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波动(干涉和衍射)
&&大学物理ppt 光的波动
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你可能喜欢现在讨论薄膜两表面有一个很小的夹角θ(楔形膜)的；若光源距薄膜很远，或接收仪器(人眼或透镜)的入射；程差只是薄膜厚度h的函数，干涉条纹的形状取决于薄；1.楔形薄膜；如图4-11所示，楔形薄膜两表面的夹角θ称为顶角；现在计算条纹的间距△L，当△=mλ时形成亮纹，设；?m?1?2nhm?1??2?(m?1)?;?m；2n?因为θ角是恒值，所以条纹是等间距的.θ角
现在讨论薄膜两表面有一个很小的夹角θ(楔形膜)的情况.如图4-10所示，当光源上一点发出的光经薄膜上下表面反射以后，成为非平行光，随着楔棱取向不同，这两束光或交于P点(图a)或其反向延长线交于膜下P点(图b），在P点产生干涉.膜很薄，光的入射角又比较小时，可近似认为干涉条纹位膜的表面.此时，膜上表面的A点与C点离得很近，相邻两反射光的总光程差可近似用(4.21)或(4.22)式表示，式中的h将随入射点A的位置而改变. 若光源距薄膜很远，或接收仪器(人眼或透镜)的入射光瞳很小，以致整个视场内光线的入射角可视为不变.也就是说是以平行光或准平行光入射，那么光程差只是薄膜厚度h的函数，干涉条纹的形状取决于薄膜上厚度相同的点的轨迹，这种干涉称为等厚干涉。
使用扩展光源时，等厚干涉图样定域在薄膜表面附近.观察时，通常把眼睛、显微镜等接收器对薄膜表面调焦.
下面研究两种典型的等厚干涉现象. 1. 楔形薄膜 如图4-11所示，楔形薄膜两表面的夹角θ称为顶角，单色平行光正入射到薄膜上(i2≈0).干涉条纹是一组与楔棱平行的直条纹。 现在计算条纹的间距△L，当△=mλ时形成亮纹，设hm和hm+1分别为第m和m+1级亮级对应的膜厚，则 ?m?1?2nhm?1??2?(m?1)?;?m?2nhm??2?m?;?h?hm?1?hm??2n;?L??h????（4.23） 2n?因为θ角是恒值，所以条纹是等间距的.θ角愈大，条纹愈密.由于光波长很小，若从实验上测出△L，则可利用(4.23)式确定很微小的角度θ 2. 牛倾环.
如果薄膜是由一个平面和一个球面(或两个球面)组成，干涉条纹是一组同心圆环，称为牛顿环.观察牛顿环的装置如图4-12所示，一个曲率半径很大的凸透镜放在一块平面玻璃板上，二者之间形成一厚度不均匀的空气层. 设接触点为O，以单色平行光垂直人射.显然等厚线是以O为中心的同心圆环.由于有附加的光程度对λ/2，中心点为暗点.仍可利用(4.23)式分析条纹的间距，这里θ角从中央往外逐渐变大，条纹也随之逐渐变密. 例4 .1 试证明牛顿环第m级暗纹的半径为rm?m?R。 证明:如图4-12所示，设第m级暗环的半径为rm,hm.为第m级暗环所在处空气层的厚度,R为透镜曲率半径，2显然有rm?R2?(R?hm)2?hm(2R?hm), 2因为实际装置中2R?hm，所以近似有rm?2Rhm?(1) 又因为第m级暗环满足以下条件??2h???(2m?1)?，即：2hm?m??（2） mm22将(2)式代人(1)式得到：rm?3.4 透射光的干涉条纹 m?R 在图4-6中，从薄膜下表面透射出来的光也能产生干涉条纹.如果薄膜上下两侧处于同种介质中时，1’和2‘两束光之间没有附加的光程差，其总光程差为△=2nh cos i2 ?（4.24） 所以反射光的干涉图样和透射光的干涉图样是互补的.例如在等倾干涉情况，对于同一入射角的光，若在反射时产生干涉极大(亮条纹)，在透射时则产生干涉极小(暗条纹).反射光的干涉光强与透射光的干涉光强是互补的，它们的和应等于人射光强(不考虑介质的吸收、散射等能量损失).等厚干涉的情况亦相同。由于1‘和2'两柬光的振幅相差很大，所以透射光干涉图样的可见度很低。 四
