空间向量可以转换成x，y，z平面向量的线性运算吗
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时间：2017-11-03 02:59
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& 《高考直通车》2017届高考数学一轮复习备课手册：选修第1课空间向量的有关概念与线性运算
《高考直通车》2017届高考数学一轮复习备课手册：选修第1课空间向量的有关概念与线性运算
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资料概述与简介
空间向量的有关概念与线性运算
一、教学目标
$来&源：1．了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；
2．理解空间向量的线性运算及其性质.。
二、基础知识回顾与梳理
1、空间向量：在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量；
2、空间向量相关概念
(平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
$来&源：共面向量 平行于同一平面的向量
共线向量定理 对空间任意两个向量，存在λ∈R，使
共面向量定理 若两个向量不共线，则向量与向量共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使
基本定理 定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1
概念辨析练习
1．下列命题中是否正确
（1）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
（2）若||=||，则的长度相等且方向相同或相反
（3）若两个非零向量与满足+=0，则∥
【教学建议】本题主要是帮助学生复习、了解空间向量的有关概念。教学时，教师可让学生说明理由或举出反例。结合本题，强调定义中的关键词：大小和方向，。
2.下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有;
②||-||=|+|是、共线的充要条件； ③若、共线，则与所在直线平行； ④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若（其中x、y、z∈R）,则P、A、B、C四点共面.
其中不正确命题的个数________
【教学建议】本题主要是复习空间向量基本定理及其应用
三、诊断练习
1、教学处理：课前要求学生阅读课本选修2-1完成教材习题，再完成诊断练习4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。
2、诊断练习点评
题1：化简．答案：
【分析与点评】1.向量的加法、减法一般用三角形法则和平行四边形法则；
2.向量的加法、减法的三角形法则和平行四边形法则都需要共起点 ，首尾相接若干向量相加等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，可以认为是平面向量的加法的平行四边形法则在空间的推广。
【变式】：化简． 答案：
题2．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则＝________.答案为：
【分析与点评】用表示向量，只需先将在某个三角形中利用三角形法则将之转化为能用中的任意两个作为平面向量的基底表示的向量，实现由空间向量向平面向量的转化，最终用平面向量的方法解决空间向量的问题.
【变式】：已知空间四边形ABCD中，，对角线AC、BD的中点分别是P、Q，则。 答案
【分析与点评】（1）用表示,关键是将三向量平移到一个三角形中
由于P、Q是中点，利用中点平移向量．
题3．设是两个不共线的空间向量，若 ,且三点共线，则实数的值为
【分析与点评】在空间三点共线依然可以转化为向量共线，向量共线依然有共线定理，利用共线定理的线性关系列出关于的等式关系求解.
题4．已知三点不共线，为平面外任意一点，若由
确定的点在平面内，则
答案为：
【分析与点评】类比平面向量的知识,本题中的系数之和为1,追问学生:这个结论具有一般性吗?
3、要点归纳
（1）在掌握向量加减法时首先应掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等.
（2）向量的减法可以转化为向量的加法，注意向量的三角形法则和平行四边形法则要点.对于向量加法用平行四边形法则要求两向量共起点，运用三角形法则要求首尾顺次相接.对于向量减法要求两向量共起点.
（3）平面向量的运算仅限于在它所在的平面内进行，空间向量的运算常常将研究的向量进行平移，转化为平面向量问题解决.
学习网（4）空间向量的线性运算方法和思想是由平面向量的线性运算推广而来，空间向量的性质、运算可以类比平面向量的运算、性质．
四、范例导析
例1、如图，在空间几何体中，各面
为平行四边形，设
分别是的中点，试用表示以下
答案为： 解：(1)因为是的中点，所以
（2）因为是的中点，所以
初中学习网 又
【教学处理】本题可让学生板演，然后交流讨论，教师可以板书。点评或板书时，要示范解题步骤、方法．
【引导分析与精讲建议】
先提出以下问题
问题1：如何与基底取得联系？
问题2：能否先用一个向量表示?
问题3: 能否用平行四边形法则？或首尾相接的空间多边形？不同路径得到的结果是否相同？为什么？
例2：已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法，求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
证明: (1)连结BG，
＝＋＋＝＋，
由共面向量定理知：
E，F，G，H四点共面．
(2)因为＝－
＝－＝(－)＝，
因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.
又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了
解学情；再结合板演情况进行点评。也可在学生对解题方向遇到困难时，
教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书。
【引导分析与精讲建议】
高中学习网 1、引导学生从共面向量的概念和定理出发寻找思路。强调并示范证明向量共面的一般方法和解题步骤；
2、本题在用向量证明后可以让学生尝试用平移的知识认识三条向量可以平移到同一平面.
【变式】：设及分别是异面直线上的三点，而分别是线段的中点.求证：四点共面.
【点评】：变式题中给出四点共面问题可化为三向量共面问题解决.根据空间向量共面的基本定理几何，结合图形根据中点找到四点M,N,P,Q构成的三向量之间的线性关系即可得证.
例3 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外的一点，M, N 分别为PC, PD上的点，且 求满足的实数的值.
