Schur。。。但是四次的就不好办了。。。还是这三个条件，到最后还有一个是自由变量。。。同样的n次情况有n - 3个自由变量，非常难办。。。不信可以试试。。。。
连续放缩条件：对于F(x_1,x_2,...,x_n) ≥ G(x_1,x_2,...,x_n)的证明过程中涉及到放缩f且能取得等号，则一般的，对于一组连续放缩：可以取等，则有：这给了放缩法最重要的参考条件——根据取等条件放缩。
（四）杂谈 关于配方法。。。（这讲里面说的是关于变量在整个实数域上的配方，而不是条件配方）上面说的都是初等不等式，事实上，还有什么微分不等式，积分不等式，图论不等式等等等等。。。一个人一辈子要是能都有研究，那可真是太厉害了。。。。反正我是做不到也不想做到。。第一，我没兴趣。第二，这最重要，我可是学化学的！！！举几个有关配方的例子：对于初等不等式，最重要的原理就是：对于实数x，x^2 ≥ 0.举个例子，对于实数x , y ，证明x^2 + y^2 ≥ 2 x y .显而易见x^2 + y^2 - 2 x y = (x - y)^2 ≥ 0 .这个例子真是太简单了，你快要笑话我了。。。再举一个，对于实数x , y，证明x^2 + y^2 ≥ x y .证明一：x^2 + y^2 - x y = (x - 1/2 y)^2 + 3/4 y^2 ≥ 0 .证明二：x^2 + y^2 - x y = 一看就霸气侧露。。。证明三：x^2 + y^2 - x y = 这是由“自由度”引出的无穷个小证明，事实上，配方常常是多种多样的。。。再举个栗子：对于实数x , y ，-2 ≤ k ≤ 2 ，证明x^2 + y^2 ≥ k x y .x^2 + y^2 - k x y = 当然，你可能觉得这都太无聊了。。。我也是，我考场上证明绝对不用这种损招。。配方的方法呢，我认为有三个：基础流配方，直觉配方，综合配方。。事实上还有SOS定理，那是一种不够直截了当的方法，所以后面再说。所谓基础流，就是老老实实算，老老实实配，应用一些基础的东西，比如拉格朗日(Lagrange)恒等式：给出它的二元形式和三元形式：二元：(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) - (a c + b d)^2 = (b c - a d)^2三元：(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) - (a x + b y + c z)^2= (a y - b x)^2 + (a z - c x)^2 + (b x - a y)^2 + (b z - c y)^2 + (c x - a z)^2 + (c y - b z)^2待定系数法配方：以上面证明证明x^2 + y^2 ≥ 2 x y的第二种方法为例，设：x^2 + y^2 - x y = (a x - b y)^2 + (a y - b x)^2 = (a^2 + b^2) x^2 - 4 a b x y + (a^2 + b^2) y^2则有：a^2 + b^2 = 1 & - 4 a b = -1，一共有四组解，其中一组就是上面那个。。。待定系数配方还会在后面讲到。在此分散难度，只做介绍。小Q代数变换提取因式配凑方法，那是小Q等人的绝技，我学不来。。。利用矩阵方法半定规划。。。。我讲了你能明白吗。。。更重要的是，我能讲明白吗。。。。。直觉配方，就是一种传说中的神秘方法，只可意会不可言传，持有配方直觉的神秘之人，可以凭空配方，百步穿杨，无一失手，堪称奇迹！比如说：参见：虽说是直觉配方，但也是有一定方向，第一，这种差分配方法，若是能取等，那么：这对初中生也是很显然的。。。第二，对于一个齐k次式，配出来的结果也应该是齐k次式。这两个原理虽说简单，但是很基本，也很好用。。。。综合配方就是先直觉猜出点什么东西，再基础配方优化。。。这个举不了例子。。。我好像没怎么用过。。。比如说证明拉格朗日恒等式时，将式子逐步调整成熟悉的平方和形式（只能靠经验）：今天讨论的都是定义在R上的变量，对于有限制的变量，比较复杂，同样日后再说。。。
