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高中数学必修五数列知识点
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重新安装浏览器，或使用别的浏览器【高中数学】黄显甫教师工作室：高中数学《数列》的考纲解读
高中数学《数列》的考纲解读
肇庆市怀集县第一中学&& 李瑞焕
一、总体分析：
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把数列、导数与方程综合在一起。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。
纵观新高考数学试卷的数列试题：试卷紧扣新课标（以下简称《课标》）要求，在考察学生基础知识和基本技能的同时，注重考察学生的创新能力.与《考纲》要求的高考数列试题对比，难度明显降低.因此，《课标》下数列高考复习与《考纲》下数列高考复习要有所区分。
（一）《课标》要求：
1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数，理解数列的通项公式的意义。
2、理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单问题。能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等差数列与一次函数的关系。
3、理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单问题。能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等比数列与指数函数的关系。
（二）《考纲》要求：
1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
　　从上述要求可以看出，《课标》与《考纲》相比，对数列内容的要求变化不大，即主干知识基本不变，最大的变化是《课标》突出了数列与函数的内在联系，《考纲》比较注重数列中各参量之间的关系以及恒等变形.《课标》对数列内容的整体定位是：数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.在数列的学习中，学生通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题.
　　通过《课标》与《考纲》对比，我们知道数列这一章的主干知识是：等差数列→等比数列→数列的通项及前n项和的求法.因此，高考复习中应抓住主干知识线，实施有效复习，帮助学生构建知识网络.
二、高考考查的特点与规律：
（一）考情统计：
近四年广东高考数学卷有关数列试题题型及分值情况
13．等差数列通项、前n项和；
与函数、不等式结合，求通项和前n项和.
5.等差数列通项、前n项和；
与函数、不等式结合，求通项和前n项和.
4．等差数列；
递推求通项及前n项和.
4．等差数列；
与函数、方程结合，求通项和前n项和.
15．等比数列通项；
与函数、不等式结合，求通项和前n项和.
等差等比数列的性质；
与解几、不等式结合，求通项和证明不等式.
4．等差等比数列求和；
21、与导数、解几、不等式结合，求点坐标和和证明不等式.
4．等差等比数列求和.
从近四年高考看出数列部分在高考中所在题型为小题1题5分，大题1题12～14分，分值在19分左右。
（二）试题特点：
分析近四年来广东高考数列试题有以下鲜明特点：
1、数列每年一般考一大一小.分值大约19分左右，在试卷中占的比重约为10%左右，其中主观题几乎年年都有，并且经常放在倒数第二题或压轴题的位置.
2、在内容上考查的重点是数列的概念、数列的通项公式、数列求和及其应用；数学思想方法上考查了函数与方程的思想、化归与转化的思想、分类讨论的思想、递推思想、数学归纳法、待定系数法等；数学能力上考查的重点是运算能力、理解思维能力，进而考查学生的个性品质.
3、从题型特点上看有以下两个特点：
（1）客观题，以选择题和填空题为主.主要考查了等差、等比数列的基本概念和性质，通项公式、求和公式.简单递推式求通项.突出了“小、巧、活”的特点，属容易题、中档题.
（2）主观题，以数列为引线，与函数、方程、不等式、几何、导数、向量等知识编织综合性强，内涵丰富的能力型试题，考查综合素质和学习潜力，属中等以上难度的题，有时甚至是压轴题.
三、高考命题展望：
1、高考对数列基本知识的考查侧重以下几个方面：
（1）等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n项和是考查的重点，这方面的考题多以选择题、填空题的形式出现，一般是中、低档难度题，但解题方法灵活多样，技巧性较强些.
（2）数列的运算，即用有关公式和性质求解一些基本量的问题，特别是an与sn的关系问题（易漏掉n=1时的情况）历来是考查的热点.
（3）综合题型在数列中考查比较多，这类题多是数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何等知识的交汇点，此类题难度大，综合性强，需要运用的数学思想方法较多.
