求考研数学太难了大大，详细步骤. 太难了.
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时间：2017-10-21 08:21
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小学 初中 高中
数学太难学？数学知识听不懂吗？您的孩子有没有出现以下现象呢？1 上课时间紧，知识接受能力有限，基础不牢，知识体系不贯通，学了不会用2 基础不扎实，上课听不懂，遇到难题不想做，习惯性做错，不预习，不复习3 方法不对，解题没思路，方法很单一，平时都会做，考试就是错4 粗心大意，写题马虎，常陷入命题陷阱，做题不仔细，会做的总是错如何在那么短的时间内快速提分呢？明大教育来帮您！从今天开始，让明大教育为您量身订制学习目标，配备专属您的一对一教师。让我们的一对一学习模式帮助您和孩子开辟一条新的学习道路，我们有较舒适的学习环境，较专业的课程老师，我们不仅在学习上帮助孩子，还会在心灵上给予孩子正能量，让孩子从此不再为成绩低下而苦恼、自卑。从您的孩子进入明大开始，数学、物理、生物、地理、政治、化学任何的学科对孩子来说将不是问题！！我们的一对一辅导是较专业的辅导！孩子的明天也将会是一个充满自信的明天！
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金牌教师忠告：小学数学“10大经典难题”（内涵具体解题步骤）
在小学数学中，类似于鸡兔同笼问题或者是小明和爸爸的年龄问题，其实都是归类到小学奥数的范畴。小学奥数重要吗？当然很重要，因为这可以锻炼同学们的逻辑思维能力，为此，很多家长在孩子小的时候都会送孩子到奥数培训班。其实在小学阶段，奥数的题型就这几类，同学们可以多看看。此外，我专注于中小学教育，如果家长们以后有学习上的问题或者是需要某科学习资料，随时欢迎在微信上与老师交流！获取更多的学习方法和资料，请添加私人微信：danaoxs77，（长按即可复制）
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作者最新文章这些天，总有些不安分的高中小朋友，借机向我表白的壳，频繁私信我关于学习方法的问题，我真开心啊，为什么你问一个问题还要出卖感情。&br&&br&因此，我在吃早饭的时候决定回答这个问题，以免有些小姑娘又妄想通过“非法”途径，做一些“想入非非”的事情，破坏我家室安宁。&br&&br&这是一个综合式的回答，所谓综合——是指答主想到哪写到哪，体现出一种随逸的兴致——虽然如此说，我每次也还是掏空地写，因此特别长。&br&&br&此外，该答案里面的涉及一些建议，可能对小朋友们的生活成本和经济基础造成直接压力，请谨慎文中有关财务往来事项，不要随意相信陌生人。 &br&&br&关键词:
&b&学习方法
平时学习小习惯
高考 模拟卷
其他省市卷子的使用&/b&&br&&br&&br&&b&正文:&/b&&br&&br&&br&成绩太差或者成绩太好的情况——正态分布的边缘人群，我是管不着的；就怕你成绩“还算好”，但努力下去却也不能“好”到令人惊喜的地步——够一够能上个985或者211，偏偏你在悬在边上，让人揪心。&br&&br&这些人大多数是享受了初期的努力红利，而中后期红利失效，上升通道渐渐就出现了瓶颈。&br&&br&这忙我帮。远水解不了近渴，我只能对未进入高三的小朋友说:成绩进入平均分后，就要注重学习方法——这是解决之道。&br&&br&我曾听说，&br&&br&1.没有学习之前，学习什么比怎么学重要。&br&2.决定了学习什么后，怎么学为重中之重。&br&&br&写得这么对称，说明这两句话都是我说的。&br&&br&学习方法重要吗&p&&br&方法的重要性因人在进驻目标的不同阶段而呈现不等同的重要性。学习基础差的人，努力肯定比方法重要，你只要学，哪怕囫囵吞枣也总能学得些什么。但把初期个人的努力红利消耗完之后，此时还有人和你说学习方法不重要，这个人可能是不愿看到你变得更好。&/p&&p&&br&为了高考，看看你们班上学习努力的还少吗？&/p&&p&&br&有些儿拔尖的人可能在和大家一样的表象努力中，&b&不知不觉恰好形成了学习的好方法好习惯&/b&，学习上一路高歌猛进，或许他自己都不知道为什么拔尖，却只能无奈归功于自己真是“好聪明”。而更多不幸运的人，没有在不知不觉中“恰好”行成这样良好的方法和习惯，就只能在做轮刮眼眶的时候怀疑自己的智商问题。&br&&br&&br&所以，在此良辰美景之际，我有两大建议给高一高二小朋友:&br&&br&1.&b&尽早把努力红利消耗完&/b&:高一高二的小朋友先嚓嚓嚓让自己小鸡鸡挺起来，成绩达到你们班平均分水平，越早越好。&br&&br&2.&b&平均分是标志&/b&:此后你就要开始关注自己的学习方法。&br&&br&怎么个“关注”法？&br&&br&第一步，提取&br&&br&&b&提取自身已有的有益学习经验——这个写起来的确平淡如水，但却是我最要苦口强调的&/b&。&/p&&p&首先要做的就是看一看自己曾经有没有什么独特的或高效的方法或者学习工具，你在高一用的方法总结了高二还能用。而不是先到处跑去到处看别人的方法，你还不知道自己的方法是什么，你优化什么？&br&&br&第二步，借鉴&/p&&p&看看那些学霸有没有什么好的学习习惯，不过这个只是给你说个观察方向，通常你看看那些人，&b&要是只能看出“他们学习时间比较长、特别努力”这样的结论，那还是算了&/b&，一点屁用没有。你要是没有这种观察的天赋，那就去看别人的经验总结吧。&/p&&p&&b&总结&/b&:记住，平均分以后就要开始琢磨并优化自己的学习方法。&br&&/p&&br&&br&&p&&br&&br&&b&上面的这些话恐怕一般人想想也能够说得出来&/b&。为了不让大家白来，下面透私货————&br&&br&看看你这些年来，在学习上有哪些可赖以生存的优势，有哪些学习习惯让你持续吃香。比如我从初中开始，通过英文背诵，在高中学习就很省力省时间，这就是王牌科目，对其他科目相当有好处。&br&&br&上面这句话实际上写得不够吸引人，实际上我只是想引出一个更加细化的小小建议，&b&值得你大大注意&/b&。&br&&br&&b&如下&/b&:&br&&br&1.现在就找出你几个科目中&b&最擅长的科目&/b&&/p&&p&2.&b&集中精力、&/b&&b&彻底在一段时间内&/b&把它搞成你的王牌&/p&&p&3.第一个王牌科目稳定之后——&b&强调稳定之后&/b&，着手建立&b&第二个&/b&王牌科目&/p&&p&4.以此类推，逐渐迭代加强王牌科目的建立&/p&&p&5.一轮渐次强化完毕，&b&重新进行科目排序&/b&，回到第1步&br&&br&注:虽然是讲一个科目的集中加强，但是不可忽视这里面时间的限制，因为一个任何一个科目的加强都需要不少的时间，因此越早进行越好——因此上面的建议也是针对高一高二所说的。&br&&br&&br&&b&特别注意——王牌的意思是*&/b&:平时所花的时间比其他科目平均用时要少，但是成绩还是不错——因此，这里的「王牌」不是指绝对意义上的王牌，也不是打不死的「王牌」，而是相对的好的那一科。&/p&&p&&b&这里我强调的是*&/b&:&b&科目之间不要平均用力，而是渐次有偏重地、集中用力*。&br&&/b&&br&&br&你平时的学习，如果目标只是简简单单的要维持在一定的分数，或者只是简简单单地想要在班级上保持类似前几前几的排名——这简直太累啦，这整三年他妈都太累了——你做广播体操的时候连这个问题都没有考虑吗？!&br&&br&&br&我主张在维持不难看的成绩之上，你就要有暗地的&b&小阴谋&/b&:有目的地去渐次构建你的王牌学科——是&b&渐次*&/b&。&br&&br&这样学到后来需要操心的科目越来越少。&br&当你操心的越来越少，这个时候你再和别人一样努力，甚至更努力的时候，真他妈的可以把竞争者一个打一个趴。&br&这种人在后期是强劲的。&br&&br&所以我真不知道那些高一开始就力求每一科都好看的人折腾个什么劲儿。&br&&br&照我这个思路干，照样最好把他们打个落花流水。&/p&&p&&br&&br&&b&一定要记住，如果你把主要注意力集中在维持类似前级前几的做法，意味着你同时就没有足够的精力花在方法的优化上。&br&这种打法，越到后期越累。&/b&&br&&br&&b&不要简简单单地看平时明面上的学习成绩比较，那都是浮表的东西。&/b&&/p&&p&&br&&br&亲爱的宝贝，去逐渐地有目的建立你的王牌科目，这是你平时暗地里都应该上心的事情。&br&&br&&b&注意*&/b&:第一轮的王牌建立过程，我建议你可以稍微把每一科王牌搞得扎实一点，搞得稳定一点，不要到了建立第三个王牌的时候，你忽然发现第一个王牌掉得厉害，这么让你不省心，当初你建立的那还是王牌吗？杂牌。&br&&br&上面的这些建议你们自己总结吧，这不是心情日志，应该对一些人有好处的。&/p&&br&&br&&p&&br&&br&算了。。。还是我替你们总结吧:&br&1.进入高中后，基础差的先通过轰炸式努力迅速达到班级&b&平均分水平&/b&，这个时间&b&越早越好&/b&。&/p&&p&2.基础补起来之后，就要有意识分配注意力——有意识优化自己的学习学习方法，不然&b&瓶颈&/b&可能就要来了。&/p&&p&3.&b&我反对的是那种每次立求维持排名前几式的努力方式&/b&&/p&&p&4&b&.我提供的是一个优势学科逐渐迭代，最后系统得到加强的具体优化方&br&式。&/b&&br&&br&&br&第二节完。&/p&&br&&p&&br&&br&我们继续来考究「&b&方法&/b&」这个词，看看它在高中学习中，是否能产生一些具体性指导的意义。&br&&br&&br&我一向认为，高考面对的不是一份一份的试卷，你的整个高中学习，面对的不是一摞书、一堆试卷，你的每一个当下，其实你所面对的只是&b&一个&/b&问题——仅此而已！&br&&br&如果有谁能够帮助我把一个个题目都顺利地解答出来，那我就把他叫做“&b&最好的方法&/b&”或“&b&最好的老师&/b&”。&br&&br&最好是一个题目出来，你给我一个标准答案，我直接从脑中抄过去，这对我来说就是最好的方法。&br&&br&这是不可行的，因此退而求其次的做法是你告诉我那个答案是怎么来的——而能够实现这个工种的有——&b&老师、同学……千万不要忘了，还有参考书!&br&&/b&&br&&br&&br&我们先来一个个论述，以防遗漏了什好用的建议。&br&&br&最有机动性、最高效的当然是&b&老师&/b&——因此，爱问问题的学生容易进步。而把这种“老师——学生”学习形式做到更极致的，就是拥有能够随时解答疑惑的&b&贴身老师&/b&，我国古代早有先例，比如皇帝小时候的学习，就有这种学习资源。又比如诸葛亮之于刘备，这是军师的作用。平常人是没有这种学习资源的，我们想，次一点的是什么？是&b&培训&/b&，这也是很有效的方式。&br&&br&排序是:贴身老师（比如他爸李刚刚好教物理，他就近乎于此身份）＞＞参加培训班（很多学霸都有上培训班的经历，遇到好老师真有效）＞多问问题（看看那些脸皮够厚的孩子，也能成长）&br&&br&因此我的建议也很俗气，就是&b&利用好身边的资源来解决眼下遇到的每一个题目，能多问就要抓住机会。&/b&&br&&br&&br&又到见证私货的时刻:&br&&br&平时你去问老师问题，问多了是不是不好意思？&br&我告诉你这么做:&br&1.事先和小伙伴交流&br&2.列出共同的疑难问题&br&3.每个人问老师一个到两个问题，老师讲的时候记住解题要点&br&4.和小伙伴们通过交流，于是所有疑难得到解答——其实这还有一个特好的好处，就是你把一个刚刚老师给你讲明白的题给你的小伙伴们讲明白，会极大加深你对知识的印象和融汇贯通的能力&br&&b&注*&/b&:以上这个小方法，女孩子们比较适用，她们更容易形成学习小团体。&/p&&br&&p&&br&&br&其实自习课上，学生问老师问题，可能会造成教师资源的浪费。有没有这种情况，就是你不懂的题目别的同学也很可能不懂，于是你这边问完，到了那边，另外一个同学又问了相同的问题。但如果这两个同学事先「沟通」呢？&/p&&p&&br&事先在课下和两三个同学交流一下，把共同的难题给找出来，每个人负责问老师一个，之后相互讲透。这样个人既不会因为多问老师太多问题而感到不好意思，也可以减少老师资源的浪费。&br&所以，学习可以是一个合作的过程，哪怕是问问题，也可以有策略实施。&/p&&p&&br&&br&我是很乐意见到类似这样的学习小集团——或者是以感情导向的“常规型”，或者是以学习问题导向的“学习型”——关注我的人有不少老师，我相信他们也应有同感。&br&&br&这只是一个简简单单的学习问题吗？一个领导可能一次不会给你透露某件机密的全部事实，但是通过不同有意无意的侧重询问，你可以通过零碎的细节拼凑出事件的全貌。貌似前苏联专家就有通过类似的方法刺探到美国导弹相关情报的例子。虽然我写的是学习内容，其实也有在借此思考一些必要的事情。&br&&br&上面说完了“老师”和“同学”，请认真体会。&/p&&br&&p&&br&&br&接下来我们说重头戏——&b&参考书&/b&。&br&&br&&br&很少有人会把参考书的重要性提升到高考指导的战略层次上，使用方法更是不得其所，而我这里要&b&送你一位“老师”&/b&。&br&&br&&br&在如何长时间高效学习的那个答案里面，我说教材特别重要——这是大学或者自学领域。而高中，面对着钦定的教材，这一个结论就有点勉强。但是仍然需要强调学习工具的重要性，只不过这一次是参考书:参考书十分重要。&br&&br&字不多，先给一句话:&/p&&p&&b&1.不仅要多挑选，挑选标准是答案一定要有详细解题过程。&/b&&/p&&p&&b&2.而且要多买，我建议对应科目是2~三本——你父母不会反对吧？&/b&&br&&b&注*&/b&:此建议针对具备理科性质的科目，文科科目请酌情参考&br&&br&你们还是先反对吧，之所以有人会反对多买参考书，那是因为我要说的参考书的用法就和你想象的不一样。&br&&br&&br&下面关于参考书用法，下面字就多了——&br&&br&&b&1.一定要多看——指的是频率!&br&2.一定要多「参考」——指的是还是频率!&br&2.一定记住，参考书最大的作用一定是还原「参考」本身——参考!&br&&/b&&br&很多人参考书买来做一点就放那里了，厌倦得很快，后面的大部分是新的，这是浪费——浪费资源。这样的人，你一定要反对我，不然我连批评你的成就感都没有。&br&很多人参考书买来是拿来做的，我拉个大去，我说这样还是浪费——浪费时间。这样的人，一定要猛烈地反对我，不然我会猛烈反对你。&br&这都是参考书错误的用法。&br&&br&平时老师布置的作业你嫌不够多，是吧？!练习题、练习册做完了，时间还大有盈余是吧？!&br&很多人拿参考书当做练习册做——这不仅使得学习时间紧绷。还因为参考书下面的解题过程比较详细，很多人甚至重视参考书而忽视了老师布置的作业——这都有点本末倒置了。&br&&br&&br&&br&&b&「参—考—书」——这就是它本身的用法。&/b&&br&&br&我们还原参考书的原本作用——参考，而且一定要参考，多参考——&b&多指的是频率，等下我让你看看什么是频率!&/b&&br&&br&再次记住:参考书的第一作用是——提供参考。&br&&b&使用方法可参考如下:&br&1.挑好对应学科具有详细答案的参考书&br&2.看。看目录，熟悉就可。&br&3.看。看章的提要、节的提要，圈出那些考试要求里面设计的概念性词汇&br&4.看。这是重头，也是你的“日常”——看参考书的题目，理解其题目大意&br&5.反复进行第4步，直到熟悉2--3本参考书&br&&/b&&br&这样做所要达到的&b&目的是*熟络参考书的题目分布情况&/b&&br&&br&我的意思是——我现在是在给你造一个&b&私人老师&/b&啊!&br&&br&&br&&br&若是不懂我说的，且继续看——&br&&br&平时试卷上面的很多题目是不是错了也搞不懂，难了又不知道问谁？想要找老师也不好意思，又或者找了老师还是搞不懂？很多题目是吧？那学生学习最难的是什么？最难的说到细节里当然是遇到题目不会做，而是遇到题目不会做，他最需要的是一位能够指导他的老师——&b&最难的是他没有一个能够呼之即来的老师!&/b&&br&&br&这个时候表白内裤诗诗的作用就来了，因为内裤诗诗告诉你———&b&可以把参考书打造成这位“老师”!&/b&&br&&br&照着上面的用法，你可以熟悉参考书的脉络甚至细节，就可以根据你不懂的题目，你可以迅速找到参考书上面同类型的甚至是相同的题目，到了那里，你自然可以参考下面的详细的解题思路——&b&我前面说只看题目不需要看下面的解题过程，因为那些详细答案的解题思路，其作用正是在于这里。&/b&&br&&br&其实你是在大脑里面建立一个庞大的例题库索引——当你遇到不会的，就可以根据脑中记忆索引找到对应的参考例题，甚至是相同的题目。而我并不是说这样可以更快速地找到答案，而是可以通过题目索引找到相对应的解题过程，你就可以依此获得思路的参考——而这些思路参考的作用，就相当于一位“老师”对你的作用。&br&&br&&b&因此，诗诗我送了你一位“老师”。&/b&&/p&&br&&p&&br&再次强调，参考书的用法在于「参考」，而关于参考书你所要做的就是——熟悉题目分布，很熟悉，甚至超级熟悉。&br&&br&熟悉2--3本左右的参考书，一个学科的学习能够大有顺畅了。&br&&br&做法也很简单——就是看，平时没事就去翻看，翻透它。&br&&br&&b&时间上&/b&我们考量一下:&br&&br&1.实际上&b&做完一本参考书的时间远远大于看完一本参考书的时间&/b&，可行&br&2.看的时候只看题目、题型，&b&不要求去看解题过程&/b&，很多参考书里面的解题过程幅面字数远大于题目的篇幅。因此，&b&刨去大幅面的解题过程的阅读时间，你熟络参考书本身的时间将会大幅度的减少&/b&。可行&br&&br&&br&唯一一个小情景剧:平时我们遇到一个难题想遇到过不出来，脑袋瓜忽然一闪，“哎，这个题目我好像在哪里遇到过!就是想不起来!”&br&&br&哎！现在诗诗告诉你，这个题目可以在参考书里面遇到过，而你要做做的就是尽量去把参考书熟悉起来——你或许就可以“&b&想起来了&/b&”。&br&&br&后话:平时若实在有盈余，把参考书当做练习册也未尝不可，但不要做太多，一个学科对应一本或许够。&br&&br&另注**:当然这不是排斥对网络的利用，有很多学校是允许学生带手机的，新时代了，会利用的也要学会好好利用网络资源。&/p&&p&&br&&br&最后，私信里面问的最多的是高考，问我要不要做真题，模拟题怎么用等等。&br&所以下面说的对象是高考。高一高二的小朋友请点赞或打赏有序离开。&br&&br&我回答:要做真题——不过这回答太庸俗。&br&我真的很讨厌五三这样的书，接触这样的书，一来让你对高考恐惧——妈的，原来这么多题!二来把真题卷的完整感搞得支离破碎，以至于有些人在市面上买了卷子都不相信那就是往年真题。因此，我得说，那就是真题!对，就那样，无论你感觉简单还是略难，请忽视这种疏生感，因为那就是真题!&br&&br&&b&得认真对待。&/b&&/p&&p&&b&做法程序：&br&&/b&&br&1.像对待高考一样，把真题卷计分计时地——「考」一遍。&br&2.同一科目近五年&b&五份&/b&高考真题卷，争取在一天或者一个周末内做完。先不要对答案，做到恶心，恶心也要做完。&br&3.五套做完，再慢慢对答案。&br&&br&做这些试卷，一来考得一些分数，让你做些无聊的参考。二来重大的意义还需要我来告诉你——&br&&br&其实&b&你是在塑造一个复习时段的选题标尺。&/b&&/p&&p&&br&&br&在你没有接触高考真题卷之前，老师给的很多题目，还有那么多繁复的试卷，你基本上不能确定哪些题目是高考重点的，哪些又算是偏题，这真的很令人恶心的。由于心中没有一个高考题目的参考标准，很多学生的注意力一般都是被“难题”和“错题”所吸引，他们以为把“难题”攻克了，把“错题”解决了，高考也会顺利了。&br&&br&理论上的确说得通。可是人的精力有限，难题和错误的题目是无限的，你永远消除不完。而且你一定要知道，高考百分之七十是基础题，平时你绞尽脑汁的题目它根本就不考。&br&&br&所以，上面的练习思路是很“不懂事”的。当然大多数人就是这样“不懂事”——因此大家也就是“相对不懂事”，也等于说是都“相对懂事”。所以，蠢不要紧，最好大家一起蠢。&br&&br&因此一个&b&反蠢而动&/b&的做法就来了，还是两个字——熟悉，甚至超级熟悉——但这里熟悉的对象不再是参考书，而是那五套真题卷。&br&&br&&br&&br&让你集中大量做高考真题的目的在于此——&b&不是让你测试一下自己的成绩到底是什么水平，目的是让你对那些真题有一个深刻的印象，以后能够判断什么题目是高考类型的题目，哪些不是——这是相当重要的区分能力&/b&。为了达成这个目的——哪怕你把那五套试卷背诵下来又何妨!&br&&br&这种做法是不是很死板？——你死了又如何？!我的意思是记得越牢越好——&/p&&p&&br&&br&1.有了这五套试卷，你就知道高考一般考什么样的题目题型。&/p&&p&&br&这样做的效果是，当老师发给你一堆做得完的试卷，你一看就能够认出哪些属于高考会考的题型或者题目，你可以分配更多的精力在这些题目上，当你知道高考会考这样的题目，你做这种题目就会更加有耐心细心，能做对就能直接对高考有更多的把握——能够做对高考类型对应的一个个题目——&b&这他妈的就是硬邦邦的信心来源啊!比那些打气啊的人生道理硬气多了！&/b&&/p&&p&&br&2.对于老师发给你的做不完的题目，或者是某一个考试上面的错题、难题，你有了一个更加知根知底的把握。&/p&&p&我意思是，如果你可以判断那些不是高考题型，大可以放弃，哪怕是做错了也不必过于沮丧。能有选择地去攻克某些高考类型的难题错题，由于具备这种&b&针对性和方向性&/b&，你比别人所省下的精力，真他妈不知道是半点还是一点!&br&&br&我觉得在整个人生里，最简单的就是一份高考试卷了，而上面的所发的这一切就只要做一件事——高三总复习之前，尽早背下五套真题卷。&br&&br&&b&背下很难吗？-------这不是反问，只是问句。&/b&&br&&br&这是你高中最后阶段最简单却能够讨到大便宜的一次背诵——并不是需要你一字不漏的背诵，只是让你十分十分熟悉题目题型，知道题目大意——这是最基本的要求。&br&&br&另外，如果你真做这件事情，我建议你可以背得牢固一点，&b&因为——&br&&/b&&br&1.你背下了这些题目。在你走路、吃饭、坐公交车、高铁等等等，在一切不便利看书做题的情景里面，你可以在脑中想这些题目，&b&可以充分利用这些时间思考这些问题&/b&——这方法太好了，不是吗？&/p&&p&&br&2.不要模模糊糊的背，要背就背清晰一点。因为你还可以在脑中“玩”你的这些题目，比如给它们换一&b&换条件&/b&，或者自己出题目什么的——这是高级一点的玩法，不必强求，但我认为它是自然而然会发生的&/p&&p&&br&3.在此基础上，我附加给你一个建议:&b&把平时感到困难的题目背诵下来&/b&，没事的时候想一想，想不出来没有关系。&br&因为，&b&一道思考过的题目，在经过一段时间的搁置后，可能等到它重新回答意识中来的时候，你的思路基本上已经一清二楚了&/b&。&br&&br&4.模拟卷的用法——以高考真题卷为骨筛选题目。根据高考真题卷的题型分布，可以通过浏览模拟卷的方式，划出与高考真题卷相对应的题型——人工造出一份类似的“高考真题卷”。此法弥补高考真题卷数量少的遗憾。因此，这里我也说，模拟卷不要完整做，而是根据高考考点来&b&打碎性地做&/b&。这是对大量模拟卷的用法。&/p&&p&&br&5.&b&其他省份真题卷的用法&/b&——我建议不做。如果非要做，那去做比你省份题目难的，不要去做比你省份简单的。如果大家觉得不去做就会觉得失去什么，那我说，可能会失去一个屁。&br&&br&关于&b&考频&/b&——我的主张需要自己统计，以及做作业的省力方法，这两点参见——本人历史答案排序第三的那个答案。&br&&br&文章太长了，我&b&随便&/b&提个要:&br&&br&1.进入平均分之后就要开始关注学习方法的优化&br&2.我反对平时被动维持排名或者被分数追着跑的做法，我主张的是逐步建立自己的王牌学科，循环迭代加强&br&3.我送了你一位“老师”——具体请回去看&br&4.我给高三学生提供了一个大大提高筛选题目能力的简单方法——背五份真题卷——我又送了你一个尺子&br&&br&后三项建议每一项至少值100块，三项至少值300块，加之我怂恿你多买参考书，那就把花这些钱拿去花吧，不够的就不要再来问我要了。&br&&br&&b&注：上面标黑的字体是乱标的。&/b&&b&我说的不一定对，有用无用也因人而异，请大家自行批判吸收。&/b&&/p&&p&就这样，反正我开打赏了&b&哈哈哈&/b&。&/p&&br&哦，别忘了去微信公众号搜索---“白诗诗”，为什么呢，因为我也转移阵地了。&br&以上是我最值得一看的答案：&br&1.&a 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这些天，总有些不安分的高中小朋友，借机向我表白的壳，频繁私信我关于学习方法的问题，我真开心啊，为什么你问一个问题还要出卖感情。 因此，我在吃早饭的时候决定回答这个问题，以免有些小姑娘又妄想通过“非法”途径，做一些“想入非非”的事情，破坏我…
