没学过凸优化 公开课或者数学不好，怎么搞明白SVM
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时间：2018-01-22 19:52
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e01acc6accc7f_b.jpg& data-rawwidth=&1334& data-rawheight=&750& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1334& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e01acc6accc7f_r.jpg&&&/figure&&blockquote&当考察一直以“数即实数”的漫长的数学史时，对于不久前，方才感觉到被称作 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数的数世界存在的我们来说，好似处于只见过白昼天空的人在凝望夜空时的惊讶状态. 在那里有着与白昼完全不同的数学景色. 在这个夜空中，发射出的“素数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 的威力”的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&& ，如果将实数域 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& 比作太阳的话，它们就像是在阳光下隐藏不见的那些夜空中的星辰，有着对应于各种素数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&& 那样无数的星星，像各种各样的星辰可与太阳媲美那样，各种 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&& 也可与 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& 媲美. 在夜空中可一眼望尽远方，而通过 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数世界，我们开始看见非常深远的数学景色了！
—— 《&i&数论 I—Fermat的梦想和类域论》&/i&&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-defb09af04bd6a474643bb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&532& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-defb09af04bd6a474643bb_r.jpg&&&/figure&&h2&一： p-进数&/h2&&p&设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 为一个素数. 任意给你一个有理数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+a%5Cin+%5Cmathbb%7BQ%7D%28a%5Cneq+0%29& alt=& a\in \mathbb{Q}(a\neq 0)& eeimg=&1&& ，你都可以把它写成&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%3Dp%5E%7Bm%7D%5Cdfrac%7Bu%7D%7Bv%7D%7E%28m%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%7Eu%2Cv%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E4%B8%8D%E8%A2%AB%7D%7Ep%7E%5Ctext%7B%E9%99%A4%E5%B0%BD%E7%9A%84%E6%95%B4%E6%95%B0%7D%29& alt=&a=p^{m}\dfrac{u}{v}~(m\in \mathbb{Z},~u,v~\text{为不被}~p~\text{除尽的整数})& eeimg=&1&&&/p&&p&的形式，定义 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& 的&i&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进赋值 &/i&为： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ord_%7Bp%7D%28a%29%3A%3Dm& alt=&ord_{p}(a):=m& eeimg=&1&& ，&i&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进绝对值&/i&为
&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Ca%7C_%7Bp%7D%3A%3Dp%5E%7B-ord_%7Bp%7D%28a%29%7D& alt=&|a|_{p}:=p^{-ord_{p}(a)}& eeimg=&1&& .&/p&&p&它们分别是有理数域 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&& 上的非阿基米德赋值、绝对值. 我不想在这里赘述它们的严格定义. 我只想说这么一件事：&/p&&blockquote&（Ostrowski）有理数域上的绝对值（在等价意义下，等价是指定义了相同的拓扑）只有两大类：一类是阿基米德绝对值，即通常绝对值，一类是非阿基米德绝对值，即上述 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进绝对值.&/blockquote&&p&有理数域关于通常绝对值作完备化就是实数域，这是通常数学分析课本做的事情；而有理数域关于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进绝对值作完备化得到的数域就是我们故事的主角—— &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域. 它一般来说有如下三种看法：&/p&&ol&&li&&b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域是有理数域关于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进绝对值作完备化得到的数域. &/b&它的一个元素是一个柯西列的等价类：一个柯西列是指一个有理数列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7Bn%7D%29& alt=&(x_{n})& eeimg=&1&& ，它满足：对任意的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%3E0& alt=&\varepsilon&0& eeimg=&1&& ，存在正整数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&& 使得任意的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=m%2Cn%5Cgeq+N& alt=&m,n\geq N& eeimg=&1&& 有 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_%7Bm%7D-x_%7Bn%7D%7C_%7Bp%7D%3C%5Cvarepsilon& alt=&|x_{m}-x_{n}|_{p}&\varepsilon& eeimg=&1&& ；称两个柯西列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7Bn%7D%29%2C%28y_%7Bn%7D%29& alt=&(x_{n}),(y_{n})& eeimg=&1&& 是等价的，若 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_%7Bn%7D-y_%7Bn%7D%7C_%7Bp%7D%5Cto+0%2Cn%5Cto+%5Cinfty& alt=&|x_{n}-y_{n}|_{p}\to 0,n\to \infty& eeimg=&1&& . 这些柯西列的等价类关于自然的加法和乘法运算成为一个域，叫做
&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域. 有理数域到 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域有一个自然的嵌入 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%5Chookrightarrow%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D%2C%7Ea%5Cmapsto+%28a%2Ca%2Ca%2C%5Ccdots%29& alt=&\mathbb{Q}\hookrightarrow\mathbb{Q}_{p},~a\mapsto (a,a,a,\cdots)& eeimg=&1&& ;有理数域上的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进绝对值可以自然延拓到 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域上去：设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7Bn%7D%29%5Cin+%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D%2C%7C%28x_%7Bn%7D%29%7C_%7Bp%7D%3A%3D%5Clim_%7Bn%5Cto+%5Cinfty%7D%7Cx_%7Bn%7D%7C_%7Bp%7D+& alt=&(x_{n})\in \mathbb{Q}_{p},|(x_{n})|_{p}:=\lim_{n\to \infty}|x_{n}|_{p} & eeimg=&1&& ，可以证明这是良定义的，且它为一个常数.&/li&&li&&b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域是整环 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarprojlim_%7Bn%7D+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7Bn%7D%5Cmathbb%7BZ%7D& alt=&\varprojlim_{n} \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}& eeimg=&1&& 的商域，这里我们考虑逆向系是指&/b& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccdots+%5Cto+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7B3%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cto+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7B2%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cto+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5Cmathbb%7BZ%7D+& alt=&\cdots \to \mathbb{Z}/p^{3}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p^{2}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & eeimg=&1&& （箭头简记为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& ），
&b&具体来说
&/b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarprojlim_%7Bn%7D+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7Bn%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%3D%5C%7B%28a_%7Bn%7D%29%5Cin+%5Cprod_%7Bn%5Cgeq+1%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7Bn%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%7E%7C%7Ef%28a_%7Bn%2B1%7D%29%3Da_%7Bn%7D%5C%7D& alt=&\varprojlim_{n} \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}=\{(a_{n})\in \prod_{n\geq 1}\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}~|~f(a_{n+1})=a_{n}\}& eeimg=&1&& . &/li&&li&&b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D%3A%3D%5Cleft%5Clbrace+%5Csum_%7Bn%3Dm%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dc_%7Bn%7Dp%5E%7Bn%7D%7E%7C%7Ec_%7Bn%7D%5Cin+%5C%7B0%2C1%2C%5Ccdots%2Cp-1%5C%7D+%5Cright%5Crbrace& alt=& \mathbb{Q}_{p}:=\left\lbrace \sum_{n=m}^{\infty}c_{n}p^{n}~|~c_{n}\in \{0,1,\cdots,p-1\} \right\rbrace& eeimg=&1&& （所谓 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进展开）&/b&.&/li&&/ol&&p&上述三种定义是等价的，证明如下：&/p&&ul&&li&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2& alt=&2& eeimg=&1&& 的等价性：定义 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&& 的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&&i& -进整数环为 &/i&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cmathbb%7BZ%7D_%7Bp%7D%3D%5C%7Ba%5Cin+%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D%7E%7C%7E%7Ca%7C_%7Bp%7D%5Cleq+1%5C%7D+& alt=& \mathbb{Z}_{p}=\{a\in \mathbb{Q}_{p}~|~|a|_{p}\leq 1\} & eeimg=&1&& （这里 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&& 是指 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 中的定义）。我们有环的同构：
&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarprojlim+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7Bn%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cto+%5Cmathbb%7BZ%7D_%7Bp%7D& alt=&\varprojlim \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_{p}& eeimg=&1&& ，对 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28a_%7Bn%7D%29%5Cin+%5Cvarprojlim_%7Bn%7D+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7Bn%7D%5Cmathbb%7BZ%7D& alt=&(a_{n})\in \varprojlim_{n} \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}& eeimg=&1&& ，对每个 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5Cgeq1& alt=&n\geq1& eeimg=&1&& ,取整数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%7D& alt=&x_{n}& eeimg=&1&& 使得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%7D& alt=&x_{n}& eeimg=&1&& 在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7Bn%7D%5Cmathbb%7BZ%7D& alt=& \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}& eeimg=&1&& 的像为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& ,于是我们得到一个整数序列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7Bn%7D%29+& alt=&(x_{n}) & eeimg=&1&& ,由于当 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=m%2Cn%5Cgeq+N& alt=&m,n\geq N& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_%7Bm%7D-x_%7Bn%7D%7C_%7Bp%7D%5Cleq+%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%5E%7BN%7D%7D& alt=&|x_{m}-x_{n}|_{p}\leq \frac{1}{p^{N}}& eeimg=&1&& ，故 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%28x_%7Bn%7D%29+%7C_%7Bp%7D%5Cleq+1& alt=&|(x_{n}) |_{p}\leq 1& eeimg=&1&& ; 反之，对 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+a%3D%28a_%7Bn%7D%29%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D_%7Bp%7D& alt=& a=(a_{n})\in \mathbb{Z}_{p}& eeimg=&1&& （事实上可假设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& 都是整数）， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28a_%7Bn%7D%29& alt=&(a_{n})& eeimg=&1&& 在环同态 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cto+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7Bn%7D%5Cmathbb%7BZ%7D& alt=&\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}& eeimg=&1&& 下的剩余类序列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28+%5Coverline%7Ba_%7Bn%7D%7D%29& alt=&( \overline{a_{n}})& eeimg=&1&&
会收敛于一个常数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma_%7Bn%7D%28a%29& alt=&\sigma_{n}(a)& eeimg=&1&& （因为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%28a_%7Bn%7D%29%7C_%7Bp%7D%5Cleq+1& alt=&|(a_{n})|_{p}\leq 1& eeimg=&1&& ）,
我们定义 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BZ%7D_%7Bp%7D%5Cto+%5Cvarprojlim+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7Bn%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%7Ea%3D%28a_%7Bn%7D%29%5Cmapsto+%28%5Csigma_%7Bn%7D%28a%29%29+& alt=&\mathbb{Z}_{p}\to \varprojlim \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z},~a=(a_{n})\mapsto (\sigma_{n}(a)) & eeimg=&1&& . 可以证明上述定义的两个映射是互逆的。&/li&&li&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3& alt=&3& eeimg=&1&& 的等价性：一方面，设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3Dm%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dc_%7Bn%7Dp%5E%7Bn%7D& alt=&\sum_{n=m}^{\infty}c_{n}p^{n}& eeimg=&1&& 是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3& alt=&3& eeimg=&1&& 的元素，它对应的柯西列是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28c_%7Bm%7Dp%5E%7Bm%7D%2Cc_%7Bm%7Dp%5E%7Bm%7D%2Bc_%7Bm%2B1%7Dp%5E%7Bm%2B1%7D%2Cc_%7Bm%7Dp%5E%7Bm%7D%2Bc_%7Bm%2B1%7Dp%5E%7Bm%2B1%7D%2Bc_%7Bm%2B2%7Dp%5E%7Bm%2B2%7D%2C%5Ccdots+%29& alt=&(c_{m}p^{m},c_{m}p^{m}+c_{m+1}p^{m+1},c_{m}p^{m}+c_{m+1}p^{m+1}+c_{m+2}p^{m+2},\cdots )& eeimg=&1&&
另一方面，可以证明 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 中元总是可以唯一写成 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3& alt=&3& eeimg=&1&& 中的形式.&/li&&/ul&&p&上面定义 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3& alt=&3& eeimg=&1&& 告诉我们可以这样看待 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数：和每个实数都可以写成一个小数的形式一样，每个 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数也可以写成小数的形式：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3Dm%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dc_%7Bn%7Dp%5E%7Bn%7D%5Ctext%7B%E5%86%99%E6%88%90%E5%B0%8F%E6%95%B0%7Dc_%7Bm%7D%2Cc_%7Bm%2B1%7D%2C%5Ccdots%2Cc_%7B-1%7D%2Cc_%7B0%7D%2Cc_%7B1%7D%2C%5Ccdots& alt=&\sum_{n=m}^{\infty}c_{n}p^{n}\text{写成小数}c_{m},c_{m+1},\cdots,c_{-1},c_{0},c_{1},\cdots& eeimg=&1&&&/p&&p&举个栗子，取 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p%3D7& alt=&p=7& eeimg=&1&& , &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+3%2B6%5Ctimes+7%2B2%5Ctimes+7%5E%7B2%7D%2B%5Ccdots& alt=& 3+6\times 7+2\times 7^{2}+\cdots& eeimg=&1&& 的小数表示就是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3.62%5Ccdots& alt=&3.62\cdots& eeimg=&1&& （其实这个小数点点在哪里你爱怎么写就怎么写，只是一个标记而已）然后四则运算加减乘除跟实数小数的操作方法是类似的，例如两个小数相加，就是逐位相加，超过 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&&b&向右进位&/b&.&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数和实数的小数表示一个不同之处于：在实数的小数表示中，会出现 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%3D0.9999%5Ccdots& alt=&1=0.9999\cdots& eeimg=&1&& 的情况，就是说，&b&实数的小数表示不是唯一的&/b&；但是正如我们在上面 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3& alt=&3& eeimg=&1&& 的等价性证明中看到的那样，&b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数的小数表示是唯一的&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&p&在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&&解代数方程会变得异常的简单，因为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进世界的牛顿迭代求根法总是行得通的，它就是&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Hensel%2527s_lemma& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Hensel引理&/a&.&/p&&p&&br&&/p&&p&几何上， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&& 有如下基本特点：&/p&&ol&&li&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&& 中的三角形都是等腰三角形（腰较长）：若 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Ca%7C_%7Bp%7D%3C%7Cb%7C_%7Bp%7D& alt=&|a|_{p}&|b|_{p}& eeimg=&1&& ，则 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Ca-b%7C_%7Bp%7D%3D%7Cb%7C_%7Bp%7D& alt=&|a-b|_{p}=|b|_{p}& eeimg=&1&& .&/li&&li&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&& 中的开圆盘里的每个点都是圆心.&/li&&li&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&& 是完全不连通的.&/li&&/ol&&p&&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%5Clongrightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D%5Clongrightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{Q}\longrightarrow \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%5Clongrightarrow+%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D%5Clongrightarrow+%5Cwidetilde%7B%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D%7D%5Clongrightarrow%5Cmathbb%7BC%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}\longrightarrow \mathbb{Q}_{p}\longrightarrow \widetilde{\mathbb{Q}_{p}}\longrightarrow\mathbb{C}_{p}& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&（&b&局部整体原理&/b&）设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%2Cb%5Cin+%5Cmathbb%7BQ%7D%5E%7B%5Ctimes%7D& alt=&a,b\in \mathbb{Q}^{\times}& eeimg=&1&&，则二次曲线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+ax%5E%7B2%7D%2Bby%5E%7B2%7D%3D1& alt=& ax^{2}+by^{2}=1& eeimg=&1&& 存在有理解当且仅当它在实数域和所有 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&& 都有解.（取遍所有的素数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& ）&/blockquote&&p&&br&&/p&&hr&&ol&&li&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进泛函分析&/li&&li&Tate曲线&/li&&li&Tate代数和Affinoid代数&/li&&li&Affinoid空间&/li&&li&刚性解析空间&/li&&li&Rigid GAGA&/li&&li&...&/li&&/ol&&p&&br&&/p&&hr&&p&参考文献：&/p&&ol&&li&加藤和也 黑川信重 斋藤毅著，&i&数论 I——Fermat的梦想和类域论&/i&.&/li&&li&Neal Koblitz, &i&p-adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta-Functions&/i&.
