[转载]林达华推荐的几本数学书
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Dahua Lin早在几年前就已经冒尖出来了，现在在MIT攻读博士学位，前途不可限量。他总是有无穷的精力，学习，同时几篇几篇的写paper，几万行几万行的写code，几万字几万字的写blog。。他扎实的数学功底和相关知识的功底，以及深睿的洞察和理解问题的能力，注定他将在machine learning和computer vision等相关领域取得大量的成果，甚至是突破性的成果。期待他在这些领域做出贡献，为人类知识宝库添砖加瓦。注：&Applied Multivariate Statistical Analysis (5th Ed.)&&by&&and Dean W. Wichern这本书有中文版的。《实用多元统计分析》陆璇 叶俊译&7月13日前面几篇谈了一些对数学的粗浅看法。其实，如果对某门数学有兴趣，最好的方法就是走进那个世界去学习和体验。这里说说几本我看过后觉得不错的数学教科书。1.&线性代数&(Linear Algebra)：我想国内的大学生都会学过这门课程，但是，未必每一位老师都能贯彻它的精要。这门学科对于Learning是必备的基础，对它的透彻掌握是必不可少的。我在科大一年级的时候就学习了这门课，后来到了香港后，又重新把线性代数读了一遍，所读的是Introduction to Linear Algebra (3rd Ed.)&&by Gilbert Strang.这本书是MIT的线性代数课使用的教材，也是被很多其它大学选用的经典教材。它的难度适中，讲解清晰，重要的是对许多核心的概念讨论得比较透彻。我个人觉得，学习线性代数，最重要的不是去熟练矩阵运算和解方程的方法——这些在实际工作中MATLAB可以代劳，关键的是要深入理解几个基础而又重要的概念：子空间(Subspace)，正交(Orthogonality)，特征值和特征向量(Eigenvalues and eigenvectors)，和线性变换(Linear transform)。从我的角度看来，一本线代教科书的质量，就在于它能否给这些根本概念以足够的重视，能否把它们的联系讲清楚。Strang的这本书在这方面是做得很好的。而且，这本书有个得天独厚的优势。书的作者长期在MIT讲授线性代数课(18.06)，课程的video在MIT的Open courseware网站上有提供。有时间的朋友可以一边看着名师授课的录像，一边对照课本学习或者复习。2.&概率和统计(Probability and Statistics):概率论和统计的入门教科书很多，我目前也没有特别的推荐。我在这里想介绍的是一本关于多元统计的基础教科书：Applied Multivariate Statistical Analysis (5th Ed.)&&by&and Dean W. Wichern这本书是我在刚接触向量统计的时候用于学习的，我在香港时做研究的基础就是从此打下了。实验室的一些同学也借用这本书学习向量统计。这本书没有特别追求数学上的深度，而是以通俗易懂的方式讲述主要的基本概念，读起来很舒服，内容也很实用。对于Linear regression, factor analysis, principal component analysis (PCA), and canonical component analysis (CCA)这些Learning中的基本方法也展开了初步的论述。之后就可以进一步深入学习贝叶斯统计和Graphical models。一本理想的书是Introduction to Graphical Models (draft version).&&by M. Jordan and C. Bishop.我不知道这本书是不是已经出版了（不要和Learning in Graphical Models混淆，那是个论文集，不适合初学）。这本书从基本的贝叶斯统计模型出发一直深入到复杂的统计网络的估计和推断，深入浅出，statistical learning的许多重要方面都在此书有清楚论述和详细讲解。MIT内部可以access，至于外面，好像也是有电子版的。3.&分析(Analysis)：我想大家基本都在大学就学过微积分或者数学分析，深度和广度则随各个学校而异了。这个领域是很多学科的基础，值得推荐的教科书莫过于Principles of Mathematical Analysis, by Walter Rudin有点老，但是绝对经典，深入透彻。缺点就是比较艰深——这是Rudin的书的一贯风格，适合于有一定基础后回头去看。在分析这个方向，接下来就是泛函分析(Functional Analysis)。