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已知x＞0，y＞0，且x+2y+xy=30，求xy的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥22xy，∴30≥xy+22xy，即(xy)2+22xy-30≤0，(xy+52)(xy-32)≤0，∵xy＞0，∴0＜xy≤32，∴0＜xy≤18，当且仅当x=2yx+2y+xy=30x＞0，y＞0即x=6y=3时取等号．∴xy的最大值为18．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知x＞0，y＞0，且x+2y+xy=30，求xy的最大值．-数学-魔方格”主要考查你对&&基本不等式及其应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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基本不等式及其应用
基本不等式：
（当且仅当a＝b时取“=”号）； 变式：①，（当且仅当a＝b时取“=”号），即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 ②；③；④； 对基本不等式的理解：
(1)基本不等式的证明是利用重要不等式推导的，即，即有(2)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等，其中的算术平均数，的几何平均数，本定理也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(3)要特别注意不等式成立的条件和等号成立的条件．均值不等式中：①当a=b时取等号，即 对于两个正数x，y，若已知xy，x+y，中的某一个为定值，可求出其余各个的最值：如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2，； （2）x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值，； （3）已知x2+y2=p，则x+y有最大值为，。
应用基本的不等式解题时：
注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”。
利用基本不等式比较实数大小：
(1)注意均值不等式的前提条件．(2)通过加减项的方法配凑成使用均值定理的形式．(3)注意“1”的代换．(4)灵活变换基本不等式的形式，并注重其变形形式的运用．重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是等，不仅要掌握原来的形式，还要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用．(5)合理配组，反复应用均值不等式。&
基本不等式的几种变形公式：
发现相似题
与“已知x＞0，y＞0，且x+2y+xy=30，求xy的最大值．-数学-魔方格”考查相似的试题有：
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已知x+y=xy，求代数式+-（1-x）（1-y）的值．
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∵x+y=xy，∴+-（1-x）（1-y）=-（1-x-y+xy）=-1+x+y-xy=1-1+0=0
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其他类似问题
首先将所求代数式展开化简，然后整体代入即可求值．
本题考点：
分式的化简求值．
考点点评：
此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型
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＞＞＞已知x+y=5，xy=4，求xy2-2x-2y+1的值．-数学-魔方格
已知x+y=5，xy=4，求xy2-2x-2y+1的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
原式=xy2-2（x+y）+1，把x+y=5，xy=4代入得，原式=42-2×5+1=2-10+1=-7．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知x+y=5，xy=4，求xy2-2x-2y+1的值．-数学-魔方格”主要考查你对&&代数式的求值 &&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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代数式的求值
代数式的值：用数值代替代数式的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果才，叫做代数式的值。 代数式求值的步骤：（1）代入；（2）计算。常用的代入方法有直接代入法与整体代入法。注：代数式的值的取值条件：（1）不能使代数式失去意义；（2）不能使所表示的实际问题失去意义。求代数式的值的方法：①给出代数式中所有字母的值，该类题一般是先化简代数式，再代入字母的值，然后计算。②给出代数式中所含几个字母之间的关系，不直接给出字母的值，该类题一般是把所要求的代数式通过恒等变形，转化成为用已知关系表示的形式。③在给定条件中，字母之间的关系不明显，字母的值隐含在题设条件中，该类题应先由题设条件求出字母的值，再求代数式的值。
发现相似题
与“已知x+y=5，xy=4，求xy2-2x-2y+1的值．-数学-魔方格”考查相似的试题有：
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已知：x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，求x+y的值．
暗袭_天954
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∵x2+xy+y=14①，y2+xy+x=28②，∴①+②，得：x2+2xy+y2+x+y=42，∴（x+y）2+（x+y）-42=0，∴（x+y+7）（x+y-6）=0，∴x+y+7=0或x+y-6=0，解得：x+y=-7或x+y=6．
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由x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，即可求得x2+2xy+y2+x+y=42，则变形得（x+y）2+（x+y）-42=0，将x+y看作整体，利用因式分解法即可求得x+y的值．
本题考点：
完全平方公式．
考点点评：
此题考查了完全平方公式的应用与因式分解法解一元二次方程．注意整体思想的应用是解此题的关键．
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