【教学处理】要求学生独立读题并画出图形，引导学生思考：怎样将空间向量转化到一个个平面上的向量去处理？
【引导分析与精讲建议】
1、容易表示出，这里的基底确定了三个平面，向量在平面APD内，因而用平面向量基本定理可得; 向量在平面APC中，, 向量在基底确定的平面ABD内，因而回路接通。这里的表示，要突出空间向量是如何转化到平面向量上去的．
2、对答案中提供的方法，可仿照上面的分析，引导学生作类似的转化 ．
【备用题】已知是平行六面体.
在图上标出式子的结果；
设M是底面ABCD的中心，N是侧面对角线上
的分点，设试求的值。
【教学处理】第（1）题可以让学生板演，教师点评作图依据.第二题从式子的特征、向量位置关系入手弄清解题意图和解题方向，指导学生独立思考，指名回答，教师点评并板书解题过程。
【引导分析与精讲建议】
可提出以下问题与学生交流：
问题1：式子表示什么含义？四个向量之间有什么关系？
问题2：由的值确定吗？为什么？
问题3：向量如何利用三角形、平行四边形或空间多边形转化到？
五、解题反思
1、用已知向量表示未知向量一定要结合图形。以图形为依托指导解题是关键。要熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理等；
2、要正确理解向量的加法、减法 与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则。
3、在空间用选取的基底去表示向量，要突出向平面向量的转化，明晰转化的路线，以避免陷入回路的迷宫．
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关于空间向量的问题,空间x,y,z坐标一个向量是{1,0,0}有一个单位半径的半圆在x,y平面,x>0刚才那个向量是半圆的中间那条半径把这个半圆绕z轴逆时针方向旋转m度然后这个半圆再沿旋转以后那个半圆的轴（垂直于那个向量的直径）向上旋转t度最后把这个向量绕半圆平面逆时针旋转d度求最后这个向量的坐标感激不尽~因为本来就不是题目，只是需要做这么一个计算那能否告知坐标为（-cosmcost,sinmcost）,模为1的向量逆时针旋转d°得到的坐标是多少？
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设半圆的2个端点分别为点A,B.半圆的中间那条半径在圆弧上的端点是C.则,A = {0,-1,0},B = {0,1,0},C = {1,0,0}.1),把这个半圆绕z轴逆时针方向旋转m度.[绕z正方向右手螺旋旋转m度] 此时,A = {sinm,-cosm,0},B = {-sinm,cosm,0},C = {cosm,sinm,0}.2),这个半圆再沿旋转以后那个半圆的轴（垂直于那个向量的直径）向上旋转t度.[绕向量BA方向右手螺旋旋转t度] 则,A = {sinm,-cosm,0},B = {-sinm,cosm,0},C = {costcosm,costsinm,sint}.3),按如下方式建立一个新的空间坐标系o-uvw：新坐标系的原点与原坐标系的原点重合,记为o.以现在的半圆所在的平面为新坐标系的坐标面uov.以过原点垂直于平面uov并指向上方的直线,为新坐标系的w轴.以向量oC为新坐标系的u轴上的单位向量.这样,若空间中的点P在新坐标系下的坐标为(u,v,w)^T,在原坐标系下的坐标为(x,y,z)^T.则 (u,v,w)^T 和 (x,y,z)^T 满足如下关系:(x,y,z)^T = [cosm,-sinm,0; sinm,cosm,0; 0,0,1][cost,0,- 0,1,0; sint,0,cost](u,v,w)^T.(u,v,w)^T = [cost,0, 0,1,0; -sint,0,cost][cosm,sinm,0; -sinm,cosm,0; 0,0,1](x,y,z)^T.其中,[cosm,-sinm,0; sinm,cosm,0; 0,0,1]表示一个3阶方阵,第1行的元素分别为cosm,-sinm,0.第2行的元素分别为sinm,cosm,0.第3行的元素分别为0,0,1.同样,[cost,0,- 0,1,0; sint,0,cost]也是一个3阶方阵.实际上,上面2个3阶方阵都是坐标系中绕某个坐标轴旋转一定角度的旋转变换矩阵.[cosm,-sinm,0; sinm,cosm,0; 0,0,1][cost,0,- 0,1,0; sint,0,cost]表示2个3阶方阵相乘,结果还是1个3阶方阵.表示经过2次旋转以后的1个总的旋转变换矩阵.4),把这个向量绕半圆平面逆时针旋转d度.[在半圆平面内,绕w轴正向右手螺旋旋转d度]这样,在新坐标系中,点C的坐标就由(1,0,0)^T,变为 (cosd,sind,0)^T.而新坐标系中的坐标(cosd,sind,0)^T 所对应的原坐标系的坐标为,[cosm,-sinm,0; sinm,cosm,0; 0,0,1][cost,0,- 0,1,0; sint,0,cost](cosd,sind,0)^T =(cosmcostcosd - sinmsind,sinmcostcosd + cosmsind,sintcosd)^T所以,最后这个向量的坐标为,{cosmcostcosd - sinmsind,sinmcostcosd + cosmsind,sintcosd}问题补充：坐标为（-cosmcost,sinmcost）,模为|cost|的向量逆时针旋转d° 度,得到的坐标是：(-cosdcosmcost - sindsinmcost,-sindcosmcost + cosdsinmcost).