迈克耳孙( Michelson)干涉仪
迈克耳孙干涉仪的光路如图4-14所示，G1和G2是两块折射率和厚度都相同的平行平面玻璃板，G1是分束板，G2是补偿板，它们互相平行. G1的后表面镀有半透膜(反射光与透射光各为50%) . M1 - 6 - 和M2是两块反射率很高的平面反射镜，与G1约成45°角.从光源发出的一束光，经G1后分为反射光束1与透射光束2。光束1经M1反射后透过G1成为1’’光;光束2经M2反射后被G1反射成2\光.由几何光学可知，M2经过G1所成的像位于M’2，因此光束2\好像是从M’2反射来的一样.干涉仪的干涉相当于由M1和M’2构成的空气薄膜产生的。 补偿板G2是补偿光程的.当无G2时，1光比2光多经过G1两次.加入G2后，两束光在玻璃板中的光程就相同了.这种补偿在单色光照明时并非必需，因为光束1在经过玻璃板时所增加的光程可以用增加2光在空气中的行程补偿.但用白光作光源时，因为玻璃有色散，对于不同的波长增加的光程不同，这是无法用空气中的行程来补偿的.因而在观察白光条纹时，补偿板G2不可缺少. M1和M2镜的背面有螺钉，用来调节它们的方位.如果使M1和M’2精确平行，观察到的是一组等倾圆环条纹.M2的位置是固定的，M1可以前后移动，空气膜的厚度也随之改变.当M1移向M’2时，空气膜厚度逐渐减小，条纹向中心收缩，并在中心一一消失.M1平移λ/2的距离，在中心消失一个条纹.当M1与M’2完全重合时，视场一片均匀照亮.如继续移动M1，使M1逐渐离开M’2，则条纹不断由中心冒出，如果视场中心消失(或冒出)的圆环条纹数目为N，显然它与M1镜移动的距离△h之间有下述关系: ?h?N??(4.25) 2若已知波长，记录下N，便可算出△h，这就是激光干涉测长仪的原理.若已知标准长度△h，记录条纹变动数目N，便可算出波长，这就是干涉仪测量波长的原理. 当M1和M’2形成一很薄的楔形空气膜，而且观察面积很小时，可以看到等厚条纹。 五、 法布里一拍罗(Fabry一perot)干涉仪 双光束干涉条纹的光强分布是cos2(δ/2)的函数，光强随相位差变化缓慢，干涉亮纹较宽，影响了测量精度.而利用多光束干涉，则能得到光强急剧变化，亮条纹细锐且明亮、暗纹较宽的干涉条纹。法布里-珀罗干涉仪(简称F-P干涉仪)就是基于分振幅法的多光束干涉仪.（结构如图4-5所示）.G1和G2是两块具有很小楔角（一般约5～30）的平板玻璃，相对两面互相平行，并镀有高反射率（90％以上）的反射膜。入射光在G1、G2两相对面上多次反射和折射后产生多束相干透射光，并在透镜L2的后焦面上形成等倾圆环条纹，与迈克尔孙干涉仪的等倾圆环条纹相似，但亮纹要细锐明亮得多。如果G1、G2两板间的距离用间隔板固定，称为法布里-珀罗标准具。如果G1、G2两板间的距离h可以调节，则称为法布里-珀罗干涉仪。
F-P干涉仪的基本原理是空气平行薄膜的透射光的多光束干涉.由于多次反射，振幅递减，所以是非等幅的多光束干涉. 设单色光束从玻璃板进入空气薄膜的振幅反射比为r，透射比为t;反过来从空气胜进入玻璃板的振幅反射比为r’，透射比为t’.设入射光的振幅为A，现将从薄膜透射出来的各光束的振幅标明在图4-16上。 依据(3.3)式，因反射引起的相位跃变将由r与r’反映，所以相邻两透射光束之间的相位差为: ?=2???=2??2hcosi2?（4.26） 取第一束透射光的初相位为0，各透射光束的复振幅依次为： ??tt'Aei0;E??tt'r'2Aei?;E??tt'r'4Ae2i?;E??tt'r'6Ae3i?;?? E1234?