继续上面说一点。。。1.配方法的理论基础在希尔伯特（Hilbert）第十七问题： 为实系数多项式，且对每个
可以表成实系数有理函数的平方和。这个问题在1927被阿廷（Emil Artin）解决，他的证明是简洁但高深的。。。我们这个定理知道就好。。。2.利用矩阵方法配方。实多项式F(x)可以表达成：F(x) = z^T Q zQ = L^T L我们还是举例说明吧。。。根据一点线性代数的方法可以求得：所以：我们试图证明这样一个式子来说明点什么：对于实数 x , y , z ，证明：x^2 + y^2 + z^2 - x y - y z - x z ≥ 0.注意到：这是这样来的：&&&& p = x^2 + y^2 + z^2 - x*y - y*z - x*z;&& [Q,Z,D]=findsos(p,'R');Size: 9 6SeDuMi 1.3 by AdvOL,
and Jos F. Sturm, .Alg = 2: xz-corrector, Adaptive Step-Differentiation, theta = 0.250, beta = 0.500eqs m = 6, order n = 4, dim = 10, blocks = 2nnz(A) = 6 + 0, nnz(ADA) = 36, nnz(L) = 21it : b*y gap delta rate t/tP* t/tD* feas cg cg prec0 : 3.13E+00 0.0001 : 1.11E-02 1.70E-02 0.000 0.0 0. 1 1 1.4E-022 : -6.72E-10 5.05E-09 0.000 0.0 1. 1 1 5.6E-073 : -9.25E-16 1.05E-14 0.000 0.0 1. 1 1 1.0E-12iter seconds digits c*x b*y3 0.1 14.9 0.e+00 -9.e-16|Ax-b| = 6.6e-15, [Ay-c]_+ = 0.0E+00, |x|= 2.1e+00, |y|= 6.8e-01Detailed timing (sec)Pre IPM Post4.003E-03 2.200E-02 1.006E-03 Max-norms: ||b||=1, ||c|| = 0,Cholesky |add|=0, |skip| = 1, ||L.L|| = 2.Residual norm: 6.6075e-15iter: 3feasratio: 1.0000pinf: 0dinf: 0numerr: 0timing: [0.0 0.0010]wallsec: 0.0270cpusec: 0.0625&& DD = [ 0.8165*x - 0.40825*y - 0.40825*z][ -0.40825*x + 0.8165*y - 0.40825*z][ -0.40825*x - 0.40825*y + 0.8165*z]这个比较容易，仔细看看0.8165就是\sqrt{\frac{2}{3}}，0.40825就是\frac{1}{\sqrt{6}}。。。当然，我可不知道老先生是怎么优化的。。。MATLAB毕竟是数值软件，用的是浮点数，能变成他的那一串漂亮的配方也真是需要点技术。。。。。否则啊，比如第一个：真让人无处下手。。。。有很多人，认为陈计先生的证明都是索然无味的，没有技术的，只要用软件就可以完成。这是完全错误的，诚然，陈计先生的证明多数依靠了计算机，但不是你有计算机，我有计算机就可以实现的。他有许多精巧的想法是可贵的，值得我们学习研究。
