 上传我的文档
 下载
 收藏
粉丝量：110
该文档贡献者很忙，什么也没留下。
 下载此文档
数字信号处理(第三版)_课后习题答案全_(原题 答案 图)
下载积分：2500
内容提示：数字信号处理(第三版)_课后习题答案全_(原题 答案 图)
文档格式：PPT|
浏览次数：24352|
上传日期： 19:28:27|
文档星级：
全文阅读已结束，如果下载本文需要使用
 2500 积分
下载此文档
该用户还上传了这些文档
数字信号处理(第三版)_课后习题答案全_(原题 答案 图)
关注微信公众号《数字信号处理+（第三版）清晰pdf下载_爱问共享资料
《数字信号处理+（第三版）清晰.pdf
《数字信号处理+（第三版）清晰.pdf
《数字信号处理+（第三版）清晰.pdf
简介：本文档为《《数字信号处理+（第三版）清晰pdf》，可适用于高等教育领域，主题内容包含第章绪论数字信号处理学科内容数字信号处理的应用领域数字信号处理学科的发展历史数字信号处理的基本运算本书内容安排参考文献第章离散时间信号和离散时间系统符等。
侵权或盗版
*若权利人发现爱问平台上用户上传内容侵犯了其作品的信息网络传播权等合法权益时，请按照平台要求书面通知爱问！
赌博犯罪类
添加成功至
资料评价：
所需积分：1当前位置： >>
第三章 数字信号处理
第三章离散傅立叶变换1目 §3-1 引言录§3-2 傅氏变换的几种可能形式 §3-3 周期序列的DFS §3-4 DFS的性质 §3-5 DFT--有限长序列的离散频域表示§3-6 DFT的性质§3-7 抽样Z变换--频域抽样理论§3-8 利用DFT对连续时间信号的逼近2学习目标????理解4种傅立叶变换的形式、特点、区别 和应用场合； 掌握周期序列的傅立叶级数的求法和性 质； 理解离散傅立叶变换/反变换的形式，掌 握该变换的基本性质； 理解和掌握频域抽样理论，掌握利用离 散傅立叶变换逼近连续时间信号的方法。3??问题： 4种傅立叶变换的形式有何不同？应用的 场合有何不同？43-1引言一.DFT是重要的变换1.它是分析有限长序列的有用工具； 2.它在信号处理的理论上有重要意义。 3.它在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、 相关等运算都可以通DFT/FFT在计算机上实现。53-1引言二.DFT是现代信号处理桥梁DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。傅氏变换 离散量化信号处理DFT(FFT)63-2 傅氏变换的几种可能形式一.连续时间、连续频率―傅立叶变换x(t )t正 : X ( j?) ? ? x(t )e???? j?tdt0X ( j?)1 反 : x (t ) ? 2??????X ( j?)e d?7j?t03-2 傅氏变换的几种可能形式特点：对称性:时域连续，则频域非周期。反之亦然。时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的83-2 傅氏变换的几种可能形式二.连续时间、离散频率---傅立叶级数x(t )--0 --t 0X ( jk?0 )T02? ?0 ? T0?1 正 : X ( jk?0 ) ? T0反 : x (t ) ?? k ? ???T0 / 2?T0 / 2x (t )e0? jk?0tdt? X ( jk?)ejk? 0t93-2 傅氏变换的几种可能形式特点：时域周期为T0, 频域谱线间隔为2π/T0 。时域信号连续的频域信号非周期的周期的离散的103-2 傅氏变换的几种可能形式三.离散时间、连续频率---序列的傅立叶变换x(nT) T ---T0 T 2T t 0?s ? 2? T? jn?TX e j? 或 X (e j?T )? ?---?正 : X (ej?T)?n ? ??? x(nT )e?1 反 : x(nT ) ? ?s??s / 2?? s / 2X (e j?T )e jn?T d?113-2 傅氏变换的几种可能形式2? 特点：时域抽样间隔为T , 频域的周期为? s ? T时域信号离散的频域信号周期的 连续的非周期的123-2 傅氏变换的几种可能形式四.离散时间、离散频率―离散傅立叶变换(DFT)x(nT)=x(n)T0 ? 1 F0T ? 1fs0 T 2T 1 2x (ej k? 0TNTN? s ? N? 0t n)?s ? ?0 2? T 2? ? T0x(k )0 0 1 2 3 ( N ? 1)? 0 2? 0( N ? 1)? 0 ? 0 N?Nk133-2 傅氏变换的几种可能形式由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散 的，则两域必须都是周期的。时域信号 离散的 周期的频域信号 周期的 离散的2? 时域的周期为T0，则频域的频谱 / 离散间隔为?0 ? ; T0 2? 时域的离散 / 抽样间隔为T , 则频域的周期为? s ? . T143-2 傅氏变换的几种可能形式DFT的简单推演： 在一个周期内，对序列的傅立叶变换可进行 如下变换：X (ej?T)?n ? ??? x(nT )e ??s / 2 ?? s / 2?? jn?T1 x ( nT ) ? ?sX ( e j?T )e jn?T d?n : 从0 ~ N ? 1 ? : ? ? k? 0 ? k ? 2?F0 , k ? 0 ~ N ? 1 d? : d? ? ?? ? ? 0153-2 傅氏变换的几种可能形式X ( e jk? 0T ) ? ?0 x ( nT ) ? ?s x ( nT ) e ? jnk? 0T ?n ?0 N ?1?k ?0N ?1X ( e jk?0T ) e jnk? 0T2? 2? 2? 又 ? ? 0T ? ? T ? ?0 ? ? T0 ?s N 因此 X (ej 2? k N)?? x ( nT )en ?0N ?1?j2? nk N 2? nk N161 x ( nT ) ? N? X (ek ?0N ?1j2? k N)ej3-2 傅氏变换的几种可能形式x ( nT ) 视作n的函数， x ( nT ) ? x ( n ) X (e这样,j 2? k N)视作k的函数，X ( eN ?1 n ?0j2? k N) ? X (k )X (k ) ?? x ( n )eN ?1 k ?0?j2? nk N(正变换)1 x ( n) ? N? X ( k )ej2? nk N(反变换)173-3周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周 期信号的复数傅氏级数开始的：~(t ) ? x对上式进行抽样，得：k ? ??~ jk?0t ? X ( k? 0 ) e?~( nT ) ? x?k ? ??~ jk? 0 nT ? X ( k? 0 ) ej 2? nk N?2? (代入 ? 0T ? ) N~ ? ? X ( k? 0 ) ek ? ??183-3周期序列的DFS~ 因 ~(nT ) 是离散的，所以 X (k?0 ) 应是周期的。 x ~ 而且，其周期为 2? / T ? N?0 ，因此 X (k?0 ) 应是N 点的周期序列。 2? 2? 2? j ( k ? rN ) n j nk j kn j 2?rn 又由 N N Ne?e?e?e所以求和可以在一个周期内进行，即 2?j nk ~ ~?nT ? ? x X ?k?0 ?e N ? k ?0 N ?1考虑到：~ (nT ) ~ ~ (n)，X (k? 0 ) ~ X (k )； x xj nk ~ ~ ( n) ? N 则有，x ? X ( k )e k ?0 N ?1 2?这就是说，当在k=0,1,..., N-1求和与在 k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。 ~ ~193-3周期序列的DFS~ ~(n) 的k次谐波系数 X (k ) 的求法 二. x1.预备知识?n ?0N ?1 j 2? rn e N2? rn N? N , r ? mN , m为任意整数 ?? ?0，其他 rj 2? r N??en ?0N ?1j? 1? e ??ej2? r?2 N??? ej2? r?( N ?1) N?1? ej2? r? N N 2? j r N1? e 1? ej 2?r 2? j r N? 0(当r ? mN时)201? e3-3周期序列的DFSN ?1 n ?0又? en ?0N ?1j2? rn N? ? e j 2?mn ? N (当r ? mN )同样，当 k ? r ? pN 时，p也为任意整数，则?en ?0N ?1j2? ( k ?r ) n N? N ? N? (0) ? N? [( k ? r ) ? pN ]1 ?e N n ?0所以N ?1 j 2? ( k ? r ) n N? ? ?(k ? r ) ? pN ? ? ? (k ? r ? pN ) ? ? ?k ? (r ? pN )?~ ~ ~ ? X (k )? ?k ? (r ? pN )? ? X (r ? pN ) ? X (r)k ?021N ?13-3周期序列的DFS~ 2. X ( k )的表达式 将式 ~ (n) ? x~ ? X ( k )ek ?0N ?12? j nk N的两端乘 e2? ? j nr N，然后从 n=0到N-1求和，则：~ ( n )e ?xn ?0 N ?1N ?1?j2? nr N~ ? ?? X ( k )en ?0 k ?0N ?1 N ?1j2? ( k ?r ) n N2? ~ ? N ?1 j N ( k ? r ) n ? N ?1 ~ ? ? X (k ) ?? e ? ? ? X (k ) N ? ? ?k ? ( r ? pn )? k ?0 ? n ?0 ? k ?0~ ~ ? NX ( r ? pN ) ? NX ( r )223-3周期序列的DFSN ?1 ?j 2? nr N1 ~ ~ ( n )e 因此, X (r ) ? ?x N n ?0 将r换成k , 则有1 ~ X (k ) ? N 1 ~ X (k ) ? N ~(n ) ? x ~ ( n )e ?xn ?0 N ?1 n ?0 N ?1 ? j2? kn N所以, 对于周期序列~ ( n ), 有 x ~ ( n )e ?x ~ X ( k )ej ? j 2? kn N?k ?0N ?12? kn N233-3周期序列的DFS通常将定标因子1/N移到 ~ ( n) 表示式中。 