Introductory Functional Analysis with Applications, by Erwin Kreyszig.适合作为泛函的基础教材，容易切入而不失全面。我特别喜欢它对于谱论和算子理论的特别关注，这对于做learning的研究是特别重要的。Rudin也有一本关于functional analysis的书，那本书在数学上可能更为深刻，但是不易于上手，所讲内容和learning的切合度不如此书。在分析这个方向，还有一个重要的学科是测度理论(Measure theory)，但是我看过的书里面目前还没有感觉有特别值得介绍的。4.&拓扑(Topology)：在我读过的基本拓扑书各有特色，但是综合而言，我最推崇：Topology (2nd Ed.)&&by James Munkres这本书是Munkres教授长期执教MIT拓扑课的心血所凝。对于一般拓扑学(General topology)有全面介绍，而对于代数拓扑(Algebraic topology)也有适度的探讨。此书不需要特别的数学知识就可以开始学习，由浅入深，从最基本的集合论概念（很多书不屑讲这个）到Nagata-Smirnov Theorem和Tychonoff theorem等较深的定理（很多书避开了这个）都覆盖了。讲述方式思想性很强，对于很多定理，除了给出证明过程和引导你思考其背后的原理脉络，很多令人赞叹的亮点——我常读得忘却饥饿，不愿释手。很多习题很有水平。5.&流形理论(Manifold theory)：对于拓扑和分析有一定把握时，方可开始学习流形理论，否则所学只能流于浮浅。我所使用的书是Introduction to Smooth Manifolds.&&by John M. Lee虽然书名有introduction这个单词，但是实际上此书涉入很深，除了讲授了基本的manifold, tangent space, bundle, sub-manifold等，还探讨了诸如纲理论(Category theory)，德拉姆上同调(De Rham cohomology)和积分流形等一些比较高级的专题。对于李群和李代数也有相当多的讨论。行文通俗而又不失严谨，不过对某些记号方式需要熟悉一下。虽然李群论是建基于平滑流形的概念之上，不过，也可能从矩阵出发直接学习李群和李代数——这种方法对于急需使用李群论解决问题的朋友可能更加实用。而且，对于一个问题从不同角度看待也利于加深理解。下面一本书就是这个方向的典范：Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction.&&by Brian C. Hall此书从开始即从矩阵切入，从代数而非几何角度引入矩阵李群的概念。并通过定义运算的方式建立exponential mapping，并就此引入李代数。这种方式比起传统的通过“左不变向量场(Left-invariant vector field)“的方式定义李代数更容易为人所接受，也更容易揭示李代数的意义。最后，也有专门的论述把这种新的定义方式和传统方式联系起来。————————————————————————————无论是研究Vision, Learning还是其它别的学科，数学终究是根基所在。学好数学是做好研究的基石。学好数学的关键归根结底是自己的努力，但是选择一本好的书还是大有益处的。不同的人有不同的知识背景，思维习惯和研究方向，因此书的选择也因人而异，只求适合自己，不必强求一致。上面的书仅仅是从我个人角度的出发介绍的，我的阅读经历实在非常有限，很可能还有比它们更好的书（不妨也告知我一声，先说声谢谢了）。&7月9日Learning是一个融会多种数学于一体的领域。说起与此有关的数学学科，我们可能会迅速联想到线性代数以及建立在向量空间基础上的统计模型——事实上，主流的论文中确实在很大程度上基于它们。R^n (n-维实向量空间)&是我们在paper中见到最多的空间，它确实非常重要和实用，但是，仅仅依靠它来描述我们的世界并不足够。事实上，数学家们给我们提供了丰富得多的工具。“空间”(space)，这是一个很有意思的名词，几乎出现在所有的数学分支的基础定义之中。归纳起来，所谓空间就是指一个集合以及在上面定义的某种数学结构。关于这个数学结构的定义或者公理，就成为这个数学分支的基础，一切由此而展开。还是从我们最熟悉的空间——R^n&说起吧。大家平常使用这个空间的时候，除了线性运算，其实还用到了别的数学结构，包括度量结构和内积结构。第一，它是一个拓扑空间(Topological space)。