（五）差分代换。。。提到差分，我们觉得不太熟悉，但是微分我们很熟悉。。。这事实上有点本末倒置的感觉。差分，又名差分函数或差分运算，是数学中的一个概念。它将原函数f(x)映射到 f(x+z)-f(x+b)。它和微分之间千丝万缕的联系不言而喻。。。比起风姿卓越的差分配方，差分代换就好像一个破落户，一个大恶魔，大家看到了就想骂街。。。他惨无人道的破坏人见人爱的轮换性，非常符合鲁迅给悲剧的定义：“悲剧就是把美好的东西撕碎给你看，然而，把已经撕碎的东西再从新拼回给你看，那种不可名状的淡淡忧伤令人彷徨不安。”但是，差分代换很多时候十分有效且简洁明了，应当了解。看看这种差分代换（增量代换）方法的基本步骤，暂且以三元为例：1.分类①x ≥ y ≥ z②y ≥ z ≥ x③z ≥ x ≥ y④x ≥ z ≥ y⑤y ≥ x ≥ z⑥z ≥ y ≥ x.常常可以根据对称性少讨论几个，轮换对称时可以设最大变量，从而固定一个只需讨论①x ≥ y ≥ z②y ≥ z ≥ x，完全对称时，可以完全设序，只讨论一个就够了。2.记每一种情况为a ≥ b ≥ c，则设b = c + s , a = c + s + t ，其中s ≥ 0 , t ≥ 0.3.代换，f(a , b , c) = f(c + s + t , c + s , c).4.整理，一般为合并同类项，若合并之后还有减号，试着配方，或者再差分一次试试。差分代换的适用范围也比配方小，代换之后不一定行，没准还是带减号的，这很麻烦。。。不过这不妨碍我们用它，要有信念，行！举个例子：证明三元三次形式的Schur不等式：当然，Schur不等式的普遍形式的证明也是差分代换的思想。。。证明三元形式的Schur不等式：对于正数x , y , z , t 有：证明：对于带参数的不等式，若利用差分代换方法求k的范围（即求解系数列表），结果是充分的，必要性需要另外证明。。。比如说上面的三元四次轮换对称型，求解就是充分不必要的。。但是这毕竟是一个不错的方法，现在举一个用差分代换求k范围的简单例子：对于正数a , b , c 和 k ≥ 1/2 ，证明：k(a^3+b^3+c^3)+3(1-k)abc ≥ a^2b+b^2c+c^2a证明：设a ≤ b ≤ c，b=a+s，c=a+s+t若 p & q ，则显然 f(a,b,c,p) ≥ 0 可由 f(a,b,c,q) ≥ 0 推出。由红字部分推出， f(a,b,c,k) ≥ 0 的充分条件是 k ≥ 1/2 。事实上，如果2k-1&0，s足够大时，上式是不成立的。注意到f对a b c轮换但不对称，再讨论a ≤ c ≤ b这种情况是类似的。参见：再加一个例子：对于正数 a , b , c 求满足下式的k的最小值：设a ≤ b ≤ c求解所有含k系数A - B k ≥ 0，找出最小值k ≥ 199/39 = 5.10256…，得到不等式成立的充分条件。参见：事实上，差分代换还有一种代换方法：设b = c + s , a = c + t ，其中s ≥ 0 , t ≥ 0，f(a , b , c) = f(c + t , c + s , c).这可以避免仅轮换对称的式子的讨论，但往往需要后续处理。这种方法当然也适用于完全对称，减小了运算量，甚至在完全对称时收到比f(a , b , c) = f(c + s + t , c + s , c)更好的效果，这是很神奇的。。。类似还有f(a , b , c) = f(q p c , p c , c) , p ≥ 1 , q ≥ 1有时能有收效。。。比如证明三元三次形式的Schur不等式：用mathematica求解这个三次函数f(p) = p^3 q^3-p^3 q^2-p^3 q+p^3-p^2 q^2+3 p^2 q-p^2-p q-p+1 ≥ 0.In[18]:= Reduce[p^3 q^3-p^3 q^2-p^3 q+p^3-p^2 q^2+3 p^2 q-p^2-p q-p+1&=0,p]Out[18]= p\[Element]Reals&&((q&-1&&(p&=Root[1+(-1-q) #1+(-1+3 q-q^2) #1^2+(1-q-q^2+q^3) #1^3&,1]||Root[1+(-1-q) #1+(-1+3 q-q^2) #1^2+(1-q-q^2+q^3) #1^3&,2]&=p&=Root[1+(-1-q) #1+(-1+3 q-q^2) #1^2+(1-q-q^2+q^3) #1^3&,3]))||(q==-1&&-(1/Sqrt[5])&=p&=1/Sqrt[5])||(-1&q&0&&(Root[1+(-1-q) #1+(-1+3 q-q^2) #1^2+(1-q-q^2+q^3) #1^3&,1]&=p&=Root[1+(-1-q) #1+(-1+3 