（4）应用题型在数列中近几年在高考中未出现，今后也可以关注一下.以关注生活热点、贴近生活，抓住学生身边的重要素材，比如个人储蓄与养老保险问题、分期付款问题、住房改革与医疗改革问题、国土资源与人口发展问题等等，借助数列知识将实际问题抽象为数学问题.
（5）探索性题型在数列中考查也出现过.解决探索性问题应具备较高的数学思维能力，这正是以能力立意的命题原则的生动体现，在今后的命题趋势中探索性题型可成为一个热点.
2、高考对数列基本思想方法的考查侧重以下几个方面：
（1）分类讨论思想：如等比数列求和，分公比等于1和不等于1两种情形；已知数列前n项和 求通项 ，分n=1和 两种情形等.
（2）函数思想：将数列视为定义域为正整数集或其子集的函数.
（3）数形结合思想：如等差数列的通项公式
，可视为直线和抛物线方程.
（4）化归转化思想：如将非等差数列、非等比数列转化为等差、等比数列.
3、常见题型：
（1）客观题常见题型有：知三求二；灵活运用性质；数表等创新内容.
（2）主观题常见题型有：基本量的计算问题；与函数、方程、不等式综合的问题；探索类问题；推理与证明；应用数列解决实际问题；与其它知识（如解析几何、概率、导数、向量等）整合问题.
四、高考复习要求：
1、理解数列的概念，特别注意递推数列，熟练掌握等差数列、等比数列的性质、公式及公式的延伸，应用性质解题，往往可以回避求首项和公差或公比，使问题得到整体解决，能够减少运算量，应引起考生重视。
2、解决数列综合问题要注意函数思想、分类论思想、等价转化思想等。注重数列与函数、方程、不等式、解析几何等其他知识的综合。
3、重视递推数列和数列推理题的复习。
4、数列应用题注意增长率、银行信贷、养老保险、环保、土地资源等，首先要分析题意，建立数列模型，再利用数列知识加以解决。
不管数列与哪一部分知识内容交汇，数列自身的内容仍是考生重点掌握的。对数列自身来讲，主要有以下题型：第一、求数列的通项公式，主要方法有：（1）利用与 的关系；（2）利用递推关系包括累加法，累乘法，构造法。第二、求数列的前n项和，主要方法有：（1）倒序相加法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法。第三、判断一个数列是等比或等差数列，完全依据等差、等比数列的定义进行证明。这是解决好数列问题的重中之重.
五、典例分析：
类型一：考查等差、等比数列的基本问题
等差、等比数列是两类最基本的数列，它们是数列部分的重点，也是高考考查的热点。等差、等比数列的定义、通项公式、前n项的和等基本知识一直是高考考查的重点，这方面考题的解法灵活多样，技巧性强，考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上。
【例1.1】（2008广东理）记等差数列 的前 项和为 ，若 ，
，则（&& ）
　B．24&&&
C．36&&&&&
【解析】， ，故
【例1.2】（2010山东理）已知等差数列 满足： ， ，
的前n项和为
（Ⅰ）求 及 ；
（Ⅱ）令bn= (n
N*)，求数列的前n项和．
解：(Ⅰ）设等差数列
的公差为d，因为 ，
所以 ； = = 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以bn= = = ，
所以 = = .
