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10年考研数学三 第15题也就是解答题第一题答案用的洛比达做的可是本题是0的0次幂啊,为什么用洛比达啊,直接就得0了啊X的X分之一次幂趋近去1对吧
甕槇謢0040D
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0的0次幂不等于零!基本概念问题.除了0之外,任何数的0次幂等于1,0是不可以有0次幂的.
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2012 考研数学答案及解析完整版 考研数学答案及解析完整版――数学三（跨考版） 数学三（ 数学三 跨考版）
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第一篇:2012考研数学三答案2004 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析
sin x (cos x ? b) = 5 ，则 a =_________，b =___. e ?a
(1) 若 lim x x →0 【答】 1,
sin x (cos x ? b) = 5 ，且 lim sin x ? (cos x ? b) = 0 ，所以 x →0 e ?a
【详解】因为 lim x x →0
lim (e x ? a) = 0 ，得 a = 1. 极限化为
sin x x (cos x ? b) = lim (cos x ? b) = 1 ? b = 5 ， x →0 e x ? a x →0 x
得 b = ?4.因此，a = 1，b = ?4. (2) 设函数 f (u , v)由关系式 f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y) ≠ 0， 则
?2 f = ? u? v g ′(v) g 2 (v )
【详解】令 u = xg(y)，v = y，则 f (u , v) =
u + g (v ) ， g (v )
g ′(v) ?2 f ?f 1 =? 2 . = ， ? u g ( v ) ? u? v g (v )
1 1 ? x2 2 ? xe , ? 2 ≤ x & 2 （3） 设 f ( x) = ? ，则 ∫ 1 f ( x ? 1) dx = 1 2 ?? 1 , x ≥ 2 ? 1 【答】 ? 2
【详解】令 x ? 1 = t， 1 f ( x ? 1) dx = 1 f (t ) dt = 1 f ( x)dt ? ?
x ＝ 2 1 xe dx + 1 (?1)dx = 0 + ( ? ) = ? . 2 2 2 2
（4） 二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = ( x1 + x 2 ) + ( x 2 ? x3 ) + ( x3 + x1 ) 的秩为
【答】2 【详解 1】因为 f ( x1 , x 2 , x3 ) = ( x1 + x 2 ) + ( x 2 ? x3 ) + ( x3 + x1 )
= 2 x1 + 2 x 2 + 2 x3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x3 ? 2 x 2 x3
于是二次型的矩阵为
1? ?2 1 ? ? A = ? 1 2 ? 1? , ?1 ?1 2 ? ? ? ?1 ?1 2 ? ?1 ?1 2 ? ? ? ? ? A → ? 0 3 ? 3? → ? 0 3 ? 3? , ? 0 3 ? 3? ? 0 0 0 ? ? ? ? ?
由初等变换得
r ( A) = 2 , 即二次型的秩为 2.
【详解 2】因为 f ( x1 , x 2 , x3 ) = ( x1 + x 2 ) + ( x 2 ? x3 ) + ( x3 + x1 )
= 2 x1 + 2 x 2 + 2 x3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x3 ? 2 x 2 x3
1 1 3 x 2 + x3 ) 2 + ( x 2 ? x 3 ) 2 2 2 2 3 2 2 = 2 y1 + y 2 , 2 1 1 y1 = x1 + x 2 + x3 , y 2 = x 2 ? x3 . 2 2 = 2( x1 +
（5） 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, 则 P{ X & 【答】
DX } = _________.
1 e 1 , X 的分布函数为 λ2
【详解】 由于 DX =
?1 ? e ? λx , x & 0, F ( x) = ? x ≤ 0. ? 0,
1 1 1 P{ X & DX } = 1 ? P{ X ≤ DX } = 1 ? P{ X ≤ } = 1 ? F ( ) = . λ λ e
(6) 设总体 X 服从正态分布 N ( ?1 , σ ) , 总体 Y 服从正态分布 N ( ? 2 , σ ) ,
X n1 和 Y1 , Y2 ,
Yn2 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本, 则
2 2 n2 ? n1 ? ? ∑ ( X i ? X ) + ∑ (Y j ? Y ) ? j =1 ?= E ? i =1 ? ? n1 + n2 ? 2 ? ? ? ? ? ?
1 n2 E[ ∑ (Y j ? Y ) 2 ] = σ 2 , n2 ? 1 j =1
1 n1 【详解】 因为 E[ ∑ ( X i ? X )2 ] = σ 2 , n1 ? 1 i =1
故应填 σ .
二、选择题 (7) 函数 f ( x) = (A) (?1 , 0). 【答】[ A ] 【详解】当 x ≠ 0 , 1 , 2 时，f (x)连续，而
| x | sin( x ? 2) 在下列哪个区间内有界. x( x ? 1)( x ? 2) 2
(B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). 【 】
lim f ( x) = ?
sin 3 sin 2 ， lim f ( x) = ? ， ? 18 4 x →0
lim f ( x) =
sin 2 ， lim f ( x) = ∞ ， lim f ( x) = ∞ ， x →1 x→2 4
所以，函数 f (x)在(?1 , 0)内有界，故选(A). (8) 设 f (x)在(?∞ , +∞)内有定义，且 lim f ( x) = a ，
? 1 ?f( ), x ≠0 ，则 g ( x) = ? x ? 0 ,x=0 ?
(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (C) x = 0 必是 g(x)的连续点. (D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. 【 】 【答】 （D）
x →0 x →0
(B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点.
【详解】 因为 lim g ( x) = lim f ( ) = lim f (u ) = a(令 u =
u →∞ x →0
1 )，又 g(0) = 0，所以， x
当 a = 0 时， lim g ( x) = g (0) ，即 g(x)在点 x = 0 处连续，当 a ≠ 0 时，
lim g ( x) ≠ g (0) ，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性
与 a 的取值有关，故选(D). (9) 设 f (x) = |x(1 ? x)|，则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点. (B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点. 【 】 【答】C） 【详解】设 0 & δ & 1，当 x ∈ (?δ , 0) ∪ (0 , δ)时，f (x) & 0，而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x) 的极小值点. 显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x ∈ (?δ , 0)时，f (x) = ?x(1 ? x)， f ′′( x) = 2 & 0 ， 当 x ∈ (0 , δ)时，f (x) = x(1 ? x)， f ′′( x) = ?2 & 0 ，所以(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. 故选(C). (10) 设有下列命题： (1) 若
∑ (u2n ?1 + u2n ) 收敛，则 ∑ un 收敛.
∑ un 收敛，则 ∑ un +1000 收敛.
(3) 若 lim
∞ un +1 & 1 ，则 ∑ un 发散. n → ∞ un n =1
∑ (un + vn ) 收敛，则 ∑ un ， ∑ vn 都收敛.
则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). 【答】 （D）
(B) (2) (3).
(C) (3) (4).
(D) (1) (4). 【 】
【详解】 (1)是错误的，如令 un = (?1) ，显然，
∑ un 分散，而 ∑ (u2n ?1 + u2n ) 收敛.
(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性. (3)是正确的，因为由 lim
∞ un +1 & 1 可得到 un 不趋向于零(n → ∞)，所以 ∑ un 发散. n → ∞ un n =1
∞ ∞ 1 1 (4)是错误的，如令 un = , vn = ? ，显然， ∑ un ， ∑ vn 都发散，而 n n n =1 n =1
∑ (un + vn ) 收敛. 故选(B).
(11) 设 f ′(x) 在[a , b]上连续，且 f ′(a ) & 0, f ′(b) & 0 ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点 x0 ∈ ( a, b) ，使得 f ( x0 ) & f (a). (B) 至少存在一点 x0 ∈ ( a, b) ，使得 f ( x0 ) & f (b). (C) 至少存在一点 x0 ∈ ( a, b) ，使得 f ′( x0 ) = 0 . (D) 至少存在一点 x0 ∈ ( a, b) ，使得 f ( x0 ) = 0. 【 】 【答】(D) 【详解】首先，由已知 f ′(x) 在[a , b]上连续，且 f ′(a ) & 0, f ′(b) & 0 ，则由介值定理， 至少存在一点 x0 ∈ ( a, b) ，使得 f ′( x0 ) = 0 ； 另外， f ′(a ) = lim
f ( x) ? f (a ) & 0 ，由极限的保号性，至少存在一点 x0 ∈ (a, b) x?a
f ( x0 ) ? f (a) & 0 ，即 f ( x0 ) & f (a ) . 同理，至少存在一点 x0 ∈ (a, b) x0 ? a
使得 f ( x0 ) & f (b) . 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D). (12) 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价, 则必有 (A) 当 | A |= a (a ≠ 0) 时, | B |= a . (C) 当 | A |≠ 0 时, | B |= 0 . (B) 当 | A |= a (a ≠ 0) 时, | B |= ? a . (D) 当 | A |= 0 时, | B |= 0 . 【 】 【答】 （D） 【详解】因为当 | A |= 0 时, r ( A) & n , 又 A 与 B 等价, 故 r ( B) & n ,
即 | B |= 0 , 故选(D).
(13) 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A ≠ 0, 若 ξ1 , ξ 2 , ξ 3 , ξ 4 是非齐次线性方程组 Ax = b 的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系 (A) 不存在. (C) 含有两个线性无关的解向量. 【答】 （B） (B) 仅含一个非零解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. 【 】
【详解】 因为基础解系含向量的个数= n ? r ( A) , 而且
r ( A) = n, ? n, ? r ( A ) = ?1, r ( A) = n ? 1, ?0, r ( A) & n ? 1. ?
根据已知条件 A ≠ 0, 于是 r ( A) 等于 n 或 n ? 1 . 又 Ax = b 有互不相等的解,
即解不惟一, 故 r ( A) = n ? 1 . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B). (14) 设随机变量 X 服从正态分布 N (0,1) , 对给定的 α ∈ (0,1) , 数 u α 满足 P{ X & u α } = α , 若 P{| X |& x} = α , 则 x 等于 (A)
【答】 （C） 【详解】 由 P{| X |& x} = α , 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得
P{ X & x} =
1? α . 故正确答案为(C). 2
三、解答题
1 cos 2 x ? ). （15） 求 lim ( x → 0 sin 2 x x2
【详解】 lim (
1 cos 2 x x 2 ? sin 2 x cos 2 x ? ) = lim x →0 sin 2 x x2 x 2 sin 2 x
1 1 x 2 ? sin 2 2 x 2 x ? sin 4 x 1 ? cos 4 x 4 2 = lim = lim . = lim 4 3 x →0 x →0 x→0 x 4x 6 x2 1 (4 x) 2 4 = lim 2 2 = x →0 6x 3
(16) (本题满分 8 分) 求
x 2 + y 2 + y )dσ ，其中 D 是由圆 x 2 + y 2 = 4 和 ( x + 1) 2 + y 2 = 1 所围成的
平面区域(如图). 【详解】令 D1 = {( x, y ) | x + y ≤ 4}, D2 = {( x, y ) | ( x + 1) + y ≤ 1} ，
由对称性，
∫∫ ydσ = 0 .
x 2 + y 2 dσ = ∫∫ x 2 + y 2 dσ ? ∫∫ x 2 + y 2 dσ
2 2 r dr 0
? ∫ π dθ ∫
? 2 cosθ 2 r dr . 0
16π 32 16 ? = (3π ? 2) 3 9 9
x 2 + y 2 + y )dσ =
16 (3π ? 2) . 9
(17) (本题满分 8 分) 设 f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足
∫a f (t )dt ≥ ∫a g (t )dt ，x ∈ [a , b)， ∫a f (t )dt = ∫a g (t )dt .
∫a xf ( x)dx ≤ ∫a xg ( x)dx . ∫a F (t )dt ，
【详解】令 F(x) = f (x) ? g(x)， G ( x) = 由题设 G(x) ≥ 0，x ∈ [a , b]，
G(a) = G(b) = 0， G′( x) = F ( x) . 从而
∫a xF ( x)dx = ∫a xdG( x) = xG( x) a ? ∫a G( x)dx = ? ∫a G ( x)dx ，
由于 G(x) ≥ 0，x ∈ [a , b]，故有
? ∫ G ( x)dx ≤ 0 ，
∫a xF ( x)dx ≤ 0 . ∫a xf ( x)dx ≤ ∫a xg ( x)dx .
(18) (本题满分 9 分) 设某商品的需求函数为 Q = 100 ? 5P，其中价格 P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性 Ed ( Ed & 0)； (II) 推导
dR = Q(1 ? Ed ) (其中 R 为收益)，并用弹性 Ed 说明价格在何范围内变化时， dP P dQ P = . Q dP 20 ? P
降低价格反而使收益增加. 【详解】(I) Ed =
(II) 由 R = PQ，得
dR dQ P dQ =Q+P = Q(1 + ) = Q(1 ? Ed ) . dP dP Q dP P = 1 ，得 P = 10. 20 ? P dR 当 10 & P & 20 时， Ed & 1，于是 & 0， dP
又由 Ed = 故当 10 & P & 20 时，降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分 9 分) 设级数
x4 x6 x8 + + + 2? 4 2? 4? 6 2? 4?6?8
的和函数为 S(x). 求： (I) S(x)所满足的一阶微分方程； (II) S(x)的表达式. 【详解】(I) S ( x) = 易见
(?∞ & x & +∞)
x4 x6 x8 + + + 2? 4 2? 4?6 2 ? 4?6?8
S(0) = 0，
S ′( x) =
x3 x5 x7 + + + 2 2?4 2?4?6 x2 x4 x6 + + + 2 2?4 2?4?6
x2 + S ( x)] . 2
因此 S(x)是初值问题
x3 y′ = xy + , y (0) = 0 的解. 2
(II) 方程 y′ = xy +
x3 的通解为 2
x3 ? ∫ xdx e dx + C ] 2
x2 = ? ? 1 + Ce 2
由初始条件 y(0) = 0，得 C = 1.
x2 故y=? +e 2
x2 ? 1 ，因此和函数 S ( x) = ? + e 2
(20)(本题满分 13 分) 设 α1 = (1,2,0) , α 2 = (1, α + 2,?3α ) , α 3 = (?1,?b ? 2, α + 2b) , β = (1,3,?3) ,
试讨论当 a, b 为何值时, (Ⅰ) β 不能由 α1 , α 2 , α 3 线性表示; (Ⅱ) β 可由 α1 , α 2 , α 3 唯一地线性表示, 并求出表示式; (Ⅲ) β 可由 α1 , α 2 , α 3 线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【详解】 设有数 k1 , k 2 , k 3 , 使得
k1α1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 = β .
