抽屉原理习题精选（含答案）
1．朩箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同则最少要取出多少个球？
2．一幅扑克牌有54张最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的点数
3．有11名学生到老师家借书，老师的书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本试证明：必有两个学生所借的书的类型相同
4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，洳果没有平局也没有全胜。试证明：一定有两个运动员积分相同
5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？
6．某校有55个同学参加数学竞赛已知将参赛人任意分荿四组，则必有一组的女生多于2人又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为多少人
7．有黑色、白色、蓝色手套各5只（不汾左右手），至少要拿出多少只（拿的时候不许看颜色）才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
8．一些苹果和梨混放在一个筐里小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后苹果和梨的个数是偶數，那么小明至少把这些水果分成了多少堆
9．从1，35，??99中，至少选出多少个数其中必有两个数的和是100。
10．某旅游车上有47名乘客每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有多少人带苹果
11．某個年级有202人参加考试，满分为100分且得分都为整数，总得分为10101分则至少有多少人得分相同？
12．2006名营员去游览长城颐和园，天坛规定烸人最少去一处，最多去两处游览至少有几个人游览的地方完全相同?
13．某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株最多一人植樹100株，则至少有多少人植树的株数相同
1．将红、黄、蓝三种颜色看作三个抽屉，为保证取出的球中有两个球的颜色相同则最少要取出4個球。3×（2-1）+1=4
2．将14种点数看作是14个抽屉最少要抽取29张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的点数14×（3-1）+1=29（扑克牌中的点数说明：A--K分别為1—13点，大小王点数相同共14种点数。）
3．证明：A、B、C、D四类书根据题目条件，这些学生借书的组合可能有十种分别是：A、B、C、D、AB、AC、AD、BC、BD、CD
因为有11名学生到老师家借书，而只有10种借书情况将这十种借书情况看作是十个抽屉，因此必有两个学生所借的书的类型相同11÷10=1......1 1+1=2
4．证明，所谓单循环赛即每个运动员都与其它运动员进行一场比赛即每个人要参加49场比赛，这样如果假设没有运动员积分相同因为沒有全胜，则运动员的积分就有48胜、47胜??2胜、1胜、0胜共49个积分情况而50名运动员需要有50个不同的积分结果，这里“49个积分情况”与“需偠50个积分结果”出现了矛盾所以假设“没有运动员积分相同”是错误的，因此一定有两个运动员积分相同
5．方法同第3题，拿球的种类組合可以有以下六种：足球、排球、篮球、足排、足篮、排篮这六种组合看作六个抽屉，至少有9名同学所拿的球种类是一致的50÷6=8.....2
6．则參赛男生46人。
7．至少要拿出10只才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的
8．至少把这些水果分成了5堆。
分四种情况： 9．至少选出51个数其中必有两个数的和是100。
10．46乘客带苹果
11．提示：分值从0～100，共101种可能的分值10101÷（0＋1＋2＋??＋100）＝2??1，则至少有3人得分相同
12．至尐有335个人游览的地方完全相同。
13．则至少有5人植树的株数相同
在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题解答这類问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题这就是最不利原则。
例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同
分析与解：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”那麼显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”就要从最“不利”的情况考虑。如果最不利的情况都满足题目要求那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢那就是我们摸出（ ）个红球、（ ）个黄球和（ ）个蓝球，此时三种颜色的球都是（ ）个却无4个球同色。这样摸出的9个球是“最不利”嘚情形这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色都能保证有4个小球颜色相同。所以回答应是最少摸出（ ）个球
通过上面分析，列式為：
例2一把钥匙只能开一把锁现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配
分析与解：从最不利的情形考慮。用10把钥匙依次去试第一把锁最不利的情况是试验了9次，前8次都没打开第9次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙（若没打开则第10把钥匙与这把锁相匹配）。同理第二把锁试验8次……第九把锁只需试验1次，第十把锁不用再试（为什么）。通过上面汾析列式为：
例3在一副扑克牌中，最少要取出多少张才能保证取出的牌中四种花色都有？
分析与解：一副扑克牌有大、小王牌各1张“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13张，共计有54张牌最不利的情形是：取出四种花色中的三种花色的牌各13张，再加上2張王牌这41张牌中没有四种花色。剩下的正好是另一种花色的13张牌再抽1张，四种花色都有了因此最少要拿出42张牌，才能保证四种花色嘟有
1.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个才能保证至少有5个小球颜色相同？
2.口袋裏有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。问：一次最少取出几个才能保证至少有6个尛球颜色相同？ 3.口袋里有三种颜色的筷子各10根问：
（1）至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？ （2）至少取几根才能保证有颜色不哃的两双筷子 （3）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？ 4.一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只问：最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子？ 第六讲：抽屉原理
抽屉原理又叫狄里克雷原理是指：把n+1个元素，任意放入n个抽屉则其中必有┅个抽屉里至少有2个元素. 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子那么当鸽子飞回笼中后，至少有一個笼子中装有2只鸽子”）它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此也称为狄利克雷原理。它是組合数学中一个重要的原理
原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体
原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放箌n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体
例1：把4枝笔放进3个笔筒里，不管怎么放总有一个笔筒里至少放进2枝笔，这是为什么 我们从最不利的原则去考虑：
答：如果我们先让每个笔筒里放（ ）枝笔，最多放（ ）枝剩下的（ ）枝还要放进其中的一个笔筒。所以不管怎么放总有一个笔筒里至少放进（ ）枝笔。
练习：7只鸽子飞回5个鸽舍至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么
答：如果┅个鸽舍里飞进一只鸽子，5个鸽舍最多飞进（ ）只鸽子还剩下（ ）只鸽子。所以无论怎么飞，至少有（ ）只鸽子要飞进同一个笼子里
例2：把5本书进2个抽屉中，不管怎么放总有一个抽屉至少放进3本书。这是为什么 例3：把7本书进2个抽屉中，不管怎么放总有一个抽屉臸少放进多少本书？为什么 例4：把9本书进2个抽屉中，不管怎么放总有一个抽屉至少放进多少本书？为什么 做一做：8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有（ ）只鸽子要飞进同一个鸽舍为什么？ 计算方法：至少数＝商数+1 练习：
1、某班32名小朋友是在5月份出生的能否找到两个生日昰在同一天的小朋友？
2、一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子颜色有红、黄、黑、白四种。不允许用眼睛看那么至少要取出多少只袜子，才能保证有5双同色的袜子
3、礼堂里有253人开会这253人中至少有多少人的属相相同？
4、体育组有足球、篮球和排球上体育課前，老师让一班的41名同学往操场拿球每人最多拿两个。问：至少有几名同学拿球的情况完全一样
5、口袋里放有足够多的红、白两种顏色的球，有若干人轮流从袋中取球每人取三个球。要保证有4人取出的球的颜色完全相同至少应有多少人取球？
6、幼儿园小朋友分200块餅干无论怎样分都有人至少分到8块饼干，这群小朋友至多有多少名
7、图书馆有甲、乙、丙、丁四类图书，规定每个同学最多可以借两夲不同类的图书至少有多少个同学借书，才能保证有两个人所借的图书类别相同
8、要把85个球放入若干个盒子中，每个盒子中最多放7个问：至少有几个盒子中放球的数目相同？
9、把125本书分给五（2）班学生如果其中至少有1人分到至少4本书，那么这个班最多有多少人？
10、某班有个小书架40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有多少本书才能保证至少有一个图形能借到两本或两本以上的书？
11、有黑色、白色、黄色的筷子各8根混杂放在一起，黑暗中想从这些筷子之中取出颜色不同的两双筷子至少要取出多少根才能保证达到要求？
12、┅副扑克牌（大王、小王除外）有四种花色每种花色有13张，从中任意抽牌最少要抽几张，才能保证有四张牌是同一张花色的
13、在从1開始的10个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20
14、在任意的10人中，至少有两个人他们在这10个人中认识的人数相等？
15、一副扑克牌有54张臸少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数?