x即：~ X ( k ) ? ? ~ ( n )e xn ?0N ?1?j2? kn N( k ? 0,?1,?2,?) (n ? 0,?1,?2,?)~(n ) ? 1 x N~ ? X ( k )ek ?0N ?1j2? kn N说明： ~ ? x ( n) 可看作是由N个独立的直流和基频为及其谐波 ~ 的复指数序列线性组合成的；X ( k ) 是各个分量的加权系数 值。242? N3-3??周期序列的DFS有关离散傅立叶级数的意义由信号分解理论，周期为N的序列x(n)可用周 期为N的包含基频和谐波复指数序列来表示， 2? 2? j n j kn 该基频复序列为 e N ，其k次谐波序列为e N 。 2? 2? j ( k ? rN ) n j kn 由于周期性的存在： N e ? e N ，第N-1 次之后的谐波序列是可以在N-1次之前的谐波 序列中找到相等的谐波序列。故为避免歧义， 只认为由前N-1次谐波序列就可以合成周期序 2? ~ 列x(n)。即： ~(n) ? 1 N ?1 X (k )e j N kn (n ? 0,?1,?2,?) x? Nk ?0~ X (k )为第k次谐波的系数,即离散傅立叶级数。253-3周期序列的DFS3.离散傅氏级数的习惯表示法 通常用符号 WN ? e?j 2? N代入，则：正变换：~ X ( k ) ? DFS ?~( n )? x ? ? ~ ( n )e xn ?0 N ?1 ?j 2? nk N nk ? ? ~(n )WN x n ?0 N ?1反变换：~ ~( n ) ? IDFS X ( k ) x 1 ? NN ?1 2???~ ? nk ? X (k )WNk ?026j nk 1 ~ N ? X ( k )e ? N k ?0N ?13-3周期序列的DFS~ 4. X ( k )的周期性与用Z变换的求法 2? N ?1 ? j ( k ? mN ) n ~ 周期性： X (k ? mN ) ? ? ~(n )e N xn ?0? ? ~ ( n )e xn ?0N ?1?j2? kn N?e? j 2?mn? ? ~ ( n )e xn ?0N ?1?j2? kn N~ ? X (k ) ~ 这就是说，X (k )的周期为N , 只有N个不同值。273-3周期序列的DFS~ 用Z变换求 X ( k ) ：~ (n) 的一个周期内序列记作 x?n ? ,即 xx(n) =对~ ( n) x0 ,,0?n ?N-1 其他nx(n) 作Z变换，n ? ??X (Z ) ?? x(n) Z??n? ? x(n) Zn ?0N ?1?n283-3j Im ?Z ?周期序列的DFS如果令 Z ? e2 3 4 5 6 12? Nj2? k N，则有?j 2? kn NX (ej2? k N) ? ? x ( n )en ?0 N ?1 n ?0N ?1k=0 Re?Z ?7 (k=N-1)? ? ~ ( n )e x ~ ? X (k )?j2? kn N~ 可见，X ( k )是Z变换 X (Z )在单位圆上按等间隔角2π/N抽样而得，抽样点在单位圆上的N个等 分点上，且第一个抽样点为k =0。293-4DFS的性质一.线性令 和 都是周期为N的周期序列,如果 ~ X 1 ( k ) ? DFS ?~1 ( n)? x ~ X ( k ) ? DFS ?~ ( n)? x2 2则有~ ~ ~ (n) ? b~ (n)? ? aX (k ) ? bX (k ) DFS ?ax1 x2 1 2其中，a,b为任意常数。303-4DFS的性质二.序列的移位 如果~ ~( n )? ? X ( k ) DFS ?x则有：~ ~ (n ? m)? ? W ? mk X (k ) DFS ?x N ?ej 2? mk N~ X (k )313-4 证明：DFS的性质N ?1 n ?0DFS [ ~(n ? m)] ? x?~(n ? m)W nk x N令i=m+n,则 n=i-m； n=0 时，i=m; n=N-1时，i=N-1+m 所以DFS [ ~ (n ? m)] ? xN ?1? m i ?m~ (i )W ik ? W ? mk ?x N N? mk N?W~ (i )W ik ? W ? mk ~ (k ) x ?x N Ni ?032N ?1ik x * ~ (i )和 WN 都是以N为周期的周期函数。3-4DFS的性质三.调制特性 如果则有~ ~( n )? ? X ( k ) DFS ?x~ ~(n) ? X (k ? m) DFS W xmn N??333-4 证明：mn NDFS的性质N ?1 n ?0~ (n)] ? W mn ~ (n)W kn DFS [W x ? Nx N ~ (n)W ( k ? m ) n ??x Nn ?0 N ?1~ ? X ( k ? m)Wmn N?e2? ? j mn N?e?j2? ? j nm N? (e2? ?j n m N)时域乘以虚指数( e2? n N)的m次幂，频域搬移m。343-4DFS的性质四.周期卷积和1.如果~ ~ ~ Y (k ) ? X 1 (k ) X 2 (k )则：~ ~ (n) ? IDFS [Y (k )] y ? ? ~1 (m) ~2 (n ? m) ? ? ~2 (m) ~1 (n ? m) x x x xm ?0 m ?0 N ?1 N ?1353-4 证明：DFS的性质~ ~(n) ? IDFS [Y (k )] y ~ ~ ? IDFS [ X 1 (k ) X 2 (k )]1 ? N1 ? N~ ~ ? X 1 (k ) X 2 (k )WN kn ?k ?0N ?1~ ~ (m)W mk X (k )W ? kn ?? x1 N 2 Nk ?0 m ?036N ?1 N ?13-4DFS的性质1 ? N~ ~ (m)X (k )W ?( n ? m ) k ?? x1 2 Nk ?0 m ?0N ?1 N ?1~ (m)[ 1 ? ? x1 N m ?0N ?1N ?1~ ?( n ? m ) k ? X 2 (k )WN ]k ?0N ?1~ (m)~ (n ? m) ? ? x1 x2m ?0373-4DFS的性质2.两个周期序列的周期卷积过程 （1）画出 ~1 (m) 和 ~2 (m)的图形； x x （2）将~2 (m) 翻摺,得到 ~2 (?m) ? ~2 (0 ? m) x x x可计算出：~ (0) ? ~ (m) ~ (0 ? m) y ? x1 x2m ?05? 1? 0 ? 1? 0 ? 1? 0 ? 1? 1 ? 0 ? 2 ? 0 ? 1 ?1383-4DFS的性质~ (m) x10 123 ~mx2 (m)~ (?m) x2m计算区m393-4DFS的性质~ (1 ? m) x2~ (?m)右移一位，得到 ~ (1 ? m) x2 （3）将 x2m 可计算出： ~ y (1) ?m ?0~ (m) x (1 ? m) ? x1 25? 1?1 ? 1? 0 ? 1? 0 ? 1? 0 ? 0 ?1 ? 0 ? 2 ?1403-4DFS的性质~ (m) x10~ 1?m) 3 x ( 22m~ (1 ? m) x2m计算区 m413-4DFS的性质x x （4）将 ~2 (?m)再右移一位，得到 ~2 (2 ? m) ， 可计算出：~ ( 2) ? ~ ( m ) x ( 2 ? m ) y ? x1 2m ?05? 1? 2 ? 1?1 ? 1? 0 ? 1? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ?1 ?3（5）以此类推：~ (3) ? ~ (m) ~ (3 ? m) y ? x1 x2m ?05? 1? 1 ? 1? 2 ? 1? 1 ? 1? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ?4423-4DFS的性质同样，可计算出：~(4) ? 4, y~ ( n) y4 4 3 1 1 3~ (5) ? 3 yn计算区433-4DFS的性质3.频域卷积定理 如果 ~(n) ? ~1 (n) ~2 (n) y x x ，则~ Y ( k ) ? DFS ?~ ( n ) ? y ? ~ ( n )W nk ?y Nn ?0 N ?11 ? N 1 ? N?l ?0N ?1~ ~ X 1 (l ) X 2 ( k ? l ) ~ ~ X 2 (l ) X 1 ( k ? l )44?l ?0N ?13-4DFS的性质(例题)? P132-1.如下图，序列x(n)是周期为6的周期性序 列，试求其傅立叶级数的系数。453-4~ 解 : X(k ) ?DFS的性质(例题)?n ?0?5~( n )W nk x 6n ?0? j 2? 3k ? 8e 6 ? j 2? 4 k ? 6e 6 ? j 2? 5k ? 10e 6?5? j 2? nk ~ ( n )e 6 x? j 2? k ? 14 ? 12e 6? j 2? 2 k ? 10e 6计算求得:~ ~ X (0) ? 60 ; X (1) ? 9 ? j 3 3 ; ~ ~ X (3) ? 