为： 所有透射光束叠加后的合成复振幅ET???E??tt'(1?r'2ei??r'4e2i???)A?ETNN?1?tt'1?r2A?A 2i?2i?1?r'e1?re其中利用了级数关系式：1?x?x2???1 1?x和斯托克斯公式(3.3)和(3.4)。又因反射率R=r2，令入射光强I0=A2，可求出透射光强分布公式: ?E??IT?ETT?(1?r2)2A2，即24IT?1?2rcos??r(1?R)2?（4.27） ?2I02（1?R）+4Rsin2现引入一个新的量F，称为锐度系数：F=4R?（4.28） 2（1-R）于是.(4.27)式可以改写成：IT?I01+Fsin2?（4.29） ?2 - 7 - 图4-17画出(4.27)式所描述的IT和δ的关系.给定不同的R值，得到不同的曲线.可以看出，干涉光强极大值的位置由δ决定与R无关;干涉条纹的细锐程度由R决定，随着R的增大，亮纹宽度变窄，条纹变锐.当R很大时，透射光的干涉条纹是在几乎全黑的宽背景上呈现很细的亮纹.由于反射光强与透射光强互补，所以反射光的干涉条纹是在宽的亮背景上呈现很细的暗纹，不易辨认，故很少应用。 如果入射光含有不同波长成分，不同波长的光形成各自的圆环条纹(干涉分光).由于条纹细锐，故长差极小的光形成的条纹也能分辨出来，所以F-P干涉仪是高分辨率的光谱仪器。常用来研究光谱的精细结构与超精细结构. 七、光学薄膜 7.1 单层增透膜和增反膜 在一块透明均匀的基底(比如折射率为ng的玻璃)表面土涂敷一层透明的介质薄膜(折射率为n)，就形成了单层膜，膜层与基底组成的系统称做膜系.在单层膜系中有两个界面:入射光所在介质(折射率为n0)和膜层的界面;膜层和基底的界面.光波在两界面上依次反射和透射(图4-20)产生多光束干涉.干涉的结果决定了薄膜的光学性质. 计算单层膜反射率的方法与F-P干涉仪的反射率计算基本相同，只是现在上下两界面的反射、折射振幅比不再相等而已，所以下面略去推导过程.各反射光束的振幅标明在图4-20上.相邻两反射光束之间的相位差为?=2??=4?nhcosi； 2???为：?r1?r2ei?叠加后的反射光复振幅E RER?Ai?1?r1r2e22???单层膜系的反射率R为：R?ERER?r1?2r1r2cos??r2?（4.34） 222A1?2r1r2cos??r1r2下面我们只讨论近似正入射情况，即i1≈i2≈0，因此两相邻反射光的相位差为: ??4??nh 根据(3.9)式可知: r1?n?ng n0?n,r2?n0?nn?ng当n0和ng以及λ一定时，选定了膜的材料n，反射率R只是膜层光学厚度nh的函数. 由(4.34)式可求得R取极值的条件为δ=nπ,m=0,1,2,??δ为π的整数倍，也就是nh为λ/4的整数倍时，R取极值. 图4-21是取n0=l,ng=1.5, i1=0的情况下作出的R与nh的关系曲线.从图4-21的曲线不难得出如下结论: (1) 要镀单层增反射膜，就要用高折射率材料(n>ng)，而且膜层光学厚度nh=(2m+1)λ/4,m=0,1,2,?,n比ng越大，增反射效果愈好.例如，在折射率ng=1.50的玻璃基板上镀ZnS(n=2.34)的λ/4膜层时.由(4. 34)式可算出反射率R≈33％. (2) 要镀单层增透射膜，就要用低折射率材料(n<ng)，而且膜层光学厚度nh=(2m+1)λ/4,m=0,1,2,?,但并不是n比ng愈小.增透效果就愈好. 因为只有当n0ng-n2=0时，才有R=0，即n?n0ng?(4.35) 那么，对于ng-1.50～1.60的光学玻璃，则要求n=1.22～1.27，这样的材料太难找了，所以常用n=1.38的MgF2.当ng=1.50时，镀MgF2后，R由原来的4%降到1.3%. (3) 单层膜的光学厚度nh=λ/2时，不论n>ng还是n<ng，膜系的反射率和未镀膜时基底的反射率相同.
