经济数学基础讲义 第2章 导数与微分-博泰典藏网
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经济数学基础讲义 第2章 导数与微分
导读：古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形??等的边长近似圆，第2章导数与微分2.1极限概念研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势.例1圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形??等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.例2讨论当x???时，的变化趋势.第2章 导数与微分 2.1 极限概念 研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势. 例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形??等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长. 例2 讨论当x???时，的变化趋势. 例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势。 “一尺之棰，日截其半，万世不竭”――庄子?天下 定义2.3 设函数f(x)在点x0的邻域（点x0可以除外）内有定义，如果当x无限趋于x0（但1xx?x0）时，f(x)无限趋近于某个常数A，则称x趋于x0时，f(x)以A为极限，记为
x?x0limf(x)?A
或f(x)?A (x?x0) 若自变量x趋于x0时，函数f(x)没有一个固定的变化趋势，则称函数f(x)在x0处没有极限. 在理解极限定义时要注意两个细节： 1.x?x0时，（x?x0） 2.x?x0??x(?x0)?x0（包括这两种情况） ?x(?x0)?x02x=？ 例1 讨论y?x2时, limx?2解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限.x=4 由几何图形可以看出，当x?2时，y?x2?4，即limx?2x2?1x2?1例2 讨论函数y?,当x?1时的极限lim x?1x?1x?1解：此函数在x?1处没有定义，可以借助图形求极限.由 2x2?1图形得到lim?2 x?1x?12.1.3 左极限和右极限 考虑函数y?无定义. 依照极限的定义，不能考虑x?0的极限. 因为y?x在x?0处x，1
?xx?0f(x)?又如函数，如果讨论x?0是的极限，则函数分别在x?0和x?0?1x?0?时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念. 定义2.4
设函数f(x)在点x0的邻域（x0点可以除外）内有定义， ?如果当x?x0且x无限于x0（即x从x0的左侧趋于x0，记为x?x0）时，函数f(x)无限地趋近于常数L，则称当x趋于x0时，f(x)以L为左极限，记作= L；
?如果当x?x0且x无限趋于x0（即x从x0的右侧趋于x0，记为x?x0）时，函数f(x)无限地趋近于常数R，则称当x趋于x0时，f(x)以R为右极限，记作= R . 极限存在的充分必要条件： limf(x)存在的充分必要条件是：函数f(x)在x0处的左，右极限都存在且相等.极限x?x0即 ?xx?0f(x) f(x)?例3
, 求lim?x?0?1x?0解：注意到此函数当x=0的两侧表达式是不同，在0点处分别求左、右极限.
x?0?limf(x)?lim1?1，limf(x)?limx?0 ???x?0x?0x?0可见左右极限都存在但不相等；由几何图形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在0点处极限不存在. 2.1.4 无穷小量 x?x0limf(x)?0称当x?x0时，f(x)为无穷小量，简称无穷小. 补充内容： 无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量的关系是： 变量y以为A极限的充分必要条件是：y可以表示成A与一个无穷小量的和，即 limy?A?y?A??(lim??0) 2
无穷小量的有以下性质： 性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量； 性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.