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出题的就这么个表达法？拜托以后问问题说清楚！100分也没人给你答！把原题抄过来！
（cos(arccos(-cosmcost)+d),sin(arcsin(sinmcost)+d)）
x = cost*cosm*cosd - sinm*sindy = cost*sinm*cosd + cosm*sindz = sint*cosd找几个特殊值，可以验证上式的正确性。
我不理解你说的意思？什么半圆？
扫描下载二维码空间平面法向量求法(转) - CSDN博客
空间平面法向量求法(转)
一、法向量定义
定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
二、平面法向量的求法
在给定的空间直角坐标系中，设平面 的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]，在平面内任找两个不共线的向量,。由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到。
任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量=(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为 两者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。
设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×=
（注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。）
public double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3)
double a = 0, b = 0,c=0;
//方程参数
double x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, y1 = 0, y2 = 0, y3 = 0, z1 = 0, z2 = 0, z3 = 0;
//各点坐标值
double[] returnValue = new double[3];
x1 = point1.X * 1000;
y1 = point1.Y * 1000;
z1 = point1.Z * 1000;
x2 = point2.X * 1000;
y2 = point2.Y * 1000;
z2 = point2.Z * 1000;
x3 = point3.X * 1000;
y3 = point3.Y * 1000;
z3 = point3.Z * 1000;
double[] I1 = new double[3];
I1[0] = x2 - x1;
I1[1] = y2 - y1;
I1[2] = z2 - z1;
double[] I2 = new double[3];
I2[0] = x3 - x1;
I2[1] = y3 - y1;
I2[2] = z3 - z1;
double X1 = I1[0];
double Y1 = I1[1];
double Z1 = I1[2];
double X2 = I2[0];
double Y2 = I2[1];
double Z2 = I2[2];
a = Y1 * Z2 - Y2 * Z1;
b = X2 * Z1 - X1 * Z2;
c = X1 * Y2 - X2 * Y1;
returnValue[0] =
returnValue[1] =
returnValue[2] =
return returnV
catch (Exception e)
OPENGL里面就这样实现
void getNormal(GLfloat gx[3],GLfloat gy[3], GLfloat gz[3],GLfloat *ddnv)
GLfloat w0,w1,w2,v0,v1,v2,nr,nx,ny,
w0=gx[0]-gx[1]; w1=gy[0]-gy[1];w2=gz[0]-gz[1];
v0=gx[2]-gx[1]; v1=gy[2]-gy[1];v2=gz[2]-gz[1];
nx=(w1*v2-w2*v1);ny=(w2*v0-w0*v2);nz=(w0*v1-w1*v0);
nr=(GLfloat)sqrt(nx*nx+ny*ny+nz*nz); //向量单位化。
ddnv[0]=nx/ ddnv[1]=ny/ddnv[2]=nz/
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分割平面：在三维XYZ坐标系里，XoY平面把三维坐标系“分割”成两个空间，XoY平面就是一个分割平面。
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(最多只允许输入30个字)导读：由a、b、c不共面即空间向量基本定理的唯一性知：5551?????511?5??，OC=AC?4444???1??5学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做，而是用平面几何的方法，让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同，更深地了解向量几何侧重定量研究，即将空间任一向量放在空间坐标系中，用向量的基底表示，请学生板演平面几何证法：，4AC4ACCQ（五）、练习：已知向量a=e1－2e2+ =14(b+a)+c 551411(b+a)+c，OC1=OC+CC1=AC+AA1=（b+a）+c 5522例2、在例1中，设O是AC的中点，判断AQ和OC1所在直线的位置关系。 解：由例1得：AQ=则AQ和OC1与（b+a）和c共面，又AQ≠λOC1，则AQ和OC1所在直线不能平行，只能相交。 追问：要使AQ和OC1所在直线平行，则O应在AC的什么位置？ 分析：要使AQ和OC1所在直线平行，则OC1=λAQ=λ[又OC1=OC+CC1，设OC=μAC=μ（b+a） 则λ[14(b+a)+c] 5514(b+a)+c]=μ（b+a）+c，即 55114λb+λa+λc=μb+μa+c，由a、b、c不共面即空间向量基本定理的唯一性知：5551?????511?5???,??，所以，OC=AC
?4444???1??5学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做，而是用平面几何的方法，根据平行线分线段成比例定理，也应加以肯定，让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同，更深地了解向量几何侧重定量研究，即将空间任一向量放在空间坐标系中，用向量的基底表示，再进行运算，思路简捷，不需要很强的演绎推理。 请学生板演平面几何证法： A1 Q C1 1OC1OCCR?易证△AA1Q≌△CC1R，则CR=A1Q=CQ，又，所以= 4AC4ACCQ（五）、练习：已知向量a=e1－2e2+3e3，b=2e1+e2，c=6e1－2e2+6e3， 判断a+b与c能否共面或共线？c－3b与b－2a能否共面或共线？ A R O C C A ，则a+b与c共线即平行 a+b=3e1－e2+3e3，c=2（a+b）c－3b=6e1－2e2+6e3－6e1－3e2＝6e3－5e2 b－2a=2e1+e2－2e1+4e2－6e3=－6e3+5e2 c－3b与b－2a共线但反向。 B O D C 思维发散训练：已知甲烷（CH4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原子，四个氢原子构成正四面 - 16 -
体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？ （六）、反思小结： 2）?点在线上、线共点?公理（???平行公理?线线平行、线面平行、面面平行??向量平行（直线平行、点共线）????面面平行?线线平行、线面平行、?向量基本定理????线在面内、线不在面内??异面直线??? ?????定量研究????如何对向量进行定量研究，对比平面向量的研究方法，预习下节内容。 （七）、课后作业：课本习题2-3
B组中3 五、教后反思： 第七课时
空间向量的坐标表示 一、教学目标：1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。 二、教学重点：空间向量的坐标运算
教学难点：空间向量的坐标运算 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景 1、平面向量的坐标表示 ???分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理???知，有且只有一对实数x、y，使得a?xi?yj 把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a?(x,y) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的 ???????坐标， 特别地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0) （二）、探析新课 1、空间直角坐标系： （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1， 这个基底叫单位正交基底，用{i,j,k}表示； （2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，