7.2多层介质高反射膜 单层增反射膜能提高反射率，若要进一步提高，则需增加介质膜的层数.多层介质膜具有反射率高、吸收小的特点。 常用的高反射膜系是这样构成的.选取两种折射率相差尽可能大的材料，交替涂敷到基板上，每层膜的光学厚度都是1/4波长.并且与空气（A）和基板（G）接触的都是高折射率的H膜，即H膜比低折射率的L成多一层膜的层数为奇数，如图4-22所示，这种λ/4膜通常用下列符号表示：GHLH?LHA=G(HL)HA,N=1,2,3,??(4.36) （2N+1）为膜的总层数。层数愈多，膜系的反射率R就愈高。例如，氦氖激光器谐振腔的全 - 8 - N反射镜涂镀15～19层ZnS-MgF2的λ/4膜系，对于632.8nm的波长，其反射率高达99.6. 下面简单定性地说明多层高反射膜的作用。由于每层膜的光学厚度均为λ/4, 对于相邻的两束反射光每层膜引起的光程差为λ/2，相位差为π；又由于各个膜层上下界面的物理性质不同(第三章§1)，故还存在附加相移π.所以各膜层反射出来的光波1,2,3,?在空气中相遇时的相位都相同(2π的整数倍)，干涉加强.层数越多，光强愈大，反射率R就愈大。
7 .3干涉滤光片 从连续光谱中选出所需要的单色光的元件称为滤光片.利用光的干涉原理制成的滤光片称为干涉滤光片.它具有体积小、重量轻、透射率高和单色性好等优点.干涉滤光片的种类有多种，最普遍的是法布里一拍罗干涉滤光片，它是利用F-P干涉仪的选模原理设计的. 常用的千涉滤光片有两种:金属反射膜干涉滤光片和全介质干涉滤光片。 干涉滤光片有三个特性指标:①透射光的中心波长λ0，即透射率最大的波长.②峰值透射率.由于玻璃及膜层的吸收和散射，峰值透射率不可能等于100%，特别是金属反射膜滤光片，吸收更为严重，峰值透射率常在30%以下.③透射带的光谱宽度.如图4-24所示，定义干涉滤光片的透射峰值下降一半时所对应的波长范围为该滤光片的光谱宽度，记作△λ，其表示式为??=?（??（4.37） 01-R）m?R△λ随着反射膜的反射率R增大而减小得很快，R,m(干涉级数)的值越大，透射光的单色性越好.金属膜的反射率受到一定限制，所以不可能将△λ做得很窄，但金属膜的制作比多层介质膜简单容易得多.（完）
习题与思考题 1、对杨氏干涉实验装置做如下几种改变，试讨论接收屏上的干涉条纹将如何变化? (1)将单色缝光源S向上或向下平移; (2)将单色缝光源S向双缝S1、S2移近; (3)将观察屏移离双缝S1、S2; (4)将双缝间距加倍; (5)单色缝光源缝宽从零逐渐增大的过程; (6)换用两个单色点光源，使其分别照明双缝S1、S2. 2、根据将同一光源的波前划分为两个(或多个)部分作为相干光源的方法，试设计出几种分波前干涉装置。 3、在杨氏实验中.双缝相距为5.0mm，缝与接收屏相距为5.0m.人射光中包含波长为500nm和600nm两种成分，因而看到屏上有两组干涉图样，试分别求出这两种波长的干涉条纹宽度及第二级亮纹间的距离.
4、杨氏干涉的应用之一是测气体的折射率，其原理性结构如下图所示
在S1的后面放置一长度为l的透明容器，当待测气体注人容器而将空气排出的过程中，接收屏上的干涉条纹就会移动.由干涉条纹移动的数目可以推知待测气体的折射率.设待测气体的折射率为nx，且大于空气的折射率n0.如果充人的气体为氯气，l=2.0cm.条纹移动的数目△m=20，光波波长λ=589.3nm，空气的折射率n=1.000276.求:(1)干涉条纹如何移动?(2)待测氯气的折射率. 5、用很薄的云母片(n=1.58)覆盖在双缝装置中的一条缝上，这时接收屏上的中心位置为原来的第7条亮纹所占据。如果人射光波长为500nm，则云母片的厚度如何？ 6、两束相干平行光传播方向与xz面平行，与z轴的交角分别为θ1和θ2.在xy平面放置接收屏，屏上干涉条纹是一组平行于y轴的 - 9 - 直线.前后移动接收屏，干涉条纹间距不变.试证明:干涉条纹表达式为?x? ?sin?1?sin?2 7、杨氏实验中，若光源是白炽灯光透过一块红色滤光片，滤光片透过的波长范围为600―700nm.假设单缝无限窄，双缝间距为0.1mm，观察屏离双缝lm.求屏上可看到的条纹数目和条纹范围.若用一个?=650nm、△λ=10nm的红色干涉滤光片代替前者，情况又如何?
8、如图所示，在湖面上方0.5m处放一探测器，一射电星发出波长为21cm的平面电磁波.当射电星从地平面渐渐升起时，探测器探测到极大值，求第一个极大值出现时射电星和水平面的夹角θ.