&p&长文预警！&/p&&p&前两天写了物理和化学，这次准备玩个大的。&/p&&p&我们学习数学，其实就学了两个东西。一个是数学知识，一个是数学方法。&/p&&p&我们考数学，其实就是在考不同题型下，利用恰当的数学方法把你学到的数学知识组合起来解决不同的数学问题。&/p&&p&所以，学好数学有三点：&u&&b&学习知识，把握题型，提取方法&/b&&/u&。&/p&&p&关于基础知识，本文就不一一列举，主要是通过具体例子，来让大家感受一下本文的核心思想：&u&&b&不同题型对应不同方法。学数学就是一个归纳出题类型和解题方法的过程。&/b&&/u&&/p&&p&按照惯例，开始正题前先扯点废话。扯废话的目的是为了让大家学习某个课程的时候，明白自己到底在干嘛。比如，学习物理就是学习人类如何通过受力控制世间万物的运动。&/p&&p&好了，下面是扯废话时间，着急的同学迅速撤离，跳到下一分割线。
================================================================&/p&&p&对于每一个考上高中的人来说，你的智商水平足够应付高中各科的学习，足够应付高考。考上名校的途径有很多，有的靠努力，有的靠运气……归根结底，我认为，靠的是现在职场上混了几年的叔叔阿姨整天挂在嘴边上的“&u&&b&情商&/b&&/u&”。&/p&&p&我本人极度讨厌听到情商这个词，感觉都被用烂了，为什么我会如此讨厌这个词。
别人一听说我是P大的，第一反应就是：哇，学霸，哇，智商很高吧，哇，你情商很低吧。
别人一听说我是理科生，第一反应就是：哇，你情商很低吧。
别人一听说我在读博士，第一反应就是：哇，学历好高，哇，你情商很低吧。
这就是我讨厌情商这个词的原因。&/p&&p&按照目前大多数人对于情商的理解和认知，我姑且给出情商的定义：“把一件事做的漂亮的能力”
那么，&u&&b&智商就是你能不能做这件事。情商就是你能不能把这事做漂亮。&/b&&/u&&/p&&p&前面已经说过，能考上高中，你智商真的足够了，学不好，就是没有把学习这件事给做的漂亮。
情商体现在学习上是什么样的呢？我来示范一下哈。&/p&&p&我如何考到700分？数学145，英语140，语文135，综合280.
我如何达到这个分数？学会，做对，做题快。
我如何学会？学会数列，学会……
我如何学会数列？学会基本知识，明白如何考察
我如何才能知道高考是怎样考察的呢？分析高考题，把握出题老师的意图
最终，把不可能变为了可能。
………………&/p&&p&我不敢说考上名校的都有个好脑子，但是至少他们都有个清晰的严密的聪明的逻辑。高考这件事真的不难。拿出任何一道高考题，给你点时间你都会做。&/p&&p&其实，生活中做事也一样。&/p&&p&如何在职场中混的如鱼得水？自己NB，人脉
如何让自己NB？专业知识要玩的666，玩不6就去学，学不会就去问……
如何让自己人缘好？让老板欣赏你，让同事喜欢你。
如何让老板喜欢？分析老板的为人性格，对症下药，工作勤恳努力……&/p&&p&
总结一句话，就是：&u&&b&根据目标制定路线，实施路线的时候缺啥补啥&/b&&/u&&/p&&p&所以，高中生要明白一个事：你的智商不会阻碍你上好学校。&/p&&p&好了，来聊聊数学。
数学的属性是工具，解决科学以及工程问题的学科。&/u&&/b&&/p&&p&&b&&u&数学的核心是思想，比如有些时候需要换元，有些时候需要数形结合……&/u&&/b&&/p&&p&&b&&u&高中数学就是先让你学一些简单的知识素材，然后通过这些素材考察你数学思想的应用。&/u&&/b&&/p&&p&仔细想想，学习与生活是一样一样的，生活就是教给我们一些专业技能和做人原则，然后根据自己所处的环境以及面对的人，选择一些策略来实现自己人生目标。&/p&&p&首先翻开课本，把书看一遍，读懂原理，该背的公式都背过。&/p&&p&然后拿出练习册，把题目做做。练练手。顺便对基础知识有进一步了解。&/p&&p&最关键的步骤是通过这些题目你要问问自己，解这个题的时候，&u&&b&你用了什么策略，以及你什么时候应该用这种策略。&/b&&/u&&/p&&p&好了，上面是泛泛之谈。&/p&&p&按照惯例，先讲讲高中数学在讲什么。&/p&&br&&br&&p&&b&&u&高中数学到底在讲什么？&/u&&/b&&/p&&p&如果我回答高中数学讲了集合，逻辑用语，算法初步，函数（指数，对数，三角……），导数，向量，解析几何（直线、圆、圆锥曲线），立体几何，计数原理，概率统计，数列，不等式，虚数你肯定极度不满意。因为我们学习高中数学最大的困惑不在于到底讲了什么，而在于学这些内容到底TM有什么用。&/p&&p&以至于某些人就会说：我上街买个菜又不会用得到三角函数，我学这个有什么用？&/p&&p&我回答你的问题之前先说一句：我们拼命学习，是为了发现真理，征服世界，征服昔日看不起我们的人，我们不是为上街买菜而生。只要你足够厉害，根本用不着上街买菜好嘛。&/p&&p&好了，正式回答这个问题。&/p&&br&&br&&p&&b&&u&那么，高中数学到底有什么用？&/u&&/b&&/p&&p&高中物理高中化学都在讲一个故事，高中数学其实是在下一盘很大的棋。&/p&&p&我们小学数学学到的东西都是类似于：总数=平均数X个数。
电学告诉你电功=电功率X时间。
力学告诉你动量变化=力X时间。&/p&&p&然而现实生活中，所有的数量都是变化的，如何解决这类问题？
答：微积分。&/p&&p&微积分的核心思想就是：把一个不规则形状分成无数个无限小的微元。然后再把这些微元相加，得到总量。&/p&&p&好了，你想学好微积分，必须学会第一步：微分。即高中学的&u&&b&导数&/b&&/u&。导数的研究对象是函数。所以，得学会各种&u&&b&函数&/b&&/u&。函数的众多极限的性质都是通过数列获得的，得学会&u&&b&数列&/b&&/u&。准确表达一个函数的时候，得需要定义域和值域，所以，得学好&u&&b&集合&/b&&/u&。当自变量不止两个时，得学习更高维度的微积分，得学好&u&&b&立体几何&/b&&/u&。有时候微积分求解特别困难，利用欧拉公式求解可以大大简化，为了理解欧拉公式，得需要知道&u&&b&虚数&/b&&/u&。&/p&&br&&br&&p&&u&&b&直线，圆和圆锥曲线&/b&&/u&都是从物理上挖掘出来的。所以也要学好。&/p&&p&计数原理与概率统计。与生活息息相关，不过多解释。
。。。。。。。。。。。。。。
（以上的例子不够形象具体，待更）
。。。。。。。。。。。。。。。&/p&&p&总之一句话：学好高中数学，对于大学的学习至关重要。先别问为什么，学了高等数学你就该庆幸自己当年没有白学了。&/p&&p&数学很有用。数学的本质是工具，人类想定量控制世间万物为自己服务，各个领域的专业课都是告诉你最本质的规律，比如欧姆定律，动量定理，即如何控制这个世界，但最终落脚点在于数学，因为仅仅需要控制是不够的，还得定量。定量的过程就是使用数学的过程。&/p&&p&================================================================&/p&&p&拿出高考卷来，看看后面六道大题。分别是三角函数，概率统计，立体几何，数列，圆锥曲线，函数与导数。&/p&&p&每个题都有对应的出题套路，每一种套路都有对应的解题方法。&/p&&p&一，三角函数&/p&&p&这个题，总共有两种考法。大概百分之十到二十的概率考解三角形，百分之八九十的概率考三角函数本身。&/p&&p&1，解三角形。不管题目是什么，你要明白，关于解三角形，你只学了三个公式，正弦定理，余弦定理和面积公式。所以，解三角形的题目，求面积的话肯定用面积公式。至于什么时候用正弦，什么时候用余弦，如果你不能迅速判断，都尝试一下也未尝不可。&/p&&p&2，三角函数。套路一般是给你一个比较复杂的式子，然后问这个函数的定义域值域周期频率单调性等问题。解决方法就是首先利用“和差倍半”对式子进行化简。化简成&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3DAsin%28%5Comega+x%2B%5Cvarphi+%29%2BB& alt=&f(x)=Asin(\omega x+\varphi )+B& eeimg=&1&&形式，然后求解需要求的。&/p&&img src=&/v2-398de7c13ef38cad4b68a8c_b.png& data-rawwidth=&1047& data-rawheight=&775& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1047& data-original=&/v2-398de7c13ef38cad4b68a8c_r.png&&&br&&br&&p&掌握以上公式，足够了。关于题型见下图。&/p&&img src=&/v2-4f267ba54deee3da0548e7e_b.png& data-rawwidth=&1090& data-rawheight=&681& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1090& data-original=&/v2-4f267ba54deee3da0548e7e_r.png&&&br&&p&二，概率统计。&/p&&p&我总感觉，这块没啥可说的。&/p&&p&三，立体几何&/p&&p&这个题，相比于前面两个给分的题，要稍微复杂一些，可能会卡住某些人。这题有2-3问，前面问的某条线的大小或者证明某个线/面与另外一个线/面平行或垂直，最后一问是求二面角。&/p&&img src=&/v2-0b3e1eb964a893e97acad2bb270756be_b.png& data-rawwidth=&995& data-rawheight=&621& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&995& data-original=&/v2-0b3e1eb964a893e97acad2bb270756be_r.png&&&br&&br&&p&这类题解题方法有两种，传统法和空间向量法。各有利弊。&/p&&p&向量法：&/p&&p&使用向量法的好处在于没有任何思维含量，肯定能解出最终答案。缺点就是计算量大，且容易出错。&/p&&p&应用空间向量法，首先应该建立空间直角坐标系。建系结束后，根据已知条件可用向量确定每条直线。其形式为&img src=&///equation?tex=AB%3D%28a%2Cb%2Cc%29& alt=&AB=(a,b,c)& eeimg=&1&&。然后进行后续证明与求解。&/p&&img src=&/v2-0cc4eb4dd248_b.png& data-rawwidth=&1205& data-rawheight=&662& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1205& data-original=&/v2-0cc4eb4dd248_r.png&&&br&&br&&p&箭头指的是利用前面的方法求解。如果你觉得乱乱的，那我再贴一张无箭头的。&/p&&img src=&/v2-6a6fade6882f8dead588dd6_b.png& data-rawwidth=&1211& data-rawheight=&634& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1211& data-original=&/v2-6a6fade6882f8dead588dd6_r.png&&&br&&br&&p&传统法：&/p&&img src=&/v2-d04dff604c84_b.png& data-rawwidth=&1248& data-rawheight=&701& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1248& data-original=&/v2-d04dff604c84_r.png&&&br&&img src=&/v2-54c288c93bd23ed837da62_b.png& data-rawwidth=&1109& data-rawheight=&479& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1109& data-original=&/v2-54c288c93bd23ed837da62_r.png&&&br&&br&&p&你们在学立体几何的时候，讲了很多性质定理和判定定理。但是针对高考立体几何大题而言，解题方法基本是唯一的，除了6和8有两种解题方法以外，其他都是有唯一的方法。所以，熟练掌握解题模型，拿到题目直接按照标准解法去求解便可。&/p&&p&另外，还有一类题，是求点到平面距离的。这类题百分之百用等体积法求解。&/p&&p&四，数列&/p&&p&从这里开始，就明显感觉题目变难了，但是掌握了套路和方法，这题并不困难。数列主要是求解通项公式和前n项和。&/p&&p&首先是通项公式。&/p&&p&看题目中给出的条件的形式。不同形式对应不同的解题方法。&/p&&img src=&/v2-e8bf5dc4b37f3e7cdf1dc_b.png& data-rawwidth=&1425& data-rawheight=&822& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1425& data-original=&/v2-e8bf5dc4b37f3e7cdf1dc_r.png&&&br&&br&&p&通项公式的求法我给出了8种，着重掌握1，4，5，6，7，8。其实4-8可以算作一种。除了以上八种方法，还有一种叫定义法，就是题中给出首项和公差或者公比，按照等差等比数列的定义进行求解。鉴于高考大题不会出这么简单的，以及即使出了，默认大家都会，我就没列出这种方法。&/p&&p&下面说说求前n项和。求前n项和总共四种方法。倒序相加法，错位相减法，分组求和法，裂项相消法。以后求前n项和，就只需要考虑这四种方法就可以了。&/p&&p&同样的，每种方法都有对应的使用范围。&/p&&img src=&/v2-2dc7f54ede61c_b.png& data-rawwidth=&1038& data-rawheight=&706& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1038& data-original=&/v2-2dc7f54ede61c_r.png&&&img src=&/v2-de30d38eb7ebb6aa1d00a9_b.png& data-rawwidth=&848& data-rawheight=&598& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&848& data-original=&/v2-de30d38eb7ebb6aa1d00a9_r.png&&&br&&br&&p&当然，还有课本上关于等差数列和等比数列求前n项和的方法。在此就不列举了，请大家不要忘记。&/p&&p&五，圆锥曲线
高考对于圆锥曲线的考察也是有套路可循的。一般套路就是：前半部分是对基本性质的考察，后半部分考察与直线相交。如果你做高考题做得足够多的话，你会发现，后半部分的步骤基本是一致的。即：设直线，然后将直线方程带入圆锥曲线，得到一个关于x的二次方程，分析判别式，韦达定理，利用维达定理的结果求解待求量。&/p&&p&所以，学好圆锥曲线需要明白三件事。&/p&&p&1三种圆锥曲线的性质&/p&&p&在此不列举，请大家自行总结。&/p&&p&2求轨迹的方法&/p&&p&求动点的轨迹方程的方法有7种。下面将一一介绍，不过，作为前半部分，求轨迹方程不会特别难的，如果前面就把学生卡住了，那后面直接没法做了。我们幻想，并没有如此变态的出题老师。&/p&&p&a）直接法（性质法）&/p&&p&这类方法最常见，一般设置为第一问，题干中给出圆锥曲线的类型，并给出部分性质，比如离心率，焦点，端点等，根据圆锥曲线的性质求解a,b。&/p&&p&b）定义法&/p&&p&定义法的意思呢，就是题目中给出的条件其实是某种我们学过的曲线的定义，这种情况下，可以根据题目描述，确定曲线类型，再根据曲线的性质，确定曲线的参数。各曲线的定义如下：&/p&&p&到定点的距离为定值的动点轨迹为圆；&/p&&p&
到两个定点的距离之和为定值的动点轨迹为椭圆；&/p&&p&
到两个定点的距离之差为定值的动点轨迹为双曲线；&/p&&p&
到定点与定直线的距离之比为定值的动点轨迹为圆锥曲线，根据比值大小确定是哪一种曲线&/p&&img src=&/v2-eb5aff3b45ba5fcac8eeb4_b.png& data-rawwidth=&1043& data-rawheight=&311& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1043& data-original=&/v2-eb5aff3b45ba5fcac8eeb4_r.png&&&br&&br&&p&c）直译法&/p&&p&顾名思义，就是直接翻译题目中的条件。将题目中的文字用数学方程表达出来即可。&/p&&img src=&/v2-f6d2aeb2ff45a682a965e4a4_b.png& data-rawwidth=&1031& data-rawheight=&247& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1031& data-original=&/v2-f6d2aeb2ff45a682a965e4a4_r.png&&&br&&p&d）相关点法&/p&&p&假如题目中已知动点P的轨迹，另外一个动点M的坐标与P有关系，可根据此关系，用M的坐标表示P的坐标，再带入P的满足的轨迹方程，化简即可得到M的轨迹方程。&/p&&img src=&/v2-bba6e233ff2b093bf369_b.png& data-rawwidth=&875& data-rawheight=&372& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&875& data-original=&/v2-bba6e233ff2b093bf369_r.png&&&br&&br&&p&e)参数法&/p&&p&当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，可以先找到x、y与另一参数t的关系，得再消去参变数t，得到轨迹方程。&/p&&img src=&/v2-4eee99a9e2737_b.png& data-rawwidth=&1029& data-rawheight=&469& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1029& data-original=&/v2-4eee99a9e2737_r.png&&&br&&br&&p&f)交轨法&/p&&p&若题目中给出了两个曲线，求曲线交点的轨迹方程时，应将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程。&/p&&img src=&/v2-2d4dfbe7b7a4be8cc56a8ac7ba5bc8d0_b.png& data-rawwidth=&832& data-rawheight=&481& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&832& data-original=&/v2-2d4dfbe7b7a4be8cc56a8ac7ba5bc8d0_r.png&&&br&&br&&p&g）点差法&/p&&p&只要是中点弦问题，就用点差法。&/p&&img src=&/v2-36b1e9ba8b_b.png& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&493& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&/v2-36b1e9ba8b_r.png&&&br&&br&&p&3与直线相交&/p&&p&这题啊，必考。而且每年形式都一样。基本长这样：有一条直线，与这个圆锥曲线相交于两个点A,B，问巴拉巴拉……我先从理论上说说这道题的解题步骤。&/p&&p&步骤1：先考虑直线斜率不存在的情况。求结果。（此过程仅需很简短的过程）&/p&&p&
步骤2：设直线解析式为&img src=&///equation?tex=y%3Dkx%2Bb& alt=&y=kx+b& eeimg=&1&&（随机应变，也可设为两点式……）&/p&&p&
步骤3：一般，所设直线具有某种特征，根据其特征，消去上式中k或b中的一个。&/p&&p&
步骤4：联立直线方程和圆锥曲线方程，得到：&img src=&///equation?tex=ax%5E%7B2%7D+%2Bbx%2Bc%3D0& alt=&ax^{2} +bx+c=0& eeimg=&1&&&/p&&p&
步骤5：求出判别式&img src=&///equation?tex=%5Ctriangle+& alt=&\triangle & eeimg=&1&&，令&img src=&///equation?tex=%5Ctriangle+%5Csucc0& alt=&\triangle \succ0& eeimg=&1&&（先空着，必要时候再求&img src=&///equation?tex=%5Ctriangle+%5Csucc0& alt=&\triangle \succ0& eeimg=&1&&时的取值范围）&/p&&p&
步骤6:利用韦达定理求出&img src=&///equation?tex=x_%7B1%7D+x_%7B2%7D+& alt=&x_{1} x_{2} & eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=x_%7B1%7D+%2Bx_%7B2%7D+& alt=&x_{1} +x_{2} & eeimg=&1&&（先空着，必要时再求&img src=&///equation?tex=y_%7B1%7D+y_%7B2%7D+& alt=&y_{1} y_{2} & eeimg=&1&&&/p&&p&）
步骤7：翻译题目，利用韦达定理的结果求出所求量。&/p&&p&我随便找一道典型的题，先给大家演示一下万年不变的步骤。&/p&&img src=&/v2-eeed71de677ba4f047e40_b.png& data-rawwidth=&942& data-rawheight=&202& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&942& data-original=&/v2-eeed71de677ba4f047e40_r.png&&&img src=&/v2-ce2d9edb933f48b60747ca_b.png& data-rawwidth=&744& data-rawheight=&837& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&744& data-original=&/v2-ce2d9edb933f48b60747ca_r.png&&&br&&br&&p&计算量最大，最消耗时间的地方我都是先不算，立上flag，因为在高考的时候，花费很长时间最多丢两三分，不太划算。当然，有时间一定要算啊。&/p&&p&六，函数与导数&/p&&p&我高考的时候，这块知识还只是求导，据说后面加了牛顿莱布尼茨公式。所以我不太清楚这块应该如何考察。估计还是以求导然后分析函数为主吧。那我就仅说说我知道的。导数这块的步骤也是固定的。&/p&&p&导数与函数的题型，大体分为三类。&/p&&p&1，关于单调性，最值，极值的考察。
2，证明不等式。
3，函数中含有字母，分类讨论字母的取值范围。&/p&&p&无论是哪种题型，解题的流程只有一个。如下图所示。&/p&&img src=&/v2-ff90807a_b.png& data-rawwidth=&1205& data-rawheight=&668& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1205& data-original=&/v2-ff90807a_r.png&&&br&&br&&p&例题比较简单，但是注意两点：一是任何导数题的核心步骤都是以上四部，二是时刻提醒自己定义域。&/p&&p&以上例题属于第一类题型。&/p&&p&第二类题型，证明不等式，需要先移项，构造一个新函数，可以使不等号左边减去右边，构成的新函数，利用以上四个步骤分析新函数的最值与0的大小关系，可以得证。此为作差法。还有一种方法叫作商，即左边除以右边，其结果与1做对比。不过此方法不建议使用，因为分母有可能为0，或者正负号不确定。&/p&&p&还要注意逻辑。如果证明&img src=&///equation?tex=A%5Cleq+B& alt=&A\leq B& eeimg=&1&&，新函数设为&img src=&///equation?tex=A-B& alt=&A-B& eeimg=&1&&，那么，需要&img src=&///equation?tex=A-B& alt=&A-B& eeimg=&1&&&/p&&p&的最大值小于等于0.&/p&&p&第三类问题。求字母的取值范围。先闭着眼睛当成已知数算，算完以后列表，针对列表中的结果进行分情况讨论。（一般，题目都会写明字母不为0）&/p&&p&我并没有把所有的题型总结完，我只是提出一个思路，给一个示范，大家课下去自行总结。