0 ; X (4) ? 3 ? j 3 ;~ X (2) ? 3 ? j 3 ; ~ X (5) ? 9 ? j 3 3 。46DFS的性质(例题) ~(n) ? x(( n)) . P133 ? 2. 设x(n) ? R4 (n), x 6 ~ ~ ~(n), X (k ) 。 试求X (k )并作图表示x~ 解 : X (k ) ?n ?03-4~(n )W nk ? ?x 65? j? k ? 1? e 3?en ?0 ? j 2? k 3?5? j 2? nk ~( n )e 6 x?e? j?k~ ~ ~ 计算求得：X (0) ? 4 ; X (1) ? ? j 3 ; X (2) ? 1 ; ~ ~ ~ X (3) ? 0 ; X (4) ? 1 ; X (5) ? j 3 。473-4DFS的性质(例题)483-4?DFS的性质(作业题)P133-3,4.493-4DFS的性质(作业题)?n ? 1, 0 ? n ? 4 P133 ? 3. 设x (n ) ? ? , h(n ) ? R4 (n ? 2) , ?0 ， 其它n ~ ~(n ) ? x (( n )) , 令 x h (n ) ? h(( n )) 6 , 6 ~ ~(n )与h (n ) 的周期卷积并作图。 试求x解：在一个周期内的计算值 ~ ~ ~(n ) ? ~(n ) * h (n ) ? ~(m)h (n ? m) y x ?xm503-4DFS的性质(作业题)513-4DFS的性质(作业题)P133 ? 4. 已知x (n )如图P3 ? 1所示, 试画出 x (( ?n )) 5 , x (( ?n )) 6 R6 ( n ), x (( n )) 3 R3 (n ) x (( n )) 6 , x (( n ? 3)) 5 R5 ( n ), x (( n )) 7 R7 ( n ) 等各序列。523-4DFS的性质(作业题)533-4DFS的性质(作业题)543-4DFS的性质(作业题)553-4DFS的性质? 应用MATLAB实现DFS/IDFS计算： ~ ~ 和 X 分别表示对应于原周期序列主周期 令 x x(n)和X(k)的列向量，则~ ~ ~, ~ ? 1 W * X X ? WN x x N NFunction [Xk]=dfs(xn,N)%Computes Discrete Fourier Series Coeffcients&&n=[0:1:N-1]; k=[0:1:N-1];&&WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n’*k;&&WNnk=WN.^ Xk=xn*WN563-4DFS的性质Function [xn]=idfs[Xk,N]%Computes Inverse Discrete Fourier Series&& n=[0:1:N-1]; k=[0:1:N-1];&&WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n’*k;&& WNnk=WN.^(-nk); xn=(Xk*WNnk)/N;573-5 DFT--有限长序列的离散频域表示一.预备知识1.余数运算表达式如果 n ? n1 ? mN， 0 ? n1 ? N ? 1 m为整数；则有： 此运算符表示n被N除，商为m，余数 为 n1 。 n1 是 ??n ??N 的解,或称作取余数,或说作n 对N取模值, 或简称为取模值, n模N。 ~ n ? x ??n ?? 视作将 x ?n ? 以周期N延拓. x??n ??N? n1? ?N583-5 DFT--有限长序列的离散频域表示 例如：(1)n ? 25, N ? 9??25??9(2)n ? 25 ? 2 ? 9 ? 7 ? 2 N ? n1 ?7n ? ?4, N ? 9??? 4??9n ? ?4 ? ?9 ? 5 ? ? N ? 5 ?5593-5 DFT--有限长序列的离散频域表示二.有限长序列x(n)和周期序列 ~ (n) 的关系 x~ ( n) ? xm ? ??? x(n ? mN ) ? x??n??N~ ( n) x?周期序列~ (n) 是有限长序列x(n)的周期延拓。 xx(n) =, ,0?n?N-1 其他n0或x(n) ? ~(n) RN (n) x ~ (n) 的主值序列。 有限长序列x(n)是周期序列 x603-5 DFT--有限长序列的离散频域表示 如：x(n)0~x ( n)N-1n...0 N-1...n定义从n=0到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间。613-5 DFT--有限长序列的离散频域表示~ 三.周期序列 X (k )与有限长序列X(k)的关系~ X (k ) ? X ??k ??N ~ X (k ) ? X (k ) RN ( k )~ 周期序列 X ( k ) 是有限长序列X(k)以N点 长作的周期延拓。~ 而有限长序列X(k)是周期序列 X ( k ) 的N点 长的主值序列。623-5 DFT--有限长序列的离散频域表示四.从DFS到DFT~ ~(n )? ? ~(n )W nk X (k ) ? DFS ?x ?x Nn ?0N ?1~ ~(n ) ? IDFS X (k ) ? 1 x N??~ ? nk ? X (k )WNk ?0N ?1从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0 到n=N-1,及k=0到k=N-1的主值区间进行。 因此可得到新的定义，即长度为N的有限长 序列的离散傅氏变换(DFT)的定义。633-5 DFT--有限长序列的离散频域表示nk X ( k ) ? DFT ?x (n )? ? ? x ( n )WN n ?0 N ?1, 0?k?N-1? nk N1 x (n ) ? IDFT ?X ( k )? ? N? X (k )Wk ?0N ?1, 0?n?N-1或者：~ X (k ) ? X (k ) RN (k ) x ( n ) ? ~( n ) R ( n ) xN643-5 DFT--有限长序列的离散频域表示?关于离散傅立叶变换的意义： 为了利用计算机进行频谱分析，需要在离 散的时域和频域上计算信号的有关参量（电压/ 电流幅值、频率分量等），所以需要一种数值 可计算的变换。由于一个周期序列总是可以用 成谐 波 关系 的 复指 数 序列 的 线性 组 合来 表示 （即频域采样的形式），由此给出了离散傅立 叶级数DFS的表示，提供了一种数值可计算离 散时间傅立叶变换DTFT的机理。然后将DFS推 广到有限长序列，即将一个有限长序列看作是 一个周期序列的主值区间，将该周期序列对应 的离散傅立叶级数在主值区间的值定义成有限 长序列的离散傅立叶变换DFT。653-6DFT的性质一.线性1.两序列都是N点时 如果DFT ?x1 (n )? ? X 1 (k )DFT ?x2 (n )? ? X 2 (k )则有：DFT ?ax1 (n) ? bx2 (n)? ? aX1 (k ) ? bX 2 (k )2. x1 (n)和 x2 (n)的长度N1和N2不等时，选择N ? max ?N1 , N 2 ? 为变换长度,对短者进行补零使 之达到N点长。663-6DFT的性质二.序列的圆周移位1.定义 一个有限长序列x(n) 的圆周移位定义为xm (n) ? x??n ? m??N RN ?n?这里包括三层意思： 1)先将 x(n) 进行周期延拓: ~(n) ? x??n ??N x ~(n ? m) ? x??n ? m?? 2)再进行移位: x N 3)最后取主值序列： xm (n) ? x??n ? m??N RN ?n ?673-6序列x(n)x(n)DFT的性质0N-1n683-6DFT的性质~(n) ? x(( n)) x N周期延拓0 左移2n~(n ? 2) ? x??n ? 2?? x N0n693-6DFT的性质x?(n ? 2) ?N RN (n)取主值0N-1n703-62.圆周移位的含义DFT的性质由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1 这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出 时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进 来。如果把 x(n)排列在一个N等分的圆周上，序 列的移位就相当于x(n)在圆上旋转，故称作圆周 移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期 序列 : ~ ( n) 。 x713-6DFT的性质2 3 41n=0 5 N=6左移 ? 顺时723-6DFT的性质三.共轭对称性 （不要求 ）1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反 对称分量分别定义为~ (n) ? 1 [ ~ (n) ? ~ * (?n)] ? 1 [ x(( n)) ? x* (( N ? n)) ] xe x x N N 2 2 ~ (n) ? 1 [ ~ (n) ? ~ * (?n)] ? 1 [ x(( n)) ? x* (( N ? n)) ] xo x x N N 2 2同样，有~ ( n) ? ~ ( n) ? ~ ( n) x xe xo ~ ( n) ? ~ * ( ? n) x xe e~ ( n) ? ? ~ * ( ? n) xo xo733-6DFT的性质2.有限长序列的圆周共轭对称分量与共轭反对称分量有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称 分量分别定义为 ~ (n) R (n) ? 