（一）数列填空推理（简单数列+多重数列）——注意考虑变式：常数和项数 类型 质、合数数列 特点 (1)质数数列：由只能被 1 和 它本身整除的正整数(质数) 组成的数列。 (2)合数数列：由除了 1 和它 本身外还有其他约数的正整 数(合数)组成的数列。 其中，1 既不是质数，也不是 合数；2 是最小的质数，4 是 最小的合数。 (3)非质数数列：由 1 和合数 组成的数列。 11，不是 9，注意区分质 数和奇数列：奇数列没有 2

相邻两项之差相等，等于一 个常数

逐差法 （得到新数列） 适用情况： 。 多级等差数列及其变式。整体变 化幅度较小（有单调性）

相邻两项之比相等，等于一 个常数

逐商法。 适用情况： 数列满足等比 数列特点， 且无其他明显规律。 整 体变化幅度较大 （公比为正数时有 单调性， 公比为负数时， 无单调性， 呈现一正一负） 注意：公比分数化，公比负数化。

数列各项均为某项的多次方。 平方 立方是特殊的多次方数列。

适用情况： 有明显的平方项或立方 项及变式。 整体变化幅度很大 （有 单调性）

递推数列（递推和，递推差，递

推积，递推平方，立方） 递推考虑常数和项数

某一项都是它的前两项或三 项通过一定的运算法则得到 的（一般是圈三法）

观察趋势，尝试： 1.整体递增：考虑和，倍，积， 乘方 增长较慢：先和，后倍，再积 增长较快：积 增长很快：乘方 2 整体递减：差，倍，商，开方 减少较慢：先差，后倍，再商 减少较块：商 减少很快：开方

1 根次之间存在关系 2 根次相同时， 可以把根号外面的 数化到根号里面去 （或把根号里面 的数化到外面去） ，看底数关系 3 根式的底数存在关系 4.根次，底数分别存在一定的关 系。

组合数列（又称多重数列） （数列较长，8 项以上）

隔项数列：奇数项和偶数项 分组数列：一定是两两分组 1）8 或 10 项是组合 2）7 或 9 项是隔项 3）两个括号相连是隔项

隔项数列： 1）奇数项和偶数项分别呈现不同 规律 2）奇数项规律不明显，偶数项规 律较明显时， 则奇数项的规律依赖 于偶数项的规律，反之亦然。 分组数列： 两两分组，组内进行“加减乘除” 等运算——基本思路

分数数列（另：小数数列是 特殊的分数数列）

数列中含有分数的数列 注意：负幂次的情况

1.交叉看待（分子分母交叉是否

2.分组看待（分数数列：分子看

分子， 分母看分母是否成规律； 带 分数数列：整数部分、分子、分母 分别具有一定规律）

小数数列： 注意整数和小数部 分分别存在一定的规律。

3.整体看待：化同化简原则

1）约分：分数的分子和分母含有 相同因子时，将其化为最简式 2）通分：分数的分子（分母）很 容易化为相同时，将其化为相同 3）分母（分子）有理化：当分数 中含有根式时， 将其分子或分母有 理化。 4） 反约分： 同时扩大分子和分母， 大多数是以分子和分母较为简单 的分数为操作对象。 5）少量整数，化为分数形式（整 化分） 例.1，1/2.1/3，1/4 化为 1/1，1/2，1/3，1/4 6）少量分数，往往是以下三种题 型： ①负幂次形式； ②做积商多级 数列；③递推积商数列。
1.数列数字本身之间有一定的规 律 2.数列拆开后呈现一定的规律 题型 （1）机械分组数列 例：431，325， （）167，844 4-3=1，3+2=5，1+6=7，8-4=4 题型特点： 每个数字都较大， 并且 所有数字位数都相等 （2）数字性质数列（奇偶数；正 整数：质合数+1；负整数） 例：4，6，10，14，22（质数×2） （3）对称关系数列 例：1，2，3，4，7，6，5 以 4 为中心，呈对称数列。 （4）因数分解型数列（单数字发 散） ，数列中的数分解因数（不一 定要分到底） ，分解后得到两组有 规律的数列。 【例】6、15、 （ ） 、63、121

1.数字本身有一定的规律：组成 数字相的每个数进行观察分析， 找 到数与数的关系。 2.数列拆开后呈现一定规律： 1，直接将数项拆为数字 2，通过数字运算进行拆分

（二）图形数字推理（上下，左右，对角线） 特点： “加，减，乘，除，乘方”运算的综合，把图形中的已知数字联系起来得到未知的数。 1.无心圆圈类 1）多数情况：两数之和（差，积，商，乘方）=另两个数之和（差，积，商，乘方） ，两个较大的数和两 个较小的数，则先把两个较小的数相乘，一般等于两个较大的数相加的和。 2）特殊情况 1：两幅图的四个数的联合数字特征相同，即四个数的和（差，积，商，乘方）为一个特定 的数。 3）特殊情况 2：把一个两位数拆成“十位数字”和“个位数字” ，然后分置圆圈的两个位置，这是无心圆 圈图的一个特色。 2.有心圆圈类（优先考虑图的“心”的特点） 类似：正方形（五角+星） 1）如果前两个图的“心”很容易分解，则优先分解，然后再周围数字当中构造因数，即“先加减，后乘 除” 2）如果前两个图的“心”中有一个数字较大且不易分解，则优先从周边数字着手，选取其中两个数字， 先相乘，即“先乘除，后加减” 3.九宫格型（表格型） 1）数字沿着行或列或对角线的方向呈等差（等比）规律。 2）数字沿着行或列或对角线的方向，三个数的和（积）为定值（呈等差或等比） 。 3）第一行（列）的 a 倍+第二行（列）的 b 倍等于第三行（列） 。 4）第一行的多次方与第二行的多次方的和（差，积，商）等于第三行，抓住和，差，积，商，乘方是关 键。

4.其他类型（规律同上）

例：无心方格图，有心三角图，无心三角图等

此图数据较多，可考虑对角位置的两个数字四则运算后与其他对角位置数字之间的联系，对角位置的差相等。

（三）多级数列（一级无法判断规律，一般做差，做商，做和，做积得出一级或二级或三级等差，等比， 幂次方，分组数列）——多级数列又称复杂数列（考试重点） 1、多级数列是指对数列相邻两项进行“-、+、×、÷”四则运算后从而形成规律的一级，二级，三级数 列等。 2、 多级数列求下级方法——： 做差和做商数列是多级数列的主体内容， 做和和做积数列一般很少考到 （具 体分析） 。 3、运算后得到的新数列可能是等差、等比数列，也可能是其它特殊数列，包括质数、周期、幂次、基础 递推数列。

二．做题思维——（单数字发散，多数字联系）

1）常见数字的转换（用于数字发散）
常见数字的转换适用于将题干中的某些呈现形式的数字转换成另一种表现形式，有助于更直观地看出题干中隐含的 规律。 （1）0n=0 （2）n0=1，n≥1（00没有意义，不存在） （3）1n=1 （4）n1=n （5）n=n/1 （6）n-1=1/n （7） （-1）2n =1 （8） （-1）2n-1 =-1 （9） （-1）n =-1，1，-1，1，? （10） （-1）n-1

2）常用幂次数（1-30 的平方，1-10 立方数）

3）常用幂次数记忆 1．对于常用的幂次数字，考生务必将其牢记在心，这不仅对数字推理的解题很重要，对数学运算乃至资 料分析试题的迅速、准确解答都起着至关重要的作用。 2．很多数字的幂次数都是相通的，比如 729＝93＝36＝272，256＝28＝44＝162 等。 3． “21～29”的平方数是相联系的，以 25 为中心，24 与 26、23 与 27、22 与 28、21 与 151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、199 5） “质数表”记忆 1． “2、3、5、7、11、13、17、19”这几个质数作为一种特殊的“基准数” ，是质数数列的“旗帜” ，公 务员考试中对于质数数列的考核往往集中在这几个数字上。 2．83、89、97 是 100 以内最大的三个质数，换言之 80 以上、100 以下的其他自然数均是合数，特别需 要留意 91 是一个合数（91=7×13） 。 3．像 91 这样较大的合数的“质因数分解” ，也是公务员考试中经常会设置的障碍，牢记 200 以内一些特 殊数字的分解有时可以起到意想不到的效果，可将其看作一种特殊意义上的“基准数” 。 6）常用经典质因数分解 91=7×13 147=7×21 111=3×37 153=9×17 119=7×17 161=7×23 133=7×19

质因数分解：牢记 200 以内一些特殊数字的分解有时可以起到意想不到的效果，可将其看作一种特殊意 义上的“基准数” 。

整体 递减 观察数列的“整 体变化趋势” （注意从大数 看、结合选项看） 翻 转 数 列 差或者商

失 败 和 平 方 积

完全 吻合 直接得到规律与答案

数字推理“识别”总示意图

以“看趋势” 所得趋势 进行试探 存在 误差 交叉数列 长、俩括号 二．数学运算 三项递推数列 项 相 得到 非常简 失败 前 分组数列 “修正项” 关数列 1.题型概要 单数列

1）算式题——着重：计算技巧。 幂次数列 2）应用题（考试重点）——着重：理解题意，理清数量关系。 幂次数特征 看数字特征

有明显特征 幂次修正数列 无 1）整除的定义：如果 A,B 都是整数，存在一个整数 a，使得 B=a×A，那么我们就说 A 可以整除 B，B 可 明 少数分数 ①负幂次 显 以被 A 整除。B 是 A 的倍数，A 是 B 的约数（因数） 。 特 ②除法 2）整除的性质 征 有分数号 多数分数 性质 1：如果 a 能被 c 整除，b 能被 c 整除，那么它们的和（a+b)能被 c 整除。

性质 2：如果 a 能被 b 整除，c 是整数，则 a 与 c 的积（ac）也能被 b 整除 数字之间 数字之间 性质 3：如果 a 能被 b 整除，a 也能被 c 整除，且 b,c 互质，那么 a 能被 b 与 c 的积（bc)整除。

3）被各数整除的特点及其余数判定 被 N 整除 可以被 N 整除的数的特点 被 1 整除 被两两做商 2 整除 被 3 整除 任何整数 偶数两两做差 每位数字相加的和能被 3 整除 失 例：15282 ——1 + 5 + 2 + 8 + 2 =18 , 18 能被 3 整除，说明 15282 败 能被 3 整除 末两位是 4 的倍数 看趋势 例：275016 ——16 能被 4 整除说明 做试探 倍数关系 比较明显 倍数关系 不太明显

能同时被 2 和 3 整除的数 末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差。 （以大减小）能被 7 整除 例： 1561575 ——末 3 位划分 大的数字减小的数即 1561 - 578 = 983 ，983÷7 = 140 余 3 说明 1561578 除 7 余 3 。 末三位是 8 的倍数 每位数字相加的和是 9 的倍数 末位是 0