以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条 数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建 立了一个空间直角坐标系O?xyz，点O叫原点，向量 i,j,k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标 平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。 （3）作空间直角坐标系O?xyz时，一般使?xOy?135（或45），?yOz?90； （4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系 2、空间直角坐标系中的坐标： 如图给定空间直角坐标系和向量a，设i,j,k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)，使a?a1i?a2j?a3k，有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O?xyz中的坐标，记作a?(a1,a2,a3)．
在空间直角坐标系O?xyz中，对空间任一点A，存在唯 一的有序实数组(x,y,z)，使OA?xi?yj?zk，有序实数组 zA(x,y,z)kiOjy(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O?xyz中的坐标，记 作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标． x3、空间向量的直角坐标运算律 （1）若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)， 则a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)， kzA(a1,a2,a3)B(b1,b2,b3)Ojya?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)， ix?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)， a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)， （2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（3）、平行：若a≠0时，向量b//a相当于b??a，即{bx,by,bz}??{ax,ay,az} 也相当于向量的对应坐标成比例即（三）、知识运用 1、例1 已知a?(1,?3,8),b?(3,10,?4)，求a?b,a?b,3a 解：a?b?(4,7,4)
a?b?(?2,?13,12) bxbybz ??axayaz3a?(3,?9,24) 2、已知空间四点A(?2,3,1),B(2,?5,3),C(10,0,10)和D(8,4,9)，求证：四边形ABCD是矩形
解：AB?OB?OA?(4,?8,2)，DC?(2,?4,1)
所以AB//DC，AB?DC， 所以四边形ABCD是矩形。 3、课本P38练习题1、2、3 （三）、回顾总结：空间向量的坐标表示及其运算 （四）、布置作业：课本习题2-3
A组中4、5、6、7 五、教学反思： 第八课时
空间向量的数量积 一、教学目标：1．掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义； 2．掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。 二、教学重点：空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律 教学难点：用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景 1、空间直角坐标系中的坐标； 2、空间向量的直角坐标运算律； 3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。 （二）、探析新课 1、夹角
定义：a,b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作OA?a,OB?b，则?AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作?a,b? 规定：0??a,b??? 特别地，如果?a,b??0，那么a与b同向；如果?a,b???，那么a与b反向；如果?a,b??900，那么a与b垂直，记作a?b。 2、数量积 （1）设a,b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cos?a,b?叫作向量a,b的数量积，记作a?b，即
a?b＝|a||b|cos?a,b? （2）夹角：cosa?b?（3）运算律 a1b1?a2b2?a3b3a?b?． 222222|a|?|b|a1?a2?a3b1?b2?b3a?b?b?a；(?a)?b??(b?a)；a?(b?c)?a?b?a?c （4）模长公式：若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)， 则|a|?a?a?a1?a2?a3，|b|?b?b?b1?b2?b3． ）两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)， 则|AB|?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2，或dA,B?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2． （6）a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0 （7）、与非零向量a同方向的单位向量为： 2a0?（三）、知识运用 aa?1a{ax,ay,az}?{cos?,cos?,cos?} 1、例1已知A(3,1,3)，B(1,0,5)，求： （1）线段AB的中点坐标和长度； （2）到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件 解：（1）设M是线段AB的中点，则OM? 13(OA?OB)?(2,3,)． 22- 20 - 包含总结汇报、人文社科、外语学习、专业文献、应用文书、资格考试、旅游景点、word文档、出国留学、行业论文以及北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》等内容。本文共5页
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空间向量a//b很 a⊥b 有什么公式不是平面向量 是空间向量 （i，k）
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向量a为（x1,y1）向量b为（x1,y2）当a//b时,xiy2=x2y1当a⊥b时,x1x2+y1y2=0 空间向量为a(x,y,z)b(r,s,t)平行时x/r=y/s=z/t对应向量成比例垂直时xr+ys+zt=0
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& 《高考直通车》2017届高考数学一轮复习备课手册：选修第1课空间向量的有关概念与线性运算
《高考直通车》2017届高考数学一轮复习备课手册：选修第1课空间向量的有关概念与线性运算
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资料概述与简介
空间向量的有关概念与线性运算
一、教学目标
$来&源：1．了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；
2．理解空间向量的线性运算及其性质.。
二、基础知识回顾与梳理
1、空间向量：在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量；
2、空间向量相关概念
(平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
$来&源：共面向量 平行于同一平面的向量
共线向量定理 对空间任意两个向量，存在λ∈R，使
共面向量定理 若两个向量不共线，则向量与向量共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使
基本定理 定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1
概念辨析练习
1．下列命题中是否正确
（1）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
（2）若||=||，则的长度相等且方向相同或相反
（3）若两个非零向量与满足+=0，则∥
【教学建议】本题主要是帮助学生复习、了解空间向量的有关概念。教学时，教师可让学生说明理由或举出反例。结合本题，强调定义中的关键词：大小和方向，。
2.下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有;
②||-||=|+|是、共线的充要条件； ③若、共线，则与所在直线平行； ④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若（其中x、y、z∈R）,则P、A、B、C四点共面.