1 [ x(( n)) ? x* (( N ? n)) ]R (n) xep (n) ? xe N N N N 2 ~ (n) R (n) ? 1 [ x(( n)) ? x* (( N ? n)) ]R (n) xop (n) ? xo N N N N 2 由于 ~ ~ ~x(n) ? x (n) RN (n) ? [ xe (n) ? xo (n)]RN (n) ? ~ ( n) R ( n) ? ~ ( n) R ( n) x xe N o N所以x(n) ? xep (n) ? xop (n)74这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的分量。3-6DFT的性质3.共轭对称特性之一 如果X (k ) ? DFT [ x(n)]，则DFT [ x* (n)]? X * (( ?k )) N RN (k ) ? X * (( N ? k )) N RN (k )证明：nk DFT [ x* (n)] ? ? x* (n)WN RN (k )? ? ? [? x(n)WN nk ]* RN (k ) ? [? x(n)WNNnWN nk ]* RN (k ) n ?0 n ?0N ?1 n ?0N ?1n ?0 N ?1N ?1( ? [? x(n)WN N ?k ) n ]* RN (k ) ? X * (( N ? k )) N RN (k )753-6DFT的性质4.共轭对称特性之二 如果X (k ) ? DFT [ x(n)]， 证明：则DFT [ x* (( ?n)) N RN (n)] ? X * (k )nk DFT [ x* (( ?n)) N RN (n)] ? ? x* (( ?n)) N RN (n)WN n ?0 ? ? [? x(?n)WN nk ]* ? [ n ?0 N ?1 n ?0 N ?1 ? ( N ?1) n ?0 nk x(n)WN ]* ? N ?1nk ? [? x(n)WN ]* ? X * (k )可知：x (n) ? X (( ?k )) N RN (k ) x* (( ?n)) N RN (n) ? X * (k )* *763-65.共轭对称特性之三DFT的性质如果X (k ) ? DFT [ x(n)]，则DFT {Re[ x(n)]}1 ? [ X (( k )) N ? X * (( N ? k )) N ]RN (k ) ? X ep (k ) 2 1 ? 证明： Re[ x(n)] ? [ x(n) ? x* (n)] 2 1 ? DFT {Re[ x(n)]} ? {DFT [ x(n)] ? DFT [ x* (n)]} 2 1 ? [ X (k ) ? X * (( N ? k )) N RN (k )] 2 1 ? [ X (( k )) N ? X * (( N ? k )) N ]RN (k ) ? X ep (k ) 2 复数序列实部的DFT ? 该序列DFT的圆周共轭对称分量。 773-66.共轭对称特性之四DFT的性质如果X (k ) ? DFT [ x(n)]，则DFT { j Im[ x(n)]} 1 ? [ X (( k )) N ? X * (( N ? k )) N ]RN (k ) ? X op (k ) 2 证明： ? j Im[ x(n)] ? 1 [ x(n) ? x* (n)]21 ? DFT { j Im[ x(n)]} ? {DFT [ x( n)] ? DFT [ x* (n)]} 2 1 ? [ X (k ) ? X * (( N ? k )) N RN (k )] 2 1 ? [ X (( k )) N ? X * (( N ? k )) N ]RN (k ) ? X op ( k ) 2 复数序列虚部乘以j的DFT ? 该序列DFT的圆周共轭反对称分量。783-6DFT的性质7.共轭对称特性之五、六 同样，可证明： Re[ X (k )] ? DFT [ xep (n)]，j Im[ X (k )] ? DFT [ xop (n)]8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性(1)、X (k ) ? X ep (k ) ? X op (k )* * (2)、X ep (k ) ? X ep (? k ) ? X ep (( ? k )) N RN ( k ) * ? X ep (( N ? k )) N RN (k ) * * (3)、X op (k ) ? ? X op (? k ) ? ? X op (( ? k )) N RN ( k ) * ? ? X op (( N ? k )) N RN (k )793-6 （1）预备知识：a.循环反转：DFT的性质9.实、虚序列的对称特性? x(0), n ? 0 x(( ?n)) N ? ? ? x( N ? n),1 ? n ? N ? 1同理，对于DFT，有：? X (0), k ? 0 X (( ?k )) N ? ? ? X ( N ? k ),1 ? k ? N ? 1803-6DFT的性质b.圆周共轭对称 若x(n)是一个N点实序列，则 x(n) ? x* (n) ， 所以由共轭对称特性之一，得 X (k ) ? X * ((?k )) N RN (k ) 这个对称性称为圆周共轭对称性。 (2)当x(n)为实序列时，根据特性之三，则 X(k)=Xep(k) 又据Xep(k)的对称性： * X ep (k ) ? X ep (( N ? k )) N RN (k )? X (k ) ? X * (( N ? k )) N RN (k )813-6这意味着：DFT的性质| X (k ) |?| X (( ?k )) N |? 循环 / 圆周偶序列 ?X (k ) ? ??X (( k )) N ? 循环 / 圆周奇序列即设想将DFT样本安排在一个圆上并使k=0和k=N重 合，则这些样本对k=0将是对称的。所以计算X(k)仅需对 k=0,1,…,N/2(N为偶数);或者对k=0,1,…,(N-1)/2(N为奇数) 。(例子见后面使用MATLAB的有关例题及下页的图例)当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则X(k)=Xop(k)* X op (k ) ? ? X op (( N ? k )) N RN (k ) 又据Xop(k)的对称性：? X (k ) ? ? X * (( N ? k )) N RN (k )823-6DFT的性质实序列的圆周共轭对称性质示意图833-6N ?1DFT的性质四.DFT形式下的帕塞瓦定理1 N ?1 * * ? x(n) y (n) ? N ? X (k )Y (k ) n ?0 k ?0 这表明序列在时域和频域计算的能量是相等的。843-6DFT的性质五、圆周卷积和1.时域卷积定理且x1 (n) 和 x2 (n) 均为长度为N的有限长序列， DFT ?x1 (n)? ? X 1 (k ) ，DFT ?x2 (n)? ? X 2 (k )设 如果 Y (k ) ? X 1 (k ) ? X 2 (k ) ，则y (n) ? IDFT ?Y (k )? ? N ?1 ? ? ? ? x1 (m) x2 ??n ? m ??N ? RN ?n ? ? x1 ( n) N x2 (n) ?m ?0 ? ? N ?1 ? ? ? ? x2 (m) x1 ??n ? m ??N ? RN (n) ? x2 (n) N x1 (n) ?m ?0 ?853-6DFT的性质~ (n), ~ (n) x2 作周期卷积和后， 证明： 此结论相当于将 x1再取主值序列。 ~ ~ ~ 将 Y (k ) 周期延拓： Y（k） X1 (k ) X 2 (k ) ? 则有：~ ~( n ) ? IDFS Y ( k ) yN ?1 m ?0??? ? ~1 ( m ) ~2 ( n ? m ) x x ? ? ? ? ? x1 (( m )) N x2 ??n ? m ??N ? ? m ?0 ?N ?1863-6DFT的性质，所以：在主值区间 0 ? m ? N ? 1, x1 (( m)) N ? x1 (m)y ( n) ? ~ ( n) R N ( n) y ? N ?1 ? ?? x1 (m) x2 ??n ? m ??N ? R N ?n ? ?m ?0 ? ? ? ? x1 (n) N x2 (n)?同样可证：? N ?1 ? y (n) ? ? ? x2 (m) x1 ??n ? m ??N ? RN (n) ?m ?0 ? ? x2 (n) N x1 (n)873-62.时域圆周卷积过程DFT的性质x1 (n)0x2 (n)N-1n0N-1n883-6DFT的性质~ ( ? m) x2x2 ??0 ? m ??N RN ( m)0x2 ??1 ? m ??N RN (m)m0x2 ??2 ? m??N RN (m)m0x2 ??3 ? m??N RN (m)m0m893-66 m ?0 6DFT的性质y (0) ? [ ? x1 (m) x2 ((0 ? m)) 7 ]R7 (m) ? 1?1 ? 1?1 ? 1? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ?1 ? 0 ?1 ? 2 y (1) ? [ ? x1 (m) x2 ((1 ? m)) 7 ]R7 (m) ? 1?1 ? 1?1 ? 1?1 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ?1 ? 3m ?0 6y (2) ? [ ? x1 (m) x2 (( 2 ? m)) 7 ]R7 (m) ? 1?1 ? 