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拉格朗日中值定理的证明方法
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拉格朗日中值定理在高考题中的妙用
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拉格朗日中值定理在高考题中的妙用
【摘要】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市一些高考题可以用拉格朗日中值定理来解答.本文归纳了可用拉格朗日中值定理解决的四类题型，再通过一些具体的高考试题，体现高观点解题的好处.
【关键词】拉格朗日中值定理
新课程中，高中数学新增加了近、现代数学思想，这为中学数学传统的内容注入了活力，也为解决一些初等数学问题的方法提供了更多的选择．尤其在一．拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：
（i）在闭区间上连续；
（ii）在开区间内可导；
则在内至少存在一点，使得 .
几何意义：
在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线（如图）
二．求割线斜率大小几何意义的利用
由拉格朗日中值几何意义可知:曲线上两点的割线斜率,可以转化为曲线上切线的斜率.即连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行.下面通过下题具体分析.
例1：（2011年福建省质检理19题）已知函数
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）设问是否存在实数，使得函数上任意不同两点连线的斜率都不小于？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
解（Ⅰ）略
（Ⅱ）当时，，假设存在实数，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于，即对任意，都有即求任意两点割线斜率的大小，由中值定理知存在，有转为求切线斜率的大小.即在上恒成立.（以下同参考答案）
评析：该题若用初等方法解决，构造函数同是本题的难点和突破口．将转化为转而考查函数，学生不是很容易想到， 但若利用拉格朗日中值定理，则只需求二次导函数在所给区间的最小值即可，学生易接受．
二． 利用拉格朗日中值定理证最值
即证与的大小关系
例：（2009年辽宁卷理21题）
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）证明：若，则对任意，，有.
（Ⅰ）略；
（Ⅱ）要证成立，即证.
令，则.由于，所以.从而在恒成立.也即.又，，故.则，即，也即.
评注：这道题（Ⅱ）小题用初等方法做考虑函数.为什么考虑函数很多考生一下子不易想到.而且的放缩也不易想到.
（2）、证明或成立（其中，）
例：（2007年高考全国卷I第20题）
（Ⅰ）证明：的导数；
（Ⅱ）证明：若对所有，都有 ，则的取值范围是.
（Ⅱ）证明：（i）当时，对任意的，都有
(ii)当时，问题即转化为对所有恒成立.令，由拉格朗日中值定理知内至少存在一点（从而），使得，即，由于，故在上是增函数，让 得，所以的取值范围是.
评注：用的是初等数学的方法.即令，再分和 两种情况讨论.其中，又要去解方程.但这有两个缺点：首先，为什么的取值范围要以为分界展开.其次，方程求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦.
例：（2008年全国卷Ⅱ22题）
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围.
（Ⅰ）略；
（Ⅱ）证明：当时，显然对任何，都有；当时，
由拉格朗日中值定理，知存在，使得.由（Ⅰ）知，从而.令得，；令得，.所以在上，的最大值在
上，的最大值.从而函数在上的最大值是.知，当时，的最大值为.所以，的最大值.为了使恒成立，应有.所以的取值范围是.
评注：这道题的参考答案的解法是令,再去证明函数的最小值.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数,要对参数进行分类讨论;其次为了判断的单调性,还要求和的解,这个求解涉及到反余弦,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了高观点解题的优越性.
三．利用拉格朗日中值定理证不等式
（1）用于证明与的大小关系
例：(26年四川卷理第22题)
已知函数的导函数是，对任意两个不相等的正，证明：（Ⅱ）当时，.
证明： 由得，，令则由拉格朗日中值定理得：
下面只要证明：当时，任意,都有，则有，即证时，恒成立.这等价于证明的最小值大于.由，当且仅当时取到最小值，又，故时，恒成立.所以由拉格朗日定理得：.
评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性.
（2）证明，，三者大小的关系
例：（2004年四川卷第22题）
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）设，证明：.
（Ⅰ）略；
（Ⅱ）证明：依题意，有 由拉格朗日中值定理得，存在，使得
评注：对于不等式中含有的
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拉格朗日中值定理的介绍：
中文名：拉格朗日中值定理&
外文名：Lagrange Mean Value Theorem&
别称：有限增量定理&
提出者：拉格朗日&
提出时间：18世纪&
应用学科：数学微积分&
适用领域范围：微分学&
适用领域范围：高等数学&
拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。
法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理的公式：
如果函数 &&
（1）在闭区间&& 上连续；
（2）在开区间&& 内可导；
那么在开区间& 内至少有一点& 使等式 && 成立。
拉格朗日中值定理的证明方法：
拉格朗日中值定理的应用方法：
拉格朗日中值定理是高数中比较基础且比较难的问题。一般是证明题中运用得比较多。比如说证明一个不等式。需要用到公式中的，切记这个是满足区间中的任意数，要正确理解任意的含义。 举一个证明的列子，书上也出现过的。证明（b-a）/b&lnb-lna&(b-a)/a要正确证明这个题，要先构造一个函数f(x)=lnx,然后运用拉格朗日中值定理。&
拉格朗日中值定理的补充资料：
拉格朗日中值定理定理意义
拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。
几何意义：&若连续曲线在 && 两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点& ，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。
运动学意义：对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。
拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。
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