其中不正确命题的个数________
【教学建议】本题主要是复习空间向量基本定理及其应用
三、诊断练习
1、教学处理：课前要求学生阅读课本选修2-1完成教材习题，再完成诊断练习4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。
2、诊断练习点评
题1：化简．答案：
【分析与点评】1.向量的加法、减法一般用三角形法则和平行四边形法则；
2.向量的加法、减法的三角形法则和平行四边形法则都需要共起点 ，首尾相接若干向量相加等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，可以认为是平面向量的加法的平行四边形法则在空间的推广。
【变式】：化简． 答案：
题2．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则＝________.答案为：
【分析与点评】用表示向量，只需先将在某个三角形中利用三角形法则将之转化为能用中的任意两个作为平面向量的基底表示的向量，实现由空间向量向平面向量的转化，最终用平面向量的方法解决空间向量的问题.
【变式】：已知空间四边形ABCD中，，对角线AC、BD的中点分别是P、Q，则。 答案
【分析与点评】（1）用表示,关键是将三向量平移到一个三角形中
由于P、Q是中点，利用中点平移向量．
题3．设是两个不共线的空间向量，若 ,且三点共线，则实数的值为
【分析与点评】在空间三点共线依然可以转化为向量共线，向量共线依然有共线定理，利用共线定理的线性关系列出关于的等式关系求解.
题4．已知三点不共线，为平面外任意一点，若由
确定的点在平面内，则
答案为：
【分析与点评】类比平面向量的知识,本题中的系数之和为1,追问学生:这个结论具有一般性吗?
3、要点归纳
（1）在掌握向量加减法时首先应掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等.
（2）向量的减法可以转化为向量的加法，注意向量的三角形法则和平行四边形法则要点.对于向量加法用平行四边形法则要求两向量共起点，运用三角形法则要求首尾顺次相接.对于向量减法要求两向量共起点.
（3）平面向量的运算仅限于在它所在的平面内进行，空间向量的运算常常将研究的向量进行平移，转化为平面向量问题解决.
学习网（4）空间向量的线性运算方法和思想是由平面向量的线性运算推广而来，空间向量的性质、运算可以类比平面向量的运算、性质．
四、范例导析
例1、如图，在空间几何体中，各面
为平行四边形，设
分别是的中点，试用表示以下
答案为： 解：(1)因为是的中点，所以
（2）因为是的中点，所以
初中学习网 又
【教学处理】本题可让学生板演，然后交流讨论，教师可以板书。点评或板书时，要示范解题步骤、方法．
【引导分析与精讲建议】
先提出以下问题
问题1：如何与基底取得联系？
问题2：能否先用一个向量表示?
问题3: 能否用平行四边形法则？或首尾相接的空间多边形？不同路径得到的结果是否相同？为什么？
例2：已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法，求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
证明: (1)连结BG，
＝＋＋＝＋，
由共面向量定理知：
E，F，G，H四点共面．
(2)因为＝－
＝－＝(－)＝，
因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.
又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了
解学情；再结合板演情况进行点评。也可在学生对解题方向遇到困难时，
教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书。
【引导分析与精讲建议】
高中学习网 1、引导学生从共面向量的概念和定理出发寻找思路。强调并示范证明向量共面的一般方法和解题步骤；
2、本题在用向量证明后可以让学生尝试用平移的知识认识三条向量可以平移到同一平面.
【变式】：设及分别是异面直线上的三点，而分别是线段的中点.求证：四点共面.
【点评】：变式题中给出四点共面问题可化为三向量共面问题解决.根据空间向量共面的基本定理几何，结合图形根据中点找到四点M,N,P,Q构成的三向量之间的线性关系即可得证.
例3 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外的一点，M, N 分别为PC, PD上的点，且 求满足的实数的值.