而且从拓扑学的角度看，具有非常优良的性质：Normal (implying Hausdorff and Regular), Locally Compact, Paracompact, with Countable basis, Simply connected (implying connected and path connected), Metrizable.&第二，它是一个度量空间(Metric space)。我们可以计算上面任意两点的距离。第三，它是一个有限维向量空间(Finite dimensional space)。因此，我们可以对里面的元素进行代数运算（加法和数乘），我们还可以赋予它一组有限的基，从而可以用有限维坐标表达每个元素。第四，基于度量结构和线性运算结构，可以建立起分析(Analysis)体系。我们可以对连续函数进行微分，积分，建立和求解微分方程，以及进行傅立叶变换和小波分析。第五，它是一个希尔伯特空间（也就是完备的内积空间）(Hilbert space, Complete inner product space)。它有一套很方便计算的内积(inner product)结构——这个空间的度量结构其实就是从其内积结构诱导出来。更重要的，它是完备的(Complete)——代表任何一个柯西序列(Cauchy sequence)都有极限——很多人有意无意中其实用到了这个特性，不过习惯性地认为是理所当然了。第六，它上面的线性映射构成的算子空间仍旧是有限维的——一个非常重要的好处就是，所有的线性映射都可以用矩阵唯一表示。特别的，因为它是有限维完备空间，它的泛函空间和它本身是同构的，也是R^n。因而，它们的谱结构，也就可以通过矩阵的特征值和特征向量获得。第七，它是一个测度空间——可以计算子集的大小（面积/体积）。正因为此，我们才可能在上面建立概率分布(distribution)——这是我们接触的绝大多数连续统计模型的基础。我们可以看到，这是一个非常完美的空间，为我们的应用在数学上提供了一切的方便，在上面，我们可以理所当然地认为它具有我们希望的各种良好性质，而无须特别的证明；我们可以直接使用它的各种运算结构，而不需要从头建立；而且很多本来不一样的概念在这里变成等价的了，我们因此不再需要辨明它们的区别。以此为界，Learning的主要工作分成两个大的范畴：建立一种表达形式，让它处于上面讨论的R^n空间里面。获得了有限维向量表达后，建立各种代数算法或者统计模型进行分析和处理。这里只讨论第一个范畴。先看看，目前用得比较广泛的一些方法：直接基于原始数据建立表达。我们关心的最终目标是一个个现实世界中的对象：一幅图片，一段语音，一篇文章，一条交易记录，等等。这些东西大部分本身没有附着一个数值向量的。为了构造一个向量表达，我们可以把传感器中记录的数值，或者别的什么方式收集的数值数据按照一定的顺序罗列出来，就形成一个向量了。如果有n个数字，就认为它们在R^n里面。不过，这在数学上有一点小问题，在大部分情况下，根据数据产生的物理原理，这些向量的值域并不能充满整个空间。比如图像的像素值一般是正值，而且在一个有界闭集之中。这带来的问题是，对它们进行线性运算很可能得到的结果会溢出正常的范围——在大部分paper中，可能只是采用某些heuristics的手段进行简单处理，或者根本不管，很少见到在数学上对此进行深入探讨的——不过如果能解决实际问题，这也是无可厚非的，毕竟不是所有的工作都需要像纯数学那样追求严谨。量化(quantization)。这是在处理连续信号时被广泛采用的方式。只是习以为常，一般不提名字而已。比如一个空间信号（Vision中的image）或者时间信号，它们的domain中的值是不可数无限大的(uncountably infinite)，不要说表示为有限维向量，即使表达为无限序列也是不可能的。在这种情况下，一般在有限域内，按照一定顺序每隔一定距离取一个点来代表其周围的点，从而形成有限维的表达。这就是信号在时域或空域的量化。这样做不可避免要丢失信息。但是，由于小邻域内信号的高度相关，信息丢失的程度往往并不显著。而且，从理论上说，这相当于在频域中的低通过率。对于有限能量的连续信号，不可能在无限高的频域中依然保持足够的强度，只要采样密度足够，丢失的东西可以任意的少。除了表示信号，对于几何形体的表达也经常使用量化，比如表示curve和surface。找出有限个数充分表达一个对象也许不是最困难的。不过,在其上面建立数学结构却未必了。一般来说，我们要对其进行处理，首先需要一个拓扑结构用以描述空间上的点是如何联系在一起。直接建立拓扑结构在数学上往往非常困难，也未必实用。因此，绝大部分工作采取的方式是首先建立度量结构。一个度量空间，其度量会自然地诱导出一个拓扑结构——不过，很多情况下我们似乎会无视它的存在。最简单的情况，就是使用原始向量表达的欧氏距离(Euclidean distance)作为metric。