类型二：考查递推数列的通项公式问题
对于由递推式所确定的数列的通项公式问题，通常可对递推式进行变形，从而转化为等差、等比数列问题来解决，这类问题一直是高考久考不衰的题型。
等差等比（求解连续项的差或商，比例出现字母的注意讨论）；
利用 与 的关系： ；
归纳-猜想-证明法；
可以转化为等差和等比的数列（一般大多题有提示，会变成证明题）；
（1） ；令 ；
（2） ；“ ”（两边除以 ）或“ ；
（4） .& 令 ；
应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①
对于分式 ，取倒数，数列的倒数有可能构成等差数列；
，形式的，可以结合 ，写成关于的关系式，也可以写成关于的关系式，关键就是那个关系式比较容易的求解出结果来。
【例2.1】（2008江西卷5）在数列中， ， ，则 &( )
B． &&&&&&&&
【例2.2】（2008广东文）设数列 满足 ， ， & 。数列
满足是非零整数，且对任意的正整数 和自然数 ，都有 。
（1）求数列 和
的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和
解：（1）由 得 (n≥3)
又a2-a1=1≠0，∴数列{an+1-an}是首项为1公比为的等比数列，
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)
得b2=-1，由
&& 得b3=1，…
同理可得当n为偶数时，bn=-1；当n为奇数时，bn=1；
当n为奇数时
当n为偶数时
当n为奇数时
当n为偶数时
Sn=c1+c2+c3+c4+…+cn
当n为奇数时，
当n为偶数时
……①
& ……②
①-②得：
&&&&&&&&&&&&
当n为奇数时
当n为偶数时
【例2.3】（2008广东理）
设 为实数，是方程 的两个实根，数列 满足 ， ， （ …）．
（1）证明： ， ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）若 ， ，求 的前 项和
【解析】（1）由求根公式，不妨设
（2）设 ，则 ，由 得
消去 ，得， 是方程 的根，由题意可知，
时，此时方程组 的解记为
即 、 分别是公比为、 的等比数列，
由等比数列性质可得 , ,
两式相减，得
时，即方程 有重根， ，
即 ，得，不妨设 ，由①可知
即 ，等式两边同时除以，得 ，即
数列 是以1为公差的等差数列，
综上所述，
（3）把 ， 代入 ，得
类型三：考查数列的求和问题
数列求和的常见方法有公式法、、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法；或转化为等差数列和等比数列利用公式求解；求解参数的式子中有结构的，注意对n是偶数与奇数的讨论，往往分开奇数与偶数，式子将会变的简单。
【例3.1】（2009广东理）已知等比数列 满足 ，
且 ，则当时， &&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&B.
&&&&&&&&&&C.
&&&&&&&&&&&&&D.
［解析］：由
得 ， ，则 ， & ，选C.&&&&&&&&&&&
【例3.2】已知数列 的首项 ，
是首项为1、公差为3的等差数列．
的通项公式；
②求数列
的前 项和 ．
解：①依题意，根据等差数列通项公式， ，当 时，
， ，即 和 都是公差为3的等差数列。因为，
，所以 ， ，即 ，．
，两式相加得
两式相减得：
，所以 ，．
[评析]数列最基础的知识是等差等比数列的通项公式、前项和公式，以及推导公式过程中体现的思想方法，数列问题大多数需要向这些最基础的知识转化，综合试题具体条件运用这些最基础的知识．
【例3.3】(2009广东文)已知点（1，
）是函数 且 ）的图象上一点，等比数列 的前 项和为 ,数列 的首项为，且前 项和满足 － = + （ ）.
（1）求数列 和
的通项公式；
（2）若数列{ 前 项和为 ，问 & 的最小正整数 是多少?
【解析】（1） , &
又数列 成等比数列， &，所以 ；
又公比 ，所以 &&
数列 构成一个首相为1公差为1的等差数列， &，
由 得 ，满足 的最小正整数为112.
类型四：考查数列的应用题问题
【例4.1】自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用表示某鱼群在第 年年初的总量， 且 .不考虑其他因素，设在第
年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数 ；
（I）求 与 的关系式
（II）猜测当且仅当
满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（III）设 ，为保证对任意 ，都有
，则捕捞强度 的最大允许值是多少？证明你的结论.
【评析】本题以捕鱼问题为背景考查了函数、数列的递推关系、不等式、数学归纳法以及一般与特殊的关系，考查了学生综合运用知识的能力.