9、已知太阳直径为1.4x106km，与地球的距离为1.5X108km.若以太阳为光源直接照射在杨氏干涉实验装里的双缝上，则双缝间的距离最大为多少时，在观察屏上能看见干涉条纹?(取λ=500nm)
10、用钠光灯作为杨氏双缝实脸的光源(光波波长589.3nm)，双缝与光源的距离为0.4m，双缝间距是2mm.为了在接收屏上获得可见的干涉条纹,光源的宽度最大取多少？
11、在杨氏双缝实验装置中，双缝相距0.5mm接收屏距双缝1m，点光源距双缝30cm，它发射λ=600nm的单色光.试求: (1)屏上干涉条纹间距; (2)若点光源由轴上向下平移1mm，屏上干涉条纹向什么方向移动?移动多少距离？ (3)若从两缝发出光波的振幅比为l:3，则屏上干涉条纹的可见度为多少? (4)若点光源发出的光波为6003.0nm范围内的准单色光，求屏上能看到的干涉极大的最高级次; (5)若光源具有一定的宽度，屏上干涉条纹消失时，它的临界宽度是多少? 12、在观察某薄膜的反射光时呈现绿色(λ=550nm)，这时薄膜法线和视线夹角α=30°. 问:(1)薄膜的最薄厚度是多少?(设薄膜的折射率λ=1.33) ，(2)沿法线方向观察膜成什么颜色？ 13、有透明薄片.两端的厚度不等，成楔形，其折射率n=1.5,当波长λ=600nm的单色光垂直照射时，从反射光中看到薄片上共有10条亮故(薄端为暗纹)，求此薄片两端的厚度差. 14、在两块光学平晶间放三颗滚珠A,B,C.用波长λ=500nm的单色光垂直照射. 观察到如下图所示的干涉条纹. 问:（1）这三个滚珠的宜径差是多少? （2）用什么方挂可以判断那个直径最大?
15、为什么在反射光中观察牛顿环的中心通常都是黑的?若将油放在由冕牌玻璃和火石玻璃制成的透镜之间，油的折射率介于两种玻璃的折射率之间，则在透镜接触点周围的反射光中将出现亮点，而在透射光中则出现暗点.试解释这一现象. 16、将两块曲率半径相同的平凸透镜凸面向下，分别放在一块平凹透镜的凹面上和一块平板玻璃上，以波长为632.8nm的光垂直照明，发现在直径40mm的范围内所见的干涉条纹数目相差10条.求凹面的曲率半径.
17、牛顿环装置中，用λ=450nm的蓝光垂直照射时，测得第3个亮环的半径为1.06mm用另一种红光垂直照射时，测得第5个亮环的半径为1.77mm。问此种红光的波长为多少?透镜的曲率半径为多少?
18、用等厚干涉方法检验平行玻璃板的平行度.如果采用钠光灯(λ=589.3nm，谱线宽度△λ=1.0nm)能否检验1cm厚的平板的平行度?为什么?
19、用波长λ=632.8nm的光源照明迈克耳孙干涉仪测量长度时，发现一镜移动一段距离后.干涉条纹移动1000条，求这段距离.
20、钠灯中含有两条强度和波长均相近的谱线，两条谱线的平均波长为589.3nm.在钠光下调节迈克耳孙干沙仪，直到看到圆形干涉条纹.由于两条谱线各自形成一套干涉图样，所以在调节M1的过程中。干涉条纹会出现由清晰到模糊又到清晰的周期性变化。测得条纹由最清晰时算起到第一次变模糊时为止，视场中移过490条条纹。求钠光谱中的两波长差△λ=λ1-λ2及λ1、λ2。
21、用He-Ne激光（λ=632.8nm）照明迈克耳孙干涉仪，通过望远镜看到视场内有20个亮环，且中心是亮斑.移动M1，看到干涉环向 - 10 - 中心收缩，并在中心消失了20个环，此时视场内只有10个亮环，试求: （1）M1移动的距离是多少？空气膜厚度是增大了，还是减小了? （2）M1移动前中心亮斑的干涉级次（设分束板G没有镀膜）。[提示：M1移动前后，观察视场大小一样，可假设移动前后视场中最边缘条纹的角半径近似相等。]
22、用水银灯发出的绿光λ=546.1nm照射迈克尔孙干涉仪，实验测得M1和M2相距0.23cm时干涉条纹消失。问光波的相干长度L0，谱线半宽度△λ，频谱宽度△v各是多少？
23、设法布里-帕罗干涉仪腔长3cm, 反射率R=0.98, 采用扩展光源照明，（1）若采用波长为0.6μm的光源，则中心干涉条纹级次为多少?(2)如果用这个腔对白光选频，透射最强的谱线有几条？λ=0.5μm的谱线宽度为多少？
24、一稍小于600nm的未知波长与600nm的波长在法布里-帕罗干涉仪上进行比较，当法布里-帕罗干涉仪的两镜面之间距离改变1.5mm时，视场中心附近两波长条纹就重合一次，试求未知波长.