被 12 整除 被任意数整除的 特点

余数：一个数除以一个数的余数，就看其对应的末几位除以这个数的余数即可

【例1】（吉林2009乙-10）一个班级坐出租车出去游玩，出租车费用平均每人40元，如果增加7个人，平均每人35元，则这个班级 一共花了（）元。 A. 1850 B. 1900 C. 1960 D. 2000 解：由于增加了7个人，平均35元，那总费用是35和7的公倍数，所以答案选C 【例2】（江苏2008A类-20）五个一位正整数之和为30，其中两个数为1和8，而这五个数的乘积为2520，则其余三个数为（）。 A. 6，6，9 B. 4，6，9 C. 5，7，9 D. 5，8，8 解：2520可以被7整除，也可以被9整除。答案选C 【例3】 A、B两数恰含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A数有12个约数，B数有10个约数，那么AB两数和等于（） A 2500 B 3115 C 2225 D 2550 解：它们的最大公约数是75，说明A和B都可以被75整除，A+B也能被75整除，只能选D “A数有12个约数，B数有10个约数”是干扰条件。 【例4】（北京应届2006-18）商店里有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走了其中五箱。已知一个顾 客买的货物重量是另一个顾客的2倍。商店剩下的一箱货物重多少千克？ A. 16 B. 18 C. 19 D. 20 解：一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，则可知，已买走的重量是3的倍数，因此（15+16+19+18+20+31）/3的余数为2， 所以剩下的重量是3的倍数+2，答案是D

4）由例4拓展——比例倍数问题 原则：当题设中已知甲：乙=m:n，说明甲是m的倍数，乙是n的倍数，甲+乙是m+N的倍数，甲-乙是m-n的倍数

举例1：甲区人口是全城的4/13，说明全城人口是13的倍数。 举例2：已知甲乙苹果的比例是7：4，隐含的意思是甲是7的倍数，乙是4的倍数。差是3的倍数，和是11的倍数。 举例3：两个数的差是 2345，两数相除的商是 8，求这两个数之和？ A.2353 B.2896 C.3015 D.3456 解：商是8，说明和是9的倍数。答案显而易见。 【例1】（浙江2003-17）某城市共有四个区，甲区人口数是全城的413，乙区的人口数是甲区的56，丙区人口数是前两区人口数的 411，丁区比丙区多4000人，全城共有人口多少万？（） A. 18.6万 B. 15.6万 C. 21.8万 D. 22.3万 〔答案〕B 〔解析〕甲区人口数是全城的4/13，则甲区∶全城＝4∶13，故全城人口应该是13的倍数。 【例2】（山东2008-37）甲、乙、丙、丁四人为地震灾区捐款，甲捐款数是另外三人捐款总数的一半，乙捐款数是另外三人捐款 总数的1/3，丙捐款数是另外三人捐款总数的 1/4，丁捐款 169 元。问四人一共捐了多少钱？（） A. 780元B. 890元C.1183元D. 2083元 〔答案〕A 〔解析〕甲∶（乙+丙+丁）＝1∶2，说明“总数＝甲+乙+丙+丁”是“1+2＝3”的倍数。 【例3】（国家）甲、乙、丙、丁四个队共同植树造林，甲队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的14，乙队造林的亩数 是另外三个队造林总亩数的13， 丙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的一半。 已知丁队共造林3900亩， 问甲队共造林多少亩？ （） A． 9000B. 3600C. 6000D. 4500 〔答案〕B 〔解析〕设总数为M，由“甲∶（乙+丙+丁）＝1∶4”得到甲占一份时，“总数＝甲+乙+丙+丁”占“1+4＝5”份，即甲＝M/5。同 理，乙＝M/4，丙＝M/3，由此可得：

15M+14M+13M+3900=M 解得M=18000，于是甲＝15M＝3600 【例4】（江西2008-41）配置黑火药用的原料是火硝、硫磺和木炭。火硝的质量是硫磺和木炭的3倍，硫磺只占原料总量的1/10， 要配置这种黑火药320千克，需要木炭多少千克？（） A． 48 B. 60 C. 64 D. 96 〔答案〕A 〔解析〕火硝∶（硫磺+木炭）＝3∶1，那么火硝占3份，硫磺和木炭占1份，总共是4份320克，因此每份就是80克，硫磺和木炭占 1份即总共80克，而硫磺占总量320克的1/10即32克，得到木炭占80-32＝48克。 【例5】（天津、湖北、陕西联考2009-97）甲乙两个工厂的平均技术人员比例为45%，其中甲厂的人数比乙厂多12.5％，技术人员 的人数比乙厂多25％，非技术人员人数比乙厂多6人。甲乙两厂共有多少人？（） A． 680 B. 840 C. 960 D. 1020 〔答案〕A 〔解析〕甲厂人数比乙厂多12.5%，则甲、乙两厂人数之比为9∶8，甲占9份，乙占8份，一共17份，选项当中B、C不是17的倍数， 排除。将A代入，680人分成17份，每份为40人，则甲有9份360人，乙有8份320人。技术人员总数为：680×45%＝306，甲厂技术人 员比乙厂多25%，则甲、乙两厂技术人员数之比为5∶4，甲占5份，乙占4份，一共9份，306人分成9份，每份为34人，甲有5份170 人，乙有4份136人。由已知数据可得：甲厂非技术人员360－170＝190人，乙厂非技术人员320－136＝184人，两厂非技术人员相 差190－184＝6人，与题目吻合，选择A。

5）乘方尾数 核心口诀：?底数留个位?指数末两位除以 4 留余数，余数即尾数（余数为 0 则尾数看成 4）?底数的 尾数为 0，1，5，6，乘方尾数不变。 6）运算的奇偶性规律 奇数：不能被 2 整除的整数，可以表示为 2n+1 偶数：能被 2 整除的整除，零也是偶数，可以表示为 2n 性质 1：奇数+奇数=偶数 性质 2：偶数+偶数=偶数 性质 3：奇数+偶数=奇数 性质 4：奇数×奇数=奇数 性质 5：奇数×偶数=偶数 性质 6：偶数×偶数=偶数 性质 7：两个数的和为奇数，则它们奇偶相反，两个数的和为偶数，则它们奇偶相同； 性质 8：两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差也为偶数

【例 12】（山东 2004-12）某次测验有 50 道判断题，每做对一题得 3 分，不做或做错一题倒扣 1 分，某学生共得 82 分， 问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少？（） A. 33B. 39 〔答案〕D 〔解析〕答对的题目+未答对的题目=50，是偶数，所以答对的题目与未答对的题目的差也应是偶数，选项 A、B、C 都是奇 数，所以选择 D。 【例 13】如果 a、b 均为质数，且 3a+7b=41，则 a+b=（）。 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 〔答案〕C 〔解析〕“3a”与“7b”之和为 41，所以“3a”与“7b”必然是一奇一偶，又 3 与 7 都是奇数，所以 a 与 b 必定也是一奇 一偶（因此，a+b 应该是奇数，排除 B、D），质数当中是偶数的只有 2，如果是 A（a+b=5），则两个数是“2”和“3”， 代入原题，明显不成立，选择 C（应该是 a=2、b=5）。 【例 14】（天津、湖北、陕西联考 2009-96）一个人到书店购买了一本书和一本杂志，在付钱时，他把书的定价中的个位 上的数字和十位上的看反了，准备付２１元取货，售货员说：“您应该付 39 元才对。”请问书比杂志贵多少钱？（） C. 17 D. 16

A. 20 B. 21 C. 23 D. 24 〔答案〕C 〔解析〕假设书和杂志的定价分别为 x、y 元，则 x+y=39，是一个奇数，因此之差也应该是一个奇数，排除 A、D。将 B 代 入：若 x-y＝21，易得 x=30，y=9，显然不满足条件，所以选择 C。

7）质数合数 质数是除了 1 和它本身外没有约数的自然数 合数是除了 1 和它本身外还有约数的自然数 1 既不是质数，也不是约数。 8）分解质因数 分解质因数：把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来。 分解质因数以后往往要对这些因数进行恰当的组合（从大到小或从小到大排列） ，才能达到解题的目的 9）最小公倍数和最大公约数 如何求最大公约数和最小公倍数？——短除法 短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被 公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两两互质） 。 而在用短除计算多 个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则保留原样落下。直到剩下每 两个都是互质关系。求最大公约数便乘左边，求最小公倍数便乘全部。 注：非整数（小数或分数）的最大公约数和最小公倍数则先将非整数化整(乘以 n） ，再求整数的公约数， 结果除以 n 即小数或分数的最大公约数和最小公倍数。

例 1：有一种红砖，长 24 厘米、宽 12 厘米、高 5 厘米，问至少需要多少块这样的砖才能拼成一个实心的正方体？ 解：求 24、12、5 的最小公倍数：120，也就是长、宽、高至少都是 120 厘米 长要多少砖：120÷24＝5 块，宽要多少砖：120÷12＝10 块，高要多少块砖：120÷5＝24 块 块 例 2：街道 ABC 在 B 处拐弯，AB 距离为 715，BC 距离为 520, 3：甲乙丙丁四个人去图书馆借书，甲每隔五天去一次，乙每隔 11 天去一次，丙每隔 17 天去一次，丁 每隔 29 天去一 次。如果 5 月 18 日他们在图书馆相遇。问下次他们在图书馆相遇的时间是几月几日？ A10 月 18 日 B10 月 14 日 C11 月 18 日 D11 月 14 日 解：注意每隔和每的区别，每隔 5 天即每 6 天。甲乙丙丁分别是每 6 天、12 天、18 天、30 天去一次图书馆，求它们的最 小公倍数为 180，也就是 180 天后他们再次在图书馆相遇，5 月大 6 月小 7 月大 8 月大 9 月小 10 月大，也就是说 180=31+30+31+31+30+27，所以下次是 11 月 14 号 涉及月份的题目：大月与小月 共：5×10×24＝1200

包括月份 一、三、五、七、八、十、腊（十二）月 二、四、六、九、十一月

共有天数 31天 30天（2月除外）

注：关于日期，星期等周期问题，注意“两天去一次”和“一天去两次”的区别，周期分别是 2 天和 0.5 天。 例 4： 小张数一篇文章的字数,两个两个一数最后剩一个,三个三个一数最后剩一个,四个四个一数最后剩一个， 五个五个一数 最后剩一个，六个六个一数最后剩一个，七个七个一数最后剩一个，则这篇文章共有多少字？ A.501 B.457 C.421 D.365 解： （字数-1）是 2，3，4，5，6，7 的最小公倍数。即 420，字数是 420+1=421。 例 5：有两种药分别重 25/6 千克、15/8 千克，将这两种药分别平均分成若干份，并且两种药每份的重量也是相等的，那么 请问至少分成了多少份？

解：假设每份药的重量是 x 千克，x 是 25/6 和 15/8 的公约数，问最少分多少份，那就是 x 最多是多少，是最大公约数问

第一.尾数估算法（加减乘除，除法较特殊） 1.一位尾数法：利用每个数的末一位来进行运算。 2.两位尾数法：利用计算过程当中每个数的末两位来进行运算，求得结果的最后两位，然后根据选项进行 估算判断的方法。 使用注意： （1）过程当中的数字如果只有一位，则需要补零，以补足两位。 （2）过程和结果当中的数字如果是负数，可以反复加 100 补成 0 到 100 之间的数。 3.N