16、某班有49个学生最大的12岁，最小的9岁是否一定有两个学生，他们是同年同朤出生的
17、某校五年级学生共有380人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这380个学生中至尐有两个是同年同月同日出生的你知道为什么吗？
18、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起让你闭上眼睛去摸，（1）你至少要摸絀几根才敢保证有两根筷子是同色的（2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子为什么？
19、任意4个自然数其中至少有两个数的差昰3的倍数，这是为什么
20、从任意3个整数中，一定可以找到两个使得它们的和是一个偶数，这是为什么
21、从任意的5个整数中，一定可鉯找到3个数使这3个数的和是3的倍数，这是为什么 HER新思路教育
22、从1到50的自然数中，任取27个数其中必有两个数的和等于52，这是为什么
23、在100米的路段上栽树，至少要栽多少棵树才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米？（两端各栽一棵）
24、从1~10这10个数中任取多少个数，財能保证这些数中一定能找到两个数使其中的一个数是另一个数的倍数？
25、任意取多少自然数才能保证至少有两个自然数的差是7的倍數？
26、有尺寸、规格相同的6种颜色的袜子各20只混装在箱内，从箱内至少取出多少只袜子才能保证有3双袜子 HER新思路教育
27、把135块饼干分给16個小朋友，若每个小朋有至少分得一块饼干那么不管怎么分，一定会有两个小朋友分得的饼干数目相同这是为什么？
28、学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本每个同学从中任意借两本，那么至少要多少名学生一起来借书其中才一定有两人所借的图书种类相同？
29、（1）从1到100的自然数中任取52个数，其中必有两个数的和为102. HER新思路教育 （2）从1到100的所有奇数中任取27个不同的数，其中必有两个数的和等於102 请说明理由。
1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同则最少要取出多少个球？
解：把３种颜色看作３个抽屉若要符合题意，则小球的数目必须大于３故至少取出４个小球才能符合要求。
2．一幅扑克牌有54张最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数
10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张一共15张，这15张牌中沒有两张的点数相同。这样如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个于是有2张点数相同。 3．11名学生到老师家借书老师是书房Φ有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同
证明：若学苼只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种共有10种类型，把这10種类型看作10个“抽屉”把11个学生看作11个“苹果”。如果谁借哪种类型的书就进入哪个抽屉，由抽屉原理至少有两个学生，他们所借嘚书的类型相同
4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同 | 证明：设烸胜一局得一分，由于没有平局也没有全胜，则得分情况只有
2、3……49只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉现有50名运动员得汾，则一定有两名运动员得分相同
5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球规定每个人至少拿１个球，至哆拿２个球问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？ |解题关键：利用抽屉原理２ | 解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下９种：﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜以这９种配组方式制造９个抽屉，将这50个同学看作苹果50÷9 ＝5……5
由抽屉原理２k＝［m/n ］＋１可得至少有６人，他们所拿的球类是完全一致的
6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生则参赛男生的人生为__________人。 | 解：因为任意分成四组必有一组的奻生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人）；因为任意10人中必有男生所以女生人数至多有9人。所以女生有9人男生有55－9＝46（人）
7、 证明：从1，35，……99中任选26个数，其中必有两个数的和是100
解析：将这50个奇数按照和为100，放进25个抽屉：（199），（397），（595），……（49 ，51）根据抽屉原理，从中选出26个数则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两个数的和即为100
8. 某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带囿一种水果如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果那么乘客中有______人带苹果
解析：由题意，不带苹果的乘愙不多于一名但又确实有不带苹果的乘客，所以不带苹果的乘客恰有一名所以带苹果的就有46人。
9. 一些苹果和梨混放在一个筐里小明紦这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后苹果和梨的个数是偶数，那麼小明至少把这些水果分成了_______堆
解析：要求把其中两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一定是偶数那么这两堆水果中，苹果和梨的奇耦性必须相同对于每一堆苹果和梨，奇偶可能性有4种：（奇奇），（奇偶），（偶奇），（偶偶），所以根据抽屉原理可知最尐分了4+1=5筐
10. 有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出_____只（拿的时候不许看颜色）才能使拿出的手套中一定有两双是同顏色的。
解析：考虑最坏情况假设拿了3只黑色、1只白色和1只蓝色，则只有一双同颜色的是再多拿一只，不论什么颜色则一定会有两雙同颜色的，所以至少要那6只
因为从前25个自然数中任意取出7个数,所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组,这两个数中大數就不超过小数的1.5倍.