记 A = (α1 , α 2 , α 3 ) . 对矩阵 ( A, β ) 施以初等行变换, 有
1 ?1 1? ?1 1 ? 1 1? ?1 ? 2 a + 2 ? b ? 2 3 ? → ?0 a ? b 1 ? . ( A, β ) = ? ? ? ? ?0 0 a ? b 0 ? ?0 ? 3a a + 2b ? 3? ? ? ? ?
(Ⅰ) 当 a = 0 时, 有
?1 1 ? 1 1 ? ( A, β ) → ?0 0 ? b 1 ? . ? ? ?0 0 0 ? 1? ? ?
可知 r ( A) ≠ r ( A, β ) . 故方程组(*)无解, β 不能由 α1 , α 2 , α 3 线性表示. (Ⅱ) 当 a ≠ 0 , 且 a ≠ b 时, 有
?1 1 ? 1 1 ? ( A, β ) → ?0 a ? b 1? ? ? ?0 0 a ? b 0 ? ? ?
1? ? ?1 0 0 1 ? a ? ? 1 ? ? → ?0 1 0 a ? ? 0 ? ?0 0 1 ? ? ? ?
r ( A) = r ( A, β ) = 3 , k1 = 1 ?
方程组(*)有唯一解：
此时 β 可由 α1 , α 2 , α 3 唯一地线性表示, 其表示式为
1 1 β = (1 ? )α1 + α 2 ． a a
(Ⅲ) 当 a = b ≠ 0 时, 对矩阵 ( A, β ) 施以初等行变换, 有
?1 1 ? 1 1 ? ( A, β ) → ?0 a ? b 1? ? ? ?0 0 a ? b 0 ? ? ?
1? ? ?1 0 0 1 ? a ? ? 1 ? ?， → ?0 1 ? 1 a ? ? 0 ? ?0 0 0 ? ? ? ?
r ( A) = r ( A, β ) = 2 , 方程组(*)有无穷多解， 其全部解为
k1 = 1 ? 1 , a k2 = 1 +c, a k 3 = c ， 其中 c 为任意常数．
其表示式为
可由 α1 , α 2 , α 3 线性表示, 但表示式不唯一,
1 1 β = (1 ? )α1 + ( + c)α 2 + cα 3 ． a a
(21) (本题满分 13 分) 设 n 阶矩阵
?1 b ? ?b 1 A=? ? ?b b ?
(Ⅰ) 求 A 的特征值和特征向量;
b? ? b? ? . ? 1? ?
(Ⅱ) 求可逆矩阵 P , 使得 P AP 为对角矩阵. 【详解】 (Ⅰ)
1 当 b ≠ 0 时， λ ?1 ? b ? b λ ?1 ?b ?b ?b ?b λ ?1
| λE ? A |=
＝ [ λ ? 1 ? ( n ? 1)b][ λ ? (1 ? b)]
得 A 的特征值为 λ1 = 1 + (n ? 1)b ， λ2 = 对 λ1 = 1 + (n ? 1)b ，
= λn = 1 ? b ．
?b ? (n ? 1)b ? (n ? 1)b ? ?b λ1 E ? A = ? ? ? ?b ?b ? ?n ?1 ?1 ? ? ?1 n ?1 →? ? ?1 ? ?1 ? 0 0 ? ?1 ? ?0 →? ? ?0 ?0 ?
解得 ξ1 = (1,1,1,
?b ? ?1 ? (n ? 1) ? ? ?b ? (n ? 1) ? ?1 ? →? ? ? ? ?1 ?1 (n ? 1)b ? ? ? ? 1? ? 1 1 ? ? ? 1? ? ? 1 n ? 1 ?→? ? ? n ? 1 ? 1? ? ? 1 ? 1 0? ?0 0 ? ? 1? n? ?1 ? ? ? n ? ?0 ?→? ? ? ? n ? ?0 0 ? ?0 ? ? 0 1 0 0 0 0 1 0 ?1 ?1 1 ?1
?1 ? ? ?1 ? ? ? (n ? 1) ? ?
1? n? ? ?1 ? ? ? n ?1 ?1 ? 0 ? ?
? 1? ? ? 1? ? ? ? 1? 0? ?
,1) T ，所以 A 的属于 λ1 的全部特征向量为 ,1) T
( k 为任意不为零的常数)．
kξ1 = k (1,1,1,
对 λ2 = 1 ? b ，
? ?b ?b ? ?b ?b λ2 = E ? A = ? ? ? ? ?b ?b
得基础解系为
?b ? ?1 1 ? ? ?b ? ?0 0 →? ? ? ? ?0 0 ?b ? ? ,0) T ， , ξ n = (1,0,0,
1? ? 0? ? ? 0? ? ,?1) T ．
ξ 2 = (1,?1,0,
,0) T ， ξ 3 = (1,0,?1,
故 A 的属于 λ2 的全部特征向量为
k 2 ξ 2 + k3ξ 3 + 2
当 b = 0 时，
( k 2 , k3 ,
, k n 是不全为零的常数)．
| λE ? A |=
λ ?1 0 λ ?1 0 0 0
= ( λ ? 1) n ,
特征值为 λ1 =
= λn = 1 ，任意非零列向量均为特征向量． , ξ n ) ，则
(Ⅱ) 1 当 b ≠ 0 时， A 有 n 个线性无关的特征向量，令 P = (ξ1 , ξ 2 ,
?1 + (n ? 1)b ? 1? b ? ?1 P AP = ? ? ? ? 2
? ? ? ? ? 1? b? ?
当 b = 0 时， A = E ，对任意可逆矩阵 P , 均有 P AP = E ．
(22) (本题满分 13 分) 设 A ， B 为两个随机事件,且 P ( A) =
1 1 1 , P ( B | A) = , P ( A | B ) = , 令 4 3 2
?1, B发生， Y =? ?0， B不发生.
A发生， ?1, X =? ?0， A不发生，
求 (Ⅰ) 二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布; (Ⅱ) X 与 Y 的相关系数 ρ XY ; (Ⅲ) Z = X + Y 的概率分布.
(Ⅰ) 因为 P ( AB) = P ( A) P ( B | A) =
1 ， 于是 12
P( AB) 1 = ， P( A | B) 6
P{ X = 1, Y = 1} = P( AB) =
P{ X = 1, Y = 0} = P( AB) = P( A) ? P( AB) =
1 ， 6 1 P{ X = 0, Y = 1} = P ( AB) = P( B) ? P( AB) = ， 12 P{ X = 0, Y = 0} = P ( A ? B) = 1 ? P( A ∪ B) = 1 ? [ P( A) + P( B) ? P( AB)] = 2 ， 3
P{ X = 0, Y = 0} = 1 ?
1 1 1 2 ? ? = )， 12 6 12 3
即 ( X , Y ) 的概率分布为：
(Ⅱ) 方法一：
1 1 1 ， EY = P ( B ) = ， E ( XY ) = ， 4 6 12 1 1 EX 2 = P( A) = ， EY 2 = P( B) = ， 4 6 3 5 ， DX = EX 2 ? ( EX ) 2 = ， DY = EY 2 ? ( EY ) 2 = 16 16 1 ， Cov( X , Y ) = E ( XY ) ? EXEY = 24 EX = P( A) = Cov( X , Y ) DX ? DY
所以 X 与 Y 的相关系数 】
X, Y 的概率分布分别为 X P 0 1 Y 0 1
3 1 5 P 4 4 6 1 1 3 5 1 则 EX = , EY = ， DX = ，DY= , E(XY)= , 4 6 16 36 12 1 故 Cov( X , Y ) = E ( XY ) ? EX ? EY = ，从而 24
Cov( X , Y ) DX ? DY
15 . 15 2 ， 3 1 ， 4
(Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．
P{Z = 0} = P{ X = 0, Y = 0} =
P{Z = 1} = P{ X = 1, Y = 0} + P{ X = 0, Y = 1} = P{Z = 2} = P{ X = 1, Y = 1} =
即 Z 的概率分布为：
(23) (本题满分 13 分) 设随机变量 X 的分布函数为
? ? α ?β ? F ( x, α, β ) = ?1 ? ? x ? , x & α， ? ? ? 0， x ≤ α， ?
其中参数 α & 0, β & 1 . 设 X 1 , X 2 ,
, X n 为来自总体 X 的简单随机样本,
(Ⅰ) 当 α = 1 时, 求未知参数 β 的矩估计量; (Ⅱ) 当 α = 1 时, 求未知参数 β 的最大似然估计量; (Ⅲ) 当 β = 2 时, 求未知参数 α 的最大似然估计量. 【详解】 当 α = 1 时, X 的概率密度为
? β ? , x & 1， f ( x, β ) = ? x β +1 ? 0， x ≤ 1， ?
EX = ∫ xf ( β )dx = ∫ x ?
β , β ?1
β =X, β ?1
X , X ?1 β= X . X ?1
所以, 参数 β 的矩估计量为 (Ⅱ) 对于总体 X 的样本值 x1 , x 2 ,
, x n , 似然函数为
L( β ) = ∏
? βn , xi & 1(i = 1,2, ? f ( α ) = ? ( x1 x 2 x n ) β +1 ? 0, 其他. ?
当 xi & 1(i = 1,2,
, n) 时, L( β ) & 0 , 取对数得
ln L( β ) = n ln β ? ( β + 1)∑ ln xi ,
对 β 求导数，得
d [ln L( β )] n n = ? ∑ ln xi ， dβ β i =1
d [ln L( β )] n n = ? ∑ ln xi = 0 ， 解得 dβ β i =1
于是 β 的最大似然估计量为
( Ⅲ) 当 β = 2 时, X 的概率密度为
? 2α 2 ? f ( x , β ) = ? x 3 , x & α， ? 0， x ≤ α， ?
对于总体 X 的样本值 x1 , x 2 ,
, x n , 似然函数为 , n),
L( β ) = ∏
? 2 n α 2n , xi & α (i = 1,2, ? f ( α ) = ? ( x1 x 2 x n ) 3 ? 其他. 0, ?
当 xi & α (i = 1,2,
, n) 时, α 越大， L(α ) 越大, 即 α 的最大似然估计值为 , xn } ,
? α = min{x1 , x 2 ,
于是 α 的最大似然估计量为
? α = min{ X 1 , X 2 ,
2005 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析
（1）极限 lim x sin 【答】 2
2x = ______. x +1
【详解】 令 y =
2x ，因 lim y = 0, 故 x →∞ x +1
2x sin y = lim xy lim x →∞ x →∞ y x +1
2 x2 sin y lim = 2 ?1 = 2. x →∞ x 2 + 1 x →∞ y
微分方程 xy ′ + y = 0 满足初始条件 y (1) = 2 的特解为 __ .
【答】 y =
，积分得 xy = C ，故微
【详解】 微分方程 xy′ + y = 0 的充分必要条件为 ( xy )′ = 0, 分方程 xy′ + y = 0 的解是 y = （3）设二元函数 z = xe
C 2 ， 利用初始 y (1) = 2 可确定常数 C = 2 ， 故所求特解为 y = . x x
+ ( x + 1) ln(1 + y ) ，则 dz
= ___________ .
【答】 2edx + ( e + 2 ) dy. 【详解】 利用全微分方程的四则运算法则与一阶微分形式不变性直接计算，得
dz = e x + y dx + xd ( e x + y ) + ln (1 + y ) d ( x + 1) + ( x + 1) d ( ln (1 + y ) )
= e x + y dx + xe x + y d ( x + y ) + ln (1 + y ) dx + ( x + 1)
= e x + y dx + xe x + y d ( x + y ) + ln (1 + y ) dx +
( x + 1) dy ,
= edx + e ( dx + dy ) = 2edx + (e + 2) dy .
（4）设行向量组 ( 2,1,1,1) ， ( 2,1, a, a ) ， (3,2,1, a ) ， ( 4,3,2,1) 线性相关，且 a ≠ 1 ，则 a= ________
1 2 1 a 1 2 1 0 0 ?1 ?2 1 a 1 2 2 3 1 1 2 3 a 1 1 = = = (a ? 1)(2a ? 1) = 0 , 由于题 1 2 0 0 1 2 a 1 a 1 0 0 a ? 1 ?1 0 0 a ? 1 ? 1 1 . 2 , X 中任取一个数，记为 Y, 则
【详解】 由题设，有
设规定 a ≠ 1 ，故 a =
（5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 1,2,
P{Y = 2} = ________ .
【详解 1】 由于事件
{ X = 1} , { X = 2} , { X = 3} , { X = 4}
是一个完备事件组，且 P { X = i} =
1 , i = 1, 2,3, 4. 条件概率 P {Y = 2 | X = 1} = 0, 4
1 P {Y = 2 | X = i} = , i = 2,3, 4 i
P{Y = 2} = ∑ P{ X = i}P{Y = 2 X = i}
1? 1 1 1 ? 13 = ?0+ + + ? = . 4? 2 3 4 ? 48
【详解 2】 根据乘法公式 P { X = i, Y = j} = P { X = i} P {Y = j | X = i} , i, j = 1, 2,3, 4, 容易写出 ( X , Y ) 的联合密度概率分布为
1 4 1 8 1 12 1 16
0 1 8 1 12 1 16
0 1 8 1 12 1 16
0 1 8 1 12 1 16
4 1 1 1 13 P {Y = 2} = ∑ pi 2 = + + = . 8 12 16 48 i =1
（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X 0 1 Y 0 0.4 b 1 a 0.1 , b= .
已知随机事件 { X = 0} 与 { X + Y = 1} 相互独立，则 a= 【答】 0.4,
【详解】 从
= 0.4 + a + b + 0.1 = 1, 或知 a + b = 0.5.