1?1 ? 1?1 ? 0 ?1 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ? 3m ?0 6y (3) ? [ ? x1 (m) x2 ((3 ? m)) 7 ]R7 (m) ?1? 0 ? 1?1 ? 1?1 ? 0 ?1 ? 0 ?1 ? 0 ? 0 ? 0 ? 2 ? 2m ?0y ( 4) ? 1 y (5) ? 0 y (6) ? 1903-6最后结果：DFT的性质y(n) ? x1 (n) N x2 (n)3 3 2 1 120nN-1913-6DFT的性质六、圆周相关 （不要求）? 线性相关定义： r (m) ? xy?圆周相关定理：若Rxy (k ) ? X (k )Y * (k ), 则N ?1 n ?0 *n ? ??x(n ) y * (n ? m) ??rxy (m) ? IDFT [ Rxy (k )] ? ? y (n ) x(( n ? m)) N RN (m) ? ? x(n ) y * (( n ? m)) N RN (m)n ?0N ?1923-6DFT的性质七.有限长序列的线性卷积与圆周卷积1.线性卷积x1 (n) 的长度为 N1 (0 ? n ? N1 ?1) x2 (n)的长度为 N 2 (0 ? n ? N 2 ? 1) 它们的线性卷积为yl (n) ?m ? ??? x (m) x (n ? m) ? ? x (m) x (n ? m)1 2 m ?0 1 293?N1 ?13-6x1 (m)的非零区间为 x2 (m)的非零区间为DFT的性质两不等式相加得 也就是 yl (n) 不为零的区间，所以 yl (n)是(N1+N2-1)点 的有限长序列. x1 (n) 1 例如:x1(n) 是 3 点 长序列； x2(n) 是 4 点 长序列0 ? m ? N1 ? 1 0 ? n ? m ? N2 ?1 0 ? n ? N1 ? N2 ? 201 2 x2 (n)n1 0 1 2 3 n943-6x1 (m)DFT的性质1 0x2 (?m)1 2myl (0) ? 1?1 ? 1-3 -2 -1x2 (1 ? m)mmx2 (2 ? m)yl (1) ? 1?1 ? 1?1 ? 2myl (2) ? 1?1 ? 1?1 ? 1?1 ? 3953-6x1 (m)DFT的性质10 1 2x2 (3 ? m)mmyl (n)yl (3) ? 1?1 ? 1?1 ? 1?1 ? 33 3 2 12 10所得线性积分yl(n)是 3+4-1=6点长序列。同样yl (4) ? 2, yl (5) ? 11 2 3 4 5n963-6DFT的性质2.用圆周卷积计算线性卷积圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主 值序列. x1 (n) 的长度为N1 , x2 (n) 的长度为N 2 ,先构造长 度均为L长的序列, 即将 x1 (n), x2 (n)补零点;然后 再对它们进行周期延拓 ，即 x1 ?(n) ?L , x2 ?(n) ?L 所以得到周期卷积：~(n) ? x ?(m) ? x ??n ? m ?? y ?1 L2 Lm ?097L ?13-6DFT的性质由于0 ? m ? L ? 1, 故x1 ??m??L ? x1 ?m?,因此~(n ) ? x (m) x ??n ? m ?? ? x (m) x (n ? rL ? m) y ?1 2 ?1 ?2 Lm ?0 m ?0 r ? ?? L ?1 L ?1 ?? ?r ? ??m ?0 ??? x (m) x (n ? rL ? m)1 2? L ?1r ? ??? y (n ? rL)l983-6DFT的性质可见,周期卷积为线性卷积的周期延拓,其 周期为L.由于 yl 有 N1 ? N 2 ? 1个非零值,所以周 期L必须满足: L ? N1 ? N 2 ? 1,才不会造成混迭。 又由于圆周卷积是周期卷积的主值序列,所 以L点圆周卷积是线性卷积以L为周期的周期延 拓序列的主值序列,即? ? ? ~( n ) R ( n ) ? y (n ) ? y L ? ? yl (n ? rL )? RL ( n ) ? r ? ?? ? x1 ( n ) L x2 (n) ? x1 (n) ? x2 (n),当L ? N1 ? N 2 ? 1时993-6P133 ? 5 (4)解：DFT的性质(例题)试求以下有限长序列的N点DFT (闭合形式表达式) x(n) ? nRN (n)N ?1 n ?0nk （4）x ( n ) ? nRN ( n ) ? X ( k ) ? ? nWN RN ( k ) ( W X ( k ) ? ? nWNn ?1) k RN ( k ) k N n ?0 k N N ?1X ( k )(1 ? W ) ? ? nWn ?0 N ?1N ?1nk N( k 2 3 ? ? nWN n ?1) k ? (WN ? 2WN k ? 3WN k ? ? ? ? ? n ?0N ?1( 2 3 ( ( N ? 1)WN N ?1) k ? [WN k ? 2WN k ? ? ? ? ? ( N ? 2)WN N ?1) k ? N ? 1]) RN ( k ) kN 1 ? WN k ? ( ?( N ? 1) ? ?W ) RN ( k ) ? ?( N ? 1) ? ? WN ?0 ? ? N k 1 ? WN n ?1 nk N? X (k ) ??N RN ( k ) k 1 ? WN1003-6DFT的性质(例题)P133 ? 7.在下图中画出了两个有限长序列 , 试画出它们的六点圆周卷积.X1(n) 8 X2(n) 3305n035n解：? 5 ? y (n ) ? ? ? x1 (m) x2 (( n ? m)) 6 ? R6 (n ) ? m ?0 ?y(n)21 2418 9 012 155n1013-6P134 ? 9. 设有两序列DFT的性质(例题)? x ( n ), x(n) ? ? ?0, 0?n?5 其他n 0 ? n ? 14 其他n? y ( n ), y (n) ? ? ?0,各作15点的DFT , 然后将两个DFT相乘, 再求乘积的IDFT , 设所得结果为f ( n ),问f ( n )的哪些点对应于x ( n ) ? y ( n )应该得到的点。解：序列 x(n) 的点数为 N 1 ? 6 , y (n) 的点数为 N 2 ? 15 故 又 x(n) * y (n) 的点数应为：N ? N 1 ? N 2 ? 1 ? 20 f (n) 为 x(n) 与 y (n) 的 15 点的圆周卷积，即L ? 15所以，混叠点数为 N ? L ? 20 ? 15 ? 5 。用线性卷积结果 以 15 为周期而延拓形成圆周卷积序列 f (n) 时，一个周期 内在 n ? 0 到 n ? 4 (? N ? L ? 1) 这5点处发生混叠，即 f (n) 中只有 n ? 5 到 n ? 14 的点对应于 x(n) * y (n) 应该得到的点。1023-6DFT的性质(例题)由上题可得到推论：对于两个因果的长度 分别为N1 和N2 的有限长序列，当取N=max(N1, N2)作圆周卷积时，前(M-1)个样本与两序列的 线性卷积相比是有误差的，后面的(N-M+1)个 样本是与线性卷积一致的,这里M=min(N1, N2)。1033-6?DFT的性质(作业题)P134-8,101043-6DFT的性质(作业题)P134 ? 8. 如图表示一个 5 点序列 x(n); (1) 试画出 y1 (n) ? x(n) ? x(n); (2) 试画出 y2 (n) ? x(n)⑤ x(n) ; (3) 试画出 y3 (n) ? x(n) ⑩ x(n)。解： 结果见下列各图。1053-6DFT的性质(作业题)1063-6DFT的性质(作业题)对比图1和图3可见：图1所表示的9点长的线 性卷积可由图3所表示的10点长的圆周卷积的前9 点得到。1073-6?n ? 1, x(n) ? ? ? 0 , ?? 1, y(n) ? ? ? 1,DFT的性质(作业题)0?n?3 4?n?6 0?n?4 5? n ?6P134 ? 10.已知两个有限长序列为试用作图表示 x(n) , y(n) 以及 f (n) ? x(n) ⑦ y (n )解：结果见下图：1083-6DFT的性质(作业题)1093-6?DFT的性质应用MATLAB实现DFT的计算令 x 和 X 分别表示对应于原周期序列主周 期x(n)和X(k)的列向量，则由DFT/IDFT的定义 式得： X ? W x, x ? 1 W * XNNNfunction [Xk]=dft(xn,N) %Computes Discrete Fourier Transform &&n=[0:1:N-1]; k=[0:1:N-1]; &&WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n’*k; &&WNnk=WN.^ Xk=xn*WN1103-6DFT的性质function [xn]=idft[Xk,N]%Computes Inverse Discrete Transform&& n=[0:1:N-1]; k=[0:1:N-1];&&WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n’*k;&& WNnk=WN.^(-nk); xn=(Xk*WNnk)/N;1113-6DFT的性质? 例：设x(n)是4点序列为：?1,0 ? n ? 3 x(n) ? ? ?0, 其余na.计算离散时间傅立叶变换，画出它的幅度图； b.计算x(n)的4点DFT。 解：a.离散时间傅立叶变换的幅度求得为： sin( 2? ) ? j 3? / 2 j? | X (e ) |? e sin( ? / 2) 见下图。