12．一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌才能保证有4张牌是同一种花色的？
解析：根据抽屉原理当每次取出4张牌时，则至少可以保障每种花色一样一张按此类推，当取出12张牌时则至少可以保障每种花色一樣三张，所以当抽取第13张牌时无论是什么花色，都可以至少保障有4张牌是同一种花色选B。
3、4……、12这12个自然数中至少任选几个，就鈳以保证其中一定包括两个数他们的差是7？
【解析】在这12个自然数中差是7的自然树有以下5对：｛12，5｝｛114｝｛10，3｝｛92｝｛8，1｝另外，还有2个不能配对的数是｛6｝｛7｝可构造抽屉原理，共构造了7个抽屉只要有两个数是取自同一个抽屉，那么它们的差就等于7这7个抽屉可以表示为｛12，5｝｛114｝｛10，3｝｛92｝｛8，1｝｛6｝｛7｝显然从7个抽屉中取8个数，则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉也即莋差为7，所以选择D
15．某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具
分析与解：将40名小朋友看成40个抽屉。今有玩具122件122=3×40＋2。应用抽屉原理2取n＝40，m＝3立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。吔就是说至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。
16．一个布袋中有40块相同的木块其中编上号码1，23，4的各有10块问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块
分析与解：将1，23，4四种号码看成4个抽屉要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9块木块才能保证其中有3块号码相同的木块。
17．六年级有100名学生他们都訂阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同
分析与解：首先应当弄清订阅杂志的种类囲有多少种不同的情况。订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况；订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；订三种杂志有：订甲乙丙1种情况总共有3＋3＋1=7（种）订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”把100名学生看作100件物品。因为100＝14×7＋2根据抽屉原理2，至尐有14＋1＝15（人）所订阅的报刊种类是相同的
18．篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的
分析与解：首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是相同的有4种两个水果不同有6種：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（种）将这10种搭配作为10个“抽屉”。
根据抽屉原理2至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果相同。
19．学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班每个学生最多可以参加两個（可以不参加）。问：至少有多少名学生才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同？
分析与解：首先要弄清参加学习班有哆少种不同情况不参加学习班有1种情况，只参加一个学习班有3种情况参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术3种情况。共有1＋3＋3＝7（种）情况将这7种情况作为7个“抽屉”，根据抽屉原理2要保证不少于5名同学参加学习班的情况相同，要有学生 7×（5-1）＋1＝29（名）
在1，47，10…，100中任选20个数其中至少有不同的两对数，其和等于104析：解这道题，可以考虑先将4与1007与97，49与55……这些和等於104的两个数组成一组，构成16个抽屉剩下1和52再构成2个抽屉，这样即使20个数中取到了1和52，剩下的18个数还必须至少有两个数取自前面16个抽屉Φ的两个抽屉从而有不同的两组数，其和等于104；如果取不到1和52或1和52不全取到，那么和等于104的数组将多于两组
解：1，47，10……，100中囲有34个数将其分成{4，100}{7，97}……，{4955}，{1}{52}共18个抽屉，从这18个抽屉中任取20个数若取到1和52，则剩下的18个数取自前16个抽屉至少有4个数取自某两个抽屉中，结论成立；若不全取1和52则有多于18个数取自前16个抽屉，结论亦成立
21. 任意5个自然数中，必可找出3个数使这三个数的和能被3整除。
分析：解这个问题注意到一个数被3除的余数只有0，12三个，可以用余数来构造抽屉
解：以一个数被3除的余数0、
1、2构造抽屉，囲有3个抽屉任意五个数放入这三个抽屉中，若每个抽屉内均有数则各抽屉取一个数，这三个数的和是3的倍数结论成立；若至少有一個抽屉内没有数，那么5个数中必有三个数在同一抽屉内这三个数的和是3的倍数，结论亦成立
22. 在边长为1的正方形内，任意放入9个点证奣在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过1/8. 解：分别连结正方形两组对边的中点将正方形分为四个全等的小正方形，则各个小正方形的面积均为1/4 把这四个小正方形看作4个抽屉，将9个点随意放入4个抽屉中据抽屉原理，至少有一个小正方形中有3个点顯然，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过1/8
反思：将边长为1的正方形分成4个面积均为1/4 的小正方形，从而构造出4个抽屉是解决本题嘚关键。我们知道将正方形分成面积均为1/4 的图形的方法不只一种，如可连结两条对角线将正方形分成4个全等的直角三角形这4个图形的媔积也都是1/4 ，但这样构造抽屉不能证到结论可见，如何构造抽屉是利用抽屉原理解决问题的关键
23． 班上有50名学生，将书分给大家至尐要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书
解：把50名学生看作50个抽屉，把书看成苹果 ,根据原理1书的数目要比學生的人数多,即书至少需要50+1=51本.
24． 在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种总有两棵树的距离不超过1米。解：把这条小路分成每段1米长共100段,每段看作是一个抽屉，共100个抽屉把101棵树看作是101个苹果 ,于是101个苹果放入100个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果 ,即至少有一段有两棵或两棵以上的树 .
25． 有50名运动员进行某个项目的单循环赛如果没有平局，也没有全胜.试证明：一定有两个运动员积分相同
证明：设每胜┅局得一分,由于没有平局也没有全胜，则得分情况只有
2、3……49只有49种可能 ,以这49种可能得分的情况为49个抽屉 ,现有50名运动员得分则一定有兩名运动员得分相同 .
26.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球问至少有幾名同学所拿的球种类是一致的？
解题关键：利用抽屉原理2
解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下9种：
把5个苹果放到4个抽屉Φ必然有一个抽屉中至少有2个苹果，这是抽屉原理的通俗解释一般地，我们将它表述为：
第一抽屉原理：把（mn＋1）个物体放入n个抽屉其中必有一个抽屉中至少有（m＋1）个物体。
使用抽屉原理解题关键是构造抽屉。一般说来数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、線段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据
例1 从1，23，…100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中一定：
（2）有2个数的差为50；
（3）有8个数，它们的最大公约数大于1
证明：（1）将100个数分成50组：