25、已知钛酸锶的折射率ng=2.409，若要在它上面镀一层消反射膜，薄膜材料的折射率和最小厚度应为多少?
26、波长为8μm的红外光由空气正人射到折射率为n=4.0的介质表面，此时的反射率为多少?为减少反射光损失，应当在介质表面上镀一层折射率为多少的介质膜?其厚度至少应为多少?
27、用二层银膜中间夹一层硫化锌(ZnS, n =2.3)构成一个F-P滤光膜.若银膜的反射率为95%，硫化锌的厚度为400nm，问这个滤光膜在可见光区有几条透射谱线?每条透射谱线的线宽为多少(光正人射)?
28、在玻璃板(折射率n1=1.5)表面镀一层折射率为n2=2.5的透明介质膜以增强反射，设在镀膜过程中用一束波长λ=600nm的单色光从上方垂直照射到介质膜上，并用照度表测量透射光的强度。当介质膜的厚度逐渐增大时，透射光的强度发生时强时弱的变化.求当观察到透射光的强度第三次出现最弱时，已镀膜层有多厚?
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用一种粒子群优化算法和一种遗传算法解决下面优化问题 minf(x)=∑_(i=1)^n&#9618;[x_i^2-10*cos&#8289;(2*minf(x)=∑[x_i^2-10*cos(2*pi*x_i )+10] ,i从1到n其中—5.12≤x_i≤5.12,i=1,2,&#8943;n,n=30
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这个用标准粒子群算法就可以求解了,每个粒子由30维构成,每维代表xi；粒子的适应值用最优化的函数minf表示即可；初始化xi到-5.12到5.12之间.用遗传算法你就用将实值问题转为离散问题,或者采用实值处理的遗传算法.
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扫描下载二维码作简化处理令?1=?2，则这两个平面波在三维空间；δ(x,y,z)=k2?r?k1?r=(k2x?；P点的光强分布；1212；A1+A2+A1A2cosδ(x,y,z)(2.；当δ(x,y,z)=常数时，(2.2-12)式是；I(x,y,z)=I1+I2+2I1I2cosδ；m取间隔为1的整数时，由(2.2-12)式得到三；置由下式确定；(k2x?k1x)x
作简化处理令?1=?2，则这两个平面波在三维空间中某点P(x,y,z)，相遇发生干涉时的相位差。 δ(x,y,z)=k2?r?k1?r=(k2x?k1x)x+(k2y?k1y)y+(k2z?k1z)z
(2.2-12) P点的光强分布 1212A1+A2+A1A2cosδ(x,y,z)
(2.2-13) 22当δ(x,y,z)=常数时，(2.2-12)式是三维空间中平面的方程。特别地，当δ(x,y,z)=2mπ，I(x,y,z)=I1+I2+2I1I2cosδ(x,y,z)=m取间隔为1的整数时，由(2.2-12)式得到三维空间中等间距的平行平面族。平面所在的位置就是空间中光强取极大值的位置，这时形成了光强度的三维周期分布。若在z=z0处放置一个平行于xoy平面的屏，在屏上就可以看到二维的干涉条纹分布，条纹的极大值位置由下式确定 (k2x?k1x)x+(k2y?k1y)y=2mπ?(k2z?k1z)z0
(2.2-14) 这是二维平面上一组等间距的直线方程，在图2-6中以Δx和Δy分别表示沿x轴和y轴方向相邻亮条纹中央极大的间距 Δx=2π2π ，
(2.2-15) k2x?k1xk2y?k1yΔxΔy(Δx)+(Δy)22条纹间距
(2.2-16) 图2-6 两列平面波在观察平面
图2-7 波矢方向与z轴夹角为θ的两个
xy上产生的干涉条纹
单色平面波在z＝0的面上相互干涉
特别地对于波矢k的方向平行于yoz平面，且分别以?θ角和θ角入射于xoy平面上这两个入射平面波的复振幅分布分的两个振幅相等的相干平面波(图2-7)。在xoy平面上，别为 U1=Aexp[?j(ωt+kysinθ)] U2=Aexp[?j(ωt?kysinθ)] xoy平面上根据(2.2-6)式，干涉光强分布为 I=2A2cos2(kysinθ)
干涉条纹极大值满足条件
992πλ干涉条纹的间距 ysinθ=mπ
(m=0,±1,±2,L)
(2.2-19) 2sinθ由上式看出，两光束间的夹角越大，在xoy平面上观察到的干涉条纹越密。
d=λ 图2－8 （a）入射波与反射波；
（b）入射波与反射波的电矢量及其直角坐标分量