【例4.2】小王2009年12月向银行贷款20万元用于购房，分期还款方式是：2010年元月开始，每月向银行还款一次，每次金额都是元，到2019年12月全部还清。已知贷款月利率为 ，每月利息按复利计算．
①设小王第
次还款后，欠银行本利金额为 ，试用含、 、 的代数式表示 ；
②若贷款月利率为
，小王每月应向银行还款多少元？
（参考数据：， ， ）
解：①为方便，记
元。依题意
， ，… 。
②依题意，
，所以 （元）
购房贷款是时政话题之一，本题与此相关。解题关键是了解复利计算规则，将数列知识应用于复利计算．
类型五：考查数列与其他知识的交汇问题
1、与函数交汇
5.1.1】(2007广东文)已知函数 ， 、 是方程 的两个根( )， 是的导数设 ， ， .
(2)已知对任意的正整数
有 ,记 , .求数列{
}的前项和 ．
数列 是一个首项为 ,公比为2的等比数列;
2、与不等式交汇
考查数列与不等式的综合问题：数列与不等式都是高中数学重要内容，一些常见的解题技巧和思想方法在数列与不等式的综合问题中都得到了比较充分的体现．以两者的交汇处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考中出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位。
不等式证明：（1）证明数列
，可以利用函数的单调性，或是放缩法
（2）证明连续和，若是有 ， ，
形式的，每一项放缩成可以裂项相削形式 （ ）或者 （ ）或者是 （）；或者是变形成等差或是等比数列求和
（3）证明连续积，若有 ，
的形式，每一项适当的放缩，变形成迭乘相消形式，或者错位相乘 （ ）或者 （ ）
（4）利用函数的单调性，函数赋值的方法构造
（5）最后就是：若是上述形式失败，用数学归纳法
（6）比较法
（7）放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式
（8）对于证明存在问题、唯一问题、大小问题等有时可以尝试反证法&
【例5.2.1】已知不等式，其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数．设数列{an}的各项为正，且满足
（I）证明: ；.
（II）试确定一个正整数N，使得n&N时，对任意b&0,都有 .
【点评】N除了可取1023外,还可取比1023更大的值.这道题目中给出的数列的相邻两项的关系不是以等式的形式给出的,那么要用递归或递推的方法去求出它的通项是完全行不通的,所以解题的关键就是合理把握好放缩与求和的关系-是先求和再放缩还是先放缩再求和.
【评析】在数列与其他知识的联系中以不等式最为紧密，而利用不等式的性质进行推算论证具有较大的灵活性，因而不易把握.
【例5.2.2】设数列 、 、 的前 项和分别为
、 、 ，对 ， ， ， ．
的通项公式；
②求证：
，对 恒成立，求 的取值范围．
解：①由 得 ， 。
时， ，两式相减得，
若 ( )是奇数，则 ， 当且仅当
若 ( )是偶数，
即当 时有。
综上所述，的取值范围是 ．
[评析]多个数列通常意味着多种形式的数列、多层次问题，解题通常需要有开阔的视野和思路，能适当选择、适时转换，关键是用等差等比数列性质处理好“起始”数列，不等式的处理则要求适度“放大”或“缩小”，处理好端点．
3、与平面向量交汇
【例5.3.1】在直角坐标平面中，已知点 ，其中
是正整数，对平面上任一点 ，记 为 关于点 的对称点，为 关于点的对称点，．．．， 为 关于点 的对称点.
（1）求向量 的坐标；
（2）当点 在曲线C上移动时，点 的轨迹是函数 的图象，其中 是以3为周期的周期函数，且当 时， .求以曲线C为图象的函数在上的解析式；
（3）对任意偶数 ，用 表示向量
【评析】本题是数列平面向量结合的题目，考查学生综合运用知识分析问题解决问题能力.
4、与导数、解析几何交汇
【例5.4.1】设点 和抛物线 ，其中 ，
由以下方法得到： ，点 在抛物线 上，点 到 的距离是到 上的点的最短距离 点在抛物线 上，点 到 的距离是 到
上的点的最短距离，
(Ⅰ)求x2及C1的方程．
(Ⅱ)证明{ }是等差数列．
【评析】本题是数列与求导、解析几何综合的题目，考查学生综合运用知识分析问题解决问题能力，难度较高.