q-q^2) #1^2+(1-q-q^2+q^3) #1^3&,2]||p&=Root[1+(-1-q) #1+(-1+3 q-q^2) #1^2+(1-q-q^2+q^3) #1^3&,3]))||(0&=q&1&&p&=Root[1+(-1-q) #1+(-1+3 q-q^2) #1^2+(1-q-q^2+q^3) #1^3&,1])||q==1||(q&1&&p&=Root[1+(-1-q) #1+(-1+3 q-q^2) #1^2+(1-q-q^2+q^3) #1^3&,1]))仔细看看，这对于 p ≥ 1 , q ≥ 1是显然的。。。即：In[19]:= Reduce[{p^3 q^3-p^3 q^2-p^3 q+p^3-p^2 q^2+3 p^2 q-p^2-p q-p+1&=0,p&=1,q&=1},p]Out[19]= q&=1&&p&=1暂时这样吧，事实上没人真的看得进去差分的结果。。。
（六）谈谈切线法及其推广切线法是个人见人爱小妖精，她不破坏漂亮的轮换结构，却打破了齐次式。。。这注定她与配方的贵族气概还有一定的差距。。。不过因为不经大脑，所以我比较喜欢。。。。经典的切线法，旨在解决一种条件轮换对称型：取等条件为均值取等。切线法的核心在于分离出单一变量的函数。证明切线和原曲线位置关系常用分解因式的方法，这是因为：求等条件处为切点，对于单元函数，一定可以得到一种分解因式的表达形式。有人问，为什么不用凸函数性质说明问题，第一，凸函数很高深，不容易理解，第二，不是凸函数也可以用切线法，例如：然而：(x^4 + 13 x^2 - 6 x^3)'' = 12 x^2 - 36 x +26 并非恒大于零。切线法很多人讲过，我不说了，美利坚的那三道题是切线法的典例。。。说一说推广：①在对称性上推广，并非只有轮换性才能切线，非轮换型也可以：对于f_i的切线g_i和g_i的和为C，则证明不对称情况也可以用切线法，例如：对于实数 x , y , z 满足x + y + z ≥ 7 证明：x^2+(y+2)^2+(z+2)^2≥3.证明：x^2+(y-2)^2+(z-2)^2≥2(x-1)+1+2(y-3)+1+2(z-3)+1=2(x+y+z)-11≥3.我们常常使用待定系数的方法来证明这类问题。对于实数 x , y , z 满足x + y + z ≥ C ，求f(x)+g(y)+h(z)的最小值：求f'(x0)=g'(y0)=h'(z0)&x0+y0+z0=C.验证切线与原函数的位置关系，若满足：f(x)≥f'(x0)(x-x0)+f(x0),g(y)≥g'(y0)(y-y0)+g(y0),h(z)≥h'(z0)(z-z0)+h(z0).则f(x)+g(y)+h(z)≥f'(x0)C+f(x0)+g(y0)+h(z0).推广看：k1 x+k2 y+k3 z=C当然可以进一步推广——化直为曲：有时不要试图用双切线条件，会死人的。。。例如：证明：不妨设x + y + z = 1原不等式等价于：所以：后一段仍然不易证明。当然切线法设x + y + z = 1的思路可以使用：分三类情况讨论可得上式等价于：显然成立。
②在线上推广——直变曲因为过去的题找不到了，就用上面说的现编一道：证明：③借来指对省运算：有时：这个变换会使证明豁然开朗，但是不能乱用，因为分解因式已经失效了，证明切线和曲线位置关系变得复杂起来。。。。另一种情况，已知x y z = a , g(t) ≥ k t + b.④在线上推广——线变面世界上不仅有切线，还有切面（一般不是平的，平的直接看切线就行了），这是人类形象思维能力的极限。。。。比如说已知p(x , y) + p(y , z) + p(z , x) = a.曲面z = f(x , y) ≥ p(x , y).求证F(x , y , z) ≥ a就可以转化成： ⑤向大师靠拢——建立新的有效不等式。人类活在三维世界里面，注定只能理解到三维立体，但是不妨碍代数研究更高的东西。。。思路即为：
(#阴险地说)快更，可能会被赶来的小吧搬运到海外仙境
