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武汉大学国际软件学院唐存琛 刘峰 第4章 关系 4.0 集合及相关概念 4.1 关系的定义及其表示 4.2 关系运算 4.3 关系的性质 4.4 等价关系与偏序关系
4.0 集合及其运算 集合及其表示法 包含(子集)与相等 空集与全集 集合运算(?,?, - , ~ , ?) 基本集合恒等式 包含与相等的证明方法 集合的概念 集合是数学中最基本的概念,没有严格的定义
理解成某些个体组成的整体, 常用大写字母A,B,C等表示 元素:集合中的个体，通常用小写字母a,b,c等表示 集合的概念（续） x?A(x属于A): x是A的元素
x?A(x不属于A): x不是A的元素 无穷集:元素个数无限的集合 有穷集(有限集):元素个数有限的集合.
|A|:A中元素个数 k元集:k个元素的集合, k ? 0 集合的表示法 列举法: 列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来。
如 A={ a, b, c, d }, N={0,1,2,…} 描述法：用谓词P(x)表示x具有性质P，用 { x | P(x) }表示具有性质P的所有元素组成的集合。
如N={ x | x是自然数 } 说明: (1) 集合中的元素各不相同. 如, {1,2,3}={1,1,2,3} (2) 集合中的元素没有次序. 如,
{1,2,3}={3,1,2}={1,3,1,2,2} (3) 有时两种方法都适用, 可根据需要选用.
常用集合 N：自然数集 Z： 整数集 Z+：正整数集 Q： 有理数集 P： 素数集 包含与相等 包含(子集)
A ? B ? ?x (x?A ? x?B) 不包含
A ? B ? ?x (x?A ? x?B)
A = B ? A ? B ? B ? A 不相等
A ? B ? A ? B ? B ? A 真包含(真子集)
A ? B ? A ? B ? A ? B
包含与相等(续) 例如：
A={1,2,3}, B={ x | x?R?|x|?1 },
C={ x | x?R?x2=1 },
C ? B, C ? B, C ? A, A ? B, B ? A, C = D 空集与全集 空集?: 不含任何元素的集合 例如, {x | x2&0?x?R}=? 定理1.1
空集是任何集合的子集 证 用归谬法. 假设不然, 则存在集合A, 使得? ? A,
即存在x, x??且x?A, 矛盾.
空集是惟一的. 证 假设存在?1和?2，则?1??2 且?2??1，因此?1=?2 全集E:限定所讨论的集合都是E的子集.
集合运算 并
A?B = { x | x?A ? x?B } 交
A?B = { x | x?A ? x?B } 相对补
A?B = { x | x?A ? x?B } 对称差
A?B = (A?B)?(B?A) = (A?B)?(A?B)
?A = E?A= { x | x?A } 例如
设E={0,1, … ,9}, A={0,1,2,3}, B={1,3,5,7,9}, 则
A?B ={0,1,2,3,5,7,9}, A?B ={1,3}, A?B ={0,2},
A?B ={0,2,5,7,9}, ?A ={4,5,6,7,8,9}, ?B ={0,2,4,6,8} 说明:1. 只使用圆括号 2. 运算顺序: 优先级别为(1)括号, (2)?和幂集, (3)其他. 同级别的按从左到右运算 实例 例4 设E={ x | x是北京某大学学生}, A,B,C,D是E的子集, A= { x | x是北京人},
B= { x | x是走读生}, C= { x | x是数学系学生},
D= { x | x是喜欢听音乐的学生}. 试描述下列各集合中学生的特征: 文氏图表示 基本集合恒等式 1. 幂等律 A?A=A,
A?A=A 2. 交换律 A?B=B?A,
A?B=B?A 3. 结合律 (A?B)?C=A?(B?C)
(A?B)?C=A?(B?C) 4. 分配律 A?(B?C)=(A?B)?(A?C)
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离散数学 集合
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离散数学集合练习题答案
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1、集合的概念
我把往往会把一些具有某些相同属性事物归为一个整体，而一个整体就是一个集合(也称为全集）例如：
身高180以上的同学的集合
x^2 - 1 = 0的实数解的集合
26个英文字母的集合
通常使用大写字母来标记集合，例如身高高于190的同学的集合T，黑色的猫的集合B。
组成集合的事物称为集合的元素，例如有穿白衣服的同学的集合W，那么每一个穿白衣服的同学都为W集合的一个元素。
2、集合的表示
表示一个集合时通常使用列元素发和谓词表示法
列元素法，将集合中的每一元素都列出来：如A = {a, b, c}，Z = {1, 2, 3}
谓词表示法，用谓词来概括集合中的属性：B = {x|x∈R∧x^2-1=0}
集合中的元素都是不相同的，同一个元素多次出现视为一个元素，例如{1, 2, 3, 3, 3} = {1, 2, 3}
集合中的元素是无序的，例如{1,2,3,4} = {2,4,3,1}
3、集合之间的关系
隶属关系：元素和和集合之间的关系就是隶属关系，即元素属于或不属于集合,属于记为∈，不是于记为?
例如：一只黑色的猫∈黑猫，一只白色的猫?黑猫
但A?A，毕竟我们不说黑色的猫是黑色的猫的一部分
包含关系：A和B为两个集合，如果B中的元素A中也都有，那么我们就称A包含B，称B为A的子集，记为B?A。显然对于任何集合A都有A?A
等于关系：如果A?B且B?A，那么A就等于B，记为A=B
真子集关系：如果A?B且B≠A，那么B就是A的真子集,记为B?A
不包含任何元素的集合称为空集，记为?
空集是所有元素的子集??A
含有n个元素的集合称为n元集，他含有m个元素的子集就称为m元子集例如：A = {1,2,3}，那么A集合的所有子集如下：
0元子集：?
1元子集：{1},{2},{3}
2元子集：{1,2},{1,3},{2,3}
3元子集：{1,2,3}
一个集合含有2^n个子集，把一个集合全体子集称为结合的幂集，记为P(A)
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