1123-6DFT的性质b.用MATLAB计算DFT的幅度，得下图：&&x=[1,1,1,1];k=[0:3];N=4; &&X=dft(x,N); &&magX=abs(X); &&subplot(2,2,1);stem(k,magX)1133-6DFT的性质本图中，虚线是手工加的，以方便与上一图作比较。 可见，本图正确给出了 X (e j? )的4个样本值，但仅有一个是 非零样本。原因在于这个4点的序列x(n)的值全为1，它的 周期延拓是一个常数或直流信号，所以对应的DFT只在 j? k=0处有非零样本值。那如何得到 X (e )的其它样本值呢？1143-6DFT的性质为此，应该增加采样的密度，即增大N。现令N=8， 即通过将x(n)补上4个零值而构成一个8点的序列来做 DFT。此时的频率分辨率为2π/8= π/4. 见下图：虚线是手工添加的。在MATLAB中，补零是用zeros() 函数实现的。可见，补零能实现画出高密度的谱，但并没 有给出高分辨率的谱，因为没有任何新的信息附加到这个 信号上；为此，需要从观察中获取更多的数据。1153-6DFT的性质对序列的DTFT与DFT之间关系的讨论：设一个序列x(n)的离散时间傅立叶变换DTFT 为 X (e j? ) ，由序列的DTFT的定义:X (e ) ?j? n ? ??x(n )e ? jn? , ??可知，在序列x(n)后补若干零值，是不会对 X (e j? ) 有影响的。但对于序列x(n)的DFT而言，由DFT定义：nk X (k ) ? ? x(n)WN ? ? x(n)e n ?0 n ?0 N ?1 N ?1 ?j 2? kn N可得，在序列x(n)后补零来计算N点DFT，求得的 频率点间的间隔缩小了，但仍然是序列x(n)的DTFT的 抽样值。1163-6DFT的性质? 例：已知序列： x(n) ? cos(0.25?n) ? cos(0.5?n) 经计算可知，该序列是周期为8点长的周期序列，在频 率上包含有两个频率：? ? 0.25?和? ? 0.5? 对于该周期序列，其DTFT即DFS，应取该序列的一个 周期长，即8点来计算其DFS或DFT，得下图：543 2 1543000.511.521173-63.5 3 2.5 2 1.5 1DFT的性质如果只取序列的前6点来计算DFS/DFT，则得下图：0.50 0 0.5 1 1.5 2可见，该频谱图中有4个非零频点，这是与该序列的已 知频点不同的。若根据这6个频谱样本是不能正确求得该序 列的DTFT的。那么通过在序列的前6个点后补充多个零点， 是否可以将正确的频点“分辩”出来呢？1183-6DFT的性质以下两图分别是补充了10个和30个零后求得的DFT：4 4332211000.511.52000.511.52可见，所得到的频谱虽然频点多了，但只是密度更高些 ，并没有使得正确的频点得以“分辨”出来。那若对该序列 取比8点更多的点后求得的DFT频谱图会是怎样的呢？1193-6DFT的性质左图为序列取12个点计算得到的DFT频谱图；右图为 序列取16个点计算得到的DFT频谱图。可见，多取序列的 点数来计算DFT并不一定能提高频谱的“分辨率”，反倒 可能会得到不正确的频点信息（当点数不是周期的整倍数 时）；而在点数取周期的整倍数时，仍然可以得出正确的 频点信息，虽然幅值会相对增加。8 10 8 6 4642 2 0000.511.5200.511.521203-6DFT的性质? 序列的循环/圆周移位的MATLAB表示：function y=cirshftt(x,m,N)&&If length(x)&N && &&end &&x=[x zeros(1,N-length(x))]; &&n=[0:1:N-1]; &&n=mod(n-m,N); &&y=x(n+1);121error(‘N must be &= the length of x’)3-6DFT的性质? 已知一个11点序列x(n)=10*(0.8)n，求出并画出 x((n-6))15R15(n)。 &&n=0:10; x=10*(0.8).^n; &&y=cirshftt(x,6,15); &&n=0:14; x=[x zeros(1,4)]; &&subplot(2,1,1);stem(n,x);title(“original sequence’); &&xlabel(‘n’); ylabel(‘x(n)’); &&subplot(2,1,2);stem(n,y); &&title(‘Circularly shifted sequence, N=15’); &&xlabel(‘n’); ylabel(‘x((n-6) mod 15)’);1223-610 8 6 4 2 0DFT的性质original sequencex(n)0246 n8101214Circularly shifted sequence, N=15 10 8 6 4 2 0x((n-6) mod 15)0246 n81012141233-6DFT的性质? 序列的循环/圆周卷积的MATLAB表示： function y=circonvt(x1,x2,N) &&if length(x1)&N && error(‘N must be &= the length of x1’) &&end &&if length(x2)&N && error(‘N must be &= the length of x2’) &&end &&x1=[x1 zeros(1,N-length(x1))]; &&x2=[x2 zeros(1,N-length(x2))]; &&m=[0:1:N-1];1243-6DFT的性质&&x2=x2(mod(-m,N)+1);&&H=zeros(N,N);&&for n=1:1:N&&H(n, :)=cirshftt(x2,n-1,N);&&end&&y=x1*H’;1253-6DFT的性质? 设x1(n)和x2(n)是如下给出的两个4点序列：x1(n)={1,2,2,1}, x2(n)={1,-1,-1,1}a.求它们的线性卷积x3(n); b.计算圆周卷积x4(n)使它等于x3(n). 解： &&x1=[1,2,2,1];x2=[1,-1,-1,1];&&x3=conv(x1,x2)x3=1 1 -1 -2 -1 1 1 所以x3(n)是一个7点序列为{1,1,-1,-2,-1, 1, 1}; 为使x4(n)等于x3(n)，必须N&=7，现选N=7，则得1263-6&&x4=circonvt(x1,x2,7)DFT的性质x4=1 1 -1 -2 -1 1 11273-6DFT的性质? 块卷积及其MATLAB实现考虑计算一个连续输入的序列与一个FIR滤波 器进行卷积运算来求得输出响应，为了避免大的延 迟，必须将这个无限长的输入序列分割成较小的部 分块，利用DFT处理每一段，最后从每段输出中组 装成输出序列。这一过程称为块卷积运算。假设序列x(n)分割为每段为N点的序列，而FIR 滤波器的单位脉冲响应是M点序列，且M&N，则由 以前的推论，输入块和脉冲响应之间的N点循环/圆 周卷积将产生一块输出序列，其中前M-1个样本是 不正确的（对应于两序列的线性卷积）；为了校正 这个问题，将分成每一段与前一段有M-1个样本的1283-6DFT的性质重叠，保留最后N-M+1个输出样本，并最后将这 些输出串接成一个输出序列。为校正第一个输出 块中的前M-1个样本，将在第一个输入块中的前 M-1个样本均置为0。该过程称为块卷积的重叠保 留法。例：设x(n)=n+1,0&=n&=9和h(n)={1,0,-1}，计算两序列6点 的圆周卷积来求两序列的线性卷积。 解：此处，M=3，则重叠样本为M-1=2个；x(n)是10点序 列，在最初一段的开始需要补2个0值；又N=6，故需要 x(n)将分成3段： x1(n)={0,0,1,2,3,4};x2(n)={3,4,5,6,7,8};x3(n)={7,8,9,10,0,0}. 现计算每一段与h(n)的6点圆周卷积如下： y1(n)={-3,4,1,2,2,2};y2(n)={-4,-4,2,2,2,2};y3(n)={7,8,2,2,-9,-10}.1293-6DFT的性质将每段输出的前2个样本舍弃后，组合而成的输出为： y(n)={1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,-9,-10} 这与两序列的线性卷积所得的结果是一致的。? 用MATLAB来实现重叠保留法运算：&&function [y]=ovrlpsav(x,h,N) &&Lenx=length(x); M=length(h);&&M1=M-1;L=N-M1;&&h=[h zeros(1,N-M)]; &&x=[zeros(1,M1),x,zeros(1,N-1)]; &&K=floor((Lenx+M1-1)/(L));1303-6&&Y=zeros(K+1,N);DFT的性质&&for k=0:K&&Xk=x(k*L+1:k*L+N); &&Y(k+1,:)=circonvt(xk,h,N); &&end &&Y=Y(:,M:N)’;&&y=(Y(:))’;对上例，可得： &&n=0:9;x=n+1;h=[1,0,-1];N=6; &&y=ovrlpsav(x,h,N)1313-7 抽样Z变换--频域抽样理论一.如何从频域抽样恢复原序列1.两种抽样时域抽样: 对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其 进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频 谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复 原信号。 