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求证：一的平方加上二的平方一直加到n的平方等于六分之n(n+1)(2n+1)
东哥335wGm
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因为 （n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1所以 n^2=[(n+1)^3-n^3-3n-1]/3为计算1^2+2^2+3^2+.+n^2将上面表达式带入 然后可以抵消掉很多中间项,再简单合并一下剩余部分就可以得到结果.字数有限不能详细给出过程了.
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不妨设an=n三次方，则an-a(n-1)=3n²-3n+1然后求和，一直加到a2-a1，从而左边=n三方-1=右边=3（n²+。。。+1²）-3（1+。。。+n）+n-1化简即可
用数学归纳法，n=1时等式明显成立假设n=k是等式成立，即1^2+2^2+...+k^2=k(k+1)(2k+1)/6计算n=k+1时，等于 = k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(2k^3+9k^2+13k+6)/6=(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)/6所以假设成立，得证。
设S=1^2+2^2+..+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1
2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 上面n个相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+..+n^2] +3*[1+2+..+n] +n
如果你会数学归纳法 那就用数学归纳法很简单的 或者 参考.cn/s/blog_600ce18b0100dxpk.html 这个方法 等你上电脑了 用ie看吧 100个字没法证明完
(k+1)³-k³=3k²+3k+1∴取k=1,2,3,...n2³-1³=3×1²+3×1+13³-2³=3×2²+3×2+1...(n+1)³-n³=3n²+3n+1把上式累加(n+1)³-1=3Sn+[3n(n+1)/2]+n整理3Sn=(2n³+3n²+n)/2=n(n+1)(2n+1)/2.∴
可以逆着证明（反证法）假设加到n的平方等于六分之n(n+1)(2n+1)然后把n换成n-1就是一直加到（n-1）的平方的和相当于少加了一个n的平方然后用前面的减去后面的，如果得到的是n的平方则说明要求证的成立！
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n=1，2，3，4，………………表示所有自然数（不包括0）这个公式是1^2+2^2+3^2+...n^2的求和公式n就是该数列的最后一个数字比如1^2+2^2+3^2=3*(3+1)*(2*3+1)/6=14
||||点击排行用数学归纳法证明不等式“1/n+1+1/n+2+---+1/2n＞13/24(n＞2,n属于N*)的过程中
用数学归纳法证明不等式“1/n+1+1/n+2+---+1/2n＞13/24(n＞2,n属于N*)的过程中由假设n=k成立推到n=k+1成立时,不等式的左边A 增加了一项1/2(k+1) B 增加了两项1/2k+1,1/2(k+1） C 增加了两项1/2k+1,1/2(k+1),有减少了一项1/k+1 D 增加了一项1/2(k+1),有减少了一项1/k+1
选C,一头一尾都变化了.
与《用数学归纳法证明不等式“1/n+1+1/n+2+---+1/2n＞13/24(n＞2,n属于N*)的过程中》相关的作业问题
n=k时,等式为(k+1)(k+2)..(k+k)=2^k *(2k-1)!n=k+1时,等式为(k+2)(k+3)..(k+1+k+1)=2^(k+1) * (2k+1)!左边增加的因式为(2k+1)(2k+2)/(k+1)=2(2k+1)右边增加的因式为2*(2k+1)
n=1时,根号2 再问： =1*2+根号2*3+...+根号K(K+1)+根号（K+2）(K+1)-1/2(K+1)^2-(K+1)-1/2
解,取n=1时,则有：根号下1*2
因为 1+根号二分之一>根号2 1+根号二分之一+根号三分之一>根号3由此类推 1+根号二分之一+根号三分之一+……+根号（n-1）分之一>根号(n-1) (其中n>2)等式两边同时加上 根号n分之一 等式右边易证 根号(n-1)+根号n分之一根号(n-1)证毕
增加了:1/(2k+1)+1/(2k+2)-1/(k+1)通分后,上式是大雨零的,所以成立
用数学归纳法证明等式1+12+13+…+12n-1＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+12+13+…+12k-1，则当n=k+1时，左边=1+12+13+…+12k-1+12k+…+12k+1-1，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：12k+12k+1+…+12k+1-1
证明：假设当n=k时,A=1/(k+1)+1/(k+2)+…+1/(k+k)>13/24成立,则当n=k+1时,左边=1/(k+2)+1/(k+3)+…+1/(k+1+k+1)=A+1/(k+1+k)+1/(k+1+k+1)-1/(k+1)=A+1/(2k+1)-1/(2k+2)=A+1/(2k+1)(2k+2)>A>
证明：n=1时,由 1/2+1/3+1/4 = 13/12 = 26/24 > 25/24知不等式成立.现在设n = k的时候不等式成立,即 1/(k+1) + 1/(k+2) +...+1/(3k+1) > 25/24.①则n = k+1时,由 (3k+2)(3k+4) = (3k+3-1)(3k+3+1) = (3
当n=k时，左边的代数式为1k+1+1k+2+…+1k+k，（共k项）当n=k+1时，左边的代数式为1k+1+1+1k+1+2+…+1k+1+k+1k+1+(k+1)（共k+1项）故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果，1(k+1)+k+1(k+1)+(k+1)-1k+1即为不等式的左边增加的项．故
原来的和式最后一项是1/[(2^k)-1],现在和式的最后一项是1/[2^(k+1) -1],增加的项就是从1/2^k开始,分母依次加1,直至1/[2^(k+1) -1】；比如 n=2时,最后一项是1/3;n=3时,最后一项是1/7,增加的项有1/4+1/5+1/6+1/7,以此类推.