最后，重申三点：&u&&b&记住基础知识素材，总结题型，提取解题策略&/b&&/u&&/p&&p&评论区的小伙伴强烈建议我把所有东西都总结出来。哎，怎么说呢，我也就最近寒假期间有点时间。打公式打到手软啊。我给你们提供这个思路，你们用心去感受，或者你们参考书上应该都会有一些零零散散的总结。你们自己去搜罗一大批资料，挑出你自己还没有见过的，填在你的笔记本上。&/p&&p&还有一个问题，评论区有小伙伴说，这是应试思维。关于应试教育，展开来讲就是另外一个大问题了，我在此不细表。我说两点。&/p&&p&1，批判应试教育的那批人，都是不在工程的一线，或者是化学生物之类用数学不太多的那批人。肯定没有哪个工程院或者科学院院士批判应试教育，批判高中生做数学题太多。等你们以后上了大学，上了研究生，你们会哭着后悔当年没有刷题的。&/p&&p&2，你学习知识过程中，很容易知道哪些是难点，但是不太知道哪些是重点。你去研究考题，能够迅速了解，哪些才是考察的重点内容，你才能够迅速了解，高中教育，老师到底想让你掌握啥。分析考题，总结出解题方法，这个过程你是在总结数学思想，怎么能叫应试呢？&/p&&p&关于数学中会而丢分的情况以及对应的解决办法，我在学好物理的回答中后面部分已经回答了。再次不做赘述。&/p&&p&我的回答全部为手打，公式也是一个个编辑上去的，除引用部分高考原题以外，其余全部为原创。小伙伴们可分享可转载可随便下载打印，但是不要复制粘贴到别的地方而不注明出处。&/p&&p&关于化学的回答，这两天会总结好，物理的题型总结，我会在周末放在文章里面，就不修改原回答了。&/p&&p&还有，是学生，还没毕业，不是高中老师。&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何学好高中物理？ - 陈二喜的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&怎样学好高中化学？ - 陈二喜的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&a href=&/p/?group_id=236928& class=&internal&&如何考好语文 - 知乎专栏&/a&&/p&
长文预警！前两天写了物理和化学，这次准备玩个大的。我们学习数学，其实就学了两个东西。一个是数学知识，一个是数学方法。我们考数学，其实就是在考不同题型下，利用恰当的数学方法把你学到的数学知识组合起来解决不同的数学问题。所以，学好数学有三点：…
&ul&&li&&b&若想知道「先切的人最后选」错在哪里，请先看本答案最后补充，确保自己理解问题的难点。&br&&/b&&/li&&li&&b&请勿因为配图，想当然地认为本答案「假设了矩形蛋糕」。本答案中的算法没有做这个假设。&/b&&br&&/li&&/ul&&br&====正文====&br&这是著名的 cake cutting 问题。&a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Fair_division& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Fair division&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&所谓「三人都满意」，数学上有多种可能的涵义，常用的两种是：&ul&&li&公平：三人都认为自己的一份不少于 1/3&br&&/li&&li&无怨：三人都不觉得别人拿得比自己多 &a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Envy-free& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Envy-free&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/li&&/ul&无怨一定公平，但是公平不一定无怨。&br&&b&daniel 的答案&/b&，&b&上面这两个条件都不满足，只会引起自责，不算满意／公平，是错的。&/b&&br&&br&两人的情况很简单：我切，你选。&br&&b&三人的情况曾经长时间没有解，40 年代找到公平程序，80 年代发表无怨程序。&/b&&br&多人的无怨切法还没有完满解决。&br&&br&daniel 的答案是一种「走刀程序 moving-knife procedure」。真正达到&b&「无怨」的 走刀程序&/b& 见
&a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Stromquist_moving-knife_procedure& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Stromquist moving-knife procedure&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，80 年代由 Stromquist 提出。&br&需要一个裁判，从左向右走刀，三人拿着刀站在裁判右边，保持在平分右边蛋糕的位置（&b&按各自标准&/b&）。一旦三人中有一个喊「切」，此人获得裁判左边的蛋糕。然后三人中位于中间位置的那位（B）把刀切下。没蛋糕的两位中，离裁判近的那位获得中间那块，远的那位获得右边那块。&br&容易证明，三人都认为自己的那份最大。&img src=&/0e163ab69a1abf5ef1f6d40c12fa6ee1_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&140& class=&content_image& width=&300&&&br&走刀程序的坏处是连续，假设了两人同时叫停的概率为零，假设了蛋糕无限可分，现实中不好操作。&br&一个&b&离散程序&/b&是 &a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Selfridge%25E2%Conway_discrete_procedure& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Selfridge&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 60 年代由 Selfridge 提出，90 年代由 Conway 独立提出并发表。&ol&&li&A 按照自己的标准把蛋糕切三块&br&&/li&&li&如果 B 认为最大的两块一样大，那么把 C，B，A 的顺序选蛋糕，&b&结束。&/b&&/li&&li&如果 B 认为其中一块 M 最大，他就从 M 削去一小块 R，使之与第二大的那块一样大，把 R 放在一边。&br&&/li&&li&C 先选。如果 C 没有选 M，那么 B 必须选 M，否则一切正常，A 拿最后一块。&br&&/li&&li&B 和 C 中没拿 M 的那位，把 R 分成三份，让 B 和 C 中拿了 M 的那位先挑一份，然后 A 选一份，最后一份留给自己。&b&结束。&/b&&/li&&/ol&可以证明，三人都认为自己的那一份最大，证明见维基页面。&br&&br&四人无怨分割的走刀程序，1997 年由
Brams, Taylor and Zwicker 提出。多人无怨分割的离散程序，1995 年由 Brams and Taylor 提出，但是需要切的次数可能无上界，因此&b&应该说尚未完满解决&/b&。&br&&br&以上是「无怨」的切法。「公平」的切法要简单一些，这里有一个很通俗的介绍：&a href=&///?target=http%3A//www.mathematics-in-europe.eu/index.php%3Foption%3Dcom_content%26view%3Darticle%26id%3D568%253Athe-cake-cutting-problem%26catid%3D10%253Apopulararticles%26lang%3Den& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Mathematics In Europe&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，波兰数学家们做了很大贡献。&b&针对 n 人的一般公平程序&/b&如下（Banach and Knaster 提出）：&ol&&li&先排好顺序。&br&&/li&&li&第一个人切出他认为的 1/n。&br&&/li&&li&按顺序，每个人都判断一下，这一份是不是太大。是的话就削掉一点并进原来的蛋糕，不是的话跳过。&br&&/li&&li&所有人都判断过后，这一块给最后削过蛋糕的那位；如果没有人削过蛋糕，这块给第一个人。&br&&/li&&li&重复 2－4，直至最后剩两人，用我切你选的方式决定。&br&&/li&&/ol&n=3 的简化程序由 Steinhaus 在 1943 年提出。&a class=&member_mention& data-hash=&8e3c38e591e1e42d3d6cc225b6af9e2c& href=&///people/8e3c38e591e1e42d3d6cc225b6af9e2c& data-editable=&true& data-title=&@朴三世& data-tip=&p$b$8e3c38e591e1e42d3d6cc225b6af9e2c& data-hovercard=&p$b$8e3c38e591e1e42d3d6cc225b6af9e2c&&@朴三世&/a& 的答案是 Steinhaus 程序的&b&过简版本，是错的&/b&。存在的问题是，A 先选，B 第二个选，如果 B 选走的那杯不是 A 认为的最少的，那么整个过程就不公平了。&br&&br&====补充====&br&&b&为何 公平 不一定 无怨？&/b&这当然首先是根据数学定义，其表述就已经点明了这个逻辑关系。&br&而这两个概念的现实意义，是因为同一块蛋糕对每个人的价值不同。&br&比如下面是一个夸张的例子：&br&假设一个蛋糕，上面有不同的口味，巧克力，奶油，草莓等。参与分蛋糕的人口味不同，因此对不同部分赋予的价值也不同。这里&b&几何上简单的平均分配就不能解决问题&/b&，而公平分配也不一定能让人满意。这就是这个数学问题要解决的问题。&br&&br&&b&也是在这个意义上，许多人坚持的「第一个切的最后选」&/b&，不论是&a data-hash=&e7cc2292dba8e0a5f8dd& href=&///people/e7cc2292dba8e0a5f8dd& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@王成& data-tip=&p$b$e7cc2292dba8e0a5f8dd& data-hovercard=&p$b$e7cc2292dba8e0a5f8dd&&@王成&/a&的五字超简版，还是&a data-hash=&aafbbaa50c6cc& href=&///people/aafbbaa50c6cc& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@陈启航& data-tip=&p$b$aafbbaa50c6cc& data-hovercard=&p$b$aafbbaa50c6cc&&@陈启航&/a&的冗余「严谨」版，&b&都是错误的&/b&，前者甚至没有一个完整的算法。 第一个切的人会按自己的标准尽量平分，但这不一定是其他两人的标准，使得另两人间可能出现不公平的情况。&br&&br&比如 A-B 切 C-B-A 选的「策略」，以下就是一个不公平的情况：&br&A 按照尺寸切出自以为的 1/3 和 2/3，但在 BC 看来，因为小的一块有更多巧克力，所以价值分别是 3/7 和 4/7。此时 B 的最佳策略是切出自以为的 3/7，3/7 和 1/7，C 眼光相同，但在 A 看来分别是 1/3，1/2 和 1/6，其中第二块尺寸更大，只是巧克力不多。如果按照 C-B-A 的顺序选，那么 A 只可能拿到他眼中的 1/6，和 BC 眼中的 1/7。
若想知道「先切的人最后选」错在哪里，请先看本答案最后补充，确保自己理解问题的难点。 请勿因为配图，想当然地认为本答案「假设了矩形蛋糕」。本答案中的算法没有做这个假设。 ====正文==== 这是著名的 cake cutting 问题。 所谓「三人都满…
前面的回答都不够令人满意，我来写一个完整而清晰的解释。&br&&br&首先明确指出下面的事实：&blockquote&&b&无限循环小数 0.999... 与 1 严格相等。&/b&&/blockquote&很多网友会通过一些初等的方法来理解这个事实，下面举出三种有代表性的初等思路：&br&&br&思路一：&br&&blockquote&设 a=0.999...&br&则 10a=9.999...&br&于是 9a=10a-a=9.999...-0.999...=9,&br&因此 a=1.&/blockquote&思路二：&br&&blockquote&由于 1/3=0.333...,&br&所以 1=(1/3)×3=0.333...×3=0.999...&/blockquote&思路三：&br&&blockquote&0.999...可以看成首项为 0.9, 公比为 0.1 的等比数列&br&&img src=&///equation?tex=a_1%3D0.9%2Ca_2%3D0.09%2Ca_3%3D0.009%2C%5Cdots& alt=&a_1=0.9,a_2=0.09,a_3=0.009,\dots& eeimg=&1&&&br&的所有项之和.&br&&br&根据等比数列的求和公式,&br&&img src=&///equation?tex=0.999%5Cdots%3D0.9%2B0.09%2B0.009%2B%5Cdots%3D%5Cdfrac%7Ba_1%7D%7B1-q%7D%3D%5Cdfrac%7B0.9%7D%7B1-0.1%7D%3D1.& alt=&0.999\dots=0.9+0.09+0.009+\dots=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{0.9}{1-0.1}=1.& eeimg=&1&&&/blockquote&但是，需要强调的是，&b&以上三种思路可以用来帮助你直观理解，但你不能把它们当成“1=0.999...”的严格证明&/b&。原因是，“0.999...”这样的无限小数的严格表示是超出了初等数学的范围的，你不能想当然地对“0.999...”这样的无限小数做普通的加减乘除运算，所以上面三种初等思路只能算“投机取巧”的“初等理解”，而不能叫做“严格证明”。&br&&br&要给出 1=0.999... 这个事实的严格证明，我们首先&b&需要理解从有理数构造实数的办法&/b&，这个构造过程将使我们更加深刻地认识无理数，而不是仅仅停留在&无限不循环小数&的直观层面上。&br&&br&下面我把这个过程给出一个尽可能详细而易于理解的解释。&br&&br&&blockquote&设两个非空有理数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体有理数，且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a&b。则称A 和 B 构成有理数集的一个 &b&Dedekind 分割&/b&，简称&b&分割&/b&，记为 A/B。&/blockquote&&br&这一定义包含两层意思：&br&&ol&&li&对任何一个有理数 a，它要么在 A 中, 要么在 B 中，但不会同时在 A 和 B 中；&/li&&li&A 中的每个有理数都小于 B 中的任何一个有理数。&br&&/li&&/ol&所以，在逻辑上，有理数集的分割 A/B 可能是下列四种情况之一：&br&&ol&&li&A 有最大数，B 没有最小数；&/li&&li&A 没有最大数，B 有最小数；&/li&&li&A 没有最大数，B 也没有最小数；&/li&&li&A 有最大数，B 也有最小数。&/li&&/ol&但实际上，第 4 种情况不可能发生。因为如果 A 有最大数 a，B 有最小数 b，根据分割的定义可知 a&b。但是 (a+b)/2 显然也是有理数，并且&br&&img src=&///equation?tex=a%3C%5Cdfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%3Cb%2C& alt=&a&\dfrac{a+b}{2}&b,& eeimg=&1&&&br&因此 (a+b)/2 既不在 A 中, 也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。&br&&br&这样，有理数集的分割 A/B 就归结为下列三种情况：&br&&ol&&li&A 有最大数 a，B 没有最小数。例如：&br&&img src=&///equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cleq+0%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+B%3D%5C%7Bx%7Cx%3E0%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D& alt=&A=\{x|x\leq 0,x~\text{为有理数}\}, B=\{x|x&0,x~\text{为有理数}\}& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&A 没有最大数，B 有最小数 b。例如：&br&&img src=&///equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%3C1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+B%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cgeq+1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D& alt=&A=\{x|x&1,x~\text{为有理数}\}, B=\{x|x\geq 1,x~\text{为有理数}\}& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&A 没有最大数，B也没有最小数。&/li&&/ol&对第 1 种情况，我们称分割 A/B 确定了有理数 a，例如上面给的例子就确定了有理数 0；&br&对第 2 种情况, 我们称分割 A/B 确定了有理数 b，例如上面给的例子就确定了有理数 1。&br&而对第 3 种情况，即 A 没有最大数，B 也没有最小数，下面就是一个典型的例子:&br&&img src=&///equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cleq+0%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%5Ccup%5C%7Bx%7Cx%3E0%7E%5Cmbox%7B%E4%B8%94%7D%7Ex%5E2%3C2%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C& alt=&A=\{x|x\leq 0,x~\text{为有理数}\}\cup\{x|x&0~\mbox{且}~x^2&2,x~\text{为有理数}\},& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=B%3D%5C%7Bx%7Cx%3E0%7E%5Cmbox%7B%E4%B8%94%7D%7Ex%5E2%3E2%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D.& alt=&B=\{x|x&0~\mbox{且}~x^2&2,x~\text{为有理数}\}.& eeimg=&1&&&br&此时分割 A/B 没有确定任何有理数，即集合 A 和 B 之间存在一个&空隙&，于是我们需要引入一个新的数 (即无理数) 来表示这个&空隙&。在这个例子中，表示这个&空隙&的无理数就是&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&。&br&&br&这样，我们就得到了&b&无理数&/b&的严格定义：&br&&blockquote&设 A/B 是有理数集的一个分割，如果 A 中没有最大数，B 中没有最小数，则称分割 A/B 确定了一个&b&无理数&/b& c，c 大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。&/blockquote&&br&例如，在刚才的例子中，分割 A/B 所确定的无理数&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。&br&&br&需要注意的是，&b&符合上述定义的无理数 c 在分割 A/B 给定的前提下一定是唯一的&/b&&b&。&/b&否则，假设某个有理数集的分割 A/B 确定了两个无理数 c 和 d，不妨设 c&d。取正整数 n 满足&br&&img src=&///equation?tex=0%3C%5Cdfrac%7B1%7D%7Bn%7D%3Cd-c%2C& alt=&0&\dfrac{1}{n}&d-c,& eeimg=&1&&&br&则 nd-nc&1。这说明至少有一个整数 m 满足 nc&m&nd（因为 nc 和 nd 的距离大于1）。于是&br&&img src=&///equation?tex=c%3C%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%3Cd.& alt=&c&\dfrac{m}{n}&d.& eeimg=&1&&&br&由于 c 大于 A 中的任何有理数，而 d 小于 B 中的任何有理数，所以有理数&img src=&///equation?tex=%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bn%7D& alt=&\dfrac{m}{n}& eeimg=&1&&既不在 A 中，也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。&br&&br&从而我们就可以得到&b&实数&/b&的严格定义：&br&&blockquote&由全体有理数，以及有理数的分割所确定的全体无理数，构成的集合成为&b&实数&/b&集。&/blockquote&跟有理数的分割类似，我们可以定义出&b&实数的分割&/b&：&br&&blockquote&设两个非空实数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体实数, 且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a&b。则称 A 和 B 构成实数集的一个&b&分割&/b&，同样记为 A/B。&/blockquote&&br&实数集和有理数集的一个本质区别是：实数集是完备的。这可以用下面的 &b&Dedekind 分割定理&/b&来表示：&br&&blockquote&&b&设 A/B 是实数集的一个分割，则或者 A 有最大数，或者 B 有最小数。&/b&&/blockquote& 这个定理说明，实数集的分割不存在有理数集的分割的第 3 种情况，即 A 没有最大数、B 也没有最小数的情况。&br&&br&换句话说，&b&实数集中没有&空隙&&/b&，&b&数轴上的任何一个点都可以用某个实数唯一精确表示。&/b&&br&&br&这样，我们得到了以下结论：&br&&ol&&li&&b&每个有理数集的分割确定唯一一个实数；&/b&&/li&&li&&b&两个相同的&b&有理数集的分割&/b&所确定的实数一定是相同的；&/b&&/li&&li&&b&如果两个实数不相等，那么确定它们的分割一定是不同的。&/b&&/li&&/ol&在有了上面的准备之后，我们就可以给出“1=0.999...”的严格证明了。&br&&br&&b&1=0.999...的严格证明：&/b&&br&&blockquote&设 t=0.999...