【例5.4.2】.（2009广东卷理）&&&&
已知曲线．从点 向曲线 引斜率为 的切线 ，切点为 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： .
解：（1）设直线 ： ，联立
（舍去）&&&&
（2）证明：∵&&&&&&
由于 ，可令函数，则 ，令 ，得 ，给定区间 ，则有 ，则函数 在 上单调递减，∴ ，即 在 恒成立，又 ，
则有 ，即 .&&&&&&&&&&&&&&&&
5、与三角交汇
【例5.5.1】（2009江西卷理）数列 的通项，其前 项和为 ，则
&&&&&&&&&&&&
B． &&&&&&&&&&&&
C． &&&&&&&&
　解析：由于以3
【例5.5.2】设函数 ；
（I）证明 f(x+2kπ)-f(x)=2kπsinx,k&IZ
（II）设 为
的一个极值点，证明
（III）设 在
内的全部极值点按从小到大的顺序排列 ，
【评析】本题考查应用导数、三角函数、数列等知识分析问题的能力.
6、与概率交汇
【例5.6.1】某种电子玩具按下按健后，会出现红球和绿球。已知按键第一按下后，出现红球和绿球的概率都是，从按键第二按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别是、
；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别是 、。记第 次按下按键后出现红球的概率为 ．
解：⑴ ．
⑵依题意，
时， ，设常数 ，
使 ，即，解 得 ，
所以 是首项为，公比为 的等比数列，
所以 ，解得．
[评析]⑴是理解题意，求最简单的第二项；⑵是将题中文字语言转化为符号语言，建立递推关系，通过适当“平移”将一次递推关系转化为等比关系，依据等比数列基本性质求解．
7、与高等数学的基础知识联系
【例5.7.1】已知不等式 其中
为大于2的整数，表示
不超过 的最大整数.设数列
的各项为正，且满足
（II）试确定一个正整数 ，使得当 时，对任意
【评析】本题第三小题有点类似数列极限的“
定义”，高考命题者大多为大学教授，
故应引起重视.
六、高考复习建议
要复习掌握好数列这一板块，必须了解数列试题的能力考查特点，才能使复习抓好基础、对准重点、训练到位，就数列这一章的复习，提出如下建议：
1、研究考纲，研究考题，认真研读考试说明.关注新课程教材，把握复习方向：数列的复习重点是等差数列、等比数列的概念和性质，通项公式、前ｎ项和公式的应用；
2、注重双基，降低难度，强化解题通性通法的复习与训练；
3、注重数学课本中有关数列的阅读与思考和探究与发现学习材料；
4、在后继章节的复习中关注与数列内容有关的综合应用问题.，注重数列综合题的训练，提高等价转化的能力及思维的灵活性.
5、数列是特殊的函数，深刻领会函数思想和方程的思想，因为这是解决数列问题的关键，而不等式则是深刻理解数列和函数的重要工具，三者的综合是对基础和能力的双重检验.数列推理题（开放性、探索性试题）、新定义题，对考查学生的后继学习能力方面都具有无可替代的作用.复习中要有意识地从不同侧面、不同角度审视同一问题，引导学生分析数列与函数、不等式、解几等的关系，提高对新情景问题的转化能力，将新题化归为自己知识能力范围内的旧题，使问题得到解决.更重要的是使学生了解命题的趋势，预见到可能遇到的新问题，从心理上减轻应考压力.对试卷中一些放在最后的难题、要有所了解，不能刻意求全，能做到分步得分就好.要求学生对等差数列、等比数列与函数的结合题型要做到心中有数，对数形结合、分类讨论、解不等式、求函数最值等方法要熟悉.如遇到一些基础题或中档题，要争取拿全分或少丢分.
以上是我通过对近几年高考数列的分析，在参考了其他老师的意见的基础上，提出的对2011年高考数列复习的一些粗浅看法，水平有限，不当之处请批评指正。
主编：王增海&&
责任编辑：刘海文&&
图文编辑：李嘉慧
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