2、驻波 一单色平面波以θi角入射至高反射率（R≈1）的平面镜上，波矢为ki。反射光也是单色平面波，波矢为kr。在它们的重叠区域形成了波矢方向夹角为π?2θi的两束平面波的干涉，如图2-8(a)所示。在图2-8(b)中表示出了入射光和反射光的电矢量及其直角坐标分量，图中符号的意义与推导菲涅耳公式时所用符号的意义相同。计及时间变化因子，入射平面波各直角坐标分量为 (i)(i)?jτi
(2.2-20a) Ex=?E/(/i)cosθi=?E0cosθei//(i)(i)(i)?jτi
(2.2-20b) Ey=E⊥=E0⊥e(i)Ez(i)=?E//sinθi=?E0(i//)sinθie?jτi
(2.2-20c) 式中
τi=ωt?ki?r=ωt?(kixx+kiyy+kizz)=ωt?(kixxsinθi?kizzcosθi)
(2.2-21) 用同样的方法由图2-8(b)得到反射平面波电矢量的直角坐标分量为 (r)(r)?jτrEx=E/(/r)cosθr=E0
(2.2-22a) //cosθre(r)(r)(r)?jτrEy=E⊥=E0
(2.2-22b) ⊥e(r)(r)(r)?jτrEz=?E⊥sinθr=?E0
(2.2-22c) ⊥sinθre式中
τr=ωt?kr?r=ωt?(krxx+kryy+krzz)=ωt?(krxsinθr+krzcosθr)
(2.2-23) 由反射定律
θr=θi=θ ，
(2.2-24) 因此可将(2.2-20)和(2.2-21)式中的θi、θr的下标省去，ki和kr的大小均以k来表示。 由菲涅耳公式(1.5-19a)和(1.5-19b) (r)E0n1cosθi?n2cosθt
(2.2-25a) r⊥=(⊥=i)E0⊥n1cosθi+n2cosθt 100
E0(r//)ncosθi?n1cosθt
(2.2-25b) r//=(i)=2E0//n2cosθi+n1cosθt当反射率很高时，可以假定n2>>n1，在此条件下由(2.2-25)式得到振幅之间的关系式 (i)(r)(i)E(r)=E0E0//
(2.2-26) ⊥=?E0⊥ ，
0//将以上结果代入(2.2-22)式中，就得到用入射波电矢量的垂直和平行分量振幅来表示的反射波电矢量的直角坐标分量 (r)(i)?jτr
(2.2-27a) Ex=E0//cosθe(r)(i)?jτr
(2.2-27b) Ey=?E0⊥e?jτr(i)
(2.2-27c) Ez(r)=E0⊥cosθe介质1中任一点的总电场强度等于该点入射波和反射波的电场强度之和，即 E=E(i)+E(r)
(2.2-28) E的x分量为 (i)(r)Ex=Ex+Ex ?jτi?jτr(i)(i)=?E0+E0 //cosθe//cosθe?(i)=2E0//cosθsin(kzcosθ)exp???用同样方法得到 π???j?ωt?kxsinθ???
(2.2-29a) ?2????π??(i)Ey=?2E0sin(kzcosθ)exp?jωt?kxsinθ????
(2.2-29b) ⊥????2?(i)Ez=?2E0//sinθcos(kzcosθ)exp[?j(ωt?kxsinθ)]
(2.2-29c) 用完全类似的方法得到介质1中总磁场强度的三个直角坐标分量如下： (i)Hx=?2E0⊥n1cosθcos(kzcosθ)exp[?j(ωt?kxsinθ)]
(2.2-30a) (i)Hy=?2E0//n1cos(kzcosθ)exp???j(ωt?kxsinθ)??
(2.2-30b) ??π??(i)Hz=2E0⊥n1sinθsin(kzcosθ)exp??j?ωt?kxsinθ???
(2.2-30c) 2????推导上式时在介质1中应用了方程(1.3-14)和麦克斯韦关系式(1.1-48)，即 H=ε1s×E μ1和
n1=εr1 ε1、εr1、n1、μ1均为介质1中的参数。ε1为介电常数，εr1为相对介电常数，n1为折射率，μ1为磁导率，其中ε1=ε0εr1，μ1=μ0μr1≈μ0。 (2.2-29)和(2.2-30)式中每一个表达式各代表一个沿x方向传播的波，传播速度为 v= ωksinθ
(2.2-31) 101波的振幅不是常数，而是沿z方向周期变化的量，其变化周期为 λ02π
(2.2-32) =kcosθn1cosθ式中λ0为真空中光波波长。 特别地，当光垂直入射至反射面时，θ=0，反射波和入射波的传播方向正好相反，相当于图2-7或图2-8中两光束间夹角为π的情况。这时已经没有入射面的概念，为在讨论问题时明确起见，设平行分量沿x轴，垂直分量沿y轴 (i)(i)(i)(i)E0//=?E0x ，
(2.2-33) 这样(2.2-29)和(2.2-30)式化成 ??π??(i)Ex=?2E0xsinkzexp??j?ωt???