&/li&&/ol&
当考察一直以“数即实数”的漫长的数学史时，对于不久前，方才感觉到被称作 p -进数的数世界存在的我们来说，好似处于只见过白昼天空的人在凝望夜空时的惊讶状态. 在那里有着与白昼完全不同的数学景色. 在这个夜空中，发射出的“素数 p 的威力”的 \mathbb{…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-deeb631cada_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-deeb631cada_r.jpg&&&/figure&&p&目录：&/p&&ol&&li&代数簇是什么&/li&&li&仿射概形是什么&/li&&li&仿射代数簇 VS 仿射概形&/li&&li&概形是什么&/li&&li&概形上信息量爆炸的点：Associated points&/li&&li&Serre GAGA&/li&&/ol&&hr&&h2&一：代数簇是什么&/h2&&p&我们从代数簇这个概念出发吧！代数簇就是一些多项式的公共零点集：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+f_%7B1%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%3D0%2C%5Ccdots%2C+f_%7Br%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%3D0& alt=& f_{1}(x_{1},\cdots,x_{n})=0,\cdots, f_{r}(x_{1},\cdots,x_{n})=0& eeimg=&1&& ，
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cf_%7Br%7D%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D& alt=&f_{1},\cdots,f_{r}\in \mathbb{R}[x_{1},\cdots,x_{n}]& eeimg=&1&&&/p&&p&例如 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B1%7D%5E%7B2%7D%2Bx_%7B2%7D%5E%7B2%7D%3D1& alt=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1& eeimg=&1&& 就是一个圆周（如下图），当然这里的域 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& 可以换成任意的域 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-abbeeaedc99be6_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&296& data-rawheight=&292& class=&content_image& width=&296&&&/figure&&p&我们还是考虑复数域 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& 上的代数簇吧：&/p&&blockquote&&i&一个仿射复代数簇是一些复系数多项式 &/i&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bf_%7Bi%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%5C%7D_%7Bi%5Cin+I%7D+& alt=&\{f_{i}(x_{1},\cdots,x_{n})\}_{i\in I} & eeimg=&1&&&i& 的公共零点集，记为 &/i&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cmathbb%7BV%7D%28%7Bf_%7Bi%7D%7D%29_%7Bi%5Cin+I%7D%5Csubset+%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bn%7D& alt=& \mathbb{V}({f_{i}})_{i\in I}\subset \mathbb{C}^{n}& eeimg=&1&& 。&/blockquote&&p&最简单的栗子当然是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BV%7D%280%29%3D%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bn%7D& alt=&\mathbb{V}(0)=\mathbb{C}^{n}& eeimg=&1&& ，再来一些栗子，有图有真相：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-92750a07eef43ce92cbcc5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&322& data-rawheight=&260& class=&content_image& width=&322&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-69add1aedc44b67031e1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&343& data-rawheight=&303& class=&content_image& width=&343&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-18d596b7d4d7ca027cff12_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&282& data-rawheight=&273& class=&content_image& width=&282&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ecdfb0cf69765dfd804b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&414& data-rawheight=&437& class=&content_image& width=&414&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-40e160aeb367b185ff1025d9afc13b5a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-40e160aeb367b185ff1025d9afc13b5a_r.jpg&&&/figure&&p&如果大家学过范畴论的话，那么就知道下一步我们应该谈谈什么是代数簇之间的态射了。我们猜一下，就知道大概是“多项式映射”了，最简单的栗子应该是：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bn%7D%5Cto+%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bm%7D%2C%5Cqquad+x%5Cmapsto+%28F_%7B1%7D%28x%29%2CF_%7B2%7D%28x%29%2C%5Ccdots%2CF_%7Bn%7D%28x%29%29& alt=&\mathbb{C}^{n}\to \mathbb{C}^{m},\qquad x\mapsto (F_{1}(x),F_{2}(x),\cdots,F_{n}(x))& eeimg=&1&& ，
这里 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bj%7D%28x%29%5Cin+%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D& alt=&F_{j}(x)\in \mathbb{C}[x_{1},\cdots,x_{n}]& eeimg=&1&& 是一些多项式&/p&&blockquote&&i&一般地，设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%5Csubset+%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bn%7D%2CY%5Csubset+%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bm%7D& alt=&X\subset \mathbb{C}^{n},Y\subset \mathbb{C}^{m}& eeimg=&1&& 是两个复仿射代数簇，称 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%3AX%5Cto+Y& alt=&F:X\to Y& eeimg=&1&& 是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 到 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&& 的一个态射是指存在 上述多项式映射&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3A%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bn%7D%5Cto+%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bm%7D& alt=&f:\mathbb{C}^{n}\to \mathbb{C}^{m}& eeimg=&1&& ，使得它在子集 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的限制 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%7C_%7BX%7D%3AX%5Cto+Y& alt=&f|_{X}:X\to Y& eeimg=&1&& 恰为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 。&/i&&/blockquote&&p&举个栗子，设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C%3DV%28y-x%5E%7B2%7D%29& alt=&C=V(y-x^{2})& eeimg=&1&& 是一条抛物线，考虑映射：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cmathbb%7BC%7D%5Cto+C%3DV%28y-x%5E%7B2%7D%29+%2C%5Cqquad%2Ct%5Cmapsto+%28t%2Ct%5E%7B2%7D%29& alt=& \mathbb{C}\to C=V(y-x^{2}) ,\qquad,t\mapsto (t,t^{2})& eeimg=&1&&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-083c5ebb196de4b843ab_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&395& data-rawheight=&331& class=&content_image& width=&395&&&/figure&&p&下一个重要的概念就是坐标（函数）环了，坐标环就是代数簇上的全体“多项式函数”。我们可以猜一下 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bn%7D& alt=&\mathbb{C}^{n}& eeimg=&1&& 的坐标环是啥，没错，它就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D+& alt=&\mathbb{C}[x_{1},\cdots,x_{n}] & eeimg=&1&& 。一般地，设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%5Csubset+%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bn%7D& alt=&X\subset \mathbb{C}^{n}& eeimg=&1&& 是复仿射代数簇，每个多项式 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cin+%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D+& alt=&f\in \mathbb{C}[x_{1},\cdots,x_{n}] & eeimg=&1&& 限制在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&上都诱导了一个函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%5Cto+%5Cmathbb%7BC%7D%2C%7Ex%5Cmapsto+f%28x%29& alt=&X\to \mathbb{C},~x\mapsto f(x)& eeimg=&1&&.
这种诱导出来的函数全体 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Hom%28X%2C%5Cmathbb%7BC%7D%29+& alt=&Hom(X,\mathbb{C}) & eeimg=&1&& 就是坐标环。&/p&&p&我们现在用代数的语言来叙述就是：&/p&&blockquote&首先注意到集合 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Hom%28X%2C%5Cmathbb%7BC%7D%29+& alt=&Hom(X,\mathbb{C}) & eeimg=&1&& 有一个自然的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& -代数结构，我们有一个&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& -代数之间的满射：&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D+%5Ctwoheadrightarrow+Hom%28X%2C%5Cmathbb%7BC%7D%29+& alt=& \mathbb{C}[x_{1},\cdots,x_{n}] \twoheadrightarrow Hom(X,\mathbb{C}) & eeimg=&1&& ，记这个核为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=I%28X%29& alt=&I(X)& eeimg=&1&& ，则我们定义 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的&i&坐标（函数）环为&/i& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%28X%29%3A%3DHom%28X%2C%5Cmathbb%7BC%7D%29%5Csimeq%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D%2FI%28X%29.& alt=&\Gamma(X):=Hom(X,\mathbb{C})\simeq\mathbb{C}[x_{1},\cdots,x_{n}]/I(X).& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&更近一步，设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3AX%5Cto+Y& alt=&f:X\to Y& eeimg=&1&& 是两个仿射代数簇的态射，则映射&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%28f%29%3AHom%28Y%2C%5Cmathbb%7BC%7D%29%5Cto+Hom%28X%2C%5Cmathbb%7BC%7D%29%2C%5Cqquad+g%5Cmapsto+g%5Ccirc+f+& alt=&\Gamma(f):Hom(Y,\mathbb{C})\to Hom(X,\mathbb{C}),\qquad g\mapsto g\circ f & eeimg=&1&&&/p&&p&诱导了一个 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& -代数态射。&/p&&p&以上的操作可以用范畴论的语言改写为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%3A& alt=&\Gamma:& eeimg=&1&&
（仿射代数簇） &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cto+& alt=&\to & eeimg=&1&&
（有限生成，既约 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& -代数）&/p&&p&可以证明，这是一个范畴等价。（可参见UIrich Prop 1.33）范畴等价大概就是说这两个范畴世界是一样的，这里，我们建立了一座桥梁，把代数簇的世界和代数的世界连接起来啦。&/p&&hr&&h2&二：仿射概形是什么&/h2&&p&用一句话来说，&i&仿射概形就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28Spec+A%2C%5Cmathcal%7BO%7D%29& alt=&(Spec A,\mathcal{O})& eeimg=&1&&，这里 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 是一个交换环， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BO%7D& alt=&\mathcal{O}& eeimg=&1&& 是结构层&/i&。&/p&&p&当然这不是人话，当我第一次在Atiyah写的《交换代数导引》的课后习题看到“环的素谱 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& ”这个概念的时候，我的内心也是拒绝的&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-811db67cb7d72c4dfda1a9d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&655& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-811db67cb7d72c4dfda1a9d_r.jpg&&&/figure&&p&为了清晰表达上面这句话，我们需要一些准备&/p&&ol&&li&熟悉&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.m.wikipedia.org/wiki/Sheaf%mathematics%2529& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&层论&/a&的语言，&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.m.wikipedia.org/wiki/Ringed%2520space& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&赋环空间&/a&的概念。&/li&&li&最好熟悉&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.m.wikipedia.org/wiki/Category%2520theory& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&范畴论&/a&，用范畴论的观点思考。&/li&&/ol&&p&尽管如此，我在这里还是大概说一下。为了说清楚&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28Spec+A%2C%5Cmathcal%7BO%7D%29& alt=&(Spec A,\mathcal{O})& eeimg=&1&&是什么玩意，我们需要做三件事：&/p&&ol&&li&它作为集合是什么？也就是它的一个元素是什么？&/li&&li&它作为拓扑空间是什么？也就是它的一个开子集（或者闭子集）是什么？&/li&&li&它的结构层是什么？&/li&&/ol&&p&我们先说第一件事：设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 是一个交换环（当然含单位元），则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& 作为集合，它的元素是环 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 的素理想，所以它叫素谱。举个栗子，取 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D& alt=&A=\mathbb{C}[x]& eeimg=&1&& ,则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D%3D%5C%7B%5Bx-a%5D%7E%7C%7Ea%5Cin+%5Cmathbb%7BC%7D%5C%7D& alt=&Spec\mathbb{C}[x]=\{[x-a]~|~a\in \mathbb{C}\}& eeimg=&1&& ,如下图&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-fcf9a496c05d6e7cc88acab_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&647& data-rawheight=&392& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&647& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-fcf9a496c05d6e7cc88acab_r.jpg&&&/figure&&p&几何上，它差不多就是一条复直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BA%7D_%7B%5Cmathbb%7BC%7D%7D%5E%7B1%7D& alt=&\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^{1}& eeimg=&1&&,但是它有一个很奇怪的点 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5B%280%29%5D& alt=&[(0)]& eeimg=&1&& ,它“无处不在”，称之为&i&一般点。&/i&&/p&&p&我们应该这样看待 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& ：&b&把 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& 看成一个代数簇， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 中元素看成 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& 上的函数，一个函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cin+A& alt=&f\in A& eeimg=&1&& 在一个点 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathfrak%7Bp%7D%5Cin+SpecA& alt=&\mathfrak{p}\in SpecA& eeimg=&1&& 处取值是指 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 在环同态&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%5Cto+A_%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%7D%5Cto+A_%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%7D%2F%5Cmathfrak%7Bp%7DA_%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%7D%3D%5Ckappa%28%5Cmathfrak%7Bp%7D%29& alt=&A\to A_{\mathfrak{p}}\to A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}=\kappa(\mathfrak{p})& eeimg=&1&& 的像。&/b&&/p&&p&就对上面的栗子 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D& alt=&A=\mathbb{C}[x]& eeimg=&1&& 来说， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D%3D%5C%7B%5Bx-a%5D%7E%7C%7Ea%5Cin+%5Cmathbb%7BC%7D%5C%7D& alt=&Spec\mathbb{C}[x]=\{[x-a]~|~a\in \mathbb{C}\}& eeimg=&1&& 差不多就是一条复直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BA%7D_%7B%5Cmathbb%7BC%7D%7D%5E%7B1%7D& alt=&\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^{1}& eeimg=&1&&， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D& alt=&A=\mathbb{C}[x]& eeimg=&1&& 中元素就是一元复系数多项式，它是复直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BA%7D_%7B%5Cmathbb%7BC%7D%7D%5E%7B1%7D& alt=&\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^{1}& eeimg=&1&&上的函数，例如取 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3Dx%5E%7B2%7D-3x%2B1& alt=&f=x^{2}-3x+1& eeimg=&1&& ,它在点 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5B%28x-1%29%5D+& alt=&[(x-1)] & eeimg=&1&& 处的值就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%281%29& alt=&f(1)& eeimg=&1&& ! 这是因为&/p&&p&我们有短正合列&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=0%5Cto+%5B%28x-a%29%5D%5Cto+%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D%5Cto+%5Cmathbb%7BC%7D%5Cto+0& alt=&0\to [(x-a)]\to \mathbb{C}[x]\to \mathbb{C}\to 0& eeimg=&1&& ，第三个箭头是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cmapsto+f%28a%29& alt=&f\mapsto f(a)& eeimg=&1&& .&/p&&p&从而&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D%5Cto+%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D%2F%5B%28x-1%29%5D%5Csimeq+%5Cmathbb%7BC%7D%EF%BC%8C%7Ef%5Cmapsto+f%281%29& alt=&\mathbb{C}[x]\to \mathbb{C}[x]/[(x-1)]\simeq \mathbb{C}，~f\mapsto f(1)& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&上面看到（仿射）&b&概述第一个奇特之处：它有一个叫一般点的点，你没有办法把它画出来，它几何无处不在。&/b&&/p&&p&我们再说说（&b&仿射）概形的第二个奇特之处（幂零元）：（仿射）概形上的函数在每一个点的取值为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&& ，不能推知这个函数为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&&&/b& ，这是因为一个函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cin+A& alt=&f\in A& eeimg=&1&& 在每个点的取值为0，也就是它属于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 的所有素理想，也就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 属于小根（幂零元根），也就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 是一个幂零元。