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在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0,4），D为OC的中点.（1）求m的值；（2）抛物线的对称轴与 x轴交于点E，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、B、F为顶点的三角形与△ADE 相似？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△GBC中BC边上的高为？若存在，求出点G的坐标；若不存在请说明理由．
题型：解答题难度：偏难来源：不详
（1）-1；（2）（1，4）或（，5）；（3）（，）或（，）．试题分析：（1）由抛物线与y轴交于点C（0，4），把C点的坐标代入解析式建立方程，求出方程的解，就可以求出m的值；（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线的对称性求出E点的坐标，然后根据对应角不同的情况就可以求出F的不同坐标；（3）先由待定系数法求出直线BC的解析式，然后由题目的条件求出与直线BC平行且距离为&的直线的解析式，再由抛物线的对称轴与这些与BC平行的直线的解析式构建方程组求出其解，就可以求出G的坐标．试题解析：（1）抛物线与y轴交于点C（0，4），∴5+m=4．∴m=-1．（2）抛物线的解析式为 y=-x2+3x+4．可求抛物线与x轴的交点A（-1，0），B（4，0）．可求点E的坐标(，0)．由图知，点F在x轴下方的直线AD上时，△ABF是钝角三角形，不可能与△ADE相似，所以点F一定在x轴上方．此时△ABF与△ADE有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况：当时，由于E为AB的中点，此时D为AF的中点，可求 F点坐标为（1，4）．②当时，，解得： .如图（2）过F点作FH⊥x轴，垂足为H．∴．∵D是OC的中点，∴OD=2.∴由勾股定理得：.∴, 解得.由勾股定理得：，∴F的坐标为（，5）.（3）在抛物线的对称轴上存在符合题意的点G．由题意，可知△OBC为等腰直角三角形，直线BC为y=-x+4．如图（3），∵MQ∥BC，QP=，∴由勾股定理，得CQ=5.∴可求与直线BC平行且距离为的直线为y=-x+9或y=-x-1．∴点G在直线y=-x+9或y=-x-1上．∵抛物线的对称轴是直线x＝，∴或，解得：或.∴点G的坐标为（，）或（，）．
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据魔方格专家权威分析，试题“在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧..”主要考查你对&&二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
定义：一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。 ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0） （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。 二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零。二次函数的判定：二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数；判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向：a&0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。 二次函数图像性质：轴对称：二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点：二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。开口：二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a&0时，二次函数图像向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。决定对称轴位置的因素：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a&0,与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a&0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号当a&0,与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a&0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0 ），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定与y轴交点的因素:常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。与x轴交点个数：a&0;k&0或a&0;k&0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。a&0;k&0或a&0,k&0时，二次函数图像与X轴无交点。当a&0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x&h范围内是减函数，在x&h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y&k当a&0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x&h范围内是增函数，在x&h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y&k当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。二次函数的最值：1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a&0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y最小值=；当a&0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y最大值=。 也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2 时，，当x=x1 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，，当x=x2时&。 求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