4.除法尾数法 与一般的尾数法不一样，使用除法尾数法，必须通过逆向考察——化除为乘（转化为选项的尾数乘以除 数的尾数是否等于被除数的尾数） 。

第二.典型模型法 一、乘方尾数问题 乘方尾数核心口诀： 1.底数留个位； 2.指数末两位除以 4 留余数(余数为 0 则看作 4)。 注：尾数为 0、1、5、6 的数，乘方尾数是不变的。 二．裂项相加法 公式： n/（小×大）=n/差×（1/小-1/大） 1/[n(n+1)（n+2)]=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

三．换元法（整体消去）

（换元）整体消去核心理念：在比较复杂的计算中，把两个相近的数的其中一个作为整体，用未知数（当

有多组相近的数时，则表示为多个未知数 a,b,c,d,设小不设大)表示，另一个则表示成含未知数的式子， 简化运算，进行抵消，最后再将未知数的值代入。

四．分组法 当计算过程中出现相同的形式或结果是相同数时，应该把根据情况分组计算，简化计算。

一．多位数问题（包括小数位） 多位数问题是针对“一个数及其个位、十位、百位等位置上的数字，以及小数点后一位、两位、三位等 位置上的数字”的问题。 1）求多位数问题（一律用代入排除法）

【例 1】(内蒙古 2008-14)某校人数是一个三位数，平均每个班级 36 人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人 数比实际少 180 人，那么原校人数最多可以达到多少人？（） A． 900 B. 936 C. 972 D. 990 ［答案］C ［解析］利用“百位数与十位数对调，则少 180 人”排除 A、B、D。 【例 2】(北京应届 2009-13)有一个两位数，如果把数码 1 加在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把 1 加在它的后 面，那么也可以得到一个三位数，而这两个三位数相差 414，求原来的两位数。（） A. 35 B. 43 C. 52 D. 57 ［答案］D ［解析］直接代入排除 A、B、C。注意利用尾数判断。

2）页码页数问题 首先要掌握多位数的基本特点

以此类推 5 位数，6 位数，7 位数的个数。

［注释］碰到此类“三位数页码”（一般书本页码都是三位数）题，可以利用公式：“页码＝数字÷3＋ 36”。 二．余数相关问题（整除问题的拓展）

余数基本关系式：被除数÷除数=商?余数 余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数 分清“除以”和“除”的差别：5 除 13，被除数是 13
的倍数， 而 A 不超过 400，故 A=210，代入上述余数基本恒等式得：B=41，C=34，D=29，A+B+C+D=314，选择 C。 【例 2】（广州 2005-13）篮子里装有不多于 500 个苹果，如果每次二个、每次三个、每次四个、每次五个、每次六个地 取出，篮子中都剩下一个苹果，而如果每次取出七个，那么没有苹果剩下，篮子中共有多少个苹果？（） A. 298 B. 299 C. 300 D. 301 ［答案］D ［解析］利用排除法，苹果两个两个的取出，篮子里剩一个苹果，排除 A、C（A，C 能被 2 整除）；苹果三个三个的取出， 篮子里剩一个苹果，排出 B，选择 D。
核心口诀：“余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期”

1.余同：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1”，则取 1，表示为 60n+1（取余：余数相同 2.和同：“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1”，则取 7，表示为 60n+7（取和：除数与余数的 和相同） 3.差同：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3”，则取-3，表示为 60n-3（取差：除数和余数 的差相同） 设问较多：100 以内这样的数有多少个。

4.特殊情况：既不是余同，也不是和同，也不是差同 方法：先两个一起考虑，其结果再与第三个进行考虑，采用核心公式

【例 10】（国家 2006 一类-50、二类-34）一个三位数除以 9 余 7，除以 5 余 2，除以 4 余 3，这样的三位数共有（）。 A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 ［答案］A ［解析］①这个数除以 5 余 2，除以 4 余 3，“和同加和”：20n+7，所以这个数除以 20 余 7。②由于这个数除以 9 余 7， 除以 20 余
1）一年有 52 个星期，一年有 4 个季节，一个季节有 13 个星期。 一副扑克牌有 52 张牌，一副扑克牌有 4 种花色，一种花色 13 张。 平年和闰年 判断方法 平年 不能被 4 整除 能被 4 整除 年共有天数 365 （52 个星期多 1 天） 闰年 366 （52 个星期多 2 天） 2）涉及月份的题目：大月与小月 月份 大月7个个 小月5个 一、三、五、七、八、十、腊（十二）月 二、四、六、九、十一月 共有天数 31天 30天（2月除外） 29 2 月天数 28

“隔 N 天”指的是“每（N+1）天”。 【例 2】 （安徽 2009-15）某个月有 5 个星期三，并且第三个星期六是 18 号。请问以下不能确定的答案是 A. B. C. D. 这个月有 31 天 这个月最后一个星期日不是 28 号 这个月没有 5 个星期六 这个月有可能是闰年的２月份

［答案］A ［解析］第三个星期六是 18 号，易知本月所有星期六的日期应该分别为 4、11、18、25 号。星期六的前三天肯定是星期 三，那么 1、8、15、22、29 号应该就是这个月的五个星期三。B 选项，28 号应该是星期四；C 选项，这个月如果有 5 个 星期六，就应该到 32 号了，不可能；D 选项，这个月如果是闰年的 2 月份，正好 29 天，满足条件。这三个选项全部可以 确定正确与否，而 A 选项是不能确定的。 【例 3】 （江苏 2008A 类-23）某一天节秘书发现办公桌上的台历已经有 9 天没有翻了，就一次翻了 9 张，这 9 天的日期加 起来，得数恰好是 108，问这一天是几号？（） A. 14B. 13C. 17D. 19

［答案］C ［解析］9 个数加起来是 108，平均数（即“中位数”）应该是 108÷ 9＝12，因此 9 个数正中间那个为 12，故这 9 个日期分 别为 8、9、10、11、12、13、14、15、16，则当天为 17 号。 3）n 年以后星期几问题 平年：每年都是 365 天，365÷ 7＝52…1，“365 天之后（即 1 年之后）星期几”等同于“1 天之后星期几”，问你“N 年之后星 期几”等同于“N 天之后星期几”。 闰年：跟平年比，多了一个 2 月 29 日，计算的时候，两个日期间包含了 2 月 29 日这天闰日，再多加上这一天。 【例 6】 （广西 2008-13）2005 年 7 月 1 日是星期五，那么 2008 年 7 月 1 日是星期几？（） A． 星期三 B. 星期四 C. 星期五 D. 星期二 ［答案］D ［解析］ 三年记“3”，中间有 2008 年 2 月 29 日记“1”，总共记“3+1＝4”，星期五之后四天是星期二。 【例 9】2003 年 7 月 1 日是星期二，那么 2000 年 7 月 1 日是（）。 A. 星期三 B. 星期四 ［答案］D ［解析］ 三年记“3”，中间没有 2 月 29 日，总共记“3”，星期二之前三天是星期六。特别留意本题是往“前” 算而不是往“后”算。 ［注释］虽然

核心：若一串事物以 T 为周期，求第 A 项，用 A 除以 T，余数是 a，则第 A 项等于第 a 项。
【例 2】一串数排列成一行，它们的规律是这样的：前两个数都是 1，从第三个数开始，每个数是它前两个数的和，也就是： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，?问：这串数的前 100 个数中有多少个偶数？（） A. 33 B. 32 ［答案］A ［解析］根据“奇偶相加法则”，易知这个数列以“奇、奇、偶”为周期，循环出现，周期 T=3。前 99 个数中有 33 个偶 数，而第 100

遇到类似大量数字加减运算，注意利用“分组计算法”简化运算过程。当然也可以用求和公式。 【例 15】（天津、湖北、陕西联考 2009-98）一本 100 多页的书，被人撕掉了 4 张，剩下的页码总和为 8037，则该书最多 有多少页？（） A. 134B. 136C. 138D. 140 ［答案］A ［解析］撕掉的 4 张纸一共是 8 个页码，每张纸上面是一奇一偶两个数字，所以 8 个页码里一共是四个奇数、四个偶数， 其和必然也是偶数。而剩下的页码总和是 8037，是一个奇数，所以总页码和也应该是一个奇数。很明显，如果 B、D 正确， 总页码应该是偶数（代入求和公式很容易判断），排除。再看 C 选项，如果总页码是 138 页，其页码总和应该为： （1＋138） ×138÷2＝9591， 因为剩下的页码和为 8037， 那么撕掉的 8 个页码和为

基本知识点：总和＝算术平均数× 个数

【例 1】 （河北选调 2009-53）一个房间里有 10 个人，平均年龄是 27 岁。另一个房间里有 15 个人，平均年龄是 37 岁。两 个房间的人合在一起，他们的平均年龄是多少岁？（） A. 30B. 31C. 32D. 33 ［答案］D ［解析］平均年龄＝（10× 27＋15× 37）÷ （10＋15）＝825÷ 25＝33（岁） 。 ［注释］第二个房间人比较多，所以平均数应该离 37 更近，可以直接锁定 D。 【例 2】（广东 2005 下-13）甲、乙、丙、丁四人做纸花，已知甲、乙、丙三人平均每人做了 37 朵，乙、丙、丁三人平均 每人做了 39 朵，已知丁做了 41 朵，问甲做了多少朵？（） A. 35 朵 B. 36 朵 C. 37 朵 ［答案］A ［解析］甲+乙+丙=37×3 乙+丙+丁=39×3 ?丁-甲＝6，由于丁做了 41 朵，所以甲做了 35 朵。 [解析 2]：移多补少法。本题乙丙作为一个整体，由“乙丙丁三人平均 39 朵，丁 39 朵“可知丁比平均多了 2 朵，所以乙 丙总共比比平均少了 2 朵，假设乙丙都做了 38 朵，再由”甲乙丙三人平均 37 朵“可知，乙丙都比平均多了 1 朵，所以甲 比平均少了 2 朵，为 35 朵。 【例 3】（浙江 2005-16）有十名学生参加某次数学竞赛，已知前八名的平均成绩是 90 分，第九名比第十名多 2 分，所有 学生的平均成绩是 87 分。问第九名学生的数学成绩是几分?（） A. 70 B. 72 ［答案］D ［解析］第一名到第十名的成绩和=87×10=870 第一名到第八名的成绩和=90×8=720 ?第九名+第十名＝150， 第九名+第十名=150 第九名-第十名=2 ?第九名＝76，选择 D。 【例 4】（山东 2006-11）A、B、C、D、E 五个人在一次满分为 100 分的考试中，得分都是大于 91 的互不相同的整数。如 果 A、B、C 的平均分为 95 分，B、C、D 的平均分为 94 分，A 是第一名，E 是第三名得 96 分。则 D 的得分是（）。 A. 96 分 B. 98 分 C. 97 分 ［答案］C ［解析］由于几个人得分不同，所以 D 的得分不为 96，排除 A。 A+B+C=95×3 D+B+C=94×3 ?