，作两个有理数集的分割&br&&img src=&///equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%3Ct%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+B%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cgeq+t%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C& alt=&A=\{x|x&t,x~\text{为有理数}\}, B=\{x|x\geq t,x~\text{为有理数}\},& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=C%3D%5C%7Bx%7Cx%3C1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+D%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cgeq+1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D.& alt=&C=\{x|x&1,x~\text{为有理数}\}, D=\{x|x\geq 1,x~\text{为有理数}\}.& eeimg=&1&&&br&根据前面的讨论，分割 A/B 确定了实数 t=0.999... （我们暂时不知道 t=0.999...是有理数还是无理数），分割 C/D 确定了有理数 1。&br&&br&为证明 t=1，我们只需要证明这两个分割是相同的，即证明 A=C。&br&&br&若有理数 x∈A，则显然有 x&1，于是 x∈C。这说明 &img src=&///equation?tex=A%5Csubseteq+C& alt=&A\subseteq C& eeimg=&1&&。下面只需证明&img src=&///equation?tex=A%5Csupseteq+C& alt=&A\supseteq C& eeimg=&1&&。&br&&br&若有理数 x∈C，则 x&1。不妨设 x&0。根据有理数的定义，我们可以把 x 用分数的形式表示为&br&&img src=&///equation?tex=x%3D%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%2C%7E%28p%2Cq%7E%5Cmbox%7B%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%7D%29.& alt=&x=\dfrac{p}{q},~(p,q~\mbox{为正整数}).& eeimg=&1&&&br&既然0&x&1，则必有p&q。于是由&br&&img src=&///equation?tex=1-%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%5Cgeq%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7D%3E0& alt=&1-\dfrac{p}{q}\geq\dfrac{1}{q}&0& eeimg=&1&&&br&可知存在正整数 n 使得&br&&img src=&///equation?tex=%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7D%3E%5Cdfrac%7B1%7D%7B10%5En%7D%3E0.& alt=&\dfrac{1}{q}&\dfrac{1}{10^n}&0.& eeimg=&1&&&br&于是&br&&img src=&///equation?tex=x%3D%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%5Cleq+1-%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7D%3C1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B10%5En%7D%3D0.%5Cunderbrace%7B99%5Cdots9%7D_%7Bn%7E%5Ctext%7B%E4%B8%AA%7D%7E9%7D%3Ct.& alt=&x=\dfrac{p}{q}\leq 1-\dfrac{1}{q}&1-\dfrac{1}{10^n}=0.\underbrace{99\dots9}_{n~\text{个}~9}&t.& eeimg=&1&&&br&既然 x&t，这就说明 x∈A。从而我们就证明了&img src=&///equation?tex=A%5Csupseteq+C& alt=&A\supseteq C& eeimg=&1&&。&br&&br&综上所述，我们就得到了 A=C，从而 A/B 和 C/D 是两个相同的分割，因此 0.999...=t=1。&/blockquote&
前面的回答都不够令人满意，我来写一个完整而清晰的解释。 首先明确指出下面的事实：无限循环小数 0.999... 与 1 严格相等。很多网友会通过一些初等的方法来理解这个事实，下面举出三种有代表性的初等思路： 思路一： 设 a=0.999... 则 10a=9.999... 于是 9…
这个必须回答！&br&&br&复数最直观的理解就是旋转！&br&&br&4*i*i = -4&br&&br&就是“4”在数轴上旋转了180度。&br&&br&那么4*i就是旋转了90度。&br&&img src=&/81da79ad77cc09e71a28f_b.jpg& data-rawwidth=&1000& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&/81da79ad77cc09e71a28f_r.jpg&&&br&另外，e^t是什么样呢？&br&&img src=&/67eb5377af1dfca0e2cbea_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/67eb5377af1dfca0e2cbea_r.jpg&&但当你在指数上加上i之后呢？&br&&img src=&/3af2b68b0bc9802a3cce9d6f56f3bbf1_b.jpg& data-rawwidth=&2000& data-rawheight=&999& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2000& data-original=&/3af2b68b0bc9802a3cce9d6f56f3bbf1_r.jpg&&变成了一个螺旋线。是不是和电磁场很像？（想拿欧拉公式去跟女生炫学术的男生注意了：她们，真的，不CARE）&br&&br&当然，更重要的意义在于复数运算保留了二维信息。&br&&br&假如我让你计算3+5，虽然你可以轻松的计算出8，但是如果让你分解8你会有无数种分解的方法，3和5原始在各自维度上的信息被覆盖了。&br&但是计算3+5i的话，你依然可以分解出实部和虚部，就像上图那样。&br&&br&基于以上两个理由，用复数来描述电场与磁场简直完美到爆棚！&br&我们即可以让电场强度与复数磁场强度相加而不损失各自的信息，又满足了电场与磁场90度垂直的要求。另外，一旦我们需要让任何一个场旋转90度，只要乘一个“i”就可以了&br&&img src=&/78ed7fd1c151b97af9c6b0_b.jpg& data-rawwidth=&426& data-rawheight=&457& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&426& data-original=&/78ed7fd1c151b97af9c6b0_r.jpg&&&br&&br&受 &a data-hash=&7410f0cbac4b82c4553fb9dfe8e3d128& href=&///people/7410f0cbac4b82c4553fb9dfe8e3d128& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@physixfan& data-hovercard=&p$b$7410f0cbac4b82c4553fb9dfe8e3d128&&@physixfan&/a& 答案的提醒，再补充一点。&br&正弦波在频域可以看作是自然数中的“1”，可以构成其他数字的基础元素。当你需要5的时候，你可以看成是1*5（基础元素的五倍）也看以看成2+3（一个基础元素2倍与基础元素3倍的和）。这些用基础元素构成新元素的运算是线性运算。&br&但是现在你如何用线性运算吧2sin（wt）变换成4sin（wt+pi/6）呢？&br&&br&利用欧拉公式，我们可以将任何一个正弦波看作其在实轴上的投影。假如两个不同的正弦波，可以用数学表达为：&br&&img src=&/e12595ebb6cb8f04e8bea64_b.jpg& data-rawwidth=&48& data-rawheight=&60& class=&content_image& width=&48&&&br&好了，现在如果我想用第一个正弦波利用线性变换为第二个，我们就只需要将A乘对应的系数使其放大至B（本例为乘2），然后将θ1加上一定的角度使其变为θ2（本例为加30度），然后将得到的第二个虚数重新投影回实轴，就完成了在实数中完全无法做到的变换。&br&&br&这种利用复指数来计算正弦波的方法也对电磁波极其适用，因为电磁波都是正弦波，当我们需要一个电磁波在时间上延迟/提前，或是在空间上前移/后移，只需要乘一个复指数就可以完成对相位的调整了。&br&&br&&br&&br&（图1图3系自制，转载不注明出处注定一辈子学理工没女朋友）&br&&br&题主关注我的专栏吧，近期会写科普傅里叶的东西……&a href=&/wille& class=&internal&&与时间无关的故事 - 知乎专栏&/a&
这个必须回答！ 复数最直观的理解就是旋转！ 4*i*i = -4 就是“4”在数轴上旋转了180度。 那么4*i就是旋转了90度。 另外，e^t是什么样呢？ 但当你在指数上加上i之后呢？ 变成了一个螺旋线。是不是和电磁场很像？（想拿欧拉公式去跟女生炫学术的男生注意了：…
&p&按照我说的做考130分以上应该不算太难。&/p&&p&高考中，数学真的是单科中最能拉开分数的科目，所以重要程度毋庸置疑。&/p&&p&高考数学的难度还是比较适中的，绝大部分同学在时间足够充足的情况下是可以完成130以上的目标的，而把时间限制在两个小时之内就有点难度了，所以这里一个很关键的问题就是熟练程度，解题速度，对于高智商的同学来说这都不是问题，因为他思考的特别快，而对于大部分的普通人来说这确实是一个难题。&/p&&p&如何提高自己的熟练度呢？有一个当年考上清华的同学多年以后告诉我他当年练习熟练度的一个方法，我现在想想还是挺有道理的，可惜我没有机会验证效果到底如何。&/p&&p&他是怎么做的呢？他把历年的高考真题全部做完，然后每天把这些真题的所有大题重新做一遍，一开始是非常困难的，他需要花费很长的时间，但是一个月以后他做的越来越快了，两个月以后，速度更加的快了，高考前他几乎可以默写出那些大题的答案，类似的大题他都可以非常快速的写出答案，这估计就是超级熟练了吧！&/p&&p&他还告诉我一个小秘密，他会背诵和记忆很多数学定理以外的常见数学结论，我们一般认为学数学怎么能靠记忆呢？能理解，能推算出来的东西我们都不能去记忆，我们只要记住最基础的定理就可以了，这当然没有什么错误，但是高考就不一样了，他不管你的数学思维有多么强悍，他只管你有没有在规定时间内完成规定的题目，有经验的同学肯定会知道，对于一些选择题，填空题，如果你能记住一些常见题型的推论结果的话你直接可以写出答案，而如果你没有记住你可能需要花费三五分钟的时间去推导和计算，这就是高考数学的时间成本，你想想你和别人差距在哪里。而且高中数学中是有大量这样的结论和推理的，你记忆的结论和推理越复杂，越多，你就能节省越多的时间，最牛逼的是有些不太复杂的大题他都能凭借自己记忆的一些推理组合一眼看出来答案，最后他通过答案再去整理解题过程，你可以想想这能省去多少时间。当然这样的学习方法对数学学习并不一定是有好处，甚至还有坏处，到确实能极大的提高你的解题速度。提高你的数学成绩，或许你会发现，别人早上都在背诵语文和英语，有一个二逼在背诵数学卷子中一些常见的复杂的数学结论，请不要嘲笑他，他比你更加懂高考！&/p&&p&先分享到这里，有赞同的话再总结一些出来。&/p&&p&&b&&a href=&/question//answer/?group_id=075200& class=&internal&&詹姆斯艾伦：在学习高中物理的过程中有没有什么好的经验可以分享？&/a&&/b&&/p&&p&&b&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&詹姆斯艾伦：如何学习英语？&/a&&/b&&/p&&p&&b&&a href=&/question//answer/?group_id=193920& class=&internal&&詹姆斯艾伦：如何高质量地走完大学四年？&/a&&/b&&/p&
按照我说的做考130分以上应该不算太难。高考中，数学真的是单科中最能拉开分数的科目，所以重要程度毋庸置疑。高考数学的难度还是比较适中的，绝大部分同学在时间足够充足的情况下是可以完成130以上的目标的，而把时间限制在两个小时之内就有点难度了，所以…
谢邀。&br&&br&这道题怎么做，取决于我们如何从数学的角度理解题干中这句话：&br&&b&“他们的原则是先求保命，再去多杀人”。&/b&&br&&br&我的理解是：&br&&ol&&li&每个人采取方案，使得剩下的人在采取最佳方案的时候，自己的存活概率最大；&br&&/li&&li&如果有多种方案使得自己的存活概率最大且相同，则采取杀死人最多的方案；&br&&/li&&/ol&&br&假设我的理解正确，那么，&b&这道题将会有一个可怕的答案。&/b&&br&&br&&b&定义： &/b&&img src=&///equation?tex=m_%7Bn%7D+& alt=&m_{n} & eeimg=&1&& 为第 &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 个人取走的绿豆数，而 &img src=&///equation?tex=M_%7Bn%7D+& alt=&M_{n} & eeimg=&1&& 为前 &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 个人取走的总绿豆数&br&&br&&br&&b&引理 1&/b&：&br&当 &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 个人 (&img src=&///equation?tex=1%5Cleq+n%5Cleq+3& alt=&1\leq n\leq 3& eeimg=&1&&) 取过绿豆时，如果被取走的绿豆数满足&br&&img src=&///equation?tex=20n%3CM_%7Bn%7D%3C95%2Bn+& alt=&20n&M_{n}&95+n & eeimg=&1&&&br&则第 &img src=&///equation?tex=n%2B1& alt=&n+1& eeimg=&1&& 个人应该取 &img src=&///equation?tex=m_%7Bn%2B1%7D+%3D%5Cmin%5Cleft%28+96-M_%7Bn%7D%2Bn%2C%5Cleft%5B+%5Cfrac%7BM_%7Bn%7D-1+%7D%7Bn%7D++%5Cright%5D+++%5Cright%29+& alt=&m_{n+1} =\min\left( 96-M_{n}+n,\left[ \frac{M_{n}-1 }{n}
\right) & eeimg=&1&& 颗绿豆’&br&&br&&b&证明：&/b&&br&&br&这个方案，可以确保自己不死，同时剩下未取豆子的人死亡概率最大。&br&&br&其中：&br&&ul&&li&&img src=&///equation?tex=96-M_%7Bn%7D%2Bn& alt=&96-M_{n}+n& eeimg=&1&& 是确保剩下的人至少有一颗绿豆可选，且自己至少取了 2 颗；&br&&/li&&li&&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5B+%5Cfrac%7BM_%7Bn%7D-1+%7D%7Bn%7D++%5Cright%5D+++& alt=&\left[ \frac{M_{n}-1 }{n}
& eeimg=&1&& 是确保自己取的绿豆数至少比前面取的最多的人少 1 ；&br&&/li&&/ul&&br&由于 &img src=&///equation?tex=M_%7Bn%7D%3E20n& alt=&M_{n}&20n& eeimg=&1&&, 有&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5B+%5Cfrac%7BM_%7Bn%7D-1+%7D%7Bn%7D++%5Cright%5D++%5Cgeq+20& alt=&\left[ \frac{M_{n}-1 }{n}
\geq 20& eeimg=&1&&, 这不仅保证了自己取的豆子数不是最多的，并且其他人不可能都取到那么多，所以自己必然存活；&br&&br&&ul&&li&如果 &img src=&///equation?tex=%5Cleft%5B+%5Cfrac%7BM_%7Bn%7D-1+%7D%7Bn%7D++%5Cright%5D++%3C+96-M_%7Bn%7D-n& alt=&\left[ \frac{M_{n}-1 }{n}
& 96-M_{n}-n& eeimg=&1&&，他在确保自己存活的情况下，使得剩下的豆子数最少，这样可以杀更多的人；&/li&&li&如果&img src=&///equation?tex=+%5Cleft%5B+%5Cfrac%7BM_%7Bn%7D-1+%7D%7Bn%7D++%5Cright%5D++%5Cgeq++96-M_%7Bn%7D-n& alt=& \left[ \frac{M_{n}-1 }{n}
96-M_{n}-n& eeimg=&1&&，他在确保自己存活的情况下，剩下的人每个人只能取 1 颗豆子，确保杀死剩下的所有人；&br&&/li&&/ul&&br&&b&推论1&/b&：如果第 1 个人想要存活，那么他取的豆子数不能超过 20 颗，否则，后面的人只要采取引理1 的方案，将保证自己存活，且此时第 1 个人会因为取的绿豆数最多而死亡，而最后 1~3 个人（根据第 1 个人取的绿豆数）会因为自己取的豆子数最少而死亡；&br&&br&&br&&b&引理 2&/b&：当 &img src=&///equation?tex=n%3D2%2C3& alt=&n=2,3& eeimg=&1&&时，若&img src=&///equation?tex=M_%7Bn%7D%5Cleq+20n& alt=&M_{n}\leq 20n& eeimg=&1&&，&br&则第 &img src=&///equation?tex=n%2B1& alt=&n+1& eeimg=&1&& 个人应该取 &img src=&///equation?tex=m_%7Bn%2B1%7D+%3D%5Cleft%5B+%5Cfrac%7BM_%7Bn%7D%7D%7Bn%7D%2B0.5%5Cright%5D+& alt=&m_{n+1} =\left[ \frac{M_{n}}{n}+0.5\right] & eeimg=&1&& 颗绿豆’来确保自己的存活概率最高&br&&br&（其中，&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5B+%5Cfrac%7BM_%7Bn%7D%7D%7Bn%7D%2B0.5%5Cright%5D+& alt=&\left[ \frac{M_{n}}{n}+0.5\right] & eeimg=&1&& 是均值的四舍五入）&br&&br&因为当且仅当在这种情况下，只要前面的人取的绿豆数的最大最小值之差不小于 2，自己就确保能存活（否则存活范围会变窄）&br&&br&* &i&对于第 5 个人，这个条件可能不成立，比如见到前面四个人取了 62 颗， 可能是 14+16+16+16，也可能是 15+15+15+17，所以他无论取 15 颗还是 16 颗都有机会但不能确保自己存活。&/i&&br&&br&而所有人取绿豆的最大最小值的差不大于 1，所有人都得死；&br&&br&&b&引理3&/b&： 当大家都极度自私的情况下，前 2 个人没有存活的可能&br&&br&这是因为由引理2，如果第 3~5 个人都会采取对他们而言存活概率的方案，如果第 2 个人和第 1 个人取的绿豆数差超过 1 个，那前两个人就包揽了最大最小值，必须死，如果差不超过1，则所有人都得死；&br&&br&既然第 1 个人没有存活概率，那他的目标就很耐人寻味了：&br&&br&&b&如果自己没有存活概率——&/b&&br&&b&选择1：杀死尽可能多的人&/b&&br&&b&选择2：尽可能拯救更多的人&/b&&br&&br&按照我的假设，应该是前者。&br&&br&既然第 1 个人没有存活概率，不妨让大家都死得干净些——&b&取走 96 颗绿豆！&/b&&br&&br&但如果，第 1 个人有点恻隐之心，做出了选择 2：&br&&br&那，他会取走 21~33 的豆子数，根据 引理1， 第 2~4 个人会存活；&br&&br&&b&所以，本题根据对题意的不同理解，有两解：&/b&&br&&ul&&li&&b&所有人都死亡；&/b&&br&&/li&&li&&b&第 2~4 个人存活；&/b&&br&&/li&&/ul&&br&而对于第 1 个囚犯，他将面临一个哲学难题：&br&&b&如果自己不可能活下去，你会选择让别人陪葬，还是让其他人好好活下去？&/b&&br&&br&如果是你，会怎么选择呢？&br&&br&【完】
谢邀。 这道题怎么做，取决于我们如何从数学的角度理解题干中这句话： “他们的原则是先求保命，再去多杀人”。 我的理解是： 每个人采取方案，使得剩下的人在采取最佳方案的时候，自己的存活概率最大； 如果有多种方案使得自己的存活概率最大且相同，则采…
好问题，让我尝试不用公式，用跨越7000年人类文明的方式，来解读e的自然之美，争取有中学基础的人就能看懂。&br&&br&e有时被称为自然常数（Natural constant），是一个约等于2.……的无理数。&br&&br&以e为底的对数称为&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%2587%25AA%25E7%%25E5%25B0%258D%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&自然对数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（Natural logarithm），数学中使用自然（Natural）这个词的还有&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%2587%25AA%25E7%%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&自然数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（Natural number）。这里的“自然”并不是现代人所习惯的“大自然”，而是有点儿“天然存在，非人为”的意思。就像我们把食品分为天然食品和加工食品，天然食品就是未经人为处理的食品。&br&&br&但这样解读“自然”这个词太浅薄了！为了还原全貌，必须穿越到2500多年前的古希腊时代。&br&&br&（你也知道，穿越剧都很长(&﹏&)，不喜欢长篇大论的，可直接跳到后面看结论。）&br&&br&&br&&b&“自然”的发明&/b&&br&我们知道，人类历史上曾出现过很多辉煌的文明，例如大家熟知的四大文明：古巴比伦、古埃及、古印度河以及古代中国。&br&&br&但是要说谁对现代文明的影响最大？对不起，四大文明谁都排不上！真正对现代文明影响最大的是古希腊文明，特别是古希腊的哲学、科学思想，是整个现代文明的源头和基石。这里并不是要贬低四大文明，现代文明也从各文明继承了大量的文化遗产，只是相比古希腊要少很多。&br&&br&现代人的基础教育，无论是什么国家、什么社会制度、什么民族，在教科书里除了介绍自己的古代成就外（如四大发明），还会大篇幅的介绍古希腊的科学、哲学思想，来启蒙学生的心智，这是跨越国界的共同做法。&br&&br&大家都这样做的原因，就是因为古希腊哲学家发明了科学的思维方法和“自然”（Natural）这个词，在理论中用&b&自然&/b&来取代具体的神灵，这是人类文明史上划时代的发明。如果没有这个发明，现代文明可能还会晚出现数千年，所以这是至关重要的进步。&br&&br&在古希腊文明之外的古文明里，人们解释世间万物的运行时，总是要引入神灵等超自然、拟人化的因素。例如，得病了就认为鬼神附体，洪水泛滥就认为天神发怒，石人一出天下就可以造反了，总有一个超自然的神灵在操纵万物的运行。人们偏爱形象而戏剧化的解释，拟人化的神灵恰恰具有形象、戏剧化的特点，最易于接受和传播。现代喜欢希腊神话的人数，也远多于喜欢希腊哲学的。电视里最流行各种奇幻故事，例如狼人、吸血鬼什么的。古代人也一样，不同的是我们知道这是假的，}