频域抽样: 对一N点有限长序列(时间有限序列)进行 DFT所得x(k)就是序列傅氏变换的N点均匀采样， 所以DFT就是频域抽样。1323-7 抽样Z变换--频域抽样理论 2.由频域抽样恢复序列一个绝对可和的非周期序列x(n)的Z变换为X (Z ) ?n ? ??x ( n ) Z ?n ??由于x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连 续,也即其Z变换收敛域包括单位圆。这样,对 X(Z)在单位圆上以2π/N为间隔等份抽样,就得到 ~ 周期序列 X ( k )~ X (k ) ? X ( Z )? z ?WN k?n ? ??? x(n)W?nk N1333-7 抽样Z变换--频域抽样理论~ 对 X ( k ) 进行反变换,并令其为 ~N (n) ,则 x~ ~ ( n ) ? IDFS X ( k ) ? 1 xN N 1 ? N? N ?1 ???~ ? nk ? X (k )WNk ?0N ?1? mk ? ? nk ? ?m? x(m)WN ?WN k ?0 ? ? ?? ??1 ? ?? m ? ?? ? N?Wk ?0N ?1( m ?n ) k N? ?x ( m ) ?1343-7 抽样Z变换--频域抽样理论1 N ?1 ( m ? n ) k 1 , m=n+rN , ( ) ? WN ? 0 , 其他m N k ?0m ? ?? ? r ? ??；m ? ? ? r ? ?； 所以 ~N (n) ? xr ? ??? x(n ? rN )?~ 可见,由 X (k ) 得到的周期序列~ (n) 是非周期序列x(n)的周期延拓。 xN 也就是说,频域抽样造成时域周期延拓。1353-7 抽样Z变换--频域抽样理论 3.频域抽样不失真的条件 a.当x(n)不是有限长序列时，在时域上进行周期 延拓会造成混叠现象； b.当x(n)为长度为M的有限长序列时,只有N?M 时,才不会造成混叠，才能不失真地恢复信号, 即xN (n) ? ~N (n) RN (n) xr ? ???? x(n ? rN ) R?N(n) ? x(n), N ? Mc.对于长度正好为N点的有限长序列，可以利用 它的Z变换在单位圆上的N个均分点的抽样值精 确地表示。即通过对 X (k ) 求反变换来求得。1363-7 抽样Z变换--频域抽样理论j?二.由X(k)来表达 X(Z)与 X (e ) 的问题――内插公 式1.由X(k)恢复X(Z) 有限长序列x(n),（0?n?N-1）的Z变换为X ( Z ) ? ? x ( n) Z ? nn ?0N ?11 由于 x(n) ? N? X (k )WN nk ，所以（见下页！） ? k ?0137N ?13-7 抽样Z变换--频域抽样理论? 1 N ?1 ? ?n 1 N ?1 ? N ?1 ? nk ?n ? X ( Z ) ? ? ? ? X (k )WN?nk ? Z ? ? ?? WN Z ? X (k ) N k ?0 ? n ?0 n ?0 ? N k ?0 ? ? 1 N ?1 ? ? 1 ? WN? k Z ?1 ? WN? 2 k Z ? 2 ? ? ? WN?( N ?1) k Z ?( N ?1) X (k ) N k ?0N ?1??1 N ?1 ? 1 ? WN? Nk Z ? N ? ?? 1 ? W ?k Z ?1 N k ?0 ?????? ? X (k ) ?j 2? Nk N1 ? Z ?N ? NN ?1X (k ) ? 1 ? W ?k Z ?1 k ?0 N?NN ?1(WN? Nk ? e? e j 2k? ? 1)N ?1 1? Z ? ? X (k ) ? ? X (k )? k ( Z ) ? k ?1 N 1 ? WN Z k ?0 k ?0??1383-7 抽样Z变换--频域抽样理论 上式就是由X(k)恢复X(Z)的内插公式,其中1? Z 1 z ?1 ?k (Z ) ? ? ? k ?1 N 1 ? WN Z N z N ?1 ( z ? WN?k )N?N??称作内插/插值函数。1393-7 抽样Z变换--频域抽样理论 2.内插函数的特性 将内插函数写成如下式:1 z N ?1 ?k (Z ) ? N z N ?1 ( z ? WN?k )j Im?Z ?Z ?1。。e。j2? k N。 。 。。Re?Z ?1403-7 抽样Z变换--频域抽样理论1 z N ?1 ?k (Z ) ? ? N z N ?1 ( z ? WN k )令分子为零,即|z|=1,则在单位圆的DFT抽样点 2? j r 上 z ? e N , r ? 0,1,?k ,?, N ? 1 有N个零点。令分母 2? j k 为零,得在单位圆的DFT抽样点 z ? WN?k ? e N 为 一 2? j k 阶极点, z=0为(N-1)阶极点。但是极点 z ? e N 与r =k处的零点相消。这样，内插函数在本抽样点r 2? j k =k处不为零，即在 z ? e N 处的值非零；而在其 它(N-1)个抽样点上都是零值，在抽样点之间的值 是非零值。1413-7 抽样Z变换--频域抽样理论 3.频率响应 单位圆上的Z变换即为频率响应, 将 Z ? e j? 代入X ( e ) ? ? X ( k )?k ( e )j? j? k ?0 N ?14.内插函数的频率特性 ?N 1? Z j? 将z ? e 代入?k ( Z ) ? N ?1 ? WN?k Z ?1 ?1 1? e 1 ?k e ? ? 2? ? ? ? j ? ? ?k ? N N ? j (? ? 2? k ) 2 ? j ?? ? ? 2N? k ?? 2 ? j (? ? 2? k ) 2 ? ? 1? e ? N ? e N ?e ? ?e N ? ? ? ? ?? ?j?? jN?e?jN? 2? j N2? ? j N2? ? ?e ? e ? ? ? ? ?1423-7 抽样Z变换--频域抽样理论? ? ?k ? N? sin ? N ( ? )? 2? ? N ?1 k? ? ? N ?1 ? sin ? j? ?? ? ?? ? j ( N ?1) ? j ? 1 1 ? 2 N ?e N N ? 2 ? 2 ? 2 ? ? e ? e 2? N N ? ? ?? ? ? sin ?(? ? k ) / 2? sin ?( ? k )? N ? ? ? 2 N ?N? ? N ?1 ? sin ? j? ? 2? ? 1 ? j? 2 e ? 2 ? ? 令?k ?e ? ? ? ? ? ? k ?, 其中? ?? ? ? N ? N sin ? ? 2 所以 N ?12? ? X ?e ? ? ? X (k )? ? ? ? N ? k ?0j?? k? ?? (? ) ? 1 ;当? ? i 2? (i ? 1,2,?, N ? 1) 时， (? ) ? 0. ? 当? ? 0 时，N1433-7 抽样Z变换--频域抽样理论2? ? ?0, ? ? i N ? ?i , i ? k 2? ? ? ? 所以? ? ? ? k ??? 2? N ? ? ? 1，? ? k ? ?k ? N ?即在本抽样点 ?k ? k它抽样点 ? ? i2? ? 2? ? 上，? ? ? ? k ? ? 1；而在其 N ? ? N2? ? ?i , i ? k NN ?上，? ? ? ? k? ?2? ? ??0 N ?；在抽样点之间， ? ? ? k 2? ? ? 0 。 ?? ??2? ? ? ? ?? ? k ? 整个 X (e ) 就是由N个 ? N ? 函数分别乘上 X (k )j?后求和而得。1443-7 抽样Z变换--频域抽样理论 当N=5时, ?0 ?? ?的幅度特性 ?0 ?? ? 和相位特性 如下图： N ?1 ? ?? ? 2 其中，?0 ?? ?N? sin 1 2 ? N sin ? 25? sin 1 2 ? 5 sin ? 2N ?1 ? ?? ? ? ?2? 21453-7 抽样Z变换--频域抽样理论? ?? ?N=5? 2???02?? ?? ?N?2???1463-7 抽样Z变换--频域抽样理论X ?e j? ? 与X(k)的关系 5.2? ? ? X ?e ? ? ? X (k )? ? ? ? k? N ? ? k ?0 2? ? ? 由于? ?? ? k ? 的特性可知, 在频率为每个 N ? ? 抽样点上时，其值为1, 故 X e j? 就精确等于 X(k)。即j? N ?1? ?X e? ?j?X ?e j? ?等于加权的内 而在频率为抽样点之间的值时, 2? 插函数值 X ?k ?? ? ? ? k ? (k ? 0,1,?, N ? 1) 叠加而得。 ? ?? N ?147? ? ? k 2N? X (k ), k ? 0,1,?, N ? 13-8 用DFT计算模拟信号的傅氏变换一.对连续时间非周期信号傅氏变换的DFT逼近连续时间非周期信号傅氏变换对X ? j? ? ? ? 1 x?t ? ? 2?? ?? ?x(t )e ? j?t dt X ? j? ?e j?t d????为利用某未知序列的DFT来求 X ( j?) 及x(t)，须先求得 该两式的抽样值 X ( jk?0 ) 和x(nT)，然后利用相应的内插公 式来求出连续值 X ( j?)和x(t)。为此，按以下两步骤来求： a.将已知的DFT乘以时域抽样间隔T，得到 X ( jk?0 )的近似 值；将已知的DFT求得反变换IDFT后，乘以1/T，得到 x(nT)的近似值；（证明见后页）1483-8 用DFT计算模拟信号的傅氏变换b.将上述结果分别代入频率抽样定理中的插值公式：和时域抽样定理中的插值公式：2?k X ( j?) ? ? X ( k )? (? ? ) N k ?0N ?1x (t ) ? ? x ?nT ?San ?0N ?1?T?t ? nT ?