不同量之间的和、差、倍、比关系的数学应用题——列方程的方法来解答和差倍比问题（有时可以口算） 【例 1】（四川 2009-7）甲、乙、丙三名羽毛球选手某天训练共用了 48 个羽毛球，其中甲比乙多用 4 个，乙比丙多用 4 个，甲、乙、丙三人用羽毛球的比是（）。 A. 5∶ 3 B. 6∶ 4 C. 4∶ 2 D. 3∶ 1 4∶ 5∶ 3∶ 2∶ ［答案］A ［解析］假设甲、乙、丙各使用了
1.设“1”思想（是计算方法，不是解题方法）
1）当题目中没有涉及某个具体量的大小，并且这个具体量的大小并不影响最终结果的时候，我们使用设 “1”思想，将这个量设为某一个利于计算的数值（不一定是 1） ，从而简化计算 2）一般我们在工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程问题、几何问题、经 济利润问题、和差倍比问题等中使用设“1”思想。
【例 6】 （北京应届 2008-25）商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所用费用相等，已知甲、乙、丙三种糖每千克的费用分 别为 4.4 元、6 元和 6.6 元。如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克的成本是多少元？（）

［答案］D ［解析］假设商店购进这三种糖各花 6.6 元，则可购进甲、乙、丙三种糖分别为 1.5 千克、1.1 千克、1 千克，共 3.6 千克， 因此每千克成本＝3× 6.6÷ 3.6＝5.5 元。 【例 7】 （山东 2007-59）李森在一次村委会选举中，需 2/3 的选票才能当选，当统计完 3/5 的选票时，他得到的选票数已达 到当选票数的 3/4，他还需要得到剩下选票的几分之几才能当选？（） A. 7/10B. 8/11C. 5/12D. 3/10 ［答案］C ［解析］不妨假设全村选票为 60 张，李森需要的票数为：2/3× 60=40（张） ；已经统计好的票数为：3/5× 60=36（张） ；尚未 统计好的票数为：60－36=24（张） ；已统计好的选票中李森已获票数：3/4× 40=30（张） ；而未统计好的选票中李森所需票 数：40－30=10（张） ；那么他还需得到的票数占剩余的选票的比例为：10÷ 24＝5/12，选择 C。 【例 9】 （江苏 2007A 类-25）为缩减开支，某国家通过压缩公务员队伍和调整公务员工资的办法，将公务员工资总支出缩 减 30%，人数占全公务员队伍 40%的 A 类部门压缩 40%，人数占全公务员队伍 40%的 B 类部门压缩 30%，人数占全公务 队伍 20%的 C 类部门压缩 20%，留用公务员的平均工资调整幅度如何？ A. 上浮约 2%B. 上浮约 3%C. 下降约 2% D. 下降约 3% ［答案］B ［解析］设原有公务员总数 100 人，工资总支出 100 元，则原平均工资为 1 元；A 类部门原有公务员人数 40 人，压缩 40% 后还有 24 人；B 类部门原有公务员人数 40 人，压缩 30%后还有

2.调和平均数 1）知识：算术平均数>调和平均数

2）四种题型 a.往返等距离平均速度问题（往返的距离相同，往返的速度分别为 v1,v2)

b.等价钱平均价格问题(购进两种糖的钱数相同，价格分别为 p1,p2)

C.等溶质增减溶剂问题（溶质相等的情况下，加入或蒸发掉同等量的水，原浓度 r1,第二次浓度 r2,第三 次浓度 r3)

d.沿途数车问题(t1 表示每看到迎面开来公车的时间，t2 表示每被一辆公车赶超的时间）

S 车距=（人速+车速）×t1 S 车距=（车速-人速）×t2

3.工程问题（设 1 思想的运用）

工作效率是否已知，不能得知就设为 x,y,z

【例 6】 （吉林 2009 乙-7）甲、乙一起工作来完成一项工程，如果甲单独完成需要 30 天，乙单独完成需要 24 天，现在甲、 乙一起合作来完成这项工程，但是乙中途被调走若干天，去做另一项任务，最后完成这项工程用了 20 天，问乙中途被调走 （）天。 A. 8B. 3C. 10D. 12 ［答案］D ［解析］因为甲单独挖要 30 天，乙单独挖要 24 天，所以假设工程总量为“120”（30 与 24 的最小公倍数） ，由题意易知： 甲的效率为 120÷ 30＝4，乙的效率为 120÷ 24＝5。甲和乙一起合作来完成时，甲全程 20 天都参加了，工作量为 4× 20＝80， 剩下 120－80＝40 由乙来完成，乙花了 40÷ 5＝8（天）完成，因此乙中途被调走了 20－8＝12（天） 。 【例 9】 （江苏 2008A 类-21）甲、乙、丙三人合修一条公路，甲、乙合修 6 天修好公路的 1/3，乙、丙合修 2 天修好余下的 1/4，剩余的三人又修了 5 天才完成。共得收入 1800 元，如果按工作量计酬，则乙可获得收入为（） 。 A. 330 元 B. 910 元 C. 560 元 D. 980 元 ［答案］B ［解析］设工作总量为“180”（易知每单位工作量报酬为 1800÷ 180＝10） ，甲、乙、丙三人效率分别为 x、y、z。由题意， 甲、乙合修 6 （江苏 2006A 类-12）某项工作，甲单独完成需要的时间是乙、丙共同完成的 2 倍，乙单独完成需要的时间是甲、 丙共同完成的 3 倍，丙单独完成需要的时间是甲、乙共同完成的几倍？（） A. 3/5 B. 7/5 C. 5/2 D. 7/2 ［答案］B ［解析］设总量为“1”，甲、乙、丙三人效率分别为 x、y、z，则 1x=2× 1y+z;1y=3× 1x+z。解得
基础知识：溶液＝溶质+溶剂；浓度＝溶质÷ 溶液；溶质＝溶液× 浓度；溶液＝溶质÷ 浓度 1）蒸发和加水（相同量的水）：溶质不变 2）混合后浓度相同，现浓度=（总的溶质）÷ （总的溶液） 3）最多能溶解，即溶解度——无论加多少克食盐，都无法溶解，浓度都不变

熟记这些数字（调和平均数问题）：10%，12%，15%，20%，30%，60%（蒸发或增加了同等量的水的浓度 变化）

1.初等行程问题 基本公式:距离＝速度× 时间 火车过桥洞时间=（火车长度+桥洞长度）/车速 整条火车在桥洞里时间=（火车长度-桥洞长度）/车速 注意比例问题：S 甲/S 乙=v 甲/v 乙× 甲/t 乙 t

1）运动时间相等，运动距离与运动速度成正比 2）运动速度相等，运动距离与运动时间成正比 3）运动距离相等，运动速度与运动时间成反比 2.相对速度问题 1）相遇追及问题 相遇距离=（大速度+小速度）× 相遇时间 追及距离=（大速度-小速度）× 追及时间 2）环形运动问题（相遇追及问题） 环形周长=（大速度+小速度）× 相向运动的两人两次相遇的时间间隔 环形周长=（大速度-小速度）× 同向运动的两人两次相遇的时间间隔 3）流水行船问题（类似顺风逆风问题） 顺流路程=顺流速度× 顺流时间=(船速+水速)× 顺流时间 逆流路程=逆流速度× 逆流时间=(船速-水速)× 逆流时间 4）队伍行进问题(追及问题） 队伍长度=(人速＋队伍速度)× 从队头到队尾所需时间 队伍长度=(人速－队伍速度)× 从队尾到队头所需时间 5）电梯运动问题（类似流水行船问题） 能看到的电梯级数=(人速+电梯速度)× 沿电梯运动方向运动所需时间 能看到的电梯级数=(人速-电梯速度)× 逆电梯运动方向运动所需时间 水，风，电梯都是带着人走

【例 7】 （四川 2008-11）一架飞机飞行在 A、B 两个城市之间，当风速为 28 千米/小时时，顺风飞行需两小时 30 分钟，逆 风飞行需 2 小时 50 分钟。问飞机飞行的速度是多少千米/小时？（） A. 338B. 410 C. 448D. 896 ［答案］C ［解析］逆风顺风问题——假设 A、B 两地距离为 S，飞机飞行速度为 v，则： S=（v+28）× 52 S=1190 【例 10】 （北京社招 2005-20）红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行 60 米，队尾的王老师以每分钟步行 150 米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用 10 分钟。求队伍的长度？（） A. 630 米 B. 750 米 ［答案］A ［解析］追及问题——设队伍长度为 x 米，则：x90+x210=10?x=630 （米） 。 ［注释］由方程：x90+x210=10，可猜测 x 是 90 与 210 的倍数，只有 A 满足条件。 【例 16】 （广东 2005 下-10）一只船沿河顺水而行的航速为 30 千米/小时，已知按同样的航速在该河上顺水航行 3 小时和逆 水航行 5 小时的航程相等，则此船在该河上顺水漂流半小时的航程为多少千米？（） A. 1 千米 B. 2 千米 C. 3 千米 D. 6 千米 ［答案］C ［解析］设船顺、逆流的速度分别为 v 顺水、v 逆水，则 v 顺水 v 逆水＝53，v 顺水＝30?v逆水＝18。 顺流航行，v 顺水＝v 船+v 水＝30； 逆流航行，v 逆水＝v 船-v 水＝18； v 水＝6，S 水=v 水 t＝6× 12＝3（千米） ，选择 C。 【例 22】 （国家 2003A 类-14）姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走 40 米，走 80 米后姐姐去追他。姐姐每分钟走 60 米， 姐姐带的小狗每分钟跑 150 米。小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗 才停下来。问小狗共跑了多少米？（） A. 600B. 800C. 1200D. 1600 ［答案］A C. 900 米 D. 1500 米 S=（v-28）× 176?v=448

［解析］由于小狗的运动规律不规则，但速度保持不变，故求出小狗跑的总时间即可。由于姐姐和小狗同时出发，同时终 止。小狗跑的时间也就是姐姐追及弟弟的时间。 设姐姐步行 t 分钟后和弟弟相遇，有：t＝80/（60-40）＝4 分钟，小狗跑了 150× 4＝600 米。 ［注释］这种转化的思想，以及“同时性”的判断，是解决此类问题的核心。 （关键在于抓住不变的值） 例：红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行 60 米，队尾的王老师以每分钟 步行 150 米的速度赶到排头，然 后立即返回队尾，共用 10 分钟。求队伍的长度？ A.630 米 B.750 米 C.900 米 D.1500 米 解：设长度为 S S/（150-60）+S/（150+60）=10 不用算，S 肯定被 90 和 210 整除，答案是 A630