（七）介绍几个重要的不等式①。。。借助已有的不等式往往需要很好的变形能力，这一点是我难以学会的。。。。不过总得知道，没准什么时候就用上了呢。。。最重要的不等式——赫尔德（Hölder）不等式设S为测度空间，0 ≤ p , q ≤ ∞，及1/p + 1/q = 1，设f在L^p(S)内，g在L^q(S)内。则f g在L^1(S)内，且有。若S取作{1 , ... , n}附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形：对所有实数（或复数）x_i,y_i，有:.参见（wiki）：现在我们有两个方向：①推广②看明白什么玩应这是！！！！sss.赫尔德这个基本形式真的很难用，我们常用的都是它的几种变形：对于正数x_i , y_i , p & 1 , 1/p + 1/q = 1这种形式里面最常用的又是p = 2/3 , q = 3的三元形式：sss.这个形式更像卡尔松（Carlson）不等式。。。。最经典的例子在IMO42。。。。对于正实数a , b ,c，证明：证明自行百度。。。。举一个其他的说明一下：对于正数x , y , z 满足 x y z = 1 , 证明：证明：设a^3 = x , b^3 = y , c^3 = z , 所以a b c = 1由赫尔德不等式和米尔黑得（Muirhead）定理可知：参见：所以说，使用赫尔德不等式需要将\sqrt[3]{ax^2}凑成整式。一个非常经典的例子：对于正数a , b , c 满足 a + b + c = 1 ,证明：证明：（证明属于arqady）参见：
（八）介绍几个重要的不等式②。。。把他们三个一起说了，但是不代表最重要的那个只说一次。。。万式之源，不等式中的王者——代数平均-几何平均不等式。以及令人闹心的Schur不等式和Muirhead不等式。。。先说一说：第一个谁都知道。。。。Schur不等式山没说过，再磨叽一遍。。。对于正数x , y , z , t 有：三元形式最强，四元形式常常就不够了。。。还有几个Schur不等式的推广：①对于正数 a , b , c . 如果 (a,b,c) 和 (x,y,z) 有相似的排序，那么：②对于实数a , b , c , x , y , z & a ≥ b ≥ c & ( x ≥ y ≥ z || x ≤ y ≤ z ) & k & 0 & (f:R-&R_{0}^{+}是凸函数或单调函数) ，则有：这是罗马尼亚数学家Valentin Vornicu于2007年证明的。参见（wiki）：上面的结论直接建立了Schur拆分的理论基础。一个比较弱的结论，Muirhead定理，常常与Schur不等式联用，也常常单独使用（这时不等式一般比较弱），但是形式简单，不需要什么特别的智商，所以懒人都喜欢。。。所以，现在我们来看看他的形式：对于正数x , y , z , a1 ≥ a2 ≥ a3 , b1 ≥ b2 ≥ b3 ,满足：a1 ≥ b1 & a1 + a2 ≥ b1 + b2 , a1 + a2 + a3 ≥ b1 + b2 + b3 ，则有：sym太烦人而且不常用，所以我给出了cyc的形式。。。看看单用Muirhead，一般比较简单：对于对于正数 a , b , c 满足 a + b + c = 1 ,证明：证明：参见：这里面有一个推广形式。。。。然后举例说说联用Schur和Muirhead：①对于正数 x , y , z ,证明：证明：由Schur不等式和Muirhead定理可知：参见：②对于正数 a , b , c , 0 & k & 2 证明：证明：由Schur不等式和Muirhead定理可知：参见：这都是直接用Schur的，但是舒尔拆分有所不同，是一种更加程序化的操作，日后再谈。。。