不过，由于原始表达数值的不同特性，这种方式效果一般不是特别好，未必能有效表达实际对象的相似性（或者不相似性）。因此，很多工作会有再此基础上进行度量的二次建立。方式是多种多样的，一种是寻求一个映射，把原空间的元素变换到一个新的空间，在那里欧氏距离变得更加合适。这个映射发挥的作用包括对信息进行筛选，整合，对某些部分进行加强或者抑制。这就是大部分关于feature selection，feature extraction，或者subspace learning的文章所要做的。另外一种方式，就是直接调节距离的计算方式（有些文章称之为metric learning）。这两种方式未必是不同的。如果映射是单射，那么它相当于在原空间建立了一个不同的度量。反过来，通过改变距离计算方式建立的度量在特定的条件下对应于某种映射。大家可能注意到，上面提到的度量建立方法，比如欧氏距离，它需要对元素进行代数运算。对于普通的向量空间，线性运算是天然赋予的，我们无须专门建立，所以可以直接进行度量的构造——这也是大部分工作的基础。可是，有些事物其原始表达不是一个n-tuple，它可能是一个set，一个graph，或者别的什么特别的object。怎么建立代数运算呢？一种方法是直接建立。就是给这些东西定义自己的加法和数乘。这往往不是那么直接（能很容易建立的线性运算结构早已经被建立好并广泛应用了），可能需要涉及很深的数学知识，并且要有对问题本身的深入了解和数学上的洞察力。不过，一个新的代数结构一旦建立起来，其它的数学结构，包括拓扑，度量，分析，以及内积结构也随之能被自然地诱导出来，我们也就具有了对这个对象空间进行各种数学运算和操作的基础。加法和数乘看上去简单，但是如果我们对于本来不知道如何进行加法和数乘的空间建立了这两样东西，其理论上的贡献是非常大的。（一个小问题：大家常用各种graphical model，但是，每次这些model都是分别formulate，然后推导出estimation和evaluation的步骤方法。是否可能对"the space of graphical model"或者它的某个特定子集建立某种代数结构呢？（不一定是线性空间，比如群，环，广群，&etc）从而使得它们在代数意义上统一起来，而相应的estimation或者evaluation也可以用过代数运算derive。这不是我的研究范围，也超出了我目前的能力和知识水平，只是我相信它在理论上的重要意义，留作一个远景的问题。事实上，数学中确实有一个分支叫做&Algebraic statistics&可能在探讨类似的问题，不过我现在对此了解非常有限。）回到我们的正题，除了直接建立运算定义，另外一种方式就是嵌入(embedding)到某个向量空间，从而继承其运算结构为我所用。当然这种嵌入也不是乱来，它需要保持原来这些对象的某种关系。最常见的就是保距嵌入(isometric embedding)，我们首先建立度量结构（绕过向量表达，直接对两个对象的距离通过某种方法进行计算），然后把这个空间嵌入到目标空间，通常是有限维向量空间，要求保持度量不变。“嵌入”是一种在数学上应用广泛的手段，其主要目标就是通过嵌入到一个属性良好，结构丰富的空间，从而利用其某种结构或者运算体系。在拓扑学中，嵌入到metric space是对某个拓扑空间建立度量的重要手段。而在这里，我们是已有度量的情况下，通过嵌入获取线性运算的结构。除此以来，还有一种就是前些年比较热的manifold embedding，这个是通过保持局部结构的嵌入，获取全局结构，后面还会提到。接下来的一个重要的代数结构，就是内积(inner product)结构。内积结构一旦建立，会直接诱导出一种性质良好的度量，就是范数(norm)，并且进而诱导出拓扑结构。一般来说，内积需要建立在线性空间的基础上，否则连一个二元运算是否是内积都无法验证。不过，kernel理论指出，对于一个空间，只要定义一个正定核(positive kernel)——一个符合正定条件的二元运算，就必然存在一个希尔伯特空间，其内积运算等效于核运算。这个结论的重要意义在于，我们可以绕开线性空间，通过首先定义kernel的方式，诱导出一个线性空间(叫做再生核希尔伯特空间Reproducing Kernel Hilbert Space)，从而我们就自然获得我们所需要的度量结构和线性运算结构。这是kernel theory的基础。在很多教科书中，以二次核为例子，把二维空间变成三维，然后告诉大家kernel用于升维。对于这种说法，我一直认为在一定程度上是误导的。事实上，kernel的最首要意义是内积的建立（或者改造），从而诱导出更利于表达的度量和运算结构。对于一个问题而言，选择一个切合问题的kernel比起关注“升维”来得更为重要。