说明： ? 当信号x(t)是带限信号时，且时域的抽样周期T的选取 满足时域抽样定理时，信号的频谱才不会有混叠，才 能用上式进行计算； ? T和x(t)的DFT均要已知，才能利用上述公式来逼近未 知数学表达式的连续时间信号。而对与未知信号x(t)而 言，一般是难以确定它的带宽的，所以说，这种逼近 法有其局限性。1493-8 用DFT计算模拟信号的傅氏变换 ? 用DFT近似计算抽样频谱的证明：设t ? nT , dt ? T ,?????n ? ??N ?1 n ?0??X ( j?) ?????x (t )e ? j?t dt ? T ? ? x ( nT )e ? j?nT又?0 ? 2?f s / N , ? ? k?0 , k ? 0,1,...N ? 1? X ( jk?0 ) ? T ? ? x (nT )e ? jnTk 2? ? f s / N , k ? 0,1,... N ? 1n ?0N ?1? T ? ? x ( n )en ?0N ?1?j2? kn N? T ? DFT [ x (n )]1503-8 用DFT计算模拟信号的傅氏变换?0 1 由2?F ? ?0 , f s ? NF ? N ? , d? ? ?0 , ? ? k?0 2? T 1 ? ? x?t ? ? X ? j? ?e j?t d? 2? ??? 1 ? jk? 0 nT x ( nT ) ? ? X ( jk?0 )e ? ?0 2? k ? ??j ?0 N ?1 ? ? X ( j?0k )e 2? k ?0 1 ?1 ? DFT [ X ( k )] T 2 ?f s knT N1 1 ? ? T N? X ( j? k )e0 k ?0N ?1j2? kn N1513-8 用DFT计算模拟信号的傅氏变换二.对连续时间周期信号傅氏级数的DFT逼近连续时间周期信号傅氏级数变换对 1 T X ? jk? 0 ? ? x ?t ?e ? jk? t dt ?00 0T0x ?t ? ?k ? ??? X ? jk? ?e0?jk? 0t用类似的方法可推得：1 X ( jk?0 ) ? DFS [ x(n )] N x(nT ) ? N ? IDFS [ X ( jk?0 )]再利用相应的插值公式就可近似计算出连续 时间信号x(t)及其频谱的数学表达式.1523-8 用DFT计算模拟信号的傅氏变换三.用DFT计算连续时间信号的傅氏变换可 能造成的误差1.混叠现象 为避免混叠,由抽样定理可知，须满足 f s ? 2 f h 其中, f s 为抽样频率; f h 为信号的最高频率分量；1 1 或者 T ? ? fs 2 fh其中,T为抽样间隔。1533-8 用DFT计算模拟信号的傅氏变换 2.频谱泄漏 在实际应用中，通常将所观测的信号 x1 (n) 限制在一定的时间间隔内 ,也就是说，在时域对 信号进行截断操作,或称作加时间窗,亦即用时间 窗函数乘以信号,由卷积定理可知：时域相乘,频 域为卷积。这就造成拖尾现象,称之为频谱泄漏。 （见如下示意图）1543-8 用DFT计算模拟信号的傅氏变换x1 (n)X 1 (e j? )0n0??x2 (n)X 2 (e j? )y?n? ? x1 (n) x2 (n)nY e j??? ??155n3-8 用DFT计算模拟信号的傅氏变换 3.栅栏效应用DFT计算频谱时，只是知道 F ? 1 / Tp 为频率的整 数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道,这相 当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。 补零点加大周期 T p，可使F变小来提高频谱密度，以 减少栅栏效应。4.频率分辨力是指信号所包含的频率分量可以被观测到的“能 力”大小。通常已获取的信号的长度N越长，频率分辨 效果越好；而仅通过在获得的有限长的信号后补零来增 加长度，则只能提高现有的频谱的分辨力，而不能提高 原信号频率的分辨力。1563-8 用DFT计算模拟信号的傅氏变换[例3-2] 有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2 的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已知条 件为：1）频率分辨率为 ? 10 H Z，2)信号的最高频率? 4kHZ ， 试确定以下参量：（1）最小记录长度 TP ;(2) 抽样点间的 最大时间间隔T; (3) 在一个记录中的最小点数N。 解： （a）最小记录长度 TP ? 1? 1 ? 0.1s ，TP ? 0.1s F 103 ?3（b）最大的抽样时间间隔TT ? 1 / f s ? 1 / 2 f h ? 1 / 2 ? 4 ? 10 ? 0.125 ? 10 s(c) 最小记录点数NN ? 2 f h / F ? 2 ? 4 ?103 / 10 ? 800 T ? 0.125ms 取N ? 210 ? 10241573-8 用DFT计算模拟信号的傅氏变换(作业)P134-13,141583-8 用DFT计算模拟信号的傅氏变换(作业)P133 ? 13. 频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样, 计算了 512个抽样的DFT , 试确定频谱抽样之间的频率间隔。证明:? ??s 2? f ? ? s ? s F0 ? 0?fs ?F0 ??0 2?其中? s 是以角频率为变量的 频谱的周期, ? 0是频谱抽样之间的频谱 间隔。 ? fs ?s ? ?N F0 ? 0 fs N f s ? 8 KHz N ? 512 8000 ? 15.625 Hz 512? F0 ? 对于本题 : ? F0 ?注：频谱上 的 512 个 抽 样 点所“包含 ”的频率间 隔数，参见 下页的示意 图。1593-8 用DFT计算模拟信号的傅氏变换(作业) 离散傅立叶变换(DFT)示意图x(nT)=x(n)T0 ? 1 F0T ? 1fs0 T 2T 1 2x (ej k? 0TNTN? s ? N? 0t n)?s ? ?0 2? T 2? ? T0x(k )0 0 1 2 3 ( N ? 1)? 0 2? 0( N ? 1)? 0 ? 0 N?Nk1603-8 用DFT计算模拟信号的傅氏变换(作业)P133 ? 14. 设有一谱分析用的信号处理器, 抽样点数必须为 2 的整数幂, 假定没有采用任何殊数据处理措施, 要求频率分辨力 ? 10 Hz , 如果采用的抽样时间间隔为 0.1ms , 试确定 (1) 最小记录长度; (2) 所允许处理的信号的最高频率; (3) 在一个记录中的最少点数。解 : (1)1 s ? 最小纪录长度为 0.1s 10 1 1 1 ( 2) f s ? ? ? 103 ? 10 KHz f s ? 2 f h ? f h ? f s ? 5KHz T 0.1 2 ? 允许处理的信号的最高频率为5KHz? ? ?TP ?1 F而F ? 10 Hz? TP ?? ? ?TP 0.1 (3) N ? ? ? 103 ? 1000 , 又因N必须为2的整数幂 T 0.1 ? 一个纪录中的最少点数为 : N ? 210 ? 1024161162
数字信号处理第三章实验程序 3.1 计算离散时间傅里叶变换 % Program P3_1 % Evaluation of the DTFT % Compute the frequency samples of the DTFT w =...数字信号处理_吴镇扬_第二版_第三章习题答案_理学_高等教育_教育专区。3.3 x%1(n) = ∑ x(n + 8r) 说明x%1(n)的周期是8 r=?∞ ∞ ∴ X% 1 ...数字信号处理第三章附加习题及答案 隐藏&& 第三章 离散傅里叶变换及其快速计算方法 1. 求周期序列 % ( n) R6 ( n) = {2, 3, 4, 5, 2, 9} 的 ...第三章数字信号处理 隐藏&& P132 第三章习题参考答案 若有错误,望同学们指正。 1. X (k ) = N ?1 n =0 2π ~ ?j kn x ∑ ~(n)e N 可得: ...数字信号处理试卷及答案... 37页 7下载券《​数​字​信​号​处​理​》​朱​金​秀​第​三​章​习​题​及​参​考​...数字信号处理第三版第三章_工学_高等教育_教育专区。西安电子科技大学出版社 高西全 丁玉美 编著第三章.离散傅里叶变换(DFT) 一 离散傅里叶变换的定义及物理意义...数字信号处理数字信号处理隐藏&& .doc 第三章习题 1. Consider a Wiener filtering problem characterized by the following values for the correlation matri...2014数字信号处理第三章作业 (1)_工学_高等教育_教育专区。第三章作业 1. 计算有限长序列: x(n) ? nRN (n) 的 N 点 DFT 2. 如图一个 5 点序列 x...数字信号处理第三章习题解答数字信号处理第三章习题解答隐藏&& ―――第三章――― 离散傅里叶变换 DFT 3.1 学习要点 3.1.1 DFT 的定义、DFT 与 Z 变换(ZT...第一章 数字信号处理概述 简答题: 1.在 A/D 变换之前和 D/A 变换之后都...1 ?1 X (4) X (5) X (6) X (7) 三、按频率抽取 FFT 算法 计算题...
All rights reserved Powered by
www.tceic.com
copyright &copyright 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。}