上面根本就没提到代数平均-几何平均不等式，你可能觉得奇怪，我为什么把他们放一块。。。。事实上，一切可以用Schur不等式和Muirhead定理解决的问题原则上都可以用代数平均-几何平均不等式解决，但是配成代数平均-几何平均不等式结构比较困难，所以懒人是不会做的。。。。首先明确一下加权形式的代数平均-几何平均不等式：严格的讲，这是一个概率不等式。。。可以推广为：举个栗子：对于正数 x , y , z ,证明：证明：由代数平均-几何平均不等式可知：参见：这道题完全可以用Muirhead定理解决。。。即：凑成代数平均-几何平均不等式往往需要待定系数，比如：对于正数a , b , c , p , q , r , n 满足 p + q + r = n，证明：证明：由加权形式的代数平均-几何平均不等式可知：参见：上面这个很好猜，但是对于一般的就很困难了。。。利用这个证明Muirhead定理是一种挑战，详细的可以参考《代数不等式》P96。。。事实上，Muirhead定理反应的是函数的一种优超关系，可以通过每一个双重随机矩阵是置换矩阵的加权平均（伯克霍夫-冯·诺依曼（Birkhoff-von Neumann）定理）证明。。。。
（九）再谈配方法。。。。配方就是解决多项式不等式的通天之法，因为原则上，一切正定多项式都可以化成二次型。但是往往不易配得，所以这一般用线性代数的方法，不过有一点是：手开矩阵是个很闹心的事情。。。于是我们有待定系数的方法。。。但是应该配成几项呢？这要是不知道就很困难了。。。比如说：对于实数 a , b , c ，证明：竟然配出了27个平方项才解决。。。这已经令人无法接受了。。。。所以说，也不要贸然配方，不过对于这样的情况（现在对于实数），你可以直接想待定系数配方：①一切二元或二次整式，可以整理成两个或n个平方和②二次或四次三元整式，可以整理成3个平方和例如：对于实数 a , b , c ，证明：2 x^4 + 2 y^4 + 2 z^4 - (x + y) z^3 - (x + z) y^3 - (y + z) x^3 ≥ 0.证明：不要觉得神奇，这都是根据基础流配方得到的。。。（对于三元四次，只说轮换型的解决方案，不轮换时可以类比，不过就是比较麻烦罢了）二元二次型：对应系数相等可以解得：当t = 0时：具体情况具体分析，寻找一个使得总体更美观的参数。。。当然，对于二元二次型都很简单，一般只配成t=0的形式，事实上大家都会，不要被我吓到了。。。写出来那个带自由变量p的只是为了说明配方的多样性。。。若可以取等，则二元二次型必能配成：三元二次型：对于任意情况的求解极为艰深。。。在这里不给出了（latex命令已经超过2M），但需要注意到这个方程是无穷多解的，且自由度为2。。。三元四次轮换型：这是两个自由度的。。。常常可以用的均值取等条件：a_1+a_2+a_3+b_1+b_2+b_3=0这样只剩下一个自由度。。之后的就是寻找一个漂亮的参数了。。。a3=0时在给出a1：其他项就容易配得了。。。关于漂亮的参数的一点解释，例如上面的例子：a1=0时：虽然也说明了问题，但是看起来很不舒服。。。对于三元六次不等式，配方常常很困难。。。例如三次平均值不等式：对于实数x , y , z ，证明：x^6+y^6+z^6\geq 3x^2y^2z^2.由于人懒，交给软件解决了。。。反正他配出来是10项，这已经可以让你想要四处骂人了。。。。
但是我们遇到的问题常常是定义在正数集上的。。。这增加了配方的变化，即：其中f(x,y,z) ≥ 0，另外如果等号能够取得，那么在满足取等条件g的解集{(x.y.z)|g(x,y,z)=0}中的元素亦满足p_i(x,y,z)=0对于三元齐n次整式来说：例如：对于正数x , y , z ,证明：x^3+y^3+z^3 ≥ x^2 y +y^2 z+z^2 x.证明：对于定义在正数集上的三元三次轮换整式：补充一个均值取等条件b_1+b_2+b_3=0再利用规划方法求得{(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3)|a_1&0&a_2&a_3}也可能一组也求不到。。。例如三次Schur，令a_2=m&0,a_3=n&0这时候只好用SOS定理（后面会证明）解决。。。用两个或三个f_i组提高自由度仍是失败的。。。这一定程度说明轮换性配方对于三次Schur失效了，可以试着打破轮换性，或者将x换成a^2，根据希尔伯特-阿廷定理，这是一定的这很麻烦我不试了。。。。