熟记这个数字：10，12，15，20，30，60（对应：溶液蒸发等量水） 发现：v 平均数——总是靠近小的数，且可以分成两个 1：2 的部分

【例 3】 （广东 2004 上-8）一辆汽车驶过一座拱桥，拱桥的上、下坡路程是一样的。汽车行驶拱桥上坡时的时速为 6 公里； 下坡时的时速为 12 公里。则它经过该桥的平均速度是多少公里/小时？（） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 ［答案］B ［解析］根据往返运动问题核心公式：v=2v1v2/v1+v2=2× 126+12=8。 6×
【例 6】小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔 30 分钟就 有辆公共汽车从后面超过他， 每隔 20 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。 问： 该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？ （） A. 20B. 24C. 25D. 30 ［答案］B ［解析］设车速为 v 车，人速为 v 人，两辆车间距为 S，有： S=（v 车+v 人）×20 S=（v 车＝2t1t2/t1+t2 N=v 车/v 人＝（t2+t1）/（t2-t1） （其中 S 表示发车间距，v 车为车速， v 人为人速，T 为发车的间隔时间，N 为车速和人速的比）

3.“漂流瓶”问题核心公式 漂流所需时间=2t 逆 t 顺/（t 逆-t 顺） （其中 t 顺和 t 逆分别代表漂流瓶顺流所需时间和逆流所需时间）

【例 10】（浙江 2005-22）一艘游轮逆流而行，从 A 地到 B 地需 6 天；顺流而行，从 B 地到 A 地需 4 天。问若不考虑其他 因素，一块塑料漂浮物从 B 地漂流到 A 地需要多少天?（） A. 12 天 B. 16 天 C. 18 天 ［答案］D ［解析］设 AB 两地相距为“24”，塑料漂浮物从 B 地到 A 地需要 t 天，则： （v 船+v 水）×4=24 D. 24 天

4.青蛙跳井问题（陷阱） 一只青蛙往上跳，一个井高 10 米，它每天跳 4 米，又掉下来 3 米，问跳几天就到井口？ 一定要思考：当只剩下 4 米的时候，一跳就跳出去了，因此是第 6 天跳到 6 米，第 7 天就跳到井口了

【例 1】假设地球是一个正球形，它的赤道长 4 万千米。现在用一根比赤道长 10米的绳子围绕赤道一周，假设在各处绳 子离地面的距离都是相同的，请问绳子距离地面大约有多高?（） A.1.6 毫米 两式相减：2π h=10 米 B.3.2 毫米 C.1.6 米 D.3.2 米

［解析］赤道长：2π R =4 万千米；绳长：2π （R+h）=4 万千米+10 米； h=（10/2π ）≈1.6 米，选择 C 【例 9】甲、乙两个容器均有 50 厘米深，底面积之比为 5∶4，甲容器水深 9 厘米，乙容器 水深 5 厘米，再往两个容 器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是多少厘 米？（ ） A.20 厘米 B.25 厘米 C.30 厘米 D.35 厘米

解：同样多的水，意味着体积相同，底面积=5：4，那么体积相同，所以，设这时水深为X，那么，（X-9）：（x-5）=4:5

2） 割补平移法 对于“不规则图形”，我们必须使用“割”、“补”、“平移”等手段将其转化为规则图形的问题 3）几何特性法 （1）等比例放缩特性 一个几何图形其尺度（各边长或长宽高）变为原来的 m 倍，则： 1.对应角度不发生改变 2.对应长度变为原来的 m 倍 3.对应面积变为原来的 （m的平方） 倍 4.对应体积变为原来的 （m的立方） 倍 【例2】一个油漆匠漆一间房间的墙壁，需要 3 天时间。如果用同等速度漆一间长、宽、高都比原来大 一倍的房间的墙壁，那么需要多少天？（ ）

A.3 （2）几何最值理论

［解析］边长增大到原来的 2 倍，对应面积增加到 4 倍，因此共需 3×4=12 天。答案B 1.平面图形中，若周长一定，越接近于圆（正方形），面积越大； 2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆（正方形），周长越小； 3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大； 4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。 【例 5】要建造一个容积为 8 立方米，深为 2 米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每 平方米 120 元和 80 元，那么水池的最低造价为多少元?（ ） A.800 ［答案］C ［解析］该水池的底面积为 8÷2=4 平方米，设底面周长为 C 米，则：该无盖水池造价 =2C×80+4×120=160C+480（元），因此，为了使总造价最低，应该使底面周长尽可能短。由 几何最值 理论， 当底面为正方形时， 底面周长最短， 此时底面边长为 2 米， 底面周长为 8米。 水池的最低造价=160 ×8+480=1760（元） （3）三角形三边关系 三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边。 B.1120 C.1760 D.2240

八．计数问题模块（统计数量问题）

1）容斥原理 核心公式：
（1）两个集合的容斥关系公式：A＋B＝A∪B＋A∩B 文字公式：满足条件1的个数+条件2的个数-两者都满足的个数=总-两者都不 熟悉：1+2-都=总-都不（都，都不）
【例 1】现有 50 名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有 40 人，化学实验做正确的有 31 人，两种实验都做错 的有 4 人，则两种实验都做对的有多少人？ A.27 人 解答：直接代入公式。 【例 6】一名外国游客到北京旅游，他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息，要么上午休息， 下午出去游玩，而下雨天他只能 一天都呆在屋里。期间，不下雨的天数是 12 天，他上午呆在旅馆的天数为 8 天，下午呆在旅馆的天数为 12 天，他在北京共 呆了多少天？ A.16 天 B.20 天 C.22 天 D.24 天 解答：上呆+下呆-上下都呆=总数-上下都不呆，设总共呆的为X，然后就得出16 【例 7】 对某单位的 100 名员工进行调查， 结果发现他们喜欢看球赛和电影、 戏剧。 其中 58 人喜欢看球赛， 人喜欢看戏剧， 38 52 人喜欢看电影， 既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人， 既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人， 三种都喜欢看的有 12 人， 则只喜欢看电影的有 多少人？ A.22 人 B.28 人 C.30 人 D.36 人 解析：只喜欢看电影=就是既不喜欢看球赛也不喜欢看戏剧=即球赛和戏剧都不喜欢 （可以用核心公式）：球+戏-都喜欢=总-都不喜欢——58+38-18=100-x，x=22 B.25 人 C.19 人 D.10 人

（2）三个集合的容斥关系公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C 核心提示：一、画文氏图；二、标数字（从里往外标）三、做计算

【例8】某工作组有12 名外国人，其中6 人会说英语，5 人会说法语，5 人会说西班牙语； 有3 人既会说英语又会说法语， 有2 人既会说法语又会说西班牙语， 2 人既会说西班牙语 又会说英语； 1 人这三种语言都会说。 有 有 则只会说一种语言的人比 一种语言都不会说的人多 多少人？（ ） A.1 人 B.2 人 C.3 人 D.5 人 提示：标数字要从里面共有的圈圈往外标（便于计算），往往出题是从外往里出。

基本知识点： （1）加法和乘法原理 加法原理：分类用加法（取其一） 乘法原理：分步用乘法（全部取） （2）排列和组合问题 排列（和顺序有关）：换顺序变成另一种情况的就是排列 A的公式：假设从m中取n，那A=M*（m-1）连乘n个。 组合（和顺序无关）：换顺序还是原来的情况那种就是组合

●题型一.基础公式型 【例5】（国家2004A类-47）林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的两种不同蔬菜，以及 四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少种不同的选择方法?（） A. 4 B. 24 C. 72 D. 144 ［答案］C ［解析］不考虑顺序说明是组合问题，又是全部取，根据乘法原理：共有C13×C24×C14=72种不同的选择方法。 【例6】（国家）要求厨师从12种主料中挑出2种，从13种配料中挑出3种来烹饪菜肴，烹饪方式共7种，最多可做 出多少道不一样的菜肴？（） A. 131204 B. 132132 C. 130468 ［答案］B ［解析］根据乘法原理：总共有C212×C313×7=（12×11）/（2×1）×（13×12×11）/（3×2×1）×7=132132道不一样 的菜肴。 ［注释］本题的计算有很多种简便的方法，原数化简得11×13×12×11×7时可利用尾数判断；也可以利用“7×11×13＝ 1001”来简化计算；也可以直接不计算，而利用结果是7的倍数来判断。 【例9】（浙江2008-18）有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的秩序挂在灯杆上表示信号， 问共可表示多少种不同的信号？（） A. 24种 B. 48种 C. 64种 D. 72种 ［答案］C ［解析］使用一、二、三、四盏灯分别有A14=4、A24=12、A34=24、A44=24种不同的信号，根据加法原理相加，易得总数为 64种。 ●题型二.分类讨论型（加法原理） 【例10】（北京应届2008-16）某单位今年新进3个工作人员，可以分配到3个部门，但是每个部门至多只能接收2个人，问 共有几种不同的分配方案（）。 A. 12 B. 16 C. 24 D. 以上都不对 ［答案］C ［解析］总体分为两种情形：（1）如果三个部门每个部门分配一个工作人员，共有A33种分配方案；（2）如果三个部门分 别分配0、1、2个工作人员，一共有C23×C13×C12种分配方案。综上，总的分配方案为：A33+C23×C13×C12＝6+18＝24 （种） 【例11】（国家2005一类-48）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有多少种不同 的选法？（） A. 40 B. 41 ［答案］C ［解析］总体分为两种情形： （1）三个数都是偶数，共有C34种选法；（2）三个数两奇一偶，共有C25×C14种选法。综上， 总的选法为：C34+C25×C14＝44（种）。 【例12】（广东2008-14）3个单位要采购300本书，每个单位最少要订购99本，最多只能订购101本，求有几种订购方法？ （） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 ［答案］B ［解析］总体分为两种情形：（1）三个单位都是100本书，就这么1种情况；（2）三个单位分别99、100、101本书，需要 进行一个全排列，有A33=6种情况。总共有1+6＝7种订购方法。 ●题型三.分步计算型(乘法原理） 【例14】（国家2008-57）一张节目表上原有3个节目，如果保持这三个节目的相对顺序不变，再添加2个新节目，有多少种 安排方法?（） A. 20 B. 12 C.