从事件 { X = 0} 与 { X + Y = 1} 相互独立，于是有 依题意
P{ X = 0, X + Y = 1} = P{ X = 0}P{ X + Y = 1} ， P{ X = 0, X + Y = 1} = P{ X = 0}P{ X = 1} = a,
P{ X + Y = 1} = P{ X = 0, Y = 1} + P { X = 1, Y = 0} = A + B = 0.5, P{ X = 0} = P{ X = 0, Y = 0} + P { X = 0, Y = 1} = 0.4 + a,
解方程组 ? 得
?0.5 ( a + 0.4 ) = a, ? ?a + b = 0.5, ?
a=0.4, b=0.1
二、选择题
（7）当 a 取下列哪个值时，函数 f ( x) = 2 x ? 9 x + 12 x ? a 恰好有两个不同的零点.
(A) 【答】[
【详解】 令函数 g ( x ) = 2 x ? 9 x + 12 x,
g ′( x) = 6 x 2 ? 18 x + 12 = 6( x ? 1)( x ? 2) = 0, 可 得 g ( x ) 恰 有 两 个 驻 点 x = 1与x = 2, 利
用， lim g ( x ) = ?∞, lim g ( x ) = +∞, 即知 g (1) = 5, f (2) = 4 分别是函数 g ( x ) 的惟一极大
x →?∞ x →+∞
值与惟一极小值，且函数 g ( x ) 的单调性如下表：
＋ 从 ?∞ ↑
1 0 极大值 5
2 0 极小值 4
( 2, +∞ )
g′ ( x) g ( x)
由此可见曲线 y = g ( x ) 与 y = 4 恰有两个不同的交点即当 a=4 时， 函数 f ( x) = 2 x ? 9 x + 12 x ? a 恰好有两个零点，故应选(B).
（8）设 I 1 =
x 2 + y 2 dσ , I 2 = ∫∫ cos( x 2 + y 2 )dσ , I 3 = ∫∫ cos( x 2 + y 2 ) 2 dσ ,其中
D = {( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1} ，则
I 3 & I 2 & I1 . I 2 & I1 & I 3 .
（B） I 1 & I 2 & I 3 . (D)
I 3 & I1 & I 2 .
【详解】 在积分区域 D = {( x, y ) x + y ≤ 1} 上，有
+ y 2 ) ≤ x2 + y 2 ≤ x2 + y 2 ,
且等号仅在区域 D 的边界 {( x, y ) x + y = 1} 上成立，从而积分区域 D 上有
cos ( x 2 + y 2 ) ≤ cos ( x 2 + y 2 ) ≤ cos x 2 + y 2 ,
且等号也仅仅在区域 D 的边界 {( x, y ) x + y = 1} 上成立。此外，三个被积含函数又都在
区域 D 上连续，按二重积分的性质，即得 I 3 & I 2 & I 1 ，故应选(A). （9）设 a n & 0, n = 1,2,
, 若 ∑ a n 发散， ∑ (?1) n ?1 a n 收敛，则下列结论正确的是
n =1 ∞ n =1
发散 . （B）
n =1 ∞ n =1
∑ (a2n?1 + a2n ) 收敛.
? a 2 n ) 收敛.
∑ ( a2n ? a2n?1 ) 是把收敛级数 ∑ (?1) n?1 an 各项不改变顺序且相邻两
项合并为一项构成的新级数，由收敛级数的性质知该级数必收敛，故应选（D） 。（10）设 f ( x) = x sin x + cos x ,下列命题中正确的是 (A) （C） f(0)是极大值， f ( ) 是极小值.
（B） f(0)是极小值， f ( ) 是极大值.
f(0)是极大值， f ( ) 也是极大值.
f(0)是极小值， f ( ) 也是极小值
【 】 【答】 [ B ]
【详解】 注意函数 f ( x ) 在区间 ? 0,
? π? 上可导，且 ? 2? ?
f ′( x) = sin x + x cos x ? sin x = x cos x & 0 ，
? π? ? π? ?π ? 故函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ? 上单调增加， 从而 f ( 0 ) & f ( x ) & f ? ? ， ? 上成立， ? 2? ?2? ? 2?
即 f ( 0 ) 是最（极）小值,显然 f ′(0) = 0, f ′( ) = 0 ， f ( ) 是极大值，应选(B).
（11）以下四个命题中，正确的是 (A) 若 f ′( x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.
（B）若 f ( x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （C）若 f ′( x) 在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界. (D) 若 f ( x) 在（0，1）内有界，则 f ′( x) 在（0，1）内有界. 【 】 【答】 [ C ]
【详解 1】 举例否定错误的命题. 设函数 f ( x ) = ln x ，它的导函数 f ′ ( x ) =
1 在（0，1）内连续，但 f ( x ) 在（0，1）内 x
无界，着表明命题 (A)不正确.同样，设函数 f ( x ) = ln x ，在（0，1）内连续，但 f ( x ) 在（0， 1）内无界，这表明（B）不正确.设函数 f ( x ) =
x ，它在（0，1）内有界，但它的导函数
f ′( x) =
在（0，1）内无界，这表明(D)不正确.由此可见，应选(C).
【详解 2】 用拉个朗日中值定理直接证明命题（C）正确.
因 f ′ ( x ) 在 ( 0,1) 内有界，可知存在整数 M，使得当 x ∈ ( 0,1) 时 f ′ ( x ) ≤ M 成立，由题设， 对任何 x ∈ ( 0,1) 有位于 x 与
1 之间的 ξ ，使 2
1? ?1? ? f ( x ) ? f ? ? = f ′ (ξ ) ? x ? ? 2? ?2? ? 1? ?1? ? ? f ( x ) = f ? ? + f ′ (ξ ) ? x ? ? 2? ?2? ?
1 ?1? ?1? 1 f ( x ) ≤ f ? ? + f ′ (ξ ) x ? ≤ f ? ? + M , x ∈ ( 0,1) . 2 ?2? ?2? 2
这表明 f ( x ) 在 ( 0,1) 内有界. （12）设矩阵 A= (aij ) 3×3 满足 A = A ，其中 A 是 A 的伴随矩阵， A 为 A 的转置矩阵. 若
a11 , a12 , a13 为三个相等的正数，则 a11 为
【详解】 因为 A = A 即
? A11 ?A ? 12 ? A31 ?
A21 A22 A32
A31 ? ? a11 A23 ? = ? a12 ? ? A33 ? ? a31 ? ?
a21 a22 a32
a31 ? a23 ? , ? a33 ? ?
由此可知 aij = Aij , ?i, j = 1, 2,3. 那么
2 2 2 2 A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = a11 + a12 + a13 = 3a11 & 0
又由 A = A ，两边取行列式并利用 A = A
得 A = A ，从而 A = 1 .
因为 3a11 = 1, 故 a11 =
3 . 故应选为(A). 3
（13）设 λ1 , λ 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 α 1 , α 2 ，则 α 1 ，
A(α 1 + α 2 ) 线性无关的充分必要条件是
λ 2 = 0 . (C) λ1 ≠ 0 .
λ2 ≠ 0 .
【详解】 按特征向量的定义，有 A (α1 + α 2 ) = Aα1 + Aα 2 = λ1α1 + λ2α 2 .
α1 , A (α1 + α 2 ) 线性无关 ? k1α1 + k2 A (α1 + α 2 ) = 0, k1 , k2 恒为 0,
? ( k1 + λ1k2 ) α1 + λ2 k2α 2 = 0, k1 , k2 恒为 0,
由于不同特征值的特征向量线性无关，所以 α1 ,α 2 线性无关. 于是
?k1 + k 2 λ1 = 0, k1 , k2 恒为 0 ? ? k 2 λ 2 = 0.
而齐次方程 ?
1 λ1 ?k1 + k 2 λ1 = 0, 只有零解 ? ≠ 0 ? λ2 ≠ 0. 0 λ2 ? k 2 λ 2 = 0.
所以应选（B）. （14） 设一批零件的长度服从正态分布 N ( ? , σ ) ，其中 ? , σ 均未知. 现从中随机抽取
16 个零件，测得样本均值 x = 20(cm) ，样本标准差 s = 1(cm) ，则 ? 的置信度为 0.90 的 置信区间是 (A)
1 1 1 1 (B) (20 ? t 0.05 (16),20 + t 0.05 (16)). (20 ? t 0.1 (16),20 + t 0.1 (16)). 4 4 4 4 1 1 1 1 (C) (20 ? t 0.05 (15),20 + t 0.05 (15)). (D) (20 ? t 0.1 (15),20 + t 0.1 (15)). 4 4 4 4
【详解】根据一个正态总体方差未知， 关于 ? 的置信区间公式 I = ( x ? 其中 λ 满足：
S S λ, x + λ ), n n
P { T & λ } = α , T ~ t ( n ? 1) ,
对于 t 分布的双侧邻界值表 P T & λα ( n ) = α , 应选（D） ，对于 t 分布的上侧分位数表
P { T & λα ( n )} = α , 应选（C） 。
三 、解答题
（15）求 lim(
1+ x 1 ? ). ?x x 1? e 1 ? ex ex = lim = 1, x →0 x →0 1 x
【详解】 利用洛必达法则可得 lim
于是又有 lim 从而
1 ? ex = 1. x →0 x
x ( x + x ) ?1 + e 1+ x 1 lim( ? ) = lim ?x x →0 1 ? e x →0 x x(1 ? e? x ) = lim
x2 x ? 1 + e? x + lim x (1 ? e ? x ) x →0 x (1 ? e? x )
x x ? 1 + e? x x + lim lim 2 ?x x →0 1 ? e x →0 x→0 1 ? e ? x x
x ? 1 + e? x x ? e? x 1 3 = 1 + lim = 1 + lim = 1+ = 2 x →0 x →0 2x 2 2 x
2 2 x y 2 ? g 2 ? g （16）设 f(u)具有二阶连续导数，且 g ( x, y ) = f ( ) + yf ( ) ，求 x . ?y y x ?y 2 ?x 2
【详解】 利用多元复合函数求偏导数的链销法则直接计算，得
? x ? ? x ?′ ? x? ?g y ? y? ? y ? ? y ?′ ′ ? ? ? ? + yf ′ ? ? ? ? = ? 2 f ′ ? ? + f ′ ? ? ， = f x ?x ? x ?? x ? x ? x? ? y ?? y ? x ? y?
2 ?2 g ? y ?′ ? y? ? y ? ? y? 1 ? y? = ? ? 2 ? f ′ ? ? + ? ? 2 ? f ′′ ? ? + f ′′ ? ? ， 2 ?x ?x ?x ? x? ? x ? ? x? y ? x?
2 y ? y ? y2 ? x ? 1 ? x ? f ′? ? + f ′′ ? ? + f ′′ ? ? x3 ? x ? x 4 ? y ? y ? y ?
x ? ? x ?′ ?? ? ， y ?? y ? y
?x? ? ?g ? y ? ? y ?′ = f ′ ? ? ? ? + f ? ? + yf ′ ? ?y ? x ?? x ? y ? y? ?
1 ? y? f ′? ? + x ?x?
?x? x ?x? f ? ? ? f ′? ? ? y? y ? y?
?2 g 1 y x y x ? x ? x2 ? x ? ′′ ? ? ? 2 f ′ ? ? + 2 f ′ ? ? + 3 f ′′ ? ? ， = f ? ? ? ? ?y 2 x 2 ? x ? y ? x? y ? y? y ? y?
2 ?2g 2 ? g x ?y ?y 2 ?x 2 2
1 x2 ? x ? ? y? f ′′ ? ? + + 3 f ′′ ? ? x2 ? x ? y ? y?
x x x x2 y x2 2y y y2 y2 f ′′( ) ? 2 f ′′( ) ? f ′′( ) f ′( ) + 2 f ′′( ) + y y y y x y x x x x
2y y f ′( ). x x
（17） （本题满分 9 分） 计算二重积分
+ y 2 ? 1dσ ，其中 D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1} .
【详解】 将积分区域分块，如图，
D1 = {( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1} ∩ D ， D2 = {( x, y ) x 2 + y 2 & 1} ∩ D, ，
则 D = D1 + D2 ,且可以分块计算二重积分
+ y 2 ? 1dσ = ∫∫ x 2 + y 2 ? 1 dσ + ∫∫ x 2 + y 2 ? 1 dσ
= ∫∫ (1 ? x 2 ? y 2 )dσ + ∫∫ ( x 2 + y 2 ? 1)dσ ,
用极坐标 x = r cos θ , y = r sin θ 计算第一个二重积分，由于
π ? ? D1 = ?( r ,θ ) | 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ r ≤ 1? , 2 ? ?
2 2 2 ∫∫ (1 ? x ? y )dσ = ∫ 2 dθ ∫ (1 ? r ) rdr = 1 0 0 D1
π ?1 1? π
? ? ?= . 2 ?2 4? 8
用直角坐标系计算第二个二重积分.由于
{( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 1,
1 ? x2 ≤ y ≤ 1 ,
+ y 2 ? 1) dσ = ∫ dx ∫
+ y 2 ? 1) dy
2 ? 1 ? (1 ? x2 ) 3 =∫ ? + ( x 2 ? 1) 1 ? 1 ? x 2 0? 3 ? ? 1
? ? dx ? ? ?
3 1 1 2 1 = + ∫ ( x 2 ? 1) dx + ∫ (1 ? x 2 ) 2 dx 3 0 3 0
1 231π π 1 =? + = ? . 3
+ y 2 ? 1 dσ =
（18）求幂级数
∑ ( 2n + 1 ? 1) x
在区间(-1,1)内的和函数 S ( x ) .