kernel被视为非线性化的重要手段，用于处理非高斯的数据分布。这是有道理的。通过nonlinear kernel改造的内积空间，其结构和原空间的结构确实不是线性关联，从这个意义上说，它实施了非线性化。不过，我们还应该明白，它的最终目标还是要回到线性空间，新的内积空间仍旧是一个线性空间，它一旦建立，其后的运算都是线性的，因此，kernel的使用就是为了寻求一个新的线性空间，使得线性运算更加合理——非线性化的改造最终仍旧是要为线性运算服务。值得一提的是，kernelization本质上说还是一种嵌入过程：对于一个空间先建立内积结构，并且以保持内积结构不变的方式嵌入到一个高维的线性空间，从而继承其线性运算体系。上面说到的都是从全局的方式建立代数结构的过程，但是那必须以某种全局结构为基础（无论预先定义的是运算，度量还是内积，都必须适用于全空间。）但是，全局结构未必存在或者适合，而局部结构往往简单方便得多。这里就形成一种策略，以局部而达全局——这就是流形(manifold)的思想，而其则根源于拓扑学。从拓扑学的角度说，流形就是一个非常优良的拓扑空间：符合Hausdorff分离公理（任何不同的两点都可以通过不相交的邻域分离），符合第二可数公理（具有可数的拓扑基），并且更重要的是，局部同胚于R^n。因此，一个正则(Regular)流形基本就具有了各种最良好的拓扑特性。而局部同胚于R^n，代表了它至少在局部上可以继承R^n的各种结构，比如线性运算和内积，从而建立分析体系。事实上，拓扑流形继承这些结构后形成的体系，正是现代流形理论研究的重点。继承了分析体系的流形，就形成了微分流形(Differential manifold)，这是现代微分几何的核心。而微分流形各点上的切空间(Tangent Space)，则获得了线性运算的体系。而进一步继承了局部内积结构的流形，则形成黎曼流形(Riemann manifold)，而流形的全局度量体系——测地距离(geodesics)正是通过对局部度量的延伸来获得。进一步的，当流行本身的拓扑结构和切空间上的线性结构发生关系——也就获得一簇拓扑关联的线性空间——向量丛(Vector bundle)。虽然manifold theory作为现代几何学的核心，是一个博大精深的领域，但是它在learning中的应用则显得非常狭窄。事实上，对于manifold，很多做learning的朋友首先反应的是ISOMAP, LLE, eigenmap之类的算法。这些都属于embedding。当然，这确实是流形理论的一个重要方面。严格来说，这要求是从原空间到其映像的微分同胚映射，因此，嵌入后的空间在局部上具有相同的分析结构，同时也获得了各种好处——全局的线性运算和度量。不过，这个概念在learning的应用中被相当程度的放宽了——微分同胚并不能被完全保证，而整个分析结构也不能被完全保持。大家更关注的是保持局部结构中的某个方面——不过这在实际应用中的折衷方案也是可以理解的。事实表明，当原空间中的数据足够密集的情况下，这些算法工作良好。Learning中流形应用的真正问题在于它被过滥地运用于稀疏空间(Sparse space)，事实上在高维空间中撒进去几千乃至几十万点，即使最相邻的几点也难称为局部了，局部的范围和全局的范围其实已经没有了根本差别，连局部的概念都立不住脚的时候，后面基于其展开的一切工作也都没有太大的意义。事实上，稀疏空间有其本身的规律和法则，通过局部形成全局的流形思想从本质上是不适合于此的。虽然，流形是一种非常美的理论，但是再漂亮的理论也需要用得其所——它应该用于解决具有密集数据分布的低维空间。至于，一些paper所报告的在高维空间（比如人脸）运用流形方法获得性能提升，其实未必是因为“流形”本身所起的作用，而很可能是其它方面的因素。流形在实际应用中起重要作用的还有两个方面：一个是研究几何形体的性质（我们暂且不谈这个），还有就是它和代数结构的结合形成的李群(Lie group)和李代数(Lie algebra)。 当我们研究的对象是变换本身的时候，它们构成的空间是有其特殊性的，比如所有子空间投影形成了Grassmann流形，所有的可逆线性算子，或者仿射算子，也形成各自的流形。对他们的最重要操作是变换的结合，而不是加法数乘，因此，它们上面定义的更合适的代数结构应该是群和不是线性空间。而群和微分流形的结合体——李群则成为它们最合适的描述体系——而其切空间则构成了一种加强的线性空间：李代数，用于描述其局部变化特性。李代数和李群的关系是非常漂亮的。它把变换的微变化转换成了线性空间的代数运算，使得移植传统的基于线性空间的模型和算法到李空间变得可能。而且李代数中的矩阵比起变换本身的矩阵甚至更能反映变换的特性。几何变换的李代数矩阵的谱结构就能非常方便地用于分析变换的几何特性。