［答案］A ［解析］分步计算：先插第一个节目，有4种方法；再插第二个节目，有5种方法。根据乘法原理，共有不同安排方法4×5 ＝20种。 【例15】（国家）小王忘记了朋友的手机号的最后两位数，只记得倒数第一位是奇数，则他最多要拨号多少次才 能保证拨通？（） A. 90 B. 50 C. 45 D. 20 ［答案］B ［解析］分步计算：先考虑最后一位，有5种可能；再考虑倒数第二位，有10种可能。根据乘法原理，共有不同组合方法5 ×10＝50种。 ●题型四.插空捆绑型

相邻问题——捆绑法； 不邻问题——插空法。 △捆绑法是先用的（先安排相邻元素的顺序，再安排其他） △插空法是后用的（先安排其他元素，再插空不相邻元素）

【例18】A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（）种排法。 A. 120 B. 72 C. 48 D. 24 ［答案］C ［解析］“相邻问题”，选用捆绑法。先将A、B捆绑在一起，共有A22=2种捆法； 再用它们的整体和C、D、E在一起排， 共有A44=24种排法；因此共有不同排法2×24=48种。 注意：2个人捆绑起来，也要安排顺序A22 【例19】A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（）种排法。 A. 120 B. 72 C. 48 D. 24 ［答案］B ［解析］“不邻问题”，选用插空法。先将C、D、E排成一排共有A33=6种排法；当C、D、E形成四个空时，将A、B插入， 共有A24=12种排法；因此共有不同的排法6×12=72种。

●题型五.错位排列型（顺序全错）

核心提示 错位排列问题： 有N封信和N个信封， 则每封信都不装在自己的信封里， 可能的方法的种数计作Dn， 则D1=0， D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265?（请牢牢记住前6个数）
【例21】甲、乙、丙、丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位， 则所有可能的站法数为多少种？（）A. 6 ［答案］C ［解析］错位排列问题D4=9。 【例22】（北京社招2007-16）五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？（）A. 6 C. 12 D. 20 ［答案］D ［解析］先从五个瓶子中选出三个瓶子，共有C35=10种方法；然后对这三个瓶子进行错位排列共有D3=2种方法。因此，所 有可能的方法数为10×2=20种。 B. 10 B. 12 C. 9 D. 24

[拓展]5个瓶子恰好贴对了2个=恰好贴错了3个 5个瓶子恰好贴错了4个，答案是0（不可能） ●题型六.重复剔除型

【例23】将6个人平均分成三组，请问一共有多少种分配的方法？（） A. 15 B. 30 ［答案］A ［解析］我们先从6个人当中挑出两个人组成一组，有C26种情况；再从剩下的4个人当中再挑出两个人组成一组，有C24种 情况；最后从剩下的2个人当中再挑出两个人组成最后一组，有C22种情况。总共有C26× C24× C22种分配方法。最后的结果 还要剔除重复的情况。由于每A33＝6种不同的挑法只对应同样的分配结果，所以最后答案应该为：C26× C24× C22÷ A33＝15 （种）。 C. 45 D. 90

△类推：平均分组问题，最后要除以Ann 2)排成一圈问题

【例24】（上海2005-11）某小组有四位男性和两位女性，六人围成一圈跳集体舞，不同排列方法有多少种？（） A. 720 B. 60 C. 480 D. 120

［答案］D ［解析］将六个人排成一排，共有A66=720种方法。但注意到下图显示的六种情况对应着相同的相对位置，应该将相同情况 剔除。所以共有720÷ 6＝120种方法。。题干中的“男女”为干扰条件。

△类推：N人排成一圈，有ANN/N种排法

【例25】用6枚不同的珍珠串一条项链，共有多少种不同的串法？（） A. 720 B. 60 C. 480 D. 120 ［答案］B ［解析］本题与上题相比，区别在于“人是不能随意翻转的”，但项链是可以翻转的。如右图：如果是人围成一圈，图中是 两种完全不同的情形（有左右手的区别），但如果是项链，只需要翻转一下，便能完全一致。所以所有可能的排法数还要 再除以2，即A66÷ 2＝60种。 6÷

△类推： N个珍珠串成一条项链，有ANN/N/2种串法。

【例26】（国家2006一类-46、二类-39）四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为 第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有多少种传球方式？（） A. 60种B. 65种C. 70种D. 75种 ［答案］A ［解一］五次传球传回甲，中间将经过四个人，将其分为两类： 第一类：传球的过程中不经过甲， 甲→→→→→甲共有方法3× 2× 2× 2=24种 第二类：传球的过程中经过甲， ① 甲→→→甲→→甲共有方法3× 1× 2× 3=18种 ② 甲→→甲→→→甲 共有方法3× 3× 1× 2=18种 根据加法原理，共有不同的传球方式24+18+18=60种。 ［解二］注意：N次传球，所有可能的传法总数为3的n次（每次传球有3种方法）。 并且第N次传回甲手中的可能性就是第N-1次不在甲手中的可能性。x=（4-1）的5次/4=60.75，最接近的整数是61，第二接 近的整数是60，所以传回甲自己的方法数为60种，而传给乙（或者丙、丁）的方法数为61。
N个人传M次球，记x=（N-1）的M次/N，则与x最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与x第二 接近的整数便是传给自己的方法数。
【例27】某人去A、B、C、D、E五个城市旅游，第一天去A城市，第七天到E城市。如果他今天在某个城市，那么他第二天肯 定会离开这个城市去另外一个城市。那么他一共有多少种旅游行程安排的方式？（） A. 204 B. 205 C. 819 D. 820 ［答案］C ［解析］相当于五个人传六次球，根据“传球问题核心公式”：X=（5-1）的6/5=819.2，与之最接近的是819，第二接近 的是820。因此若第七天回到A城市则有820种方法，去另外一个城市则有819种方法。

类似问题：有红黄蓝三种颜色，8个区域，相邻区域涂不同颜色，红黄蓝相当于人，区域相当于球，三个 人传球问题。第n次传回红的手里，根据核心公式x=（3-1）的n次/3，第二接近的整数即答案，共有情况 的种数应将X乘以3

比赛分类：循环赛，淘汰赛 比赛场次 淘汰赛 n个人，仅需决出冠、亚军比赛场次＝n-1(淘汰n-1个人） n个人，需决出第1、２、３、４名比赛场次＝n（冠军亚军是n-1场，冠军和亚军干掉的两个人加一场，所 以是n场） 循环赛 单循环（任意两个队打一场比赛）比赛场次＝C2N 双循环（任意两个队打两场比赛，分主场和客场）比赛场次＝2×C2N 注：默认的“循环赛”即“单循环赛”。淘汰赛中决出冠军即“决出冠亚军”
【例2】 （国家2006二类-41）100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男、女冠军各一名，则要安排单打赛多少场？ （） A. 90 B. 95 C. 98 D. 99

［答案］C ［解析］设男、女运动员分别为a名和b名。每场比赛都淘汰一名运动员，a名男运动员需比赛（a-1）场，即共需淘汰（a-1） 个人；类似的，b名女运动员需比赛（b-1）场。共需要（a-1）+（b-1）＝a+b-2＝100-2＝98（场） 。 【例3】 （上海2004-16）某足球赛决赛，共有24个队参加，它们先分成六个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按照确定 的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军和第三、四名。总共需要安排多少场比赛？（） A. 48 B. 51 C. 52 D. 54 ［答案］C ［解析］24个队，分成六个小组，每组4个队。因为每个小组打循环赛，故每个小组组内比赛有C24=6场（与次序无关） ， 循环赛共6× 6＝36场。16个队淘汰赛决出冠、亚军和第三、四名，因此淘汰赛共需16场，共36+16＝52场。 【例4】（江苏2007A类-15）A、B、C、D四支球队开展篮球比赛，每两个队之间都要比赛1场，已知A队已比赛了3场，B队已 比赛了2场，C队已比赛了1场，请问D队已比赛了几场？（） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 ［答案］B ［解析］如图所示，比赛过的两支球队间用实线连接，未赛过的两支球队用虚线连接。

4.概率问题 概率问题核心公式

1.单独概率＝满足条件的情况数/总的情况数； 2.某条件成立概率＝1－该条件不成立的概率； 3.总体概率＝满足条件的各种情况概率之和； 4.分步概率＝满足条件的每个步骤概率之积。
【例2】 （江苏2009-79）某商店搞店庆，购物满200元可以抽奖一次。一个袋中装有编号为0到9的十个完全相同的球，满足 抽奖条件的顾客在袋中摸球，一共摸两次，每次摸出一个球（球放回） ，如果第一次摸出球的数字比第二次大，则可获奖， 则某抽奖顾客获奖概率是 A. 5% B. 25% C. 45% D. 85% ［答案］C ［解析］每次摸球有10种可能，那么两次摸出来的球有10× 10＝100种不同的情况。很明显，有10种情况是摸出两个数字相 同的球，那么还有90种是数字不相同。这90种情况中，第一次大与第二次大各占45种。所以获奖概率为45÷ 100＝45%。 【例3】 （浙江2009-52）小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两 颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？（） A. 1/3 B. 1/4 C. 1/5 D. 1/6 ［答案］C ［解析］小孙任意取出两颗糖有以下六种情况： （巧克力、果味）（巧克力、牛奶1）（巧克力、牛奶２）（果味、牛奶1） ， ， ， ， （果味、牛奶２）（牛奶１，牛奶2） ， 。其中有五种情况满足“其中一颗是牛奶味”这个条件，而要另外一颗也是牛奶味，只 有（牛奶１，牛奶2）这一种情况，所以概率为1/5。 【例4】当第29届奥运会于北京时间2008年8月8日20时正式开幕时，全世界和北京同一天的国家占？（） A. 全部 B. 1２C. 1２以上D. 1２以下 ［答案］A ［解析］我国位于“东八区”，北京时间2008年8月8日20时，东十二区的时间为2008年8月8日24时，西十二区的时间为2008 年8月8日0时。所以全球的时间均落在2008年8月8日0时至2008年8月8日24时范围内。 【例5】（浙江2007B类-17）将一个硬币掷两次，恰好有一次正面朝上且有一次反面朝上的概率是多少？（） A. 1２B. 1３C. 14D. ２3 ［答案］A ［解析］掷两次硬币所有可能性为（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）共四种。根据公式：恰好有一次正 面朝上且有一次反面朝上的概率是12 【例6】（浙江2006-40）乒乓球比赛的规则是五局三胜制。甲、乙两球员的胜率分别是60％与40％。在一次比赛中，若甲 先连胜了前两局，则甲最后获胜的胜率是（）。 A. 为60％ ［答案］D ［解析］乙如果要获胜，则乙后三场都要获胜（五局三胜制），其概率为40％× 40％× 40％＝6.4％；因此，甲获胜的概率 为1-6.4％＝93.6％，选择D。 【例11】（山东）某商场以摸奖的方式回馈顾客，盒内有五个乒乓球，其中一个为红色，2个为黄色，2个为白色， B. 在81％～85％之间 C. 在86％～90％之间 D. 在91％以上

每位顾客从中任意摸出一个球，摸到红球奖10元，黄球奖1元，白球无奖励，则每一位顾客所获奖励的期望值为多少? （） A. 10B. 1.2C. 2 D. 2.4 ［答案］D ［解析］顾客摸到红、黄、白球的概率分别为1/5、2/5、2/5，因此其所获奖励的期望值应该为10× 1/5+1× 2/5+0× 2/5=2.4。