【详解】 不难发现 S ( 0 ) = 0. 从而只需求出当 0 & x & 1 时和函数 S ( x ) 的表达式，注意
S ( x) = ∑ (
∞ ∞ 1 x2n ? 1) x 2 n = ∑ ? ∑ x2n ， 2n + 1 n =1 2n + 1 n =1
∞ 1 ∞ x 2 n +1 1 x2 2 2n , = ∑ ? x ∑ x = S1 ( x ) ? 1 ? x2 x n =1 2n + 1 x n=0
S1 ( x) = ∑
逐项求导，得
1 x 2 n , x ∈ ( ?1,1) 2n + 1 n =1
S1′( x) = ∑ x 2 n =
x2 , x ∈ ( ?1,1) . 1 ? x2
将上式两端的 x 分别改写称 t，并分别从 0 到 x ∈ ( ?1,1) 求定积分，可得
S1 ( x) ? S1 (0) = ∫
t2 1 1+ x , x ∈ ( ?1,1). dt = ? x + ln 2 0 1? t 2 1? x
又因为 S1 (0) = 0 ，于是
1 1+ x , x ∈ ( ?1,1) . S1 ( x) = ? x + ln 2 1? x
综合以上讨论，即得
1 ? 1 1+ x , 0 & x & 1, ? ? ln S ( x) = ? 2 x 1 ? x 1 ? x 2 x = 0. ? 0, ?
（19）设 f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且 f(0)=0, f ′( x) ≥ 0 , g ′( x) ≥ 0 .证明：对任何 a ∈ [0,1] ,有
g ( x) f ′( x)dx + ∫ f ( x) g ′( x)dx ≥ f (a ) g (1).
【详解 1】 利用函数的单调性来证明本题.为此引入函数
F (a ) = ∫ g (t ) f ′(t ) dt + ∫ f (t ) g ′(t ) dt ? f ( a) g (1), a ∈ [ 0,1] ,
由题设知，函数 f ( x ) , g ( x ) 都是区间 [ 0,1] 上的单调非减函数，且 f ( x ) 在闭区间 [ 0,1] 上非 负，从而
F ′(a ) = g (a ) f ′(a ) ? f ′(a ) g (1) = f ′( x)[ g (a ) ? g (1)] ≤ 0, a ∈ [ 0,1] ,
又 由于 x ∈ [0,1] 时， f ′( x) ≥ 0, g ′( x) ≥ 0 ，因此 F ′( x) ≤ 0 ，即 F(x)在[0，1]上单调递减. 注意到
F (1) = ∫ g ( x) f ′( x)dx + ∫ f ( x) g ′( x)dx ? f (1) g (1)
= ∫ d ? f ( x ) g ( x ) ? ? f (1) g (1) ? ? 0
= [ g ( x) f ( x)]
? f (1) g (1) = ? f ( 0 ) g ( 0 ) = 0.
故函数 F ( a ) 在区间 [ 0,1] 上单调非增，且 F ( a ) ≥ F (1) = 0 当 a ∈ [ 0,1] 时成立. 【详解 2】 利用直接计算定积分来证明本题.为此计算差
g ( x) f ′( x)dx + ∫ g ′( x) f ( x)dx ? f ( a ) g (1)
= ∫ g ( x) f ′( x)dx + ∫ g ′( x) f ( x)dx ? f ( a ) g (1) + ∫ g ′( x) f ( x)dx
= ∫ d [ g ( x) f ′( x)] ? f ( a ) g (1) + ∫ g ′( x) f ( x)dx
= f ( a ) g ( a ) ? f ( 0 ) g ( 0 ) ? f ( a ) g (1) + ∫ g ′( x) f ( x)dx
= ? f ( a ) ? g ( a ) ? g ( 0 ) ? + ∫ g ′( x) f ( x)dx ? ? a
= ∫ g ′( x) f ( x)dx ? ∫ g ′( x) f (a )dx
= ∫ g ′( x) ? f ( x) ? f ( a ) ? dx, a ∈ [ 0,1]. ? ? 0
注意到函数 f ( x ) 在区间 [ 0,1] 上单调非减，而 g ′ ( x ) 在区间 [ 0,1] 上非负，不难发现上面 最后所得定积分的被积函数非负，从而对任何 a ∈ [ 0,1] 这个定积分的积分值非负，即原不等 式成立.
（20）已知齐次线性方程组
? x1 + 2 x 2 + 3 x3 = 0, ? （i） ?2 x1 + 3 x 2 + 5 x3 = 0, ? x + x + ax = 0, 2 3 ? 1
和 （ii） ? 同解，求 a,b, c 的值. 【详解】 因为方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.， 因此方程组（i）的系数行列式必为 0,即有
x1 + bx 2 + cx3 = 0, 2 ?2 x1 + b x 2 + (c + 1) x3 = 0, ?
1 2 3 2 3 5 = 2 ? a = 0, ? a = 2. 1 1 a
对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换
? 1 2 3? ?1 2 3? ? ? ? ? ? 2 3 5? → ?0 1 1? , ?1 1 a ? ?0 0 0? ? ? ? ?
可求出方程组（i）的通解是 k ( ?1, ?1,1) . 因为 ( ?1,?1,1) 应当是方程组（ii）的界，故有
??1 ? b + c = 0, ? 2 ??2 ? b + c + 1 = 0.
解出 b = 1, c = 2 或 b = 0, c = 1. 当 b = 1, c = 2 时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有
?1 1 2? ?1 0 1? ?2 1 3? → ?0 1 1? ， ? ? ? ?
显然此时方程组（i）与（ii）同解. 当 b = 0, c = 1 时，对方程组（ii）为
? x1 + x2 = 0, ， ? ? 2 x1 + 2 x3 = 0.
因其系数矩阵的秩为 1，从而方程组（i）与（ii）的解不相同.故 b = 0, c = 1 应当舍去. 所以，当 a=2,b=1,c=2 时，方程组（i）与（ii）同解.
（21）设 D = ? 矩阵.
C? 为正定矩阵，其中 A,B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 m × n B? ?
(I) 计算 P DP ，其中 P = ?
? A ?1C ? ?； En ?
（II）利用(I)的结果判断矩阵 B ? C A C 是否为正定矩阵，并证明你的结论. 【详解】 （I） 因 P = ?
? A?1C ? ? Em ? = ? T ?1 En ? ? ?C A
O? ? ，所以 En ?
? Em P T DP = ? T ?1 ?? C A
? A ?C T ?
C ? ?Em ? B? ? o ?
? A ?1C ? ? En ?
C ?A ? ?Em =? T ?1 ? ? ?o B ? C A C? ? o
? A ?1C ? ? En ?
o ?A ? . T ?1 ? ?o B ? C A C?
（II）因为 D 是对称矩阵，知 P DP 是对称矩阵，所以矩阵 B ? C A C 是对称矩阵.又 因为矩阵 D 与 ?
o o ?A ?A ? ? 合同，且 D 正定，知矩阵 ? 正定，那 T ?1 ? T ?1 ? ?o B ? C A C? ?o B ? C A C?
?O? ? ≠ 0 恒有 ?Y ?
O ?A ??O? T T ?1 (OT , Y T ) ? ? = Y ( B ? C A C )Y & 0. T ?1 ? ? O B ? C A C ??Y ? ?
所以 B ? C A C 为正定矩阵.
（22）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?1, 0 & x & 1,0 & y & 2 x, f ( x, y ) = ? 其他. ?0,
求： （I） (X,Y)的边缘概率密度 f X ( x), f Y ( y ) ； （II） Z = 2 X ? Y 的概率密度 f Z (z ). ( III ) P{Y ≤
1 1 X ≤ }. 2 2
【详解 1】 （I） 如图
f X (x) = ∫
? 2 x dy, 0 & x & 1, ? f ( x, y )dy = ?∫0 其他. ? 0, ?
?2 x, 0 & x & 1, ? 0, 其他.
f Y ( y) = ∫
? 1 dx, 0 & y & 2, ? y f ( x, y )dx = ?∫2 其他. ? 0, ?
? y 0 & y & 2, ?1 ? , 2 其他. ? 0, ?
（II） 记 FZ ( z ) 为 Z 的分布函数，区域
D = {( x, y ) : 0 & x & 1.0 & y & 2 x} ,
{( x, y ) : 0 & x & 1, y & 0, 2 x ? y & z & 0} .
由题设可知 ( X , Y ) 服从区域 D 上均匀分布， D1 是 D 的一个子区域，根据二维均匀分布 性质，有 P
{( X , Y ) ∈ D } = S
由图可见，区域 D1 与 D 都是直角三角形，其面积
1? z? ? z? S D = 1, S D1 = ?1 ? ? ( 2 ? z ) = ? 1 ? ? . 2? 2? ? 2?
当 z ≤ 0 时， FZ ( z ) = P{2 X ? Y ≤ z} = 0 ； 当 0 ≤ z & 2 时，
FZ ( z ) = P{2 X ? Y ≤ z} = 1 ? P{2 X ? Y & z} = 1 ? P {( X , Y ) ∈ D1}
z2 ? z? = 1 ? ?1 ? ? = z ? ; 4 ? 2?
当 z ≥ 2 时， FZ ( z ) = P{2 X ? Y ≤ z} = 1. 因此 Z 的概率密度为
? 1 0 & z & 2, ?1 ? z , f Z ( z) = ? 2 其他. ? 0, ?
（III） 如图：记区域 D2 = ?( x, y ) :
y 1 1? & y ≤ , 0 & y ≤ ? , 显然区域 D2 是一个直角三角 2 2 2?
形，其面积 S D2 =
1?1 1? 1 3 ? + ? × = . 于是 2 ? 4 2 ? 2 16
1 1 ? SD 3 ? P ? X ≤ ,Y ≤ ? = 2 = . 2 2 ? S D 16 ?
记区域 D3 = ?( x, y ) : 0 & x ≤
1 ? , 0 & y & 2x? , 2 ?
则有 P ? X ≤ 故
1? 1 ? = P {( X , Y ) ∈ D3 } = , 2? 4
1 1? ? P ?Y ≤ , X ≤ ? 3 1 1? 2 2 ? 16 3 ? = = . P ?Y ≤ | X ≤ ? = ? 1 4 1? 2 2? ? ? P ?X ≤ ? 4 2? ?
【详解 2】 （Ⅰ）同【详解 1】 （ Ⅱ ） Z 的 分 布 函 数 记 做 FZ ( z ) , 当 z ≤ 0 时 ， FZ ( z ) = 0; 当 z≥2 时，
FZ ( z ) = P{2 X ? Y ≤ z} = 1.
当 0 ≤ z & 2 时，
1 ? FZ ( z ) = P{Z & z} =
f ( x, y ) dxdy
= ∫ z dx ∫
dy = 1 ? z +
FZ ( z ) = P {Z ≤ z} = 1 ? P {Z & z} = z ? ? z ?1 ? , 0 & z & 2 故 FZ ( z ) = ? 2 ?0, 其他. ?
（Ⅲ） P ? X ≤
1 1 1? 1 = ∫ 2 f X ( x )dx = ∫ 2 2 xdx = , ? 0 0 2? 4
1 1 1 1? 3 ? P ? X ≤ , Y ≤ ? = ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ 2 dy ∫ y2 dx = , 0 2 2? 16 ? 1 1 2 x≤ , y ≤ 2 2
1 1? ? P ? X ≤ ,Y ≤ ? 1 1? 2 2? 3 ? P ?X ≤ |Y ≤ ? = ? = . 1? 2 2? 4 ? ? P ?X ≤ ? 2? ?
（23）设 X 1 , X 2 , 记 Yi = X i ? X , i = 1,2,
, X n (n & 2) 为来自总体 N(0, σ 2 )的简单随机样本， X 为样本均值， , n. ,n；
求： （I） Yi 的方差 DYi , i = 1,2,
（II） Y1 与 Yn 的协方差 Cov (Y1 , Yn ). （III）若 c(Y1 + Yn ) 是 σ 的无偏估计量，求常数 c.
【详解】 由题设 X 1 , X 2 , 互独立，且与总体同分布，即
, X n (n & 2) 是简单随机样本，因此 X 1 , X 2 ,
, X n (n & 2) 相
X i ~ N 0, σ
（I） Yi = X i ? X = ?
= 0, DX i = σ 2 (i = 1, 2,
1 n ? 1? ∑ X j + ?1 ? n ? X i , n j =1 ? ?
? 1 n ? 1 DYi = D( X i ? X ) = D ? ? ∑ X j + (1 ? ) X i ? n ? n j ≠i ? ? 1? = ?? ? ? n? =
? 1? ∑i DX j + ?1 ? n ? DX i ? ? j≠
1 n (n ? 1) 2 n ?1 2 ? ∑ DX + DX = σ . 2 2 n j =1 n n
（II） X 1 , X 2 ,
, X n (n & 2) 相互独立，所以
i = j, y≠ j i, j = 1, 2,
? DX , Cov( X i , X j ) = ? i ?0,
Cov(Y1 , Yn ) = Cov X 1 ? X , X n ? X
) ) ( ) ( )
= Cov ( X 1 , X n ) ? Cov X 1 , X ? Cov X n , X + Cov X , X , 1 n ? ? Cov( X 1 , X ) = Cov ? X 1 , ∑ X i ? n i =1 ? ?
σ2 1 n 1 Cov ( X 1 , X i ) = DX 1 = . ∑ n i =1 n n
类似地， Cov( X n , X ) =
σ2 1 . DX n = n n
又因为 D X =
故 Cov(Y1 , Yn ) = 0 ?
（III）首先计算 E (Y1 , Y2 ) . 由于 E ( Y1 + Y2 ) = EY1 + EY2 = 0,
2 2 所以 E ? (Y1 + Yn ) ? = D (Y1 + Yn ) = DY1 + 2Cov (Y1 , Yn ) + DYn ? ?
n ? 1 2 n ? 1 2 2 2 2(n ? 2) 2 σ + σ ? σ = σ = σ 2. ， n n n n
若 c(Y1 + Yn ) 是 σ 的无偏估计量，c 应满足下面等式
σ 2 = E ? c(Y1 + Yn ) 2 ? = cE ?(Y1 + Yn ) 2 ? = ? ? ? ?
2c ( n ? 2 ) 2 σ , n
n . 2(n ? 2)
2006 年硕士研究生入学考试（数学三）试题及答案解析 一、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.
? n ?1? （1） lim ? ? n ?? ? n ?