最后，回头总结一下关于嵌入这个应用广泛的策略，在learning中的isometry, kernel和manifold embedding都属于此范畴，它们分别通过保持原空间的度量结构，内积结构和局部结构来获得到目标（通常是向量空间）的嵌入，从而获得全局的坐标表达，线性运算和度量，进而能被各种线性算法和模型所应用。在获得这一系列好处的同时，也有值得我们注意的地方。首先，嵌入只是一种数学手段，并不能取代对问题本身的研究和分析。一种不恰当的原始结构或者嵌入策略，很多时候甚至适得其反——比如稀疏空间的流形嵌入，或者选取不恰当的kernel。另外，嵌入适合于分析，而未必适合于重建或者合成。这是因为嵌入是一个单射(injection)，目标空间不是每一个点都和原空间能有效对应的。嵌入之后的运算往往就打破了原空间施加的限制。比如两个元素即使都是从原空间映射过来，它们的和却未必有原像，这时就不能直接地回到原空间了。当然可以考虑在原空间找一个点它的映射与之最近，不过这在实际中的有效性是值得商榷的。和Learning有关的数学世界是非常广博的，我随着学习和研究的深入，越来越发现在一些我平常不注意的数学分支中有着适合于问题的结构和方法。比如，广群(groupoid)和广代数(algebroid)能克服李群和李代数在表示连续变换过程中的一些困难——这些困难困扰了我很长时间。解决问题和建立数学模型是相辅相成的，一方面，一个清晰的问题将使我们有明确的目标去寻求合适的数学结构，另一方面，对数学结构的深入理解对于指导问题的解决也是有重要作用的。对于解决一个问题来说，数学工具的选择最重要的是适合，而不是高深，但是如果在现有数学方法陷入困难的时候，寻求更高级别的数学的帮助，往往能柳暗花明。数学家长时间的努力解决的很多问题，并不都是理论游戏，他们的解决方案中很多时候蕴含着我们需要的东西，而且可能导致对更多问题的解决——但是我们需要时间去学习和发现它们。
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新北师大版五年级上册数学教材解读
湖北省宜都市枝城镇洋溪小学/王进
一、新旧教材内容的调整。
北师大版教材02版分为七个单元，主要内容及编排分别是倍数与因数，图形的面积（一），整理与复习（一），分数，数学与交通，整理与复习（二），分数加减法，图形的面积（二），尝试与猜测，整理与复习（三），可能性的大小，数学与生活，总复习。
北师大版教材03版也是七个单元，主要内容及编排分别是：小数除法，轴对称和平移，倍数与因数，整理与复习，多边形的面积，分数的意义，组合图形的面积，数学好玩，可能性，总复习。
把原四下的小数除法后移到五上，把分数加减法后移到五下，保留了倍数与因数，图形的面积单元，增加了轴对称和平移这个单元，删除数学与交通（把方程思想后移），数学与生活（迎新年、铺地砖），分数单元增加了分数的再认识（二），解决了学生对于分数单位认识不够的不足，让学生明白原来分数也是一个数，可以一个一个数的，就像度量面积的面积单位一样它们也是有单位的，在《分数与除法》中增加了“试一试”，通过两个量的比较沟通分数与除法的关系，增加了公顷，平方千米这个面积单位的换算，解决了以前学生对于这两个面积单位认识不够，无法理解的难点。
可能性单元的要求降低了，原来是要求用分数表示随机事件可能性的大小，按可能性要求设计活动方案，现在只是分《谁先走》（判断规则的公平性，设计公平的规则）和《摸球游戏》（初步感受数据的随机性）两节。
把原来的“综合与实践”改为“数学好玩”，这样更有助于提高学生学习数学的兴趣，把原来的旅游费用改为设计活动方案，把纯数学化的、要求较高的，改为有趣的、综合性强的，有助于提高学生的实践能力。删去了原来的看图找关系，把原来的点阵中的规律改为图形中的规律，增加了摆三角形。保留了以前的尝试与猜测，但是在设计环节上也作了很大的调整。
“整理与复习”以前是“你学到了什么？请你对学到的知识进行简单的整理，并与同学交流”。“根据学到的知识，你能提出什么数学问题？尝试解决，并与同学交流”两个板块。
而现在的教材分为“我学到了什么”，“我的成长足迹”,“我提出的问题”,和“巩固应用”四个板块（本册书中还有“我的数学日记”）。“我学到了什么”帮助学生通过在情境中解决问题来整理学习内容。“我的成长足迹”鼓励学生在学习过程和学习结束后提出新的问题。“巩固应用”参照独立练习的设计，题目维度包括知识技能、数学理解、解决问题和练习拓展。在表述上也由第二人称“你”改为第一人称“我”，大大增强了学生学习的自主性和创造性，而且内容比以前丰富多了，以前是一个表格，现在都有学生整理的作品展现，对于学生自己整理与复习有很好的指导作用，凸显了自主学习与合作学习两种主要的学习方式，强调了学生的数学理解，要求学生把自己悟到的东西用不同的形式表现出来，学会用数学的方式表达自己的所思所想，这又是一个创造的过程。这样设计非常符合人的天性：好奇、好探究、好秩序、好分享。