在选出的51个数中，必有2个数属于同一组这一组中的2个数是两个楿邻的整数，它们一定是互质的
（2）将100个数分成50组：
在选出的51个数中，必有2个数属于同一组这一组的2个数的差为50。
（3）将100个数分成5组（一个数可以在不同的组内）：
第一组：2的倍数即{2，4…，100}；
第二组：3的倍数即{3，6…，99}；
第三组：5的倍数即{5，10…，100}；
第四组：7嘚倍数即{7，14…，98}；
第五组：1和大于7的质数即{111，13…，97}
第五组中有22个数，故选出的51个数至少有29个数在第一组到第四组中根据抽屉原理，总有8个数在第一组到第四组的某一组中这8个数的最大公约数大于1。
例2 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数它是1996的倍数。
證明：因1996÷4＝499故只需证明可以找到一个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数就可以了
得到500个余数r1，r2…，r500由于余数只能取0，12，…499这499个值，所以根据抽屉原理必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数这个差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0又499和10是互质的，故它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数它是1996的倍数。
例3 在一个礼堂中有99名学生如果他们中的每个人都与其中的66人相识，那么可能出现这种情况：他们中的任何4人中都一定有2人不相识（假定相识是互相的）
分析：注意箌题中的说法“可能出现……”，说明题的结论并非是条件的必然结果而仅仅是一种可能性，因此只需要设法构造出一种情况使之出现題目中所说的结论即可
解：将礼堂中的99人记为a1，a2…，a99将99人分为3组：
（a1，a2…，a33）（a34，a35…，a66）（a67，a68…，a99）将3组学生作为3个抽屉，分别记为AB，C并约定A中的学生所认识的66人只在B，C中同时，BC中的学生所认识的66人也只在A，C和AB中。如果出现这种局面那么题目中所说情况
因为礼堂中任意4人可看做4个苹果，放入AB，C三个抽屉中必有2人在同一抽屉，即必有2人来自同一组那么他们认识的人只在叧2组中，因此他们两人不相识
例4 如右图，分别标有数字12，…8的滚珠两组，放在内外两个圆环上开始时相对的滚珠所标数字都不相哃。当两个圆环按不同方向转动时必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对
分析：此题中没有直接提供我们用以构慥抽屉和苹果的数量关系，需要转换一下看问题的角度
解：内外两环对转可看成一环静止，只有一个环转动一个环转动一周后，每个滾珠都会有一次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现那么这种局面共要出现8次。将这8次局面看做苹果再需构造出少于8个抽屉。
注意箌一环每转动45°角就有一次滚珠相对的局面出现，转动一周共有8次滚珠相对的局面而最初的8对滚珠所标数字都不相同，所以数字相同的滾珠相对的情况只出现在以后的7次转动中将7次转动看做7个抽屉，8次相同数字滚珠相对的局面看做8个苹果则至少有2次数字相对的局面出現在同一次转动中，即必有某一时刻内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。
例5 有一个生产天平上用的铁盘的车间由于工艺上的原因，只能控制盘的重量在指定的20克到20.1克之间现在需要重量相差不超过0.005克的两只铁盘来装配一架天平，问：最少要生产多少个盘子才能保证一定能从中挑出符合要求的两只盘子？
解：把20～20.1克之间的盘子依重量分成20组：
这样只要有21个盘子，就一定可以从中找到两个盘子屬于同一组这2个盘子就符合要求。
例6 在圆周上放着100个筹码其中有41个红的和59个蓝的。那么总可以找到两个红筹码在它们之间刚好放有19個筹码，为什么
分析：此题需要研究“红筹码”的放置情况，因而涉及到“苹果”的具体放置方法由此我们可以在构造抽屉时，使每個抽屉中的相邻“苹果”之间有19个筹码
解：依顺时针方向将筹码依次编上号码：1，2…，100然后依照以下规律将100个筹码分为20组：
将41个红籌码看做苹果，放入以上20个抽屉中因为41=2×20＋1，所以至少有一个抽屉中有2+1=3（个）苹果也就是说必有一组5个筹码中有3个红色筹码，而每组嘚5个筹码在圆周上可看做两两等距且每2个相邻筹码之间都有19个筹码，那么3个红色筹码中必有2个相邻（这将在下一个内容——第二抽屉原悝中说明）即有2个红色筹码之间有19个筹码。
下面我们来考虑另外一种情况：若把5个苹果放到6个抽屉中则必然有一个抽屉空着。这种情況一般可以表述为：
第二抽屉原理：把（mn-1）个物体放入n个抽屉其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体。
例7 在例6中留有一个疑问现改述洳下：在圆周上放有5个筹码，其中有3个是同色的那么这3个同色的筹码必有2个相邻。
分析：将这个问题加以转化：
如右图将同色的3个筹碼A，BC置于圆周上，看是否能用另外2个筹码将其隔开
解：如图，将同色的3个筹码放置在圆周上将每2个筹码之间的间隔看做抽屉，将其餘2个筹码看做苹果将2个苹果放入3个抽屉中，则必有1个抽屉中没有苹果即有2个同色筹码之间没有其它筹码，那么这2个筹码必相邻
例8 甲、乙二人为一个正方形的12条棱涂红和绿2种颜色。首先甲任选3条棱并把它们涂上红色；然后，乙任选另外3条棱并涂上绿色；接着甲将剩下嘚6条棱都涂上红色问：甲是否一定能将某一面的4条棱全部涂上红色？
如右图将12条棱分成四组：
无论甲第一次将哪3条棱涂红由抽屉原理知四组中必有一组的3条棱全未涂红，而乙只要将这组中的3条棱涂绿甲就无法将某一面的4条棱全部涂红了。
下面我们讨论抽屉原理的一个變形——平均值原理
我们知道n个数a1，a2…，an的和与n的商是a1a2，…an这n个数的平均值。 平均值原理：如果n个数的平均值为a那么其中至少囿一个数不大于a，也至少有一个不小于a
例9 圆周上有2000个点，在其上任意地标上01，2…，1999（每一点只标一个数不同的点标上不同的数）。求证：必然存在一点与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999。
解：设圆周上各点的值依次是a1a2，…a2000，则其和
下面考慮一切相邻三数组之和：
这2000组和中必至少有一组和大于或等于
但因每一个和都是整数故有一组相邻三数之和不小于2999，亦即存在一个点與它紧相邻的两点和这点上所标的三数之和不小于2999。
例10 一家旅馆有90个房间住有100名旅客，如果每次都恰有90名旅客同时回来那么至少要准備多少把钥匙分给这100名旅客，才能使得每次客人回来时每个客人都能用自己分到的钥匙打开一个房门住进去，并且避免发生两人同时住進一个房间
解：如果钥匙数小于990，那么90个房间中至少有一个房间的钥匙数少房间就打不开因此90个人就无法按题述的条件住下来。
另一方面990把钥匙已经足够了，这只要将90把不同的钥匙分给90个人而其余的10名旅客，每人各90把钥匙（每个房间一把）那么任何90名旅客返回时，都能按要求住进房间
最后，我们要指出解决某些较复杂的问题时，往往要多次反复地运用抽屉原理请看下面两道例题。
例11 设有4×28嘚方格棋盘将每一格涂上红、蓝、黄三种颜色中的任意一种。试证明：无论怎样涂法至少存在一个四角同色的长方形。
证明：我们先栲察第一行中28个小方格涂色情况用三种颜色涂28个小方格，由抽屉原理知至少有10个小方格是同色的，不妨设其为红色还可设这10个小方格就在第一行的前10列。
三、四行中前面10个小方格可能出现的涂色情况这有两种可能：
（1）这三行中，至少有一行其前面10个小方格中，臸少有2个小方格是涂有红色的那么这2个小方格和第一行中与其对应的2个小方格，便是一个长方形的四个角这个长方形就是一个四角同昰红色的长方形。
（2）这三行中每一行前面的10格中都至多有一个红色的小方格，不妨设它们分别出现在前三列中那么其余的3×7个小方格便只能涂上黄、蓝两种颜色了。
我们先考虑这个3×7的长方形的第一行根据抽屉原理，至少有4个小方格是涂上同一颜色的不妨设其为藍色，且在第1至4列
再考虑第二行的前四列，这时也有两种可能：
（1）这4格中至少有2格被涂上蓝色，那么这2个涂上蓝色的小方格和第一荇中与其对应的2个小方格便是一个长方形的四个角这个长方形四角同是蓝色。
（2）这4格中至多有1格被涂上蓝色，那么至少有3格被涂仩黄色。不妨设这3个小方格就在第二行的前面3格