但是一般的环 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 不像 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D& alt=&\mathbb{C}[x]& eeimg=&1&& 那么好，没有幂零元，“大多数”的环都是有幂零元的，例如在环 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D%2F%28x%5E%7B2%7D%29& alt=&\mathbb{C}[x]/(x^{2})& eeimg=&1&& 中， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 就是一个幂零元（ &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%7B2%7D%3D0& alt=&x^{2}=0& eeimg=&1&& ）。这可以从图像上表达这件事：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-80a8c9db587d5d3bcb5a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&433& data-rawheight=&212& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&433& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-80a8c9db587d5d3bcb5a_r.jpg&&&/figure&&p&再来一个例子（可参见Vakil 4.2节）&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-b3b2bede9f64_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&553& data-rawheight=&214& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&553& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-b3b2bede9f64_r.jpg&&&/figure&&p&接下来我们来谈谈第二件事：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& 上的Zariski拓扑，为此，我们只需要定义闭集是什么，再去验证你下的这个定义真的满足闭集公理就可以了。那么，闭集是什么？如果你还是按上面那个栗子 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D& alt=&A=\mathbb{C}[x]& eeimg=&1&& 来理解的话，那么 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D%3D%5C%7B%5Bx-a%5D%7E%7C%7Ea%5Cin+%5Cmathbb%7BC%7D%5C%7D& alt=&Spec\mathbb{C}[x]=\{[x-a]~|~a\in \mathbb{C}\}& eeimg=&1&& 就是一条复直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BA%7D_%7B%5Cmathbb%7BC%7D%7D%5E%7B1%7D& alt=&\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^{1}& eeimg=&1&&， 它的闭集应该是一些“函数”的公共零点集，也就是代数簇。现在我们来定义Zariski闭集，设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%5Csubset+A& alt=&S\subset A& eeimg=&1&& （看成一族函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bf_%7Bi%7D%5C%7D_%7Bi%5Cin+I%7D& alt=&\{f_{i}\}_{i\in I}& eeimg=&1&& ），定义 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 的“公共零点集”为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V%28S%29%3D%5C%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%5Cin+SpecA%7E%7C%7Ef%28%5Cmathfrak%7Bp%7D%29%3D0%2C%5Cforall+f%5Cin+S%5C%7D%3D%5C%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%5Cin+SpecA%7E%7C%7Ef%5Cin+%5Cmathfrak%7Bp%7D%2C%5Cforall+f%5Cin+S%5C%7D%3D%5C%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%5Cin+SpecA%7E%7C%7ES%5Csubset+%5Cmathfrak%7Bp%7D%5C%7D& alt=&V(S)=\{\mathfrak{p}\in SpecA~|~f(\mathfrak{p})=0,\forall f\in S\}=\{\mathfrak{p}\in SpecA~|~f\in \mathfrak{p},\forall f\in S\}=\{\mathfrak{p}\in SpecA~|~S\subset \mathfrak{p}\}& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&第三件事： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& 上结构层，待补充。&/p&&hr&&h2&三：仿射代数簇 VS 仿射概形&/h2&&p&在第一部分中，我们说仿射代数簇范畴和有限生成，既约 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& -代数范畴有一个范畴等价，在这里我们也有一个类似的范畴等价：&/p&&blockquote&&b&函子 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec& alt=&Spec& eeimg=&1&&&b& :（交换环范畴） &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cto+& alt=&\to & eeimg=&1&&&b& （仿射概形范畴）和&/b& &b&取截面函子 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma& alt=&\Gamma& eeimg=&1&&&b& :（仿射概形范畴） &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cto& alt=&\to& eeimg=&1&&&b& （交换环范畴）&/b& &b&建立了交换环范畴与仿射概形范畴之间的范畴等价。&/b&&/blockquote&&p&更进一步，有如下对应（来自李克正的《代数几何初步》第一章）&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-dacaf06c2bb7c3a1c72499b6fdfa3abf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&635& data-rawheight=&383& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&635& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-dacaf06c2bb7c3a1c72499b6fdfa3abf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-7765eeebcbecc39c20e558e3738f3dba_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&616& data-rawheight=&439& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&616& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-7765eeebcbecc39c20e558e3738f3dba_r.jpg&&&/figure&&p&这是一个很牛逼的范畴等价啊！这意味着，我们可以用几何的观点来看待代数的问题！这个范畴等价就是桥梁，把代数的世界和几何的世界联系起来了！&/p&&p&&br&&/p&&p&最后，结合第一部分结尾的范畴等价，我们可以得到下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-41a42f4e8f1d321ddc63e1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&981& data-rawheight=&154& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&981& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-41a42f4e8f1d321ddc63e1_r.jpg&&&/figure&&p&换句话说，我们有如下范畴等价：&/p&&ol&&li&（不可约仿射代数簇） &/li&&li&（有限生成 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& -代数，且为整环）&/li&&li&（finite type over &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& 的仿射整概形）&/li&&/ol&&p&在这里我们看到，&b&如此抽象的仿射概形的世界和很具体的，我们看得见的仿射代数簇的世界是一样的！（因为我们有上面 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=3& alt=&3& eeimg=&1&& 的范畴等价！）&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a7cd30528f5d_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&790& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-a7cd30528f5d_r.jpg&&&figcaption&一座小桥梁把仿射代数簇的世界和仿射概形的世界连接起来啦！&/figcaption&&/figure&&p&事实上，范畴 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=3& alt=&3& eeimg=&1&& 的等价，我们能给出更具体的对应方式：&/p&&p&（finite type over &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& 的仿射整概形） &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cto+& alt=&\to & eeimg=&1&& （不可约仿射代数簇）&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%5Cmapsto+X%28%5Cmathbb%7BC%7D%29%3D& alt=&X\mapsto X(\mathbb{C})=& eeimg=&1&&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的全体闭点的集合&/p&&p&这只是一座小桥梁，我们后面还会讨论更壮观的大桥梁-Serre GAGA.&/p&&hr&&h2&四：概形是什么&/h2&&p&做了上述的准备后，我们终于可以说概形是什么了，维基是这样说的：&/p&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.m.wikipedia.org/wiki/Scheme_%2528mathematics%2529& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&概形&/a&&p&用一句话来说就是：&/p&&p&&i&概形是局部同构于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28Spec+A%2C%5Cmathcal%7BO%7D%29& alt=&(Spec A,\mathcal{O})& eeimg=&1&& 的局部赋环空间，这里&/i& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 是一个交换环， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BO%7D& alt=&\mathcal{O}& eeimg=&1&& 是结构层&i&。&/i&&/p&&p&这句话可能有点不知所云，直观上来看：&/p&&p&&b&概形是像流形那样的几何空间，只是流形的局部模型是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D& alt=&\mathbb{R}^{n}& eeimg=&1&& 或 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bn%7D& alt=&\mathbb{C}^{n}& eeimg=&1&& ,而概形的局部模型是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&&（看成代数簇，即一些多项式的公共零点集）罢了。&/b&&/p&&p&我们先用赋环空间的语言来重新叙述什么是一个流形：&/p&&blockquote&&i&一个光滑实流形是一个局部同构于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D%2C%5Cmathcal%7BO%7D_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D%7D%29& alt=&(\mathbb{R}^{n},\mathcal{O}_{\mathbb{R}^{n}})& eeimg=&1&& 的赋环空间，这里 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BO%7D_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D%7D& alt=&\mathcal{O}_{\mathbb{R}^{n}}& eeimg=&1&& 是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D& alt=&\mathbb{R}^{n}& eeimg=&1&& 上的光滑函数层。&/i&&/blockquote&&p&你可以证明这和常见的光滑实流形的定义是一致的，可参见Neeman写的&i&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//libgen.io/_ads/8B3EBA8CAD6A5D& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Algebraic and analytic geometry&/a&&/i&的第二章。换句话说，概形和流形都是赋环空间，只是它们的局部模型不同而已。对于流形的局部模型 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D%2C%5Cmathcal%7BO%7D_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D%7D%29& alt=&(\mathbb{R}^{n},\mathcal{O}_{\mathbb{R}^{n}})& eeimg=&1&& 的研究，就是微积分的内容，这个大家都学过；而对于概形的局部模型（即&i&仿射概形&/i&） &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28Spec+A%2C%5Cmathcal%7BO%7D%29& alt=&(Spec A,\mathcal{O})& eeimg=&1&& 的研究，就是&b&代数簇的研究。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&以下我们来谈谈概形和我们“看得见”的流形最不同的地方，&b&概形的真正“奇特”之处&/b&：&/p&&p&&b&我们应该把一个概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 看成一个函子&/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=h_%7BX%7D& alt=&h_{X}& eeimg=&1&&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e1a0fdc609_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&648& data-rawheight=&97& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&648& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-e1a0fdc609_r.jpg&&&/figure&&p&这里 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Hom_%7B%28Sch%29%7D%28T%2CX%29& alt=&Hom_{(Sch)}(T,X)& eeimg=&1&& 称为概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& -值点，通常我们简记为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%28T%29%3A%3Dh_%7BX%7D%28T%29%3DHom_%7B%28Sch%29%7D%28T%2CX%29& alt=&X(T):=h_{X}(T)=Hom_{(Sch)}(T,X)& eeimg=&1&& ,&/p&&p&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.m.wikipedia.org/wiki/Yoneda%2520lemma& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&米田引理&/a&告诉我们一个&b&概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 是被函子 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=h_%7BX%7D& alt=&h_{X}& eeimg=&1&& 唯一决定的，换句话说，一个概形&/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&&b&被它的所有 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& -值决定，这里 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& 取遍所有概形。&/b&&/p&&p&取个经典的栗子，考虑概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%3DSpec+%5Cmathbb%7BZ%7D%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D%2F%28f_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cf_%7Br%7D%29& alt=&X=Spec \mathbb{Z}[x_{1},\cdots,x_{n}]/(f_{1},\cdots,f_{r})& eeimg=&1&& ，则可以证明（下面会证明）概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& -值点（ &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 是一个交换环）&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%28SpecA%29& alt=&X(SpecA)& eeimg=&1&& 恰好就是方程 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+f_%7B1%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%3D%5Ccdots%3Df_%7Br%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%3D0& alt=& f_{1}(x_{1},\cdots,x_{n})=\cdots=f_{r}(x_{1},\cdots,x_{n})=0& eeimg=&1&& 在环 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 中的解。&/p&&p&更具体一点，考虑概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec+%5Cmathbb%7BZ%7D%5Bx%2Cy%5D%2F%28x%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D-1%29& alt=&Spec \mathbb{Z}[x,y]/(x^{2}+y^{2}-1)& eeimg=&1&& ，它的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec+%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&Spec \mathbb{Q}& eeimg=&1&& -值就是这个方程的有理解，它的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec+%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&Spec \mathbb{R}& eeimg=&1&& 就是实数解，也就是我们一开始那个圆周：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-abbeeaedc99be6_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&296& data-rawheight=&292& class=&content_image& width=&296&&&/figure&&p&所以概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec+%5Cmathbb%7BZ%7D%5Bx%2Cy%5D%2F%28x%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D-1%29& alt=&Spec \mathbb{Z}[x,y]/(x^{2}+y^{2}-1)& eeimg=&1&& 是啥？？？它并不是一个圆周，它是很多很多的“圆周”（ &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& -值点，取遍所有的环 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& ）叠起来！！！上面这个图像只是它“图像”的一部分！！！&/p&&p&&br&&/p&&p&激动完毕，我们补充证明如下更一般的事实：&/p&&p&设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&& 是一个交换环， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 是一个 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&& -代数，考虑概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%3DSpec+R%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D%2F%28f_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cf_%7Br%7D%29& alt=&X=Spec R[x_{1},\cdots,x_{n}]/(f_{1},\cdots,f_{r})& eeimg=&1&& ，&/p&&p&则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%28A%29%3A%3DX%28SpecA%29& alt=&X(A):=X(SpecA)& eeimg=&1&& 恰好就是方程 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+f_%7B1%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%3D%5Ccdots%3Df_%7Br%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%3D0& alt=& f_{1}(x_{1},\cdots,x_{n})=\cdots=f_{r}(x_{1},\cdots,x_{n})=0& eeimg=&1&& 在环 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 中的解。&/p&&p&证明：注意到方程 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+f_%7B1%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%3D%5Ccdots%3Df_%7Br%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%3D0& alt=& f_{1}(x_{1},\cdots,x_{n})=\cdots=f_{r}(x_{1},\cdots,x_{n})=0& eeimg=&1&& 在环 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 中的解一一对应 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&& -代数同态 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D%2F%28f_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cf_%7Br%7D%29%5Cto+A& alt=&R[x_{1},\cdots,x_{n}]/(f_{1},\cdots,f_{r})\to A& eeimg=&1&& ，从而一一对应于态射 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA%5Cto+Spec+R%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D%2F%28f_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cf_%7Br%7D%29& alt=&SpecA\to Spec R[x_{1},\cdots,x_{n}]/(f_{1},\cdots,f_{r})& eeimg=&1&&。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们已经知道&b&一个概形&/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&&b&被它的所有 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&&b& -值决定，这里 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&&b& 取遍所有概形。&/b&那么，我们考虑一些特别的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& 来“检测”一下这个概形是什么玩意吧。&/p&&p&&br&&/p&&p&1 设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 是代数闭域， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 是locally of finite type over &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 的概形，则&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c9ee270acdce8839ce44d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&545& data-rawheight=&65& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&545& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-c9ee270acdce8839ce44d_r.jpg&&&/figure&&p&是一个双射。也就是说，对于常见的概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& （locally of finite type over &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& ）， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%EF%BC%88k%EF%BC%89& alt=&X（k）& eeimg=&1&& 就是它的闭点啦！！！Vakil用的单词是“traditional points”。