无穷大量：在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量. 2???，所以，当x???时，2x是无穷大量.无穷小量与无穷大量例如 因为xlim???有如下“倒数关系”： 定理：当x?x0（或x??）时，若f(x)是无穷小（而f(x)?0），则x1是无穷大；f(x)反之，若f(x)是无穷大，则是无穷小. 例4 y?x2，当x?0时，x2?? 解： 由图形可知，当x?0时，x2?0，当x?0时，x2是无穷小量. 2.2 极限的运算 2.2.1 极限的四则运算法则 在某个变化过程中，变量u,v分别以A,B为极限，则 lim(u?v)?limu?limv?A?B，lim(u?v)?limu?limv?A?B x 例1 求limx?2x?lim(x?x)?(limx)(limx)?2?2?4 解：limx?2x?2x?2x?2x2?1例2 求lim x?1x?1x2?1(x?1)(x?1)(x?1)解：lim?lim?lim?2 x?1x?1x?1x?1x?11x2?1例3 求lim2 x??3x?x221)2x2?1x?1 ?lim解：lim2x??3x?xx??13x2(3?)xx2(1?例4 求limx?0x?1?1 x3
解：limx?0x?1?1(x?1?1)(x?1?1)?lim
x?0xx(x?1?1)x?limx?0?limx?01x?1?1x(x?1?1)?1 22.2.2 两个重要极限 1.limsinx?1 x?0x几何说明： 如图，设x为单位圆的圆心角，则x对应的小三角形的面积为sinx，x对2应的扇形的面积为xtanx，x对应的大三角形的面积为当x?0时，它们的面积都是趋于220的 ，即之比的极限是趋于1的. sin3x
x?0xsin3x3sin3xsin3x?3lim?3
解：lim=limx?0x?0x?0x3x3x例1
lim11x2.lim(1?)?e
lim(1?x)x?e x??xx?0例2
求极限lim(1?x??1x) 3x解: lim(1?)?lim(1?)?[lim(1?)3x]3?e3 x??x??x??3x3x3x例3
求极限lim(1?2x) x?01x1(?2)2x12x?21x解 lim(1?2x)?lim(1?(?2x))x?0x?0??[lim(1?(?2x))x?0?]?e?2 2.3 函数的连续性 limf(x)?f(x0)，定义 设函数f(x)在点x0的邻域内有定义，若满足x则称函数f(x)在?x0点x0处连续.点x0是f(x)的连续点. 函数间断、间断点的概念 如果函数f(x)在点x0处不连续，则称f(x)在点x0处发生间断.使f(x)发生间断的点x0，称为f(x)的间断点 例如 函数y?x2,y?x3，y?sinx,y?cosx，y?lnx,y?ex 4
在定义域内都是连续的.
?x?1x?1f(x)?例1
,问f(x)在x?1处是否连续？ ??2x?3x?1注意：此函数是分段函数，x?1是函数的分段点. limf(x)?lim(2x?3)??1，limf(x)?lim(x?1)?2 解: x?1?x?1?x?1?x?1?limf(x)不存在，f(x)在x?1处是间断的. x?11??xsin例2 y??x??0x?0x?0x?0
,问f(x)在x?0处是否连续？ 解: ?limf(x)?limxsinx?01?0?f(0)
x（无穷小量×有界变量=无穷小量）?f(x)在x?0处是连续的. 结论:（1）基本初等函数在其定义域内是连续的； （2）连续函数的四则运算、复合运算在其有定义处连续； （3）初等函数在其定义区间内是连续的. x2e?1?x例3lim 2x?0cosxx202e?1?xe?1?01?1解: lim???2 22x?01cosxcos0x2e?1?x注意： 是初等函数，在x?0处有定义，利用
2cosx结论有极限值等于函数值. 2.4 导数与微分的概念 本节的主要内容是导数与微分的概念. 三个引例
边际成本问题
瞬时速率问题
曲线切线问题 引例1： 边际成本问题 C―总成本，q―总产量 已知 C?C(q),当q0?q0??q时（当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变量） C(q)?C(q0??q)），（边际成本） C(q0C(q0??q)?C(q0)lim（成本平均变化率），?q?q?0??q)?C(q0)?q5
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问答题设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0，证明存在一点ξ∈(a，b)，使得
． [证明] 已知f’(a)=f’(b)=0，则将f(x)分别按(x-a)、(x-b)的幂展开成二次泰勒多项式f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+，a＜ξ1<......