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在小学数学中，类似于鸡兔同笼问题或者是小明和爸爸的年龄问题，其实都是归类到小学奥数的范畴。小学奥数重要吗？当然很重要，因为这可以锻炼同学们的逻辑思维能力，为此，很多家长在孩子小的时候都会送孩子到奥数培训班。其实在小学阶段，奥数的题型就这几类，同学们可以多看看。此外，我专注于中小学教育，如果家长们以后有学习上的问题或者是需要某科学习资料，随时欢迎在微信上与老师交流！获取更多的学习方法和资料，请添加私人微信：danaoxs77，（长按即可复制）
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平时学习小习惯
高考 模拟卷
其他省市卷子的使用&/b&&br&&br&&br&&b&正文:&/b&&br&&br&&br&成绩太差或者成绩太好的情况——正态分布的边缘人群，我是管不着的；就怕你成绩“还算好”，但努力下去却也不能“好”到令人惊喜的地步——够一够能上个985或者211，偏偏你在悬在边上，让人揪心。&br&&br&这些人大多数是享受了初期的努力红利，而中后期红利失效，上升通道渐渐就出现了瓶颈。&br&&br&这忙我帮。远水解不了近渴，我只能对未进入高三的小朋友说:成绩进入平均分后，就要注重学习方法——这是解决之道。&br&&br&我曾听说，&br&&br&1.没有学习之前，学习什么比怎么学重要。&br&2.决定了学习什么后，怎么学为重中之重。&br&&br&写得这么对称，说明这两句话都是我说的。&br&&br&学习方法重要吗&p&&br&方法的重要性因人在进驻目标的不同阶段而呈现不等同的重要性。学习基础差的人，努力肯定比方法重要，你只要学，哪怕囫囵吞枣也总能学得些什么。但把初期个人的努力红利消耗完之后，此时还有人和你说学习方法不重要，这个人可能是不愿看到你变得更好。&/p&&p&&br&为了高考，看看你们班上学习努力的还少吗？&/p&&p&&br&有些儿拔尖的人可能在和大家一样的表象努力中，&b&不知不觉恰好形成了学习的好方法好习惯&/b&，学习上一路高歌猛进，或许他自己都不知道为什么拔尖，却只能无奈归功于自己真是“好聪明”。而更多不幸运的人，没有在不知不觉中“恰好”行成这样良好的方法和习惯，就只能在做轮刮眼眶的时候怀疑自己的智商问题。&br&&br&&br&所以，在此良辰美景之际，我有两大建议给高一高二小朋友:&br&&br&1.&b&尽早把努力红利消耗完&/b&:高一高二的小朋友先嚓嚓嚓让自己小鸡鸡挺起来，成绩达到你们班平均分水平，越早越好。&br&&br&2.&b&平均分是标志&/b&:此后你就要开始关注自己的学习方法。&br&&br&怎么个“关注”法？&br&&br&第一步，提取&br&&br&&b&提取自身已有的有益学习经验——这个写起来的确平淡如水，但却是我最要苦口强调的&/b&。&/p&&p&首先要做的就是看一看自己曾经有没有什么独特的或高效的方法或者学习工具，你在高一用的方法总结了高二还能用。而不是先到处跑去到处看别人的方法，你还不知道自己的方法是什么，你优化什么？&br&&br&第二步，借鉴&/p&&p&看看那些学霸有没有什么好的学习习惯，不过这个只是给你说个观察方向，通常你看看那些人，&b&要是只能看出“他们学习时间比较长、特别努力”这样的结论，那还是算了&/b&，一点屁用没有。你要是没有这种观察的天赋，那就去看别人的经验总结吧。&/p&&p&&b&总结&/b&:记住，平均分以后就要开始琢磨并优化自己的学习方法。&br&&/p&&br&&br&&p&&br&&br&&b&上面的这些话恐怕一般人想想也能够说得出来&/b&。为了不让大家白来，下面透私货————&br&&br&看看你这些年来，在学习上有哪些可赖以生存的优势，有哪些学习习惯让你持续吃香。比如我从初中开始，通过英文背诵，在高中学习就很省力省时间，这就是王牌科目，对其他科目相当有好处。&br&&br&上面这句话实际上写得不够吸引人，实际上我只是想引出一个更加细化的小小建议，&b&值得你大大注意&/b&。&br&&br&&b&如下&/b&:&br&&br&1.现在就找出你几个科目中&b&最擅长的科目&/b&&/p&&p&2.&b&集中精力、&/b&&b&彻底在一段时间内&/b&把它搞成你的王牌&/p&&p&3.第一个王牌科目稳定之后——&b&强调稳定之后&/b&，着手建立&b&第二个&/b&王牌科目&/p&&p&4.以此类推，逐渐迭代加强王牌科目的建立&/p&&p&5.一轮渐次强化完毕，&b&重新进行科目排序&/b&，回到第1步&br&&br&注:虽然是讲一个科目的集中加强，但是不可忽视这里面时间的限制，因为一个任何一个科目的加强都需要不少的时间，因此越早进行越好——因此上面的建议也是针对高一高二所说的。&br&&br&&br&&b&特别注意——王牌的意思是*&/b&:平时所花的时间比其他科目平均用时要少，但是成绩还是不错——因此，这里的「王牌」不是指绝对意义上的王牌，也不是打不死的「王牌」，而是相对的好的那一科。&/p&&p&&b&这里我强调的是*&/b&:&b&科目之间不要平均用力，而是渐次有偏重地、集中用力*。&br&&/b&&br&&br&你平时的学习，如果目标只是简简单单的要维持在一定的分数，或者只是简简单单地想要在班级上保持类似前几前几的排名——这简直太累啦，这整三年他妈都太累了——你做广播体操的时候连这个问题都没有考虑吗？!&br&&br&&br&我主张在维持不难看的成绩之上，你就要有暗地的&b&小阴谋&/b&:有目的地去渐次构建你的王牌学科——是&b&渐次*&/b&。&br&&br&这样学到后来需要操心的科目越来越少。&br&当你操心的越来越少，这个时候你再和别人一样努力，甚至更努力的时候，真他妈的可以把竞争者一个打一个趴。&br&这种人在后期是强劲的。&br&&br&所以我真不知道那些高一开始就力求每一科都好看的人折腾个什么劲儿。&br&&br&照我这个思路干，照样最好把他们打个落花流水。&/p&&p&&br&&br&&b&一定要记住，如果你把主要注意力集中在维持类似前级前几的做法，意味着你同时就没有足够的精力花在方法的优化上。&br&这种打法，越到后期越累。&/b&&br&&br&&b&不要简简单单地看平时明面上的学习成绩比较，那都是浮表的东西。&/b&&/p&&p&&br&&br&亲爱的宝贝，去逐渐地有目的建立你的王牌科目，这是你平时暗地里都应该上心的事情。&br&&br&&b&注意*&/b&:第一轮的王牌建立过程，我建议你可以稍微把每一科王牌搞得扎实一点，搞得稳定一点，不要到了建立第三个王牌的时候，你忽然发现第一个王牌掉得厉害，这么让你不省心，当初你建立的那还是王牌吗？杂牌。&br&&br&上面的这些建议你们自己总结吧，这不是心情日志，应该对一些人有好处的。&/p&&br&&br&&p&&br&&br&算了。。。还是我替你们总结吧:&br&1.进入高中后，基础差的先通过轰炸式努力迅速达到班级&b&平均分水平&/b&，这个时间&b&越早越好&/b&。&/p&&p&2.基础补起来之后，就要有意识分配注意力——有意识优化自己的学习学习方法，不然&b&瓶颈&/b&可能就要来了。&/p&&p&3.&b&我反对的是那种每次立求维持排名前几式的努力方式&/b&&/p&&p&4&b&.我提供的是一个优势学科逐渐迭代，最后系统得到加强的具体优化方&br&式。&/b&&br&&br&&br&第二节完。&/p&&br&&p&&br&&br&我们继续来考究「&b&方法&/b&」这个词，看看它在高中学习中，是否能产生一些具体性指导的意义。&br&&br&&br&我一向认为，高考面对的不是一份一份的试卷，你的整个高中学习，面对的不是一摞书、一堆试卷，你的每一个当下，其实你所面对的只是&b&一个&/b&问题——仅此而已！&br&&br&如果有谁能够帮助我把一个个题目都顺利地解答出来，那我就把他叫做“&b&最好的方法&/b&”或“&b&最好的老师&/b&”。&br&&br&最好是一个题目出来，你给我一个标准答案，我直接从脑中抄过去，这对我来说就是最好的方法。&br&&br&这是不可行的，因此退而求其次的做法是你告诉我那个答案是怎么来的——而能够实现这个工种的有——&b&老师、同学……千万不要忘了，还有参考书!&br&&/b&&br&&br&&br&我们先来一个个论述，以防遗漏了什好用的建议。&br&&br&最有机动性、最高效的当然是&b&老师&/b&——因此，爱问问题的学生容易进步。而把这种“老师——学生”学习形式做到更极致的，就是拥有能够随时解答疑惑的&b&贴身老师&/b&，我国古代早有先例，比如皇帝小时候的学习，就有这种学习资源。又比如诸葛亮之于刘备，这是军师的作用。平常人是没有这种学习资源的，我们想，次一点的是什么？是&b&培训&/b&，这也是很有效的方式。&br&&br&排序是:贴身老师（比如他爸李刚刚好教物理，他就近乎于此身份）＞＞参加培训班（很多学霸都有上培训班的经历，遇到好老师真有效）＞多问问题（看看那些脸皮够厚的孩子，也能成长）&br&&br&因此我的建议也很俗气，就是&b&利用好身边的资源来解决眼下遇到的每一个题目，能多问就要抓住机会。&/b&&br&&br&&br&又到见证私货的时刻:&br&&br&平时你去问老师问题，问多了是不是不好意思？&br&我告诉你这么做:&br&1.事先和小伙伴交流&br&2.列出共同的疑难问题&br&3.每个人问老师一个到两个问题，老师讲的时候记住解题要点&br&4.和小伙伴们通过交流，于是所有疑难得到解答——其实这还有一个特好的好处，就是你把一个刚刚老师给你讲明白的题给你的小伙伴们讲明白，会极大加深你对知识的印象和融汇贯通的能力&br&&b&注*&/b&:以上这个小方法，女孩子们比较适用，她们更容易形成学习小团体。&/p&&br&&p&&br&&br&其实自习课上，学生问老师问题，可能会造成教师资源的浪费。有没有这种情况，就是你不懂的题目别的同学也很可能不懂，于是你这边问完，到了那边，另外一个同学又问了相同的问题。但如果这两个同学事先「沟通」呢？&/p&&p&&br&事先在课下和两三个同学交流一下，把共同的难题给找出来，每个人负责问老师一个，之后相互讲透。这样个人既不会因为多问老师太多问题而感到不好意思，也可以减少老师资源的浪费。&br&所以，学习可以是一个合作的过程，哪怕是问问题，也可以有策略实施。&/p&&p&&br&&br&我是很乐意见到类似这样的学习小集团——或者是以感情导向的“常规型”，或者是以学习问题导向的“学习型”——关注我的人有不少老师，我相信他们也应有同感。&br&&br&这只是一个简简单单的学习问题吗？一个领导可能一次不会给你透露某件机密的全部事实，但是通过不同有意无意的侧重询问，你可以通过零碎的细节拼凑出事件的全貌。貌似前苏联专家就有通过类似的方法刺探到美国导弹相关情报的例子。虽然我写的是学习内容，其实也有在借此思考一些必要的事情。&br&&br&上面说完了“老师”和“同学”，请认真体会。&/p&&br&&p&&br&&br&接下来我们说重头戏——&b&参考书&/b&。&br&&br&&br&很少有人会把参考书的重要性提升到高考指导的战略层次上，使用方法更是不得其所，而我这里要&b&送你一位“老师”&/b&。&br&&br&&br&在如何长时间高效学习的那个答案里面，我说教材特别重要——这是大学或者自学领域。而高中，面对着钦定的教材，这一个结论就有点勉强。但是仍然需要强调学习工具的重要性，只不过这一次是参考书:参考书十分重要。&br&&br&字不多，先给一句话:&/p&&p&&b&1.不仅要多挑选，挑选标准是答案一定要有详细解题过程。&/b&&/p&&p&&b&2.而且要多买，我建议对应科目是2~三本——你父母不会反对吧？&/b&&br&&b&注*&/b&:此建议针对具备理科性质的科目，文科科目请酌情参考&br&&br&你们还是先反对吧，之所以有人会反对多买参考书，那是因为我要说的参考书的用法就和你想象的不一样。&br&&br&&br&下面关于参考书用法，下面字就多了——&br&&br&&b&1.一定要多看——指的是频率!&br&2.一定要多「参考」——指的是还是频率!&br&2.一定记住，参考书最大的作用一定是还原「参考」本身——参考!&br&&/b&&br&很多人参考书买来做一点就放那里了，厌倦得很快，后面的大部分是新的，这是浪费——浪费资源。这样的人，你一定要反对我，不然我连批评你的成就感都没有。&br&很多人参考书买来是拿来做的，我拉个大去，我说这样还是浪费——浪费时间。这样的人，一定要猛烈地反对我，不然我会猛烈反对你。&br&这都是参考书错误的用法。&br&&br&平时老师布置的作业你嫌不够多，是吧？!练习题、练习册做完了，时间还大有盈余是吧？!&br&很多人拿参考书当做练习册做——这不仅使得学习时间紧绷。还因为参考书下面的解题过程比较详细，很多人甚至重视参考书而忽视了老师布置的作业——这都有点本末倒置了。&br&&br&&br&&br&&b&「参—考—书」——这就是它本身的用法。&/b&&br&&br&我们还原参考书的原本作用——参考，而且一定要参考，多参考——&b&多指的是频率，等下我让你看看什么是频率!&/b&&br&&br&再次记住:参考书的第一作用是——提供参考。&br&&b&使用方法可参考如下:&br&1.挑好对应学科具有详细答案的参考书&br&2.看。看目录，熟悉就可。&br&3.看。看章的提要、节的提要，圈出那些考试要求里面设计的概念性词汇&br&4.看。这是重头，也是你的“日常”——看参考书的题目，理解其题目大意&br&5.反复进行第4步，直到熟悉2--3本参考书&br&&/b&&br&这样做所要达到的&b&目的是*熟络参考书的题目分布情况&/b&&br&&br&我的意思是——我现在是在给你造一个&b&私人老师&/b&啊!&br&&br&&br&&br&若是不懂我说的，且继续看——&br&&br&平时试卷上面的很多题目是不是错了也搞不懂，难了又不知道问谁？想要找老师也不好意思，又或者找了老师还是搞不懂？很多题目是吧？那学生学习最难的是什么？最难的说到细节里当然是遇到题目不会做，而是遇到题目不会做，他最需要的是一位能够指导他的老师——&b&最难的是他没有一个能够呼之即来的老师!&/b&&br&&br&这个时候表白内裤诗诗的作用就来了，因为内裤诗诗告诉你———&b&可以把参考书打造成这位“老师”!&/b&&br&&br&照着上面的用法，你可以熟悉参考书的脉络甚至细节，就可以根据你不懂的题目，你可以迅速找到参考书上面同类型的甚至是相同的题目，到了那里，你自然可以参考下面的详细的解题思路——&b&我前面说只看题目不需要看下面的解题过程，因为那些详细答案的解题思路，其作用正是在于这里。&/b&&br&&br&其实你是在大脑里面建立一个庞大的例题库索引——当你遇到不会的，就可以根据脑中记忆索引找到对应的参考例题，甚至是相同的题目。而我并不是说这样可以更快速地找到答案，而是可以通过题目索引找到相对应的解题过程，你就可以依此获得思路的参考——而这些思路参考的作用，就相当于一位“老师”对你的作用。&br&&br&&b&因此，诗诗我送了你一位“老师”。&/b&&/p&&br&&p&&br&再次强调，参考书的用法在于「参考」，而关于参考书你所要做的就是——熟悉题目分布，很熟悉，甚至超级熟悉。&br&&br&熟悉2--3本左右的参考书，一个学科的学习能够大有顺畅了。&br&&br&做法也很简单——就是看，平时没事就去翻看，翻透它。&br&&br&&b&时间上&/b&我们考量一下:&br&&br&1.实际上&b&做完一本参考书的时间远远大于看完一本参考书的时间&/b&，可行&br&2.看的时候只看题目、题型，&b&不要求去看解题过程&/b&，很多参考书里面的解题过程幅面字数远大于题目的篇幅。因此，&b&刨去大幅面的解题过程的阅读时间，你熟络参考书本身的时间将会大幅度的减少&/b&。可行&br&&br&&br&唯一一个小情景剧:平时我们遇到一个难题想遇到过不出来，脑袋瓜忽然一闪，“哎，这个题目我好像在哪里遇到过!就是想不起来!”&br&&br&哎！现在诗诗告诉你，这个题目可以在参考书里面遇到过，而你要做做的就是尽量去把参考书熟悉起来——你或许就可以“&b&想起来了&/b&”。&br&&br&后话:平时若实在有盈余，把参考书当做练习册也未尝不可，但不要做太多，一个学科对应一本或许够。&br&&br&另注**:当然这不是排斥对网络的利用，有很多学校是允许学生带手机的，新时代了，会利用的也要学会好好利用网络资源。&/p&&p&&br&&br&最后，私信里面问的最多的是高考，问我要不要做真题，模拟题怎么用等等。&br&所以下面说的对象是高考。高一高二的小朋友请点赞或打赏有序离开。&br&&br&我回答:要做真题——不过这回答太庸俗。&br&我真的很讨厌五三这样的书，接触这样的书，一来让你对高考恐惧——妈的，原来这么多题!二来把真题卷的完整感搞得支离破碎，以至于有些人在市面上买了卷子都不相信那就是往年真题。因此，我得说，那就是真题!对，就那样，无论你感觉简单还是略难，请忽视这种疏生感，因为那就是真题!&br&&br&&b&得认真对待。&/b&&/p&&p&&b&做法程序：&br&&/b&&br&1.像对待高考一样，把真题卷计分计时地——「考」一遍。&br&2.同一科目近五年&b&五份&/b&高考真题卷，争取在一天或者一个周末内做完。先不要对答案，做到恶心，恶心也要做完。&br&3.五套做完，再慢慢对答案。&br&&br&做这些试卷，一来考得一些分数，让你做些无聊的参考。二来重大的意义还需要我来告诉你——&br&&br&其实&b&你是在塑造一个复习时段的选题标尺。&/b&&/p&&p&&br&&br&在你没有接触高考真题卷之前，老师给的很多题目，还有那么多繁复的试卷，你基本上不能确定哪些题目是高考重点的，哪些又算是偏题，这真的很令人恶心的。由于心中没有一个高考题目的参考标准，很多学生的注意力一般都是被“难题”和“错题”所吸引，他们以为把“难题”攻克了，把“错题”解决了，高考也会顺利了。&br&&br&理论上的确说得通。可是人的精力有限，难题和错误的题目是无限的，你永远消除不完。而且你一定要知道，高考百分之七十是基础题，平时你绞尽脑汁的题目它根本就不考。&br&&br&所以，上面的练习思路是很“不懂事”的。当然大多数人就是这样“不懂事”——因此大家也就是“相对不懂事”，也等于说是都“相对懂事”。所以，蠢不要紧，最好大家一起蠢。&br&&br&因此一个&b&反蠢而动&/b&的做法就来了，还是两个字——熟悉，甚至超级熟悉——但这里熟悉的对象不再是参考书，而是那五套真题卷。&br&&br&&br&&br&让你集中大量做高考真题的目的在于此——&b&不是让你测试一下自己的成绩到底是什么水平，目的是让你对那些真题有一个深刻的印象，以后能够判断什么题目是高考类型的题目，哪些不是——这是相当重要的区分能力&/b&。为了达成这个目的——哪怕你把那五套试卷背诵下来又何妨!&br&&br&这种做法是不是很死板？——你死了又如何？!我的意思是记得越牢越好——&/p&&p&&br&&br&1.有了这五套试卷，你就知道高考一般考什么样的题目题型。&/p&&p&&br&这样做的效果是，当老师发给你一堆做得完的试卷，你一看就能够认出哪些属于高考会考的题型或者题目，你可以分配更多的精力在这些题目上，当你知道高考会考这样的题目，你做这种题目就会更加有耐心细心，能做对就能直接对高考有更多的把握——能够做对高考类型对应的一个个题目——&b&这他妈的就是硬邦邦的信心来源啊!比那些打气啊的人生道理硬气多了！&/b&&/p&&p&&br&2.对于老师发给你的做不完的题目，或者是某一个考试上面的错题、难题，你有了一个更加知根知底的把握。&/p&&p&我意思是，如果你可以判断那些不是高考题型，大可以放弃，哪怕是做错了也不必过于沮丧。能有选择地去攻克某些高考类型的难题错题，由于具备这种&b&针对性和方向性&/b&，你比别人所省下的精力，真他妈不知道是半点还是一点!&br&&br&我觉得在整个人生里，最简单的就是一份高考试卷了，而上面的所发的这一切就只要做一件事——高三总复习之前，尽早背下五套真题卷。&br&&br&&b&背下很难吗？-------这不是反问，只是问句。&/b&&br&&br&这是你高中最后阶段最简单却能够讨到大便宜的一次背诵——并不是需要你一字不漏的背诵，只是让你十分十分熟悉题目题型，知道题目大意——这是最基本的要求。&br&&br&另外，如果你真做这件事情，我建议你可以背得牢固一点，&b&因为——&br&&/b&&br&1.你背下了这些题目。在你走路、吃饭、坐公交车、高铁等等等，在一切不便利看书做题的情景里面，你可以在脑中想这些题目，&b&可以充分利用这些时间思考这些问题&/b&——这方法太好了，不是吗？&/p&&p&&br&2.不要模模糊糊的背，要背就背清晰一点。因为你还可以在脑中“玩”你的这些题目，比如给它们换一&b&换条件&/b&，或者自己出题目什么的——这是高级一点的玩法，不必强求，但我认为它是自然而然会发生的&/p&&p&&br&3.在此基础上，我附加给你一个建议:&b&把平时感到困难的题目背诵下来&/b&，没事的时候想一想，想不出来没有关系。&br&因为，&b&一道思考过的题目，在经过一段时间的搁置后，可能等到它重新回答意识中来的时候，你的思路基本上已经一清二楚了&/b&。&br&&br&4.模拟卷的用法——以高考真题卷为骨筛选题目。根据高考真题卷的题型分布，可以通过浏览模拟卷的方式，划出与高考真题卷相对应的题型——人工造出一份类似的“高考真题卷”。此法弥补高考真题卷数量少的遗憾。因此，这里我也说，模拟卷不要完整做，而是根据高考考点来&b&打碎性地做&/b&。这是对大量模拟卷的用法。&/p&&p&&br&5.&b&其他省份真题卷的用法&/b&——我建议不做。如果非要做，那去做比你省份题目难的，不要去做比你省份简单的。如果大家觉得不去做就会觉得失去什么，那我说，可能会失去一个屁。&br&&br&关于&b&考频&/b&——我的主张需要自己统计，以及做作业的省力方法，这两点参见——本人历史答案排序第三的那个答案。&br&&br&文章太长了，我&b&随便&/b&提个要:&br&&br&1.进入平均分之后就要开始关注学习方法的优化&br&2.我反对平时被动维持排名或者被分数追着跑的做法，我主张的是逐步建立自己的王牌学科，循环迭代加强&br&3.我送了你一位“老师”——具体请回去看&br&4.我给高三学生提供了一个大大提高筛选题目能力的简单方法——背五份真题卷——我又送了你一个尺子&br&&br&后三项建议每一项至少值100块，三项至少值300块，加之我怂恿你多买参考书，那就把花这些钱拿去花吧，不够的就不要再来问我要了。&br&&br&&b&注：上面标黑的字体是乱标的。&/b&&b&我说的不一定对，有用无用也因人而异，请大家自行批判吸收。&/b&&/p&&p&就这样，反正我开打赏了&b&哈哈哈&/b&。&/p&&br&哦，别忘了去微信公众号搜索---“白诗诗”，为什么呢，因为我也转移阵地了。&br&以上是我最值得一看的答案：&br&1.&a href=&/question//answer/& class=&internal&&怎么背书最有效率？ - 知乎&/a&&br&2.&br&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何成为记忆高手？ - 知乎&/a&&br&3.&br&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&应届大学毕业生面试中有哪些“黑技巧”可以提高面试成功几率？ - 白诗诗的回答&/a&&br&4.&a href=&/p/& class=&internal&&我所依赖的记忆方法 - 知乎专栏&/a&&br&5.&a href=&/p/& class=&internal&&给高中小朋友的一些学习方法 - 知乎专栏&/a&&br&6.&a href=&/p/& class=&internal&&那我就靠这篇文章卖钱了 - 知乎专栏&/a&&br&好吧，只贴好几个相关的。随便看。
这些天，总有些不安分的高中小朋友，借机向我表白的壳，频繁私信我关于学习方法的问题，我真开心啊，为什么你问一个问题还要出卖感情。 因此，我在吃早饭的时候决定回答这个问题，以免有些小姑娘又妄想通过“非法”途径，做一些“想入非非”的事情，破坏我…
&p&长文预警！&/p&&p&前两天写了物理和化学，这次准备玩个大的。&/p&&p&我们学习数学，其实就学了两个东西。一个是数学知识，一个是数学方法。&/p&&p&我们考数学，其实就是在考不同题型下，利用恰当的数学方法把你学到的数学知识组合起来解决不同的数学问题。&/p&&p&所以，学好数学有三点：&u&&b&学习知识，把握题型，提取方法&/b&&/u&。&/p&&p&关于基础知识，本文就不一一列举，主要是通过具体例子，来让大家感受一下本文的核心思想：&u&&b&不同题型对应不同方法。学数学就是一个归纳出题类型和解题方法的过程。&/b&&/u&&/p&&p&按照惯例，开始正题前先扯点废话。扯废话的目的是为了让大家学习某个课程的时候，明白自己到底在干嘛。比如，学习物理就是学习人类如何通过受力控制世间万物的运动。&/p&&p&好了，下面是扯废话时间，着急的同学迅速撤离，跳到下一分割线。