&/p&&p&&br&&/p&&p&2 设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 是代数闭域， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 是locally of finite type over &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 的概形，则&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%28k%5B%5Cepsilon%5D%2F%28%5Cepsilon%5E%7B2%7D%29%29& alt=&X(k[\epsilon]/(\epsilon^{2}))& eeimg=&1&& 对应概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的一个闭点以及这个闭点的一个切向量。&/p&&hr&&h2&五：概形上信息量爆炸的点：Associated points&/h2&&p&&b&概形的第三个奇特之处：它有那么一些很特别的点，叫做associated points，它们几乎完全决定了这个概形上的函数（结构层）。&/b&换句话说，&b&概形上的函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 在associated points上的取值决定了这个函数。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&首先我们需要知道如下基本事实：&/p&&p&设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 是一个概形，则概形的点和它的不可约闭集有一个一一对应：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-7ac916bbd460e4a08bf8_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&526& data-rawheight=&67& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&526& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-7ac916bbd460e4a08bf8_r.jpg&&&/figure&&p&换句话说，概形的每一个不可约闭集包含唯一一个一般点。&/p&&p&&br&&/p&&p&为了简单起见，我们考虑仿射概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%3DSpecA& alt=&X=SpecA& eeimg=&1&& ，并且假设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 是Noetherian.&/p&&blockquote&The &i&associated points&/i& of &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& are defined to be the generic points of irreducible&br&components of the supports of some element of &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& .&/blockquote&&p&这个定义看起来有点费解，说白了就是这样一个操作：任取一个函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cin+A& alt=&f\in A& eeimg=&1&& ，考虑它的支集 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Supp%28f%29%3D%5C%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%5Cin+SpecA%7E%7C%7Ef%28%5Cmathfrak%7Bp%7D%29%5Cneq+0%5C%7D& alt=&Supp(f)=\{\mathfrak{p}\in SpecA~|~f(\mathfrak{p})\neq 0\}& eeimg=&1&& （可以证明这是一个Zariski闭集），然后把 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Supp%28f%29& alt=&Supp(f)& eeimg=&1&& 拆成一些不可约分支之并（Noetherian条件保证了这个不可约分支的个数是有限的），由上面的事实，我们再在每个不可约分支（一定是闭集）取出一个一般点，这些点就叫做associated point。当 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 取遍 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 中所有元素时候，我们就得到了所有的associated point。咋看上去，似乎associated points可能有无限个（因为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 的元素个数可以是无限的），但是可以证明， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 是Noetherian的可以保证associated points只有有限个。&/p&&p&&br&&/p&&p&一般来说，Associated points分成两类：&/p&&ol&&li&取 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3D1%5Cin+A& alt=&f=1\in A& eeimg=&1&& ,则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Supp%281%29%3DSpecA& alt=&Supp(1)=SpecA& eeimg=&1&& ,这个时候我们在上述操作下得到的一般点就是整个概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%3DSpecA& alt=&X=SpecA& eeimg=&1&& 的不可约分支的一般点。&/li&&li&其他的associated points都叫做embedded points.&/li&&/ol&&p&Ok，终于把定义介绍完了。我们说associated points是信息量爆炸的点是基于下面的事实：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%5Cto+%5Cprod_%7Bassociated%7E%5Cmathfrak%7Bp%7D%7DA_%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%7D& alt=&A\to \prod_{associated~\mathfrak{p}}A_{\mathfrak{p}}& eeimg=&1&&
是单射&/p&&p&关于associated points，还有如下重要事实：&/p&&ol&&li&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cin+A& alt=&f\in A& eeimg=&1&& 是一个零因子当且仅当它在某个associated points上取值为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&& .&/li&&li&一个既约的（也就是没有非零幂零元）的概形没有embedded points.&/li&&li&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%5Cin+SpecA%7E%7C%7EA_%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%7D%7E%5Ctext%7Bnonreduced%7D%5C%7D& alt=&\{\mathfrak{p}\in SpecA~|~A_{\mathfrak{p}}~\text{nonreduced}\}& eeimg=&1&& =the closure of those associated points that have nonreduced stalk.&/li&&/ol&&p&&i&注记：&/i&&/p&&p&&i&从这里我们可以看出，之所以associated points如此重要，是因为它涉及了概形的前面两个奇特之处，也就是一般点和幂零元，而这两个奇特性正是我们无法从几何上读出来的信息。&/i&&/p&&p&&br&&/p&&p&讲了一大堆东东以后，我们还是讲一个栗子吧：&/p&&p&考虑概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Speck%5Bx%2Cy%5D%2F%28y%5E%7B2%7D%2Cxy%29& alt=&Speck[x,y]/(y^{2},xy)& eeimg=&1&& ，几何图像见下图&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-3cd3ece725de3e57730f2cd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&436& data-rawheight=&102& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&436& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-3cd3ece725de3e57730f2cd_r.jpg&&&/figure&&p&事实上， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Speck%5Bx%2Cy%5D%2F%28y%5E%7B2%7D%2Cxy%29& alt=&Speck[x,y]/(y^{2},xy)& eeimg=&1&& 可以看成 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+Spec+k%5Bx%2Cy%5D%2F%28y%5E%7B2%7D%29& alt=& Spec k[x,y]/(y^{2})& eeimg=&1&& 与 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec+k%5Bx%2Cy%5D%2F%28xy%29& alt=&Spec k[x,y]/(xy)& eeimg=&1&& 的之交，也就是&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-8d882d5b89b52aecd1e8ba_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&162& data-rawheight=&69& class=&content_image& width=&162&&&/figure&&p&与 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%2Cy& alt=&x,y& eeimg=&1&& 轴&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bbc3b06f300e99_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&125& data-rawheight=&116& class=&content_image& width=&125&&&figcaption&y轴也是实线（自行脑补填充）&/figcaption&&/figure&&p&之交。从图像上很清楚，概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Speck%5Bx%2Cy%5D%2F%28y%5E%7B2%7D%2Cxy%29& alt=&Speck[x,y]/(y^{2},xy)& eeimg=&1&& 的nonreduced的点只有原点。它的associated point只有两个点，一个是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& -轴的一般点 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5B%28y%29%5D& alt=&[(y)]& eeimg=&1&& ,一个是nonreduced的点，也就是原点 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5B%28x%2Cy%29%5D& alt=&[(x,y)]& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&br&&/p&&p&再来一个栗子，直接看图吧，自行感受一下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-358b513b92b0e65a3f20e739c5388088_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&435& data-rawheight=&262& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&435& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-358b513b92b0e65a3f20e739c5388088_r.jpg&&&/figure&&p&或许我们可以从另外一个角度来看待：我们究竟能从associated point读出关于这个概形的多少信息？换句话说，给你两个概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&& ，并且告诉你它们的associated points是什么，那么我们问：&/p&&ol&&li&你能大概知道 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&& 长啥样吗?&/li&&li&你能区分 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&& 吗？也就是说， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&& 同构吗？如果不同构，它们有多大的“相似度”？&/li&&/ol&&p&关于第一个问题，待补充。&/p&&p&&br&&/p&&p&关于第二个问题，我们考虑简单的情形：设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%3DSpecA& alt=&X=SpecA& eeimg=&1&& 是整概形，这意味着它是既约和不可约的，所以它的associated point只有一个点：一般点 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ceta& alt=&\eta& eeimg=&1&& ，它对应极小素理想，也就是零理想。那么，这个概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ceta+& alt=&\eta & eeimg=&1&& 处的stalk &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BO%7D_%7BX%2C%5Ceta%7D& alt=&\mathcal{O}_{X,\eta}& eeimg=&1&& （可理解为概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ceta+& alt=&\eta & eeimg=&1&& 点附近的信息）是一个域，称之为&i&函数域&/i&，记为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=K%28X%29& alt=&K(X)& eeimg=&1&& .则有如下事实：&/p&&p&设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&& 是finite type over some field &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 的整概形，如下等价（可参见UIrich Prop 9.35）：&/p&&ol&&li&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.m.wikipedia.org/wiki/Birational_equivalence& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&双有理等价&/a&.&/li&&li&存在稠密开集 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=U%5Csubset+X& alt=&U\subset X& eeimg=&1&& 和稠密开集 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V%5Csubset+Y& alt=&V\subset Y& eeimg=&1&& ,使得 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=U%5Csimeq+V.& alt=&U\simeq V.& eeimg=&1&&&/li&&li&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=K%28X%29%5Csimeq+K%28Y%29& alt=&K(X)\simeq K(Y)& eeimg=&1&& .（ &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& -代数同构）&/li&&/ol&&p&上述事实说，函数域在双有理等价的意义下区分了不可约代数簇（finite type over some field &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 的整概形）。换句话说，&b&整概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 在associated points（也就是一般点）附近的信息，决定了它所在的双有理等价类！&/b&&/p&&hr&&h2&六：Serre GAGA&/h2&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-7f1c1cb7_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&532& data-rawheight=&300& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&532& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-7f1c1cb7_r.jpg&&&figcaption&GAGA是一座美丽壮观的桥梁&/figcaption&&/figure&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.m.wikipedia.org/wiki/Algebraic%2520geometry%2520and%2520analytic%2520geometry& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&代数几何与解析几何&/a&&p&待续。。。&/p&&p&&br&&/p&&hr&&p&参考文献：&/p&&ol&&li&Karen E.Smith, Lauri Kahanpaa, Pekka Kekalainen, William Traves, &i&An Invitation to Algebraic Geometry&/i&.&/li&&li&Ravi Vakil,
&i&Foundations of Algebraic Geometry&/i&.
&/li&&li&Uirich Gortz and Torsten Wedhorn, &i&Algebraic Geometry I&/i&. VIEWEG TEUBNER. &/li&&li&Bjorn Poonen, &i&Rational points on varieties&/i&.
&/li&&li&Amnon Neeman, &i&Algebraic and analytic geometry&/i&.&/li&&li&刘青，&i&代数几何和算术曲线&/i&. &/li&&li&李克正，&i&代数几何初步&/i&.&/li&&/ol&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&最后特别感谢每一个参加代数几何讨论班的同学！是我们一起做完了Vakil半本书的习题，并不是我自己一个人。是因为你们的热情，努力和坚持，我才有可能坚持把Vakil的书读下来，才有可能坚持把概形理论这么抽象的东东啃下来，才有了动力去把每一个疑问搞懂。感谢你们的宽容，让我不再在学习数学的道路上孤独。&/p&&p&&/p&&p&&/p&
目录：代数簇是什么仿射概形是什么仿射代数簇 VS 仿射概形概形是什么概形上信息量爆炸的点：Associated pointsSerre GAGA一：代数簇是什么我们从代数簇这个概念出发吧！代数簇就是一些多项式的公共零点集： f_{1}(x_{1},\cdots,x_{n})=0,\cdots, f_{r}(x_{1…
这个漫画我贴在办公桌旁边的。 &br&&br&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//abstrusegoose.com/353& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&abstrusegoose.com/353&/span&&span class=&invisible&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/df2fde3b659b7ef348b14a_b.jpg& class=&content_image&&&/figure&&br&&strong&Don’ fight it!&/strong& &br&Ask your own questions, look for your own examples, discover your own proofs.&br& Is the hypothesis necessary?
Is the converse true?&br& What happens in the classical special case?
What about the degenerate cases?
Where does the proof use the hypothesis?&br&— Paul R. Halmos
这个漫画我贴在办公桌旁边的。
Don’ fight it! Ask your own questions, look for your own examples, discover your own proofs. Is the hypothesis necessary? Is the converse true? What happens in the classica…
&p&这个是昨天和朋友聊天才想起来的一件事。&/p&&p&大概在我高一或者初三的时候，itouch还不是很流行，所以上课时还是只能玩非智能机的，而且以单机游戏为主。这里单机游戏指的是类似贪食蛇这种游戏，说句题外话， &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/a8efe7632edd3e6e09b9& data-hash=&a8efe7632edd3e6e09b9& data-hovercard=&p$b$a8efe7632edd3e6e09b9&&@Albert Dai&/a& 可以用贪食蛇在最快速度下把整个屏幕填满。我不知道世界上有没有职业贪食蛇玩家，不过我还是觉得他做生物PhD浪费了。&/p&&p&那时我手机（或者我同桌手机）有一个叫lights out的游戏。（原来的游戏名记不清了，这个是我编的。）我想很多人以前都玩过。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ee9dd9c2b063dbb5e8e1_b.jpg& data-rawwidth=&1460& data-rawheight=&460& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1460& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-ee9dd9c2b063dbb5e8e1_r.jpg&&&/figure&&p&游戏是在一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=5%5Ctimes5& alt=&5\times5& eeimg=&1&& 的棋盘上进行的。初始时，这25个格子颜色有亮有暗，游戏的目的就是想办法把所有的“灯关上”，就是让所有格子颜色变暗。每一步选中一个格子，改变以选中格子为中心的“小十字”的五个格子的颜色。比如下图，如果我们选中正中间的格子，游戏就胜利了。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-b3f650c8edf3c_b.jpg& data-rawwidth=&435& data-rawheight=&434& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&435& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-b3f650c8edf3c_r.jpg&&&/figure&&p&这里给大家一个&b&在线游戏链接&/b&：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.neok12.com/games/lights-out/lights-out.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Lights Out Game Online&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&这个是一个super hard的游戏。我们可以很容易发现：&/p&&ul&&li&Abelian: 每一步操作满足交换律。&/li&&li&元素的Order为2: 同时按一个方格两次等于什么都没做。&/li&&/ul&&p&由此，我们一定可以用少于25步完成这个游戏。但是当时我最初玩这个游戏就是撞大运：可以很容易的把所有亮着的灯都“赶”到最后一行，然后就没有行之有效的方法了。很自然的，我提出了以下两个问题：&/p&&ol&&li&如何对给定初始情况找到解决的算法？&/li&&li&是否所有的初始情形都是可以被解决的？&/li&&/ol&&p&对于一个初中生（或者高一），我最开始尝试的是竞赛时广为应用的“能量减少法”。首先定义一个值作为游戏的“能量”用来描述复杂度，最终状态能量为0，然后证明每一步可以使能量严格减少一定的步长。然而，useless：这是因为游戏存在很多达不到最小值的极小值。&/p&&p&之后我把注意力转移到了棋盘的结构：选中中间的格子，可以改变5个格子的颜色；但是选中边，角的格子，只能改变3个或者4个格子的颜色。将棋盘所有格子标号1到25，然后列出他们之间的关系：选中1可以改变1，2，6；选中2可以改变1，2，3，7；等等。&/p&&p&这样我们就有了25个25元数组，对应着1到25个格子可以改变的点：&/p&&p&比如对于第一个格子，其对应的数组为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%281%2C1%2C0%2C0%2C0%2C1%2C0%2C..%2C0%29& alt=&(1,1,0,0,0,1,0,..,0)& eeimg=&1&& ；&/p&&p&对于第4个格子，对应 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C0%2C1%2C1%2C1%2C0%2C0%2C0%2C1%2C0%2C..%2C0%29& alt=&(0,0,1,1,1,0,0,0,1,0,..,0)& eeimg=&1&&&/p&&p&出于我的懒惰方面的考虑，我就不全部写出来了。回到游戏上来。对于游戏最初始的时候，有一些格子亮着，一些暗着。我们依旧考虑1到25对格子标号对应的25元数组：这次我们把亮着的灯标记为1，暗着的标记为0。很容易发现，如果新的数组可以通过原来的25个数组通过加减“生成”，那么游戏就是可解的；算法我们只要反解25元方程组就可以。&/p&&p&&br&&/p&&p&故事到这里告一段落了，以上就是我中学时对这个游戏的思考，大概用了一两节语文课的时间，因为那时还没听说“矩阵”这个东西。当时对这个结果还比较满意。到了大学我发现（实际上我自己并没有发现，因为早就把这个问题忘干净了），每个格子对应的“数组”看作列向量，可以得到这个棋盘的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=25%5Ctimes25& alt=&25\times25& eeimg=&1&& 的adjacency matrix，并且rank为23（也就是说对于“可解”的游戏，最多23步就可以完成）。“可解”就是游戏的初始向量与矩阵的零空间垂直。&/p&&p&之所以想到这个问题，是因为昨天和朋友聊天时，朋友说，他曾经写过一篇关于lights out game的paper。我问，啥是lights out game啊，然后他一讲，我就想，卧槽，这不是我中学玩过的游戏吗！&/p&&p&然后我就看到了一篇1998年有趣的短paper[1]，和我上面讲的基本是一回事。当然，现代数学研究的问题没有这么简单，比如一个简单的推广就是如果游戏进行在任意的graph上呢？更难一些的，如果我们对操作进行限制，只能关灯不能开灯，即只能选中暗的格子（或点），这时操作显然不是abelian的，那么操作是否可逆呢？另外，开灯关灯相当于用 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BZ%7D%2F2%5Cmathbb%7BZ%7D+& alt=&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & eeimg=&1&& 对图的点集进行染色，那么对于更一般的群呢？这些问题貌似挺难，对于tree上的情形直到2007年才有结果，发在了很好的杂志上。一般情况下这个问题的背景和algebraic graph theory，group theory，representation theory都有比较深的联系。&/p&&p&于是现在我和他就计划一起继续在这个问题上尝试做一些有趣的结果，就当做是对高中生活的一种延续了。 （仔细想想这个游戏好像是在当时的同桌也是前女友的手机里）&/p&&p&We ain't ever getting older.&/p&&p&&br&&/p&}