证明：（1）当n=2时，左边=12+13+14＝1312＞1，∴n=2时成立（2分）（2）假设当n=k（k≥2）时成立，即1k+1k+1+1k+2+…+1k2＞1那么当n=k+1时，左边=1k+1+1k+2+1k+3+…+1(k+1)2=1k+1k+1+1k+2+1k+3+…+1k2+2k+1(k+1)2-1k＞1+1
第一步当n=1时,有(2+4)/2=3;当n=2时,有(4+16)/2>3.综上,有当n=1时,不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n成立.第二步假设n=k时,不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n成立.即(2^k+4^k)/2 >=3^k.则n=k+1时,[2^(k+1)+4^(k+1)]/2 =(2*2^k
1、左边增加的式子是 1/2^k+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+.+1/(2^k+2^k-2)+1/(2^k+2^k-1) ,也就是 1/2^k+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+.+1/[2^(k+1)-1] .2、因为每项均为正数,因此把待证的不等式转化为 Sn*S(n+2)
然后就证明出来了~
原式等价于n 再问： n+1
（1）当n=2时,1/2+1/3+1/4=13/12>1.故不等式成立.（2）假设n=k时,1/k + 1/(k+1) + 1/(k+2) +...+1/(k^2)>1恒成立.那么当n=k+1时,则有 1/（k+1） + 1/(k+1+1) + 1/(k+1+2) +...+1/((k+1)^2)>1+1/(k^2+1
证明：（1） n=0,1,2,3时,2^n>n^2成立(2) 假设n=k(k>=3)时2^k>k^2成立当n=k+1时,2^(k+1)=2*2^k=2^k+2^k>k^2+k^2而k^2-2k-1=k^2-2k+1-2=(k-1)^2-2,k>=3,k-1>=2,(k-1)^2>=4,(k-1)^2-2>=2>0,所以
假设,取常,取k k+1证明带入
数学归纳法就是,①证明n=1时,不等式成立,②假设n=k时,不等式成立来证明n=k+1时不等式也成立.一般情况下,在证明第二步的时候,要充分利用n=k时不等式成立的条件,以n=k时的不等式为基础,进行合理放缩啊,不等式两边同时乘以一个数啊,等等的一系列变换,从而证明n=k+1时,不等式也成立.从而证明不等式对于所有正整扫二维码下载作业帮
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[1+2的平方+…+(n-1)的平方] 为什么等于 [(n-1)n(2n-1)]/6
酒阑客散004F7
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n(n+1)(2n+1)/6方法1：n^2=[(n+1)^3-n^3]/3-n-1/3 两边都从1到n求和 左边为所求 右边=[(n+1)^3]/3-n*(n+1)/2-n/3 =n*(n+1)*(2*n+1)/6 或者 先取一辅助数列：记为sigma(n)=1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1),将其配成这样：sigma(n)={1*2*(3- 0)+2*3*(4-1)+3*4*(5-2)+...+n*(n+1)*[(n+2)-(n-1)]}/3=n*(n+1)*(n+2)/3,又Sn+ n*(n+1)/2=sigma(n),所以Sn=sigma(n)-n*(n+1)/2=n*(n+1)*(2n+1)/6.方法2：数学归纳法 n=2的时候,1＝(1*2*3)/6=1 如果对n－1的时候成立,则有1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＝(（n-1）n(2n-1))/6 那么对于n的时候 1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＋n的平方 ＝((n-1)n(2n-1))/6+n*n ＝n/6*(2n^2-3n+1+6n) ＝n/6*(n+1)(2n+1) ＝[(n+1-1)(n+1)(2(n+1)-1)]/6 所以对n的时候也成立 由以上,可以知道1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＝(（n-1）n(2n-1))/6 方法3：待定系数法 设1^2+2^2+...+n^2=a*n^3+b*n^2+c*n 将n=1、2、3分别代入,解方程组可得a=1/3 b=1/2 c=1/6
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这个记住就行，不必了解那么透彻
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