================================================================&/p&&p&对于每一个考上高中的人来说，你的智商水平足够应付高中各科的学习，足够应付高考。考上名校的途径有很多，有的靠努力，有的靠运气……归根结底，我认为，靠的是现在职场上混了几年的叔叔阿姨整天挂在嘴边上的“&u&&b&情商&/b&&/u&”。&/p&&p&我本人极度讨厌听到情商这个词，感觉都被用烂了，为什么我会如此讨厌这个词。
别人一听说我是P大的，第一反应就是：哇，学霸，哇，智商很高吧，哇，你情商很低吧。
别人一听说我是理科生，第一反应就是：哇，你情商很低吧。
别人一听说我在读博士，第一反应就是：哇，学历好高，哇，你情商很低吧。
这就是我讨厌情商这个词的原因。&/p&&p&按照目前大多数人对于情商的理解和认知，我姑且给出情商的定义：“把一件事做的漂亮的能力”
那么，&u&&b&智商就是你能不能做这件事。情商就是你能不能把这事做漂亮。&/b&&/u&&/p&&p&前面已经说过，能考上高中，你智商真的足够了，学不好，就是没有把学习这件事给做的漂亮。
情商体现在学习上是什么样的呢？我来示范一下哈。&/p&&p&我如何考到700分？数学145，英语140，语文135，综合280.
我如何达到这个分数？学会，做对，做题快。
我如何学会？学会数列，学会……
我如何学会数列？学会基本知识，明白如何考察
我如何才能知道高考是怎样考察的呢？分析高考题，把握出题老师的意图
最终，把不可能变为了可能。
………………&/p&&p&我不敢说考上名校的都有个好脑子，但是至少他们都有个清晰的严密的聪明的逻辑。高考这件事真的不难。拿出任何一道高考题，给你点时间你都会做。&/p&&p&其实，生活中做事也一样。&/p&&p&如何在职场中混的如鱼得水？自己NB，人脉
如何让自己NB？专业知识要玩的666，玩不6就去学，学不会就去问……
如何让自己人缘好？让老板欣赏你，让同事喜欢你。
如何让老板喜欢？分析老板的为人性格，对症下药，工作勤恳努力……&/p&&p&
总结一句话，就是：&u&&b&根据目标制定路线，实施路线的时候缺啥补啥&/b&&/u&&/p&&p&所以，高中生要明白一个事：你的智商不会阻碍你上好学校。&/p&&p&好了，来聊聊数学。
数学的属性是工具，解决科学以及工程问题的学科。&/u&&/b&&/p&&p&&b&&u&数学的核心是思想，比如有些时候需要换元，有些时候需要数形结合……&/u&&/b&&/p&&p&&b&&u&高中数学就是先让你学一些简单的知识素材，然后通过这些素材考察你数学思想的应用。&/u&&/b&&/p&&p&仔细想想，学习与生活是一样一样的，生活就是教给我们一些专业技能和做人原则，然后根据自己所处的环境以及面对的人，选择一些策略来实现自己人生目标。&/p&&p&首先翻开课本，把书看一遍，读懂原理，该背的公式都背过。&/p&&p&然后拿出练习册，把题目做做。练练手。顺便对基础知识有进一步了解。&/p&&p&最关键的步骤是通过这些题目你要问问自己，解这个题的时候，&u&&b&你用了什么策略，以及你什么时候应该用这种策略。&/b&&/u&&/p&&p&好了，上面是泛泛之谈。&/p&&p&按照惯例，先讲讲高中数学在讲什么。&/p&&br&&br&&p&&b&&u&高中数学到底在讲什么？&/u&&/b&&/p&&p&如果我回答高中数学讲了集合，逻辑用语，算法初步，函数（指数，对数，三角……），导数，向量，解析几何（直线、圆、圆锥曲线），立体几何，计数原理，概率统计，数列，不等式，虚数你肯定极度不满意。因为我们学习高中数学最大的困惑不在于到底讲了什么，而在于学这些内容到底TM有什么用。&/p&&p&以至于某些人就会说：我上街买个菜又不会用得到三角函数，我学这个有什么用？&/p&&p&我回答你的问题之前先说一句：我们拼命学习，是为了发现真理，征服世界，征服昔日看不起我们的人，我们不是为上街买菜而生。只要你足够厉害，根本用不着上街买菜好嘛。&/p&&p&好了，正式回答这个问题。&/p&&br&&br&&p&&b&&u&那么，高中数学到底有什么用？&/u&&/b&&/p&&p&高中物理高中化学都在讲一个故事，高中数学其实是在下一盘很大的棋。&/p&&p&我们小学数学学到的东西都是类似于：总数=平均数X个数。
电学告诉你电功=电功率X时间。
力学告诉你动量变化=力X时间。&/p&&p&然而现实生活中，所有的数量都是变化的，如何解决这类问题？
答：微积分。&/p&&p&微积分的核心思想就是：把一个不规则形状分成无数个无限小的微元。然后再把这些微元相加，得到总量。&/p&&p&好了，你想学好微积分，必须学会第一步：微分。即高中学的&u&&b&导数&/b&&/u&。导数的研究对象是函数。所以，得学会各种&u&&b&函数&/b&&/u&。函数的众多极限的性质都是通过数列获得的，得学会&u&&b&数列&/b&&/u&。准确表达一个函数的时候，得需要定义域和值域，所以，得学好&u&&b&集合&/b&&/u&。当自变量不止两个时，得学习更高维度的微积分，得学好&u&&b&立体几何&/b&&/u&。有时候微积分求解特别困难，利用欧拉公式求解可以大大简化，为了理解欧拉公式，得需要知道&u&&b&虚数&/b&&/u&。&/p&&br&&br&&p&&u&&b&直线，圆和圆锥曲线&/b&&/u&都是从物理上挖掘出来的。所以也要学好。&/p&&p&计数原理与概率统计。与生活息息相关，不过多解释。
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（以上的例子不够形象具体，待更）
。。。。。。。。。。。。。。。&/p&&p&总之一句话：学好高中数学，对于大学的学习至关重要。先别问为什么，学了高等数学你就该庆幸自己当年没有白学了。&/p&&p&数学很有用。数学的本质是工具，人类想定量控制世间万物为自己服务，各个领域的专业课都是告诉你最本质的规律，比如欧姆定律，动量定理，即如何控制这个世界，但最终落脚点在于数学，因为仅仅需要控制是不够的，还得定量。定量的过程就是使用数学的过程。&/p&&p&================================================================&/p&&p&拿出高考卷来，看看后面六道大题。分别是三角函数，概率统计，立体几何，数列，圆锥曲线，函数与导数。&/p&&p&每个题都有对应的出题套路，每一种套路都有对应的解题方法。&/p&&p&一，三角函数&/p&&p&这个题，总共有两种考法。大概百分之十到二十的概率考解三角形，百分之八九十的概率考三角函数本身。&/p&&p&1，解三角形。不管题目是什么，你要明白，关于解三角形，你只学了三个公式，正弦定理，余弦定理和面积公式。所以，解三角形的题目，求面积的话肯定用面积公式。至于什么时候用正弦，什么时候用余弦，如果你不能迅速判断，都尝试一下也未尝不可。&/p&&p&2，三角函数。套路一般是给你一个比较复杂的式子，然后问这个函数的定义域值域周期频率单调性等问题。解决方法就是首先利用“和差倍半”对式子进行化简。化简成&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3DAsin%28%5Comega+x%2B%5Cvarphi+%29%2BB& alt=&f(x)=Asin(\omega x+\varphi )+B& eeimg=&1&&形式，然后求解需要求的。&/p&&img src=&/v2-398de7c13ef38cad4b68a8c_b.png& data-rawwidth=&1047& data-rawheight=&775& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1047& data-original=&/v2-398de7c13ef38cad4b68a8c_r.png&&&br&&br&&p&掌握以上公式，足够了。关于题型见下图。&/p&&img src=&/v2-4f267ba54deee3da0548e7e_b.png& data-rawwidth=&1090& data-rawheight=&681& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1090& data-original=&/v2-4f267ba54deee3da0548e7e_r.png&&&br&&p&二，概率统计。&/p&&p&我总感觉，这块没啥可说的。&/p&&p&三，立体几何&/p&&p&这个题，相比于前面两个给分的题，要稍微复杂一些，可能会卡住某些人。这题有2-3问，前面问的某条线的大小或者证明某个线/面与另外一个线/面平行或垂直，最后一问是求二面角。&/p&&img src=&/v2-0b3e1eb964a893e97acad2bb270756be_b.png& data-rawwidth=&995& data-rawheight=&621& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&995& data-original=&/v2-0b3e1eb964a893e97acad2bb270756be_r.png&&&br&&br&&p&这类题解题方法有两种，传统法和空间向量法。各有利弊。&/p&&p&向量法：&/p&&p&使用向量法的好处在于没有任何思维含量，肯定能解出最终答案。缺点就是计算量大，且容易出错。&/p&&p&应用空间向量法，首先应该建立空间直角坐标系。建系结束后，根据已知条件可用向量确定每条直线。其形式为&img src=&///equation?tex=AB%3D%28a%2Cb%2Cc%29& alt=&AB=(a,b,c)& eeimg=&1&&。然后进行后续证明与求解。&/p&&img src=&/v2-0cc4eb4dd248_b.png& data-rawwidth=&1205& data-rawheight=&662& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1205& data-original=&/v2-0cc4eb4dd248_r.png&&&br&&br&&p&箭头指的是利用前面的方法求解。如果你觉得乱乱的，那我再贴一张无箭头的。&/p&&img src=&/v2-6a6fade6882f8dead588dd6_b.png& data-rawwidth=&1211& data-rawheight=&634& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1211& data-original=&/v2-6a6fade6882f8dead588dd6_r.png&&&br&&br&&p&传统法：&/p&&img src=&/v2-d04dff604c84_b.png& data-rawwidth=&1248& data-rawheight=&701& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1248& data-original=&/v2-d04dff604c84_r.png&&&br&&img src=&/v2-54c288c93bd23ed837da62_b.png& data-rawwidth=&1109& data-rawheight=&479& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1109& data-original=&/v2-54c288c93bd23ed837da62_r.png&&&br&&br&&p&你们在学立体几何的时候，讲了很多性质定理和判定定理。但是针对高考立体几何大题而言，解题方法基本是唯一的，除了6和8有两种解题方法以外，其他都是有唯一的方法。所以，熟练掌握解题模型，拿到题目直接按照标准解法去求解便可。&/p&&p&另外，还有一类题，是求点到平面距离的。这类题百分之百用等体积法求解。&/p&&p&四，数列&/p&&p&从这里开始，就明显感觉题目变难了，但是掌握了套路和方法，这题并不困难。数列主要是求解通项公式和前n项和。&/p&&p&首先是通项公式。&/p&&p&看题目中给出的条件的形式。不同形式对应不同的解题方法。&/p&&img src=&/v2-e8bf5dc4b37f3e7cdf1dc_b.png& data-rawwidth=&1425& data-rawheight=&822& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1425& data-original=&/v2-e8bf5dc4b37f3e7cdf1dc_r.png&&&br&&br&&p&通项公式的求法我给出了8种，着重掌握1，4，5，6，7，8。其实4-8可以算作一种。除了以上八种方法，还有一种叫定义法，就是题中给出首项和公差或者公比，按照等差等比数列的定义进行求解。鉴于高考大题不会出这么简单的，以及即使出了，默认大家都会，我就没列出这种方法。&/p&&p&下面说说求前n项和。求前n项和总共四种方法。倒序相加法，错位相减法，分组求和法，裂项相消法。以后求前n项和，就只需要考虑这四种方法就可以了。&/p&&p&同样的，每种方法都有对应的使用范围。&/p&&img src=&/v2-2dc7f54ede61c_b.png& data-rawwidth=&1038& data-rawheight=&706& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1038& data-original=&/v2-2dc7f54ede61c_r.png&&&img src=&/v2-de30d38eb7ebb6aa1d00a9_b.png& data-rawwidth=&848& data-rawheight=&598& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&848& data-original=&/v2-de30d38eb7ebb6aa1d00a9_r.png&&&br&&br&&p&当然，还有课本上关于等差数列和等比数列求前n项和的方法。在此就不列举了，请大家不要忘记。&/p&&p&五，圆锥曲线
高考对于圆锥曲线的考察也是有套路可循的。一般套路就是：前半部分是对基本性质的考察，后半部分考察与直线相交。如果你做高考题做得足够多的话，你会发现，后半部分的步骤基本是一致的。即：设直线，然后将直线方程带入圆锥曲线，得到一个关于x的二次方程，分析判别式，韦达定理，利用维达定理的结果求解待求量。&/p&&p&所以，学好圆锥曲线需要明白三件事。&/p&&p&1三种圆锥曲线的性质&/p&&p&在此不列举，请大家自行总结。&/p&&p&2求轨迹的方法&/p&&p&求动点的轨迹方程的方法有7种。下面将一一介绍，不过，作为前半部分，求轨迹方程不会特别难的，如果前面就把学生卡住了，那后面直接没法做了。我们幻想，并没有如此变态的出题老师。&/p&&p&a）直接法（性质法）&/p&&p&这类方法最常见，一般设置为第一问，题干中给出圆锥曲线的类型，并给出部分性质，比如离心率，焦点，端点等，根据圆锥曲线的性质求解a,b。&/p&&p&b）定义法&/p&&p&定义法的意思呢，就是题目中给出的条件其实是某种我们学过的曲线的定义，这种情况下，可以根据题目描述，确定曲线类型，再根据曲线的性质，确定曲线的参数。各曲线的定义如下：&/p&&p&到定点的距离为定值的动点轨迹为圆；&/p&&p&
到两个定点的距离之和为定值的动点轨迹为椭圆；&/p&&p&
到两个定点的距离之差为定值的动点轨迹为双曲线；&/p&&p&
到定点与定直线的距离之比为定值的动点轨迹为圆锥曲线，根据比值大小确定是哪一种曲线&/p&&img src=&/v2-eb5aff3b45ba5fcac8eeb4_b.png& data-rawwidth=&1043& data-rawheight=&311& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1043& data-original=&/v2-eb5aff3b45ba5fcac8eeb4_r.png&&&br&&br&&p&c）直译法&/p&&p&顾名思义，就是直接翻译题目中的条件。将题目中的文字用数学方程表达出来即可。&/p&&img src=&/v2-f6d2aeb2ff45a682a965e4a4_b.png& data-rawwidth=&1031& data-rawheight=&247& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1031& data-original=&/v2-f6d2aeb2ff45a682a965e4a4_r.png&&&br&&p&d）相关点法&/p&&p&假如题目中已知动点P的轨迹，另外一个动点M的坐标与P有关系，可根据此关系，用M的坐标表示P的坐标，再带入P的满足的轨迹方程，化简即可得到M的轨迹方程。&/p&&img src=&/v2-bba6e233ff2b093bf369_b.png& data-rawwidth=&875& data-rawheight=&372& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&875& data-original=&/v2-bba6e233ff2b093bf369_r.png&&&br&&br&&p&e)参数法&/p&&p&当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，可以先找到x、y与另一参数t的关系，得再消去参变数t，得到轨迹方程。&/p&&img src=&/v2-4eee99a9e2737_b.png& data-rawwidth=&1029& data-rawheight=&469& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1029& data-original=&/v2-4eee99a9e2737_r.png&&&br&&br&&p&f)交轨法&/p&&p&若题目中给出了两个曲线，求曲线交点的轨迹方程时，应将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程。&/p&&img src=&/v2-2d4dfbe7b7a4be8cc56a8ac7ba5bc8d0_b.png& data-rawwidth=&832& data-rawheight=&481& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&832& data-original=&/v2-2d4dfbe7b7a4be8cc56a8ac7ba5bc8d0_r.png&&&br&&br&&p&g）点差法&/p&&p&只要是中点弦问题，就用点差法。&/p&&img src=&/v2-36b1e9ba8b_b.png& data-rawwidth=&827& data-rawheight=&493& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&827& data-original=&/v2-36b1e9ba8b_r.png&&&br&&br&&p&3与直线相交&/p&&p&这题啊，必考。而且每年形式都一样。基本长这样：有一条直线，与这个圆锥曲线相交于两个点A,B，问巴拉巴拉……我先从理论上说说这道题的解题步骤。&/p&&p&步骤1：先考虑直线斜率不存在的情况。求结果。（此过程仅需很简短的过程）&/p&&p&
步骤2：设直线解析式为&img src=&///equation?tex=y%3Dkx%2Bb& alt=&y=kx+b& eeimg=&1&&（随机应变，也可设为两点式……）&/p&&p&
步骤3：一般，所设直线具有某种特征，根据其特征，消去上式中k或b中的一个。&/p&&p&
步骤4：联立直线方程和圆锥曲线方程，得到：&img src=&///equation?tex=ax%5E%7B2%7D+%2Bbx%2Bc%3D0& alt=&ax^{2} +bx+c=0& eeimg=&1&&&/p&&p&
步骤5：求出判别式&img src=&///equation?tex=%5Ctriangle+& alt=&\triangle & eeimg=&1&&，令&img src=&///equation?tex=%5Ctriangle+%5Csucc0& alt=&\triangle \succ0& eeimg=&1&&（先空着，必要时候再求&img src=&///equation?tex=%5Ctriangle+%5Csucc0& alt=&\triangle \succ0& eeimg=&1&&时的取值范围）&/p&&p&
步骤6:利用韦达定理求出&img src=&///equation?tex=x_%7B1%7D+x_%7B2%7D+& alt=&x_{1} x_{2} & eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=x_%7B1%7D+%2Bx_%7B2%7D+& alt=&x_{1} +x_{2} & eeimg=&1&&（先空着，必要时再求&img src=&///equation?tex=y_%7B1%7D+y_%7B2%7D+& alt=&y_{1} y_{2} & eeimg=&1&&&/p&&p&）
步骤7：翻译题目，利用韦达定理的结果求出所求量。&/p&&p&我随便找一道典型的题，先给大家演示一下万年不变的步骤。&/p&&img src=&/v2-eeed71de677ba4f047e40_b.png& data-rawwidth=&942& data-rawheight=&202& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&942& data-original=&/v2-eeed71de677ba4f047e40_r.png&&&img src=&/v2-ce2d9edb933f48b60747ca_b.png& data-rawwidth=&744& data-rawheight=&837& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&744& data-original=&/v2-ce2d9edb933f48b60747ca_r.png&&&br&&br&&p&计算量最大，最消耗时间的地方我都是先不算，立上flag，因为在高考的时候，花费很长时间最多丢两三分，不太划算。当然，有时间一定要算啊。&/p&&p&六，函数与导数&/p&&p&我高考的时候，这块知识还只是求导，据说后面加了牛顿莱布尼茨公式。所以我不太清楚这块应该如何考察。估计还是以求导然后分析函数为主吧。那我就仅说说我知道的。导数这块的步骤也是固定的。&/p&&p&导数与函数的题型，大体分为三类。&/p&&p&1，关于单调性，最值，极值的考察。
2，证明不等式。
3，函数中含有字母，分类讨论字母的取值范围。&/p&&p&无论是哪种题型，解题的流程只有一个。如下图所示。&/p&&img src=&/v2-ff90807a_b.png& data-rawwidth=&1205& data-rawheight=&668& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1205& data-original=&/v2-ff90807a_r.png&&&br&&br&&p&例题比较简单，但是注意两点：一是任何导数题的核心步骤都是以上四部，二是时刻提醒自己定义域。&/p&&p&以上例题属于第一类题型。&/p&&p&第二类题型，证明不等式，需要先移项，构造一个新函数，可以使不等号左边减去右边，构成的新函数，利用以上四个步骤分析新函数的最值与0的大小关系，可以得证。此为作差法。还有一种方法叫作商，即左边除以右边，其结果与1做对比。不过此方法不建议使用，因为分母有可能为0，或者正负号不确定。&/p&&p&还要注意逻辑。如果证明&img src=&///equation?tex=A%5Cleq+B& alt=&A\leq B& eeimg=&1&&，新函数设为&img src=&///equation?tex=A-B& alt=&A-B& eeimg=&1&&，那么，需要&img src=&///equation?tex=A-B& alt=&A-B& eeimg=&1&&&/p&&p&的最大值小于等于0.&/p&&p&第三类问题。求字母的取值范围。先闭着眼睛当成已知数算，算完以后列表，针对列表中的结果进行分情况讨论。（一般，题目都会写明字母不为0）&/p&&p&我并没有把所有的题型总结完，我只是提出一个思路，给一个示范，大家课下去自行总结。