总复习部分原来就只有“数与代数，空间与图形，统计与可能性”三个部分的习题，而现在把数学知识分为“数与代数，图形与几何，统计与概率”三个部分，名称上发生了变化，还增加“回顾与交流”的板块，“回顾与交流”设置了“独立思考”和“相互启发”两个栏目：“独立思考”提出本册书相关知识的一些思考问题，供学生在讨论问题中整理所学知识：“相互启发”主要选择“独立思考”中有代表性的问题进行启发，鼓励学生对其余问题进行讨论，是合作学习、共同分享的过程。
保留了原有的“本学期你学到了什么”、“问题银行”。“问题银行”是鼓励学生在整个学期的学习过程中，学生将自己发现和提出的但暂时没有解决的问题“存入银行”，有些问题伴随着学习过程就得以解决了，有些问题将留待以后解决。这样做，有利于培养学生发现问题、提出问题的习惯。
二、教学内容的版面变化。
原来一课时2页的内容是正文1.5页，练习题0.5页，现在是正文和练习各1页，原来2课时2页的内容是正文1.5页，练习题0.5页，现在是正文1.5页，练习题1.5页，正文与练习题的页码比例达到了1：1。增加练习题解决了我们以前一线教师觉得练习不够的不足。“练一练”按照基本练习、变式练习、拓展练习三个层次设计，题目比例大致为7：2：1.其中基本练习、变式练习作为学生的基本要求，拓展练习为问号题，不要求全体学生完成，更不做考试要求。变式练习从问题变式、情境变式、方法变式等角度设计。
三、教学内容呈现方式上的变化。
每个教学内容都是按“情境+问题串”的基本叙述方式编排，将思考、分享与提升体现其中。其中“情境+问题串”就是将情境和问题串设计有机地结合起来，它的作用是“启学引思，导学引教”，我想教材这样编排的目的是为了加强学生对数学的理解，从不同的侧面，不同的角度引发学生的思考，可以说整个教材都是以问题促进思考，通过交流分享，反思、提升，从而获得知识技能、教学思考、问题探究、情感态度价值观的全面发展。
小学生的学习是基于情境的，为此教材设计了有趣的、现实的、蕴含数学意义和富有挑战性的多样化的情境，让学生体会数学与生活的广泛联系，认识数学的产生与发展的过程。
比如：在探索三角形的面积一节，原来的主情境是计算一张三角形彩纸的面积，现在改为“如何求出这面流动红旗的面积？”说一说你的想法。在试一试部分也有以前的“计算三角形的面积”改为“一块三角形交通标志牌”。又如在《认识底和高》一节（以前叫动手做），现在是由“一条限高4.5米的隧道”展开的讨论，你认为限高是指的哪一条线段的长度？画一画。
教材围绕情境提出一组问题，而这些问题都是围绕目标、按照一定的结构精心设计的，通过一个个问题指向数学知识、方法、思想等发生发展过程，从而引领学生的学习过程，有效实现学习目标。教材或从一个情境引出一个问题，围绕这个核心问题不断追问，从而产生问题串；（如在探索平行四边形的面积一节，在“公园准备在一块平行四边形的空地上铺上草坪”这一主情境下提出一个问题：“如何求这块空地的面积？说一说你的想法和理由”。围绕这个核心问题教材先是由长方形的面积公式长乘宽猜想平行四边形的面积能用两个邻边长度相乘吗？引发学生的思考验证，可以借助方格纸数一数，比一比，然后才提出“你能把平行四边形转化成长方形吗？”这一问题，转化之后再探索拼成的长方形与原来的平行四边形的面积有什么关系，最后才提出问题“怎样求平行四边形的面积？”）或围绕一个情境从多角度引发思考，提出一序列问题（如认识底和高一节就是一序列问题，先初步感知梯形的高，然后说一说什么是高再认一认，最后是画出给定底边上的高？通过一个个问题的解决实现学习目标）；或呈现多个情境下的问题，组成围绕核心内容的问题串，以从不同的角度促进学生的理解。体现了从头思考和由浅入深、由儿童粗糙的数学现实到数学王国的数学化过程。
3、分享和提升
教材在每个问题的下面，呈现了学生多种角度的思路，通过讨论，学生可以分享到不同的想法，也体现了学生个性化的思考和理解。比如：在探索三角形的面积一节，第一个问题下面就有两种思路：1、画方格，数一数；2、能把三角形转化为学过的图形吗？第二个问题下面又有两种转化的思路：1、两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形；2、通过画高转化为长方形。原来的教材就是拼，还有割补，在教学中我们也发现这两种方法学生都很难想到，通过画高转化为长方形学生倒是很容易想到。在这里部分学生通过探究没有想到也没有关系，我们可以通过分享丰富自己的思考和理解。教师要把握本套教材的特点，一切本着从学生的实际出发研究更适合学生成长与发展的教学方法。