“最不利”原则：构造“最不利”的情况，从而完成答题。 题干： “至少。。才能保证。。”——“保证”后——构造最不利情况。 。 。。
【例2】（国家2004B类-48）有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一只袋子里，为了保证摸出的珠子有两粒颜色相同，应至 少摸出几粒？（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ［答案］C ［解析］题目要求“保证摸出的珠子有两粒颜色相同”，最不利的情况就是“总是摸出颜色不相同的珠子”。总共只有4 种颜色，可以摸出4个颜色不相同的珠子，因此摸5粒就能保证摸出的珠子有两粒颜色相同。 【例7】（国家2007-49）从一副完整的扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能保证至少6张牌的花色相同。（） A. 21 B. 22 ［答案］C ［解析］常识：一副牌有4种花色，每种花色有13张，13张大小都不同，两张大小王 题目要求“保证至少6张牌的花色相同”，最不利的情况就是“每种花色都只有5张”。每种花色取5张，总共是5× 4＝20（张）， 再取大、小王各一张，合计22张。因此，抽出23张扑克便能保证其中至少有6张扑克的花色相同。 【例9】一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4张牌的大小相同? （） A. 39 B. 40 ［答案］B ［解析］题目要求“保证有4张牌的大小相同”，最不利的情况就是“每种大小的牌都只有3张”。我们将扑克的A、2、3、4、5、 6、7、8、9、10、J、Q、K这13种大小的牌各取3张，合计13× 3＝39张。因此，抽40张牌就能保证有4张牌的大小相同。 【例10】（江苏2008A类-17）将104张桌子分别放到14个办公室，每个人办公室至少放一张桌子，不管怎样分至少有几个办 公室的桌子数是一样多？（） A. 2B. 3C. 7D. 无法确定 ［答案］A ［解析］题目要求“办公室的桌子数是一样多”，最不利的情况就是“办公室的桌子尽量不一样多”。如果14个办公室的 桌子各不相同，分别有1、2、3、4?11、12、13、14张，那么总共应有【（1+14）×14】/2=105（张），而实际上我们只 有104张桌子，因此需要有两个办公室的桌子数是相同的，比如说最后两个办公室都是13张 C. 41 D. 42 C. 23 D. 24
基本知识点： 1.单边线型植树公式：棵数=总长÷间隔 +1；总长=（棵数-1）×间隔 等价于：路的两端都植树（不封闭） 间隔数=棵树-1，第n棵树和第m棵树相差（n-m)个间隔。
例：一条大街种树，每多少米种一颗

2.单边环型植树公式（封闭）：棵数=总长÷间隔；总长=棵数×间隔 等价于：只在路的一端植树（不封闭） 间隔数=棵树，第n棵树和第m棵树相差（n-m)个间隔。

例：三角形，且三个角处必须种树，不种树就变成是单边楼间问题。

3.单边楼间植树公式（封闭）：棵数=总长÷间隔 -1；总长=（棵数+1）×间隔 等价于：路的两端都不植树（不封闭） 间隔数=棵树+1，第n棵树和第m棵树相差（n-m)个间隔。

例：两座塔或两座楼为一个单边，每隔多少种树

4.双边植树问题公式：棵数=2（总长÷间隔）或2（总长÷间隔 ）±1 5.注意：“间隔”是指间隔的距离，并非个数，间隔数表示间隔的个数.

【例1】一条大街长20米，从路的一端起，每隔4米在路的两侧各种一棵树，则共有（）棵树。 A. 5棵 B. 4棵 C. 6棵 D. 12棵 ［答案］D

［解析］根据双边线性植树公式：棵数=（20÷ 4+1）× 2=12（棵） ，选择D。 【例2】 （国家2002A类-13、国家2002B类-19）一块三角地，在三个边上植树，三个边的长度分别为156米、186米、234米， 树与树之间的距离均为6米，三个角上都必须栽一棵树，问共需植树多少棵？（） A. 90棵B. 93棵C. 96棵D. 99棵 ［答案］C ［解析］根据单边环型植树公式：棵数=（234+186+156）÷ 6＝96（棵） 【例3】有两座塔间距140米，两塔间每隔20米种一棵树，则共需种多少棵树？（） A. 7棵B. 6棵C. 8棵D. 5棵 ［答案］B ［解析］根据单边楼间植树公式：棵数=140÷ 20-1=6（棵） ，选择B。 【例4】 （江苏2008C类-15）两棵柳树相隔165米，中间原本没有任何树，现在这两棵树中间等距种植32棵桃树，第1棵桃树 到第20棵桃树间的距离是（） 。 A. 90 B. 95 C. 100 D. 前面答案都不对 ［答案］B ［解析］根据单边楼间植树公式：32=165÷ 间隔－1。解得：间隔＝5（米） 。再看第1棵桃树与第20棵桃树，利用单边线性 植树公式：20＝距离÷ 5＋1。解得：距离＝95（米） 。 【例6】 （国家2006一类-47、国家2006二类-36）为了把2008年北京奥运办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。 某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的（不相交）两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度 的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗（） 。 A. 8500棵B. 12500棵C. 12596棵D. 13000棵 ［答案］D ［解一］设棵数为x，两条路长分别为a、b，根据公式可得到方程组： （a4+1）× 2+（b4+1）× 2＝x+2754 （a5+1）× 2+（b5+1）× 2＝x-396解得，x=13000棵，选择D。 ［解二］设棵数为x，两条路总长为L，因为一条路上线形双边植树中，棵数比段数的2倍多2，所以两条路上线形双边植树 里，棵数应该比段数的2倍多4。我们得到： x+2754=L4× 2+4 x-396=L5× 2+4解得x=13000，选择D。 【例7】 （北京社招2006-20）李大爷在马路边散步，路边均匀地栽着一行树，李大爷从第一棵树走到第13棵树用了6分钟， 李大爷又往前走了几棵树后就往回走，当他回到第五棵树时共用了30分钟（包括之前的6分钟） ，李大爷散步到第几棵树时 开始往回走？（） A. 第32棵B. 第33棵C. 第37棵D. 第38棵 ［答案］B ［解析］李大爷从第1棵树走到第13棵树，6分钟共走过12个“间隔”，所以其1分钟即可以走2个“间隔”，那么他30分钟共可 走过60个“间隔”。 设李大爷散步到第n棵树时开始往回走。 第n棵树与1棵树相隔 （n-1） 个“间隔”， 第n棵树与5棵树相隔 （n-5） 个“间隔”，因此：

6.类似题型——把握好“段数”与“端点数”之间“相差为1”的关系。

【例8】 （山东2008-41、广东2005下-12）把一根钢管锯成5段需要8分钟，如果把同样的钢管锯成20段需要多少分钟?（） A. 32分钟 ［答案］B ［解析］钢管锯成5段，有4个锯口；锯成20段，有19个锯口。故所需的时间为：8÷ 19=38分钟。 4× 【例9】 （内蒙古2009-13）李先生去10层楼的8层去办事，恰赶上电梯停电，他只能步行爬楼。他从第1层爬到第4层用了48 秒，请问以同样的速度爬到第8层需要多少秒？（） A. 112 B. 96 C. 64D. 48 ［答案］A ［解析］从1层到4层需要爬3层，每层需要48÷ 3＝16（秒） 。从1层爬到8层需要爬8－1＝7（层） ，总共需要7× 16＝112（秒） 。 B. 38分钟 C. 40分钟 D. 152分钟

7）裂增计数 ●基本公式：如果一个量每个周期（时间段）后变为原来的A倍，那么n个周期之后就是原来的（A的n方） 倍。 （n是周期数）

【例1】 （河北选调2009-51）某种细菌在培养过程中，每１０分钟分裂一次（1个分裂为２个） 。经过90分钟，这种细菌由１ 个可分裂成多少个？（）

A. 256 B. 512C. 1024D. 2048 ［答案］B ［解析］周期数为90÷10＝9（个） 。根据公式：可分裂成2的9次＝512（个） 。 【例4】 （山东）先分多次用等量清水去冲洗一件衣服，每次均可冲洗掉上次所残留污垢的四分之三，则至少需要 多少次才可使得最终残留的污垢不超过初始污垢的1%?（） A. 3B. 4 C. 5 D. 6 ［答案］B ［解析］每次清洗之后变为原来的1/4，那么N次之后就应该是原来的(1/4)的N次，由题意：(1/4)的N 次≤1%，即4N≥100， 易知N≥4。

●类推——剪绳问题核心公式：一根绳连续对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2的n次×M+1）段。

【例8】将一根绳子连续对折五次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪8刀。问这样操作后，原来的绳子被剪成了几段？（） A. 81段 B. 225段 C. 257段 D. 1281段 ［答案］C ［解析］根据公式：2的5次×8+1=257。

8）方阵问题（方形队列）

（1）N排N列的实心方阵人数为N×N人； （N为每行每列人数） （2）M排N列的实心长方阵人数为M× N人； （M是每行人数，N是每列人数） （3）N排N列的方阵，最外层（方阵四周）有4N-4人（N是所对应的方阵的每行每列人数）——类推：三 角形：3n-3 （4）N排N列的方阵，N=最外层人数÷ 4＋1（N是所对应的方阵的每行每列人数） （5）在方阵中，相邻两圈人数，外圈比内圈多8人。每边人数，外圈比内圈多2人； （6）实心方阵中，方阵人数＝N×N=(最外层人数÷ 4＋1)的2次。 （7）空心方阵中，方阵人数＝用整体数目-内部空心的数目，或利用等差数列求和公式：最外层人数往 里到最里层人数是公差为8的等差数列。 （8）题目中，方阵默认为正方形方阵 二.两大常见思维方法： （1）重叠点思维：若有边与边的重叠情况，把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需要再减去重叠 点个数，才是最终的全部数目； （2）逆向法思维：如果需要计算“某种形状”的“某种外层”的数目，用整体数目减去内部的数目是一种常 用的思维方法。
【例2】 （浙江2003-18）某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，则这个学校共有学生（） 。 A. 600人 B. 615人 C. 625人 ［答案］C ［解一］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷ 4＋1)的2次＝（96÷ 4＋1）的2次＝625（人） 。 ［解二］数字特性法：方阵的人数应该是一个完全平方数，所以结合选项，选择C。 【例4】 （国家2005一类-44、国家2005二类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后 来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价 值是多少？（） A. 1元 B. 2元 C. 3元 D. 4元 ［答案］C ［解一］设正方形每边x枚硬币，三角形每边y枚硬币，一共有N枚硬币，根据公式可得方程组： N=4x－4 N=3y-3?得到—N=60，y-x=5，因为每枚硬币5分，所以总价值3元。 ［注释］ 这里围成的三角形和正方形都指的是空心的。 ［解二］根据数字特性法：硬币能围成正三角形→硬币的个数是3的倍数→硬币的价值可以三等分→根据选项选择C。 【例5】 （北京社招2006-16）用10张同样长的纸条粘接成一条长61厘米的纸条，如果每个接头处都重叠1厘米，那么每条纸 条长多少厘米？（） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 ［答案］C ［解析］重叠点思维：假设每张纸条有x厘米长，总长度应该是10x，但一共有9个接口，每个接口处都重叠1厘米，因此重 复计算了9厘米，据此可得：10x-9=61?x=7。 D. 640人

【例6】参加中学生运动会团体操表演的运动员排成一个正方形队列，若减少一行一列，则要减少49人，则参加团体操表演 的运动员共（）人。 A. 576 B. 625 C. 676 D. 2401 ［答案］B ［解析］重叠点思维：假设每边有x人，则一行一列共有（2x-1）人（注意该行与列的交叉点上的人被重复计算了两遍） ， 有方程：2x-1=49，解得x=25。共有25的2次=625人。 【例11】有一队学生，排成一个中空方阵，最外层的人数共48人，最内层人数为24人，则该方阵共有（）人。 A. 120 B. 144 C. 176 D. 194 ［答案］B ［解一］设最外层每边x人，最内层每边y人，根据公式： 4x-4=48 4y-4=24?x=13 y=7 因此外层每边13人，内部空心部分每边7-2＝5人，根据“逆向法思维” ：共有132-52=144人。 ［解二］等差数列：总人数＝（48+24）×层数÷2＝36×层数，是36的倍数，直接锁定B。 ［解三］根据公式：相邻两圈相差8，因此很容易得到这几圈分别为48、40、32、24，直接加起来即可