【分析】将其对数恒等化 N ? e
? n ?1? 【详解】 lim ? ? n ?? ? n ?
而数列 (?1)
? n ?1 ? ln ? ? ? n ?
? n ?1 ? lim ( ?1)n ln ? ? ? n ?
? ? 有界， lim ln ? n n 1 ? ? 0 ，所以 lim(?1) ? ? ? ?
? n ?1? ln ? ??0. ? n ?
? n ?1? 故 lim ? ? n ?? ? n ?
? e0 ? 1 .
（2）设函数 f ( x) 在 x ? 2 的某邻域内可导,且 f ? ? x ? ? e 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知， f ? ? x ? ? e
， f ? 2 ? ? 1 ，则 f ??? ? 2 ? ? 2e .
，两边对 x 求导得
f ?? ? x ? ? e f ? x ? f ?( x) ? e2 f ? x ? ，
两边再对 x 求导得 f ???( x) ? 2e 故
f ?( x) ? 2e3 f ? x ? ，又 f ? 2 ? ? 1 ，
f ???(2) ? 2e3 f ? 2? ? 2e3 .
1 2 2 , 则 z ? f ? 4 x ? y ? 在 点 (1,2) 处 的 全 微 分 2
（ 3 ） 设 函 数 f (u ) 可 微 , 且 f ? ? 0 ? ?
4d? 2d . x y
【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为
? f ?(4 x 2 ? y 2 ) ? 8 x
? f ?(4 x 2 ? y 2 ) ? ? ?2 y ?
dy ? 4dx ? 2dy . 所以 dz ?1,2? ? ? ?1,2? dx ? ?y ?1,2? ? ? ?x ?
方法二：对 z ? f 4 x ? y
dz ? f ?(4 x2 ? y 2 )d(4 x 2 ? y 2 ) ? f ?(4 x 2 ? y 2 ) ?8xdx ? 2 ydy ? ，
故 dz ?1,2? ? f ?(0) ?8dx ? 2dy ? ? 4dx ? 2dy . （4）设矩阵 A ? ?
? 2 1? ? ， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA ? B ? 2E ，则 ? ?1 2 ?
【分析】 将矩阵方程改写为 AX ? B或XA ? B或AXB ? C 的形式， 再用方阵相乘的行 列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有
B( A ? E ) ? 2 E
B A ? E ? 4 ，而 A ? E ?
1 1 ? 2 ，所以 B ? 2 . ?1 1
（5）设随机变量 X 与Y 相互独立，且均服从区间 ? 0,3? 上的均匀分布，则
P ?max ? X , Y ? ? 1? ?
【分析】 利用 X 与Y 的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知， X 与Y 具有相同的概率密度
?1 ? , 　　0 ? x ? 3 f ( x) ? ? 3 . ?0, 　　　其他 ?
P ?max ? X , Y ? ? 1? ? P ? X ? 1, Y ? 1? ? P ? X ? 1? P ?Y ? 1?
2 ? 11 ? 1 ? ? P ? X ? 1?? ? ? ? dx ? ? . ? 03 ? 9 2
（6）设总体 X 的概率密度为 f ? x ? ?
1 ?x e ? ?? ? x ? ?? ? , X 1 , X 2 , 2
, X n 为总体 X 的简
单随机样本，其样本方差为 S ，则 ES ? 2. 【分析】利用样本方差的性质 ES ? DX 即可.
【详解】因为
xf ( x)dx ? ?
x ?x e dx ? 0 ， 2
x 2 f ( x)dx ? ?
?? x2 ? x e dx ? ? x 2e? x dx ? ? x 2e? x 0 2
? ?2 xe? x
? 2? e? x dx ? ?2e? x
所以 DX ? EX ? ? EX ? ? 2 ? 0 ? 2 ，又因 S 是 DX 的无偏估计量，
所以 ES ? DX ? 2 .
二、选择题：7－14 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数 y ? f ( x) 具有二阶导数，且 f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 ， ?x 为自变量 x 在点 x0 处的 增量， ?y与dy 分别为 f ( x) 在点 x0 处对应的增量与微分，若 ?x ? 0 ，则 (A) (C)
0 ? dy ? ?y . ?y ? dy ? 0 .
0 ? ?y ? dy . dy ? ?y ? 0 .
【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由 f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 知，函数 f ( x) 单
调增加，曲线 y ? f ( x) 凹向，作函数 y ? f ( x) 的图形如 右图所示，显然当 ?x ? 0 时，
?y ? dy ? f ?( x0 )dx ? f ?( x0 )?x ? 0 ，故应选(Ａ).
（8）设函数 f ? x ? 在 x ? 0 处连续，且 lim
f ? h2 ? h2
f ? 0 ? ? 0且f ?? ? 0 ? 存在
(B) f ? 0 ? ? 1且f ?? ? 0 ? 存在 (D) f ? 0 ? ? 1且f ?? ? 0 ? 存在 [ C ]
(C) f ? 0 ? ? 0且f ?? ? 0 ? 存在
【分析】从 lim 的存在性.
f ? h2 ? h2 f ? h2 ? h2
?1 入手计算 f (0) ，利用导数的左右导数定义判定 f ?? (0), f ?? (0)
【详解】由 lim
? 1 知， lim f ? h2 ? ? 0 .又因为 f ? x ? 在 x ? 0 处连续，则
h ?0 x ?0 h ?0
f (0) ? lim f ( x) ? lim f ? h2 ? ? 0 .
令 t ? h ，则 1 ? lim
f ? h2 ? h
f ? t ? ? f (0) ? f ?? (0) . t
所以 f ?? (0) 存在，故本题选（C）. （9）若级数
收敛，则级数
? an 收敛 .
? an an?1 收敛.
an ? an ?1 收敛. 2 n ?1
【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由
收敛，所以级数
an ? an ?1 收敛，故应选(Ｄ). 2 n ?1
或利用排除法： 取 an ? (?1) 取 an ? (?1)
1 ，则可排除选项（Ａ）（Ｂ） ， ； n
1 ，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. n
（10）设非齐次线性微分方程 y? ? P( x) y ? Q( x) 有两个不同的解 y1 ( x), y2 ( x), C 为任意常 数，则该方程的通解是 （Ａ） C ? y1 ( x) ? y2 ( x) ? . （Ｃ） C ? y1 ( x) ? y2 ( x)? . （Ｂ） y1 ( x) ? C ? y1 ( x) ? y2 ( x)? . （Ｄ） y1 ( x) ? C ? y1 ( x) ? y2 ( x)? [ Ｂ ]
【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可. 【详解】由于 y1 ( x) ? y2 ( x) 是对应齐次线性微分方程 y? ? P( x) y ? 0 的非零解，所以 它的通解是
Y ? C ? y1 ( x) ? y2 ( x)? ，故原方程的通解为 y ? y1 ( x) ? Y ? y1 ( x) ? C ? y1 ( x) ? y2 ( x)? ，故应选(Ｂ).
（11）设 f ( x, y)与? ( x, y) 均为可微函数，且 ? y? ( x, y ) ? 0 ，已知 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y ) 在约 束条件 ? ( x, y) ? 0 下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若 f x? ( x0 , y0 ) ? 0 ，则 f y? ( x0 , y0 ) ? 0 .
(B) (C) (D)
若 f x? ( x0 , y0 ) ? 0 ，则 f y? ( x0 , y0 ) ? 0 . 若 f x? ( x0 , y0 ) ? 0 ，则 f y? ( x0 , y0 ) ? 0 . 若 f x? ( x0 , y0 ) ? 0 ，则 f y? ( x0 , y0 ) ? 0 . [ Ｄ ]
【分析】 利用拉格朗日函数 F ( x, y, ? ) ? f ( x, y) ? ?? ( x, y) 在 ( x0 , y0 , ?0 )（ ?0 是对应
x0 , y0 的参数 ? 的值）取到极值的必要条件即可.
【详解】 作拉格朗日函数 F ( x, y, ? ) ? f ( x, y) ? ?? ( x, y) ， 并记对应 x0 , y0 的参数 ? 的 值为 ?0 ，则
?F ? (x , y , ? ) ? 0 ? ? x 0 0 0 ? f x? ( x0 , y0 ) ? ?0? x? ( x0 , y0 ) ? 0 ， 即? ? ? Fy? ( x0 , y0 , ?0 ) ? 0 ? f y? ( x0 , y0 ) ? ?0? y? ( x0 , y0 ) ? 0 ? ?
消去 ?0 ，得
f x? ( 0 , y ) ?y x 0?
x 0 ( 0 ,?y ?) y f
x 0x y (? ? , y ) ? x , 0 , 0(
f x? ( x0 , y0 ) ?
? y? ( x0 , y0 )
， f y? ( x0 , y0 )? x? ( x0 , y0 ) .（因为 ? y? ( x, y) ? 0 ）
若 f x? ( x0 , y0 ) ? 0 ，则 f y? ( x0 , y0 ) ? 0 .故选（Ｄ）. （12）设 ?1 ,? 2 , (A) (B) (C)
,? s 均为 n 维列向量， A 为 m ? n 矩阵，下列选项正确的是 ,? s 线性相关，则 A?1 , A? 2 , ,? s 线性相关，则 A?1 , A? 2 , ,? s 线性无关，则 A?1 , A? 2 , ,? s 线性无关，则 A?1 , A? 2 ,
, A? s 线性相关. , A? s 线性无关. , A? s 线性相关. , A? s 线性无关.
若 ?1 ,? 2 , 若 ?1 ,? 2 , 若 ?1 ,? 2 ,
(D) 若 ?1 ,? 2 ,
【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记 B ? (?1 ,? 2 , 所以，若向量组 ?1 ,? 2 ,
,? s ) ，则 ( A?1 , A? 2 ,
, A? s ) ? AB .
,? s 线性相关，则 r ( B) ? s ，从而 r ( AB) ? r( B)? s，向量组
A?1 , A? 2 ,
, A? s 也线性相关，故应选(Ａ).
（13）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的 ?1 倍加到第 2
? 1 1 0? ? ? 列得 C ，记 P ? 0 1 0 ，则 ? ? ?0 0 1? ? ?
（Ａ） C ? P AP . （Ｃ） C ? P AP .
（Ｂ） C ? PAP . （Ｄ） C ? PAP .
【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得
?1 ? B ? ?0 ?0 ?
? ?0 ? 1 ? ? ? , ?0 A　　　 C ? B 0 ?1 ? 0 ? ?
1 ?0 ? ? ? 1?? 0 ? 0? ?1 ? ?
1? ? 0? 0? ?
1 0? ? ? 1 ? A0 ? 1 0 ?
1 1 ? ? ， 1 ?0 ? 0 0 ?
? 1 ?1 0 ? ? ? P ? ? 0 1 0 ? ，则有 C ? PAP?1 .故应选（Ｂ）. ? 0 0 1? ? ?
（14）设随机变量 X 服从正态分布 N ( ?1 , ? 1 ) ， Y 服从正态分布 N ( ? 2 , ? 2 ) ，且
P ? X ? ?1 ? 1? ? P ? Y ? ?2 ? 1?
则必有 (A) (C)
?1 ? ? 2 ?1 ? ?2
【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得
? X ? ?1 ? Y ? ?2 1? 1? P? ? ? ? P? ? ?， ?1 ? ?2 ? ? ?1 ? ?2
? 1? ? 1 ? ? 1? ? 1 ? 2? ? ? ? 1 ? 2? ? ? ? 1 ，即 ? ? ? ? ? ? ? . ? ?1 ? ??2 ? ? ?1 ? ??2 ?
其中 ?( x) 是标准正态分布的分布函数. 又 ?( x) 是单调不减函数，则
，即 ? 1 ? ? 2 .
故选(A). 三 、解答题：15－23 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分 7 分）
设 f ? x, y ? ?
y y ? , x ? 0, y ? 0 ,求 1 ? xy arctan x
(Ⅰ) g ? x ? ? lim f ? x, y ? ； (Ⅱ) lim g ? x ? . ?
【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将 x 作为常量求解，此问中含 第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含 ? ? ? 未定式极限.
? , 0 ? ? 型未定式极限； ?
?x ? ? 1 ? y sin ? y y ? ? ? 【详解】(Ⅰ) g ? x ? ? lim f ? x, y ? ? lim ? y ??? y ?? 1 ? xy arctan x ? ? ? ? ? ?
?x ? sin ? y ? 1? 1 ? ? 1 y ? lim ? ? y ?? 1 ? ? x arctan x ?y ? ? ?
? ? ? ? ? 1 1?? x . ?? ? x arctan x ? ? ? ? ?
arctan x ? x ? ? x 2 ? 1 1?? x ? (Ⅱ) lim g ? x ? ? lim ? ? （通分） ? ? lim x ?0? x ?0? ? x x arctan x arctan x ? x?0?
1 ? 1 ? 2? x 2 arctan x ? x ? ? x 2 ? x 2 ? 2? x(1 ? x 2 ) ? lim ? lim 1 ? x ? lim ?? x ?0? x ?0? x ?0? 2x 2x x2
（16） （本题满分 7 分） 计算二重积分
y 2 ? xy dxdy ，其中 D 是由直线 y ? x, y ? 1, x ? 0 所围成的平面区域.
【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可. 【详解】 积分区域如右图.因为根号下的函数为关于 x 的一 次函数， “先 x 后 y ”积分较容易，所以
y 2 ? xy dxdy ? ? dy ?
y 2 ? xy dx
3 2 11 2 y ? xy ? 2 ? 3 ?0 y
2 1 2 2 ?0 y dy ? 9 3
（17） （本题满分 10 分） 证明：当 0 ? a ? b ? ? 时，
b sin b ? 2cos b ? ? b ? a sin a ? 2cos a ? ? a .
【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明. 【详解】 令 f ( x) ? x sin x ? 2cos x ? ? x ? a sin a ? 2cos a ? ? a,0 ? a ? x ? b ? ? ， 则 f ?( x) ? sin x ? x cos x ? 2sin x ? ? ? x cos x ? sin x ? ? ，且 f ?(? ) ? 0 .