—— 《&i&数论 I—Fermat的梦想和类域论》&/i&&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-defb09af04bd6a474643bb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&532& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-defb09af04bd6a474643bb_r.jpg&&&/figure&&h2&一： p-进数&/h2&&p&设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 为一个素数. 任意给你一个有理数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+a%5Cin+%5Cmathbb%7BQ%7D%28a%5Cneq+0%29& alt=& a\in \mathbb{Q}(a\neq 0)& eeimg=&1&& ，你都可以把它写成&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%3Dp%5E%7Bm%7D%5Cdfrac%7Bu%7D%7Bv%7D%7E%28m%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%7Eu%2Cv%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E4%B8%8D%E8%A2%AB%7D%7Ep%7E%5Ctext%7B%E9%99%A4%E5%B0%BD%E7%9A%84%E6%95%B4%E6%95%B0%7D%29& alt=&a=p^{m}\dfrac{u}{v}~(m\in \mathbb{Z},~u,v~\text{为不被}~p~\text{除尽的整数})& eeimg=&1&&&/p&&p&的形式，定义 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& 的&i&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进赋值 &/i&为： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ord_%7Bp%7D%28a%29%3A%3Dm& alt=&ord_{p}(a):=m& eeimg=&1&& ，&i&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进绝对值&/i&为
&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Ca%7C_%7Bp%7D%3A%3Dp%5E%7B-ord_%7Bp%7D%28a%29%7D& alt=&|a|_{p}:=p^{-ord_{p}(a)}& eeimg=&1&& .&/p&&p&它们分别是有理数域 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&& 上的非阿基米德赋值、绝对值. 我不想在这里赘述它们的严格定义. 我只想说这么一件事：&/p&&blockquote&（Ostrowski）有理数域上的绝对值（在等价意义下，等价是指定义了相同的拓扑）只有两大类：一类是阿基米德绝对值，即通常绝对值，一类是非阿基米德绝对值，即上述 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进绝对值.&/blockquote&&p&有理数域关于通常绝对值作完备化就是实数域，这是通常数学分析课本做的事情；而有理数域关于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进绝对值作完备化得到的数域就是我们故事的主角—— &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域. 它一般来说有如下三种看法：&/p&&ol&&li&&b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域是有理数域关于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进绝对值作完备化得到的数域. &/b&它的一个元素是一个柯西列的等价类：一个柯西列是指一个有理数列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7Bn%7D%29& alt=&(x_{n})& eeimg=&1&& ，它满足：对任意的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%3E0& alt=&\varepsilon&0& eeimg=&1&& ，存在正整数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&& 使得任意的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=m%2Cn%5Cgeq+N& alt=&m,n\geq N& eeimg=&1&& 有 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_%7Bm%7D-x_%7Bn%7D%7C_%7Bp%7D%3C%5Cvarepsilon& alt=&|x_{m}-x_{n}|_{p}&\varepsilon& eeimg=&1&& ；称两个柯西列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7Bn%7D%29%2C%28y_%7Bn%7D%29& alt=&(x_{n}),(y_{n})& eeimg=&1&& 是等价的，若 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_%7Bn%7D-y_%7Bn%7D%7C_%7Bp%7D%5Cto+0%2Cn%5Cto+%5Cinfty& alt=&|x_{n}-y_{n}|_{p}\to 0,n\to \infty& eeimg=&1&& . 这些柯西列的等价类关于自然的加法和乘法运算成为一个域，叫做
&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域. 有理数域到 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域有一个自然的嵌入 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%5Chookrightarrow%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D%2C%7Ea%5Cmapsto+%28a%2Ca%2Ca%2C%5Ccdots%29& alt=&\mathbb{Q}\hookrightarrow\mathbb{Q}_{p},~a\mapsto (a,a,a,\cdots)& eeimg=&1&& ;有理数域上的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进绝对值可以自然延拓到 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域上去：设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7Bn%7D%29%5Cin+%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D%2C%7C%28x_%7Bn%7D%29%7C_%7Bp%7D%3A%3D%5Clim_%7Bn%5Cto+%5Cinfty%7D%7Cx_%7Bn%7D%7C_%7Bp%7D+& alt=&(x_{n})\in \mathbb{Q}_{p},|(x_{n})|_{p}:=\lim_{n\to \infty}|x_{n}|_{p} & eeimg=&1&& ，可以证明这是良定义的，且它为一个常数.&/li&&li&&b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域是整环 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarprojlim_%7Bn%7D+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7Bn%7D%5Cmathbb%7BZ%7D& alt=&\varprojlim_{n} \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}& eeimg=&1&& 的商域，这里我们考虑逆向系是指&/b& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccdots+%5Cto+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7B3%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cto+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7B2%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cto+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5Cmathbb%7BZ%7D+& alt=&\cdots \to \mathbb{Z}/p^{3}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p^{2}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & eeimg=&1&& （箭头简记为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& ），
&b&具体来说
&/b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarprojlim_%7Bn%7D+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7Bn%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%3D%5C%7B%28a_%7Bn%7D%29%5Cin+%5Cprod_%7Bn%5Cgeq+1%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7Bn%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%7E%7C%7Ef%28a_%7Bn%2B1%7D%29%3Da_%7Bn%7D%5C%7D& alt=&\varprojlim_{n} \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}=\{(a_{n})\in \prod_{n\geq 1}\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}~|~f(a_{n+1})=a_{n}\}& eeimg=&1&& . &/li&&li&&b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D%3A%3D%5Cleft%5Clbrace+%5Csum_%7Bn%3Dm%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dc_%7Bn%7Dp%5E%7Bn%7D%7E%7C%7Ec_%7Bn%7D%5Cin+%5C%7B0%2C1%2C%5Ccdots%2Cp-1%5C%7D+%5Cright%5Crbrace& alt=& \mathbb{Q}_{p}:=\left\lbrace \sum_{n=m}^{\infty}c_{n}p^{n}~|~c_{n}\in \{0,1,\cdots,p-1\} \right\rbrace& eeimg=&1&& （所谓 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进展开）&/b&.&/li&&/ol&&p&上述三种定义是等价的，证明如下：&/p&&ul&&li&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2& alt=&2& eeimg=&1&& 的等价性：定义 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&& 的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&&i& -进整数环为 &/i&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cmathbb%7BZ%7D_%7Bp%7D%3D%5C%7Ba%5Cin+%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D%7E%7C%7E%7Ca%7C_%7Bp%7D%5Cleq+1%5C%7D+& alt=& \mathbb{Z}_{p}=\{a\in \mathbb{Q}_{p}~|~|a|_{p}\leq 1\} & eeimg=&1&& （这里 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&& 是指 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 中的定义）。我们有环的同构：
&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarprojlim+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7Bn%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cto+%5Cmathbb%7BZ%7D_%7Bp%7D& alt=&\varprojlim \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_{p}& eeimg=&1&& ，对 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28a_%7Bn%7D%29%5Cin+%5Cvarprojlim_%7Bn%7D+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7Bn%7D%5Cmathbb%7BZ%7D& alt=&(a_{n})\in \varprojlim_{n} \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}& eeimg=&1&& ，对每个 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5Cgeq1& alt=&n\geq1& eeimg=&1&& ,取整数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%7D& alt=&x_{n}& eeimg=&1&& 使得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%7D& alt=&x_{n}& eeimg=&1&& 在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7Bn%7D%5Cmathbb%7BZ%7D& alt=& \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}& eeimg=&1&& 的像为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& ,于是我们得到一个整数序列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7Bn%7D%29+& alt=&(x_{n}) & eeimg=&1&& ,由于当 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=m%2Cn%5Cgeq+N& alt=&m,n\geq N& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_%7Bm%7D-x_%7Bn%7D%7C_%7Bp%7D%5Cleq+%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%5E%7BN%7D%7D& alt=&|x_{m}-x_{n}|_{p}\leq \frac{1}{p^{N}}& eeimg=&1&& ，故 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%28x_%7Bn%7D%29+%7C_%7Bp%7D%5Cleq+1& alt=&|(x_{n}) |_{p}\leq 1& eeimg=&1&& ; 反之，对 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+a%3D%28a_%7Bn%7D%29%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D_%7Bp%7D& alt=& a=(a_{n})\in \mathbb{Z}_{p}& eeimg=&1&& （事实上可假设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& 都是整数）， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28a_%7Bn%7D%29& alt=&(a_{n})& eeimg=&1&& 在环同态 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cto+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7Bn%7D%5Cmathbb%7BZ%7D& alt=&\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}& eeimg=&1&& 下的剩余类序列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28+%5Coverline%7Ba_%7Bn%7D%7D%29& alt=&( \overline{a_{n}})& eeimg=&1&&
会收敛于一个常数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma_%7Bn%7D%28a%29& alt=&\sigma_{n}(a)& eeimg=&1&& （因为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%28a_%7Bn%7D%29%7C_%7Bp%7D%5Cleq+1& alt=&|(a_{n})|_{p}\leq 1& eeimg=&1&& ）,
我们定义 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BZ%7D_%7Bp%7D%5Cto+%5Cvarprojlim+%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5E%7Bn%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%7Ea%3D%28a_%7Bn%7D%29%5Cmapsto+%28%5Csigma_%7Bn%7D%28a%29%29+& alt=&\mathbb{Z}_{p}\to \varprojlim \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z},~a=(a_{n})\mapsto (\sigma_{n}(a)) & eeimg=&1&& . 可以证明上述定义的两个映射是互逆的。&/li&&li&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3& alt=&3& eeimg=&1&& 的等价性：一方面，设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3Dm%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dc_%7Bn%7Dp%5E%7Bn%7D& alt=&\sum_{n=m}^{\infty}c_{n}p^{n}& eeimg=&1&& 是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3& alt=&3& eeimg=&1&& 的元素，它对应的柯西列是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28c_%7Bm%7Dp%5E%7Bm%7D%2Cc_%7Bm%7Dp%5E%7Bm%7D%2Bc_%7Bm%2B1%7Dp%5E%7Bm%2B1%7D%2Cc_%7Bm%7Dp%5E%7Bm%7D%2Bc_%7Bm%2B1%7Dp%5E%7Bm%2B1%7D%2Bc_%7Bm%2B2%7Dp%5E%7Bm%2B2%7D%2C%5Ccdots+%29& alt=&(c_{m}p^{m},c_{m}p^{m}+c_{m+1}p^{m+1},c_{m}p^{m}+c_{m+1}p^{m+1}+c_{m+2}p^{m+2},\cdots )& eeimg=&1&&
另一方面，可以证明 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 中元总是可以唯一写成 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3& alt=&3& eeimg=&1&& 中的形式.&/li&&/ul&&p&上面定义 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3& alt=&3& eeimg=&1&& 告诉我们可以这样看待 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数：和每个实数都可以写成一个小数的形式一样，每个 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数也可以写成小数的形式：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3Dm%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dc_%7Bn%7Dp%5E%7Bn%7D%5Ctext%7B%E5%86%99%E6%88%90%E5%B0%8F%E6%95%B0%7Dc_%7Bm%7D%2Cc_%7Bm%2B1%7D%2C%5Ccdots%2Cc_%7B-1%7D%2Cc_%7B0%7D%2Cc_%7B1%7D%2C%5Ccdots& alt=&\sum_{n=m}^{\infty}c_{n}p^{n}\text{写成小数}c_{m},c_{m+1},\cdots,c_{-1},c_{0},c_{1},\cdots& eeimg=&1&&&/p&&p&举个栗子，取 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p%3D7& alt=&p=7& eeimg=&1&& , &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+3%2B6%5Ctimes+7%2B2%5Ctimes+7%5E%7B2%7D%2B%5Ccdots& alt=& 3+6\times 7+2\times 7^{2}+\cdots& eeimg=&1&& 的小数表示就是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3.62%5Ccdots& alt=&3.62\cdots& eeimg=&1&& （其实这个小数点点在哪里你爱怎么写就怎么写，只是一个标记而已）然后四则运算加减乘除跟实数小数的操作方法是类似的，例如两个小数相加，就是逐位相加，超过 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&&b&向右进位&/b&.&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数和实数的小数表示一个不同之处于：在实数的小数表示中，会出现 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%3D0.9999%5Ccdots& alt=&1=0.9999\cdots& eeimg=&1&& 的情况，就是说，&b&实数的小数表示不是唯一的&/b&；但是正如我们在上面 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3& alt=&3& eeimg=&1&& 的等价性证明中看到的那样，&b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数的小数表示是唯一的&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&p&在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&&解代数方程会变得异常的简单，因为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进世界的牛顿迭代求根法总是行得通的，它就是&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Hensel%2527s_lemma& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Hensel引理&/a&.&/p&&p&&br&&/p&&p&几何上， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&& 有如下基本特点：&/p&&ol&&li&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&& 中的三角形都是等腰三角形（腰较长）：若 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Ca%7C_%7Bp%7D%3C%7Cb%7C_%7Bp%7D& alt=&|a|_{p}&|b|_{p}& eeimg=&1&& ，则 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Ca-b%7C_%7Bp%7D%3D%7Cb%7C_%7Bp%7D& alt=&|a-b|_{p}=|b|_{p}& eeimg=&1&& .&/li&&li&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&& 中的开圆盘里的每个点都是圆心.&/li&&li&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&& 是完全不连通的.&/li&&/ol&&p&&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%5Clongrightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D%5Clongrightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{Q}\longrightarrow \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%5Clongrightarrow+%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D%5Clongrightarrow+%5Cwidetilde%7B%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D%7D%5Clongrightarrow%5Cmathbb%7BC%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}\longrightarrow \mathbb{Q}_{p}\longrightarrow \widetilde{\mathbb{Q}_{p}}\longrightarrow\mathbb{C}_{p}& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&（&b&局部整体原理&/b&）设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%2Cb%5Cin+%5Cmathbb%7BQ%7D%5E%7B%5Ctimes%7D& alt=&a,b\in \mathbb{Q}^{\times}& eeimg=&1&&，则二次曲线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+ax%5E%7B2%7D%2Bby%5E%7B2%7D%3D1& alt=& ax^{2}+by^{2}=1& eeimg=&1&& 存在有理解当且仅当它在实数域和所有 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进数域 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D_%7Bp%7D& alt=&\mathbb{Q}_{p}& eeimg=&1&& 都有解.（取遍所有的素数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& ）&/blockquote&&p&&br&&/p&&hr&&ol&&li&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& -进泛函分析&/li&&li&Tate曲线&/li&&li&Tate代数和Affinoid代数&/li&&li&Affinoid空间&/li&&li&刚性解析空间&/li&&li&Rigid GAGA&/li&&li&...&/li&&/ol&&p&&br&&/p&&hr&&p&参考文献：&/p&&ol&&li&加藤和也 黑川信重 斋藤毅著，&i&数论 I——Fermat的梦想和类域论&/i&.&/li&&li&Neal Koblitz, &i&p-adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta-Functions&/i&.