（十）关于函数实根分别和不等式解集问题。。。。。。。现在我感觉好害怕。。。事实上你也应该这么觉得，这一讲背后有传说中的代数几何。。。但是现在，我们讨论很简单。。。。一次型为正：a x + b ≥ 0&=&①a&0 & x ≤ -b/a②a=0 & b ≥ 0③a&0 & x ≥ -b/a对于x∈[m,n],a x + b&0成立的的(a,b):现设f(x)=a x + b①a&0 & f(m)≥0②a=0 & b≥0③a&0 & f(n)≥0二次型为正：①a=0,转化成一次型②a&0, △ ≥ 0 &{x ≤ -b/(2 a) - 1/2△^(1/2)/a} || x ≥ -b/(2 a) + 1/2 △^(1/2)/a} || △ ≤ 0③a&0, △ = 0 & x = -b/(2 a)|| △ ≥ 0 & -b/(2 a) + 1/2△^(1/2)/a ≤ x ≤ -b/(2 a) - 1/2△^(1/2)/a对于x非负成立的的(a,b,c):现设f(x)=a x^2 + b x + c.①a&0 1.-b/(2a)&0 & f(0)≥02.-b/(2a)≥0 & f(-b/(2a))≥0②a=0 转化成一次型③a&0 不成立.关于三次函数的杨路判别定理：
（十一）谈谈齐次形式不等式的程序化处理①对称整理类。。。（上面讲到的关于函数实根分别和不等式解集问题和后面讲到的TTK条件是PQR方法的得力助手）现在说这些方法适用于八次以下，只是因为八次以上的情况处理起来有点麻烦。。。不是不能用，甚至齐次都可以放宽，具体的自己试试。。。。主要是PQR代换，类似的还有uvw法，还有什么什么什么什么都差不多。。。。涉及这样一种东西——对称多项式——可以用sym符号表达的式子：事实上，对称多项式是一种特殊的多元多项式。假设一个n元多项式P(X1, X2, ..., Xn)，当其中的n个不定元任意交换后，多项式仍维持不变，就称其为对称多项式。严格的说法是，如果对任意的n元置换σ，都有P(Xσ(1), Xσ(2), ..., Xσ(n)) = P(X1, X2, ..., Xn)，就说P是对称多项式。参见（wiki）：容易证明，这种多项式都可以化成“基本对称多项式”，我们暂时只看三元形式：设p = x + y + z , q = xy + yz + zx , r = xyz则对称多项式可以表达为：例如：对于五次以下的对称多项式，可以化成关于r的一次函数，即F(x , y , z) = G(p , q , r) = k r + b这时利用你的一次函数知识和 p^2 ≥ 3 q , q^3 ≥ 27r^2 , p^3 ≥ 27r 即可证明。。。对于五次及以上八次及以下的对称多项式，可以化成关于r的二次函数，即F(x , y , z) = G(p , q , r) = a r^2 + b r + c这时利用你的二次函数知识和 p^2 ≥ 3 q , q^3 ≥ 27r^2 , p^3 ≥ 27r 即可证明。。。对于八次以上的式子，往往需要（不是一定）需要高次函数的知识，这就很麻烦。。。而且超过四次的方程就不一定有解析解了，这时讨论步履维艰。。。试试用PQR方法证明三次Schur不等式：设p = x + y + z , q = xy + yz + zx , r = xyz则有p^2 ≥ 3 q , q^3 ≥ 27r^2 , p^3 ≥ 27r更细化的证明用到了TTK条件，后面介绍，这里仅以图像说明问题：可以看出红色是绿色的子集。更多的举例就免了。。。可以看看密闭房间做过的不少题，他是这方面的专家。。。。事实上我不怎么喜欢PQR代换这种方法，他既破坏了对称性，又破坏了轮换性，更加符合鲁迅老人家的悲剧定义了。。。而且简洁性也失去了，这才是我不能接受的。。。PQR代换使得原不等式面目全非，vuw法稍好一些，比较容易看出原式的某些性质（比如取等性质）它的代换形式是：3u = x + y + z , 3v^2 = xy + yz + zx , w^3 = xyz即：u是xyz的代数平均，v是xyz的半代数平均，w是xyz是几何平均。。。可以去看看Knudsen写的那篇The uvw method.参见（豆丁网）：