【教学处理】要求学生独立读题并画出图形，引导学生思考：怎样将空间向量转化到一个个平面上的向量去处理？
【引导分析与精讲建议】
1、容易表示出，这里的基底确定了三个平面，向量在平面APD内，因而用平面向量基本定理可得; 向量在平面APC中，, 向量在基底确定的平面ABD内，因而回路接通。这里的表示，要突出空间向量是如何转化到平面向量上去的．
2、对答案中提供的方法，可仿照上面的分析，引导学生作类似的转化 ．
【备用题】已知是平行六面体.
在图上标出式子的结果；
设M是底面ABCD的中心，N是侧面对角线上
的分点，设试求的值。
【教学处理】第（1）题可以让学生板演，教师点评作图依据.第二题从式子的特征、向量位置关系入手弄清解题意图和解题方向，指导学生独立思考，指名回答，教师点评并板书解题过程。
【引导分析与精讲建议】
可提出以下问题与学生交流：
问题1：式子表示什么含义？四个向量之间有什么关系？
问题2：由的值确定吗？为什么？
问题3：向量如何利用三角形、平行四边形或空间多边形转化到？
五、解题反思
1、用已知向量表示未知向量一定要结合图形。以图形为依托指导解题是关键。要熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理等；
2、要正确理解向量的加法、减法 与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则。
3、在空间用选取的基底去表示向量，要突出向平面向量的转化，明晰转化的路线，以避免陷入回路的迷宫．
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关于空间向量的问题,空间x,y,z坐标一个向量是{1,0,0}有一个单位半径的半圆在x,y平面,x>0刚才那个向量是半圆的中间那条半径把这个半圆绕z轴逆时针方向旋转m度然后这个半圆再沿旋转以后那个半圆的轴（垂直于那个向量的直径）向上旋转t度最后把这个向量绕半圆平面逆时针旋转d度求最后这个向量的坐标感激不尽~因为本来就不是题目，只是需要做这么一个计算那能否告知坐标为（-cosmcost,sinmcost）,模为1的向量逆时针旋转d°得到的坐标是多少？
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设半圆的2个端点分别为点A,B.半圆的中间那条半径在圆弧上的端点是C.则,A = {0,-1,0},B = {0,1,0},C = {1,0,0}.1),把这个半圆绕z轴逆时针方向旋转m度.[绕z正方向右手螺旋旋转m度] 此时,A = {sinm,-cosm,0},B = {-sinm,cosm,0},C = {cosm,sinm,0}.2),这个半圆再沿旋转以后那个半圆的轴（垂直于那个向量的直径）向上旋转t度.[绕向量BA方向右手螺旋旋转t度] 则,A = {sinm,-cosm,0},B = {-sinm,cosm,0},C = {costcosm,costsinm,sint}.3),按如下方式建立一个新的空间坐标系o-uvw：新坐标系的原点与原坐标系的原点重合,记为o.以现在的半圆所在的平面为新坐标系的坐标面uov.以过原点垂直于平面uov并指向上方的直线,为新坐标系的w轴.以向量oC为新坐标系的u轴上的单位向量.这样,若空间中的点P在新坐标系下的坐标为(u,v,w)^T,在原坐标系下的坐标为(x,y,z)^T.则 (u,v,w)^T 和 (x,y,z)^T 满足如下关系:(x,y,z)^T = [cosm,-sinm,0; sinm,cosm,0; 0,0,1][cost,0,- 0,1,0; sint,0,cost](u,v,w)^T.(u,v,w)^T = [cost,0, 0,1,0; -sint,0,cost][cosm,sinm,0; -sinm,cosm,0; 0,0,1](x,y,z)^T.其中,[cosm,-sinm,0; sinm,cosm,0; 0,0,1]表示一个3阶方阵,第1行的元素分别为cosm,-sinm,0.第2行的元素分别为sinm,cosm,0.第3行的元素分别为0,0,1.同样,[cost,0,- 0,1,0; sint,0,cost]也是一个3阶方阵.实际上,上面2个3阶方阵都是坐标系中绕某个坐标轴旋转一定角度的旋转变换矩阵.[cosm,-sinm,0; sinm,cosm,0; 0,0,1][cost,0,- 0,1,0; sint,0,cost]表示2个3阶方阵相乘,结果还是1个3阶方阵.表示经过2次旋转以后的1个总的旋转变换矩阵.4),把这个向量绕半圆平面逆时针旋转d度.[在半圆平面内,绕w轴正向右手螺旋旋转d度]这样,在新坐标系中,点C的坐标就由(1,0,0)^T,变为 (cosd,sind,0)^T.而新坐标系中的坐标(cosd,sind,0)^T 所对应的原坐标系的坐标为,[cosm,-sinm,0; sinm,cosm,0; 0,0,1][cost,0,- 0,1,0; sint,0,cost](cosd,sind,0)^T =(cosmcostcosd - sinmsind,sinmcostcosd + cosmsind,sintcosd)^T所以,最后这个向量的坐标为,{cosmcostcosd - sinmsind,sinmcostcosd + cosmsind,sintcosd}问题补充：坐标为（-cosmcost,sinmcost）,模为|cost|的向量逆时针旋转d° 度,得到的坐标是：(-cosdcosmcost - sindsinmcost,-sindcosmcost + cosdsinmcost).