最后，重申三点：&u&&b&记住基础知识素材，总结题型，提取解题策略&/b&&/u&&/p&&p&评论区的小伙伴强烈建议我把所有东西都总结出来。哎，怎么说呢，我也就最近寒假期间有点时间。打公式打到手软啊。我给你们提供这个思路，你们用心去感受，或者你们参考书上应该都会有一些零零散散的总结。你们自己去搜罗一大批资料，挑出你自己还没有见过的，填在你的笔记本上。&/p&&p&还有一个问题，评论区有小伙伴说，这是应试思维。关于应试教育，展开来讲就是另外一个大问题了，我在此不细表。我说两点。&/p&&p&1，批判应试教育的那批人，都是不在工程的一线，或者是化学生物之类用数学不太多的那批人。肯定没有哪个工程院或者科学院院士批判应试教育，批判高中生做数学题太多。等你们以后上了大学，上了研究生，你们会哭着后悔当年没有刷题的。&/p&&p&2，你学习知识过程中，很容易知道哪些是难点，但是不太知道哪些是重点。你去研究考题，能够迅速了解，哪些才是考察的重点内容，你才能够迅速了解，高中教育，老师到底想让你掌握啥。分析考题，总结出解题方法，这个过程你是在总结数学思想，怎么能叫应试呢？&/p&&p&关于数学中会而丢分的情况以及对应的解决办法，我在学好物理的回答中后面部分已经回答了。再次不做赘述。&/p&&p&我的回答全部为手打，公式也是一个个编辑上去的，除引用部分高考原题以外，其余全部为原创。小伙伴们可分享可转载可随便下载打印，但是不要复制粘贴到别的地方而不注明出处。&/p&&p&关于化学的回答，这两天会总结好，物理的题型总结，我会在周末放在文章里面，就不修改原回答了。&/p&&p&还有，是学生，还没毕业，不是高中老师。&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何学好高中物理？ - 陈二喜的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&怎样学好高中化学？ - 陈二喜的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&a href=&/p/?group_id=236928& class=&internal&&如何考好语文 - 知乎专栏&/a&&/p&
长文预警！前两天写了物理和化学，这次准备玩个大的。我们学习数学，其实就学了两个东西。一个是数学知识，一个是数学方法。我们考数学，其实就是在考不同题型下，利用恰当的数学方法把你学到的数学知识组合起来解决不同的数学问题。所以，学好数学有三点：…
&ul&&li&&b&若想知道「先切的人最后选」错在哪里，请先看本答案最后补充，确保自己理解问题的难点。&br&&/b&&/li&&li&&b&请勿因为配图，想当然地认为本答案「假设了矩形蛋糕」。本答案中的算法没有做这个假设。&/b&&br&&/li&&/ul&&br&====正文====&br&这是著名的 cake cutting 问题。&a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Fair_division& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Fair division&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&所谓「三人都满意」，数学上有多种可能的涵义，常用的两种是：&ul&&li&公平：三人都认为自己的一份不少于 1/3&br&&/li&&li&无怨：三人都不觉得别人拿得比自己多 &a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Envy-free& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Envy-free&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/li&&/ul&无怨一定公平，但是公平不一定无怨。&br&&b&daniel 的答案&/b&，&b&上面这两个条件都不满足，只会引起自责，不算满意／公平，是错的。&/b&&br&&br&两人的情况很简单：我切，你选。&br&&b&三人的情况曾经长时间没有解，40 年代找到公平程序，80 年代发表无怨程序。&/b&&br&多人的无怨切法还没有完满解决。&br&&br&daniel 的答案是一种「走刀程序 moving-knife procedure」。真正达到&b&「无怨」的 走刀程序&/b& 见
&a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Stromquist_moving-knife_procedure& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Stromquist moving-knife procedure&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，80 年代由 Stromquist 提出。&br&需要一个裁判，从左向右走刀，三人拿着刀站在裁判右边，保持在平分右边蛋糕的位置（&b&按各自标准&/b&）。一旦三人中有一个喊「切」，此人获得裁判左边的蛋糕。然后三人中位于中间位置的那位（B）把刀切下。没蛋糕的两位中，离裁判近的那位获得中间那块，远的那位获得右边那块。&br&容易证明，三人都认为自己的那份最大。&img src=&/0e163ab69a1abf5ef1f6d40c12fa6ee1_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&140& class=&content_image& width=&300&&&br&走刀程序的坏处是连续，假设了两人同时叫停的概率为零，假设了蛋糕无限可分，现实中不好操作。&br&一个&b&离散程序&/b&是 &a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Selfridge%25E2%Conway_discrete_procedure& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Selfridge&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 60 年代由 Selfridge 提出，90 年代由 Conway 独立提出并发表。&ol&&li&A 按照自己的标准把蛋糕切三块&br&&/li&&li&如果 B 认为最大的两块一样大，那么把 C，B，A 的顺序选蛋糕，&b&结束。&/b&&/li&&li&如果 B 认为其中一块 M 最大，他就从 M 削去一小块 R，使之与第二大的那块一样大，把 R 放在一边。&br&&/li&&li&C 先选。如果 C 没有选 M，那么 B 必须选 M，否则一切正常，A 拿最后一块。&br&&/li&&li&B 和 C 中没拿 M 的那位，把 R 分成三份，让 B 和 C 中拿了 M 的那位先挑一份，然后 A 选一份，最后一份留给自己。&b&结束。&/b&&/li&&/ol&可以证明，三人都认为自己的那一份最大，证明见维基页面。&br&&br&四人无怨分割的走刀程序，1997 年由
Brams, Taylor and Zwicker 提出。多人无怨分割的离散程序，1995 年由 Brams and Taylor 提出，但是需要切的次数可能无上界，因此&b&应该说尚未完满解决&/b&。&br&&br&以上是「无怨」的切法。「公平」的切法要简单一些，这里有一个很通俗的介绍：&a href=&///?target=http%3A//www.mathematics-in-europe.eu/index.php%3Foption%3Dcom_content%26view%3Darticle%26id%3D568%253Athe-cake-cutting-problem%26catid%3D10%253Apopulararticles%26lang%3Den& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Mathematics In Europe&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，波兰数学家们做了很大贡献。&b&针对 n 人的一般公平程序&/b&如下（Banach and Knaster 提出）：&ol&&li&先排好顺序。&br&&/li&&li&第一个人切出他认为的 1/n。&br&&/li&&li&按顺序，每个人都判断一下，这一份是不是太大。是的话就削掉一点并进原来的蛋糕，不是的话跳过。&br&&/li&&li&所有人都判断过后，这一块给最后削过蛋糕的那位；如果没有人削过蛋糕，这块给第一个人。&br&&/li&&li&重复 2－4，直至最后剩两人，用我切你选的方式决定。&br&&/li&&/ol&n=3 的简化程序由 Steinhaus 在 1943 年提出。&a class=&member_mention& data-hash=&8e3c38e591e1e42d3d6cc225b6af9e2c& href=&///people/8e3c38e591e1e42d3d6cc225b6af9e2c& data-editable=&true& data-title=&@朴三世& data-tip=&p$b$8e3c38e591e1e42d3d6cc225b6af9e2c& data-hovercard=&p$b$8e3c38e591e1e42d3d6cc225b6af9e2c&&@朴三世&/a& 的答案是 Steinhaus 程序的&b&过简版本，是错的&/b&。存在的问题是，A 先选，B 第二个选，如果 B 选走的那杯不是 A 认为的最少的，那么整个过程就不公平了。&br&&br&====补充====&br&&b&为何 公平 不一定 无怨？&/b&这当然首先是根据数学定义，其表述就已经点明了这个逻辑关系。&br&而这两个概念的现实意义，是因为同一块蛋糕对每个人的价值不同。&br&比如下面是一个夸张的例子：&br&假设一个蛋糕，上面有不同的口味，巧克力，奶油，草莓等。参与分蛋糕的人口味不同，因此对不同部分赋予的价值也不同。这里&b&几何上简单的平均分配就不能解决问题&/b&，而公平分配也不一定能让人满意。这就是这个数学问题要解决的问题。&br&&br&&b&也是在这个意义上，许多人坚持的「第一个切的最后选」&/b&，不论是&a data-hash=&e7cc2292dba8e0a5f8dd& href=&///people/e7cc2292dba8e0a5f8dd& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@王成& data-tip=&p$b$e7cc2292dba8e0a5f8dd& data-hovercard=&p$b$e7cc2292dba8e0a5f8dd&&@王成&/a&的五字超简版，还是&a data-hash=&aafbbaa50c6cc& href=&///people/aafbbaa50c6cc& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@陈启航& data-tip=&p$b$aafbbaa50c6cc& data-hovercard=&p$b$aafbbaa50c6cc&&@陈启航&/a&的冗余「严谨」版，&b&都是错误的&/b&，前者甚至没有一个完整的算法。 第一个切的人会按自己的标准尽量平分，但这不一定是其他两人的标准，使得另两人间可能出现不公平的情况。&br&&br&比如 A-B 切 C-B-A 选的「策略」，以下就是一个不公平的情况：&br&A 按照尺寸切出自以为的 1/3 和 2/3，但在 BC 看来，因为小的一块有更多巧克力，所以价值分别是 3/7 和 4/7。此时 B 的最佳策略是切出自以为的 3/7，3/7 和 1/7，C 眼光相同，但在 A 看来分别是 1/3，1/2 和 1/6，其中第二块尺寸更大，只是巧克力不多。如果按照 C-B-A 的顺序选，那么 A 只可能拿到他眼中的 1/6，和 BC 眼中的 1/7。
若想知道「先切的人最后选」错在哪里，请先看本答案最后补充，确保自己理解问题的难点。 请勿因为配图，想当然地认为本答案「假设了矩形蛋糕」。本答案中的算法没有做这个假设。 ====正文==== 这是著名的 cake cutting 问题。 所谓「三人都满…
前面的回答都不够令人满意，我来写一个完整而清晰的解释。&br&&br&首先明确指出下面的事实：&blockquote&&b&无限循环小数 0.999... 与 1 严格相等。&/b&&/blockquote&很多网友会通过一些初等的方法来理解这个事实，下面举出三种有代表性的初等思路：&br&&br&思路一：&br&&blockquote&设 a=0.999...&br&则 10a=9.999...&br&于是 9a=10a-a=9.999...-0.999...=9,&br&因此 a=1.&/blockquote&思路二：&br&&blockquote&由于 1/3=0.333...,&br&所以 1=(1/3)×3=0.333...×3=0.999...&/blockquote&思路三：&br&&blockquote&0.999...可以看成首项为 0.9, 公比为 0.1 的等比数列&br&&img src=&///equation?tex=a_1%3D0.9%2Ca_2%3D0.09%2Ca_3%3D0.009%2C%5Cdots& alt=&a_1=0.9,a_2=0.09,a_3=0.009,\dots& eeimg=&1&&&br&的所有项之和.&br&&br&根据等比数列的求和公式,&br&&img src=&///equation?tex=0.999%5Cdots%3D0.9%2B0.09%2B0.009%2B%5Cdots%3D%5Cdfrac%7Ba_1%7D%7B1-q%7D%3D%5Cdfrac%7B0.9%7D%7B1-0.1%7D%3D1.& alt=&0.999\dots=0.9+0.09+0.009+\dots=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{0.9}{1-0.1}=1.& eeimg=&1&&&/blockquote&但是，需要强调的是，&b&以上三种思路可以用来帮助你直观理解，但你不能把它们当成“1=0.999...”的严格证明&/b&。原因是，“0.999...”这样的无限小数的严格表示是超出了初等数学的范围的，你不能想当然地对“0.999...”这样的无限小数做普通的加减乘除运算，所以上面三种初等思路只能算“投机取巧”的“初等理解”，而不能叫做“严格证明”。&br&&br&要给出 1=0.999... 这个事实的严格证明，我们首先&b&需要理解从有理数构造实数的办法&/b&，这个构造过程将使我们更加深刻地认识无理数，而不是仅仅停留在&无限不循环小数&的直观层面上。&br&&br&下面我把这个过程给出一个尽可能详细而易于理解的解释。&br&&br&&blockquote&设两个非空有理数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体有理数，且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a&b。则称A 和 B 构成有理数集的一个 &b&Dedekind 分割&/b&，简称&b&分割&/b&，记为 A/B。&/blockquote&&br&这一定义包含两层意思：&br&&ol&&li&对任何一个有理数 a，它要么在 A 中, 要么在 B 中，但不会同时在 A 和 B 中；&/li&&li&A 中的每个有理数都小于 B 中的任何一个有理数。&br&&/li&&/ol&所以，在逻辑上，有理数集的分割 A/B 可能是下列四种情况之一：&br&&ol&&li&A 有最大数，B 没有最小数；&/li&&li&A 没有最大数，B 有最小数；&/li&&li&A 没有最大数，B 也没有最小数；&/li&&li&A 有最大数，B 也有最小数。&/li&&/ol&但实际上，第 4 种情况不可能发生。因为如果 A 有最大数 a，B 有最小数 b，根据分割的定义可知 a&b。但是 (a+b)/2 显然也是有理数，并且&br&&img src=&///equation?tex=a%3C%5Cdfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%3Cb%2C& alt=&a&\dfrac{a+b}{2}&b,& eeimg=&1&&&br&因此 (a+b)/2 既不在 A 中, 也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。&br&&br&这样，有理数集的分割 A/B 就归结为下列三种情况：&br&&ol&&li&A 有最大数 a，B 没有最小数。例如：&br&&img src=&///equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cleq+0%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+B%3D%5C%7Bx%7Cx%3E0%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D& alt=&A=\{x|x\leq 0,x~\text{为有理数}\}, B=\{x|x&0,x~\text{为有理数}\}& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&A 没有最大数，B 有最小数 b。例如：&br&&img src=&///equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%3C1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+B%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cgeq+1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D& alt=&A=\{x|x&1,x~\text{为有理数}\}, B=\{x|x\geq 1,x~\text{为有理数}\}& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&A 没有最大数，B也没有最小数。&/li&&/ol&对第 1 种情况，我们称分割 A/B 确定了有理数 a，例如上面给的例子就确定了有理数 0；&br&对第 2 种情况, 我们称分割 A/B 确定了有理数 b，例如上面给的例子就确定了有理数 1。&br&而对第 3 种情况，即 A 没有最大数，B 也没有最小数，下面就是一个典型的例子:&br&&img src=&///equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cleq+0%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%5Ccup%5C%7Bx%7Cx%3E0%7E%5Cmbox%7B%E4%B8%94%7D%7Ex%5E2%3C2%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C& alt=&A=\{x|x\leq 0,x~\text{为有理数}\}\cup\{x|x&0~\mbox{且}~x^2&2,x~\text{为有理数}\},& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=B%3D%5C%7Bx%7Cx%3E0%7E%5Cmbox%7B%E4%B8%94%7D%7Ex%5E2%3E2%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D.& alt=&B=\{x|x&0~\mbox{且}~x^2&2,x~\text{为有理数}\}.& eeimg=&1&&&br&此时分割 A/B 没有确定任何有理数，即集合 A 和 B 之间存在一个&空隙&，于是我们需要引入一个新的数 (即无理数) 来表示这个&空隙&。在这个例子中，表示这个&空隙&的无理数就是&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&。&br&&br&这样，我们就得到了&b&无理数&/b&的严格定义：&br&&blockquote&设 A/B 是有理数集的一个分割，如果 A 中没有最大数，B 中没有最小数，则称分割 A/B 确定了一个&b&无理数&/b& c，c 大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。&/blockquote&&br&例如，在刚才的例子中，分割 A/B 所确定的无理数&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。&br&&br&需要注意的是，&b&符合上述定义的无理数 c 在分割 A/B 给定的前提下一定是唯一的&/b&&b&。&/b&否则，假设某个有理数集的分割 A/B 确定了两个无理数 c 和 d，不妨设 c&d。取正整数 n 满足&br&&img src=&///equation?tex=0%3C%5Cdfrac%7B1%7D%7Bn%7D%3Cd-c%2C& alt=&0&\dfrac{1}{n}&d-c,& eeimg=&1&&&br&则 nd-nc&1。这说明至少有一个整数 m 满足 nc&m&nd（因为 nc 和 nd 的距离大于1）。于是&br&&img src=&///equation?tex=c%3C%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%3Cd.& alt=&c&\dfrac{m}{n}&d.& eeimg=&1&&&br&由于 c 大于 A 中的任何有理数，而 d 小于 B 中的任何有理数，所以有理数&img src=&///equation?tex=%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bn%7D& alt=&\dfrac{m}{n}& eeimg=&1&&既不在 A 中，也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。&br&&br&从而我们就可以得到&b&实数&/b&的严格定义：&br&&blockquote&由全体有理数，以及有理数的分割所确定的全体无理数，构成的集合成为&b&实数&/b&集。&/blockquote&跟有理数的分割类似，我们可以定义出&b&实数的分割&/b&：&br&&blockquote&设两个非空实数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体实数, 且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a&b。则称 A 和 B 构成实数集的一个&b&分割&/b&，同样记为 A/B。&/blockquote&&br&实数集和有理数集的一个本质区别是：实数集是完备的。这可以用下面的 &b&Dedekind 分割定理&/b&来表示：&br&&blockquote&&b&设 A/B 是实数集的一个分割，则或者 A 有最大数，或者 B 有最小数。&/b&&/blockquote& 这个定理说明，实数集的分割不存在有理数集的分割的第 3 种情况，即 A 没有最大数、B 也没有最小数的情况。&br&&br&换句话说，&b&实数集中没有&空隙&&/b&，&b&数轴上的任何一个点都可以用某个实数唯一精确表示。&/b&&br&&br&这样，我们得到了以下结论：&br&&ol&&li&&b&每个有理数集的分割确定唯一一个实数；&/b&&/li&&li&&b&两个相同的&b&有理数集的分割&/b&所确定的实数一定是相同的；&/b&&/li&&li&&b&如果两个实数不相等，那么确定它们的分割一定是不同的。&/b&&/li&&/ol&在有了上面的准备之后，我们就可以给出“1=0.999...”的严格证明了。&br&&br&&b&1=0.999...的严格证明：&/b&&br&&blockquote&设 t=0.999...，作两个有理数集的分割&br&&img src=&///equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%3Ct%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+B%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cgeq+t%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C& alt=&A=\{x|x&t,x~\text{为有理数}\}, B=\{x|x\geq t,x~\text{为有理数}\},& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=C%3D%5C%7Bx%7Cx%3C1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+D%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cgeq+1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D.