&/li&&/ol&
当考察一直以“数即实数”的漫长的数学史时，对于不久前，方才感觉到被称作 p -进数的数世界存在的我们来说，好似处于只见过白昼天空的人在凝望夜空时的惊讶状态. 在那里有着与白昼完全不同的数学景色. 在这个夜空中，发射出的“素数 p 的威力”的 \mathbb{…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-deeb631cada_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-deeb631cada_r.jpg&&&/figure&&p&目录：&/p&&ol&&li&代数簇是什么&/li&&li&仿射概形是什么&/li&&li&仿射代数簇 VS 仿射概形&/li&&li&概形是什么&/li&&li&概形上信息量爆炸的点：Associated points&/li&&li&Serre GAGA&/li&&/ol&&hr&&h2&一：代数簇是什么&/h2&&p&我们从代数簇这个概念出发吧！代数簇就是一些多项式的公共零点集：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+f_%7B1%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%3D0%2C%5Ccdots%2C+f_%7Br%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%3D0& alt=& f_{1}(x_{1},\cdots,x_{n})=0,\cdots, f_{r}(x_{1},\cdots,x_{n})=0& eeimg=&1&& ，
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cf_%7Br%7D%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D& alt=&f_{1},\cdots,f_{r}\in \mathbb{R}[x_{1},\cdots,x_{n}]& eeimg=&1&&&/p&&p&例如 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B1%7D%5E%7B2%7D%2Bx_%7B2%7D%5E%7B2%7D%3D1& alt=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1& eeimg=&1&& 就是一个圆周（如下图），当然这里的域 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& 可以换成任意的域 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-abbeeaedc99be6_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&296& data-rawheight=&292& class=&content_image& width=&296&&&/figure&&p&我们还是考虑复数域 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& 上的代数簇吧：&/p&&blockquote&&i&一个仿射复代数簇是一些复系数多项式 &/i&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bf_%7Bi%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%5C%7D_%7Bi%5Cin+I%7D+& alt=&\{f_{i}(x_{1},\cdots,x_{n})\}_{i\in I} & eeimg=&1&&&i& 的公共零点集，记为 &/i&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cmathbb%7BV%7D%28%7Bf_%7Bi%7D%7D%29_%7Bi%5Cin+I%7D%5Csubset+%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bn%7D& alt=& \mathbb{V}({f_{i}})_{i\in I}\subset \mathbb{C}^{n}& eeimg=&1&& 。&/blockquote&&p&最简单的栗子当然是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BV%7D%280%29%3D%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bn%7D& alt=&\mathbb{V}(0)=\mathbb{C}^{n}& eeimg=&1&& ，再来一些栗子，有图有真相：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-92750a07eef43ce92cbcc5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&322& data-rawheight=&260& class=&content_image& width=&322&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-69add1aedc44b67031e1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&343& data-rawheight=&303& class=&content_image& width=&343&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-18d596b7d4d7ca027cff12_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&282& data-rawheight=&273& class=&content_image& width=&282&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ecdfb0cf69765dfd804b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&414& data-rawheight=&437& class=&content_image& width=&414&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-40e160aeb367b185ff1025d9afc13b5a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-40e160aeb367b185ff1025d9afc13b5a_r.jpg&&&/figure&&p&如果大家学过范畴论的话，那么就知道下一步我们应该谈谈什么是代数簇之间的态射了。我们猜一下，就知道大概是“多项式映射”了，最简单的栗子应该是：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bn%7D%5Cto+%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bm%7D%2C%5Cqquad+x%5Cmapsto+%28F_%7B1%7D%28x%29%2CF_%7B2%7D%28x%29%2C%5Ccdots%2CF_%7Bn%7D%28x%29%29& alt=&\mathbb{C}^{n}\to \mathbb{C}^{m},\qquad x\mapsto (F_{1}(x),F_{2}(x),\cdots,F_{n}(x))& eeimg=&1&& ，
这里 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bj%7D%28x%29%5Cin+%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D& alt=&F_{j}(x)\in \mathbb{C}[x_{1},\cdots,x_{n}]& eeimg=&1&& 是一些多项式&/p&&blockquote&&i&一般地，设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%5Csubset+%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bn%7D%2CY%5Csubset+%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bm%7D& alt=&X\subset \mathbb{C}^{n},Y\subset \mathbb{C}^{m}& eeimg=&1&& 是两个复仿射代数簇，称 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%3AX%5Cto+Y& alt=&F:X\to Y& eeimg=&1&& 是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 到 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&& 的一个态射是指存在 上述多项式映射&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3A%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bn%7D%5Cto+%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bm%7D& alt=&f:\mathbb{C}^{n}\to \mathbb{C}^{m}& eeimg=&1&& ，使得它在子集 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的限制 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%7C_%7BX%7D%3AX%5Cto+Y& alt=&f|_{X}:X\to Y& eeimg=&1&& 恰为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 。&/i&&/blockquote&&p&举个栗子，设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C%3DV%28y-x%5E%7B2%7D%29& alt=&C=V(y-x^{2})& eeimg=&1&& 是一条抛物线，考虑映射：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cmathbb%7BC%7D%5Cto+C%3DV%28y-x%5E%7B2%7D%29+%2C%5Cqquad%2Ct%5Cmapsto+%28t%2Ct%5E%7B2%7D%29& alt=& \mathbb{C}\to C=V(y-x^{2}) ,\qquad,t\mapsto (t,t^{2})& eeimg=&1&&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-083c5ebb196de4b843ab_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&395& data-rawheight=&331& class=&content_image& width=&395&&&/figure&&p&下一个重要的概念就是坐标（函数）环了，坐标环就是代数簇上的全体“多项式函数”。我们可以猜一下 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bn%7D& alt=&\mathbb{C}^{n}& eeimg=&1&& 的坐标环是啥，没错，它就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D+& alt=&\mathbb{C}[x_{1},\cdots,x_{n}] & eeimg=&1&& 。一般地，设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%5Csubset+%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bn%7D& alt=&X\subset \mathbb{C}^{n}& eeimg=&1&& 是复仿射代数簇，每个多项式 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cin+%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D+& alt=&f\in \mathbb{C}[x_{1},\cdots,x_{n}] & eeimg=&1&& 限制在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&上都诱导了一个函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%5Cto+%5Cmathbb%7BC%7D%2C%7Ex%5Cmapsto+f%28x%29& alt=&X\to \mathbb{C},~x\mapsto f(x)& eeimg=&1&&.
这种诱导出来的函数全体 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Hom%28X%2C%5Cmathbb%7BC%7D%29+& alt=&Hom(X,\mathbb{C}) & eeimg=&1&& 就是坐标环。&/p&&p&我们现在用代数的语言来叙述就是：&/p&&blockquote&首先注意到集合 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Hom%28X%2C%5Cmathbb%7BC%7D%29+& alt=&Hom(X,\mathbb{C}) & eeimg=&1&& 有一个自然的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& -代数结构，我们有一个&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& -代数之间的满射：&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D+%5Ctwoheadrightarrow+Hom%28X%2C%5Cmathbb%7BC%7D%29+& alt=& \mathbb{C}[x_{1},\cdots,x_{n}] \twoheadrightarrow Hom(X,\mathbb{C}) & eeimg=&1&& ，记这个核为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=I%28X%29& alt=&I(X)& eeimg=&1&& ，则我们定义 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的&i&坐标（函数）环为&/i& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%28X%29%3A%3DHom%28X%2C%5Cmathbb%7BC%7D%29%5Csimeq%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D%2FI%28X%29.& alt=&\Gamma(X):=Hom(X,\mathbb{C})\simeq\mathbb{C}[x_{1},\cdots,x_{n}]/I(X).& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&更近一步，设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3AX%5Cto+Y& alt=&f:X\to Y& eeimg=&1&& 是两个仿射代数簇的态射，则映射&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%28f%29%3AHom%28Y%2C%5Cmathbb%7BC%7D%29%5Cto+Hom%28X%2C%5Cmathbb%7BC%7D%29%2C%5Cqquad+g%5Cmapsto+g%5Ccirc+f+& alt=&\Gamma(f):Hom(Y,\mathbb{C})\to Hom(X,\mathbb{C}),\qquad g\mapsto g\circ f & eeimg=&1&&&/p&&p&诱导了一个 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& -代数态射。&/p&&p&以上的操作可以用范畴论的语言改写为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%3A& alt=&\Gamma:& eeimg=&1&&
（仿射代数簇） &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cto+& alt=&\to & eeimg=&1&&
（有限生成，既约 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& -代数）&/p&&p&可以证明，这是一个范畴等价。（可参见UIrich Prop 1.33）范畴等价大概就是说这两个范畴世界是一样的，这里，我们建立了一座桥梁，把代数簇的世界和代数的世界连接起来啦。&/p&&hr&&h2&二：仿射概形是什么&/h2&&p&用一句话来说，&i&仿射概形就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28Spec+A%2C%5Cmathcal%7BO%7D%29& alt=&(Spec A,\mathcal{O})& eeimg=&1&&，这里 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 是一个交换环， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BO%7D& alt=&\mathcal{O}& eeimg=&1&& 是结构层&/i&。&/p&&p&当然这不是人话，当我第一次在Atiyah写的《交换代数导引》的课后习题看到“环的素谱 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& ”这个概念的时候，我的内心也是拒绝的&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-811db67cb7d72c4dfda1a9d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&655& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-811db67cb7d72c4dfda1a9d_r.jpg&&&/figure&&p&为了清晰表达上面这句话，我们需要一些准备&/p&&ol&&li&熟悉&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.m.wikipedia.org/wiki/Sheaf%mathematics%2529& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&层论&/a&的语言，&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.m.wikipedia.org/wiki/Ringed%2520space& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&赋环空间&/a&的概念。&/li&&li&最好熟悉&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.m.wikipedia.org/wiki/Category%2520theory& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&范畴论&/a&，用范畴论的观点思考。&/li&&/ol&&p&尽管如此，我在这里还是大概说一下。为了说清楚&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28Spec+A%2C%5Cmathcal%7BO%7D%29& alt=&(Spec A,\mathcal{O})& eeimg=&1&&是什么玩意，我们需要做三件事：&/p&&ol&&li&它作为集合是什么？也就是它的一个元素是什么？&/li&&li&它作为拓扑空间是什么？也就是它的一个开子集（或者闭子集）是什么？&/li&&li&它的结构层是什么？&/li&&/ol&&p&我们先说第一件事：设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 是一个交换环（当然含单位元），则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& 作为集合，它的元素是环 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 的素理想，所以它叫素谱。举个栗子，取 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D& alt=&A=\mathbb{C}[x]& eeimg=&1&& ,则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D%3D%5C%7B%5Bx-a%5D%7E%7C%7Ea%5Cin+%5Cmathbb%7BC%7D%5C%7D& alt=&Spec\mathbb{C}[x]=\{[x-a]~|~a\in \mathbb{C}\}& eeimg=&1&& ,如下图&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-fcf9a496c05d6e7cc88acab_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&647& data-rawheight=&392& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&647& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-fcf9a496c05d6e7cc88acab_r.jpg&&&/figure&&p&几何上，它差不多就是一条复直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BA%7D_%7B%5Cmathbb%7BC%7D%7D%5E%7B1%7D& alt=&\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^{1}& eeimg=&1&&,但是它有一个很奇怪的点 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5B%280%29%5D& alt=&[(0)]& eeimg=&1&& ,它“无处不在”，称之为&i&一般点。&/i&&/p&&p&我们应该这样看待 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& ：&b&把 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& 看成一个代数簇， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 中元素看成 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& 上的函数，一个函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cin+A& alt=&f\in A& eeimg=&1&& 在一个点 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathfrak%7Bp%7D%5Cin+SpecA& alt=&\mathfrak{p}\in SpecA& eeimg=&1&& 处取值是指 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 在环同态&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%5Cto+A_%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%7D%5Cto+A_%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%7D%2F%5Cmathfrak%7Bp%7DA_%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%7D%3D%5Ckappa%28%5Cmathfrak%7Bp%7D%29& alt=&A\to A_{\mathfrak{p}}\to A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}=\kappa(\mathfrak{p})& eeimg=&1&& 的像。&/b&&/p&&p&就对上面的栗子 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D& alt=&A=\mathbb{C}[x]& eeimg=&1&& 来说， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D%3D%5C%7B%5Bx-a%5D%7E%7C%7Ea%5Cin+%5Cmathbb%7BC%7D%5C%7D& alt=&Spec\mathbb{C}[x]=\{[x-a]~|~a\in \mathbb{C}\}& eeimg=&1&& 差不多就是一条复直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BA%7D_%7B%5Cmathbb%7BC%7D%7D%5E%7B1%7D& alt=&\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^{1}& eeimg=&1&&， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D& alt=&A=\mathbb{C}[x]& eeimg=&1&& 中元素就是一元复系数多项式，它是复直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BA%7D_%7B%5Cmathbb%7BC%7D%7D%5E%7B1%7D& alt=&\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^{1}& eeimg=&1&&上的函数，例如取 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3Dx%5E%7B2%7D-3x%2B1& alt=&f=x^{2}-3x+1& eeimg=&1&& ,它在点 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5B%28x-1%29%5D+& alt=&[(x-1)] & eeimg=&1&& 处的值就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%281%29& alt=&f(1)& eeimg=&1&& ! 这是因为&/p&&p&我们有短正合列&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=0%5Cto+%5B%28x-a%29%5D%5Cto+%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D%5Cto+%5Cmathbb%7BC%7D%5Cto+0& alt=&0\to [(x-a)]\to \mathbb{C}[x]\to \mathbb{C}\to 0& eeimg=&1&& ，第三个箭头是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cmapsto+f%28a%29& alt=&f\mapsto f(a)& eeimg=&1&& .&/p&&p&从而&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D%5Cto+%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D%2F%5B%28x-1%29%5D%5Csimeq+%5Cmathbb%7BC%7D%EF%BC%8C%7Ef%5Cmapsto+f%281%29& alt=&\mathbb{C}[x]\to \mathbb{C}[x]/[(x-1)]\simeq \mathbb{C}，~f\mapsto f(1)& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&上面看到（仿射）&b&概述第一个奇特之处：它有一个叫一般点的点，你没有办法把它画出来，它几何无处不在。&/b&&/p&&p&我们再说说（&b&仿射）概形的第二个奇特之处（幂零元）：（仿射）概形上的函数在每一个点的取值为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&& ，不能推知这个函数为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&&&/b& ，这是因为一个函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cin+A& alt=&f\in A& eeimg=&1&& 在每个点的取值为0，也就是它属于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 的所有素理想，也就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 属于小根（幂零元根），也就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 是一个幂零元。但是一般的环 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 不像 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D& alt=&\mathbb{C}[x]& eeimg=&1&& 那么好，没有幂零元，“大多数”的环都是有幂零元的，例如在环 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D%2F%28x%5E%7B2%7D%29& alt=&\mathbb{C}[x]/(x^{2})& eeimg=&1&& 中， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 就是一个幂零元（ &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%7B2%7D%3D0& alt=&x^{2}=0& eeimg=&1&& ）。