(2.2-34a) 2??????π??(i)Ey=?2E0sinkzexp?jωt????
(2.2-34b) y????2?Ez=0
(2.2-34c) (i)Hx=?2E0yn1coskzexp(?jωt)
(2.2-35a) (i)Hy=2E0xn1coskzexp(?jωt)
(2.2-35b) Hz=0
(2.2-35c) 从以上结果我们看到，在每一个时刻，介质1中各点的相位都是常数，由(2.2-31)式，当θ=0时，波没有有限的传播速度。单色光在垂直入射时入射光和反射光相干涉形成的场分布是一个驻波。电矢量和磁矢量的振幅是z的周期函数。我们将振幅为0的位置叫做波节，振幅取最大值的位置叫做波腹。由(2.2-34)式看出电场的波节位置在 mπmλ0z==
(2.2-36) k2n1而波腹位置在
(2.2-37) 2222n1比较(2.2-34)和(2.2-35)式，发现磁场的波节和电场的波腹所在位置重合，而磁场的波腹和电场的波节所在位置重合。特别值得注意的是，在反射面处（z=0）电场是波节而磁场是波腹。 1890年维纳（O. Wiener）首先在实验上证实了光驻波的存在，他所依据的实验原理如图2-9所示。图中M为一上表面镀银的平面镜，一层透明的感光乳胶膜F涂在玻璃板乳胶膜F放在镜M之前，与M有一很小的倾角α，一侧的平面上，其厚度小于120波长。一束准单色光垂直入射，入射光和反射相干涉形成上面所讨论的驻波。图中将α角夸大了。光场作用于乳胶并使它曝光，经显影后得到明暗相间的条纹。维纳实验证明乳胶感光最强的部分即图2-9中Q1、Q2、Q3、Q4等位置对应的是电场波腹所在的位置，而不是磁场波腹的位置。乳胶感光实质上是一种光化学的过程，因此维纳实验的意义不仅仅是用实验证实了光驻波的存在，而且证明了光化学作用直接与电矢量有关，而与磁矢量无关。这个102 结论从电子论看来是理所当然的，乳胶感光过程是一个电离过程，其中一个电子从卤化银的一个原子键上被移走，而作用在静止带电粒子上的电磁力是与电矢量成正比的。
图2-9 维纳驻波实验 三、单色球面波的干涉 最早的光的干涉实验是杨氏(T.Young)于1801年演示的，作为建立光的波动学说决定性的一步，它具有重要的历史意义。杨氏干涉实验的原理如图2-10、图2-11所示。一个单色点光源照射到孔S上以后就得到一个单色球面波。在屏A上开有两个针孔，它们与S等距离，这样在A的另一侧就得到两个初相位相同的单色球面波，它们传播至观察屏M，在屏上任一点P(x,y)处，场的电矢量复数表达式分别为 AU1=1exp[?j(ωt?kr1)]
(2.2-38) r1AU2=2exp[?j(ωt?kr2)]
(2.2-39) r2式中A1、A2与S1、S2处开孔的大小有关，D为屏A与M间的距离，d为S1、S2间的距离。由简单的几何关系得到式中的r1、r2的表达式如下 ?r1=S1P=D+y+?x??22d??
(2.2-40) 2?22d??r2=S2P=D+y+?x+?
(2.2-41) ?2?22在P点两球面波发生干涉，相位差 δ=k(r2?r1)=kΔS
(2.2-42) 式中ΔS=r2?r1为两球面波到达P点时的几何路程差。 在P点干涉条纹的光强度 I=I1+I2+2I1I2cosδ=I1+I2+2I1I2cos(kΔS)
(2.2-43) 式中I1、I2为这两个球面波之一单独到达P点所产生的光强。
103三亿文库包含各类专业文献、外语学习资料、幼儿教育、小学教育、文学作品欣赏、生活休闲娱乐、应用写作文书、30第二章
干涉理论基础和干涉仪 OF 季家F 高等光学教程等内容。　
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