? 又 f ??( x) ? cos x ? x sin x ? cos x ? ? x sin x ? 0 ， 0 ? x （
? 时n x ? ,x 0 i s
故当 0 ? a ? x ? b ? ? 时， f ?( x) 单调减少，即 f ?( x) ? f ?(? ) ? 0 ，则 f ( x) 单调增加， 于是 f (b) ? f (a) ? 0 ，即
b sin b ? 2cos b ? ? b ? a sin a ? 2cos a ? ? a .
（18） （本题满分 8 分） 在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M ?1, 0? ，其上任意点 P ? x, y ?? x ? 0 ? 处的切线 斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax （常数 a &0 ）. (Ⅰ) 求 L 的方程； (Ⅱ) 当 L 与直线 y ? ax 所围成平面图形的面积为
8 时，确定 a 的值. 3
【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图 形的面积，确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线 L 的方程为 y ? f ( x) ，则由题设可得
通解公式得
y 1 ? ax ，这是一阶线性微分方程，其中 P( x) ? ? , Q( x) ? ax ，代入 x x
1 1 dx ? ? dx ? y ? e ? x ? ? axe ? x dx ? C ? ? x ? ax ? C ? ? ax 2 ? Cx ， ? ?
又 f (1) ? 0 ，所以 C ? ?a . 故曲线 L 的方程为 y ? ax ? ax ( x ? 0) .
(Ⅱ) L 与直线 y ? ax （ a &0 ）所围成平面图形如右图所 示. 所以
D ? ? ?ax ? ? ax 2 ? ax ?? dx ? 0 ? 2 4 8 ? a ? ? 2 x ? x 2 ? dx ? a ? ， 0 3 3 故a ? 2.
（19） （本题满分 10 分）
? ?1? x 2n?1 的收敛域及和函数 s( x) . 求幂级数 ? n ?1 n ? 2n ? 1?
【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结 合已知函数的幂级数展开式计算和函数.
(?1) n ?1 x 2 n ?1 ，则 【详解】记 un ( x) ? n(2n ? 1)
(?1) n x 2 n ?3 u ( x) 2 (n ? 1)(2n ? 1) lim n ?1 ? lim ? x . n ?1 2 n ?1 n ?? u ( x ) n ?? ( ?1) x n n(2n ? 1)
所以当 x ? 1,即 x ? 1 时，所给幂级数收敛；当 x ? 1 时，所给幂级数发散；
(?1) n ?1 (?1) n , ，均收敛， 当 x ? ?1 时，所给幂级数为 n(2n ? 1) n(2n ? 1)
故所给幂级数的收敛域为 ? ?1,1? 在 ? ?1,1? 内， s( x) ?
? (?1)n ?1 x 2 n ?1 (?1)n ?1 x 2 n ? 2 x? ? 2 xs1 ( x) ， n ?1 n(2n ? 1) n ?1 (2n ? 1) ? 2n ? ?
n ?1 2 n ?1 ? ? ? ( x) ? ? (?1) x , s1?? ( x) ? ? (?1)n ?1 x 2 n ?2 ? 1 ， 而 s1 2n ? 1 1 ? x2 n ?1 n ?1
所以 s1? ( x) ? s1? (0) ?
s1?? (t )dt ? ?
1 dt ? arctan x ，又 s1? (0) ? 0 ， 1? t2
于是 s1? ( x) ? arctan x .同理
s1 ( x) ? s1 (0) ? ? s1? (t )dt ? ? arctan tdt
1 t dt ? x arctan x ? ln ?1 ? x 2 ? ， 2 0 1? t 2 1 2 又 s1 (0) ? 0 ，所以 s1 ( x) ? x arctan x ? ln ?1 ? x ? . 2
x ? t arctan t 0 ? ? x
故 s( x) ? 2 x arctan x ? x ln 1 ? x
? . x ? ? ?1,1? .
由 于 所 给 幂 级 数 在 x ? ?1 处 都 收 敛 ， 且 s( x) ? 2 x arctan x ? x ln 1 ? x
x ? ?1 处都连续，所以 s( x) 在 x ? ?1 成立，即
s( x) ? 2 x 2 arctan x ? x ln ?1 ? x 2 ? ， x ? ? ?1,1? .
（20） （本题满分 13 分） 设 4 维 向 量 组
?1 ? ?1 ? a,1,1,1? ,? 2 ? ? 2, 2 ? a, 2, 2 ? , ?3 ? ?3,3,3 ? a,3? ,
,4 ? 4 ? ? 4 , 4 , 4 ? a ? ，问 a 为何值时 ?1 ,? 2 ,?3 ,? 4 线性相关?当 ?1 ,? 2 ,?3 ,? 4 线性相关时,求
其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. 【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行 列式为零来确定参数 a ；用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以 ?1 ,? 2 ,?3 ,? 4 为列向量的矩阵为 A ，则
1? a 2 3 4 1 2?a 3 4 A? ? (10 ? a)a 3 . 1 2 3? a 4 1 2 3 4?a
于是当 A ? 0,即a ? 0或a ? ?10 时， ?1 ,? 2 ,?3 ,? 4 线性相关. 当 a ? 0 时，显然 ?1 是一个极大线性无关组，且 ? 2 ? 2?1 ,?3 ? 3?1 ,? 4 ? 4?1 ； 当 a ? ?10 时，
? ?9 2 3 4 ? ? ? ? 1 ?8 3 4 ? ， A? ? 1 2 ?7 4 ? ? ? ? 1 2 3 ?6 ?
?9 2 3 由于此时 A 有三阶非零行列式 1 ?8 3 ? ?400 ? 0 ，所以 ?1 ,? 2 ,? 3 为极大线性无 1 2 ?7
关组，且 ?1 ? ? 2 ? ?3 ? ? 4 ? 0，即? 4 ? ??1 ? ? 2 ? ?3 . （21） （本题满分 13 分） 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 ?1 ? ? ?1, 2, ?1? ,? 2 ? ? 0, ?1,1? 是
线性方程组 Ax ? 0 的两个解. (Ⅰ) 求 A 的特征值与特征向量； (Ⅱ) 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 ? ,使得 Q AQ ? ? ；
（Ⅲ）求 A 及 ? A ?
3 ? E ? ，其中 E 为 3 阶单位矩阵. 2 ?
【分析】 由矩阵 A 的各行元素之和均为 3 及矩阵乘法可得矩阵 A 的一个特征值和对应 的特征向量；由齐次线性方程组 Ax ? 0 有非零解可知 A 必有零特征值，其非零解是 0 特征
Q 由 值所对应的特征向量.将 A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵 Q ； Q A ? ? 可
3 ? ? 得到 A 和 ? A ? E ? . 2 ? ?
【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以
?1 ? ? ? A ?1? ? ? ?1? ? ? ? ?
3 1? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ?3 ? ， 1 ? ? ? ?1 3 ? ? ?
则由特征值和特征向量的定义知， ? ? 3 是矩阵 A 的特征值， ? ? (1,1,1) 是对应 的特征向量.对应 ? ? 3 的全部特征向量为 k? ，其中 k 为不为零的常数. 又由题设知
A?1 ? 0, A? 2 ? 0 ，即 A?1 ? 0 ??1 , A?2 ? 0 ??2 ，而且 ?1 ,? 2 线性无
关，所以 ? ? 0 是矩阵 A 的二重特征值， ?1 ,? 2 是其对应的特征向量，对应 ? ? 0 的全 部特征向量为
k1?1 ? k2? 2 ，其中 k1 , k2 为不全为零的常数.
(Ⅱ) 因为 A 是实对称矩阵，所以 ? 与 ?1 ,? 2 正交，所以只需将 ?1 ,? 2 正交. 取
?1 ? ?1 ，
? 1? ? ?0? ? ?1? ? 2 ? ? ? ?? , ? ? ?3 ? 2 ? ? 2 ? 2 1 ?1 ? ? ?1? ? ? 2 ? ? ? 0 ? . ? ? 6 ? ? ? ?1 , ?1 ? ?1? ? ?1? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?
再将 ? , ?1 , ? 2 单位化，得
? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?
1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ?? ? 3? 6? ?? 2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 1 ? ,?2 ? 1 ? ? ,?3 ? 2 ? ? 0 ? ， ? ?1 ? 6 ? ?2 ? 3? ? ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3? ? 6 ?
Q ? ??1 ,?2 ,?3 ? ，则 Q?1 ? QT ，由 A 是实对称矩阵必可相似对角化，得
?3 ? ? 0 ???. ? Q A Q? ? ? 0? ? ?
?3 ? ? 0 ? ? ? ，所以 （Ⅲ）由(Ⅱ)知 Q AQ ? ? ? ? 0? ? ?
? ? ? ? A ? Q?Q T ? ? ? ? ? ?
1 3 1 3 1 3
1 6 2 6 1 ? 6 ?
1 ? ? 1 ? ? 2? 3 3 ? ?? ?? ?? 1 0 ?? 0 ?? ? 6 ? ?? 0?? 1 ?? ? 1 ?? ? 2 ? 2 ?
1 ? ? 3 ? 1 1 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 1 1? . 6? ? ? 1 1 1? ? 1 ? ? ? 2 ?
3 ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? ? Q ? A ? E ? Q ? ?Q T ? A ? E ? Q ? ? ? Q T AQ ? E ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ?
? ?3 ? ? ? ?2 ?? 3 ? ? ? ? ?? 0 ??? ? ? ?? 0? ? ? ? ? ? ? ? ?
6 ? 3 6 ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? 3 ?? ? ?? ? 2 ?? ? ?
? 3? ? ? ? 2?
? ? ? 6 ? ? ?? 3? E， ? ? ? ? 2? 6? ? 3? ? ? ? ? ? 2? ?
3 ? ? ? 3? ? 3? T 则 ? A ? E ? ? Q ? ? EQ ? ? ? E . 2 ? ? ? 2? ? 2?
（22） （本题满分 13 分） 设随机变量 X 的概率密度为
?1 ? 2 , ?1 ? x ? 0 ? ?1 fX ? x? ? ? , 0 ? x ? 2 ， ?4 ?0, 　其他 ? ?
令 Y ? X , F ? x, y ? 为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数.
(Ⅰ) 求 Y 的概率密度 fY ? y ? ； (Ⅱ) Cov( X , Y ) ；
? 1 ? F ? ? ,4? . ? 2 ?
【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度 或利用公式计算. 【详解】 （I） 设 Y 的分布函数为 FY ( y ) ，即 FY ( y) ? P(Y ? y) ? P( X ? y) ，则
1) 当 y ? 0 时， FY ( y) ? 0 ； 2) 当 0 ? y ? 1 时， FY ( y) ? P( X ? y ) ? P ? y ? X ?
y 1 1 3 dx ? ? dx ? y. 0 4 y 2 4
3) 当 1 ? y ? 4 时， FY ( y) ? P( X ? y) ? P ?1 ? X ?
4) 当 y ? 4 ， FY ( y) ? 1 . 所以
y 1 1 1 1 y? . dx ? ? dx ? ?1 2 0 4 4 2 0
? 3 ? ?8 y , 0 y ? 1 ? ? 1 fY ( y ) FY ? y( ? ) y? ? ?, 1 . ? ?8 y ? 0, 其他 ? ?
（II） Cov( X , Y ) ? Cov( X , X ) ? E ( X ? EX )( X ? EX ) ? EX ? EXEX ，
2 2 2 x 0 x 2 x 5 1 x 2 dx ? ? dx ? ， 而 EX ? ? dx ? ? dx ? ， EX ? ? ?1 2 0 4 ?1 2 0 4 6 4
3 2 x x3 7 dx ? ? dx ? ， ?1 2 0 4 8 0
所以 Cov( X , Y ) ? (Ⅲ) F ? ?
7 1 5 2 ? ? ? . 8 4 6 3
1 1 ? 1 ? ? ? ? ? , 4 ? ? P ? X ? ? ,Y ? 4? ? P ? X ? ? , X 2 ? 4? 2 2 ? 2 ? ? ? ? ? 1 1? ? ? ? ? P ? X ? ? , ?2 ? X ? 2 ? ? P ? ?2 ? X ? ? ? 2 2? ? ? ?
1 1 dx ? . 2 4
（23） （本题满分 13 分） 设总体 X 的概率密度为
?? , 0 ? x ? 1, ? f ?? ? ? ?1 ? ? ,1 ? x ? 2, ?0, 其他, ?
其中 ? 是未知参数 ? 0 ? ? ? 1? ， X1 , X 2 ..., X n 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本 值 x1 , x2 ..., xn 中小于 1 的个数. （Ⅰ）求 ? 的矩估计； （Ⅱ）求 ? 的最大似然估计 【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算. 【详解】 （Ⅰ）因为 EX ? 令
xf (? )dx ? ? x? dx ? ? x ?1 ? ? ?dx ?
3 3 ? ? ? X ，可得 ? 的矩估计为 ? ? ? X . 2 2
（Ⅱ）记似然函数为 L(? ) ，则
L(? ) ? ? ?? ?
?? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ?
? n ? N ?个
? ?1 ? ? ? ? ? N (1 ? ? ) n ? N .
两边取对数得
l n ?( ? ) N L
?l ? n ? ( N n
)?，n ( 1 ?l
d ln L(? ) N n ? N N ? ? ? 0 ，解得 ? ? 为 ? 的最大似然估计. ? 1 ?? n d?
2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、选择题 (1)【答案】B 【详解】 方法 1：排除法：由几个常见的等价无穷小，当 x ? 0 时，
e x ? 1 ? 1 ? x ? 1 ?
所以 1 ? e x ?0，
x x x2 1 1 ? cos x ? 2sin 2 ? 2( ) 2 ? , 当 x ? 0 ? 时 ， 此时 2 2 2 2
? (? x ); 1 ? x ? 1 ? 1 1 1 ? cos x ? ( x ) 2 , 可以 2 2
排除 A 、 C 、 D ，所以选(B). 方法 2： ln
1? x 1? x ? x ? x x? x ? ln ] ? ln[1 ? 1? x 1? x 1? x
当 x ? 0 时， 1 ? x ? 1 ，
x? x ? 0 ，又因为 x ? 0 时， ln ?1 ? x ? ? x ， 1? x
所以 ln[1 ?
x? x x? x ]~ ~ x? x ? x 1? x 1? x
x ? 1 ~ x ，选（B）.