这可以从图像上表达这件事：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-80a8c9db587d5d3bcb5a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&433& data-rawheight=&212& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&433& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-80a8c9db587d5d3bcb5a_r.jpg&&&/figure&&p&再来一个例子（可参见Vakil 4.2节）&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-b3b2bede9f64_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&553& data-rawheight=&214& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&553& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-b3b2bede9f64_r.jpg&&&/figure&&p&接下来我们来谈谈第二件事：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& 上的Zariski拓扑，为此，我们只需要定义闭集是什么，再去验证你下的这个定义真的满足闭集公理就可以了。那么，闭集是什么？如果你还是按上面那个栗子 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D& alt=&A=\mathbb{C}[x]& eeimg=&1&& 来理解的话，那么 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec%5Cmathbb%7BC%7D%5Bx%5D%3D%5C%7B%5Bx-a%5D%7E%7C%7Ea%5Cin+%5Cmathbb%7BC%7D%5C%7D& alt=&Spec\mathbb{C}[x]=\{[x-a]~|~a\in \mathbb{C}\}& eeimg=&1&& 就是一条复直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BA%7D_%7B%5Cmathbb%7BC%7D%7D%5E%7B1%7D& alt=&\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^{1}& eeimg=&1&&， 它的闭集应该是一些“函数”的公共零点集，也就是代数簇。现在我们来定义Zariski闭集，设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%5Csubset+A& alt=&S\subset A& eeimg=&1&& （看成一族函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bf_%7Bi%7D%5C%7D_%7Bi%5Cin+I%7D& alt=&\{f_{i}\}_{i\in I}& eeimg=&1&& ），定义 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 的“公共零点集”为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V%28S%29%3D%5C%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%5Cin+SpecA%7E%7C%7Ef%28%5Cmathfrak%7Bp%7D%29%3D0%2C%5Cforall+f%5Cin+S%5C%7D%3D%5C%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%5Cin+SpecA%7E%7C%7Ef%5Cin+%5Cmathfrak%7Bp%7D%2C%5Cforall+f%5Cin+S%5C%7D%3D%5C%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%5Cin+SpecA%7E%7C%7ES%5Csubset+%5Cmathfrak%7Bp%7D%5C%7D& alt=&V(S)=\{\mathfrak{p}\in SpecA~|~f(\mathfrak{p})=0,\forall f\in S\}=\{\mathfrak{p}\in SpecA~|~f\in \mathfrak{p},\forall f\in S\}=\{\mathfrak{p}\in SpecA~|~S\subset \mathfrak{p}\}& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&第三件事： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& 上结构层，待补充。&/p&&hr&&h2&三：仿射代数簇 VS 仿射概形&/h2&&p&在第一部分中，我们说仿射代数簇范畴和有限生成，既约 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& -代数范畴有一个范畴等价，在这里我们也有一个类似的范畴等价：&/p&&blockquote&&b&函子 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec& alt=&Spec& eeimg=&1&&&b& :（交换环范畴） &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cto+& alt=&\to & eeimg=&1&&&b& （仿射概形范畴）和&/b& &b&取截面函子 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma& alt=&\Gamma& eeimg=&1&&&b& :（仿射概形范畴） &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cto& alt=&\to& eeimg=&1&&&b& （交换环范畴）&/b& &b&建立了交换环范畴与仿射概形范畴之间的范畴等价。&/b&&/blockquote&&p&更进一步，有如下对应（来自李克正的《代数几何初步》第一章）&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-dacaf06c2bb7c3a1c72499b6fdfa3abf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&635& data-rawheight=&383& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&635& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-dacaf06c2bb7c3a1c72499b6fdfa3abf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-7765eeebcbecc39c20e558e3738f3dba_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&616& data-rawheight=&439& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&616& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-7765eeebcbecc39c20e558e3738f3dba_r.jpg&&&/figure&&p&这是一个很牛逼的范畴等价啊！这意味着，我们可以用几何的观点来看待代数的问题！这个范畴等价就是桥梁，把代数的世界和几何的世界联系起来了！&/p&&p&&br&&/p&&p&最后，结合第一部分结尾的范畴等价，我们可以得到下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-41a42f4e8f1d321ddc63e1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&981& data-rawheight=&154& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&981& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-41a42f4e8f1d321ddc63e1_r.jpg&&&/figure&&p&换句话说，我们有如下范畴等价：&/p&&ol&&li&（不可约仿射代数簇） &/li&&li&（有限生成 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& -代数，且为整环）&/li&&li&（finite type over &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& 的仿射整概形）&/li&&/ol&&p&在这里我们看到，&b&如此抽象的仿射概形的世界和很具体的，我们看得见的仿射代数簇的世界是一样的！（因为我们有上面 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=3& alt=&3& eeimg=&1&& 的范畴等价！）&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a7cd30528f5d_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&790& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-a7cd30528f5d_r.jpg&&&figcaption&一座小桥梁把仿射代数簇的世界和仿射概形的世界连接起来啦！&/figcaption&&/figure&&p&事实上，范畴 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=3& alt=&3& eeimg=&1&& 的等价，我们能给出更具体的对应方式：&/p&&p&（finite type over &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& 的仿射整概形） &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cto+& alt=&\to & eeimg=&1&& （不可约仿射代数簇）&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%5Cmapsto+X%28%5Cmathbb%7BC%7D%29%3D& alt=&X\mapsto X(\mathbb{C})=& eeimg=&1&&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的全体闭点的集合&/p&&p&这只是一座小桥梁，我们后面还会讨论更壮观的大桥梁-Serre GAGA.&/p&&hr&&h2&四：概形是什么&/h2&&p&做了上述的准备后，我们终于可以说概形是什么了，维基是这样说的：&/p&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.m.wikipedia.org/wiki/Scheme_%2528mathematics%2529& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&概形&/a&&p&用一句话来说就是：&/p&&p&&i&概形是局部同构于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28Spec+A%2C%5Cmathcal%7BO%7D%29& alt=&(Spec A,\mathcal{O})& eeimg=&1&& 的局部赋环空间，这里&/i& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 是一个交换环， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BO%7D& alt=&\mathcal{O}& eeimg=&1&& 是结构层&i&。&/i&&/p&&p&这句话可能有点不知所云，直观上来看：&/p&&p&&b&概形是像流形那样的几何空间，只是流形的局部模型是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D& alt=&\mathbb{R}^{n}& eeimg=&1&& 或 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bn%7D& alt=&\mathbb{C}^{n}& eeimg=&1&& ,而概形的局部模型是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&&（看成代数簇，即一些多项式的公共零点集）罢了。&/b&&/p&&p&我们先用赋环空间的语言来重新叙述什么是一个流形：&/p&&blockquote&&i&一个光滑实流形是一个局部同构于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D%2C%5Cmathcal%7BO%7D_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D%7D%29& alt=&(\mathbb{R}^{n},\mathcal{O}_{\mathbb{R}^{n}})& eeimg=&1&& 的赋环空间，这里 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BO%7D_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D%7D& alt=&\mathcal{O}_{\mathbb{R}^{n}}& eeimg=&1&& 是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D& alt=&\mathbb{R}^{n}& eeimg=&1&& 上的光滑函数层。&/i&&/blockquote&&p&你可以证明这和常见的光滑实流形的定义是一致的，可参见Neeman写的&i&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//libgen.io/_ads/8B3EBA8CAD6A5D& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Algebraic and analytic geometry&/a&&/i&的第二章。换句话说，概形和流形都是赋环空间，只是它们的局部模型不同而已。对于流形的局部模型 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D%2C%5Cmathcal%7BO%7D_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D%7D%29& alt=&(\mathbb{R}^{n},\mathcal{O}_{\mathbb{R}^{n}})& eeimg=&1&& 的研究，就是微积分的内容，这个大家都学过；而对于概形的局部模型（即&i&仿射概形&/i&） &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28Spec+A%2C%5Cmathcal%7BO%7D%29& alt=&(Spec A,\mathcal{O})& eeimg=&1&& 的研究，就是&b&代数簇的研究。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&以下我们来谈谈概形和我们“看得见”的流形最不同的地方，&b&概形的真正“奇特”之处&/b&：&/p&&p&&b&我们应该把一个概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 看成一个函子&/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=h_%7BX%7D& alt=&h_{X}& eeimg=&1&&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e1a0fdc609_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&648& data-rawheight=&97& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&648& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-e1a0fdc609_r.jpg&&&/figure&&p&这里 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Hom_%7B%28Sch%29%7D%28T%2CX%29& alt=&Hom_{(Sch)}(T,X)& eeimg=&1&& 称为概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& -值点，通常我们简记为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%28T%29%3A%3Dh_%7BX%7D%28T%29%3DHom_%7B%28Sch%29%7D%28T%2CX%29& alt=&X(T):=h_{X}(T)=Hom_{(Sch)}(T,X)& eeimg=&1&& ,&/p&&p&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.m.wikipedia.org/wiki/Yoneda%2520lemma& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&米田引理&/a&告诉我们一个&b&概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 是被函子 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=h_%7BX%7D& alt=&h_{X}& eeimg=&1&& 唯一决定的，换句话说，一个概形&/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&&b&被它的所有 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& -值决定，这里 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& 取遍所有概形。&/b&&/p&&p&取个经典的栗子，考虑概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%3DSpec+%5Cmathbb%7BZ%7D%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D%2F%28f_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cf_%7Br%7D%29& alt=&X=Spec \mathbb{Z}[x_{1},\cdots,x_{n}]/(f_{1},\cdots,f_{r})& eeimg=&1&& ，则可以证明（下面会证明）概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& -值点（ &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 是一个交换环）&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%28SpecA%29& alt=&X(SpecA)& eeimg=&1&& 恰好就是方程 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+f_%7B1%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%3D%5Ccdots%3Df_%7Br%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%3D0& alt=& f_{1}(x_{1},\cdots,x_{n})=\cdots=f_{r}(x_{1},\cdots,x_{n})=0& eeimg=&1&& 在环 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 中的解。&/p&&p&更具体一点，考虑概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec+%5Cmathbb%7BZ%7D%5Bx%2Cy%5D%2F%28x%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D-1%29& alt=&Spec \mathbb{Z}[x,y]/(x^{2}+y^{2}-1)& eeimg=&1&& ，它的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec+%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&Spec \mathbb{Q}& eeimg=&1&& -值就是这个方程的有理解，它的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec+%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&Spec \mathbb{R}& eeimg=&1&& 就是实数解，也就是我们一开始那个圆周：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-abbeeaedc99be6_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&296& data-rawheight=&292& class=&content_image& width=&296&&&/figure&&p&所以概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec+%5Cmathbb%7BZ%7D%5Bx%2Cy%5D%2F%28x%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D-1%29& alt=&Spec \mathbb{Z}[x,y]/(x^{2}+y^{2}-1)& eeimg=&1&& 是啥？？？它并不是一个圆周，它是很多很多的“圆周”（ &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA& alt=&SpecA& eeimg=&1&& -值点，取遍所有的环 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& ）叠起来！！！上面这个图像只是它“图像”的一部分！！！&/p&&p&&br&&/p&&p&激动完毕，我们补充证明如下更一般的事实：&/p&&p&设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&& 是一个交换环， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 是一个 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&& -代数，考虑概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%3DSpec+R%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D%2F%28f_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cf_%7Br%7D%29& alt=&X=Spec R[x_{1},\cdots,x_{n}]/(f_{1},\cdots,f_{r})& eeimg=&1&& ，&/p&&p&则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%28A%29%3A%3DX%28SpecA%29& alt=&X(A):=X(SpecA)& eeimg=&1&& 恰好就是方程 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+f_%7B1%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%3D%5Ccdots%3Df_%7Br%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%3D0& alt=& f_{1}(x_{1},\cdots,x_{n})=\cdots=f_{r}(x_{1},\cdots,x_{n})=0& eeimg=&1&& 在环 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 中的解。&/p&&p&证明：注意到方程 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+f_%7B1%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%3D%5Ccdots%3Df_%7Br%7D%28x_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%29%3D0& alt=& f_{1}(x_{1},\cdots,x_{n})=\cdots=f_{r}(x_{1},\cdots,x_{n})=0& eeimg=&1&& 在环 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 中的解一一对应 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&& -代数同态 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D%2F%28f_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cf_%7Br%7D%29%5Cto+A& alt=&R[x_{1},\cdots,x_{n}]/(f_{1},\cdots,f_{r})\to A& eeimg=&1&& ，从而一一对应于态射 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SpecA%5Cto+Spec+R%5Bx_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bn%7D%5D%2F%28f_%7B1%7D%2C%5Ccdots%2Cf_%7Br%7D%29& alt=&SpecA\to Spec R[x_{1},\cdots,x_{n}]/(f_{1},\cdots,f_{r})& eeimg=&1&&。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们已经知道&b&一个概形&/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&&b&被它的所有 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&&b& -值决定，这里 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&&b& 取遍所有概形。&/b&那么，我们考虑一些特别的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& 来“检测”一下这个概形是什么玩意吧。&/p&&p&&br&&/p&&p&1 设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 是代数闭域， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 是locally of finite type over &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 的概形，则&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c9ee270acdce8839ce44d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&545& data-rawheight=&65& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&545& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-c9ee270acdce8839ce44d_r.jpg&&&/figure&&p&是一个双射。也就是说，对于常见的概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& （locally of finite type over &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& ）， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%EF%BC%88k%EF%BC%89& alt=&X（k）& eeimg=&1&& 就是它的闭点啦！！！Vakil用的单词是“traditional points”。