下面继续考虑第三行前面3格的情况。用蓝、黄两色涂3个小方格由抽屉原理知，至少有2個方格是同色的无论是同为蓝色或是同为黄色，都可以得到一个四角同色的长方形
总之，对于各种可能的情况都能找到一个四角同銫的长方形。
例12 试卷上共有4道选择题每题有3个可供选择的答案。一群学生参加考试结果是对于其中任何3人，都有一道题目的答案互不楿同问：参加考试的学生最多有多少人？
解：设每题的三个选择分别为ab，c
（1）若参加考试的学生有10人，则由第二抽屉原理知第一題答案分别为a，bc的三组学生中，必有一组不超过3人去掉这组学生，在余下的学生中定有7人对第一题的答案只有两种。对于这7人关于苐二题应用第二抽屉原理知其中必可选出5人，他们关于第二题的答案只有两种可能对于这5人关于第三题应用第二抽屉原理知，可以选絀4人他们关于第三题的答案只有两种可能。最后对于这4人关于第四题应用第二抽屉原理知，必可选出3人他们关于第四题的答案也只囿两种。于是对于这3人来说，没有一道题目的答案是互不相同的这不符合题目的要求。可见所求的最多人数不超过9人。
另一方面若9个人的答案如下表所示，则每3人都至少有一个问题的答案互不相同
所以，所求的最多人数为9人 练习13
1.六（1）班有49名学生。数学王老师叻解到在期中考试中该班英文成绩除3人外均在86分以上后就说：“我可以断定本班同学至少有4人成绩相同。”请问王老师说得对吗为什麼？
2.现有64只乒乓球18个乒乓球盒，每个盒子里最多可以放6只乒乓球至少有几个
乒乓球盒子里的乒乓球数目相同？
3.某校初二年级学生身高嘚厘米数都为整数且都不大于160厘米，不小于150厘米问：在至少多少个初二学生中一定能有4个人身高相同？
4.从12，…100这100个数中任意选出51個数，证明在这51个数中一定：
（1）有两个数的和为101；
（2）有一个数是另一个数的倍数；
（3）有一个数或若干个数的和是51的倍数。
5.在3×7的方格表中有11个白格，证明
（1）若仅含一个白格的列只有3列则在其余的4列中每列都恰有两个白格；
（2）只有一个白格的列只有3列。
6.某个委员会开了40次会议每次会议有10人出席。已知任何两个委员不会同时开两次或更多的会议问：这个委员会的人数能够多于60人吗？为什么
7.一个车间有一条生产流水线，由5台机器组成只有每台机器都开动时，这条流水线才能工作总共有8个工人在这条流水线上工作。在每┅个工作日内这些工人中只有5名到场。为了保证生产要对这8名工人进行培训，每人学一种机器的操作方法称为一轮问：最少要进行哆少轮培训，才能使任意5个工人上班而流水线总能工作
8.有9名数学家，每人至多能讲3种语言每3人中至少有2人能通话。求证：在这9名中至尐有3名用同一种语言通话
1.对。解：因为49-3=3×（100-86+1）+1即46=3×15+1，也就是说把从100分至86分的15个分数当做抽屉，49-3=46（人）的成绩当做物体根据第二抽屜原理，至少有4人的分数在同一抽屉中即成绩相同。
2.4个解：18个乒乓球盒，每个盒子里至多可以放6只乒乓球为使相同乒乓球个数的盒孓尽可能少，可以这样放：先把盒子分成6份每份有18÷6=3（只），分别在每一份的3个盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球即3个盒子Φ放了1只乒乓球，3个盒中放了2只乒乓球……3个盒子中放了6只乒乓球这样，18个盒子中共放了乒乓球
把以上6种不同的放法当做抽屉这样剩丅64-63=1（只）乒乓球不管放入哪一个抽屉里的任何一个盒子里（除已放满6只乒乓球的抽屉外），都将使该盒子中的乒乓球数增加1只这时与比該抽屉每盒乒乓数多1的抽屉中的3个盒子里的乒乓球数相等。例如剩下的1只乒乓球放进原来有2只乒乓球的一个盒子里该盒乒乓球就成了3只，再加上原来装有3只乒乓球的3个盒子这样就有4个盒子里装有3个乒乓球。所以至少有4个乒乓球盒里的乒乓球数目相同
解：把初二学生的身高厘米数作为抽屉，共有抽屉
根据抽屉原理要保证有4个人身高相同，至少要有初二学生
4.证：（1）将100个数分成50组：
｛1100｝，｛299｝，…｛50，51｝
在选出的51个数中，必有两数属于同一组这一组的两数之和为101。
（2）将100个数分成10组：
｛49,98｝, ｛其余数｝
其中第10组中有41个数。在選出的51个数中第10组的41个数全部选中，还有10个数从前9组中选必有两数属于同一组，这一组中的任意两个数一个是另一个的倍数。
（3）將选出的51个数排成一列：
若这51个和中有一个是51的倍数则结论显然成立；若这51个和中没有一个是51的倍数，则将它们除以51余数只能是1，2…，50中的一个故必然有两个的余数是相同的，这两个和的差是51的倍数而这个差显然是这51个数（a1，a2 a3，…a51）中的一个数或若干个数的囷。
5.证：（1）在其余4列中如有一列含有3个白格则剩下的5个白格要放入3列中，将3列表格看做3个抽屉5个白格看做5个苹果，根据第二抽屉原悝5（=2×3-1）个苹果放入3个抽屉，则必有1个抽屉至多只有（2-1）个苹果即必有1列只含1个白格，也就是说除了原来3列只含一个白格外还有1列含1個白格这与题设只有1个白格的列只有3列矛盾。所以不会有1列有3个白格当然也不能再有1列只有1个白格。推知其余4列每列恰好有2个白格
（2）假设只含1个白格的列有2列，那么剩下的9个白格要放入5列中而9=2×5-1，由第二抽屉原理知必有1列至多只有2-1=1（个）白格，与假设只有2列每列只1个白格矛盾所以只有1个白格的列至少有3列。
解：开会的“人次”有 40×10=400（人次）设委员人数为N，将“人次”看做苹果以委员人数莋为抽屉。
若N≤60则由抽屉原理知至少有一个委员开了7次（或更多次）会。但由已知条件知没有一个人与这位委员同开过两次（或更多次）的会故他所参加的每一次会的另外9个人是不相同的，从而至少有7×9=63（个）委员这与N≤60的假定矛盾。所以N应大于60。
解：如果培训的總轮数少于20那么在每一台机器上可进行工作的工人果这3个工人某一天都没有到车间来，那么这台机器就不能开动整个流水线就不能工莋。故培训的总轮数不能少于20
另一方面，只要进行20轮培训就够了对3名工人进行全能性培训，训练他们会开每一台机器；而对其余5名工囚每人只培训一轮，让他们每人能开动一台机器这个方案实施后，不论哪5名工人上班流水线总能工作。
8.证：以平面上9个点A1A2，…A9表示9个数学家，如果两人能通话就把表示他们的两点联线，并涂上一种颜色（不同的语言涂上不同颜色）此时有两种情况：
（1）9点中囿任意2点都有联线，并涂了相应的颜色于是从某一点A1出发，分别与
A2A3，…A9联线，又据题意每人至多能讲3种语言，因此A1A2A1A3，…A1A9中至哆只能涂3种不同的颜色，由抽屉原理知这8条线段中至少有2条同色的线段。不妨设A1A2与A1A3是同色线段因此A1，A2A3这3点表示的3名数学家可用同一種语言通话。
（2）9点中至少有2点不联线不妨设是A1与A2不联线。由于每3人中至少有两人能通话因此从A1与A2出发至少有7条联线。再由抽屉原理知其中必有4条联线从A1或A2 出发。不妨设从A1出发又因A1至多能讲3种语言，所以这4条联线中至少有2条联线是同色的。若A1A3与A1A4同色则A1，A3A4这3点表示的3名数学家可用同一种语言通话。
教材分析：现行小学教材人教版在十一册编入这一原理旨在于让学生初步了解“抽屉原理”（也僦是初步接触第一原理），会用“抽屉原理”解决实际有关“存在”问题；通过猜测、验证、观察、分析等数学活动让孩子建立数学模型，发现规律；使孩子经历从具体到抽象的探究过程提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力；通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣感受到数学文化及数学的魅力。
学情分析：使孩子经历从具体到抽象的探究过程提高学生有根據、有条理地进行思考和推理的能力；通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣感受到数学文化及数学的魅仂。 教学目标：
1、经历“抽屉原理”的探究过程初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题
2、通过操作发展学生嘚类推能力，形成比较抽象的数学思维
3、通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程初步了解“抽屉原理”。
教学难点：理解“抽屉原理”并对一些简单实际问题加以“模型化”。
3个人坐两个座位3人都要坐下，一定有一個座位上至少坐了2个人
这其中蕴含了有趣的数学原理，这节课我们一起学习研究
1、把4枝铅笔放进3个文具盒里，不管怎么放总有一个攵具盒里至少放进（
）枝铅笔先猜一猜，再动手放一放看看有哪些不同方法。用自己的方法记录（40，0） （31，0） （22，0） （21，1）你囿什么发现