（十二）谈谈齐次形式不等式的程序化处理②Schur拆分法。。。这是一种不错的处理三元六次以下对称多项式的方法，原则上可以证明一切齐n次对称式，但是还是因为上面的原因——麻烦——所以一般不用，其基本思路是：每一个齐n次对称多形式F(a , b , c)，都有唯一的“Schur拆分”结构，这可以通过上面提到的对称多项式基本定理进行证明。记：F(x , y , z) ≥ 0等价于：其理论基础是下面四个不等式：这通过上面的广义Schur不等式是显然的，事实上，通过Schur不等式的证明思路，这些式子也很容易证明。。。。对于六次以下不等式，其拆分可见（百度文库）：记三元齐n次式为F(n),p = x + y + z , q = xy + yz + zx , r = xyz举例说明：对于三角形abc，证明：证明：设a = y + z , b = z + x , c = x + y ,原式等价于：事实上，Schur拆分是基于Schp算法的机械证明。。。不是给我们手算的。。。。
（十三）细化赫尔德(Hölder)不等式&引入闵可夫斯基(Minkowski)不等式。。。。哈代（Hardy）等人认为，这两个无论何时都是最重要的不等式，甚至在代数平均-几何平均不等式之上，虽然我们觉得用不上。。。。。闵可夫斯基(Minkowski)不等式：对于p&1,有：事实上这个东西很高级，很高级，很高级。。。。只是我们没有必要深究罢了。。。赫尔德不等式可以做出一个很重要的推广：1/p + 1/q ≥ 1&p & 1&q & 1,仍然有：赫尔德不等式的一个重要的退化形式柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨（Cauchy-Buniakowsky-Schwarz）不等式，就是常说的柯西不等式，为了纪念后两位数学家的贡献，我们还是记住他们的名字吧。。。赫尔德不等式的相似形式——卡尔松（Carlson）不等式（矩阵长方形不等式）（卡尔松不等式）m×n的非负实数矩阵中，n列每列元素之和的几何平均值大于等于矩阵中m行每行元素的几何平均值之和：在前人的帖子里面讨论的很详细了：做出一个更正，很像Carlson不等式的一个是：（微微对偶不等式）对于每一个j，a_{j,i}是正的递增序列，b_{j,i}是a_{j,i}的一个排序，则：证明可见：但是他们之间的差距还是比较大的，但是上面那个帖子认为是一个东西。。。看过很多重要不等式之后，我们发现，这些比较强的不等式之间经常可以互推，这很神奇，很有趣，你们自己去发现吧。。。
（十四）幂平均函数及其他。。。。。。。高中刚刚开始，学到三个毕达哥拉斯平均时，你有没有想过把推广成：或者：相信很多人有过这样的想法。所以说，幂平均函数是一个容易想到推广的函数，我过去学三个毕达哥拉斯平均时自己已经想到和赫尔德完全一样的平均值函数了。。。定义幂平均函数为：其中x_i ≥ 0 , p ≠ 0.因为:即几何平均，所以可以补充 p = 0 时的定义。幂平均函数有这样几个重要的性质（单调有界）： 对于 p ≤ q ,（ω_i为权重，在非加权形式时等于1/p）, 有：对于 p ≤ 0 ≤ q 有： 幂平均函数的单调递增性称为幂平均单调性定理。这个定理的证明可以先取对数，再通过Jensen不等式证明，可以参见（wiki）：幂平均函数的引入是一个很方便的东西，这样闵可夫斯基不等式可以表述成“对于p≥1，幂平均的和大于和的幂平均”即：M_p(x1)+M_p(x2)≥M_p(x1+x2)或：切比雪夫不等式可以表示为：“对于同增或同减的两个序列a_i,b_i，其幂平均的积小于积的幂平均”。对于凸函数，还有幂凸函数，是用幂平均形式定义的。当然除此之外还有很多，我就想不起来或者忘了。。。
（十五）SOS定理。。。这是一种某些人很喜欢的东西，虽然我不怎么喜欢了。。。。毕竟不够直接了当，不符合我的性格。。。对于三元二次以上轮换整式可以唯一整理成：以下五种情况即称为SOS定理。试着用SOS定理解决三次Schur不等式。。。根据SOS第二定理：通过SOS定理的证明（自己找）过程很容易看出，第一定理和第五定理在任何一种整理：都成立，而中间三个不一定成立。。。但适用于整理：非完全配方会遇到永远规划不到SOS-1的情况（但事实上这种情况并不多），这时SOS定理就有用了。。。。
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