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1.问答题 [证明] (Ⅰ)任意给定x0∈(口，b)，对任意x∈[a，b]，则f(x)在[a，b]上带拉格朗日余项的二阶泰勒公式为
．...... 2.问答题 构造辅助函数F(x)=f’(x)g’(x)-f’(x)g(x)，则有F(a)=0，F(b)=0，在[a，b]上满足罗尔定理．
故至少存在一点ξ∈(a，b)，使...... 3.问答题 [证明] 在区间(0，+∞)内，f(x)=ex-ax2=0，其等价于φ(x)==0，即两者实根相同，因此，可讨论φ(x)=0在(0，+∞)...... 4.问答题 [证明] 设x0，x∈(a，b)，则f(x)在以x0，x为端点的区间上满足拉格朗日中值定理条件，因此
f(x)-f(x<...... 5.问答题 由已知得，故有
y’(1+x2)=1．
上式两边对x求n阶导数，当n≥3时(1+x2)(n)=0......
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当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作limf(x)?a,(或x→+∞时,f(x)→a) x???当自变量x取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作limf(x)?a,(或x→-∞时,f(x)→a) x???注：自变量x→+∞和x→-∞都是单方向的，而x→∞是双向的，故有以下等价命题 x???limf(x)?limf(x)?a?limf(x)?a x???x??令(1)f(x)?x?12x2;(2)f(x)?1x.，分别求limf(x),limf(x),limf(x). x???x???x??2） 当x→x0时函数f(x)的极限: 123limf(x)?a ○limf(x)?a； ○limf(x)?a； ○x?x0?x?x0?x?x0如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的左极限，记作limf(x)?a。 x?x0?如果当x从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的右极限，记作limf(x)?a。 x?x0?注：1limf(x)?a与函数f（x）在点x0处是否有定义及是否等于f（x0）都无关。 x?x02limf(x)?limf(x)?a?limf(x)?a。并且可作为一个判断函数在一点处有无极x?x0?x?x0?x?x0限的重要工具。 注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限limf(x)?x??x0limf(x)；x?x0?②x?x0时，f?x????，③x?x0时，f?x??的值不唯一。 若limf(x)?a，limg(x)?b，那么lim[f(x)?g(x)]?a?b；lim[f(x)?g(x)]?ab； x?x0x?x0x?x0x?x03）函数极限的运算法则： x?x0limf(x)g(x)?abnnn(b?0)；limc?f(x)?climf(x)?ca；lim[f(x)]?[limf(x)]?a。 x?x0x?x0x?x0x?x0注：以上规则对于x→∞的情况仍然成立。 5）两个重要的极限：limf?x?g?x?f??x0?g??x0?sinxxx?01???1,lim?1???e；和一个法则：罗必塔法则：x???x??xx?x0lim? 2、函数的连续性 (1)函数连续性的概念: ①如果函数f(x)在x=x0处及其附近有定义,而且limf(x)?f(x0),就说函数f(x)在x?x0x=x0处连续。 注：函数f(x)在x=x0处连续必须具备三个条件：Ⅰ）函数f(x)在x=x0处及其附近有定义；Ⅱ）函数f(x)在x=x0处有极限；Ⅲ）函数f(x)在x=x0处的极限值等于这一点处的函数值f(x0)。 ②右连续（或左连续）：如果函数f(x)在x=x0处及其右侧（或左侧）有定义，而且x?x0lim?f(x)?f(x0)（或lim?f(x)?f(x0)）。 x?x0③若函数f(x)在(a,b)内每一点都连续,且在a点右连续，b点左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]上连续。 注：函数f(x)在(a,b)内连续，只要求在(a,b)内每一点都连续即可，对在端点处是否连续不要求。 (2)函数连续性的运算: ①若f(x)，g(x)都在点x0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)?g(x)，f(x)(g(x)≠0)也在点g(x)x0处连续。 ②若u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处连续。 (3)初等函数的连续性: ①基本初等函数（指数函数，对数函数，三角函数等）在定义域里每一点处都连续。 ②基本初等函数及常数经过有限次四则运送所得到的函数，都是初等函数，初等函数在其定义域里每一点处的极限都等于该点的函数值。 （3）
图甲表示的是f(x)在点x0处的左、右极限存在但不相等，即limf(x)不存在 x?x0图乙表示的是f(x)在点x0处的左极限存在、右极限不存在，也属于limf(x)不存在 x?x0图丙表示的是limf(x)存在，但函数f(x)在点x0处没有定义 x?x0图丁表示的是limf(x)存在，但它不等于函数f(x)在点x0处的函数值。 x?x0注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。”
二、基本训练 1、limf(x)?limf(x)?a是函数在点xo处存在极限的（
） x?xo?x?xo?（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 2、m0时，lim（A）?mnm?x?mn?x?n2222的值是（
（D）2 3、lim2x?x?155x?7x?242x?3?（
（B）x?12x2
（D）不存在 4、lim的值为（
） x???（A）1
（D）±1 ?2x
x?15、f(x)=?下面结论正确的是（
x<1?（A）limf(x)?limf(x)
（B）limf(x)?2 ，limf(x)不存在
x?1?x?1?x?1?x?1?（C）limf(x)?0，limf(x) 不存在
（D）limf(x)≠limf(x) x?1?x?1?x?1?x?1?6.若lim f(x?1)x?1x?1?1,则limx?1f(2?2x)x?1?