发现相似题
与“在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧..”考查相似的试题有：
897287698867717500141002737359715800& 如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在
本题难度：0.51&&题型：综合题
如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其对称轴是x=1，且OB=OC．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线沿y轴平移t（t＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点时，求t的取值范围或t的值；（3）抛物线上是否存在点P，使∠BCP=∠BAC-∠ACO？若存在，求P点坐标；若不存在，说明理由．
来源：2014年江苏省无锡市江阴市云亭中学中考数学二模试卷 | 【考点】二次函数综合题．
如图，抛物线y=-x2+ax+8（a≠0）于x轴从左到右交于点A，B于y轴交于点C于直线y=kx+b交于点c和点D（m，5），tan∠DCO=1（1）求抛物线与直线CD的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有点E，使EA+EC的值最小，求最小值和点E的坐标；（3）点F为在直线CD上方的抛物线上任意一点，作FG⊥CD于点G，作FH∥y轴，与直线CD交于点H，求△FGH的周长的最大值和对应的点F的坐标．
（2014秋o江都市期末）如图，抛物线y=mx2+nx（m＜0）和直线y=ax（a≠0），其中抛物线C′的顶点在直线y=ax上，且与x轴的一个交点为（6，0），则不等式的mx2+nx＞ax解集是&&&&．
如图，抛物线y=x2+ax+b与x轴交A（-1，0），B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值，并写出此时点P的坐标．
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=ax+c都经过点A（3，0），则下列结论中正确的是（　　）
A、bc＜0B、9a+3b+c＞0C、b＜c＜0D、抛物线的对称轴为直线x=1
如图，抛物线y=-x2+ax+b过点A（-1，0），B（3，0），其对称轴与x轴的交点为C，反比例函数（x＞0，k是常数）的图象经过抛物线的顶点D．（1）求抛物线和反比例函数的解析式．（2）在线段DC上任取一点E，过点E作x轴平行线，交y轴于点F、交双曲线于点G，联结DF、DG、FC、GC．①若△DFG的面积为4，求点G的坐标；②判断直线FC和DG的位置关系，请说明理由；③当DF=GC时，求直线DG的函数解析式．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其对称轴是x=1，且OB=OC．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线沿y轴平移t（t＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点时，求t的取值范围或t的值；（3）抛物线上是否存在点P，使∠BCP=∠BAC-∠ACO？若存在，求P点坐标；若不存在，说明理由．”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）根据OB=OC可得到B点的坐标将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值从而确定该抛物线的解析式．（2）把函数化为顶点式y=a（x-h）2+k的形式向上平移使抛物线与x轴只有一个交点即把解析式中的k变成0即可．（3）取AC的中点M过M作MN⊥AC交OC于N连接AN则AN=CN∠ACO=∠CAN通过△MCN∽△OCA求得CN的值进而求得NO的值从而得出tan∠NAO=NOAO=43当P在BC的上方时设为P1过B作BD⊥BC交直线CP1于D过D作DE⊥x轴于E通过证明△BDE∽△CBO进而求得tan∠BCP1=tan∠NAO=43从而确定D点的坐标把D点代入直线CP1的解析式为y=k1x+3求得P1点的坐标当点P在BC下方时设为P2（mn）则∠BCP2=∠BCP1延长DB交直线CP2于E则点B是DE的中点求得E点坐标代入直线CP2的解析式为y=k2x+3即可求得P2的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点C∴C（03）∴OC=3∵OB=OC∴OB=3∵抛物线的对称轴是x=1∴B（30）A（-10）∴a-b+3=09a+3b+3=0&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp解得a=-1b=2∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3（2）由题意抛物线只能沿y轴向下平移∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4∴设平移后的抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4-t（t＞0）当原点O落在平移后的抛物线上时把（00）代入得：0=-（0-1）2+4-t解得t=3当平移后的抛物线的顶点落在x轴上时x=1y=0即0=-（1-1）2+4-t解得t=4∵平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点∴0＜t＜3或t=4&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp（3）取AC的中点M过M作MN⊥AC交OC于N连接AN则AN=CN∴∠ACO=∠CAN∵∠BCP=∠BAC-∠ACO∴∠BCP=∠BAC-∠CAN=∠NAO∵∠ACO=∠NCM∠AOC=∠CMN=90°∴△MCN∽△OCA∴CMCN=COCA∴CN=CMoCACO=CA22CO=12+322×3=53∴NO=CO-CN=3-53=43∴tan∠NAO=NOAO=43当点P在BC上方时设为P1过B作BD⊥BC交直线CP1于D过D作DE⊥x轴于E∵∠OCB=∠DBE∠BOC=∠BED=90°∴△BDE∽△CBO∴BECO=DEBO=BDBC=tan∠BCP1=tan∠NAO=43∴BE=43CO=4DE=43BO=4OE=3+4=7∴D（74）设直线CP1的解析式为y=k1x+3把（74）代入4=7k1+3∴k1=17∴y=17x+3令-x2+2x+3=17x+3解得x1=0（舍去）x2=137∴P1（）当点P在BC下方时设为P2（mn）则∠BCP2=∠BCP1延长DB交直线CP2于E则点B是DE的中点∴m+72=3n+42=0&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp解得m=-1b=-4∴E（-1-4）设直线CP2的解析式为y=k2x+3把（-1-4）代入-4=-k2+3∴k2=7∴y=7x+3令-x2+2x+3=7x+3解得x1=0（舍去）x2=-5∴P2（-5-32）综上所述抛物线上存在点P使∠BCP=∠BAC-∠ACOP点坐标为（）或（-5-32）．