1? x ln( ) 1? x 方法 3： lim x ? 0? x
? 1 ? x ?? 1? x 1? x ? ( ) ?ln(1 ? x ) ? ? ? ? lim 1 ? x 1 ? x lim ? x ? 0? x ? 0? 1 x 2 x
1? x ? 1? x ? lim ?
2 x 2 x ?1? x
?1 ? x ? ?1 ?
2 x 2 x ?1? x
?1 ? x ? ?1 ?
A B ? ，则 A 1 ? x ? B ?1 ? x ? ? 4 x ? 2 x ? 2 x x 1? x 1? x
对应系数相等得： A ? 2 x ,?B ? 1 ，所以
原式 ? lim ?
2 x 2 x ?1? x
?1 ? x ? ?1 ?
? ? lim ? 2
1 ? x ? ? ? ?1 ? x 1 ? x ?
2 x 1 ? lim ? 0 ? 1 ? 1 ，选(B). ? 1 ? x x ?0 1 ? x
(2)【答案】D 【详解】 方法 1：论证法，证明 A, B , C 都正确，从而只有 D 不正确。由 lim
f ( x) 存在及 f ( x ) 在 x ? 0 处连续，所以 x ?0 x f ( x) f ( x) f ( x) ?0， 所以(A)正确； ? x ? lim ? lim x ? 0 ? lim f (0) ? lim f ( x) ? lim x ?0 x ?0 x ?0 x ?0 x x x ?0 x f ( x) ? f (0) f ( x) 由选项(A)知， f (0) ? 0 ， 所以 lim 存在， 根据导数定义， ? lim x ?0 x ?0 x?0 x f ( x) ? f (0) 存在，所以(C)也正确； f '(0) ? lim x ?0 x?0
由 f ( x ) 在 x ? 0 处连续，所以 f ( ? x ) 在 x ? 0 处连续，从而
lim ? f ( x) ? f ( ? x) ? ? lim f ( x) ? lim f ( ? x) ? f (0) ? f (0) ? 2 f (0)
x ?0 x ?0 x ?0
f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? ? x ? ? lim ? lim x ? 0 ? lim ? 0， 2 f (0) ? lim ? x ?0 x ?0 x ?0 x x x ? ? x ?0
即有 f (0) ? 0 ，所以(B)正确，故此题选择(D). 方法 2：举例法，举例说明(D)不正确。例如取 f ( x) ? x ，有
x ? ?x f ( x) ? f (? x) ? lim ? 0 存在 x ?0 x?0 x
f ? x ? ? f ? 0? f ? x ? ? f ? 0? ?x ? 0 x?0 ? lim? ? ?1 ， lim ? lim? ? 1 ，左 ? x ?0 x ?0 x ?0 x ? 0 x?0 x?0 x?0
右极限存在但不相等，所以 f ( x) ? x 在 x ? 0 的导数 f '(0) 不存在。(D)不正确， 选(D). (3)【答案】C 【详解】由题给条件知， f ( x ) 为 x 的奇函数，则 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ，由 F (x) ?
? f (t )dt ,
F (? x) ? ?
f (t )dt 令t ? ?u? ? f (?u )d (?u ) ?因为f (?u ) ? ? f (u )? ? f (u )du ? F ( x) ，
故 F ( x ) 为 x 的偶函数，所以 F ( ?3) ? F (3) .
而 F (2) ?
f (t )dt 表示半径 R ? 1 的半圆的面积， 所以 F (2) ? ? f (t )dt ?
F (3) ? ? f (t )dt ? ? f (t )dt ? ? f (t )dt ，其中 ? f (t )dt 表示半径 r ?
1 的半圆的面积 2
的负值，所以
f (t )dt ? ?
?? ? ? ? 2 ?2? 8
F (3) ? ? f (t )dt ? ? f (t )dt ?
2 8 3 F (?3) ? F (3) ? F (2) ，选择 C 4
3? 3 ? 3 ? ? ? F (2) 8 4 2 4
(4)【答案】B 【详解】画出该二次积分所对应的积分区域 D : ? 2 ? x ? ?， x ? y ? 1 sin 交换积分次序，则积分区域可化为： D : 0 ? y ? 1, ? ? arcsin y ? x ? ? 所以
f ( x, y )dy ? ? dy ?
? ? arc sin y
f ( x, y )dx ， 所以选择(B).
(5)【答案】D 【详解】 需求弹性 ?
Q '( P) P ?2 P ? P ? ? 1. 160 ? 2 P 80 ? P Q( P)
P P ? 1 ， P ? P ? 80 ，无意义；若 ? 1 ，解得： P ? 40. 所以选(D) P ? 80 80 ? P
(6)【答案】D 【详解】因为 lim y ? lim ?
1 ?1 ? ? ln(1 ? e x ) ? ? lim ? lim ln(1 ? e x ) ? ? ， x ?0 x ? ? x ?0 x x ?0
所以 x ? 0 是一条铅直渐近线； 因为 lim y ? lim ? x ??? x ???
1 ?1 ? ? ln(1 ? e x ) ? ? lim ? lim ln(1 ? e x ) ? 0 ? 0 ? 0 ， x ?- ? x x ?- ? ?x ?
所以 y ? 0 是沿 x ? ?? 方向的一条水平渐近线；
1 ? l n (? ex ) 1 y x a? lim ? lim ? ??? x ??? x x x
? 1 l n (? e x ? ) 1 l? m ? i ? ??? x 2 x x ? ?
ex x 1 ln(1 ? e x ) ? lim 2 ? lim ?洛必达法则? 0 ? lim 1 ? e ? 1 x ??? x x ??? x ??? x 1
b ? l i m? y ? a ? x ? ?
?1 li? ? m ?x
? l? e x1 ? x ?) n( ?
1 ? lim ? ln(1 ? e x ) ? x ? ?x ? ln e x ? 0 ? lim ? ln(1 ? e x ) ? ln e x ? x ??? x x ???
1 ? ex ? lim ln( x ) ? lim ln(e ? x ? 1) ? ln1 ? 0 x ??? x ??? e
所以 y ? x 是曲线的斜渐近线，所以共有 3 条，选择(D) (7)【答案】A 【详解】 方法 1：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数 k1 , k2 , k3 ，使得 k1?1 ? k2? 2 ? k3?3 ? 0 成立，则称 ?1 , ? 2 , ?3 线性相关. 因 (?1 ? ?2 ) ? (?2 ? ?3 ) ? (?3 ? ?1 ) ? 0 ，故 ?1 ? ?2，? 2 ??3，?3 ??1 线性相关， 所以选择(A). 方法 2：排除法 因为 ??1 ? ? 2 , ? 2 ? ?3 , ?3 ? ?1 ?
?1 0 1? ?1 0 1? ? ? ? ? ? ??1 , ? 2 , ? 3 ? ? 1 1 0 ? ? ??1 , ? 2 , ? 3 ? C2 , 其中 C2 ? ? 1 1 0 ? ， ?0 1 1? ?0 1 1? ? ? ? ?
1 C2 ? 1 0
1 1 0 1 1 ?1 （ ） 01行 ? (?1) ? 2行 0 1 ?1 ? ? 1 1?1 1 1 1 0 1 1
? 1? 1 ? 1? ? 1 ? 2 ? 0 . （ ）
故 C2 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 ， C2 右乘
??1 ,? 2,? 3? 时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有
r (?1 ? ?2 ,?2 ? ?3 ,?3 ? ?1 ) ? r (?1,?2 ,?3 ) ? 3
所以 ?1 ? ?2 , ?2 ? ?3 ,?3 ? ?1 线性无关，排除(B). 因为 ??1 ? 2? 2 , ? 2 ? 2?3 , ?3 ? 2?1 ?
0 ?2 ? ? 1 0 ?2 ? ?1 ? ? ? ? ? ??1 , ? 2 , ? 3 ? ? ?2 1 0 ? ? ??1 , ? 2 , ? 3 ? C3 , 其中 C3 ? ? ?2 1 0 ?， ? 0 ?2 1 ? ? 0 ?2 1 ? ? ? ? ?
1 C3 ? ?2 0 0 1 ?2 ?2 1 0 ?2 1 ?4 （ 1? 0 1行 ? 2+2行 0 1 ?4 ? ? 1）1 ?2 1 0 ?2 1 1
? 1?1 ? ? 2） ? 4） ? 0. （ ? （ =-7
故 C3 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 , C3 右乘
??1 ,? 2,? 3? 时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有
r (?1 ? 2?2 , ?2 ? 2?3 , ?3 ? 2?1 ) ? r(?1, ?2 , ?3 ) ? 3
所以 ?1 ? 2? 2 , ? 2 ? 2?3 , ?3 ? 2?1 线性无关，排除(C). 因为 ??1 ? 2? 2 , ? 2 ? 2?3 , ?3 ? 2?1 ?
?1 0 2? ?1 0 2? ? ? ? ? ? ??1 , ? 2 , ? 3 ? ? 2 1 0 ? ? ??1 , ? 2 , ? 3 ? C4 , 其中 C4 ? ? 2 1 0 ? ， ?0 2 1? ?0 2 1? ? ? ? ? 1 0 2 1 0 2 1 ?4 C4 ? 2 1 0 1行 ? (?2) ? 2行 0 1 ?4 ? ? 1）1 （ 1? 2 1 0 2 1 0 2 1
? 1?1 ? 2 ? ? 4） 9 ? 0. （ ?
故 C4 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 , C4 右乘
??1 ,? 2,? 3? 时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有
r (?1 ? 2?2 , ?2 ? 2?3 , ?3 ? 2?1 ) ? r (?1, ? 2 , ?3 ) ? 3
所以 ?1 ? 2? 2 , ? 2 ? 2?3 , ?3 ? 2?1 线性无关，排除(D). 综上知应选(A). (8)【答案】B 【详解】
? 1 1 ? ?2 1 2、列分别加到1列 ? ? ? 2 3 1 1 ? ?2 ? 1 ? ?2
1 1 1 （ ）+2行? 0 ? ? 3 1行 ? ? 1 1 1 0
? ? 1 1?1? （ ）
1 提出? ? 1 ? ? 2 1
? ? ? ? 3? ? ? 0
1 1 （ ）+3行? 0 ? ? 3 1行 ? ? 1 0 0
则的 A 特征值为 3，3，0; B 是对角阵，对应元素即是的特征值，则 B 的特征值为 1，1，0. A, B 的特征值不相同，由相似矩阵的特征值相同知， A与B 不相似. 由 A, B 的特征值可知， A, B 的正惯性指数都是 2，又秩都等于 2 可知负惯性指数 也相同， 则由实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正惯性指数和相同的负惯性指 数，知 A 与 B 合同，应选(B). 方法 2: 因为迹(A)=2+2+2=6， 迹(B)=1+1=2 ? 6， 所以 A 与 B 不相似(不满足相似的必要条件)。又
? E ? A ? ? (? ? 3)2 ， ? E ? B ? ? (? ? 1)2 ，A 与 B 是同阶实对称矩阵，其秩
相等，且有相同的正惯性指数，故 A 与 B 合同。(9)【答案】 C 【详解】把独立重复射击看成独立重复试验.射中目标看成试验成功. 第4次射击恰好是第 2 次命中目标可以理解为：第4次试验成功而前三次试验中必有1次成功，2次失败.
1 根据独立重复的伯努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为 C3 p (1 ? p ) 2 .
再加上第4次是成功的，其概率为 p . 根据独立性原理： 若事件 A1 ,?, An 独立， P ? A1 ? A2 ??? An ? ? P ? A1? P ? A2 ?? P ? An ? 则
1 所以，第4次射击为第二次命中目标的概率为 C3 p(1 ? p) 2 ? p ? 3 p 2 (1 ? p)2 . 所以选(C)
(10)【答案】 A 【详解】二维正态随机变量 ( X , Y ) 中， X 与 Y 的独立等价于 X 与 Y 不相关. 而对任意两个 随机变量 X 与 Y ，如果它们相互独立，则有 f ( x, y) ? f X ( x) fY ( y) . 由 于 二 维 正 态 随 机 变 量 ( X ,Y ) 中 X 与 Y 不 相 关 ， 故 X 与 Y 独 立 ， 且
f ( x ,y ) f X x( fY) y (. 根据条件概率密度的定义，当在 Y ? y 条件下，如果 fY ( y) ? 0, 则 ? )
f X Y ( x | y) ?
f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y ) ? ? f X ( x) . fY ( y ) fY ( y )
所以应选(A).
现 fY ( y) 显然不为 0，因此 f X Y ( x | y) ? f X ( x).
二、填空题 (11)【答案】0 【详解】 方法 1：由洛必达法则，
x3 ? x 2 ? 1 ? 3x 2 ? 2 x ? 6x ? 2 6 ? lim ? ? lim x ? ? lim ? ? lim x ? 0, 2 3 x ??? 2 x ? x 3 x ??? 2 ln 2 ? 3 x 2 ? x ??? x x??? ? 2 ? ln 2 ? ? 6 x ? 2 ? ln 2 ? ? 6
而 ?1 ? sin x ? 1 ，?1 ? cos x ? 1 ，所以 (sin x ? cos x) 是有界变量，根据无穷小量 乘以有界量仍是无穷小量，所以
x3 ? x 2 ? 1 lim x (sin x ? cos x) ? 0. x ?? 2 ? x 3
x3 ?1 ? x ?1 ? x ?3 ? x3 ? x 2 ? 1 (sin x ? cos x) ? lim 3 x ?3 方法 2： lim (sin x ? cos x) x ??? 2 x ? x 3 x ??? x ? 2 x ? 1?