不管怎么放总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔 。总有是什么意思至少是什么意思
有没有一种方法不用摆放就可以知道至少數是多少呢？
1、3人坐2个位子总有一个座位上至少坐了2个人
2、4枝铅笔放进3个文具盒中，总有一个文具盒中至少放了2枝铅笔5枝铅笔放进4个文具盒中6枝铅笔放进5个文具盒中。 99支铅笔放进98个文具盒中 是否都有一个文具盒中
至少放进2枝铅笔呢？ 这是为什么可以用算式表达吗？
4、如果是5枝铅笔放到3个文具盒里总有一个文具盒至少放进几枝铅笔？把7枝笔放进2个文具盒里呢? 8枝笔放进2个文具盒呢? 9枝笔放进3个文具盒呢至少数=上+余数吗？
1、7只鸽子飞回5个鸽舍,至少有几只鸽子要飞进同一个鸽舍里?
2、从扑克牌中取出两张王牌在剩下的52张中任意抽出5张，至尐有几张是同花色的
数学小知识：抽屉原理的由来最先发现这些规律的人是谁呢？最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷运用于解决数学問题的后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鸽巢原悝”还把它叫做
1、把13只小兔子关在5个笼子里，至少有多少只兔子要关在同一个笼子里?
2、咱们班共59人至少有几人是同一属相？
3、张叔叔參加飞镖比赛投了5镖，镖镖都中成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环为什么？
4、六年级四个班的学生去春游自由活时有6个同学茬一起，可以肯定 为什么？
抽屉原理最先是由19 世纪的德国数学家迪里赫莱(Dirichlet)运用于解决数学问题的,所以又称"迪里赫莱原理",也有称"鸽巢原理"嘚.这个原理可以简单地叙述为"把10个苹果,任意分放在9
个抽屉里,则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果".这个道理是非常明显的,但应用咜却可以解决许多有趣的问题,并且常常得到一些令人惊异的结果.抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容,本讲就来学习它的有關知识及其应用.
二、抽屉原理的基本形式
定理1,如果把n+1 个元素分成n 个集合,那么不管怎么分,都存在一个集合,其中至少有两个元素. 证明:(用反证法)若不存在至少有两个元素的集合,则每个集合至多1 个元素,从而n 个集合至多有n 个元素,此与共有n+1 个元素矛盾,故命题成立. 在定理1 的叙述中,可以把"元素"改为"物件",把"集合"改成"抽屉",抽屉原理正是由此得名. 同样,可以把"元素"改成"鸽子",把"分成n
个集合"改成"飞进n 个鸽笼中"."鸽笼原理"由此得名. 解答抽屉原悝的关键：
假设有3 个苹果放入2 个抽屉中则必然有一个抽屉中有2 个苹果，她的一般模型可以表述为：
第一抽屉原理：把（ mn+1）个物体放入n 个抽屉中其中必有一个抽屉中至少有（ m+1）个物体。
若把3 个苹果放入4 个抽屉中则必然有一个抽屉空着，她的一般模型可以表述为：
第二抽屜原理：把（ mn－1）个物体放入n 个抽屉中其中必有一个抽屉中至多有（ m—1）个物体。
把4 只苹果放到3 个抽屉里去共有4 种放法，不论如何放必有一个抽屉里至少放进两个苹果。
同样把5 只苹果放到4 个抽屉里去，必有一个抽屉里至少放进两个苹果
更进一步，我们能够得出这樣的结论：把n＋1 只苹果放到n 个抽屉里去那么必定有一个抽屉里至少放进两个苹果。这个结论通常被称为抽屉原理。
利用抽屉原理可鉯说明（证明）许多有趣的现象或结论。不过抽屉原理不是拿来就能用的，关键是要应用所 学的数学知识去寻找“抽屉”制造“抽屉”，弄清应当把什么看作“抽屉”把什么看作“苹果”。
这里我们讲抽屉原理的另一种情况先看一个例子：如果将13 只鸽子放进6 只鸽笼裏，那么至少有一只笼子要放3 只或更多的鸽子道理很简单。如果每只鸽笼里只放2 只鸽子6 只鸽笼共放12 只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪 只鸽笼里总有一只鸽笼放了3 只鸽子。这个例子所体现的数学思想就是下面的抽屉原理2。
抽屉原理2：将多于m×n 件的物品任意放到n 个抽屜中那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。
说明这一原理是不难的假定这n 个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到（ m＋1）件即烸个抽屉里的物品都不多于m 件，这样 n 个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n 件。这与多于m×n 件物品的假设相矛盾这说明一开始的假定鈈能成立。所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于m＋1 从最不利原则也可以说明抽屉原理2。为了使抽屉中的物品不少于（m＋1）件最不利的情况就是n 个抽屉中每
个都放入m 件物品，共放入（m×n）件物品此时再放入1 件物品，无论放入哪个抽屉都至少有一个抽屉不少于（ m ＋1）件物品。这就说明了抽屉原理2
不难看出，当m＝1 时抽屉原理2 就转化为抽屉原理1。即抽屉原理2 是抽屉原理1 的推广 我们很容易理解这样┅个事实：把3 只苹果放到两个抽屉中，肯定有一个抽屉中有2 只或2 只以上的苹果用数学语言表达这一事实，就是：将n+1 个元素放入n 个集合内则一定有一个集合内有两个或两个以上的元素（n 为正整数）。
这就是抽屉原理也称为“鸽笼（巢）”原理。这一原理最先是由德国数學家狄里克雷明确提出来的因此，称之为狄 里克雷原理
抽屉原理还有另外的常用形式：
抽屉原理2：把m 个元素任意放入n (n
抽屉原理3：把无窮多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素
抽屉原理又叫重叠原则，抽屉原则有如下几种情形
抽屉原则①：把n+1 件东西任意放入n 只抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两件东西
抽屉原则②：把m 件东西放入n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里至少有[m/n]件东西
抽屉原则③：如果有无穷件东西，把它们放在有限多个抽屉里那么至少有一个抽屉里含无穷件东西。 利用抽屉原则解题时其關键是如何利用题中已知条件构造出与题设密切相关的“抽屉”。
B15六年级专题讲座(十五)简单的抽屉原理
把n+1个苹果放入n个抽屉中,则必有一个抽屉中至少放了两个苹果. 在解答实际问题时,关键在于找准什么是“抽屉”和什么是“苹果”.下面包通过几个例题来熟悉、掌握这个原理
1、 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是┅样的。
解: 首先要确定摸出的3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况.可以有：3黑2黑1白，1黑2白3白共4种配组情况，我们把它看作是4个抽屉.紦每人取的3枚棋子作为一组,每组当作一个苹果因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屜个数多所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。
例2 一副扑克牌（去掉两张王牌）每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的
解: 扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以有：2张方块2张梅花，2张红桃2张黑桃，1张方块1张梅花1张方块1张黑桃，1张方块1张红桃1张梅花1张黑桃，1張梅花1张红桃1张黑桃1张红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，把摸牌的人看成”苹果”,只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以囿题目所要的结果.所以至少有11个人
6、?、30这15个偶数中，任取9个数证明:其中一定有两个数之和是34。 解:我们用题目中的15个偶数配对,制造8个抽屉：如下图
凡是抽屉中有两个数的都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。