【考点】二次函数综合题．
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知识点讲解
经过分析，习题“如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在”主要考察你对
等考点的理解。
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二次函数综合题
一般分为这几类题目：1.二次函数与实际问题2.二次函数与相似三角形3.二次函数与图形变换4.二次函数有关的面积问题5.二次函数与圆
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二次函数压轴题(经典版)
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你可能喜欢已知抛物线y=ax2+x+c.B(2.0)两点.与y轴相交于点C.该抛物线的顶点为点M.对称轴与BC相交于点N.与x轴交于点D．(1)求该抛物线的解析式及点M的坐标,(2)连接ON.AC.证明:∠NOB=∠ACB,(3)点E是该抛物线上一动点.且位于第一象限.当点E到直线BC的距离为时.求点E的坐标,的条件下.连接EN.并延长EN交y轴于点F.E.F两点关于直线BC对称吗?请说明理由 题目和参考答案——精英家教网——
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已知抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于点N，与x轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式及点M的坐标；（2）连接ON，AC，证明：∠NOB=∠ACB；（3）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为时，求点E的坐标；（4）在满足（3）的条件下，连接EN，并延长EN交y轴于点F，E、F两点关于直线BC对称吗？请说明理由．
（1）抛物线为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，顶点M（，）．证明见解析（3）E（1，2），（4）对称；理由见解析
解析试题分析：（1）由待定系数法可求得解析式，然后转化成顶点式即可得顶点坐标．有两组对应边对应成比例且夹角相等即可知△ABC∽△NBO，由三角形相似的性质即可求得．作EF⊥BC于F，根据抛物线的解析式先设出E点的坐标，然后根据两直线垂直的性质求得F点的坐标，根据勾股定理即可求得．（4）延长EF交y轴于Q，根据勾股定理求得FQ的长，再与EF比较即可．试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，∴，解得．∴抛物线为y=﹣x2+x+2；∴抛物线为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴顶点M（，）．如图1，∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），∴直线BC为：y=﹣x+2，当x=时，y=，∴N（，），∴AB=3，BC=2，OB=2，BN=，∴，，∵∠ABC=∠NBO，∴△ABC∽△NBO，∴∠NOB=∠ACB；（3）如图2，作EF⊥BC于F，∵直线BC为y=﹣x+2，∴设E（m，﹣m2+m+2），直线EF的解析式为y=x+b，则直线EF为y=x+（﹣m2+2），解&得，∴F（m2，﹣m2+2），∵EF=，∴（m﹣m2）2+（﹣m2+2+m2﹣m﹣2）2=（）2，解得m=1，∴﹣m2+m+2=2，∴E（1，2），（4）如图2，延长EF交y轴于Q，∵m=1，∴直线EF为y=x+1，∴Q（0，1），∵F（，），∴FQ=，∵EF=，EF⊥BC，∴E、F两点关于直线BC对称．考点：1、待定系数法；2、抛物线的顶点；3、直线的交点问题；4、勾股定理
科目：初中数学
题型：解答题
如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t， 0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax2+bx+c．（1）填空：△AOB≌△&&&&&&&≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A（0，&&&&&&&；（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点随着t的增大向上移动时，求t的取值范围．
科目：初中数学
题型：解答题
已知抛物线y=x2﹣（k+2）x+和直线y=（k+1）x+（k+1）2．（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，求x1•x2•x3的最大值；（3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE=CG•AB，求抛物线的解析式．
科目：初中数学
题型：解答题
己知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）点A、点B的横坐标是一元二次方程x2-4x-12=0的两个根．（1）请直接写出点A、点B的坐标．（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．
科目：初中数学
题型：解答题
如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
题型：解答题
如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
科目：初中数学
题型：解答题
如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．
科目：初中数学
题型：解答题
已知抛物线y=x2+bx+c过点（-6,-2），与y轴交于点C，且对称轴与x轴交于点B（-2,0），顶点为A.（1）求该抛物线的解析式和A点坐标；（2）若点D是该抛物线上的一个动点，且使△DBC是以B为直角顶点BC为腰的等腰直角三角形，求点D坐标；（3）若点M是第二象限内该抛物线上的一个动点，经过点M的直线MN与y轴交于点N，是否存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等？若存在，请求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
题型：填空题
如图，抛物线的顶点为P（－2，2）与y轴交于点A（0，3），若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为&&&&&.
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