& alt=&C=\{x|x&1,x~\text{为有理数}\}, D=\{x|x\geq 1,x~\text{为有理数}\}.& eeimg=&1&&&br&根据前面的讨论，分割 A/B 确定了实数 t=0.999... （我们暂时不知道 t=0.999...是有理数还是无理数），分割 C/D 确定了有理数 1。&br&&br&为证明 t=1，我们只需要证明这两个分割是相同的，即证明 A=C。&br&&br&若有理数 x∈A，则显然有 x&1，于是 x∈C。这说明 &img src=&///equation?tex=A%5Csubseteq+C& alt=&A\subseteq C& eeimg=&1&&。下面只需证明&img src=&///equation?tex=A%5Csupseteq+C& alt=&A\supseteq C& eeimg=&1&&。&br&&br&若有理数 x∈C，则 x&1。不妨设 x&0。根据有理数的定义，我们可以把 x 用分数的形式表示为&br&&img src=&///equation?tex=x%3D%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%2C%7E%28p%2Cq%7E%5Cmbox%7B%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%7D%29.& alt=&x=\dfrac{p}{q},~(p,q~\mbox{为正整数}).& eeimg=&1&&&br&既然0&x&1，则必有p&q。于是由&br&&img src=&///equation?tex=1-%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%5Cgeq%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7D%3E0& alt=&1-\dfrac{p}{q}\geq\dfrac{1}{q}&0& eeimg=&1&&&br&可知存在正整数 n 使得&br&&img src=&///equation?tex=%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7D%3E%5Cdfrac%7B1%7D%7B10%5En%7D%3E0.& alt=&\dfrac{1}{q}&\dfrac{1}{10^n}&0.& eeimg=&1&&&br&于是&br&&img src=&///equation?tex=x%3D%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%5Cleq+1-%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7D%3C1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B10%5En%7D%3D0.%5Cunderbrace%7B99%5Cdots9%7D_%7Bn%7E%5Ctext%7B%E4%B8%AA%7D%7E9%7D%3Ct.& alt=&x=\dfrac{p}{q}\leq 1-\dfrac{1}{q}&1-\dfrac{1}{10^n}=0.\underbrace{99\dots9}_{n~\text{个}~9}&t.& eeimg=&1&&&br&既然 x&t，这就说明 x∈A。从而我们就证明了&img src=&///equation?tex=A%5Csupseteq+C& alt=&A\supseteq C& eeimg=&1&&。&br&&br&综上所述，我们就得到了 A=C，从而 A/B 和 C/D 是两个相同的分割，因此 0.999...=t=1。&/blockquote&
前面的回答都不够令人满意，我来写一个完整而清晰的解释。 首先明确指出下面的事实：无限循环小数 0.999... 与 1 严格相等。很多网友会通过一些初等的方法来理解这个事实，下面举出三种有代表性的初等思路： 思路一： 设 a=0.999... 则 10a=9.999... 于是 9…
这个必须回答！&br&&br&复数最直观的理解就是旋转！&br&&br&4*i*i = -4&br&&br&就是“4”在数轴上旋转了180度。&br&&br&那么4*i就是旋转了90度。&br&&img src=&/81da79ad77cc09e71a28f_b.jpg& data-rawwidth=&1000& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&/81da79ad77cc09e71a28f_r.jpg&&&br&另外，e^t是什么样呢？&br&&img src=&/67eb5377af1dfca0e2cbea_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/67eb5377af1dfca0e2cbea_r.jpg&&但当你在指数上加上i之后呢？&br&&img src=&/3af2b68b0bc9802a3cce9d6f56f3bbf1_b.jpg& data-rawwidth=&2000& data-rawheight=&999& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2000& data-original=&/3af2b68b0bc9802a3cce9d6f56f3bbf1_r.jpg&&变成了一个螺旋线。是不是和电磁场很像？（想拿欧拉公式去跟女生炫学术的男生注意了：她们，真的，不CARE）&br&&br&当然，更重要的意义在于复数运算保留了二维信息。&br&&br&假如我让你计算3+5，虽然你可以轻松的计算出8，但是如果让你分解8你会有无数种分解的方法，3和5原始在各自维度上的信息被覆盖了。&br&但是计算3+5i的话，你依然可以分解出实部和虚部，就像上图那样。&br&&br&基于以上两个理由，用复数来描述电场与磁场简直完美到爆棚！&br&我们即可以让电场强度与复数磁场强度相加而不损失各自的信息，又满足了电场与磁场90度垂直的要求。另外，一旦我们需要让任何一个场旋转90度，只要乘一个“i”就可以了&br&&img src=&/78ed7fd1c151b97af9c6b0_b.jpg& data-rawwidth=&426& data-rawheight=&457& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&426& data-original=&/78ed7fd1c151b97af9c6b0_r.jpg&&&br&&br&受 &a data-hash=&7410f0cbac4b82c4553fb9dfe8e3d128& href=&///people/7410f0cbac4b82c4553fb9dfe8e3d128& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@physixfan& data-hovercard=&p$b$7410f0cbac4b82c4553fb9dfe8e3d128&&@physixfan&/a& 答案的提醒，再补充一点。&br&正弦波在频域可以看作是自然数中的“1”，可以构成其他数字的基础元素。当你需要5的时候，你可以看成是1*5（基础元素的五倍）也看以看成2+3（一个基础元素2倍与基础元素3倍的和）。这些用基础元素构成新元素的运算是线性运算。&br&但是现在你如何用线性运算吧2sin（wt）变换成4sin（wt+pi/6）呢？&br&&br&利用欧拉公式，我们可以将任何一个正弦波看作其在实轴上的投影。假如两个不同的正弦波，可以用数学表达为：&br&&img src=&/e12595ebb6cb8f04e8bea64_b.jpg& data-rawwidth=&48& data-rawheight=&60& class=&content_image& width=&48&&&br&好了，现在如果我想用第一个正弦波利用线性变换为第二个，我们就只需要将A乘对应的系数使其放大至B（本例为乘2），然后将θ1加上一定的角度使其变为θ2（本例为加30度），然后将得到的第二个虚数重新投影回实轴，就完成了在实数中完全无法做到的变换。&br&&br&这种利用复指数来计算正弦波的方法也对电磁波极其适用，因为电磁波都是正弦波，当我们需要一个电磁波在时间上延迟/提前，或是在空间上前移/后移，只需要乘一个复指数就可以完成对相位的调整了。&br&&br&&br&&br&（图1图3系自制，转载不注明出处注定一辈子学理工没女朋友）&br&&br&题主关注我的专栏吧，近期会写科普傅里叶的东西……&a href=&/wille& class=&internal&&与时间无关的故事 - 知乎专栏&/a&
这个必须回答！ 复数最直观的理解就是旋转！ 4*i*i = -4 就是“4”在数轴上旋转了180度。 那么4*i就是旋转了90度。 另外，e^t是什么样呢？ 但当你在指数上加上i之后呢？ 变成了一个螺旋线。是不是和电磁场很像？（想拿欧拉公式去跟女生炫学术的男生注意了：…
&p&按照我说的做考130分以上应该不算太难。&/p&&p&高考中，数学真的是单科中最能拉开分数的科目，所以重要程度毋庸置疑。&/p&&p&高考数学的难度还是比较适中的，绝大部分同学在时间足够充足的情况下是可以完成130以上的目标的，而把时间限制在两个小时之内就有点难度了，所以这里一个很关键的问题就是熟练程度，解题速度，对于高智商的同学来说这都不是问题，因为他思考的特别快，而对于大部分的普通人来说这确实是一个难题。&/p&&p&如何提高自己的熟练度呢？有一个当年考上清华的同学多年以后告诉我他当年练习熟练度的一个方法，我现在想想还是挺有道理的，可惜我没有机会验证效果到底如何。&/p&&p&他是怎么做的呢？他把历年的高考真题全部做完，然后每天把这些真题的所有大题重新做一遍，一开始是非常困难的，他需要花费很长的时间，但是一个月以后他做的越来越快了，两个月以后，速度更加的快了，高考前他几乎可以默写出那些大题的答案，类似的大题他都可以非常快速的写出答案，这估计就是超级熟练了吧！&/p&&p&他还告诉我一个小秘密，他会背诵和记忆很多数学定理以外的常见数学结论，我们一般认为学数学怎么能靠记忆呢？能理解，能推算出来的东西我们都不能去记忆，我们只要记住最基础的定理就可以了，这当然没有什么错误，但是高考就不一样了，他不管你的数学思维有多么强悍，他只管你有没有在规定时间内完成规定的题目，有经验的同学肯定会知道，对于一些选择题，填空题，如果你能记住一些常见题型的推论结果的话你直接可以写出答案，而如果你没有记住你可能需要花费三五分钟的时间去推导和计算，这就是高考数学的时间成本，你想想你和别人差距在哪里。而且高中数学中是有大量这样的结论和推理的，你记忆的结论和推理越复杂，越多，你就能节省越多的时间，最牛逼的是有些不太复杂的大题他都能凭借自己记忆的一些推理组合一眼看出来答案，最后他通过答案再去整理解题过程，你可以想想这能省去多少时间。当然这样的学习方法对数学学习并不一定是有好处，甚至还有坏处，到确实能极大的提高你的解题速度。提高你的数学成绩，或许你会发现，别人早上都在背诵语文和英语，有一个二逼在背诵数学卷子中一些常见的复杂的数学结论，请不要嘲笑他，他比你更加懂高考！&/p&&p&先分享到这里，有赞同的话再总结一些出来。&/p&&p&&b&&a href=&/question//answer/?group_id=075200& class=&internal&&詹姆斯艾伦：在学习高中物理的过程中有没有什么好的经验可以分享？&/a&&/b&&/p&&p&&b&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&詹姆斯艾伦：如何学习英语？&/a&&/b&&/p&&p&&b&&a href=&/question//answer/?group_id=193920& class=&internal&&詹姆斯艾伦：如何高质量地走完大学四年？&/a&&/b&&/p&
按照我说的做考130分以上应该不算太难。高考中，数学真的是单科中最能拉开分数的科目，所以重要程度毋庸置疑。高考数学的难度还是比较适中的，绝大部分同学在时间足够充足的情况下是可以完成130以上的目标的，而把时间限制在两个小时之内就有点难度了，所以…
谢邀。&br&&br&这道题怎么做，取决于我们如何从数学的角度理解题干中这句话：&br&&b&“他们的原则是先求保命，再去多杀人”。&/b&&br&&br&我的理解是：&br&&ol&&li&每个人采取方案，使得剩下的人在采取最佳方案的时候，自己的存活概率最大；&br&&/li&&li&如果有多种方案使得自己的存活概率最大且相同，则采取杀死人最多的方案；&br&&/li&&/ol&&br&假设我的理解正确，那么，&b&这道题将会有一个可怕的答案。&/b&&br&&br&&b&定义： &/b&&img src=&///equation?tex=m_%7Bn%7D+& alt=&m_{n} & eeimg=&1&& 为第 &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 个人取走的绿豆数，而 &img src=&///equation?tex=M_%7Bn%7D+& alt=&M_{n} & eeimg=&1&& 为前 &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 个人取走的总绿豆数&br&&br&&br&&b&引理 1&/b&：&br&当 &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 个人 (&img src=&///equation?tex=1%5Cleq+n%5Cleq+3& alt=&1\leq n\leq 3& eeimg=&1&&) 取过绿豆时，如果被取走的绿豆数满足&br&&img src=&///equation?tex=20n%3CM_%7Bn%7D%3C95%2Bn+& alt=&20n&M_{n}&95+n & eeimg=&1&&&br&则第 &img src=&///equation?tex=n%2B1& alt=&n+1& eeimg=&1&& 个人应该取 &img src=&///equation?tex=m_%7Bn%2B1%7D+%3D%5Cmin%5Cleft%28+96-M_%7Bn%7D%2Bn%2C%5Cleft%5B+%5Cfrac%7BM_%7Bn%7D-1+%7D%7Bn%7D++%5Cright%5D+++%5Cright%29+& alt=&m_{n+1} =\min\left( 96-M_{n}+n,\left[ \frac{M_{n}-1 }{n}
\right) & eeimg=&1&& 颗绿豆’&br&&br&&b&证明：&/b&&br&&br&这个方案，可以确保自己不死，同时剩下未取豆子的人死亡概率最大。&br&&br&其中：&br&&ul&&li&&img src=&///equation?tex=96-M_%7Bn%7D%2Bn& alt=&96-M_{n}+n& eeimg=&1&& 是确保剩下的人至少有一颗绿豆可选，且自己至少取了 2 颗；&br&&/li&&li&&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5B+%5Cfrac%7BM_%7Bn%7D-1+%7D%7Bn%7D++%5Cright%5D+++& alt=&\left[ \frac{M_{n}-1 }{n}
& eeimg=&1&& 是确保自己取的绿豆数至少比前面取的最多的人少 1 ；&br&&/li&&/ul&&br&由于 &img src=&///equation?tex=M_%7Bn%7D%3E20n& alt=&M_{n}&20n& eeimg=&1&&, 有&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5B+%5Cfrac%7BM_%7Bn%7D-1+%7D%7Bn%7D++%5Cright%5D++%5Cgeq+20& alt=&\left[ \frac{M_{n}-1 }{n}
\geq 20& eeimg=&1&&, 这不仅保证了自己取的豆子数不是最多的，并且其他人不可能都取到那么多，所以自己必然存活；&br&&br&&ul&&li&如果 &img src=&///equation?tex=%5Cleft%5B+%5Cfrac%7BM_%7Bn%7D-1+%7D%7Bn%7D++%5Cright%5D++%3C+96-M_%7Bn%7D-n& alt=&\left[ \frac{M_{n}-1 }{n}
& 96-M_{n}-n& eeimg=&1&&，他在确保自己存活的情况下，使得剩下的豆子数最少，这样可以杀更多的人；&/li&&li&如果&img src=&///equation?tex=+%5Cleft%5B+%5Cfrac%7BM_%7Bn%7D-1+%7D%7Bn%7D++%5Cright%5D++%5Cgeq++96-M_%7Bn%7D-n& alt=& \left[ \frac{M_{n}-1 }{n}
96-M_{n}-n& eeimg=&1&&，他在确保自己存活的情况下，剩下的人每个人只能取 1 颗豆子，确保杀死剩下的所有人；&br&&/li&&/ul&&br&&b&推论1&/b&：如果第 1 个人想要存活，那么他取的豆子数不能超过 20 颗，否则，后面的人只要采取引理1 的方案，将保证自己存活，且此时第 1 个人会因为取的绿豆数最多而死亡，而最后 1~3 个人（根据第 1 个人取的绿豆数）会因为自己取的豆子数最少而死亡；&br&&br&&br&&b&引理 2&/b&：当 &img src=&///equation?tex=n%3D2%2C3& alt=&n=2,3& eeimg=&1&&时，若&img src=&///equation?tex=M_%7Bn%7D%5Cleq+20n& alt=&M_{n}\leq 20n& eeimg=&1&&，&br&则第 &img src=&///equation?tex=n%2B1& alt=&n+1& eeimg=&1&& 个人应该取 &img src=&///equation?tex=m_%7Bn%2B1%7D+%3D%5Cleft%5B+%5Cfrac%7BM_%7Bn%7D%7D%7Bn%7D%2B0.5%5Cright%5D+& alt=&m_{n+1} =\left[ \frac{M_{n}}{n}+0.5\right] & eeimg=&1&& 颗绿豆’来确保自己的存活概率最高&br&&br&（其中，&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5B+%5Cfrac%7BM_%7Bn%7D%7D%7Bn%7D%2B0.5%5Cright%5D+& alt=&\left[ \frac{M_{n}}{n}+0.5\right] & eeimg=&1&& 是均值的四舍五入）&br&&br&因为当且仅当在这种情况下，只要前面的人取的绿豆数的最大最小值之差不小于 2，自己就确保能存活（否则存活范围会变窄）&br&&br&* &i&对于第 5 个人，这个条件可能不成立，比如见到前面四个人取了 62 颗， 可能是 14+16+16+16，也可能是 15+15+15+17，所以他无论取 15 颗还是 16 颗都有机会但不能确保自己存活。&/i&&br&&br&而所有人取绿豆的最大最小值的差不大于 1，所有人都得死；&br&&br&&b&引理3&/b&： 当大家都极度自私的情况下，前 2 个人没有存活的可能&br&&br&这是因为由引理2，如果第 3~5 个人都会采取对他们而言存活概率的方案，如果第 2 个人和第 1 个人取的绿豆数差超过 1 个，那前两个人就包揽了最大最小值，必须死，如果差不超过1，则所有人都得死；&br&&br&既然第 1 个人没有存活概率，那他的目标就很耐人寻味了：&br&&br&&b&如果自己没有存活概率——&/b&&br&&b&选择1：杀死尽可能多的人&/b&&br&&b&选择2：尽可能拯救更多的人&/b&&br&&br&按照我的假设，应该是前者。&br&&br&既然第 1 个人没有存活概率，不妨让大家都死得干净些——&b&取走 96 颗绿豆！&/b&&br&&br&但如果，第 1 个人有点恻隐之心，做出了选择 2：&br&&br&那，他会取走 21~33 的豆子数，根据 引理1， 第 2~4 个人会存活；&br&&br&&b&所以，本题根据对题意的不同理解，有两解：&/b&&br&&ul&&li&&b&所有人都死亡；&/b&&br&&/li&&li&&b&第 2~4 个人存活；&/b&&br&&/li&&/ul&&br&而对于第 1 个囚犯，他将面临一个哲学难题：&br&&b&如果自己不可能活下去，你会选择让别人陪葬，还是让其他人好好活下去？&/b&&br&&br&如果是你，会怎么选择呢？&br&&br&【完】
谢邀。 这道题怎么做，取决于我们如何从数学的角度理解题干中这句话： “他们的原则是先求保命，再去多杀人”。 我的理解是： 每个人采取方案，使得剩下的人在采取最佳方案的时候，自己的存活概率最大； 如果有多种方案使得自己的存活概率最大且相同，则采…
好问题，让我尝试不用公式，用跨越7000年人类文明的方式，来解读e的自然之美，争取有中学基础的人就能看懂。&br&&br&e有时被称为自然常数（Natural constant），是一个约等于2.……的无理数。&br&&br&以e为底的对数称为&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%2587%25AA%25E7%%25E5%25B0%258D%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&自然对数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（Natural logarithm），数学中使用自然（Natural）这个词的还有&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%2587%25AA%25E7%%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&自然数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（Natural number）。这里的“自然”并不是现代人所习惯的“大自然”，而是有点儿“天然存在，非人为”的意思。就像我们把食品分为天然食品和加工食品，天然食品就是未经人为处理的食品。&br&&br&但这样解读“自然”这个词太浅薄了！为了还原全貌，必须穿越到2500多年前的古希腊时代。&br&&br&（你也知道，穿越剧都很长(&﹏&)，不喜欢长篇大论的，可直接跳到后面看结论。）&br&&br&&br&&b&“自然”的发明&/b&&br&我们知道，人类历史上曾出现过很多辉煌的文明，例如大家熟知的四大文明：古巴比伦、古埃及、古印度河以及古代中国。&br&&br&但是要说谁对现代文明的影响最大？对不起，四大文明谁都排不上！真正对现代文明影响最大的是古希腊文明，特别是古希腊的哲学、科学思想，是整个现代文明的源头和基石。这里并不是要贬低四大文明，现代文明也从各文明继承了大量的文化遗产，只是相比古希腊要少很多。&br&&br&现代人的基础教育，无论是什么国家、什么社会制度、什么民族，在教科书里除了介绍自己的古代成就外（如四大发明），还会大篇幅的介绍古希腊的科学、哲学思想，来启蒙学生的心智，这是跨越国界的共同做法。&br&&br&大家都这样做的原因，就是因为古希腊哲学家发明了科学的思维方法和“自然”（Natural）这个词，在理论中用&b&自然&/b&来取代具体的神灵，这是人类文明史上划时代的发明。如果没有这个发明，现代文明可能还会晚出现数千年，所以这是至关重要的进步。&br&&br&在古希腊文明之外的古文明里，人们解释世间万物的运行时，总是要引入神灵等超自然、拟人化的因素。例如，得病了就认为鬼神附体，洪水泛滥就认为天神发怒，石人一出天下就可以造反了，总有一个超自然的神灵在操纵万物的运行。人们偏爱形象而戏剧化的解释，拟人化的神灵恰恰具有形象、戏剧化的特点，最易于接受和传播。现代喜欢希腊神话的人数，也远多于喜欢希腊哲学的。电视里最流行各种奇幻故事，例如狼人、吸血鬼什么的。古代人也一样，不同的是我们知道这是假的，}
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