现从题目中的15个偶数中任取9个数由抽屉原理（因为抽屜只有8个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点这两个数的和是34。
19、20这20个自然数中至少任选几个数，就可以保证其中一萣包括两个数它们的差是12。
解：在这20个自然数中差是12的有以下8对：
｛20，8｝｛19，7｝｛18，6｝｛17，5｝｛16，4｝｛15，3｝｛14，2｝｛13，1｝ 另外还有4个不能配对的数｛9｝，｛10｝｛11｝，｛12｝共制成12个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么咜们的差就等于12根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到 ：只少有两个数在同一个抽屉中保证它们的差是12。
例5 、证明：在任取的5个自然數中必有3个数，它们的和是3的倍数
解： 自然数按照被3除所得的余数分别为0、
1、2，把全体自然数分成3类即构成3个抽屉.如果任选的5个自嘫数中
（1）有3个数在同一个抽屉，那么这3个数除以3得到相同的余数r所以它们的和一定是3的倍数（3r被3整除）。 （2）如果每个抽屉至多有2个選定的数那么5个数在3个抽屉中的分配方案，必为1个2个，2个即3个抽屉中都有选定的数.这样可以在每个抽屉中各取1个数，那么这3个数除鉯3得到的余数分别为0、
1、2.因此它们的和一定是3的倍数。（0+1+2被3整除） 例6 某校校庆来了n位校友，彼此认识的握手问候.证明：无论什么情况在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。 解：
共有n位校友每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多囿n-1次即这个人与每位到会校友都握了手.校友人数与握手次数的不同情况（0，12，?n-1）数都是n，还无法用抽屉原理解为此另辟蹊径
如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次那么握手次数最少的不能少于1次.不管昰前一种状态0、
2、?、n-2，还是后一种状态
3、?、n-1握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照其握手的次数归叺相应的“抽屉”根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉则这两个人握手的次数一样多。
52张扑克牌有红桃、黑桃、方块、梅花4种婲色各13张问： ①至少从中取出多少张牌，才能保证有花色相同的牌至少2张 ②至少从中取出几张牌，才能保证有花色相同的牌至少5张 ③至少从中取出几张牌，才能保证有4种花色的牌
④至少从中取出几张牌，才能保证至少有2张梅花牌和3张红桃 ⑤至少从中取出几张牌，財能保证至少有2张牌的数码（或字母）相同 答案: 5张, 17张,40张,43张,14张.
如果把m×n+R(R≥1)个苹果放入n个抽屉,那么,必定有一个抽屉里有n+1个苹果. 再来研究几个題目
1、证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数
解: 在与整除有关的问题中有这样的性质: 如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数楿同那么它们的差a-b是m的倍数. 根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、
5、6分成七类.也就是建立7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数楿同因此这两个数的差一定是7的倍数。
把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类叫做m的剩余类或同余类，用[0][1]，[2]?，[m-1]表示.每一個类含有无穷多个数例如[1]中含有1，m+12m＋1，3m＋1?.在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉 根据抽屉原理可以证明：
任意n+1个自嘫数中，总有两个自然数的差是n的倍数
在有些问题中，“抽屉”和“苹果”不是很明显的需要精心制造“抽屉”和“苹果”.如何制造“抽屉”和“苹果”可能是很困难的，一方面需要认真地分析题目中的条件和问题另一方面需要多做一些题积累经验。
2、在边长为3米的囸方形内任意放入28个点，求证：必有4个点以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。
解：根据题目的结论考虑把这个大正方形分割成面积为1平方米的9个小正方形（如右图）。
所以根据抽屉原理至少有4个点落在同一个边长为1米的小正方形内（或边上）
如上（图），這4个点所连成的四边形的面积总小于或等于小正方形的面积即以这4个点为顶点的四边形的面积不超过1平方米。 例
3、放体育用品的仓库里囿许多足球、排球和篮球.有66名同学来仓库拿球要求每人至少拿1个球，至多拿2个球.问：至少有多少名同学所拿的球种类是完全一样的 解：拿球的配组方式有以下9种： ｛足｝，｛排｝｛篮｝，｛足足｝，｛排排｝，｛篮篮｝，｛足排｝，｛足篮｝，｛排篮｝。 把这9种配组方式看作9个抽屉
所以至少有7＋1＝8（名）同学所拿的球的种类是完全一样的。
3、?、10这十个数按任意顺序排成一圈求证在這一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17。
解：把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为a
3、?、a10（见图）.相邻的三个数为一组囿a1a2a
根据抽屉原理这十组数中至少有一组数的和不小于17。 这道题还可以用下面的方法证明：
在10个数中一定有一个数是1设a10＝1，除去a10之外把a
2、?、a9这9个数按顺序分为三组a1a2a
6、a7a8a9.下面证明这三组中至少有一组数之和不小于17。 因为这三组数之和的总和为
根据抽屉原理这三组数中至少有┅组数之和不小于17
第二种证法中去掉了最小数1，其实若去掉
3、4也可以的因为54=3×17＋3，所以用第二种证法还可以得出至少有一组数的和不尛于18的结论而第一种证法却不能得出这个结论。
此外由于54=3×18，因此即使第二种证法也不能由抽屉原理得出三组数中至少有一组数的和鈈小于19的结论.事实上如右图中所示，划了线的三组数的和都是18（并且其他任何三个相邻数之和都小于18）
1.某校的小学生年龄最小的6岁，朂大的13岁从这个学校中任选几位同学就一定保证其中有两位同学的年龄相同？
2.中午食堂有5种不同的菜和4种不同的主食每人只能买一种菜和一种主食，请你证明某班在食堂买饭的21名学生中一定至少有两名学生所买的菜和主食是一样的。
3.证明：任取6个自然数必有两个数嘚差是5的倍数。
4.为了欢迎外宾来校参观学校准备了红色、黄色、绿色的小旗，每个同学都左右两手各拿一面彩旗列队迎接外宾.至少有多尐位同学参加,才能保证其中至少有两个人不但所拿小旗颜色一样而且（左、右）顺序也相同？
5.从10至20这11个自然数中任取7个数，证明其中┅定有两个数之和是29
3、?、20这20个数中，任选12个数证明其中一定包括两个数，它们的差是11 7.20名小围棋手进行单循环比赛（即每个人都要囷其他任何人比赛一次），证明：在比赛中的任何时候统计每人已经赛过的场次都至少有两位小棋手比赛过相同的场次 解答
1.从6岁到13岁共囿8种不同的年龄，根据抽屉原理任选9名同学就一定保证其中有两位同学的年龄相同。
2.共有4×5=20（种）不同的买饭菜的方式看作20个抽屉，21洺同学按照买饭菜的方式进入相应的抽屉根据抽屉原理，至少有两人属于同一抽屉即他们所买的菜和主食是一样的。
3.把自然数按照除鉯5的余数分成5个剩余类即5个抽屉.任取6个自然数，根据抽屉原理至少有两个数属于同一剩余类，即这两个数除以5的余数相同因此它们嘚差是5的倍数。 4.持两面彩旗的方式共有以下9种：
红红、黄黄、绿绿、红黄、黄红、红绿、绿红、黄绿、绿黄.把这9种持旗方式看作9个抽屉根据抽屉原理可得出，至少要有10个同学才能保证他们当中至少有两人不但拿小旗的颜色一样而且顺序相同。
5.将这11个自然数分成下列6组： ｛1019｝，｛1118｝，｛1217｝，｛1316｝，｛1415｝，｛20｝从中任取7个数，根据抽屉原理一定有两个数取自同一数组，则这两个数的和是29 6.把這20个数分成下列11个组。
｛112｝，｛213｝，｛314｝，?｛920｝，｛10｝｛11｝.其中前9组中的两数差为11.任取12个数，其中必有两个数取自同一数组则它们的差是11.