&/p&&p&&br&&/p&&p&2 设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 是代数闭域， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 是locally of finite type over &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 的概形，则&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%28k%5B%5Cepsilon%5D%2F%28%5Cepsilon%5E%7B2%7D%29%29& alt=&X(k[\epsilon]/(\epsilon^{2}))& eeimg=&1&& 对应概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的一个闭点以及这个闭点的一个切向量。&/p&&hr&&h2&五：概形上信息量爆炸的点：Associated points&/h2&&p&&b&概形的第三个奇特之处：它有那么一些很特别的点，叫做associated points，它们几乎完全决定了这个概形上的函数（结构层）。&/b&换句话说，&b&概形上的函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 在associated points上的取值决定了这个函数。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&首先我们需要知道如下基本事实：&/p&&p&设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 是一个概形，则概形的点和它的不可约闭集有一个一一对应：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-7ac916bbd460e4a08bf8_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&526& data-rawheight=&67& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&526& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-7ac916bbd460e4a08bf8_r.jpg&&&/figure&&p&换句话说，概形的每一个不可约闭集包含唯一一个一般点。&/p&&p&&br&&/p&&p&为了简单起见，我们考虑仿射概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%3DSpecA& alt=&X=SpecA& eeimg=&1&& ，并且假设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 是Noetherian.&/p&&blockquote&The &i&associated points&/i& of &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& are defined to be the generic points of irreducible&br&components of the supports of some element of &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& .&/blockquote&&p&这个定义看起来有点费解，说白了就是这样一个操作：任取一个函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cin+A& alt=&f\in A& eeimg=&1&& ，考虑它的支集 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Supp%28f%29%3D%5C%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%5Cin+SpecA%7E%7C%7Ef%28%5Cmathfrak%7Bp%7D%29%5Cneq+0%5C%7D& alt=&Supp(f)=\{\mathfrak{p}\in SpecA~|~f(\mathfrak{p})\neq 0\}& eeimg=&1&& （可以证明这是一个Zariski闭集），然后把 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Supp%28f%29& alt=&Supp(f)& eeimg=&1&& 拆成一些不可约分支之并（Noetherian条件保证了这个不可约分支的个数是有限的），由上面的事实，我们再在每个不可约分支（一定是闭集）取出一个一般点，这些点就叫做associated point。当 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 取遍 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 中所有元素时候，我们就得到了所有的associated point。咋看上去，似乎associated points可能有无限个（因为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 的元素个数可以是无限的），但是可以证明， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 是Noetherian的可以保证associated points只有有限个。&/p&&p&&br&&/p&&p&一般来说，Associated points分成两类：&/p&&ol&&li&取 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3D1%5Cin+A& alt=&f=1\in A& eeimg=&1&& ,则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Supp%281%29%3DSpecA& alt=&Supp(1)=SpecA& eeimg=&1&& ,这个时候我们在上述操作下得到的一般点就是整个概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%3DSpecA& alt=&X=SpecA& eeimg=&1&& 的不可约分支的一般点。&/li&&li&其他的associated points都叫做embedded points.&/li&&/ol&&p&Ok，终于把定义介绍完了。我们说associated points是信息量爆炸的点是基于下面的事实：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%5Cto+%5Cprod_%7Bassociated%7E%5Cmathfrak%7Bp%7D%7DA_%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%7D& alt=&A\to \prod_{associated~\mathfrak{p}}A_{\mathfrak{p}}& eeimg=&1&&
是单射&/p&&p&关于associated points，还有如下重要事实：&/p&&ol&&li&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cin+A& alt=&f\in A& eeimg=&1&& 是一个零因子当且仅当它在某个associated points上取值为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&& .&/li&&li&一个既约的（也就是没有非零幂零元）的概形没有embedded points.&/li&&li&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%5Cin+SpecA%7E%7C%7EA_%7B%5Cmathfrak%7Bp%7D%7D%7E%5Ctext%7Bnonreduced%7D%5C%7D& alt=&\{\mathfrak{p}\in SpecA~|~A_{\mathfrak{p}}~\text{nonreduced}\}& eeimg=&1&& =the closure of those associated points that have nonreduced stalk.&/li&&/ol&&p&&i&注记：&/i&&/p&&p&&i&从这里我们可以看出，之所以associated points如此重要，是因为它涉及了概形的前面两个奇特之处，也就是一般点和幂零元，而这两个奇特性正是我们无法从几何上读出来的信息。&/i&&/p&&p&&br&&/p&&p&讲了一大堆东东以后，我们还是讲一个栗子吧：&/p&&p&考虑概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Speck%5Bx%2Cy%5D%2F%28y%5E%7B2%7D%2Cxy%29& alt=&Speck[x,y]/(y^{2},xy)& eeimg=&1&& ，几何图像见下图&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-3cd3ece725de3e57730f2cd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&436& data-rawheight=&102& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&436& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-3cd3ece725de3e57730f2cd_r.jpg&&&/figure&&p&事实上， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Speck%5Bx%2Cy%5D%2F%28y%5E%7B2%7D%2Cxy%29& alt=&Speck[x,y]/(y^{2},xy)& eeimg=&1&& 可以看成 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+Spec+k%5Bx%2Cy%5D%2F%28y%5E%7B2%7D%29& alt=& Spec k[x,y]/(y^{2})& eeimg=&1&& 与 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Spec+k%5Bx%2Cy%5D%2F%28xy%29& alt=&Spec k[x,y]/(xy)& eeimg=&1&& 的之交，也就是&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-8d882d5b89b52aecd1e8ba_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&162& data-rawheight=&69& class=&content_image& width=&162&&&/figure&&p&与 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%2Cy& alt=&x,y& eeimg=&1&& 轴&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bbc3b06f300e99_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&125& data-rawheight=&116& class=&content_image& width=&125&&&figcaption&y轴也是实线（自行脑补填充）&/figcaption&&/figure&&p&之交。从图像上很清楚，概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Speck%5Bx%2Cy%5D%2F%28y%5E%7B2%7D%2Cxy%29& alt=&Speck[x,y]/(y^{2},xy)& eeimg=&1&& 的nonreduced的点只有原点。它的associated point只有两个点，一个是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& -轴的一般点 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5B%28y%29%5D& alt=&[(y)]& eeimg=&1&& ,一个是nonreduced的点，也就是原点 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5B%28x%2Cy%29%5D& alt=&[(x,y)]& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&br&&/p&&p&再来一个栗子，直接看图吧，自行感受一下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-358b513b92b0e65a3f20e739c5388088_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&435& data-rawheight=&262& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&435& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-358b513b92b0e65a3f20e739c5388088_r.jpg&&&/figure&&p&或许我们可以从另外一个角度来看待：我们究竟能从associated point读出关于这个概形的多少信息？换句话说，给你两个概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&& ，并且告诉你它们的associated points是什么，那么我们问：&/p&&ol&&li&你能大概知道 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&& 长啥样吗?&/li&&li&你能区分 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&& 吗？也就是说， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&& 同构吗？如果不同构，它们有多大的“相似度”？&/li&&/ol&&p&关于第一个问题，待补充。&/p&&p&&br&&/p&&p&关于第二个问题，我们考虑简单的情形：设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%3DSpecA& alt=&X=SpecA& eeimg=&1&& 是整概形，这意味着它是既约和不可约的，所以它的associated point只有一个点：一般点 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ceta& alt=&\eta& eeimg=&1&& ，它对应极小素理想，也就是零理想。那么，这个概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ceta+& alt=&\eta & eeimg=&1&& 处的stalk &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BO%7D_%7BX%2C%5Ceta%7D& alt=&\mathcal{O}_{X,\eta}& eeimg=&1&& （可理解为概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ceta+& alt=&\eta & eeimg=&1&& 点附近的信息）是一个域，称之为&i&函数域&/i&，记为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=K%28X%29& alt=&K(X)& eeimg=&1&& .则有如下事实：&/p&&p&设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&& 是finite type over some field &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 的整概形，如下等价（可参见UIrich Prop 9.35）：&/p&&ol&&li&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.m.wikipedia.org/wiki/Birational_equivalence& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&双有理等价&/a&.&/li&&li&存在稠密开集 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=U%5Csubset+X& alt=&U\subset X& eeimg=&1&& 和稠密开集 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V%5Csubset+Y& alt=&V\subset Y& eeimg=&1&& ,使得 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=U%5Csimeq+V.& alt=&U\simeq V.& eeimg=&1&&&/li&&li&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=K%28X%29%5Csimeq+K%28Y%29& alt=&K(X)\simeq K(Y)& eeimg=&1&& .（ &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& -代数同构）&/li&&/ol&&p&上述事实说，函数域在双有理等价的意义下区分了不可约代数簇（finite type over some field &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 的整概形）。换句话说，&b&整概形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 在associated points（也就是一般点）附近的信息，决定了它所在的双有理等价类！&/b&&/p&&hr&&h2&六：Serre GAGA&/h2&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-7f1c1cb7_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&532& data-rawheight=&300& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&532& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-7f1c1cb7_r.jpg&&&figcaption&GAGA是一座美丽壮观的桥梁&/figcaption&&/figure&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.m.wikipedia.org/wiki/Algebraic%2520geometry%2520and%2520analytic%2520geometry& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&代数几何与解析几何&/a&&p&待续。。。&/p&&p&&br&&/p&&hr&&p&参考文献：&/p&&ol&&li&Karen E.Smith, Lauri Kahanpaa, Pekka Kekalainen, William Traves, &i&An Invitation to Algebraic Geometry&/i&.&/li&&li&Ravi Vakil,
&i&Foundations of Algebraic Geometry&/i&.
&/li&&li&Uirich Gortz and Torsten Wedhorn, &i&Algebraic Geometry I&/i&. VIEWEG TEUBNER. &/li&&li&Bjorn Poonen, &i&Rational points on varieties&/i&.
&/li&&li&Amnon Neeman, &i&Algebraic and analytic geometry&/i&.&/li&&li&刘青，&i&代数几何和算术曲线&/i&. &/li&&li&李克正，&i&代数几何初步&/i&.&/li&&/ol&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&最后特别感谢每一个参加代数几何讨论班的同学！是我们一起做完了Vakil半本书的习题，并不是我自己一个人。是因为你们的热情，努力和坚持，我才有可能坚持把Vakil的书读下来，才有可能坚持把概形理论这么抽象的东东啃下来，才有了动力去把每一个疑问搞懂。感谢你们的宽容，让我不再在学习数学的道路上孤独。&/p&&p&&/p&&p&&/p&
目录：代数簇是什么仿射概形是什么仿射代数簇 VS 仿射概形概形是什么概形上信息量爆炸的点：Associated pointsSerre GAGA一：代数簇是什么我们从代数簇这个概念出发吧！代数簇就是一些多项式的公共零点集： f_{1}(x_{1},\cdots,x_{n})=0,\cdots, f_{r}(x_{1…
这个漫画我贴在办公桌旁边的。 &br&&br&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//abstrusegoose.com/353& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&abstrusegoose.com/353&/span&&span class=&invisible&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/df2fde3b659b7ef348b14a_b.jpg& class=&content_image&&&/figure&&br&&strong&Don’ fight it!&/strong& &br&Ask your own questions, look for your own examples, discover your own proofs.&br& Is the hypothesis necessary?
Is the converse true?&br& What happens in the classical special case?
What about the degenerate cases?
Where does the proof use the hypothesis?&br&— Paul R. Halmos
这个漫画我贴在办公桌旁边的。
Don’ fight it! Ask your own questions, look for your own examples, discover your own proofs. Is the hypothesis necessary? Is the converse true? What happens in the classica…
&p&这个是昨天和朋友聊天才想起来的一件事。&/p&&p&大概在我高一或者初三的时候，itouch还不是很流行，所以上课时还是只能玩非智能机的，而且以单机游戏为主。这里单机游戏指的是类似贪食蛇这种游戏，说句题外话， &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/a8efe7632edd3e6e09b9& data-hash=&a8efe7632edd3e6e09b9& data-hovercard=&p$b$a8efe7632edd3e6e09b9&&@Albert Dai&/a& 可以用贪食蛇在最快速度下把整个屏幕填满。我不知道世界上有没有职业贪食蛇玩家，不过我还是觉得他做生物PhD浪费了。&/p&&p&那时我手机（或者我同桌手机）有一个叫lights out的游戏。（原来的游戏名记不清了，这个是我编的。）我想很多人以前都玩过。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ee9dd9c2b063dbb5e8e1_b.jpg& data-rawwidth=&1460& data-rawheight=&460& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1460& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-ee9dd9c2b063dbb5e8e1_r.jpg&&&/figure&&p&游戏是在一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=5%5Ctimes5& alt=&5\times5& eeimg=&1&& 的棋盘上进行的。初始时，这25个格子颜色有亮有暗，游戏的目的就是想办法把所有的“灯关上”，就是让所有格子颜色变暗。每一步选中一个格子，改变以选中格子为中心的“小十字”的五个格子的颜色。比如下图，如果我们选中正中间的格子，游戏就胜利了。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-b3f650c8edf3c_b.jpg& data-rawwidth=&435& data-rawheight=&434& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&435& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-b3f650c8edf3c_r.jpg&&&/figure&&p&这里给大家一个&b&在线游戏链接&/b&：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.neok12.com/games/lights-out/lights-out.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Lights Out Game Online&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&这个是一个super hard的游戏。我们可以很容易发现：&/p&&ul&&li&Abelian: 每一步操作满足交换律。&/li&&li&元素的Order为2: 同时按一个方格两次等于什么都没做。&/li&&/ul&&p&由此，我们一定可以用少于25步完成这个游戏。但是当时我最初玩这个游戏就是撞大运：可以很容易的把所有亮着的灯都“赶”到最后一行，然后就没有行之有效的方法了。很自然的，我提出了以下两个问题：&/p&&ol&&li&如何对给定初始情况找到解决的算法？&/li&&li&是否所有的初始情形都是可以被解决的？&/li&&/ol&&p&对于一个初中生（或者高一），我最开始尝试的是竞赛时广为应用的“能量减少法”。首先定义一个值作为游戏的“能量”用来描述复杂度，最终状态能量为0，然后证明每一步可以使能量严格减少一定的步长。然而，useless：这是因为游戏存在很多达不到最小值的极小值。&/p&&p&之后我把注意力转移到了棋盘的结构：选中中间的格子，可以改变5个格子的颜色；但是选中边，角的格子，只能改变3个或者4个格子的颜色。将棋盘所有格子标号1到25，然后列出他们之间的关系：选中1可以改变1，2，6；选中2可以改变1，2，3，7；等等。&/p&&p&这样我们就有了25个25元数组，对应着1到25个格子可以改变的点：&/p&&p&比如对于第一个格子，其对应的数组为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%281%2C1%2C0%2C0%2C0%2C1%2C0%2C..%2C0%29& alt=&(1,1,0,0,0,1,0,..,0)& eeimg=&1&& ；&/p&&p&对于第4个格子，对应 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C0%2C1%2C1%2C1%2C0%2C0%2C0%2C1%2C0%2C..%2C0%29& alt=&(0,0,1,1,1,0,0,0,1,0,..,0)& eeimg=&1&&&/p&&p&出于我的懒惰方面的考虑，我就不全部写出来了。回到游戏上来。对于游戏最初始的时候，有一些格子亮着，一些暗着。我们依旧考虑1到25对格子标号对应的25元数组：这次我们把亮着的灯标记为1，暗着的标记为0。很容易发现，如果新的数组可以通过原来的25个数组通过加减“生成”，那么游戏就是可解的；算法我们只要反解25元方程组就可以。&/p&&p&&br&&/p&&p&故事到这里告一段落了，以上就是我中学时对这个游戏的思考，大概用了一两节语文课的时间，因为那时还没听说“矩阵”这个东西。当时对这个结果还比较满意。到了大学我发现（实际上我自己并没有发现，因为早就把这个问题忘干净了），每个格子对应的“数组”看作列向量，可以得到这个棋盘的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=25%5Ctimes25& alt=&25\times25& eeimg=&1&& 的adjacency matrix，并且rank为23（也就是说对于“可解”的游戏，最多23步就可以完成）。“可解”就是游戏的初始向量与矩阵的零空间垂直。&/p&&p&之所以想到这个问题，是因为昨天和朋友聊天时，朋友说，他曾经写过一篇关于lights out game的paper。我问，啥是lights out game啊，然后他一讲，我就想，卧槽，这不是我中学玩过的游戏吗！&/p&&p&然后我就看到了一篇1998年有趣的短paper[1]，和我上面讲的基本是一回事。当然，现代数学研究的问题没有这么简单，比如一个简单的推广就是如果游戏进行在任意的graph上呢？更难一些的，如果我们对操作进行限制，只能关灯不能开灯，即只能选中暗的格子（或点），这时操作显然不是abelian的，那么操作是否可逆呢？另外，开灯关灯相当于用 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BZ%7D%2F2%5Cmathbb%7BZ%7D+& alt=&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & eeimg=&1&& 对图的点集进行染色，那么对于更一般的群呢？这些问题貌似挺难，对于tree上的情形直到2007年才有结果，发在了很好的杂志上。一般情况下这个问题的背景和algebraic graph theory，group theory，representation theory都有比较深的联系。&/p&&p&于是现在我和他就计划一起继续在这个问题上尝试做一些有趣的结果，就当做是对高中生活的一种延续了。 （仔细想想这个游戏好像是在当时的同桌也是前女友的手机里）&/p&&p&We ain't ever getting older.&/p&&p&&br&&/p&}
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