? lim 1 ? x ?1 ? x ?3 1 (sin x ? cos x) ? lim x ?3 (sin x ? cos x) x ?3 x ??? 2 x x ??? 2 x ?1 ?1
而 lim 2 x
2 x (ln 2)3 2x ? 2 x ln 2 ? 2 x (ln 2)2 ? ? ? lim ? ?? ， ? ? lim ? ? lim x ??? x 3 ? x ??? 3x 2 6 ? x??? ? x??? 6 x
x3 ? x 2 ? 1 1 (sin x ? cos x) ? lim x ?3 (sin x ? cos x) ? 0 x ?? 2 x ? x 3 x ??? 2 x ?1
(12)【答案】 【详解】 y ?
( ?1) n 2 n n ! 3n ?1
1 ?1 ? ? 2 x ? 3? ， 2x ? 3
?1?1 ?1?1 ? ? 2 x ?? ? (?1)1 ?1!? 21 ? ? 2 x ? 3? ，
y ' ? (?1) ? ? 2 x ? 3?
y '' ? (?1) ? (?2) ? 22 ? ? 2 x ? 3? ? (?1) 2 2!? 22 ? ? 2 x ? 3?
由数学归纳法可知
y ( n ) ? (?1)n 2n n !? 2 x ? 3?
把 x ? 0 代入得
y ( n ) (0) ?
(?1) n 2n n ! 3n ?1
(13)【答案】 2( ?
y ' x ' f1 ? f 2 ) x y
?x? ? y? ?? ? ?? ? y ?z 1 x ? y? 【详解】 ? f1 '? ? ? ? f 2 '? ? ? ? f1 '? ? ? 2 ? ? f 2 '? ， ?x ?x ?x y ? x ?
?x? ? y? ?? ? ?? ? ? x ? y 1 ?z x ? f1? ? ? ? ? f 2 '? ? ? ? f1 '? ? f 2 '? ? ? 2 ? x ?y ?y ?y ? y ?
? ? ? y? ? x ?? ?z ?z 1? 1 ? y ? x ? ? f1 '? ? ? 2 ? ? f 2 '? ? ? y ? f1 '? ? f 2 '? ? ? 2 ? ? ?x ?y y? x ? ? x ? ? y ?? ?
y x x y x ? y? ? ? ? ? ? f1 '? f 2 '? ? f1 '? ? f 2 '? ? 2(? f1' ? f 2' ) x y y x y ? x?
(14)【答案】
x 1 ? ln x
dy d ? ux ? du du y ? ? ux? ? x ?u?x , ，有 dx dx dx dx x
【详解】典型类型按标准解法. 令 u ? 原方程化为
dx 2d u ?? , 3 u x 1 2du dx 此式为变量可分离的微分方程，两边积分， ? 3 ? ? ? ? ? 2 ? ? ln x ? C1 u u x u?x
1 du ? u ? u3 , 2 dx
1 ? ln x ? C ，即 u2
x2 ? l n x ?C | | y2
x 1 ? ln x
? 1知应取 x ? 0, y ? 0 且 C ? 1, 所以得特解 y ?
(15)【答案】1 【详解】
?0 ? 0 2 A ?? ?0 ? ?0
1 0 0 ??0 ?? 0 1 0 ??0 0 0 1 ??0 ?? 0 0 0??0
1 0 0 ? ?0 ? ? 0 1 0 ? ?0 ? 0 0 1 ? ?0 ? ? 0 0 0? ?0
0 1 0? ? 0 0 1? 0 0 0? ? 0 0 0? 0 0 ?1 ? ? 0 0 0? 0 0 0? ? 0 0 0?
?0 ? 0 A3 ? A2 ? A ? ? ?0 ? ?0
0 1 0 ??0 ?? 0 0 1 ??0 0 0 0??0 ?? 0 0 0??0
1 0 0 ? ?0 ? ? 0 1 0 ? ?0 ? 0 0 1 ? ?0 ? ? 0 0 0? ?0
由阶梯矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数，知 r A3 ? 1.
(16)【答案】 3 4 【详解】不妨假定随机地抽出两个数分别 为 X 和Y ，它们应是相互独立的. 如果把 1
（X , Y） 看成平面上一个点的坐标，则由于 0 ? X ? 1, 0 ? Y ? 1, 所以 X , Y） （ 为平面上
正方形： 0 ? X ? 1, 0 ? Y ? 1 中的一个点.
1 1 X 和Y 两个数之差的绝对值小于 对应于正方形中 X ? Y ? 的区域. 2 2
所有可能随机在区间 (0,1) 中随机取的两个数 X , Y ， 可以被看成上图中单位正方形里的 点. X ? Y ?
1 的区域就是正方形中阴影的面积 D . 根据几何概率的定义： 2
1 ? ?1 2 ? 1? 3 D的面积 ? ? ? . P? X ?Y ? ? ? 2 ? 单位正方形面积 1 4 ?
三、解答题 (17)【详解】讨论曲线 y ? y ( x ) 的凹凸性，实际上就是讨论 y ?? 的符号，而 y ? y ( x ) 是由方 程 y ln y ? x ? y ? 0 确定，所以实际上就是求隐函数的二阶导数并讨论其符号.
对方程两边求导得
1 y? ln y ? y ? ? y? ? 1 ? y? ? y? ln y ? 2 y ? ? 1 ? 0 y y? ? 1 2 ? ln y
再两边求导得
? ln y ?? ? 2 ? ln y ?
y? y ? 2 ? ln y ?
1 y ? 2 ? ln y ?
在(1， 1)点的值 y??
1 1 ?? ?0， 又由 y ?? 在 y ? 1 的附近连续， 所以在 y ? 1 3 1 ? (2 ? ln1) 8
的附近 y ?? ? 0 ，曲线为凸.
(18)【详解】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有
??? f ( x, y)d? ? 4??? f ( x, y)d?
其中 D1 为 D 在第一项限的部分，而
??? f ( x, y)d? ? ??? f ( x, y)d? ? ??? f ( x, y)d?
D1 D11 D12
其中， D11 ? ?( x, y) | 0 ? y ? 1 ? x,0 ? x ? 1? ， D12 ? ?( x, y) |1 ? x ? y ? 2, x ? 0, y ? 0? (如 下图所示).
D12 D11 -2 -1 O 1 2 x
??? f ( x, y)d? ? ??? x d? ? ? dx ?
2 0 D11 D11
x 2 dy ? ? x 2 (1 ? x)dx ?
??? f ( x, y)d? ? ???
? ? 2 d? ? sin?1?cos? dr ? ? 2
0 sin ? ? cos? 0
1 d? ? 2 ln( 2 ? 1) sin ? ? cos ?
??? f ( x, y)d? ? 4 ?12 ? ?
? 1 2 ln( 2 ? 1) ? ? ? 4 2 ln( 2 ? 1) ? 3
(19)【详解】(I) 设 f ( x ), g ( x ) 在 (a, b) 内的最大值为 M ，则存在 ? ? ( a, b), ? ? (a, b) (不妨 设 ? ? ? )，使 f (? ) ? M ? g ( ? ) . 当 ? ? ? 时，取? ? ? ? ? ? (a, b) ，有 f (? ) ? g (? ) ； 当 ? ? ? 时，令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ，则
h(? ) ? f (? ) ? g (? ) ? M ? g (? ) ? 0 ， h( ? ) ? f ( ? ) ? g ( ? ) ? f ( ? ) ? M ? 0 ，
则由介值定理知，存在? ? [? , ? ] ? ( a, b) ，使得 h(? ) ? 0 ，即 f (? ) ? g (? ) . (II) 因为
h(a) ? f (a ) ? g (a ) ? 0 ， h(? ) ? 0 ， h(b) ? f (b) ? g (b) ? 0 ，
则由罗尔定理知，存在 ?1 ? (a,? ) ， ?2 ? (? , b) ，使得
h?(?1 ) ? h?(?2 ) ? 0 .
f ??(? ) ? g ??(? ) .
再由罗尔定理知，存在 ? ? (?1 , ?2 ) ? (a, b) ，使得 h??(? ) ? 0 ，即
(20)【详解】 f ( x) ?
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? )? ( ? ) x ? 3x ? 4 ( x ? 4)( x ? 1) 5 x ? 4 x ? 1 5 x ? 1 ? 3 x ? 1 ? 2
1 1 1 ? ?? ? x ? 1 ? 3 ?3 ? ? x ? 1? 3
? 1 1 n ，因为 ? q ? ???? q ? 1? 1? q ? x ?1 ? n ?0 1? ? ? ? 3 ?
1 1 ?? ? x ?1? 3 3
1 1 ? ? x ?1 ? x ?1 ? ? ?? ? 1 ? x ?1 ? 3 ? ，其中 3 n ?0 ? 3 ? 3 ? x ?1 ? 1? ? ? ? 3 ?
1 1 同理 ? ? x ?1 ? 2 2
1 1 1 1 ? ? x ?1 ? 1 ? n ? x ?1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ,? ? x ?1 ? 2 ? x ? 1 ? 2 n ?0 ? 2 ? 2 n ?0 ? 2 ? 1? ? 1? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?
x ?1 ? 1 ? x ?1 ? 2 2
1 展开成 x ? 1 的幂级数为： x ? 3x ? 4
所以， f ( x) ?
x ?1 n ? 1 ? 1 ? x ?1 n 1 ? 1 ? ? 1 (?1) n f ( x) ? ? ? ? ( ) ? ? (?1) n ( ) ? ? ? ? ? n ?1 ? n ?1 5 ? 3 n ?0 3 2 n ?0 2 5 n ?0 ? 3 2 ?
? n 其中 ? ( x ? 1) ， ?
x ? 1 ? 2 ，即 ?1 ? x ? 3
(21)【答案】当 a ? 1 时，公共解为 [0,1, ?1]T ；当 a ? 2 时公共解为 [0,1, ?1]T 【详解】 方法 1：因为方程组(1)、(2)有公共解，将方程组联立得
? x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? x ? 2 x ? ax ? 0 ? 1 2 3 ? 2 ? x1 ? 4 x2 ? a x3 ? 0 ?x ? 2x ? x ? a ?1 2 3 ? 1
对联立方程组的增广矩阵作初等行变换
?1 1 1 0 ? ?1 ? ? ? ?1 2 a 0 ? 1行 ? ? 1 ? 2行 ? 0 ( A b) ? （ ） ? ?1 4 a 2 0 ? ????????????????? ? 1 ? ? ?1 2 1 a ? ? ?1 ? ?
?1 ? 0 1行 ? ? 1 ? 3行 ? （ ） ????????????????? ? 0 ? ?1 ?1 ? 0 ? 4行 ? ? 1） 2行 ? （ ?????????????????? ? 0 ? ?0 ?1 ? 0 换行 ? ????? ? ? 0 ? ?0 1 1 1 0 1 1 1 a ?1
1 1 0? ? 1 a ?1 0 ? 4 a2 0 ? ? 2 1 a? 0 ? ? 0 ? 3 a2 ?1 0 ? ? 1 0 a ? 1? 1 1 1 a ?1 1 0 0 ? ? 1? a ? 0 a 2 ? 1 3 ? 3a ? ? 1 0 a ?1 ? 1 a ?1 0 a ?1
0? ?1 ? ? 0? 0 1行 ? ? 1 ? 4行 ? （ ） ? ????????????????? ? 2 3 a ?1 0 ? 0 ? ? 2 1 a? ?0
1 0 ? ?1 ? ? 0 a ?1 1 ? a ? ? 4行 ? ? 3） 3行 ? （ ?????????????????? ? 2 3 a ?1 0 ? 0 ? ? 1 0 a ? 1? ?0 1 0 1 1
0 ? ?1 ? ? a ?1 ? 0 （ ） 3行 ? - a -1 ? 4行 ? ???????????????????? ? 0 0 a ?1 1 ? a ? ? ? 2 0 a ? 1 3 ? 3a ? ?0
? ? ? ? 0 a ?1 1? a ? 0 0 ( a ? 1)( a ? 2) ? 1 0
由此知，要使此线性方程组有解，a 必须满足 (a ? 1)(a ? 2) ? 0 ，即 a ? 1 或 a ? 2 . 当 a ? 1 时 ， r ( A ) ? 2 ， 联 立 方程 组 (3)的 同 解 方程 组 为 ?
? x1 ? x2 ? x3 ? 0 ，由 ? x2 ? 0
r ( A) ? 2 ，方程组有 n ? r ? 3 ? 2 ? 1 个自由未知量. 选 x1 为自由未知量，取 x1 ? 1 ，解
得两方程组的公共解为 k ?1, 0, ?1? ，其中 k 是任意常数.
? x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? 当 a ? 2 时, 联立方程组(3)的同解方程组为 ? x2 ? 0 ，解得两方程的公共 ? x ? ?1 ? 3
解为 ? 0,1, ?1? .
方法 2：将方程组(1)的系数矩阵 A 作初等行变换
?1 1 1 ? ?1 1 1 ? ? ? ? ? （ ） ? A ? ?1 2 a ? 1行 ? ? 1 ? 2行 ?0 1 a ? 1 ? ????????????????? ?1 4 a 2 ? ?1 4 a 2 ? ? ? ? ?
1 ? 1 ?1 1 ?1 1 ? ?0 1 a ? 1 ? 2行 ? ? 3） 3行 ?0 1 ? ? 1行 ? ? 1 ? 3行 ? a ?1 （ ） （ ????????????????? ? ?????????????????? ? ? ?0 3 a 2 ? 1? ?0 0 (a ? 1)( a ? 2) ? ? ? ? ?
当 a ? 1 时，r ( A) ? 2 ， 方程组(1)的同解方程组为 ?
? x1 ? x2 ? x3 ? 0 ， r ( A) ? 2 ， 由 ? x2 ? 0
方程组有 n ? r ? 3 ? 2 ? 1 个自由未知量.选 x1 为自由未知量，取 x1 ? 1 ，解得(1)的通解为
k ?1, 0, ?1? ，其中 k 是任意常数. 将通解 k ?1, 0, ?1? 代入方程(2)得 k ? 0 ? (?k ) ? 0 ，对
任意的 k 成立，故当 a ? 1 时， k ?1, 0, ?1? 是(1)、(2)的公共解.
r 当 a ? 2 时， ( A) ? 2 ， 方程组(1)的同解方程组为 ?
? x1 ?}