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随机数学作业(答案)全部
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作业1（随机过程的基本概念）
1、对于给定的随机过程及实数x，定义随机过程
请将的均值函数和相关函数用的一维和二维分布函数表示。
2、设，其中随机变量X，Y相互独立且都服从，证明是正态过程，并求其相关函数。
提示：注意到即可证得是正态过程。
按照相关函数的定义可得
3、设是参数为的Wiener过程，求下列过程的协方差函数：
（1），其中A为常数；
（2），其中，且与相互独立；
（3），其中a为正常数；
提示：Wiener过程就是指Brown运动。
（1）令，由定义求得
具体在求的时候，可以先假设，然后再求（下同）。
（2）令，由定义求得
4、设随机过程，其中，且w为常数，X服从正态分布，，求过程的一维分布密度和协方差函数。
容易证明，，此即过程的一维分布。
由n维正态随机变量的性质，服从二维正态分布。协方差阵等等也容易求。
5、设，已知二维随机变量（X，Y）的协防差矩阵为，求的协方差函数。
6、设有两个随机过程，为常数，服从上的均匀分布，求。
7、设，独立同分布，都服从N(0,1)的随机变量，证明为二阶矩过程，也是正态过程。
（易证，从略）
8、在独立重复试验中，若每次试验时事件A发生的概率都为，记为n次试验为止A发生的次数，证明是独立增量过程.
提示：，令，则，
且，得证。
作业2（Poisson过程）
1、设是强度为的Poisson过程，令，其中L&0为常数，求的一维分布，均值函数和相关函数。
，从而得到的一维分布（写出分布列即可）；
相关函数的稍微复杂点，但方法就是求期望，没特别的地方。给出关键步骤，其他自己补齐。
2、设是强度为的Poisson过程，证明对于任意的，
3、通过路口的车流是一个泊松过程，设1分钟内没有车辆通过的概率为0.2，求2分钟内有多于1辆车通过的概率。
记表示【0，t】内通过车辆数，则是Poisson过程，
4、设在时间t内向电话总机呼叫k次的概率为其中为常数，如果任意两个时间间隔内呼叫次数是相互独立的，求在2t内呼叫n次的概率。
记A表示时间2t内呼叫n次的事件，记第一时间间隔内呼叫为，第二时间间隔内，于是
5、设随机变量X，Y相互独立，并分别服从参数为的泊松分布，证明
6、设是强度为的Poisson过程，
综上，结论成立。
7、设是复合Poisson过程，，且服从()内的均匀分布，求X(t)的均值函数，方差函数和特征函数。
，其特征函数是
作业3（更新过程）
设是独立同分布的非负随机变量序列，且，以为更新时间间隔的更新过程，求以及更新函数。
解：设时间间隔服从几何分布，相当于在Bernoulli试验中第i次试验取得成功，
更新时刻相当于在Bernoulli试验中第k次试验取得第n次成功，即
某控制器用一节电池供电，电池失效时立即更换同型号新电池，设电池寿命服从（30,60）（单位：h）内的均匀分布，求长时间工作时，控制器更换电池的速率；
解：设N(t)表示在[0,t]内失效的电池数量，则在长时间工作的情况下，电池更新的速率为
3、 设是更新过程，更新间距的概率密度函数是
利用递推的方法，可求得
4 、设是更新过程，更新间距，是它的更新函数，求
提示：由于更新函数和更新过程唯一确定，于是由是它的更新函数，可知该更新过程为Possion过程。从而更新间距相互独立同参数为的指数分布
作业4（Markov过程）
一、计算题
1、设是齐次Markov链，其状态空间，一步转移概率为矩阵为
设初始分布为
提示：（1）
当然也可以通过求一步转移概率矩阵的平方，然后找到对应元素求得。
2、考虑一个质点在直线上作随机游动，如果在某一个时刻质点位于状态，则下一步将以概率向前移动到达，或以向后移动到达，以表示n时刻质点的位置，且在0时刻从原点出发，则显然是一个Markov链。求
（1）写出状态空间E；
（2）求一步转移概率矩阵；
（3）求n步转移概率矩阵。
E=所有整数
(3)每次游动只有两种可能，向前概率为p，向后概率为q，n次移动的结果是由i到j，若在n次游动中向前次，向后次，则
3、设齐次Markov链的状态空间是，状态转移矩阵为
（1）对状态空间进行分解；
（2）求平稳分布。
提示：仿照教材中的例题来做。
4、设齐次Markov链的状
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