1、教材弥补了前面3版教材的不足，即：以前的教材对于学生学习过程的指导还比较“粗放”，给教师预留的空间比较大，针对这两点，新世纪版教材加强了对于学生学习过程指导的设计，这样就为教师有效开展教学提供很很大的帮助。比如在尝试与猜测----鸡兔同笼一节中，新版教材就是先由“鸡兔同笼，有9个头，26条腿，鸡兔各有几只？”这个相对简单的问题入手，通过三个问题“1、与同伴说一说你的想法；2、笑笑是这么做的，你看懂了吗？与同伴交流；3、从上面的列表中，你还发现了什么？与同伴交流”让学生明白什么是鸡兔同笼，有9个头会有哪些可能，这么多可能怎么解决？引出列表法，然后展现逐一列举，让学生初步感受到列表的好处，对照表格，学生还能发现一些规律，为后面的跳跃列举，折中列举奠定基础。然后才提出《孙子算经》中的原题，让学生解决，有了前面经验的积累，学生在这里做着做着就会发现如果逐一列举会很麻烦，因为情况比较多，可以跳跃列举，中间省掉一些情况，自然就会逐步优化列举的方法，这样处理很符合学生的思维特点，建议老师们在教学时也尽可能的站在学生的角度想问题，这个问题学生会怎么想，第一次思考这个问题会怎么想，把学生的思维特点，思维方向把握准了，才能够走进学生，这样才能开展有效的教学。我清楚的记得在潘湾小学执教的《鸡兔同笼》一节，我的设计和新世纪版教材的这个流程差不多，课堂上孩子们表现非常好，整个课上下来非常流畅，期末考试题里面就有一道是考察鸡兔同笼的题目，孩子们答题的效果非常好，全班53人，答对的有49人，1人没做，3人做错，正确率达到92.5%，而在一小我自己班上的正确率只有36.5%。事实证明一堂好课能让孩子们终身难忘，受益终身。
2、本套教材还有一个特点就是“四个过程一致”，即课程内容的展开过程与学生的学习过程、教师的教学过程和课程目标的达成过程一致。为此，我们教师就特别需要给孩子空间，特别需要走进孩子，欣赏孩子们的创造，分享孩子们的智慧。我们的课堂应该是鼓励孩子们探究，只有学生自己经过思考、探究才能真正体会到数学的魅力。老师们在操作的时候可能会想，我班上的学生想不到书本上提供的方法，怎么办？比如：在探究三角形面积时（学生就很难想到用两个三角形来拼，老师可以有意识的拿出两个完全一样的三角形让学生拼），没有想出来也没有关系的，我们可以通过分享达到目标，试想我们的学习除了直接经验也还有间接经验，很多都不是自己想出来的，有的是从书上学到的，有的是向别人学到的。还有老师可能会遇到这样的问题：放手让孩子们提问题，有时候他们的问题会让我们一时不知所措，（比如有一个孩子曾提出这样一个问题“七巧板为什么没有平行四边形”，“为什么只有立体图形才能站稳”），我认为这都不要紧，可以让孩子们把这些问题存放到问题银行里面去，伴随着学习过程有的就可以得以解决。我要说的是学源于思，只要孩子有了提问的习惯，学生有了探究的意识，您的课堂有了自主探究，合作交流的氛围，时间长了您的孩子肯定就会有很多您意想不到的方法和思路。到那时候您的课堂上就再也不用担心学生想不到。如果您让您的孩子们获得了数学学习的好奇心和自信，愿意去独立思考与合作交流，学会了思考，您就是一名成功的教师！
3、教师要想办法培养孩子们学习数学的兴趣、，让孩子们感受到数学好玩，数学有趣。
试想，一个孩子如果在小学阶段就对数学学习没有了兴趣，甚至厌恶，那是多么的可怕。本套教材也在培养学生兴趣上下了很大功夫，比如情境图尽量更贴近儿童生活经验，还兼顾了农村与城市，通话世界，儿童日常经验与社会生活，科技发展等的平衡。比如在探索三角形面积中就增加了流动红旗河交通标志牌，认识高的时候也增加了隧道限高的情境图，还专门增加一个数学好玩板块，目的都是为了激趣。
4、构建和谐、高效的课堂
孩子们向往的课堂要有“掌声，笑声，辩论声”，当孩子们经过自己独立思考、探究发现了一些有用的东西，他就很想和同伴分享他成功的喜悦，这时候老师应该给他机会，同时要送给他掌声；当孩子们对一个知识理解了，悟透了，他会很开心，我们要想办法让孩子在课堂上真正理解，这样才会让孩子感觉到轻松，这就需要老师幽默、风趣，还要微笑，这是对孩子的鼓励和呵护，只要老师这样做了，孩子们会感受到数学老师很有魅力，这样你就成功了一半。当孩子们有不同的见解时，他们就会争辩不休，知道自己能够解释，心理得到了澄明和慰藉才肯罢休，这是人类求真，求善求美的一种天性。所以我们的课堂要允许学生发表不同的见解，孩子们的争辩正是他们思维激荡的一种表现形式，知识在辨析中就越来越清晰了，孩子们心理就越来越明镜了，以后他向别人讲解的时候就更理直气壮、信心十足了。所以我们建议教师要构建充满“掌声，笑声，辩论声”的助学课堂。事实证明精致的讲解无法代替学生亲自的实践，教师的教学应该对学生的学习发挥帮助、催化的作用，要想方设法地让孩子们成为学习的主人。}