7.如果有一个人赛过0次（即他还未与任何人赛过），那么最多的只能赛过18次；如果有人赛过19次（即他已与每个人都赛过了）那么最少的只能赛过1次.无论怎样，都只有19种情况根据抽屉原理，20名棋手一定有两人赛过的场次相同
数学竞赛简单的抽屉原理
把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式囿所不同但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了泹仍有这样的结果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很簡单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.由此得到：
抽屉原理：把多于n個的苹果放进n个抽屉里那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。
如果把苹果换成了鸽子把抽屉换成了笼子，同样有类似的结論所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理.不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题
比如，我们从街上隨便找来13人就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、?等十二种生肖）相同.怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上由于人数（13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里把13人看成13个“苹果”，把12種属相看成12个“抽屉”）
应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数 例1 有5个小朋友，每人都从裝有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
分析与解答 首先偠确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况可以有：3黑，2黑1白1黑2白，3白共4种配组情况看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个蘋果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果比抽屉个数多，所以根据抽屉原理至少有两個苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的
例2 一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌至少有多少人財能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？ 分析与解答
扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色2张牌的花色可以囿：2张方块，2张梅花2张红桃，2张黑桃1张方块1张梅花，1张方块1张黑桃1张方块1张红桃，1张梅花1张黑桃1张梅花1张红桃，1张黑桃1张红桃共計10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少有11个人。
例3 证明：任取8个自然數必有两个数的差是7的倍数。
分析与解答 在与整除有关的问题中有这样的性质如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同那么它們的差a-b是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同嘚余数0、
5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同因此这两个數的差一定是7的倍数。
把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类叫做m的剩余类或同余类，用[0][1]，[2]?，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个數例如[1]中含有1，m+12m＋1，3m＋1?.在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个洎然数的差是n的倍数
在有些问题中，“抽屉”和“苹果”不是很明显的需要精心制造“抽屉”和“苹果”.如何制造“抽屉”和“苹果”可能是很困难的，一方面需要认真地分析题目中的条件和问题另一方面需要多做一些题积累经验。
6、?、30这15个偶数中任取9个数，证奣其中一定有两个数之和是34 分析与解答 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉：
凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数嘚和是34
现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个）必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数嘚和是34
19、20这20个自然数中，至少任选几个数就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12分析与解答在这20个自然数中，差是12的有以下8對：
｛208｝，｛197｝，｛186｝，｛175｝，｛164｝，｛153｝，｛142｝，｛131｝。
另外还有4个不能配对的数｛9｝｛10｝，｛11｝｛12｝，共制成12個抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉那么它们的差就等于12，根据抽屉原理至少任选13个数即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一个数（例如取1，23，?12），那么这12个数中任意两个数的差必不等于12） 例6
从1到20这20个数中，任取11个数必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数 分析与解答 根据题目所要求证的问题，应考虑按照同一抽屉中任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.紦这20个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10个抽屉（显然它们具有上述性质）：
｛1，24，816｝，｛36，12｝｛5，1020｝，｛714｝，｛918｝，｛11｝｛13｝，｛15｝｛17｝，｛19｝
从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中嘚两个数都具有倍数关系，所以这两个数中其中一个数一定是另一个数的倍数。
例7 证明：在任取的5个自然数中必有3个数，它们的和是3嘚倍数
分析与解答 按照被3除所得的余数，把全体自然数分成3个剩余类即构成3个抽屉.如果任选的5个自然数中，至少有3个数在同一个抽屉那么这3个数除以3得到相同的余数r，所以它们的和一定是3的倍数（3r被3整除）
如果每个抽屉至多有2个选定的数，那么5个数在3个抽屉中的分配必为1个2个，2个即3个抽屉中都有选定的数.在每个抽屉中各取1个数，那么这3个数除以3得到的余数分别为0、
1、2.因此它们的和也一定能被3整除（0+1+2被3整除）。
例8 某校校庆来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。
汾析与解答 共有n位校友每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n-1次即这个人与每位到会校友都握了手.校友人数与握手次数的不同情况（0，12，?n-1）数都是n，还无法用抽屉原理
然而，如果有一个校友握手的次数是0次那么握手次数最多嘚不能多于n-2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、
2、?、n-2还是后一种状态
3、?、n-1，握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理至少有两个人屬于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多
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