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出题的就这么个表达法？拜托以后问问题说清楚！100分也没人给你答！把原题抄过来！
（cos(arccos(-cosmcost)+d),sin(arcsin(sinmcost)+d)）
x = cost*cosm*cosd - sinm*sindy = cost*sinm*cosd + cosm*sindz = sint*cosd找几个特殊值，可以验证上式的正确性。
我不理解你说的意思？什么半圆？
扫描下载二维码空间平面法向量求法(转) - CSDN博客
空间平面法向量求法(转)
一、法向量定义
定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
二、平面法向量的求法
在给定的空间直角坐标系中，设平面 的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]，在平面内任找两个不共线的向量,。由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到。
任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量=(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为 两者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。
设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×=
（注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。）
public double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3)
double a = 0, b = 0,c=0;
//方程参数
double x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, y1 = 0, y2 = 0, y3 = 0, z1 = 0, z2 = 0, z3 = 0;
//各点坐标值
double[] returnValue = new double[3];
x1 = point1.X * 1000;
y1 = point1.Y * 1000;
z1 = point1.Z * 1000;
x2 = point2.X * 1000;
y2 = point2.Y * 1000;
z2 = point2.Z * 1000;
x3 = point3.X * 1000;
y3 = point3.Y * 1000;
z3 = point3.Z * 1000;
double[] I1 = new double[3];
I1[0] = x2 - x1;
I1[1] = y2 - y1;
I1[2] = z2 - z1;
double[] I2 = new double[3];
I2[0] = x3 - x1;
I2[1] = y3 - y1;
I2[2] = z3 - z1;
double X1 = I1[0];
double Y1 = I1[1];
double Z1 = I1[2];
double X2 = I2[0];
double Y2 = I2[1];
double Z2 = I2[2];
a = Y1 * Z2 - Y2 * Z1;
b = X2 * Z1 - X1 * Z2;
c = X1 * Y2 - X2 * Y1;
returnValue[0] =
returnValue[1] =
returnValue[2] =
return returnV
catch (Exception e)
OPENGL里面就这样实现
void getNormal(GLfloat gx[3],GLfloat gy[3], GLfloat gz[3],GLfloat *ddnv)
GLfloat w0,w1,w2,v0,v1,v2,nr,nx,ny,
w0=gx[0]-gx[1]; w1=gy[0]-gy[1];w2=gz[0]-gz[1];
v0=gx[2]-gx[1]; v1=gy[2]-gy[1];v2=gz[2]-gz[1];
nx=(w1*v2-w2*v1);ny=(w2*v0-w0*v2);nz=(w0*v1-w1*v0);
nr=(GLfloat)sqrt(nx*nx+ny*ny+nz*nz); //向量单位化。
ddnv[0]=nx/ ddnv[1]=ny/ddnv[2]=nz/
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(最多只允许输入30个字)导读：由a、b、c不共面即空间向量基本定理的唯一性知：5551?????511?5??，OC=AC?4444???1??5学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做，而是用平面几何的方法，让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同，更深地了解向量几何侧重定量研究，即将空间任一向量放在空间坐标系中，用向量的基底表示，请学生板演平面几何证法：，4AC4ACCQ（五）、练习：已知向量a=e1－2e2+ =14(b+a)+c 551411(b+a)+c，OC1=OC+CC1=AC+AA1=（b+a）+c 5522例2、在例1中，设O是AC的中点，判断AQ和OC1所在直线的位置关系。 解：由例1得：AQ=则AQ和OC1与（b+a）和c共面，又AQ≠λOC1，则AQ和OC1所在直线不能平行，只能相交。 追问：要使AQ和OC1所在直线平行，则O应在AC的什么位置？ 分析：要使AQ和OC1所在直线平行，则OC1=λAQ=λ[又OC1=OC+CC1，设OC=μAC=μ（b+a） 则λ[14(b+a)+c] 5514(b+a)+c]=μ（b+a）+c，即 55114λb+λa+λc=μb+μa+c，由a、b、c不共面即空间向量基本定理的唯一性知：5551?????511?5???,??，所以，OC=AC
?4444???1??5学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做，而是用平面几何的方法，根据平行线分线段成比例定理，也应加以肯定，让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同，更深地了解向量几何侧重定量研究，即将空间任一向量放在空间坐标系中，用向量的基底表示，再进行运算，思路简捷，不需要很强的演绎推理。 请学生板演平面几何证法： A1 Q C1 1OC1OCCR?易证△AA1Q≌△CC1R，则CR=A1Q=CQ，又，所以= 4AC4ACCQ（五）、练习：已知向量a=e1－2e2+3e3，b=2e1+e2，c=6e1－2e2+6e3， 判断a+b与c能否共面或共线？c－3b与b－2a能否共面或共线？ A R O C C A ，则a+b与c共线即平行 a+b=3e1－e2+3e3，c=2（a+b）c－3b=6e1－2e2+6e3－6e1－3e2＝6e3－5e2 b－2a=2e1+e2－2e1+4e2－6e3=－6e3+5e2 c－3b与b－2a共线但反向。 B O D C 思维发散训练：已知甲烷（CH4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原子，四个氢原子构成正四面 - 16 -
体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？ （六）、反思小结： 2）?点在线上、线共点?公理（???平行公理?线线平行、线面平行、面面平行??向量平行（直线平行、点共线）????面面平行?线线平行、线面平行、?向量基本定理????线在面内、线不在面内??异面直线??? ?????定量研究????如何对向量进行定量研究，对比平面向量的研究方法，预习下节内容。 （七）、课后作业：课本习题2-3
B组中3 五、教后反思： 第七课时
空间向量的坐标表示 一、教学目标：1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。 二、教学重点：空间向量的坐标运算