9）过河问题 一．基本知识点

1.M 个人过河，船上能载 N 个人，由于需要一人划船，故共需渡河 M-1/N-1 次（分子、分母分别减“1”是 因为需要 1 个人划船，如果需要 n 个人划船就要同时减去 n） ；过河总次数=渡河次数×2-1（最后一次不 再返回） 2.“过一次河”指的是单程，“往返一次”指的是双程；一般渡一次河是指双程，过一次河是指单程。 3.载人过河的时候，最后一次不再需要返回。
【例 1】 （广东 2005 上-10）有 37 名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载 5 人，需要几次才能渡完？（） A. 7 次 B. 8 次 C. 9 次 D. 10 次 ［答案］C ［解析］渡河几次问题根据公式：37-1/5-1＝36/4＝9 次。 【例 2】 （北京应届 2006-24）49 名探险队员过一条小河，只有一条可乘 7 人的橡皮船，过一次河需 3 分钟。全体队员渡到 河对岸需要多少分钟？（） A. 54 B. 48 C. 45 D. 39 ［答案］C ［解析］根据公式：全部渡过需要 49-1/7-1＝48/6＝8 次，前七次渡河需要往返各一次；第八次渡河则只需过河一次，所以 八次渡河共需过十五次河（即 15 个单程） ，每次过河需要 3 分钟，所以共需要 45 分钟。 【例 3】有 42 个人需要渡河，现仅有一只小船，每次只能载 6 人，但需要 3

二．拓展——青蛙跳井问题

题设：如果青蛙掉进深 An 米的井里，每天上升 x 米，下滑 y 米，天数为 n 常规解法：等差数列通项 An=a1+(n-1)d，a1=x，公差 d=x-y。N 取整数。 类似过河问题：n=An-y/x-y，结果四舍五入取整
【例 4】有一只青蛙掉入一口深 10 米的井中。每天白天这只青蛙跳上 4 米晚上又滑下 3 米，则这只青蛙经过多少天可以从 井中跳出?（） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 ［答案］A ［解析］常规解法：除最后一天外，青蛙每天白天跳上 4 米，而晚上又滑下 3 米，一昼夜来回共上升 1 米，所以第六天到 了“第 6 米”的地方，第七天的时候，再向上跳四米，那么白天就可以跳出井外，所以答案应该选择 A。

［注释］本题相当于一个“过河问题”，一共 10 个人，船上能承载 4 个人，但需要 3 个人划船，所以共需要 10-3/4-3=7 天。 【题 5】有一只青蛙掉入一口深 20 米的井中。每天白天这只青蛙跳上 5 米晚上又滑下 3 米，则这只青蛙经过多少天可以从 井中跳出?（） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 ［答案］C ［解析］看作“过河问题”，20-/35-3=8.5，所以需要

1.基本知识点： 1.每过N年，每个人都长N岁。 2.两个人的年龄差在任何时候都是固定不变的。 3.两个人的年龄倍数关系随着时间推移而变小。 2.基本解题思路： 1）方程法。
【例9】（北京应届2007-16）爸爸、哥哥、妹妹3个人，现在年龄和为64岁，当爸爸是哥哥年龄3倍时，妹妹是9岁，当哥哥 是妹妹年龄2倍时，爸爸34岁。现在爸爸的年龄是（）岁。 A. 34B. 39C. 40D. 42 ［答案］C ［解析］分析三人各个时间段的年龄结构： 爸爸 时刻1 时刻2 3x-x=34-2y x-9=2y-y x=13 y=4 所以时刻Ⅰ三人的年龄分别为39、13、9，哥哥比爸爸小26岁，妹妹比爸爸小30岁。设现在爸爸n岁，则哥哥 为n-26岁，妹妹为n-30岁，n+（n-26）+（n-30）=64，得到n=40，选择C。 【例10】（国家2008-52）5年前甲的年龄是乙的三倍，10年前甲的年龄是丙的一半，若用y表示丙当前的年龄，下列哪个选 项能表示乙的当前年龄？（） A. y6+5B. 5y3-10C. y-103D. 3y-5 ［答案］A ［解析］直接用甲、乙、丙表示当前他们各自的年龄，可列方程： （甲-5）＝（乙-5）×3 （甲-10）＝（丙-10）÷2?乙＝16×丙+5，故A正确。 3x 34 哥哥 x 2y 妹妹 9 y

根据我们的“年龄差不变”原则，可以得到简单的方程组：

2）平均分段法。(题干：当甲是乙的现在岁数时，或当乙是甲现在岁数时） 有一类典型的年龄问题，如果列方程比较复杂；但如果转化为等差数列问题（因为年龄差不变），然后 使用“平均分段法”，便能迅速得到答案。

【例11】（国家2005一类、二类-49）甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在 岁数时，你将有67岁。甲乙现在各有（）。 A. 45岁，26岁 B. 46岁，25岁 C. 47岁，24岁 D. 48岁，23岁 ［答案］B ［解析］平均分段法：我们假设甲、乙现在分别为x、y岁，根据年龄差不变可知：67、x、y、4应该构成等差数列，即67 与4之间被平均分成了三段： 显然，4与67相隔为63，长度63被平均分成了3段，每段各长21口算可以得到x=46，y=25。 【例15】在5和29之间插入3个数字，构成5个数字的等差数列，请问离5最近的那个数为多少？（） A. 10 B. 11 ［答案］B ［解析］平均分段法：5与29相隔24，平均分成了4个6，可得x＝11、y＝17、z＝23。 C. 12 D. 13

2）经济利润相关问题（方程法）

基本知识点： 1.总售价＝单价× 销售量；总利润＝单件利润× 销售量。 2.总利润＝总售价-总成本；单件利润＝单价-单件成本。 （成本即常说的进价或原价） 。 3.利润率＝利润/成本＝（售价-成本）/成本＝售价/成本-1。 （利润率即常说的加价率，提价率，降价率） 售价＝成本× （1＋利润率） ，成本＝售价/（1+利润率） 。 4.“二折”，即现价为原价的20%，“九折”，即现价为原价的90% ［注释］现价为原价的85%，可叫做“八五折”或“八点五折”。 补充：纸片的对折和翻折 对折n次，原来纸片的2的n次方。 翻折n次，原来纸片的n分之一。

【例1】 （江苏2008A类-19）某商品原价为30元，第一年提价10%，第二年又降低10%，第三年又提价10%，则第三年该商 品的最后价格为（） A. 29.7B. 32.67C. 30D. 33 ［答案］B ［解析］该商品最后的价格应为30× （1+10%）× （1-10%）× （1+10%）=32.67（元） 【例2】 （黑龙江2007-18）太平商场1996年创利润比西北商场多20%，问西北商场1996年创利润比太平商场少多少？（） A. 16.7% B. 20% C. 24% D. 25% ［答案］A ［解析］设1思想。假设西北商场利润为100，那么太平商场利润为100× （1+20%）＝120。西北商场比太平商场利润少： （120-100）÷120≈16.7%。 【例15】 （北京应届2008-11）小王是某品牌鞋子的经销商，他以每4双鞋子300元的价格直接从生产商进货，同时又以6双鞋 子500元的价格卖给各个分销商。已知去年小王共赚了10万元钱。问小王去年共卖出鞋子多少双？（） A. 8400 ［答案］C ［解析］假设小王去年卖出鞋子x双，则：x/6× 500-x/4× 300=100000?x=12000 。 【例22】 （国家2005二类-39）一种打印机，如果按销售价打九折出售，可盈利215元，如果按八折出售，就要亏损125元。 则这种打印机的进货价为多少元？（） A. 3400元 B. 3060元 ［答案］C ［解一］设进货价为x元，原售价为y元，则 0.9y=x+215 0.8y=x-125?x=2845 ［解二］根据上述方程，可以采用数字特性法。很明显，“x+215”含有因子“9”，“215”除以9余8，所以“x”除以9余1，因此 选C。 【例23】 （上海2009-8）小李买了一套房子，向银行借得个人住房贷款本金15万元，还款期限20年，采用等额本金还款法， 截止上个还款期已经归还5万元本金，本月需归还本金和利息共1300元，则当前的月利率是（） 。 A. 6.45‰B. 6.75‰C. 7.05‰ D. 7.35‰ ［答案］B ［解析］小李每个月需要偿还的本金为：150000÷ 12＝625（元） 20÷ ，因此本月需归还的利息为1300－625＝675（元） ，本 月还欠银行的本金为00＝100000（元） ，因此，当年的月利率为675÷ 100000＝6.75‰。 【例25】 （浙江2007B类-16）某人向朋友借款两万元，年利率为5％，约定两年还清，还款方式是每年年底偿还x元。则x约 为多少?（） A. 10685 ［答案］B ［解析］ ［20000× （1＋5％）-x］× （1＋5％）＝x，x≈10756，选B。 【例26】 （上海2009-9）交叉汇率也称套算汇率，是指两种货币通过第三种货币为中介而推算出来的汇率。假定人民币/日

［答案］C ［解析］首先，我们要明白汇率的基本含义。如“人民币/日元：14.001～14.040”中，14.001指的是（银行的）买入价， 14.040指的是（银行的）卖出价。我们把“人民币/日元”里面前面那个货币“人民币”看成是商品，这个汇率表示：银行 从客户手里买入1元人民币，支付给客户14.001日元；银行向客户卖出1元人民币，向客户收取14.040日元。注意银行和客户 的“买”“卖”是完全相反的。通俗地讲，就是你有1元人民币，可以去银行里兑14.001日元；或者你拿14.040日元，可以 、 到银行兑1元人民币。 本题要算 “澳元/日元” 的交叉汇率， 根据题意， 如果你有1澳元， 可以兑换4.352元人民币， 而每1元人民币又可以兑换14.001 日元，那么你这1澳元便可以兑换4.352×14.001≈60.93（日元） ；如果你想兑换1澳元，你必须要有4.467元人民币，而每1 元人民币，你必须用14.040日元兑换得到，那么为了兑换这1澳元，你必须要有4.467×14.040≈62.72日元。因此， “澳元/ 日元”的交叉汇率为“60.93～62.72” 。

3）分段计算问题 基本知识点： 1.涉及题型：销售、税金、支付、提成等。 2.基本思想：分区间计算（弄清分段点和各区间的基本值） 3.核心要点：弄清分段点、细心计算。

【例1】（内蒙古2008-12,国家2003A类-12）某企业发奖金是根据利润提成的。利润低于或等于10万元时可提成10%；低于 或等于20万元时，高于10万元的部分按7.5%提成；高于20万元时，高于20万元的部分按5%提成。当利润为40万元时，应发 放奖金多少万元?（） A. 2 B. 2.75 C. 3 D. 4.4 ［答案］B ［解析］①0～10万元的部分可提成10×10%＝1万元；②10～20万元的部分可}