A．－1 B．1 7.极限limf(x)存在是函数f(x)在点x?x0处连续的 x?x0
A．充分而不必要的条件 C．充要条件 2B．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
8.（1）指出下列函数的不连续点： ①f(x)?2x2x?3x?2；
②f(x)?xtanx2；
③?2x?1f(x)???4?x(x?1)(x?1) ?x2?1（2）已知f(x)??3?2x?a(x?1)(x?1)，确定常数a，使limf(x)存在。 x?1三、例题分析 例1：判断下列函数的极限是否存在： ?1?x?0?2?（1）f?x???x,limf?x? ?x???1?1?x?0???x2?x?0?（2）g?x???,limg?x? ?x?0??1?x?0??x?1?x?1?（3）p?x???,limp?x? x?1??x?1?x?1?（4）f?x??ax?a?1?,，limf?x? x???ax?b,x?0?例2：设f(x)??0,x?0
，问a，b为何值时，limf(x)存在。 x?0?1?ex,x?0?例3：求下列各极限 (1)x?2((3)limx?0lim4x?42?1x?2)；
(2)lim ((x?a)(x?b)?x) x???x|x|；
(4)limx?cosxcosx2?sinx2?2
(5) limx??1x() 3例4：利用连续函数的图象特征，判断方程：2x?5x?1?0是否存在实数根。
例5：已知lim3x?mx?2x?22x??2?n,求m,n f(x)?4xx23例6：f(x)为多项式，且limx???1,limf(x)xx?0?5，求f(x)。
答案：基本训练
1―7、CBBCB
例1（1）不存在， （2）不存在， （3）存在， （4）不存在，
例2、当b=2，a为任何实数时，limf(x)存在。 x?0例3.(1)?14
（5）x??时，x??()不存在。 13例4解：设f(x)?2x3?5x?1，则f(x)在R上连续，又f(0)?1,f(?3)??38?0，因此在[－3，0]内必存在点x0使得f(x0)?0，所以x0是方程2x3?5x?1?0的一个实数根，因此方程2x3?5x?1?0有实根。 例5. m?3， n??1 例6. f(x)?4x3?x2?5x。 x?1x?121．lim的值为（
） x?1A．不存在
2．lim(x?21x?2?12x?8123)?（
D.?12 3．若lim(a2n?n?1?nb)?1，则ab的值是（
） n??A．42
D.16 4．下列各式不正确的是（
） A．lim2x?x?33x?12x?18x?7x2322x???23
B．lim4x?2x?13x?1x?3x?922x??4?0 C．limx???14
D．limx?3?lim1x?3x?3?16
5．给出下列命题 （1）若函数f(x)在x0处无定义，则limf(x)必不存在； x?x0（2）limf(x)是否存在与函数f(x)在x0处是否有定义无关； x?x0（3）limf(x)与limf(x)都存在，则limf(x)也存在； x?x0?x?x0?x?x0（4）若limf(x)不存在，则limx?x0x?x0?f(x)?2必定不存在. 正确的命题个数是（
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