教学难点：空间向量的坐标运算 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景 1、平面向量的坐标表示 ???分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理???知，有且只有一对实数x、y，使得a?xi?yj 把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a?(x,y) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的 ???????坐标， 特别地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0) （二）、探析新课 1、空间直角坐标系： （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1， 这个基底叫单位正交基底，用{i,j,k}表示； （2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，
以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条 数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建 立了一个空间直角坐标系O?xyz，点O叫原点，向量 i,j,k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标 平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。 （3）作空间直角坐标系O?xyz时，一般使?xOy?135（或45），?yOz?90； （4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系 2、空间直角坐标系中的坐标： 如图给定空间直角坐标系和向量a，设i,j,k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)，使a?a1i?a2j?a3k，有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O?xyz中的坐标，记作a?(a1,a2,a3)．
在空间直角坐标系O?xyz中，对空间任一点A，存在唯 一的有序实数组(x,y,z)，使OA?xi?yj?zk，有序实数组 zA(x,y,z)kiOjy(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O?xyz中的坐标，记 作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标． x3、空间向量的直角坐标运算律 （1）若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)， 则a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)， kzA(a1,a2,a3)B(b1,b2,b3)Ojya?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)， ix?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)， a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)， （2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（3）、平行：若a≠0时，向量b//a相当于b??a，即{bx,by,bz}??{ax,ay,az} 也相当于向量的对应坐标成比例即（三）、知识运用 1、例1 已知a?(1,?3,8),b?(3,10,?4)，求a?b,a?b,3a 解：a?b?(4,7,4)
a?b?(?2,?13,12) bxbybz ??axayaz3a?(3,?9,24) 2、已知空间四点A(?2,3,1),B(2,?5,3),C(10,0,10)和D(8,4,9)，求证：四边形ABCD是矩形
解：AB?OB?OA?(4,?8,2)，DC?(2,?4,1)
所以AB//DC，AB?DC， 所以四边形ABCD是矩形。 3、课本P38练习题1、2、3 （三）、回顾总结：空间向量的坐标表示及其运算 （四）、布置作业：课本习题2-3
A组中4、5、6、7 五、教学反思： 第八课时
空间向量的数量积 一、教学目标：1．掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义； 2．掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。 二、教学重点：空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律 教学难点：用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景 1、空间直角坐标系中的坐标； 2、空间向量的直角坐标运算律； 3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。 （二）、探析新课 1、夹角
定义：a,b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作OA?a,OB?b，则?AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作?a,b? 规定：0??a,b??? 特别地，如果?a,b??0，那么a与b同向；如果?a,b???，那么a与b反向；如果?a,b??900，那么a与b垂直，记作a?b。 2、数量积 （1）设a,b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cos?a,b?叫作向量a,b的数量积，记作a?b，即
a?b＝|a||b|cos?a,b? （2）夹角：cosa?b?（3）运算律 a1b1?a2b2?a3b3a?b?． 222222|a|?|b|a1?a2?a3b1?b2?b3a?b?b?a；(?a)?b??(b?a)；a?(b?c)?a?b?a?c （4）模长公式：若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)， 则|a|?a?a?a1?a2?a3，|b|?b?b?b1?b2?b3． ）两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)， 则|AB|?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2，或dA,B?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2． （6）a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0 （7）、与非零向量a同方向的单位向量为： 2a0?（三）、知识运用 aa?1a{ax,ay,az}?{cos?,cos?,cos?} 1、例1已知A(3,1,3)，B(1,0,5)，求： （1）线段AB的中点坐标和长度； （2）到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件 解：（1）设M是线段AB的中点，则OM? 13(OA?OB)?(2,3,)． 22- 20 - 包含总结汇报、人文社科、外语学习、专业文献、应用文书、资格考试、旅游景点、word文档、出国留学、行业论文以及北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》等内容。本文共5页
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空间向量a//b很 a⊥b 有什么公式不是平面向量 是空间向量 （i，k）
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向量a为（x1,y1）向量b为（x1,y2）当a//b时,xiy2=x2y1当a⊥b时,x1x2+y1y2=0 空间向量为a(x,y,z)b(r,s,t)平行时x/r=y/s=z/t对应向量成比例垂直时xr+ys+zt=0
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